Как найти высоту трапеции если известны. Как найти высоту трапеции: формулы на все случаи жизни

(S) трапеции, начните вычисление высоты (h) с нахождения полусуммы длин параллельных сторон: (a+b)/2. Затем на полученное значение разделите площадь - результат и будет искомой величиной: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Зная длину средней линии (m) и площадь (S) можно упростить формулу из предыдущего шага. По определению средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому для вычисления высоты (h) фигуры просто разделите площадь на длину средней линии: h = S/m.

Можно определить высоту (h) такого и в том случае, если даны только длина одной из боковых сторон (с) и угол (α), образуемый ей и длинным основанием. В этом случае следует рассмотреть , образуемый этой стороной, высотой и коротким отрезком основания, который отсекает опущенная на него высота. Этот треугольник будет прямоугольным, известная сторона будет в нем гипотенузой, а высота - катетом. Отношение длин и гипотенузы равно противолежащего катету угла, поэтому для вычисления высоты трапеции умножьте известную длину стороны на синус известного угла: h = с*sin(α).

Такой же треугольник стоит рассмотреть и если даны длина боковой стороны (с) и величина угла (β) между ней и другим (коротким) основанием. В этом случае величина угла между боковой стороной (гипотенузой) и высотой (катетом) будет на 90° меньше известного из условий угла: β-90°. Так как отношение длин катета и гипотенузы равно косинусу угла между ними, то высоту трапеции вычислите умножением косинуса уменьшенного на 90° угла на длину боковой стороны: h = с*cos(β-90°).

Если вписана окружность известного радиуса (r), вычисления высоты (h) будет очень проста и не потребует никаких других параметров. Такая окружность по определению должна каждого из оснований только одной точкой и эти точки будут лежать на одной линии с центром . Это значит, что расстояние между ними будет равно диаметру (удвоенному радиусу), проведенному перпендикулярно основаниям, то есть совпадающим с высотой трапеции: h=2*r.

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.

Вам понадобится

• Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим , у которого 2 меньшие стороны катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:


Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Трапецией именуется рельефный четырёхугольник, у которого параллельны две противоположные стороны и непараллельны две другие. Если все противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, то это параллелограмм.

Вам понадобится

• – все стороны трапеции (AB, BC, CD, DA).

Инструкция

1. Непараллельные стороны трапеции именуются боковыми сторонами, а параллельные – основаниями. Линия между основаниями, перпендикулярная к ним – высота трапеции . Если боковые стороны трапеции равны, то она именуется равнобедренной. Вначале разглядим решение для трапеции , которая не является равнобедренной.

2. Проведите отрезок BE из точки B к нижнему основанию AD параллельно боковой стороне трапеции CD. От того что BE и CD параллельны и проведены между параллельными основаниями трапеции BC и DA, то BCDE – параллелограмм, и его противоположные стороны BE и CD равны. BE=CD.

3. Разглядите треугольник ABE. Вычислите сторону AE. AE=AD-ED. Основания трапеции BC и AD вестимы, а в параллелограмме BCDE противолежащие стороны ED и BC равны. ED=BC, значит, AE=AD-BC.

4. Сейчас узнайте площадь треугольника ABE по формуле Герона, вычислив полупериметр. S=корень(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). В этой формуле p – полупериметр треугольника ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Для вычисления площади вам знамениты все нужные данные: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Выразите из этой формулы высоту треугольника, которая является и высотой трапеции . BH=2*S/AE. Вычислите её.

7. Если трапеция равнобедренная, решение дозволено исполнить по-иному. Разглядите треугольник ABH. Он прямоугольный, потому что один из углов, BHA, прямой.

8. Проведите из вершины C высоту CF.

9. Изучите фигуру HBCF. HBCF прямоугольник, от того что две его стороны – высоты, а другие две являются основаниями трапеции , то есть углы прямые, а противолежащие стороны параллельны. Это значит, что BC=HF.

10. Посмотрите на прямоугольные треугольники ABH и FCD. Углы при высотах BHA и CFD прямые, а углы при боковых стороны х BAH и CDF равны, потому что трапеция ABCD равнобедренная, значит, треугольники подобны. Потому что высоты BH и CF равны либо боковые стороны равнобедренной трапеции AB и CD равны, то и сходственные треугольники равны. Значит, их стороны AH и FD тоже равны.

11. Обнаружьте AH. AH+FD=AD-HF. Потому что из параллелограмма HF=BC, а из треугольников AH=FD, то AH=(AD-BC)*1/2.

Трапеция – геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник, у которого две стороны, которые именуются основаниями, параллельны, а две другие – не параллельны. Их называют боковыми сторонами трапеции . Проведенный через середины боковых сторон отрезок именуется средней линией трапеции . Трапеция может иметь различные длины боковых сторон либо идентичные, в этом случае она именуется равнобокой. Если одна из сторон – перпендикулярна к основанию, то трапеция будет прямоугольной. Но куда практичнее знать, как обнаружить площадь трапеции .

Вам понадобится

• Линейка с миллиметровыми делениями

Инструкция

1. Измерьте все стороны трапеции : AB, BC, CD и DA. Запишите итоги своих измерений.

2. На отрезке AB подметьте середину – точку K. На отрезке DA подметьте точку L, которая тоже находится на середине отрезка AD. Объедините точки K и L, полученный отрезок KL будет являться средней линией трапеции ABCD. Измерьте отрезок KL.

3. Из вершины трапеции – тоски С опустите перпендикуляр на ее основание AD о отрезок СЕ. Он будет являться высотой трапеции ABCD. Измерьте отрезок СЕ.

4. Назовем отрезок KL буквой m, а отрезок СЕ – буквой h, тогда площадь S трапеции ABCD вычислите по формуле: S=m*h, где m – средняя линия трапеции ABCD , h – высота трапеции ABCD.

5. Есть еще одна формула, дозволяющая рассчитать площадь трапеции ABCD. Нижнее основание трапеции – AD назовем буквой b, а верхнее основание BC – буквой а. Площадь определим по формуле S=1/2*(a+b)*h, где a и b – основания трапеции , h – высота трапеции .

Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить высоту трапеции, если вестима площадь

Под трапецией подразумевается четырехугольник, у которого две из четырех его сторон параллельны между собой. Параллельные стороны являются основаниями данной трапеции , две другие же являются боковыми сторонами данной трапеции . Обнаружить высоту трапеции , если вестима ее площадь, будет дюже легко.

Инструкция

1. Нужно разобраться, как дозволено вычислить площадь начальной трапеции . Для этого существуют несколько формул, в зависимости от начальных данных:S = ((a+b)*h)/2, где a и b – длины оснований трапеции , а h – ее высота (Высота трапеции – перпендикуляр, опущенный от одного основания трапеции к иному);S = m*h, где m – средняя линяя трапеции (Средняя линяя – отрезок, параллельный основаниями трапеции и соединяющий середины ее боковых сторон).

2. Сейчас, зная формулы для исчисления площади трапеции , дозволено из них вывести новые, для нахождения высоты трапеции :h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Для того, дабы было внятнее, как решать сходственные задачи, дозволено разглядеть примеры:Пример 1: Дана трапеция, у которой площадь равна 68 см?, средняя линяя которой равна 8 см, требуется обнаружить высоту данной трапеции . Для того, дабы решить данную задачу, требуется воспользоваться ранее выведенной формулой:h = 68/8 = 8.5 смОтвет: высота данной трапеции составляет 8.5 смПример 2: Пускай у трапеции площадь равняется 120 см?, длины оснований данной трапеции равны 8 см и 12 см соответственно, требуется обнаружить высоту этой трапеции . Для этого нужно применить одну из выведенных формул:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 смОтвет: высота заданной трапеции равна 12 см

Видео по теме

Обратите внимание!
Любая трапеция владеет рядом свойств:- средняя линяя трапеции равна полусумме ее оснований;- отрезок, тот, что соединяет между собой диагонали трапеции, равен половине разности его оснований;- если через середины оснований провести прямую, то она пересечет точку пересечения диагоналей трапеции;- в трапецию дозволено вписать окружность в том случае, если сумма оснований данной трапеции равна сумме ее боковых сторон.Пользуйтесь этими свойствами при решении задач.

Совет 4: Как обнаружить высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Данный отрезок непременно должен быть перпендикулярен стороне, следственно из всякой вершины дозволено провести лишь одну высоту . От того что вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины всякой из высот дозволено произвести, скажем, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

1. Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины всякий из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты надобно знать площадь фигуры и длину стороны.

2. Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) и C(X?,Y?,Z?). Тогда длину стороны AB вы сумеете рассчитать по формуле AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Для 2-х других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) и AC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Скажем, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит?((3-16)? + (5-14)? + (7-19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же методом, будут равны?(15? + 12? + 6?) = ?405 ? 20,12 и?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. Умения длин 3 сторон, полученных на предыдущем шагу, довольно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Скажем, позже подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника -примера из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Исходя из площади треугольника , рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для всякой из сторон. Потому что площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты разделяете удвоенную площадь на длину надобной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ? 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ? 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ? 19,66.

В нашей жизни очень часто приходится сталкиваться с применением геометрии на практике, например, в строительстве. Среди наиболее часто встречающихся геометрических фигур есть и трапеция. И для того, чтобы проект был успешным и красивым, необходим правильный и точный расчет элементов для такой фигуры.

Что собой представляет выпуклый четырехугольник, который имеет пару параллельных сторон, именуемых основаниями трапеции. Но есть еще две другие стороны, соединяющие эти основания. Их называют боковыми. Один из вопросов, касающийся данной фигуры, это: «Как найти высоту трапеции?» Сразу необходимо обратить внимание, что высота - это отрезок, определяющий расстояние от одного основания до другого. Существует несколько способов для определения этого расстояния, в зависимости от известных величин.

1. Известны величины обоих оснований, обозначим их b и k, а так же площадь данной трапеции. Используя известные величины, найти высоту трапеции в этом случае очень легко. Как известно из геометрии, вычисляется, как произведение половины суммы оснований и высоты. Из этой формулы можно легко вывести искомую величину. Для этого необходимо площадь разделить на половину суммы оснований. В виде формул это будет выглядеть так:

S=((b+k)/2)*h, отсюда h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Известна длина средней линии, обозначим ее d, и площадь. Для тех, кто не знает, средней линией называю расстояние между серединами боковых сторон. Как найти высоту трапеции в этом случае? Согласно свойству трапеции, средняя линия соответствует половине суммы оснований, то есть d=(b+k)/2. Опять же прибегаем к формуле площади. Заменив половину суммы оснований на величину средней линии, получим следующее:

Как видим из полученной формулы очень легко вывести высоту. Разделив площадь на величину средней линии, мы найдем искомую величину. Запишем это формулой:

3. Известна длина одной боковой стороны (b) и угол, образующийся между этой стороной и наибольшим основанием. Ответ на вопрос, как найти высоту трапеции, есть и в этом случае. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD являются боковыми сторонами, причем AB=b. Наибольшим основанием является AD. Угол, образованный AB и AD обозначим α. Из точки B опустим высоту h на основание AD. Теперь рассмотрим полученный треугольник ABF, который является прямоугольным. Сторона AB является гипотенузой, а BF-катетом. Из свойства прямоугольного треугольника отношение значения катета и значению гипотенузы соответствует синусу угла, противолежащего катету (BF). Поэтому, исходя из вышеизложенного, для вычисления высоты трапеции перемножаем значение известной стороны и синус угла α. В виде формулы это выглядит следующим образом:

4. Аналогично рассматривается случай, если известны размер боковой стороны и угол, обозначим его β, образующийся между этой стороной и меньшим основанием. При решении такой задачи величина угла между известной боковой стороной и проведенной высотой будет 90°- β. Из свойства треугольников - отношение длины катета и гипотенузы соответствует косинусу угла, расположенного между ними. Из этой формулы легко вывести величину высоты:

h = b *cos(β-90°)

5. Как найти высоту трапеции, если известен лишь радиус вписанной окружности? Из определения окружности, она касается одной точкой каждого основания. Кроме того, эти точки находятся на одной линии с центром окружности. Из этого следует, что расстояние между ними является диаметром и, в то же время, высотой трапеции. Выглядит так:

6. Часто встречаются задачи, в которых необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Напомним, что трапеция, имеющая равные боковые стороны, называется равнобедренной. Как найти высоту равнобедренной трапеции? При перпендикулярных диагоналях высота равна половине суммы оснований.

Но, что делать, если диагонали не перпендикулярны? Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Согласно ее свойствам, основания параллельны. Из этого следует, что углы при основаниях также будут равны. Проведем две высоты BF и CM. Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что треугольники ABF и DCM равны, то есть AF= DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Теперь, исходя из условия задачи, определимся с известными величинами, а уж потом находим высоту, учитывая все свойства равнобедренной трапеции.

Геометрия – одна из наук, с применением которой на практике человек сталкивается практически ежедневно. Среди многообразия геометрических фигур отдельного внимания заслуживает и трапеция. Она представляет собой выпуклую фигуру с четырьмя сторонами, из которых две параллельны между собой. Последние называются основаниями, а оставшиеся две – боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный основаниям и определяющий величину промежутка между ними, и будет высотой трапеции. Каким же образом можно вычислить его длину?

Найти высоту произвольной трапеции

Базируясь на исходных данных, определение высоты фигуры возможно несколькими способами.

Известна площадь

Если длина параллельных сторон известна, а также указана площадь фигуры, то для определения искомого перпендикуляра можно воспользоваться следующим соотношением:

S=h*(a+b)/2,
h – искомая величина (высота),
S – площадь фигуры,
a и b – стороны, параллельные друг другу.
Из приведенной формулы следует, что h=2S/(a+b).

Известна величина средней линии

Если среди исходных данных помимо площади трапеции (S) известна, и длина ее линии средины (l), то для вычислений пригодится другая формула. Прежде стоит уточнить, что такое средняя линия для данного вида четырехугольника. Термин определяет часть прямой, соединяющей средины боковых сторон фигуры.

Исходя из свойства трапеции l=(a+b)/2,
l – линия средины,
a, b – стороны-основания четырехугольника.
Поэтому h=2S/(a+b)=S/l.

Известны 4 стороны фигуры

В данном случае поможет теорема Пифагора. Опустив перпендикуляры на большую сторону-основание, воспользуйтесь ею для двух получившихся прямоугольных треугольников. Итоговое выражение будет иметь вид:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,

c и d – 2 другие стороны.

Углы в основании

При наличии данных об углах при основании, воспользуйтесь тригонометрическими функциями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α и β – углы в основании четырехугольника,
c и d – его боковые стороны.

Диагонали фигуры и углы, которые пересекаясь они образуют

Длина диагонали – длина отрезка, соединяющего противоположные вершины фигуры. Обозначим данные величины символами d1 и d2, а углы между ними γ и φ. Тогда:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a и b – стороны-основания фигуры,
d1 и d2 – диагонали трапеции,
γ и φ – углы между диагоналями.

Высота фигуры и радиус окружности, которая в нее вписана

Как следует из определения такого рода окружности, она касается каждого основания в 1 точке, которые являются частью одной прямой. Поэтому расстояние между ними – диаметр – искомая высота фигуры. А так как диаметр – удвоенный радиус, то:

h = 2 * r,
r – радиус окружности, которую вписали в данную трапецию.

Найти высоту равнобедренной трапеции

• Как и следует из формулировки, отличительной характеристикой равнобедренной трапеции является равенство ее боковых сторон. Поэтому для нахождения высоты фигуры воспользуйтесь формулой для определения данной величины в случае, когда известны стороны трапеции.

Итак, если с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – стороны-основания четырехугольника,
c = d – его боковые стороны.

• При наличии величины углов, образованных двумя сторонами (основанием и боковой), высоту трапеции определяет следующее соотношение:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – угол в основании фигуры,
a, b (a < b) – основания фигуры,
c = d – его боковые стороны.

• Если даны величины диагоналей фигуры, то выражение для нахождения высоты фигуры видоизменится, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.