Метод координат в пространстве.
Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.
Нормальный вид уравнения
Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.
Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).
Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:
Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.
Общее уравнение
Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:
Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.
Уравнения плоскостей. Частные случаи
Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.
Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.
Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:
- Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
- Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
- В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
- В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
- В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
- В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.
Вид уравнения в отрезках
В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:
х/а + у/b + z/с = 1,
в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.
Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).
С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.
Координаты нормального вектора
Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).
Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.
При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).
Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.
Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора
Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.
Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:
- точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
- нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.
Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.
В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:
[МₒМ, n] = 0.
Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:
Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.
Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:
Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:
А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.
Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости
Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).
Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.
При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.
Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:
Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки
Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:
Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:
Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:
В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.
Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.
Двухгранный угол между плоскостями
Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.
Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:
Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
именно потому
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).
Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.
На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.
Уравнение перпендикулярной плоскости
Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.
Уравнение параллельной плоскости
Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.
Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:
А/А¹=В/В¹=С/С¹.
Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,
это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.
Расстояние до плоскости от точки
Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:
(ρ,v)=р (р≥0).
В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.
Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Вот и получается,
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.
Используя язык параметров, получаем очевидное:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.
Касательная плоскость и ее уравнение
Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.
При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:
F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.
Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:
z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).
Пересечение двух плоскостей
В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.
а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:
В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.
В самом общем случае нормаль к поверхности представляет ее локальную кривизну, и, следовательно, направление зеркального отражения (рис. 3.5). Применительно к нашим знаниям можно сказать, что нормалью называется вектор, определяющий ориентацию грани (рис. 3.6).
Рис. 3.5 Рис. 3.6
Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра и вершины, поэтому, для того чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах. Пусть заданы уравнения плоскостей полигональных граней, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем многоугольникам, сходящимся к этой вершине. Например, на рис. 3.7 направление приближенной нормали в точке V 1 есть:
n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k , (3.15)
где a 0 , a 1 , a 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - коэффициенты уравнений плоскостей трех многоугольниковP 0 , P 1 , P 4 , окружающихV 1 . Отметим, что если требуется найти только направление нормали, то делить результат на количество граней необязательно.
Если же уравнения плоскостей не заданы, то нормаль к вершине можно определить, усредняя векторные произведения всех ребер, пересекающихся в вершине. Еще раз, рассматривая вершину V 1 на рис. 3.7, найдем направление приближенной нормали:
n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 + V 1 V 4 V 1 V 5 (3.16)
Рис. 3.7 - Аппроксимация нормали к полигональной поверхности
Следует обратить внимание на то, что необходимы только внешние нормали. Кроме того, если полученный вектор не нормируется, то его величина зависит от количества и площади конкретных многоугольников, а также от количества и длины конкретных ребер. Сильнее проявляется влияние многоугольников с большей площадью и более длинными ребрами.
Когда нормаль к поверхности используется для определения интенсивности и для изображения объекта или сцены выполняется перспективное преобразование, то нормаль следует вычислять до перспективного деления. В противном случае направление нормали будет искажено, а это приведет к тому, что интенсивность, задаваемая моделью освещения, будет определена неправильно.
Если известно аналитическое описание плоскости (поверхности), то нормаль вычисляется непосредственно. Зная уравнение плоскости каждой грани многогранника, можно найти направление внешней нормали.
Если уравнение плоскости имеет вид:
то вектор нормали к этой плоскости записывается следующим образом:
, (3.18)
где
- единичные векторы осейx,y,z
соответственно.
Величина d
вычисляется с помощью
произвольной точки, принадлежащей
плоскости, например, для точки (
)
Пример. Рассмотрим 4-х сторонний плоский многоугольник, описываемый 4-мя вершинами V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) и V4(1,1,1) (см. рис. 3.7).
Уравнение плоскости имеет вид:
x + y + z - 1 = 0.
Получим нормаль к этой плоскости, используя векторное произведение пары векторов, являющихся смежными ребрами к одной из вершин, например, V1:
Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра или вершины, поэтому, для того, чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах.
Пусть заданы уравнения плоскостей граней многогранника, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем граням, сходящимся в этой вершине.
А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.
Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.
В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .
Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .
Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.
С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:
Пример 1
Решение
:если поверхность задана уравнением (т.е. неявно)
, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:
Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать
с частными производными неявно заданной функции
(хотя поверхность задана неявно)
. При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных
, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:
Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:
Аналогично:
Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .
Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:
– общее уравнение
искомой касательной плоскости.
Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:
– верное равенство.
Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии
, – это вектор нормали
касательной плоскости, и он же – направляющий вектор
нормальной прямой. Составим канонические уравнения
нормали по точке и направляющему вектору :
В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет
Ответ :
Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.
Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:
Пример 2
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
И задание, интересное с технической точки зрения:
Пример 3
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
В точке .
Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.
Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.
В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность
и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .
Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.
Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией
?
Перепишем её в неявном виде :
И по тем же принципам найдём частные производные:
Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:
И соответственно, канонические уравнения нормали:
Как нетрудно догадаться, 
– это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных
в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.
Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.
Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:
Пример 4
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке .
Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….
Решение
: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим частные производные 1-го порядка
в данной точке:
Таким образом:
аккуратно, не спешим:
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ :
И заключительный пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».
И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)
Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.
Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата
Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.
Определение 1
Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.
Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а 1 параллельные, а n → считается нормальным вектором прямой a , также считается нормальным вектором для прямой a 1 . Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t · n → является ненулевым при любом значении параметра t , причем также является нормальным для прямой a .
Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.
Если задана плоскость О х у, то множеством векторов для О х является координатный вектор j → . Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси О у, перпендикулярной О х. Все множество нормальных векторов относительно О х можно записать, как t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .
Прямоугольная система O x y z имеет нормальный вектор i → , относящийся к прямой О z . Вектор j → также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный О z , считается нормальным для O z .
Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой
При рассмотрении прямоугольной системы координат О х у выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения A x + B y + C = 0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.
Пример 1
Задана прямая вида 2 x + 7 y - 4 = 0 _, найти координаты нормального вектора.
Решение
По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2 , 7 .
Ответ: 2 , 7 .
Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.
Пример 2
Указать нормальный вектор для заданной прямой y - 3 = 0 .
Решение
По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y - 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .
Ответ: 0 , 1 .
Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.
Пример 3
Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 - y = 1 .
Решение
Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 - y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 · x - 1 · y - 1 = 0 .
Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , - 1 .
Ответ: 3 , - 1 .
Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x - x 1 a x = y - y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = (a x , a y) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .
Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0
Для решения можно выбирать любой удобный способ.
Пример 4
Найти нормальный вектор заданной прямой x - 2 7 = y + 3 - 2 .
Решение
Из прямой x - 2 7 = y + 3 - 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = (7 , - 2) . Нормальный вектор n → = (n x , n y) заданной прямой является перпендикулярным a → = (7 , - 2) .
Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = (7 , - 2) и n → = (n x , n y) запишем a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .
Значение n x – произвольное, следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .
Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .
Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем
x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0
Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .
Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .
Пример 5
Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 - 3 · λ .
Решение
Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:
x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0
Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны - 3 , 0 .
Ответ: - 3 , 0 .
Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .
Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .
Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = (a x , a y , a z) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = (a x , a y , a z) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter