Lineární rovnice Gauss. Řešení systémů lineárních algebraických rovnic, ve kterých počet rovnic se neshoduje s počtem neznámé nebo hlavní matice degenerovaného systému, metodou Gauss
Dva systémy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, pokud se shoduje s množstvím všech jejich řešení.
Základní transformace systému rovnic je:
- Hackování z triviálního systému rovnice, tj. Tak, ve kterém jsou všechny koeficienty nulové;
- Násobení jakékoli rovnice pro řadu než nula;
- Nastavení jakékoli i-Mohené rovnici jakékoli rovnice J -to vynásobená libovolným číslem.
Proměnná X I se nazývá volná, pokud tato proměnná není povolena a celý systém rovnic je povolen.
Teorém. Elementární transformace přeložit systém rovnic v ekvivalentu.
Význam metody GAUSS je převést původní systém rovnic a získat ekvivalentní povolený nebo ekvivalentní nepředávastový systém.
Metoda Gauss se skládá z následujících kroků:
- Zvážit první rovnici. Vyberte si první nenulový koeficient a rozdělte celou rovnici. Získáváme rovnici, do které některé proměnné X I je zahrnuta s koeficientem 1;
- Budu odečíst tuto rovnici ze všech ostatních, vynásobím ji do takových čísel, takže koeficienty s proměnnou X I ve zbývajících rovnicích byly resetovány. Získáváme systém povolený vzhledem k proměnné X I a ekvivalentní počátečnímu;
- Pokud vznikají triviální rovnice (zřídka, ale to se stane; například 0 \u003d 0), udeří je ze systému. V důsledku rovnic se stává o jedno méně;
- Opakujeme předchozí kroky ne více než n, kde n je počet rovnic v systému. Pokaždé, když zvolíte "Zpracování" nové proměnné. Pokud vznikají konfliktní rovnice (například 0 \u003d 8), systém je neúplný.
Výsledkem je, že po několika krocích získáme buď autorizovaný systém (možná s volnými proměnnými) nebo neúplné. Povolené systémy se rozpadají do dvou případů:
- Počet proměnných se rovná počtu rovnic. To znamená, že systém je určen;
- Počet proměnných je větší než počet rovnic. Sbíráme všechny volné proměnné vpravo - získáme vzorce pro povolené proměnné. Tyto vzorce jsou napsány v reakci.
To je vše! Systém lineárních rovnic je vyřešen! Jedná se o poměrně jednoduchý algoritmus a pro jeho rozvoj nemusíte kontaktovat učitele nejvyšší matematiky. Zvažte příklad:
Úkol. Řešení systému rovnic:
Popis kroků:
- Odečteme první rovnici od druhého a třetího - získáme povolenou proměnnou X 1;
- Vynásobíme druhou rovnici (-1) a třetí rovnice dělíme (-3) - získáme dvě rovnice, ve kterých je proměnná X2 zahrnuta s koeficientem 1;
- Druhá rovnice přidáváme první a od třetího odečtení. Dostáváme povolenou proměnnou X 2;
- Konečně předložíme třetí rovnici od prvního - získáme povolenou proměnnou X 3;
- Přijal autorizovaný systém, napište odpověď.
Celkovým řešením společného systému lineárních rovnic je nový systém, který je ekvivalentní originálu, ve kterém jsou všechny povolené proměnné vyjádřeny volnými.
Kdy můžete potřebovat obecné řešení? Pokud musíte udělat méně kroků než k (k je kolik rovnic). Důvody, pro které proces končí v určitém kroku l< k , может быть две:
- Po kroku L-th, byl získán systém, který neobsahuje rovnice s číslem (L + 1). Ve skutečnosti to je dobré, protože Povolený systém je stále získán - dokonce i několik kroků dříve.
- Po L-Thongu byla rovnice získána, ve kterém jsou všechny koeficienty s proměnnými nuly, a volný koeficient se liší od nuly. To je protichůdná rovnice, a proto je systém neúplný.
Je důležité pochopit, že vznik protichůdné rovnice podle metody Gauss je dostatečným základě neúplnosti. Zároveň si všimneme, že v důsledku l-ohrožení nemohou zůstat triviální rovnice - všichni udeří přímo v procesu.
Popis kroků:
- Odečteme první rovnici násobenou 4, od druhé. A také přidejte první rovnici do třetího - získáme povolenou proměnnou X 1;
- Odečteme třetí rovnici násobenou 2, od druhé - získáme protichůdnou rovnici 0 \u003d -5.
Systém je tak nepochopitelný, protože je detekována protichůdná rovnice.
Úkol. Prozkoumejte kompatibilitu a vyhledejte všeobecné řešení:
Popis kroků:
- Odečteme první rovnici od druhé (dříve vynásobené dvěma) a třetí - získáme povolenou proměnnou X 1;
- Odečteme druhou rovnici ze třetí. Protože všechny koeficienty v těchto rovnicích se shodují, třetí rovnice se změní na triviální. Zároveň násobí druhou rovnici (-1);
- Od první rovnice odešleme druhou - získáme povolenou proměnnou X 2. Celý systém rovnic je nyní povolen;
- Vzhledem k tomu, že proměnné x 3 a X 4 jsou volné, přenášejí je doprava na vyjádření povolených proměnných. To je odpověď.
Systém je tak společný a nejistý, protože existují dva povolené proměnné (x 1 a x 2) a dva volné (x 3 a x 4).
Metoda Gauss, nazývaná také metoda konzistentního vyloučení neznámého, je následující. S pomocí elementárních transformací vede systém lineárních rovnic s tímto druhem tak, že jeho matrice z koeficientů je lichoběžník (stejný jako trojúhelníkový nebo stupňovitý) nebo blízko k lichoběžníkovému (přímý pohyb metody Gauss, pak je to jen přímý pohyb). Příklad takového systému a jeho roztoku - na obrázku shora.
V takovém systému, druhá rovnice obsahuje pouze jednu proměnnou a jeho hodnotu může být jednoznačně nalezena. Pak je hodnota této proměnné nahrazeno do předchozí rovnice ( návrat metody Gauss Dále - jen zpátečka), ze kterého se předchozí proměnná zjistí, a tak dále.
V lichoběžníkovém (trojúhelníkovém) systému, jak vidíme, třetí rovnice již neobsahuje proměnné y. a x. a druhá rovnice - proměnná x. .
Po matici systému trvalo lichoběžníkovou formu, již není možné pochopit problematiku kompatibility systému, určit počet řešení a najít samotné rozhodnutí.
Výhody metody:
- při řešení systémů lineárních rovnic s počtem rovnic a neznámého více než tři, metoda Gauss není tak těžkopádný jako metoda Cramer, protože při řešení metody Gauss, méně výpočty jsou nezbytné;
- metoda Gauss může vyřešit neurčité systémy lineárních rovnic, tj. S obecným řešením (a budeme je analyzovat v této lekci), a používáme metodu Claver, můžete pouze uvést, že systém je nejistý;
- systémy lineárních rovnic lze vyřešit, ve kterých se počet neznámých osob není roven počtu rovnic (budeme je také analyzovat v této lekci);
- metoda je založena na základních (školních) metodách - způsobu nahrazení neznámého a způsobu přidání rovnic, které jsme dotkli příslušného článku.
Takže, aby každý je naplněn jednoduchostí, s nimiž jsou vyřešeny lichoběžníkové (trojúhelníkové, rychlé) systémy lineárních rovnic, dáme řešení takového systému pomocí reverzního zdvihu. Rychlé rozhodnutí Tento systém byl zobrazen na obrázku na začátku lekce.
Příklad 1. Vyřešte systém lineárních rovnic pomocí reverzního pohybu:
Rozhodnutí. V této lichoběžníkové proměnné z. Rozhodně se nachází od třetí rovnice. Nahrazujeme jeho hodnotu do druhé rovnice a získáváme hodnotu proměnné y.:
Nyní známe hodnoty dvou proměnných - z. a y.. Nahrazujeme je v první rovnici a získáváme hodnotu proměnné x.:
Z předchozích kroků napíšeme řešení systému rovnic:
Za účelem získání takového lichoběžníkového systému lineárních rovnic, které jsme se rozhodli velmi jednoduše, je nutné aplikovat přímý kurz spojený s elementárními transformacemi systému lineárních rovnic. Není to také příliš obtížné.
Základní transformace systému lineárních rovnic
Opakování metody školy algebraických přídavných rovnic systému, zjistili jsme, že jeden systém systému může být přidán k jednomu z rovnic systému a každá z rovnic může být vynásobena některými čísly. V důsledku toho získáme systém lineárních rovnocenných rovnocenných. To již obsahovalo pouze jednu variabilní, nahrazení hodnoty, jejíž k jiným rovnicím dorazíme k řešení. Takový přídavek je jedním z typů konverze elementárního systému. Při použití metody Gauss můžeme použít několik typů transformací.
Na výše uvedené animaci se zobrazí, protože systém rovnic postupně se změní na lichoběžníkový. To znamená, že jste viděli na první animaci a byli přesvědčeni, že to bylo jen najít hodnoty všech neznámých. O tom, jak provést takovou transformaci a samozřejmě budou diskutovány příklady.
Při řešení systémů lineárních rovnic s libovolným počtem rovnic a neznámých v systému rovnic a v rozšířené matrici systému umět:
- uspořádat řádek v místech (to bylo zmíněno na samém počátku tohoto článku);
- pokud se v důsledku jiných transformací, se objevily stejné nebo proporcionální linie, mohou být odstraněny, kromě jednoho;
- odstraňte "nulové" řádky, kde jsou všechny koeficienty nulové;
- jakýkoli řetězec násobitelný nebo rozdělit pro číslo;
- do libovolného řádku přidejte další řetězec násobený číslem.
V důsledku transformací získáme systém lineárních rovnocenných rovnocenných.
Algoritmus a příklady řešení Gaussovy metody lineárních rovnic s čtvercovým systémem matrice
Nejdříve zvážit řešení systémů lineárních rovnic, ve kterém počet neznámých se rovná počtu rovnic. Matice takového systému je čtverec, to znamená, že počet řádků se rovná počtu sloupců.
Příklad 2. Vyřešte metodu Gaussovy metody lineárních rovnic
Řešení systému lineárních rovnic ze školních metod, násobili jsme jeden z rovnic pro určité číslo, takže koeficienty na první proměnné ve dvou rovnicích byly opačné. Když jsou rovnice navíc, tato proměnná je eliminována. Metoda Gauss je také platná.
Pro zjednodušení externí pohled řešení proveďte rozšířený systémový matrici:
V této matici doleva do vertikální funkce existují koeficienty v neznámém a vpravo po vertikálním funkci - volné členy.
Pro pohodlí dělení koeficientů s proměnnými (pro získání rozdělení na jednotku) uspořádejte první a druhé řádky systémové matice. Získáme systém ekvivalentnímu systému, protože systém lineárních rovnic může být přeskupen místy rovnice:
S pomocí nové první rovnice vynikněte proměnnou proměnnou x. od druhého a všech následujících rovnic. K tomu druhý řádek matice přidá první řádek vynásobený (v našem případě), na třetí linii - první řádek vynásobený (v našem případě).
Je to možné, protože
Pokud došlo k více než tři rovnice v našem systému rovnic, bylo by nutné přidat ke všem následujícím rovnicím do prvního řádku vynásobeného poměrem příslušných koeficientů přijatých s minus znamení.
V důsledku toho získáme matrici ekvivalentní tomuto systému nového systému rovnic, ve kterém všechny rovnice začínající od druhého neobsahují proměnné x. :
Chcete-li zjednodušit druhou řadu získaného systému, vynásobím jej a získáme matici systému rovnocenných rovnocenných tohoto systému:
Nyní při zachování první rovnice získaného systému bez změn, pomocí druhé rovnice vylučujeme proměnnou y. Všech následujících rovnic. K tomu přidáme druhý řetězec násobený systémem na třetí řádek systému, vynásobený (v našem případě).
Pokud došlo k více než tři rovnice v našem systému rovnic, bylo by nutné přidat do všech následujících rovnic druhé linky vynásobené poměrem příslušných koeficientů přijatých s znaménkem minus.
V důsledku toho opět získáváme systémovou matrici ekvivalentní tomuto systému lineárních rovnic:
Dostali jsme ekvivalent tohoto trapézového systému lineárních rovnic:
Pokud je počet rovnic a proměnných větší než v našem příkladu, proces konzistentní výjimky proměnných pokračuje, dokud se systémová matrice nestane lichoběžníkem, jako v našem demo příkladu.
Rozhodnutí najde "od konce" - reverzní. Pro tohle od poslední rovnice definujeme z.:
.
Nahrazení této hodnoty do předchozí rovnice, nalézt y.:
Z první rovnice nalézt x.:
Odpověď: Řešení tohoto systému rovnic - 
.
: V tomto případě bude stejná odpověď vydána, pokud má systém určitý řešení. Pokud má systém nekonečnou sadu řešení, pak bude odpověď, a to je předmětem páté této lekce.
Vyřešit systém lineárních rovnic podle metody Gauss nezávisle a pak viz rozhodnutí
Jsme opět příkladem společného a definovaného systému lineárních rovnic, ve kterém se počet rovnic rovná počtu neznámých. Rozdíl z našeho demo-příkladu z algoritmu je již čtyři rovnice a čtyři neznámé.
Příklad 4. Řešit systém lineárních rovnic Gauss:
Nyní musíte odstranit proměnnou z následujících rovnic pomocí druhé rovnice. Provádět přípravné práce. Chcete-li být pohodlnější s postojem koeficientů, musíte dostat jednotku do druhého sloupce druhého řetězce. Chcete-li to udělat, od druhého řádku bude přečíst třetí, a v důsledku toho druhý řádek násobit by -1.
Teď skutečně eliminujeme proměnnou ze třetí a čtvrté rovnic. Chcete-li to udělat, přidejte druhý řádek na třetí řádek, vynásobený a čtvrtý - druhý, vynásobený.
Nyní s pomocí třetí rovnice vyloučíme proměnnou ze čtvrté rovnice. Chcete-li to udělat, přidejte třetí, vynásobený čtvrtým řádkem. Dostaneme prodlouženou matici trapézové formy.
Dostal systém rovnic, že \u200b\u200bzadaný systém je ekvivalentní:
V důsledku toho jsou získané a tento systém spojen a definovány. Konečné řešení najít "od konce". Z čtvrté rovnice můžeme přímo vyjádřit hodnotu proměnné "X čtvrtá" proměnná:
Tato hodnota je nahrazena třetí rovnicí systému a získat
,
,
Nakonec, nahrazení hodnot
V první rovnici dává
,
kde najdeme "IKS první":
Odpověď: Tento systém rovnic má jediné řešení. 
.
Zkontrolujte řešení systému může být také na kalkulačce rozhodující Cramer: V tomto případě bude stejná odpověď vydána, pokud má systém jednoznačný roztok.
Řešení metody Gaussovy metody aplikovaných úkolů na příkladu úkolu na slitinách
Systémy lineárních rovnic slouží k simulaci skutečných objektů fyzického světa. Rozhodujeme se jednoho z těchto úkolů - na slitinách. Podobné úkoly - úkoly pro směsi, náklady nebo podíl jednotlivých výrobků ve skupině zboží a podobně.
Příklad 5.Tři kusy slitiny mají celkovou hmotnost 150 kg. První slitina obsahuje 60% mědi, druhá je 30%, třetí je 10%. Ve stejné době, ve druhé a třetí slitiny dohromady, měď odřízené o 28,4 kg menší než v první slitině, a ve třetí slitině mědi o 6,2 kg méně než ve druhé. Najděte hodně každého kusu slitiny.
Rozhodnutí. Sestavujeme systém lineárních rovnic:
Vynásobíme druhý a třetí rovnice o 10, získáme ekvivalentní systém lineárních rovnic:
Kompilujeme produktovou matici rozšířeného systému:
Pozornost, přímý pohyb. Přidáním (v našem případě, odčítání) jedné linky vynásobené číslem (aplikovat dvakrát) s rozšířenou maticí systému, dojde k následujícím transformacím:
Přímý krok skončil. Dostal rozšířenou matici lichoběžníkové formy.
Použijte zpětný pohyb. Vyhledáváme řešení od konce. Vidíme to.
Z druhé rovnice
Z třetí rovnice -
Můžete zkontrolovat systémové řešení na kalkulačce rozhodující metodou Cramer: V tomto případě bude stejná odpověď vydána, pokud má systém jednoznačný roztok.
Jednoduchost metody Gaussová mluví alespoň skutečnost, že německá matematika Karl Friedricha Gaussu vyžaduje pouze 15 minut do jeho vynálezu. Kromě způsobu jeho jména od Gaussovy tvořivosti je známo, že se říká. "Nemíchejte, co se zdá být neuvěřitelné a nepřirozené, s naprosto nemožnými" - druh stručných pokynů pro výkon objevy.
V mnoha aplikovaných úkolech nemusí být třetí omezení, to znamená třetí rovnici, pak je nutné vyřešit metodu Gaussu dvou rovnic se třemi neznámými, nebo naopak neznámé méně než rovnice. Nyní pokračujeme v řešení takových systémů rovnic.
Pomocí metody GAUSS můžete nainstalovat, sdílet nebo nekonzistentní systém n. Lineární rovnice S. n. proměnné.
Gaussová metoda a systém lineárních rovnic, které mají nekonečná nastavení
Následující příklad je kloub, ale neurčitý systém lineárních rovnic, tj. S nekonečným nastavením roztoků.
Po provedení transformací v rozšířeném systému matrice (permutace řetězců, násobení a dělení řetězců pro číslo, přidání na jeden řádek, řádky formuláře by se mohly objevit
Pokud ve všech rovnicích
Volné členy jsou nulové, to znamená, že systém je nedefinován, tj. Má nekonečnou sadu řešení a rovnice tohoto druhu jsou "extra" a vyloučit je ze systému.
Příklad 6.
Rozhodnutí. Proveďte matici rozšířeného systému. Poté, s pomocí první rovnice vylučujeme proměnnou z následujících rovnic. Chcete-li to udělat, do druhé, třetí a čtvrté řádky přidávají první, vynásobené podle:
Nyní přidám druhý řádek do třetího a čtvrtého.
V důsledku toho dorazíme do systému
Poslední dvě rovnice se změní na rovnice zobrazení. Tyto rovnice jsou splněny s libovolnými hodnotami neznámého a mohou být vyřazeny.
Pro uspokojení druhé rovnice můžeme a zvolit libovolné hodnoty, pak hodnota pro to je již určitě určena: 
. Od první rovnice je hodnota pro také určitě: 
.
Oba dané i poslední systémy jsou společně, ale nejisté a vzorce
pro libovolné a poskytovat nám všechna řešení daného systému.
Gaussova metoda a systém lineárních rovnic, které nemají řešení
Následující příklad je neúplný systém lineárních rovnic, tj. Non-Solutions. Odpověď na tyto úkoly je formulována: Systém nemá žádná řešení.
Jak je uvedeno v souvislosti s prvním příkladem, po provedení transformací v rozšířené matrici systému, se mohou objevit struny formy
odpovídající rovnice druhů
Pokud existuje alespoň jedna rovnice s volným členem odlišným od nuly (tj.), Tento systém rovnic je neúplný, to znamená, že nemá řešení a jeho rozhodnutí je dokončeno.
Příklad 7. Vyřešte metodu Gaussovy lineární rovnice:
Rozhodnutí. Kompilujeme rozšířený systémovou matici. Pomocí první rovnice vylučujeme z následných variabilních rovnic. Chcete-li to provést, druhý řádek přidá první, násobený, na třetí linii - první, vynásobený, na čtvrtém místě - první, vynásobený.
Nyní musíte odstranit proměnnou z následujících rovnic pomocí druhé rovnice. Chcete-li získat celý poměr koeficientů, změňte druhý a třetí řádky rozšířeného systému matrice v místech.
Vyloučit ze třetí a čtvrté rovnice třetí linii přidat druhou, vynásobenou a čtvrtou - druhou, vynásobenou.
Nyní s pomocí třetí rovnice vyloučíme proměnnou ze čtvrté rovnice. Chcete-li to udělat, přidejte třetí, vynásobený čtvrtým řádkem.
Zadaný systém je ekvivalentní, tedy následovně:
Výsledný systém je neúplný, protože jeho poslední rovnice nemůže být splněna s žádnými hodnotami neznámého. Tento systém proto nemá řešení.
Nechte systém podáván, δ ≠ 0. (jeden)Gauss metoda - To je způsob konzistentního vyloučení neznámého.
Podstata metody Gaussovy metody spočívá v přeměně (1) do systému s trojúhelníkovým matricí, ze které se hodnoty všech neznámých položek postupně postupně (zpět). Zvažte jednu z výpočetních systémů. Toto schéma se nazývá jednorázové schéma divize. Takže zvážit toto schéma. Nechť 11 ≠ 0 (prvek moderátora) rozdělí první rovnici k 11. Dostávat
(2)
Použití rovnice (2), je snadno vyloučit neznámé X 1 ze zbývajících systémových rovnic (pro to je dostačující odečíst rovnici (2) přednastavené odpovídajícím koeficientem X 1), který je v první Krok, který dostaneme
.
Jinými slovy, na 1 kroku, každý prvek následných řádků, počínaje druhým, se rovná rozdílu mezi původním prvkem a produktem jeho "projekce" do prvního sloupce a prvního (převedeného) řetězce.
V návaznosti na to, takže první rovnice v odpočinku během zbytku systémových rovnic získaných v prvním kroku budeme podobnou transformaci: vybrat rovnici s předním prvkem z jejich počtu a vyloučit z něj ze zbývajících rovnic X 2 ( krok 2).
Po n krokech (1) dostaneme ekvivalentní systém 
(3)
Tak, v první fázi dostaneme trojúhelníkový systém (3). Tato fáze se nazývá přímá mrtvice.
Ve druhé fázi (reverzní zdvih) najdeme postupně od (3) hodnoty x n, x n -1, ..., x 1.
Označte řešení přijaté pro x 0. Pak rozdíl ε \u003d b-a · x 0 zavolal beznadějný.
Pokud ε \u003d 0, roztok nalezeno x 0 je pravdivé.
Výpočty podle metody Gauss se provádějí ve dvou fázích:
- První etapa se nazývá přímý průběh metody. V první fázi je počáteční systém převeden na trojúhelníkový formulář.
- Druhá etapa se nazývá zpět. Ve druhé etapě je vyřešen trojúhelníkový systém ekvivalentní počátečnímu.
V každém kroku se předpokládá, že vedoucí prvek se liší od nuly. Pokud tomu tak není, můžete použít jakýkoliv jiný prvek jako hlavní, jako by se přeskupit systémovou rovnici.
Jmenování metody Gaussovy
Metoda Gauss je navržena tak, aby řešila systémy lineárních rovnic. Odkazuje na metody přímého rozhodnutí.Typy metody Gauss
- Klasická metoda Gauss;
- Změny metody Gauss. Jednou z modifikací metody GAUSS je schéma s výběrem hlavního prvku. Funkce metody Gaussovy metody s výběrem hlavního prvku je taková permutace rovnic, takže nejvyšší prvek kolony K-ONE v kroku K-th je vedoucím prvkem.
- Jordan-gauss metoda;
Ilustrujeme rozdíl jordan-gauss metoda Z metody Gauss na příkladech.
Příklad řešení Gauss
Řešení systému: 
Pro pohodlí výpočetní techniky změňte řádky v místech: 
Vynásobte 2. linku na (2). Přidejte 3. řádek do 2. \\ t 
Vynásobte 2. řetězec (-1). Přidejte 2. řádek do 1. \\ t 
Od 1. řádku Express X 3:
Z 2. řetězce Express X 2:
Z 3. řetězce Express X 1: 
Příklad řešení Jordan-Gauss
Stejný slami řeší metodu Jordan-Gauss. 
Budeme postupně zvolit prvek rozlišení re, který leží na hlavní diagonále matrice.
Prvek rozlišení je roven (1).
Ne \u003d se - (A * b) / re
Re je prvek rozlišení (1), A a B - prvky matric, které tvoří obdélník s prvky Ste a Re.
Představte si výpočet každého prvku ve formě tabulky:
| x 1. | x 2. | x 3. | B. |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Prvek rozlišení je roven (3).
Místo rozlišení prvku, dostaneme 1 a ve sloupci samotném, psát nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně sloupcových prvků B, jsou určeny pravidly obdélníku.
Chcete-li to provést, vyberte čtyři čísla, která jsou umístěna ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují prvek rozlišení re.
| x 1. | x 2. | x 3. | B. |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Prvek rozlišení je roven (-4).
Místo rozlišení prvku, dostaneme 1 a ve sloupci samotném, psát nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně sloupcových prvků B, jsou určeny pravidly obdélníku.
Chcete-li to provést, vyberte čtyři čísla, která jsou umístěna ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují prvek rozlišení re.
Představte si výpočet každého prvku ve formě tabulky:
| x 1. | x 2. | x 3. | B. |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Odpovědět: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1
Implementace metody Gauss
Metoda Gauss je implementována v mnoha programovacích jazycích, zejména: Pascal, C ++, PHP, Delphi, a tam je také implementace metody Gauss v režimu online.Použití metody Gauss.
Aplikace metody Gaussovy v teorii her
V teorii her, při hledání maximální strategie optimálního hráče je kompilován systém rovnic, který je vyřešen metodou Gauss.Aplikace metody GAUSS při řešení diferenciálních rovnic
Pro vyhledávání soukromého řešení diferenciální rovnice se deriváty odpovídajícího rozsahu zjistí pro zaznamenané soukromé řešení (Y \u003d F (A, B, C, D)), které jsou substituovány do počáteční rovnice. Vedle nalezení proměnné A, B, C, D Systém rovnic je sestaven, který je vyřešen metodou Gauss.Aplikace metody Jordan-Gauss v lineárním programování
V lineární programováníZejména metoda Simplex pro převod Simplexní tabulky na každé iteraci používá pravidlo obdélníku, které používá metodu Jordan-Gauss.Definice a popis metody Gauss
Metoda transformace Gauss (také známý jako transformace metodou konzistentního vyloučení neznámých proměnných z rovnice nebo matrice) pro řešení lineárních systémů je klasický způsob řešení řešení algebraické rovnice (Slava). Tato klasická metoda se také používá k řešení těchto úkolů jako příjem inverzní matice a určování pořadí matice.
Transformace metodou Gaussovy metody je Komisi malých (elementárních) po sobě jdoucích změn v systému lineárních algebraických rovnic, které vedou k vyloučení proměnných z něj od vrcholu až na tvorbu nového trojúhelníkového systému rovnic, která odpovídá ekvivalentnímu zdroj.
Definice 1.
Tato část rozhodnutí se nazývá přímá mrtvice roztoku Gaussho, protože celý proces se provádí shora dolů.
Poté, co přinesl původní systém rovnic k trojúhelníkové, je založen na všech proměnných systému ze dna nahoru (to znamená, že první nalezené proměnné zabírají jsou umístěny v posledních liniích systému nebo matrice). Tato část roztoku je také známa jako opačný průběh řešení Gauss. Je to algoritmus v následujícím textu: první proměnné se počítají nejblíže ke spodní části systému rovnic nebo matrice, pak jsou získané hodnoty substituovány výše, a proto existuje další proměnná a tak dále.
Gauss metodový algoritmus popis
Sekvence akcí pro obecné řešení systému rovnice podle metody Gauss je střídavě používat přímý a reverzní zdvih na matrici na bázi svahu. Počáteční systém rovnic věří následující formulář:
$ Začátek (případy) a_ (11) cdot x_1 + ... + a_ (1n) cdot x_n \u003d b_1 \\\\ ... a_ (m1) cdot x_1 + a_ (mn) cdot x_n \u003d B_m \\ end (případy) $
Chcete-li řešit sluní metodu Gauss, je nutné napsat původní systém rovnic ve formě matice:
$ A \u003d začít (PMATRIX) A_ (11) & ... & A_ (1N) VDOTS & ... & VDOTS A_ (M1) & ... & A_ (MN) \\ t PMATRIX) $, $ b \u003d začít (pmatrix) b_1 \\ 1 vdots b_m end (pmatrix) $
Matrix $ A $ se nazývá hlavní matice a je koeficienty zaznamenané v pořádku s proměnnými a $ B $ se nazývá sloupec jeho volných členů. Matice $ A $ zaznamenaná přes linku se sloupcem volných členů se nazývá rozšířená matice:
$ A \u003d Začátek (Array) (CCC | c) a_ (11) & ... & A_ (1N) & b_1 vdots & ... & vdots & ... a_ \\ t m1) & ... & A_ (Mn) & B_M \\ End (Array) $
Nyní je nutné za použití elementárních transformací nad systémem rovnic (nebo nad matricí, protože je to pohodlnější), aby ho uvedlo do následujícího formuláře:
$ začít (případy) α_ (1j_ (1)) cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) CDOT X_ (J_ (R)) + ... α_ (1j_ (n)) cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_1 α_ (2j_ (2)) cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_2 \\\\ ... α_ ... rj_ (r)) cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_r \\\\ 0 \u003d β_ (r + 1) .. \\ t . \\ 0 \u003d β_m \\ end (případy) $ (1)
Matrice získaná z koeficientů převedeného systému rovnice (1) se nazývá krok, zde obvykle vypadá dolů matricemi:
$ A \u003d začátek (pole) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 0 & b_2 0 & 0 A_ (33) & b_3 end (array) $
Pro tyto matrice je následující soubor vlastností charakteristická:
- Všechny jeho nulové čáry stojí po nenulových
- Pokud je nějaká řada matice s číslem $ K $, je nenulová, pak v předchozím řádku stejné matice zerosu menší než v tomto, který má číslo $ K $.
Po přijetí stupňovité matrice je nutné nahradit proměnné získané na zbývající rovnice (od konce) a získat zbývající hodnoty proměnných.
Základní pravidla a vyřešené transformace při použití metody Gauss
Při zjednodušení matice nebo systému rovnic je tato metoda potřebujete používat pouze elementární transformace.
Tyto transformace jsou operace, které mohou být použity pro matrici nebo systém rovnic, aniž by se změnil svůj význam:
- permutace několika řádků v místech
- nebo odčítání z jednoho řádku matice jiného řádku
- násobení nebo dělení čáry na konstantě, která není rovna nule,
- linka sestávající ze stejných nul získaných v procesu výpočtu a zjednodušení systému musí být odstraněna
- Musíte také odstranit extra proporcionální linie výběrem systému jediný s vhodnými a vhodnými pro další výpočty.
Všechny elementární transformace jsou reverzibilní.
Analýza tří základních případů vyplývajících při řešení lineárních rovnic pomocí metody jednoduchých transformací Gauss
Existují tři výskyty při použití metody Gauss pro řešení systémů:
- Když je systém nepochopitelný, to znamená, že nemá řešení
- Systém rovnic má řešení a jediný a množství nenulových řad a sloupců v matrici se rovná navzájem.
- Systém má určitou částku nebo mnoho možných řešení a počet řádků v něm je menší než počet sloupců.
Výsledek řešení s neúplným systémem
Pro tuto možnost při řešení matrixová rovnice Metoda Gauss je charakterizována tím, že obdrží nějaký druh linky s nemožností provádění rovnosti. Proto pokud dojde alespoň jedna nesprávná rovnost, výsledný a zdrojový systém nemá řešení bez ohledu na zbývající rovnice, které obsahují. Příklad nekompatibilní matrice:
$ Začít (pole) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end (array) $
V posledním řádku nebylo splněno rovnost: $ 0 cdot x_ (31) + 0 cdot x_ (32) + 0 cdot x_ (33) \u003d 1 $.
Systém rovnic, které mají pouze jedno řešení
Systémová data po podání kroku matice a odstraňování čar s nulami mají stejný počet řádků a sloupců v hlavní matici. Tady nejjednodušší příklad Takový systém:
$ začít (případy) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\2 cdot x_1 + x_2 \u003d -7 \\ end (případy) $
Píšeme ji ve formě matice:
$ Začátek (pole) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 2 & 1 & -7 end (array) $
Chcete-li přinést první buňku druhého řádku na nulu, top linku Dominarita za $ -2 $ a odečte jej od spodního řádku matice a ponechte horní řádek v původní podobě, nakonec máme následující:
$ Začátek (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 0 & 3 & 10 ukončení (pole)
Tento příklad může být napsán jako systém:
$ začít (případy) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 3 cdot x_2 \u003d 10 \\ t
Z nižší rovnice je následující hodnota $ x $: $ x_2 \u003d 3 frac (1) (3) $. Nahrazujeme tuto hodnotu na horní rovnici: $ X_1 - 3 Frac (1) (3) $, získáme $ X_1 \u003d 1 Frac (2) (3) $.
Systém s mnoha možnými řešeními
Pro tento systém je charakterizován menší počet smysluplných linií než počet sloupců v něm (struny hlavní matice jsou zohledněny).
Proměnné v takovém systému jsou rozděleny do dvou typů: základní a zdarma. Při převodu takového systému musí být základní proměnné obsažené v níže vlevo na znamení "\u003d" a zbývající proměnné přenos do pravé části rovnosti.
Takový systém má pouze určité celkové řešení.
Budeme analyzovat následující systém rovnic:
$ Začít (případy) 2Y_1 + 3Y_2 + x_4 \u003d 1 \\ t 5Y_3 - 4Y_4 \u003d 1 \\ end (případy) $
Píšeme ji ve formě matice:
$ Začít (pole) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 5 & 4 end (pole) $
Naším úkolem najít obecné řešení řešení. Pro tuto matici budou základní proměnné $ y_1 $ y_1 a $ y_3 $ (za $ y_1 $ - jak to je na prvním místě, a v případě $ y_3 $ - je umístěn po nulách).
Jako základní proměnné vybereme přesně ty, které nejsou rovny nule v řetězci.
Zbývající proměnné se volají zdarma, přes ně musíme vyjádřit základní.
Pomocí tzv. Reverzního pohybu, demontáže systému zdola nahoru, pro to nejprve vyjadřujeme $ y_3 $ od spodního řádku systému:
$ 5Y_3 - 4Y_4 \u003d 1 $
$ 5Y_3 \u003d 4Y_4 + $ 1
$ y_3 \u003d frac (4/5) y_4 + frac (1) (5) $.
Nyní v horní rovnici systému $ 2Y_1 + 3Y_2 + y_4 \u003d 1 $ nahradíme prohlásil $ y_3 $: $ 2y_1 + 3Y_2 - (frac (4) (5) y_4 + frac (1) (5)) + y_4 \u003d 1 $
Express $ y_1 $ přes volné proměnné $ y_2 $ a $ y_4 $:
$ 2Y_1 + 3Y_2 - frac (4) (5) y_4 - frac (1) (5) + y_4 \u003d 1 $
$ 2Y_1 \u003d 1 - 3Y_2 + FRAC (4) (5) Y_4 + FRAC (1) (5) - Y_4 $
$ 2y_1 \u003d -3y_2 - frac (1) (5) y_4 + frac (6) (5) $
$ y_1 \u003d -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0,6 $
Rozhodnutí je připraveno.
Příklad 1.
Řešit Slam podle metody Gauss. Příklady. Příkladem řešení systému lineárních rovnic uvedené matice 3 až 3 pomocí metody Gauss
$ začátek (případy) 4x_1 + 2x_2 - X_3 \u003d 1 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 \u003d 2 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 \u003d 0 \\ end (případy) $
Náš systém píšeme ve formě rozšířené matrice:
$ Začít (pole) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 3 & -3 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ end (array) $
Nyní pro pohodlí a praktičnost potřebujete převést matici tak, aby v horním rohu extrémního sloupce byl $ 1 $.
Chcete-li to provést, je nutné přidat čáru ze středu násobený $ -1 $, a střední linie samotná je napsána jako je:
$ začít (pole) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\\\ & 3 & -3 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ t
$ začátek (pole) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3 & -3 0 & -1 & 0 & -3 end (array) $
Doming Horní a poslední řádky za $ -1 $, a také změnit poslední a střední linky v místech:
$ začít (pole) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 end (array) $
$ začít (pole) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 3 & 3 end (pole)
A rozdělili jsme poslední řádek o $ 3 $:
$ začít (pole) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 end (pole) $
Získáme následující systém rovnic, což odpovídá originálu:
$ začít (případy) x_1 + x_2 - x_3 \u003d 1 x_2 \u003d 3 x_3 \u003d 1 konec (případy) $
Z horní rovnice vyjadřujeme $ X_1 $:
$ x1 \u003d 1 + x_3 - x_2 \u003d 1 + 1 - 3 \u003d -1 $.
Příklad 2.
Příklad roztoku systému specifikovaným pomocí matice 4 na 4 Gaussovy metody
$ začít (pole) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ t & 3 & 1 & 1 & 2 & 1 & 11 \\ t & 9 & 7 & 7 & 40 \\ t 9 & 40 2 & 37 ukončení (pole) $.
Na začátku změníme řádky nejlépe prozkoumat, aby se dostal do levého levého rohu $ 1 $:
$ Začít (pole) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & 20 \\\\ & 5 & 9 & 7 & 20 \\ t & 9 & 9 & 9 \\ t 9 & 40 & 40 2 & 37 ukončení (pole) $.
Nyní vynásobíte horní řádek za $ -2 $ a přidejte 2. a 3.. Do 4. Přidejte 1. řádek, dvojitým klenutým $ -3 $:
$ začátek (pole) (cccc | c) 1 a 3 & 2 & 1 & 11 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 5 & 18 0 & 5 & 18 0 & 1 & 3 & -1 & 4 end (pole) $
Nyní na řádek s číslem 3 přidat řádek 2 vynásobený $ 4 $, a na řádek 4 přidat řádek 2 vynásobený $ -1 $.
$ Začátek (pole) (CCCC | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 0 & ~il & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 10 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 6 \\ t End (Array) $
Dodingery Row 2 na $ -1 $, a řádek 4 rozdělit $ 3 $ 3 a zavést řetězec 3.
$ začít (pole) (cccc | c) 1 a 3 a 2 a 1 & 11 0 & 0 & 0 &% 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 5 & 5 & 1 & 10 END (Array) $
Nyní přidejte do posledního řádku předposlední, vynásobené $ -5 $.
$ začátek (pole) (cccc | c) 1 a 3 a 1 & 1 & 11 0 & 0 &% 0 a 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a 0 & 0 & 0 / end (array) $
Řešíme výsledný systém rovnic:
$ začít (případy) m \u003d 0 g \u003d 2 \\\\ y + m \u003d 2 \\ x + 3Y + 2g + m \u003d 11 \\ t
Zde můžete vyřešit systém lineárních rovnic zdarma. gaussova metoda Online. Velké velikosti v integrovaných číslech s velmi podrobným řešením. Naše kalkulačka může vyřešit online jako obyčejný specifický a nejistý systém Lineární rovnice podle metody Gauss, která má nekonečné nastavení řešení. V tomto případě v reakci obdržíte závislost samotných proměnných prostřednictvím jiných volných. Můžete také zkontrolovat systém rovnic pro online sdílení, pomocí řešení Gaussovy metody.
O metodě
Při řešení systému lineárních rovnic na metodě GAUSS se provádějí následující kroky.
- Zaznamenejte rozšířenou matici.
- Ve skutečnosti je roztok rozdělen do přímého a opačného pohybu metody Gauss. Přímý pohyb metody Gauss se nazývá vedoucí matice na stupňovitou formu. Odkaz na metodu Gauss se nazývá vedoucí matice do zvláštního kroku. Ale v praxi je vhodnější okamžitě začít, co je to z výše uvedeného, \u200b\u200btak pod uvažovaným prvkem. Naše kalkulačka používá tento přístup.
- Je důležité poznamenat, že při řešení metody Gauss, přítomnost v matrici alespoň jednu nulovou linii s nenulovou pravou ruku (sloupec volných členů) indikuje neúplnost systému. Rozhodnutí lineární systém V tomto případě je ne.
Chcete-li nejlépe porozumět principu provozu algoritmu Gaussovy algoritmie, zadejte libovolný příklad, vyberte "velmi podrobné řešení" a uvidíte jeho rozhodnutí online.