Gaussova metoda se 4 neznámými podrobnými řešeními. Kontrola správnosti řešení
Dnes se zabýváme Gaussovou metodou pro řešení systémů lineárních algebraických rovnic. O tom, jaké systémy to jsou, si můžete přečíst v předchozím článku věnovaném řešení stejných SLAE pomocí Cramerovy metody. Gaussova metoda nevyžaduje žádné specifické znalosti, vyžaduje se pouze péče a důslednost. Navzdory skutečnosti, že z hlediska matematiky je školní příprava pro její aplikaci dostačující, pro studenty zvládnutí této metody často způsobují potíže. V tomto článku se je pokusíme zrušit!
Gaussova metoda
M gaussova metoda - nejvšestrannější metoda řešení SLAE (s výjimkou velmi velkých systémů). Na rozdíl od toho, co bylo zvažováno dříve, je vhodný nejen pro systémy s jediným řešením, ale také pro systémy s nekonečným počtem řešení. Zde jsou možné tři možnosti.
- Systém má jedinečné řešení (determinant hlavní matice systému není roven nule);
- Systém má nekonečný počet řešení;
- Neexistují žádná řešení, systém je nekompatibilní.
Máme tedy systém (ať má jedno řešení) a budeme jej řešit Gaussovou metodou. Jak to funguje?
Gaussova metoda se skládá ze dvou fází - vpřed a vzad.
Dopřed Gaussovy metody
Nejprve si zapíšeme rozšířenou matici systému. Chcete-li to provést, přidejte do hlavní matice sloupec volných členů.
Celá podstata Gaussovy metody je přivést tuto matici do stupňovité (nebo, jak se říká, trojúhelníkové) formy pomocí elementárních transformací. V této podobě by měly být pod nulou (nebo nad) hlavní úhlopříčkou matice pouze nuly.
Co můžeš udělat:
- Řádky matice můžete uspořádat místy;
- Pokud matice obsahuje stejné (nebo proporcionální) řádky, můžete odstranit všechny kromě jednoho;
- Řetězec můžete znásobit nebo rozdělit libovolným číslem (kromě nuly);
- Nulové čáry jsou odstraněny;
- K řetězci můžete připojit řetězec vynásobený nenulovým číslem.
Reverzní Gaussova metoda
Poté, co transformujeme systém tímto způsobem, jeden neznámý Xn se stane známým a všechny zbývající neznámé najdete v opačném pořadí, nahrazením již známých xes v rovnicích systému až do prvního.
Když je internet vždy po ruce, můžete vyřešit systém rovnic pomocí Gaussovy metody online.Stačí jen vložit koeficienty do online kalkulačky. Musíte však uznat, že je mnohem příjemnější uvědomit si, že tento příklad nebyl vyřešen počítačovým programem, ale vlastním mozkem.
Příklad řešení soustavy rovnic Gaussovou metodou
A nyní - příklad, aby bylo vše jasné a srozumitelné. Nechť je dán systém lineárních rovnic a je třeba ho vyřešit Gaussovou metodou:
Nejprve si napíšeme rozšířenou matici:
Nyní udělejme transformace. Pamatujte, že musíme dosáhnout trojúhelníkového vzhledu matice. Vynásobte první řádek (3). Vynásobte 2. řádek (-1). Přidejte 2. řádek k 1. a získejte:
Poté vynásobte třetí řádek (-1). Pojďme přidat třetí řádek k 2.:
Vynásobte první řádek číslem (6). Vynásobte 2. řádek (13). Přidáme druhý řádek k prvnímu:
Voila - systém je přiveden do vhodné podoby. Zbývá najít neznámé:
Systém v tomto příkladu má jediné řešení. Řešení systémů s nekonečným počtem řešení budeme zvažovat v samostatném článku. Možná nejprve nebudete vědět, kde začít s transformací matice, ale po odpovídajícím cvičení se dostanete do rukou a kliknete na SLAE pomocí Gaussovy metody, jako jsou ořechy. A pokud najednou narazíte na SLAE, které se ukáže být příliš těžké, kontaktujte prosím naše autory! můžete zanechat přihlášku v korespondenci. Společně vyřešíme jakýkoli problém!
Jedním z nejjednodušších způsobů řešení soustavy lineárních rovnic je technika založená na výpočtu determinantů ( cramerova vláda). Jeho výhodou je, že vám umožňuje okamžitě zaznamenat řešení, což je zvláště výhodné v případech, kdy koeficienty systému nejsou čísla, ale nějaký druh parametrů. Jeho nevýhodou je těžkopádnost výpočtů v případě velkého počtu rovnic, Cramerovo pravidlo se navíc přímo nevztahuje na systémy, ve kterých se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých. V takových případech obvykle platí gaussova metoda.
Nazýváme se systémy lineárních rovnic, které mají stejnou sadu řešení ekvivalent... Je zřejmé, že sada řešení lineárního systému se nezmění, pokud jsou některé rovnice zaměněny nebo je jedna z rovnic vynásobena nějakým nenulovým číslem, nebo pokud je jedna rovnice přidána k jiné.
Gaussova metoda (metoda postupného odstraňování neznámých) spočívá v tom, že pomocí elementárních transformací je systém redukován na ekvivalentní systém typu krok. Nejprve, pomocí 1. rovnice, x 1 ze všech následujících rovnic systému. Poté pomocí 2. rovnice x 2 ze 3. a všech následujících rovnic. Tento proces se nazývá přímým průběhem Gaussovy metody, pokračuje, dokud nezůstane na levé straně poslední rovnice pouze jeden neznámý x n... Potom, zpětná Gaussova metoda - vyřešíme poslední rovnici x n; poté pomocí této hodnoty z předposlední rovnice vypočítáme x n –1 atd. Najdeme poslední x 1 z první rovnice.
Je vhodné provádět gaussovské transformace prováděním transformací nikoli samotnými rovnicemi, ale maticemi jejich koeficientů. Zvažte matici:
volal rozšířená matice systému, protože v něm je kromě hlavní matice systému zahrnut sloupec volných výrazů. Gaussova metoda je založena na redukci hlavní matice systému na trojúhelníkový tvar (nebo lichoběžníkový tvar v případě nelineárních systémů) pomocí elementárních transformací řad (!) Rozšířené matice systému.
Příklad 5.1. Řešení systému pomocí Gaussovy metody:
Rozhodnutí... Napíšeme rozšířenou matici systému a pomocí prvního řádku poté vynulujeme zbývající prvky:
dostaneme nuly ve 2., 3. a 4. řádku prvního sloupce:
Nyní potřebujete, aby všechny prvky ve druhém sloupci pod 2. řádkem byly rovny nule. Chcete-li to provést, můžete znásobit druhý řádek čísly –4/7 a přidat do 3. řádku. Abychom se však nezabývali zlomky, vytvoříme pouze jednotku ve 2. řádku druhého sloupce
Nyní, abyste dostali trojúhelníkovou matici, musíte vynulovat prvek čtvrtého řádku třetího sloupce, za tímto účelem můžete znásobit třetí řádek 8/54 a přidat jej do čtvrtého. Abychom se však nezabývali zlomky, zaměníme si polohy 3. a 4. řádku a 3. a 4. sloupce a teprve poté vynulujeme určený prvek. Pamatujte, že když jsou sloupce přeuspořádány, odpovídající proměnné jsou zaměněny a je třeba si to pamatovat; jiné elementární transformace se sloupci (sčítání a násobení číslem) nelze provést!
Poslední zjednodušená matice odpovídá systému rovnic ekvivalentních původní:
Proto pomocí reverzního průběhu Gaussovy metody zjistíme ze čtvrté rovnice x 3 \u003d -1; od třetího x 4 \u003d -2, od druhé x 2 \u003d 2 a od první rovnice x 1 \u003d 1. V maticové formě je odpověď zapsána jako
Zvažovali jsme případ, kdy je systém definitivní, tj. když existuje pouze jedno řešení. Uvidíme, co se stane, pokud je systém nekonzistentní nebo nejistý.
Příklad 5.2. Prozkoumejte systém pomocí Gaussovy metody:
Rozhodnutí... Napište a transformujte rozšířenou matici systému
Napíšeme zjednodušený systém rovnic:
Zde se v poslední rovnici ukázalo, že 0 \u003d 4, tj. rozpor. V důsledku toho systém nemá řešení, tj. to nekonzistentní. à
Příklad 5.3. Prozkoumejte a vyřešte systém pomocí Gaussovy metody:
Rozhodnutí... Vypíšeme a transformujeme rozšířenou matici systému:
V důsledku transformací poslední řádek obsahuje pouze nuly. To znamená, že počet rovnic se snížil o jednu:
Po zjednodušení tedy existují dvě rovnice a jsou zde čtyři neznámé, tj. dva neznámé "extra". Ať je to „zbytečné“ nebo, jak se říká, volné proměnnébude x 3 a x 4. Pak
Za předpokladu x 3 = 2a a x 4 = b, dostaneme x 2 = 1–a a x 1 = 2b–a; nebo ve formě matice
Takto napsané řešení se nazývá společný, protože zadáním parametrů a a b různé hodnoty, můžete popsat všechna možná řešení systému. A
Definice a popis Gaussovy metody
Gaussova transformační metoda (známá také jako metoda postupného odstraňování neznámých proměnných z rovnice nebo matice) pro řešení systémů lineárních rovnic je klasická metoda pro řešení systému algebraických rovnic (SLAE). Tato klasická metoda se také používá k řešení problémů, jako je získání inverzních matic a určení pořadí matice.
Transformace pomocí Gaussovy metody spočívá v malých (elementárních) postupných změnách v systému lineárních algebraických rovnic, které vedou k eliminaci proměnných shora shora dolů s vytvořením nového trojúhelníkového systému rovnic, který je ekvivalentní původnímu.
Definice 1
Tato část řešení se nazývá přímý průběh gaussovského řešení, protože celý proces se provádí shora dolů.
Po redukci původního systému rovnic na trojúhelníkový jsou všechny proměnné systému nalezeny zdola nahoru (tj. První nalezené proměnné zaujímají přesně poslední řádky systému nebo matice). Tato část řešení je také známá jako Gaussovský obrácení. Jeho algoritmus je následující: Nejprve se vypočítají proměnné, které jsou nejblíže spodní části soustavy rovnic nebo matic, poté se získané hodnoty nahradí výše, a tak se najde ještě jedna proměnná atd.
Popis algoritmu Gaussovy metody
Posloupnost akcí pro obecné řešení soustavy rovnic Gaussovou metodou spočívá ve střídavém použití dopředného a zpětného pohybu na matici založenou na SLAE. Nechť má původní systém rovnic následující podobu:
$ \\ begin (cases) a_ (11) \\ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \\ cdot x_n \u003d b_1 \\\\ ... \\\\ a_ (m1) \\ cdot x_1 + a_ (mn) \\ cdot x_n \u003d b_m \\ end (případy) $
Pro vyřešení SLAE Gaussovou metodou je nutné napsat původní soustavu rovnic ve formě matice:
$ A \u003d \\ begin (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\\\ \\ vdots &… & \\ vdots \\\\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \\ end (pmatrix) $, $ b \u003d \\ begin (pmatrix) b_1 \\\\ \\ vdots \\\\ b_m \\ end (pmatrix) $
Matice $ A $ se nazývá hlavní matice a představuje koeficienty proměnných zapsaných v pořadí a $ b $ se nazývá sloupec jejích volných výrazů. Matice $ A $, napsaná přes sloupec se sloupcem volných termínů, se nazývá rozšířená matice:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\\\ \\ vdots &… & \\ vdots & ... \\\\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \\ end (pole) $
Nyní je nutné, pomocí elementárních transformací přes soustavu rovnic (nebo přes matici, jak je vhodnější), přivést ji do následující podoby:
$ \\ begin (cases) a_ (1j_ (1)) \\ cdot x_ (j_ (1)) + a_ (1j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)) ... + a_ (1j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... a_ (1j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_1 \\\\ a_ (2j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)). .. + a_ (2j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... a_ (2j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_2 \\\\ ... \\\\ α_ ( rj_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... a_ (rj_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_r \\\\ 0 \u003d β_ (r + 1) \\\\… \\ Matice získaná z koeficientů transformovaného systému rovnice (1) se nazývá stupňovitá, takto obvykle vypadají stupňovité matice:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\\\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\\\ 0 & 0 & a_ (33) a b_3 \\ end (pole) $
Tyto matice se vyznačují následující sadou vlastností:
Všechny jeho nulové řádky jsou po nenulové
- Pokud je některý řádek matice s číslem $ k $ nenulový, má předchozí řádek stejné matice menší nuly než tento řádek s číslem $ k $.
- Po získání stupňovité matice je nutné získané proměnné nahradit zbývajícími rovnicemi (počínaje od konce) a získat zbývající hodnoty proměnných.
Základní pravidla a povolené transformace při použití Gaussovy metody
Při zjednodušení matice nebo soustavy rovnic touto metodou by měly být použity pouze elementární transformace.
Takové transformace jsou operace, které lze aplikovat na matici nebo systém rovnic, aniž by se změnil její význam:
přeskupení více linek na místech,
- přidání nebo odečtení z jednoho řádku matice jiného řádku od něj,
- vynásobením nebo vydělením řádku konstantou rovnou nule,
- {!LANG-15fed713f9d34bcc699b3ecb37e9d4fc!}
- řádek sestávající pouze z nul získaný v procesu výpočtu a zjednodušení systému musí být vymazán,
- Rovněž je třeba odstranit zbytečné proporcionální čáry a pro systém zvolit pouze ten s vhodnějšími a vhodnějšími koeficienty pro další výpočty.
Všechny elementární transformace jsou reverzibilní.
Analýza tří hlavních případů, které vznikají při řešení lineárních rovnic pomocí metody jednoduchých Gaussových transformací
Při použití Gaussovy metody k řešení systémů existují tři případy:
- Pokud je systém nekonzistentní, nemá řešení
- Systém rovnic má řešení a je jediný a počet nenulových řádků a sloupců v matici je stejný.
- Systém má určitý počet nebo mnoho možných řešení a počet řádků v něm je menší než počet sloupců.
Výsledek rozhodnutí s nekonzistentním systémem
Pro tuto možnost je při řešení maticové rovnice Gaussovou metodou typické získat nějakou linii s nemožností splnění rovnosti. Pokud tedy nastane alespoň jedna nesprávná rovnost, výsledný a originální systém nemá řešení bez ohledu na ostatní rovnice, které obsahují. Příklad nekonzistentní matice:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) $
V posledním řádku se objevila neuspokojivá rovnost: $ 0 \\ cdot x_ (31) + 0 \\ cdot x_ (32) + 0 \\ cdot x_ (33) \u003d 1 $.
Systém rovnic s jediným řešením
Po redukci na stupňovou matici a odstranění řádků s nulami mají tyto systémy stejný počet řádků a sloupců v hlavní matici. Zde je nejjednodušší příklad takového systému:
$ \\ begin (cases) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 2 \\ cdot x_1 + x_2 \u003d -7 \\ end (cases) $
Napíšme to ve formě matice:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 2 & 1 & -7 \\ end (array) $
Chcete-li přivést první buňku druhého řádku na nulu, vynásobte horní řádek $ -2 $ a odečtěte ho od spodního řádku matice a ponechte horní řádek v jeho původní podobě, takže máme následující:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 0 & 3 & 10 \\ end (array) $
Tento příklad lze napsat jako systém:
$ \\ begin (cases) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 3 \\ cdot x_2 \u003d 10 \\ end (cases) $
Následující hodnota $ x $ vychází z dolní rovnice: $ x_2 \u003d 3 \\ frac (1) (3) $. Nahrazením této hodnoty do horní rovnice: $ x_1 - 3 \\ frac (1) (3) $, dostaneme $ x_1 \u003d 1 \\ frac (2) (3) $.
Systém s mnoha možnými řešeními
Tento systém se vyznačuje menším počtem významných řádků, než je počet sloupců v něm (berou se v úvahu řádky hlavní matice).
Proměnné v takovém systému jsou rozděleny do dvou typů: základní a zdarma. Při transformaci takového systému musí být hlavní proměnné obsažené v systému ponechány v levé oblasti až po znaménko „\u003d“ a zbývající proměnné musí být přesunuty na pravou stranu rovnosti.
Takový systém má jen některé obecné řešení.
Pojďme analyzovat následující systém rovnic:
$ \\ begin (cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 \u003d 1 \\\\ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 \\ end (cases) $
Napíšme to ve formě matice:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Naším úkolem je najít obecné řešení systému. Pro tuto matici budou základní proměnné $ y_1 $ a $ y_3 $ (pro $ y_1 $ - protože je to na prvním místě a v případě $ y_3 $ - je umístěna za nuly).
Jako základní proměnné vybereme přesně ty, které jsou první v řádku a nejsou rovny nule.
Ostatní proměnné se nazývají zdarma, skrze ně musíme vyjádřit základní proměnné.
Pomocí tak zvaného zpětného tahu analyzujeme systém zdola nahoru, proto nejprve vyjádříme $ y_3 $ ze spodního řádku systému:
$ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 $
$ 5y_3 \u003d 4y_4 + 1 $
$ y_3 \u003d \\ frac (4/5) y_4 + \\ frac (1) (5) $.
Nyní v horní rovnici systému $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 \u003d 1 $ nahradíme vyjádřený $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5)) + y_4 \u003d 1 $
Vyjadřujeme $ y_1 $ z hlediska bezplatných proměnných $ y_2 $ a $ y_4 $:
$ 2y_1 + 3y_2 - \\ frac (4) (5) y_4 - \\ frac (1) (5) + y_4 \u003d 1 $
$ 2y_1 \u003d 1 - 3y_2 + \\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5) - y_4 $
$ 2y_1 \u003d -3y_2 - \\ frac (1) (5) y_4 + \\ frac (6) (5) $
$ y_1 \u003d -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $
Řešení je připraveno.
Příklad 1
Vyřešte slough Gaussovou metodou. Příklady. Příklad řešení soustavy lineárních rovnic daný maticí 3 po 3 pomocí Gaussovy metody
$ \\ begin (cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 \u003d 2 \\\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 \u003d 0 \\ end (cases) $
Napíšme náš systém ve formě rozšířené matice:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
Nyní, pro pohodlí a praktičnost, musíte transformovat matici tak, aby $ 1 $ byla v horním rohu extrémního sloupce.
Chcete-li to provést, přidejte řádek od středu, vynásobený $ -1 $ na 1. řádek a napište střední řádek tak, jak je, ukáže se:
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 0 & -3 \\\\ \\ end (array) $
Vynásobte horní a poslední řádky o $ -1 $ a také zaměňte poslední a střední řádky:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ \\ end (array) $
A vydělte poslední řádek 3 $:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Dostáváme následující systém rovnic, který je ekvivalentní původnímu:
$ \\ begin (cases) x_1 + x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ x_2 \u003d 3 \\\\ x_3 \u003d 1 \\ end (cases) $
Z horní rovnice vyjadřujeme $ x_1 $:
$ x1 \u003d 1 + x_3 - x_2 \u003d 1 + 1 - 3 \u003d -1 $.
Příklad 2
Příklad řešení systému definovaného pomocí matice 4: 4 Gaussovou metodou
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ end (pole) $.
Na začátku změníme místa horních výzkumných linií za ní, abychom v levém horním rohu dostali $ 1 $:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ end (pole) $.
Nyní vynásobte horní řádek $ -2 $ a přidejte do druhého a třetího. Do 4. přidáme 1. řádek vynásobený $ -3 $:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\\\ \\ end (pole) $
Nyní do řádku 3 přidáme řádek 2 vynásobený 4 $ $ a do řádku 4 přidáme řádek 2 vynásobený $ -1 $.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\\\ \\ end (pole) $
Vynásobíme řádek 2 $ -1 $ a rozdělíme řádek 4 $ 3 $ a nahradíme řádek 3.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ \\ end (pole) $
Nyní přidejte na poslední řádek předposlední vynásobený $ -5 $.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ \\ end (pole) $
Výsledný systém rovnic řešíme:
$ \\ begin (case) m \u003d 0 \\\\ g \u003d 2 \\\\ y + m \u003d 2 \\ \\ x + 3y + 2g + m \u003d 11 \\ end (cases) $
Nechť je dán systém, ∆ ≠ 0. (1)Gaussova metoda Je to metoda postupného odstraňování neznámých.
Podstata Gaussovy metody spočívá v transformaci (1) na systém s trojúhelníkovou maticí, ze kterého se postupně získávají hodnoty všech neznámých (obráceně). Podívejme se na jedno z výpočetních schémat. Toto schéma se nazývá schéma s jediným dělením. Pojďme se tedy podívat na tento okruh. Nechť 11 ≠ 0 (pivot) dělí první rovnici 11. Dostaneme
(2)
Pomocí rovnice (2) je snadné vyloučit neznámé x 1 ze zbytku rovnic systému (k tomu stačí odečíst rovnici (2) od každé rovnice, dříve vynásobené odpovídajícím koeficientem v x 1), to znamená, že v prvním kroku dostaneme
.
Jinými slovy, v kroku 1 je každý prvek z následujících řádků, počínaje druhým, roven rozdílu mezi původním prvkem a součinem jeho „projekce“ do prvního sloupce a prvního (transformovaného) řádku.
Poté, ponecháme-li první rovnici samotnou, přes zbývající rovnice systému získané v prvním kroku provedeme podobnou transformaci: z jejich počtu vybereme rovnici s otočným prvkem a vyloučíme ji ze zbývajících rovnic x 2 (krok 2).
Po n krocích namísto (1) získáme ekvivalentní systém 
(3)
V první fázi tedy získáme trojúhelníkový systém (3). Tato fáze se nazývá dopředný chod.
Ve druhé etapě (obráceně) najdeme postupně z (3) hodnoty x n, x n -1, ..., x 1.
Označme výsledné řešení jako x 0. Pak rozdíl ε \u003d b-A x 0 nazval zbytek.
Pokud ε \u003d 0, pak nalezené řešení x 0 je správné.
Gaussovy výpočty se provádějí ve dvou fázích:
- První fáze se nazývá přímý tok metody. V první fázi je původní systém převeden na trojúhelníkový tvar.
- Druhá fáze se nazývá obráceně. Ve druhé fázi je vyřešen trojúhelníkový systém, který je ekvivalentní původnímu.
V každém kroku se předpokládalo, že čep je nenulový. Pokud tomu tak není, lze jako vůdce použít jakýkoli jiný prvek, jako by přeuspořádání rovnic systému.
Účel gaussovské metody
Gaussova metoda je navržena k řešení systémů lineárních rovnic. Odkazuje na přímé metody řešení.Druhy Gaussovy metody
- Klasická Gaussova metoda;
- Modifikace Gaussovy metody. Jednou z úprav Gaussovy metody je obvod s výběrem hlavního prvku. Znakem Gaussovy metody s výběrem otočného prvku je taková permutace rovnic, takže v k-tém kroku je vedoucí prvek největším prvkem v k-tém sloupci v absolutní hodnotě.
- Jordano-Gaussova metoda;
Pojďme ilustrovat rozdíl metoda Jordano-Gauss z Gaussovy metody pomocí příkladů.
Příklad gaussovského řešení
Řekněme systém: 
Pro usnadnění výpočtů si vyměníme řádky: 
Vynásobte 2. řádek (2). Přidejte třetí řádek na druhý 
Vynásobte 2. řádek (-1). Přidejte druhý řádek k prvnímu 
Z 1. řádku vyjadřujeme x 3:
Z 2. řádku vyjadřujeme x 2:
Ze 3. řádku vyjadřujeme x 1: 
Příklad řešení metodou Jordano-Gauss
Stejnou SLAE vyřešíme metodou Jordan-Gauss. 
Postupně vybereme rozlišovací prvek RE, který leží na hlavní diagonále matice.
Rozlišovacím prvkem je (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - rozlišovací prvek (1), A a B - maticové prvky tvořící obdélník s STE a RE prvky.
Představme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Přípustným prvkem je (3).
Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1 a do samotného sloupce píšeme nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně prvků sloupce B, jsou určeny pravoúhelníkem.
Chcete-li to provést, vyberte čtyři čísla, která jsou umístěna ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují rozlišovací prvek RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Rozlišovacím prvkem je (-4).
Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1 a do samotného sloupce píšeme nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně prvků sloupce B, jsou určeny pravoúhelníkem.
Chcete-li to provést, vyberte čtyři čísla, která jsou umístěna ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují rozlišovací prvek RE.
Představme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Odpovědět: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1
Implementace Gaussovy metody
Metoda Gauss je implementována v mnoha programovacích jazycích, zejména: Pascal, C ++, php, Delphi a existuje také online implementace Gaussovy metody.Použití Gaussovy metody
Aplikace Gaussovy metody v teorii her
V teorii her je při nalezení maximální optimální strategie hráče vypracován systém rovnic, který je řešen Gaussovou metodou.Aplikace Gaussovy metody k řešení diferenciálních rovnic
Chcete-li hledat konkrétní řešení diferenciální rovnice, nejprve najděte deriváty odpovídajícího stupně pro psané konkrétní řešení (y \u003d f (A, B, C, D)), které jsou nahrazeny původní rovnicí. Dále k nalezení proměnných A, B, C, D je sestaven systém rovnic, který je řešen Gaussovou metodou.Aplikace metody Jordan-Gauss v lineárním programování
V lineárním programování, zejména v simplexní metodě, se pro transformaci simplexní tabulky při každé iteraci používá pravoúhelníkové pravidlo, které používá Jordan-Gaussovu metodu.1. Systém lineárních algebraických rovnic
1.1 Koncept soustavy lineárních algebraických rovnic
Systém rovnic je podmínka spočívající ve současném provedení několika rovnic v několika proměnných. Systém lineárních algebraických rovnic (dále jen - SLAE) obsahující m rovnice a n neznámé je systém ve tvaru:
kde čísla a ij se nazývají koeficienty systému, čísla b i jsou volné výrazy, ij a b i (i \u003d 1,…, m; b \u003d 1,…, n) jsou některá známá čísla a x 1, ..., x n - neznámé. Při určování koeficientů ij první index i označuje číslo rovnice a druhý j - počet neznámých, ve kterých tento koeficient stojí. Nalezení čísla x n. Je vhodné napsat takový systém v kompaktní maticové formě: AX \u003d B. Zde A je matice koeficientů systému, nazývaná hlavní matice;
Je sloupcový vektor neznámých xj. Je sloupcový vektor volných termínů bi.
Je definován součin matic A * X, protože v matici A je tolik sloupců, kolik je v matici X řádků (n kusů).
Rozšířená matice systému je matice A systému doplněná sloupcem volných výrazů
1.2 Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic
Řešením soustavy rovnic je uspořádaná množina čísel (hodnot proměnných), pokud jsou nahrazeny namísto proměnných, z každé rovnice systému se stává skutečná rovnost.
Řešení systému se nazývá n hodnot neznámých х1 \u003d c1, x2 \u003d c2,…, xn \u003d cn, když se nahrazují, které všechny rovnice systému proměňují v skutečné rovnosti. Jakékoli řešení systému lze napsat ve formě sloupcové matice
Systém rovnic se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení, a nekompatibilní, pokud nemá žádné řešení.
Společný systém se nazývá definitivní, pokud má jediné řešení, a neurčitý, pokud má více než jedno řešení. V druhém případě se každé z jeho řešení nazývá zvláštní řešení systému. Soubor všech konkrétních řešení se nazývá obecné řešení.
Řešením systému je zjistit, zda je nebo není kompatibilní. Pokud je systém kompatibilní, najděte jeho obecné řešení.
Dva systémy se nazývají ekvivalentní (ekvivalentní), pokud mají stejné obecné řešení. Jinými slovy, systémy jsou rovnocenné, pokud každé řešení jednoho z nich je řešením druhého a naopak.
Transformace, jejíž aplikace mění systém na nový systém ekvivalentní původnímu, se nazývá ekvivalentní nebo ekvivalentní transformace. Příklady ekvivalentních transformací jsou následující transformace: permutace dvou rovnic systému, permutace dvou neznámých spolu s koeficienty všech rovnic, násobení obou částí libovolné rovnice systému nenulovým číslem.
Systém lineárních rovnic se nazývá homogenní, pokud jsou všechny volné členy rovny nule:
Homogenní systém je vždy kompatibilní, protože x1 \u003d x2 \u003d x3 \u003d… \u003d xn \u003d 0 je řešením systému. Toto řešení se nazývá null nebo triviální.
2. Gaussova eliminační metoda
2.1 Podstata gaussovské eliminační metody
Klasická metoda řešení systémů lineárních algebraických rovnic je metoda postupného odstraňování neznámých - gaussova metoda (nazývaná také Gaussova eliminační metoda). Jedná se o metodu postupného odstraňování proměnných, když se pomocí elementárních transformací systém rovnic zredukuje na ekvivalentní systém stupňové (nebo trojúhelníkové) formy, ze které se všechny ostatní proměnné nacházejí postupně, počínaje posledními (číslovými) proměnnými.
Gaussovský proces řešení se skládá ze dvou fází: vpřed a vzad.
1. Přímý kurz.
V první fázi se provádí takzvaný přímý pohyb, když se pomocí elementárních transformací přes linie uvede systém do stupňovitého nebo trojúhelníkového tvaru nebo se zjistí, že systém není kompatibilní. Konkrétně mezi prvky prvního sloupce matice vyberte nenulovou, přesuňte ji do nejvyšší polohy permutací řádků a odečtěte první řádek získaný po permutaci od zbývajících řádků vynásobením hodnotou rovnající se poměru prvního prvku každého z těchto řádků k prvnímu prvku první řady, vynulování tedy sloupec pod ním.
Po provedení uvedených transformací jsou první řádek a první sloupec mentálně přeškrtnuty a pokračuje, dokud není matice nulové velikosti. Pokud v některých iteracích mezi prvky prvního sloupce nenulové není nalezeno, přejděte do následujícího sloupce a proveďte podobnou operaci.
V první fázi (přímý pohyb) je systém redukován na stupňovou (zejména trojúhelníkovou) formu.
Níže uvedený systém je stupňovitý:
,
Koeficienty aii se nazývají hlavní (vedoucí) prvky systému.
(pokud a11 \u003d 0, uspořádáme řádky matice tak, aby a 11 nebylo rovno 0. To je vždy možné, protože jinak matice obsahuje nulový sloupec, jeho determinant je nula a systém je nekonzistentní).Transformujeme systém odstraněním neznámého x1 ve všech rovnicích kromě první (pomocí elementárních transformací systému). Chcete-li to provést, vynásobte obě strany první rovnice
a přidat termín po čase do druhé rovnice systému (nebo od druhé rovnice odečteme první člen vynásobený). Pak vynásobíme obě strany první rovnice a přidáme je do třetí rovnice systému (nebo od třetí odečteme první násobenou). Proto první řádek postupně vynásobíme číslem a přidáme ho i th line, for i \u003d 2, 3, …, n.Pokračováním tohoto procesu získáme rovnocenný systém:
- nové hodnoty koeficientů pro neznámé a volné výrazy v posledních m-1 rovnicích systému, které jsou určeny vzorci: V prvním kroku tedy všechny koeficienty pod prvním otočným prvkem a 11
0, ve druhém kroku jsou zničeny prvky, které leží pod druhým otočným prvkem a 22 (1) (pokud je 22 (1) 0) atd. Pokračováním tohoto procesu dále, konečně v kroku (m-1) redukujeme původní systém na trojúhelníkový systém.Pokud se v procesu redukce systému na postupnou formu objevují nulové rovnice, tj. rovnice tvaru 0 \u003d 0, jsou vyřazeny. Pokud se objeví rovnice formuláře
pak to znamená nekompatibilitu systému. Zde končí přímý průběh Gaussovy metody.
2. Reverzní.
Ve druhé fázi se provádí tzv. Reverzní pohyb, jehož podstatou je vyjádřit všechny výsledné základní proměnné v termínech jiných než základních a zkonstruovat základní systém řešení, nebo, pokud jsou všechny proměnné základní, pak vyjádřit v numerické podobě jediné řešení systému lineárních rovnic.
Tato procedura začíná poslední rovnicí, ze které je vyjádřena odpovídající základní proměnná (v ní je pouze jedna) a nahrazena do předchozích rovnic, atd., Nahoru „kroky“.
Každá řádka odpovídá přesně jedné základní proměnné, proto v každém kroku, s výjimkou posledního (nejvyššího), situace přesně opakuje případ posledního řádku.
Poznámka: v praxi je vhodnější pracovat ne se systémem, ale s jeho rozšířenou maticí, provádějící všechny elementární transformace na svých řadách. Je vhodné, aby koeficient a11 byl roven 1 (přeskupení rovnic nebo dělení obou stran rovnice a11).
2.2 Příklady řešení SLAE pomocí Gaussovy metody
V této části, pomocí tří různých příkladů, ukážeme, jak lze SLAE vyřešit pomocí Gaussovy metody.
Příklad 1. Vyřešte SLAE 3. řádu.
Vynulujme koeficienty na
ve druhém a třetím řádku. Chcete-li to provést, vynásobte je 2/3 a 1, respektive a přidejte je do prvního řádku: