Přibližné metody řešení diferenciálních rovnic. Metody
Zvažte Cauchyho problém (5.2), (5.6) pro diferenciální rovnice prvního řádu: najděte řešení rovnice y "\u003d f (x, y) splňující podmínku y (x 0) \u003d y 0. Nechť y (x) je řešením Cauchyho problému. Dosazením tohoto řešení do rovnice (5.2) získáme identitu y "(x) ≡ f (x, y (x)). Integraci této identity přes x získáme
nebo, který je stejný,
. (5.15)
Ukázali jsme tedy, že jakékoli řešení Cauchyho úlohy (5.2), (5.6) je řešením integrální rovnice (5.15). Na druhou stranu, pokud y (x) je řešením integrální rovnice (5.15), pak diferenciací (5.15) s ohledem na x získáme, že y (x) je řešením Cauchyho úlohy (5.2), (5.6).
Řešení integrální rovnice (5.15) bude hledáno pomocí metody postupných aproximací. Vložili jsme
y 0 (x) \u003d y 0, 
. (5.16)
Pokud je provozovatel
- (5.17)
kontrakce, potom postupné aproximace (5.16) konvergují k řešení integrální rovnice (5.15) a následně diferenciální rovnice y "\u003d f (x, y), splňující podmínku y (x 0) \u003d y 0. Zájemci se mohou seznámit s důkazem stlačitelnosti operátor (5,17) v.
Příklad č. 1. Metodou postupných aproximací najdeme řešení rovnice y "\u003d y splňující podmínku y (0) \u003d 1. Dosazením y (0) \u003d 1 v (5.16) získáme
y 0 \u003d 1, 
…,
Na druhou stranu, při řešení původního Cauchyova problému máme y \u003d e x.
Získali jsme tedy expanzi funkce e x v Taylorově řadě na nule (Maclaurinova řada).
Nyní se zaměříme na představení Eulerovy numerické metody pro řešení Cauchyova problému (5.2), (5.6). Segment, na kterém hledáme řešení, rozdělíme na části x 0 \u003d a 
v rovnici (5.2) získáme 
, nebo, který je stejný,
y i +1 \u003d y i + h f (x i, y i), (5,17)
Vztah (5.17) je výpočetní vzorec Eulerovy metody pro numerické řešení Cauchyho úlohy (5.2), (5.6). Výpočet yi, i \u003d 0,1, .., n, získáme tabulku hodnot řešení v bodech xi, i \u003d 0,1, .., n Abychom odhadli chybu v jednom kroku mřížky v Eulerově metodě, rozšíříme přesné řešení y (x) o vzorec Taylor v sousedství bodu xi k podmínkám druhého řádu maličkosti
y (x i +1) \u003d y (x i + h) \u003d y (x i) + y "(x i) h + o (h 2) \u003d y i + hf (x i, y i) + o (h 2).
Ve srovnání s (5.17) vidíme, že chyba vzorce (5.17) se rovná o (h 2). Bohužel Eulerova metoda hromadí chyby krok za krokem. V praxi proto používají buď úpravy Eulerovy metody, například metody předpovědi a korekce, nebo jiné metody, zejména metodu Runge-Kutta.
Třída rovnic, pro kterou lze získat přesné řešení, tj. Analytická funkce, která splňuje danou diferenciální rovnici a všechny další podmínky (Cauchyho problém), je velmi úzká. Diferenciální rovnice jsou nejčastěji řešeny přibližně. S jednou z metod - iterativní - jsme se setkali při dokazování věty o existenci a jedinečnosti.
1. Aproximace řešení pomocí výkonové řady... Představte si, že musíme vyřešit Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici th řádu s počáteční podmínkou. Pokud funkce na pravé straně rovnice expanduje do řady ve všech jejích proměnných, je vhodné hledat řešení diferenciální rovnice v sousedství bodu v podobě Taylorovy řady v mocninách. Představme řešení ve formě. Z počátečních podmínek a vlastností koeficientů Taylorovy řady vyplývá, že jsou známy všechny expanzní koeficienty až po nás:
zbytek není znám - koeficienty jsou označeny písmeny a jsou určeny porovnáním koeficientů ve stejných stupních na obou stranách diferenciální rovnice.
PRI mě r. Vyřešte následující Cauchyho problém :, 
.
Budeme hledat řešení v podobě výkonové řady. Podle původních podmínek. Pojďme do rovnice dosadit alespoň první členy řady:
Znásobme faktory zahrnuté na pravé straně:
A teď porovnejme volné termíny (jsou stejné) a koeficienty v, v a v :. Odtud 
.
Mohli bychom dále porovnat koeficienty stupňů v rovnici a získat hodnoty pro další koeficienty. Kromě toho použití programů MAXIMA tento proces zjednodušuje. V tomto případě jsme obdrželi řešení v podobě série, jejíž první pojmy jsou známé :.
Cauchyho problém pro soustavu rovnic lze vyřešit podobným způsobem.
2. Eulerova metoda a její modifikace... Pojďme se seznámit s Eulerovou metodou pro numerické řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnici prvního řádu. Předpokládejme, že musíme vyřešit problém na segmentu. Rozdělte segment na stejné části. Vyměňte na každém segmentu, 
, řešení diferenciální rovnice lineární funkcí. V tomto případě máme uzlové hodnoty řešení:
Zde rovníme poměr přírůstků funkce a argument derivace v bodě odpovídajícímu začátku segmentu oddílu:
.
Je zřejmé, že tato aproximace je méně přesná, čím dál se vzdalujeme od bodu. Eulerova metoda je nejprimitivnější. Zde je integrální křivka nahrazena křivkou skládající se z přímkových segmentů. Některé úpravy jsou možné, což mírně zvyšuje přesnost. Například pokud vezmeme konstantní hodnoty ve formuláři
Nejběžnější numerickou metodou řešení uvedené Cauchyho úlohy je metoda Runge-Kutta.Při řešení diferenciální rovnice touto metodou je integrální křivka nahrazena přerušovanou čarou skládající se z kousků paraboly. Metoda Runge-Kutta je zabudována do softwarového balíčku MAXIMA.
Například chceme vyřešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou. V tomto případě nastavíme segment, na kterém chceme získat numerické řešení, a krok dělení tohoto segmentu rovný 0,05. Musíme zadat příkaz
zatížení (dynamika); rk (y ^ 2 + x, y, 0,3,);
Poté, co stiskneme klávesy Shift + Enter, získáme data
[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,].
To znamená, že jsme dostali uzlové hodnoty řešení: y(0.05)= 0.30583128660202,…, y(0.4)= 0.42905553899765,…..
Přibližné řešení diferenciální rovnice vyšších řádů se redukují na řešení soustav rovnic prvního řádu. Například musíte vyřešit diferenciální rovnici 
na segmentu s krokem 0,1 při počátečních podmínkách 
... Představme si novou funkci. Nyní bude rovnice zapsána jako systém 
s počátečními podmínkami 
.
Chcete-li získat řešení metodou Runge-Kutta, zadejte příkaz zatížení (dynamika); rk (,,,).
Získáme hodnoty v uzlech:
[,,,,,,,,,,,,,,,,[
1.6,0.55276102463945,-9.157645341403534],,
To znamená, že například y (0,5) \u003d 1,227625229955781,
z (0,5) \u003d 0,80905909503231.
3. Grafická metoda... Tuto metodu lze použít k řešení diferenciálních rovnic prvního řádu formy. Pokud potřebujeme vykreslit integrální křivky, které jsou grafy řešení redukované rovnice, v nějaké části roviny přiřadíme každému bodu této oblasti hodnotu, která se shoduje s tangensem úhlu sklonu tangenty k integrální křivce procházející bodem. Známe bod a směr pohybu podél křivky z tohoto bodu, přejdeme do blízkého bodu, ve kterém určíme také směr pohybu,…. Pohybem z bodu do bodu vytvoříme odpovídající integrální křivku, tj. Vyřešíme Cauchyho problém.
Samotná konstrukce řešení pomocí této metody by byla bez použití výpočetní techniky velmi obtížná. MAXIMA obsahuje program pro vytváření grafických řešení. Pokud zavedeme zatížení (plotdf); plotdf (f (x, y) ,,), na obrazovce se objeví obdélník, v jehož bodech jsou naznačeny směry tečen k integrálním křivkám procházejícími těmito body. Pokud kliknete na vybraný bod v rovině, počítač nakreslí integrální křivku procházející odpovídajícím bodem.
Například chceme vykreslit integrální křivku rovnice 
umístěný v obdélníku 
a procházející bodem (11.2).
Pojďme se představit zatížení (plotdf); plotdf ((5-x ^ 2) / (2 * x * y-y ^ 2) ,,); a stiskněte Shift + Enter. Získáme vybraný obdélník se směry od bodů obdélníku. Nyní klikněte na bod (11,2) a nakreslí se odpovídající integrální křivka.
Obyčejné diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují jednu nebo více derivací požadované funkce y \u003d y (x)
F (x, y, y 1,…, y (n)) \u003d 0, kde x je nezávislá proměnná.
Řešení diferenciální rovnice je funkce, která ji po dosazení do rovnice promění v triumf.
Některé metody řešení jsou známé z průběhu diferenciálních rovnic. Pro řadu rovnic prvního řádu (s oddělitelnými proměnnými, homogenní, lineární atd.) Je možné získat řešení ve formě vzorců analytickými transformacemi.
Ve většině případů se k řešení diferenciálních rovnic používají přibližné metody, které lze rozdělit do dvou skupin:
1) analytické metody, které dávají řešení ve formě analytického vyjádření;
2) numerické metody poskytující přibližné řešení ve formě tabulky.
Zvažme uvedené metody ve formě následujících příkladů.
8.1 Metoda postupné diferenciace.
Zvažte rovnici:
s počátečními podmínkami, kde 
- daná čísla.
Předpokládejme, že požadované řešení y \u003d f (x) lze vyřešit v Taylorově řadě v mocninách rozdílu (x-x 0):
2 
n +….
Počáteční podmínky (8.2) nám dají hodnoty y (k) (x 0) při k \u003d 0,1,2, ..., (n-1). Hodnoty y (n) (x 0) se nacházejí z rovnice (8.1), dosazením (x-x 0) a použitím počátečních podmínek (8.2):
y (n) (x 0) \u003d f (x 0, y 0, y "0, ..., y 0 (n-1))
Hodnoty y (n + 1) (x 0), y (n + 2) (x 0) ... se postupně určují diferenciací rovnice (8.1) a dosazením x \u003d x 0, y (k) (x 0) \u003d y 0k (k - 0,1,2).
PŘÍKLAD: Najděte prvních sedm členů rozšíření výkonové řady řešení y \u003d y (x) rovnice y "" +0,1 (y ") 2 + (1 + 0,1x) y \u003d 0 s počátečními podmínkami y (0) \u003d 1; y "(0) \u003d 2.
ROZHODNUTÍ: Hledáme řešení rovnice v podobě řady:
y (x) \u003d y (0) + y "(0) x / 1! + y" "(0) x 2 / 2!+...+y (n) (0) x n / n! ...
Z počátečních podmínek máme y (0) \u003d 1, y "(0) \u003d 2. Abychom určili y" "(0), vyřešíme tuto rovnici pro y" ":
y "" (0) \u003d - 0,1 (y ") 2 - (1 + 0,1x) y (8,3)
Za použití počátečních podmínek získáme
y "" (0) \u003d –0,1 * 4 - 1 * 1 \u003d -1,4
Diferenciace vzhledem k x levé a pravé strany rovnice (8.3)
y "" "\u003d - 0,2 y" y "" - 0,1 (xy "+ y) - y",
y (4) \u003d - 0,2 (y "y" "" + y "" 2) - 0,1 (xy "" + 2y ") - y" ",
y (5) \u003d - 0,2 (y "y (4) + 3y" "y" "") - 0,1 (xy "" "+ 3y" ") - y" "",
y (6) \u003d - 0,2 (y "y (5) + 4y" "y (4) + 3y" "" 2) - 0,1 (xy (4) + 4y "" "- y (4) )
Dosazením počátečních podmínek a hodnoty y "" (0) najdeme y "" "(0) \u003d - 1,54;
y (4) (0) \u003d - 1,224; y (5) (0) \u003d 0,1768; y (6) (0) \u003d - 0,7308. Požadované přibližné řešení tedy bude zapsáno ve tvaru: y (x) ≈ 1 + 2x - 0,7x 2 - 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 - 0,00101x 6.
8.2 Eulerova metoda
Nejjednodušší z numerických metod řešení diferenciálních rovnic je Eulerova metoda, která je založena na nahrazení požadované funkce polynomem prvního stupně, tj. lineární extrapolace. Jde o nalezení hodnot funkce v sousedních bodech argumentu x, nikoli mezi nimi.
Vyberme krok h malý, takže pro všechna x mezi x 0 a x 1 \u003d x 0 + h se hodnota funkce y mírně liší od lineární funkce. Pak v uvedeném intervalu y \u003d y 0 + (x - x 0) y "\u003d y 0 + (x -
Pokračujeme v určování hodnot funkce stejným způsobem a ujistíme se, že Eulerova metoda je reprezentována jako postupné provádění vzorců:
∆y k \u003d y "k h
y k + 1 \u003d y k + ∆y k
PŘÍKLAD
Řešíme Eulerovou metodou rovnice y "\u003d x - y s počáteční podmínkou x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 0 na segmentu s krokem h \u003d 0,1.
Výpočty jsou uvedeny v tabulce.
První řádek ve sloupcích 1 a 2 je vyplněn počátečními údaji. Pak se y "vypočítá podle dané rovnice (ve sloupci 4), pak ∆y \u003d y" h - ve sloupci (4).
Sloupec (5) obsahuje tabulku hodnot přesného řešení dané rovnice.
|
|
Tabulka ukazuje, že pro x \u003d 1 je relativní chyba Eulerovy metody δ \u003d 0,37 - 0,35 / 0,37 * 100% ≈ 5,4% |
RAFINOVANÁ METODA EULERA
Se stejným množstvím výpočetní práce poskytuje vyšší přesnost.
Dříve jsme považovali integrand za konstantní rovný jeho hodnotě f (x k, y k) na levém konci segmentu. Přesnější hodnota se získá, když předpokládáme, že f (x, y (x)) se rovná hodnotě ve středu grafu. Chcete-li to provést, vezměte dvojitou část (x k-1, x k + 1) a nahraďte vzorec
y k + 1 \u003d y k + ∆y k on y k + 1 \u003d y k-1 + 2hy "k (8,5)
Je to tento vzorec, který vyjadřuje rafinovanou Eulerovu metodu. Ale v tomto případě musíte dodržet následující posloupnost akcí:
|
|
PŘÍKLAD Pro srovnání zvažte stejnou rovnici y "\u003d x - y s počátečními podmínkami x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 0. Upřesněná metoda, jak je vidět z tabulky, poskytuje vyšší přesnost relativní chyby při x \u003d 1, y \u003d 0,370 a y 0,368. |
Nejprve zvážíme funkční metody řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic, jejichž aplikace dává řešení v podobě analyticky prezentované funkce.
Integrace diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad.
Zvažte tuto metodu obecně pro diferenciální rovnici řádu n
s počátečními podmínkami:
Předpokládejme, že pravá strana rovnice (1) je analytická funkce v počátečním bodě, to znamená, že v nějakém sousedství tohoto bodu expanduje do výkonové řady ve tvaru:
kde jsou nezáporná celá čísla a jsou některé konstantní koeficienty.
Pak je integrál Rovnice (1) odpovídající počátečním podmínkám (2) v bodě analytický a pomocí Taylorovy řady můžeme dát
První n + 1 koeficienty řady (3) jsou určeny přímo z počátečních podmínek (2) a diferenciální rovnice (1). Pro nalezení dalšího (n + 2) tého koeficientu diferencujeme rovnici (1) podle pravidla diferenciace komplexní funkce. V důsledku toho dostaneme
kde je to pro pohodlí přijato.
kde znaménko „0“ znamená, že hodnoty odpovídajících derivátů jsou převzaty v bodě (). Opakováním této techniky krok za krokem lze najít další deriváty,….
Příklad: Napište do rovnice několik výrazů rozšíření výkonové řady řešení
splnění počátečních podmínek; ...
Řešení: Předpokládáme
Z rovnice (4) získáme
Odtud. Diferenciaci postupně Rovnice (5), budeme mít
Z těchto rovností vyplývá, že
Proto,
Není těžké napsat běžný termín série.
Metoda rozšiřování řešení diferenciální rovnice v výkonových řadách se často používá jako prvek praktičtějších metod pro přibližnou integraci diferenciálních rovnic. Zejména u některých numerických metod pro integraci diferenciálních rovnic je nutné určit hodnotu hledaných funkcí v několika bodech. Tyto hodnoty, s výhradou známých podmínek hladkosti pro tuto rovnici, lze vypočítat s jakýmkoli stupněm přesnosti pomocí výkonových řad.
Picardova metoda (postupné aproximace).
Tato metoda umožňuje získat přibližné řešení diferenciální rovnice ve formě analyticky prezentované funkce. Picardova metoda vznikla v souvislosti s důkazem věty o existenci a jedinečnosti řešení rovnice a je ve skutečnosti jednou z aplikací principu kontrakčních mapování.
Předpokládejme, že za podmínek věty o existenci je nutné najít řešení rovnice s počáteční podmínkou. Integrujeme obě strany rovnice od do:
Je zřejmé, že řešení této integrální rovnice uspokojí diferenciální rovnici a počáteční podmínku. Opravdu, když dostaneme:
Integrovaná rovnice (1) zároveň umožňuje použít metodu postupných aproximací. Položme a získáme z (1) první aproximaci:
Integrál vpravo obsahuje pouze proměnnou; po nalezení tohoto integrálu bude získán analytický výraz pro aproximaci jako funkci proměnné. Nyní nahradíme y v rovnici (1) nalezenou hodnotou a získáme druhou aproximaci:
atd. Obecně platí, že iterační vzorec je:
(n \u003d 1, 2, ...). (2)
Cyklická aplikace tohoto vzorce dává posloupnost funkcí,…,….
Protože je funkce v oblasti spojitá, je v nějaké oblasti obsahující bod ohraničená, tj. ...
Použitím principu kontrakčních mapování na rovnici (2) za podmínek věty o existenci je snadné ukázat, že posloupnost (3) konverguje (máme na mysli konvergenci v metrice
v prostoru spojitých funkcí definovaných na segmentu tak, že). Jeho limitem je řešení integrální rovnice (2), a tedy diferenciální rovnice s počátečními podmínkami. To znamená, že k-tý člen posloupnosti (3) je aproximací přesného řešení rovnice s určitou mírou přesnosti.
Odhad chyby pro k-tou aproximaci je dán vzorcem:
kde je Lipschitzova konstanta, je horní mez pro modul funkce z nerovnosti (4) a hodnota pro určení sousedství se vypočítá podle vzorce
Geometricky po sobě jdoucí aproximace jsou křivky (n \u003d 1, 2,…) procházející společným bodem.
Příklad: Pomocí metody postupných aproximací najděte přibližné řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku.
Napíšeme pro tento případ vzorec formuláře (2):
Podobně:
Odhadněme chybu třetí aproximace. Chcete-li definovat oblast určenou jako
vezměme si například. V obdélníku je funkce definována a spojitá, navíc:
Podle vzorce (6) najdeme. Pomocí odhadovaného vzorce (5) získáme :.
Eulerova metoda.
Metoda Eulerovy křivky je založena na myšlence grafické konstrukce řešení diferenciální rovnice, ale tato metoda současně poskytuje způsob, jak najít požadovanou funkci v numerické (tabulkové) formě.
Nechť je uvedena rovnice s počáteční podmínkou. Po zvolení dostatečně malého kroku sestrojíme, počínaje bodem, systém ekvidistantních bodů (i \u003d 0, 1, 2, ...). Místo požadované integrální křivky na segmentu zvažte segment tečny k němu v bodě (označte jej) pomocí rovnice
Protože z tečné rovnice získáme :, odkud je vidět, že přírůstek hodnoty funkce v prvním kroku má tvar :.
Podobně nakreslením tečné čáry na nějakou integrální křivku rodiny v bodě získáme:
který dává
ty. se získá přidáním přírůstku
Získání tabulky hodnot požadované funkce Eulerovou metodou tedy spočívá v cyklickém použití dvojice vzorců:
K \u003d 0, 1, 2,….
Eulerova metoda má nízkou přesnost; navíc se každý nový krok obecně systematicky zvyšuje. Nejpraktičtější metodou pro posouzení přesnosti je v tomto případě metoda dvojitého počítání - s krokem h as krokem h / 2. Shoda desetinných míst ve výsledcích získaných dvěma způsoby dává přirozené důvody je považovat za správné.
Pokud je pravá strana rovnice spojitá, pak má posloupnost Eulerových polygonálních čar na dostatečně malém segmentu stejnoměrně sklon k požadované integrální křivce.
Příklad: Pomocí Eulerovy metody sestavte tabulku hodnot integrálu diferenciální rovnice na segmentu
splnění počáteční podmínky, výběr kroku h \u003d 0,1.
Výsledky výpočtu jsou uvedeny v tabulce. Pro srovnání obsahuje poslední sloupec hodnoty přesného řešení
|
Přesná hodnota |
|||||
|
|
|
|
Z výše uvedené tabulky je patrné, že absolutní chyba hodnoty je. Relativní chyba je tedy přibližně 3%.
Úpravy Eulerovy metody (Euler - Cauchyova metoda).
Existuje několik vylepšení Eulerovy metody, které zvyšují její přesnost. Úpravy metod jsou obvykle zaměřeny na přesnější určení směru přechodu z bodu do bodu.
Zvažte znovu diferenciální rovnici s počáteční podmínkou.
Volba kroku h, dát
(i \u003d 0, 1, 2, ...).
Podle Eulerovy metody se postupné hodnoty požadovaného řešení vypočítají pomocí přibližného vzorce
kde. Přesnější je vylepšená metoda křivky, ve které se nejprve počítají mezilehlé hodnoty
a najděte hodnotu směru pole integrálních křivek ve středu, tj.
a pak věř
Další modifikací Eulerovy metody je vylepšená metoda Euler - Cauchy, ve které je nejprve určena „hrubá aproximace“ řešení
na základě kterého je zjištěn směr pole integrálních křivek
Pak se to přibližně předpokládá
Geometricky to znamená, že určíme směr integrální křivky v počátečním bodě (xi, yi) a v pomocném bodě (xi + 1, y * i + 1) a jako konečný vezmeme průměr těchto směrů.
Příklad: Použití první a druhé vylepšené Eulerovy metody k integraci rovnice
na segmentu.
Udělejme krok h \u003d 0,2 a.
Přibližné hodnoty požadovaného řešení určené pomocí vylepšené metody křivky jsou uvedeny v tabulce 1.
Tabulka 2 ukazuje výsledky výpočtu integrálu vylepšenou metodou Euler - Cauchy a krok zůstává stejný h \u003d 0,2.
stůl 1
|
|
|
|
Pro srovnání uvádíme přesné řešení, odkud ...
tabulka 2
 |
|
|
|
|
|
Eulerova metoda a její modifikace jsou nejjednoduššími představiteli metod konečné diference (postupné metody) pro přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic formy (k \u003d 1, 2,…, n) pro dané počáteční podmínky (k \u003d 1, 2,…, n).
Při použití metody konečných rozdílů je požadované řešení yk \u003d yk (x) (k \u003d 1, 2, ..., n) postupně konstruováno na soustavě bodů (uzlů) xi \u003d x0 + ih (I \u003d 0, 1, 2, ...), kde h je vybraný krok. Proces výpočtu je rozdělen do monotónně se opakujících cyklů, z nichž každý poskytuje přechod z hodnoty yk (xi) na hodnotu yk (xi + 1), počínaje počátečním y (0) k. Proto je schéma výpočtu obecně řečeno snadno naprogramovatelné a pohodlné pro implementaci na počítači.
Metoda Runge-Kutta
Metoda Euler a metoda Euler-Cauchy patří do rodiny metod Runge-Kutta, které mají následující formu. Opravujeme některá čísla:
postupně počítáme:
k2 (h) \u003d hf (x + 2h, y + 21k1 (h)),
kq (h) \u003d hf (x + qh, y + q1k1 (h) +… + qq-1kq-1 (h))
a předpokládáme:
Zvažte otázku výběru parametrů i, pi, ij. Označujeme
(h) \u003d y (x + h) -z (h).
Budeme to předpokládat
(0) \u003d "(0) \u003d… \u003d (s) (0) \u003d 0
pro všechny funkce f (x, y) a (s + 1) (0) 0 pro některé funkce f (x, y). Podle Taylorova vzorce rovnost
kde 01. Hodnota (h) se nazývá chyba metody v kroku a s je pořadí chyby metody.
Pro q \u003d 1 budeme mít:
- (h) \u003d y (x + h) -y (x) -p1hf (x, y),
- (0)=0,
"(0) \u003d (y" (x + h) -p1f (x, y)) h \u003d 0 \u003d f (x, y) (1-p1),
„(H) \u003d y“ (x + h).
Je zřejmé, že rovnost „(0) \u003d 0 platí pro všechny funkce f (x, y) pouze za podmínky, že р1 \u003d 1. Je dobře vidět, že pro tuto hodnotu р1 ze vzorce (1) získáme vzorec
yk + 1 \u003d yk + yk, k \u003d 0, 1, 2, ...,
ty. v tomto případě dostaneme Eulerovu metodu. Pro chybu této metody v kroku podle (2) budeme mít:
Uvažujme tedy případ q \u003d 2
(h) \u003d y (x + h) -y (x) -p1hf (x, y) -p2hf (x *, y *),
x * \u003d x + 2h, y * \u003d y + 21hf (x, y).
Podle původní diferenciální rovnice
y \u003d f, y ”\u003d fx + fyf, y" "" \u003d fxx + 2fxyf + fyyf2 + fyy ". (3)
(Zde pro stručnost označujeme y a f y (x) a f (x, y).)
Výpočet derivací funkce (h) a dosazení hodnoty h \u003d 0 do výrazů pro (h), „(h) a“ (h) získáme (s ohledem na vztahy (3)):
„(0) \u003d (1-p1-p2) f,
”(0) \u003d (1-2p22) fx + (1-2p221) fyf.
Je jasně vidět, že požadavek
(0)="(0)=”(0)=0
bude platit pro všechna f (x, y) pouze v případě, že následující tři ekvity s ohledem na čtyři parametry jsou současně platné:
- 1-p1-p2 \u003d 0,
- 1-2p22 \u003d 0, (4)
- 1-2p221 \u003d 0.
Svévolné nastavení hodnoty jednoho z parametrů a stanovení hodnot zbytku ze systému (4) získáme různé metody Runge-Kutta s chybovým řádem s \u003d 2. Například pro р1 \u003d z (4) získáme: р2 \u003d, 2 \u003d 1, 21 \u003d 1. Pro tyto hodnoty parametrů má vzorec (1) tvar:
(Zde se místo y (x + h) píše yi + 1, yi - místo y (x) a y * i + 1 označuje výraz yi + hf (xi, yi).) V uvažovaném případě tedy dospějeme k výpočetní vzorce
y * i + 1 \u003d yi + hfi, f * i + 1 \u003d f (xi + 1, y * i + 1,
odpovídá metodě Euler-Cauchy. Z (2) vyplývá, že v tomto případě je hlavní část chyby v kroku, tj. úměrná třetímu stupni kroku h.
Ve výpočetní praxi se nejčastěji používá metoda Runge-Kutta s q \u003d 4 as \u003d 4.
Představíme bez odvození jednu z variant odpovídajících vzorců výpočtu:
k2 \u003d hf (x + h / 2, y + k1 / 2),
k3 \u003d hf (x + h / 2, y + k2 / 2), (5)
k4 \u003d hf (x + h, y + k3),
y \u003d z (h) -y (x) \u003d (k1 + 2k2 + 2k3 + k4).
Všimněte si, že v tomto případě je chyba kroku úměrná pátému výkonu kroku (h5). Z toho tedy zejména vyplývá, že pro dostatečně malé h a malé výpočetní chyby bude řešení rovnice y "\u003d f (x, y), získané metodou Runge-Kutta pomocí vzorců (5), blízké exaktnímu.
Efektivní odhad chyby metody Runge-Kutta je obtížný. Proto se k určení správnosti volby kroku h v praxi obvykle používá dvojitý přepočet v každé fázi dvou kroků. Konkrétně na základě aktuální správné hodnoty y (xi) se hodnota y (xi + 2h) počítá dvěma způsoby: jednou s krokem h a podruhé s dvojitým krokem H \u003d 2h. Pokud odchylka mezi získanými hodnotami nepřesahuje přípustnou chybu, pak je krok h pro tuto fázi zvolen správně a hodnotu získanou s jeho pomocí lze brát jako y (xi + 2h). Jinak je krok snížen na polovinu.
Tento druh výpočetního schématu lze snadno naprogramovat na počítač.
Geometrický význam použití metody Runge-Kutta s výpočtovými vzorci (5) je následující. Z bodů (xi, yi) se posunou ve směru definovaném úhlem 1, pro který tg1 \u003d f (xi, yi). V tomto směru je vybrán bod se souřadnicemi (xi +, yi +). Poté se z bodu (xi, yi) posunou ve směru definovaném úhlem 2, pro který
tg2 \u003d f (xi +, yi +),
a v tomto směru je vybrán bod se souřadnicemi (xi +, yi +). Nakonec se z bodu (xi, yi) posunou ve směru definovaném úhlem 3, pro který
a v tomto směru je vybrán bod se souřadnicemi (xi + h, yi + k3). Nastavuje další směr, definovaný úhlem 4, pro který tg4 \u003d f (xi + h, yi + k3). Získané čtyři směry se zprůměrují podle posledního vzorce (5). V tomto konečném směru je vybrán další bod (xi + 1, yi + 1) \u003d (xi + h, yi + y).
Pro výpočet pomocí vzorců (5) je vhodné použít schéma uvedené v tabulce 1.
Stůl 1.
Metoda Runge-Kutta má významnou přesnost a přes svou pracnost je široce používána v numerickém řešení diferenciálních rovnic pomocí počítače. Důležitou výhodou této metody je navíc možnost použití „variabilního kroku“.
Příklad: Pomocí metody Runge-Kutta vypočítáme integrál diferenciální rovnice y "\u003d x + y, y (0) \u003d 1 na segmentu, přičemž v kroku h \u003d 0,1.
Ukažme si začátek procesu. Výpočet y1. Důsledně máme:
k1 \u003d (0 + 1) 0,1 \u003d 0,1;
k2 \u003d 0,05 + (1 + 0,05) 0,1 \u003d 0,11;
k3 \u003d 0,05 + (1 + 0,055) 0,1 \u003d 0,1105;
k4 \u003d 0,1 + (1 + 0,1105) 0,1 \u003d 0,12105.
Proto y0 \u003d (0,1 + 20,11 + 20,1105 + 0,12105) \u003d 0,1103, a proto
diferenciální rovnice Picard Euler
y1 \u003d y0 + y0 \u003d 1 + 0,1103 \u003d 1,1103.
Další aproximace se počítají podobně. Výsledky výpočtu jsou uvedeny v tabulce 2.
Tedy y (0,5) \u003d 1,7974.
Pro srovnání je zde přesné řešení:
odkud y (0,5) \u003d 2e1 / 2-1,5 \u003d 1,79744 ...
tabulka 2
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
Jak najít konkrétní DE řešení přibližně pomocí řady?
Při dalším zkoumání praktických aplikací teorie řad zvažte další běžný problém, jehož název vidíte v názvu. A abychom se během lekce necítili jako sekačka na trávu, pojďme okamžitě pochopit podstatu úkolu. Tři otázky a tři odpovědi:
Co potřebujete najít? Zvláštní řešení diferenciální rovnice... Náznak mezi řádky šeptá, že v tuto chvíli je žádoucí alespoň pochopit, co to je diferenciální rovnice a jaké je jeho řešení.
JAK je toto řešení vyžadováno podmínkou? Přibližně - pomocí řady.
A třetí logická otázka: proč hrubě? Touto otázkou jsem se již zabýval v lekci Metody Euler a Runge-Kuttaopakování však nebude bolet. Být konkrétní, zpět k nejjednoduššímu diferenciální rovnice ... Během první přednášky o difúzích jsme našli její obecné řešení (množinu exponenciálů) a konkrétní řešení odpovídající počáteční podmínce. Funkční graf je nejběžnější čára, kterou lze na výkres snadno nakreslit.
Ale to je základní případ. V praxi existuje celá řada diferenciálních rovnic, které nelze analyticky přesně vyřešit (alespoň dnes známými metodami). Jinými slovy, bez ohledu na to, jak člověk otočí takovou rovnici, nebude možné ji integrovat. A háček je v tom může existovat obecné řešení (rodina přímek v rovině)... A pak přijdou na pomoc metody výpočetní matematiky.
Potkáváme naši radost!
Typický úkol je formulován takto:
… splnění počáteční podmínky ve formě tří (méně často - čtyři až pět) nenulové členy taylor série.
Požadované konkrétní řešení se rozloží na tuto řadu podle známého vzorce:
Jediná věc, místo písmene „ff“, je použit „igrek“ (jak se to stalo).
Myšlenka a význam jsou také známé: pro některé difúze a za určitých podmínek (nebudeme se zabývat teorií) konstruovány výkonové řady budou konvergovat na požadované konkrétní řešení. To znamená, že čím více členů řady považujeme, tím přesněji graf příslušného polynomu přiblíží graf funkce.
Je třeba poznamenat, že výše uvedené platí také pro nejjednodušší případy. Provedeme jednoduchý dětský výzkum na stejném hrnci:
Příklad 1
Najděte přibližné dílčí řešení diferenciální rovnice splňující počáteční podmínku ve formě prvních čtyř nenulových členů Taylorovy řady.
Rozhodnutí: za podmínek tohoto problému se tedy obecný Taylorův vzorec transformuje na speciální případ rozšíření řady Maclaurin:
Běh trochu vpřed, řeknu, že tato kompaktnější řada je mnohem častější v praktických úkolech.
Zaznamenejte do pracovní příručky oba pracovní vzorce.
Pojďme se zabývat hodnotami. Je vhodné očíslovat kroky řešení:
0) V nulovém kroku zapište hodnotu, která je vždy známa z podmínky. Konečné výsledky bodů v notebooku je vhodné zakroužkovat tak, aby byly jasně viditelné a neztratily se v řešení. Z technických důvodů je pro mě pohodlnější je zvýraznit tučně. Kromě, všimněte si, že tato hodnota není nula! Koneckonců, podmínka vyžaduje nalezení čtyř nenulové členové řady.
1) Vypočítat. Za tímto účelem místo „hry“ dosadíme známou hodnotu na pravou stranu původní rovnice:
2) Pojďme vypočítat. Nejprve jsme našli druhá derivace:
Nahradíme hodnotu nalezenou v předchozím odstavci na pravé straně:
Již máme k dispozici tři nenulové podmínky rozšíření, potřebujeme ještě jednu:
Příklad 2
Najděte přibližné konkrétní řešení diferenciální rovnice 
splnění počáteční podmínky v podobě prvních tří nenulových podmínek Taylorovy řady.
Rozhodnutí začíná standardní frází:
V tomto problému tedy:
Nyní postupně nacházíme hodnoty - do tří nenulový výsledek. Pokud budete mít štěstí, budou nenulové 
Je to ideální případ s minimálním množstvím práce.
Řezali jsme rozhodovací body:
0) Podle stavu. Tady je první úspěch.
1) Vypočítat. Nejprve vyřešíme původní rovnici s ohledem na první derivaci, tj. Vyjádříme ji 
... Pojďme nahradit známé hodnoty na pravé straně:
Volant je přijímán a to není dobré, protože nás to zajímá nenulovýhodnoty. Nicméně nula - také výsledek, které nezapomínáme ani jinak kruhovat nebo zvýrazňovat.
2) Najděte druhou derivaci a dosaďte známé hodnoty na pravou stranu:
Druhá není nula.
3) Najít - derivace druhé derivace:
Obecně tento úkol poněkud připomíná Příběh tuřínu, když dědeček, babička a vnučka přivolávají na pomoc brouka, kočku atd. Ve skutečnosti je každý následující derivát vyjádřen prostřednictvím svých „předchůdců“.
Pojďme nahradit známé hodnoty na pravé straně:
Třetí nenulová hodnota. Vytáhl tuřín.
V našem vzorci pečlivě a opatrně nahrazujeme „tučná“ čísla: 
Odpovědět: požadované přibližné rozšíření konkrétního řešení: 
V uvažovaném příkladu byla na druhém místě pouze jedna nula, a to není tak špatné. Obecně platí, že může existovat tolik nul, kolik chcete a kdekoli. Opět je velmi důležité je zvýraznit spolu s nenulovými výsledky, aby nedošlo k záměně při střídání v závěrečné fázi.
Tady máš - bagel je na prvním místě:
Příklad 3
Najděte přibližné dílčí řešení diferenciální rovnice odpovídající počáteční podmínce ve formě prvních tří nenulových členů Taylorovy řady.
Přibližný vzorek návrhu úkolu na konci lekce. Body algoritmu nemusí být očíslovány (například ponechání prázdných řádků mezi kroky), ale doporučuji začátečníkům dodržovat přísnou šablonu.
Uvažovaný problém vyžaduje zvýšenou pozornost - pokud uděláte chybu v kterémkoli kroku, pak bude i všechno ostatní špatně! Vaše čistá hlava by proto měla fungovat jako hodiny. Bohužel to není integrály nebo difúze, které jsou spolehlivě vyřešeny i v unaveném stavu, protože umožňují efektivní kontrolu.
V praxi je to mnohem častější rozšíření řady Maclaurin:
Příklad 4
Rozhodnutí: v zásadě můžete okamžitě psát rozklad maklaurinů, ale je akademičtější začít formulovat problém s obecným případem:
Expanze konkrétního řešení diferenciální rovnice za počáteční podmínky má formu:
V tomto případě tedy:
0) Podle stavu.
Co dělat ... Doufejme, že nul bude méně.
1) Vypočítat. První derivát je již připraven k použití. Nahraďte hodnoty:
2) Najděte druhou derivaci:
A nahradit v něm:
Šlo to svižně!
3) Najít. Napíšu velmi podrobně: 
Všimněte si, že pro deriváty platí obvyklá algebraická pravidla: redukce podobných výrazů v posledním kroku a napsání produktu jako mocniny: (tamtéž).
Nahraďme vše, co je získáno protržením práce:
Rodí se tři nenulové hodnoty.
Ve vzorci Maclaurin dosadíme „tlustá“ čísla, čímž získáme přibližné rozšíření konkrétního řešení:
Odpovědět: 
Pro nezávislé řešení:
Příklad 5
Představuje přibližné dílčí řešení DE, které odpovídá dané počáteční podmínce, jako součet prvních tří nenulových členů výkonové řady.
Ukázkový design na konci lekce.
Jak vidíte, problém s částečným rozšířením v Řada Maclaurin se ukázalo být ještě obtížnější než obecný případ. Složitost uvažovaného úkolu, jak jsme právě viděli, nespočívá ani tak v samotném rozkladu, jako spíše v obtížích s diferenciací. Navíc někdy musíte najít 5-6 derivátů (nebo i více), což zvyšuje riziko chyby. A na konci lekce navrhuji několik úkolů se zvýšenou složitostí:
Příklad 6
Vyřešte diferenciální rovnici přibližně pomocí rozšíření konkrétního řešení v řadě Maclaurin, omezte se na první tři nenulové členy řady
Rozhodnutí: máme před sebou šíření druhého řádu, ale to věc prakticky nemění. Podle podmínky nám bylo okamžitě nabídnuto použití řady Maclaurin, které nevyužijeme. Pojďme si zapsat známý rozklad, který pojme více pojmů pro každého hasiče:
Algoritmus funguje stejným způsobem:
0) - podle stavu.
1) - podle stavu.
2) Vyřešme původní rovnici pro druhou derivaci :.
A nahradit:
První nenulová hodnota
Klikáme na deriváty a provádíme substituce:
Náhradník a: 
Nahraďme:
Druhá nenulová hodnota.
5) - po cestě dáme podobné deriváty.
Nahraďme: 
Nahraďme:
Nakonec. Může to však být horší.
Přibližná expanze požadovaného konkrétního řešení: 