Střední hodnoty, jejich podstata a jejich typy.

Koncept variační série. Prvním krokem v systematizaci materiálů statistického pozorování je počítání počtu jednotek s jedním nebo jinou funkcí. Umístěním jednotek ve vzestupném pořadí nebo sestupování jejich kvantitativního prvku a výpočtu počtu jednotek s určitou hodnotou znamení získáme rozsah variant. Řada variací charakterizuje distribuci jednotek určitého statistického agregátu podle jakéhokoliv kvantitativního základu.

Rozsah variací je dva sloupce, v levém sloupci, hodnoty měnící se funkce označované jako možnosti a určený (X) a vpravo - absolutní čísla, která ukazují, kolikrát je nalezena každá možnost. Indikátory tohoto sloupce se nazývají frekvence a označení (F).

Schematicky může být rozsah variace reprezentován jako tabulka.5.1:

Tabulka 5.1.1.1.1

Typ variace řádku

Možnosti (x)	Frekvence (F)

Správný sloupec může také použít relativní ukazatele charakterizující frakci frekvence jednotlivých možností v celkové frekvenční součtu. Tyto relativní ukazatele jsou pojmenovány obecně a konvenčně označeny, tj. . Součet všech frekvencí se rovná jedné. Frekvence může být vyjádřena v procentech a pak jejich částka bude 100%.

Různé znaky mohou být jiné. Možnosti pro některé značky jsou vyjádřeny v celých číslech, jako je počet pokojů v bytě, počet publikovaných knih atd. Tyto příznaky se nazývají přerušené nebo diskrétní. Jiné funkce mohou vezmou v některých hodnotách v určitých mezích, jako například provádění plánovaných úkolů, mzda A další. Tyto znaky se nazývají nepřetržité.

Diskrétní variace. Pokud jsou varianty rozmezí variací vyjádřeny ve formě diskrétních hodnot, pak se takový rozsah variací nazývá diskrétní, jeho vzhled V tabulce. 5.2:

Tabulka 5.2.

Distribuce studentů na zkoušce

Odhady (x)	Počet studentů (F)	V% do výsledku ()

Povaha distribuce v diskrétních řadách je graficky znázorněna ve formě rozvodného polygonu, obr.5.1.

Obr. 5.1. Distribuce studentů podle odhadů přijatých na zkoušce.

Interval variace. Pro nepřetržité značky jsou varianty vybudované interval, tj Hodnoty atributu v nich jsou vyjádřeny ve formě intervalů "od a do". Zároveň se minimální hodnota funkce v tomto intervalu nazývá dolní hranice intervalu a maximum - horní hranice intervalu.

Intervalové variace jsou postaveny jak pro přerušené znaky (diskrétní) a pro různé rozsahu. Intervalové řádky mohou být stejné a nerovnoměrné intervaly. V ekonomické praxi většinou aplikovaly nerovnoměrné intervaly, postupně zvyšující nebo klesající. Taková potřeba vzniká zejména v případech, kdy jsou sekce vlastnosti prováděny nerovnoměrně a ve velkých mezích.

Zvažte formu intervalu řádku se stejnými intervaly, tabulkou. 5.3:

Tabulka 5.3.

Distribuce pracovníků do práce

Vývoj, tr. (X)	Počet pracovníků (F)	Kumulativní frekvence (F ')

Rozsah intervalu je graficky zobrazen ve formě histogramu, obr.5.2.

Obr.5.2. Distribuce pracovníků do práce

Akumulované (kumulativní) frekvence. V praxi je potřeba transformovat řadu distribuce kumulativní řádkynahromaděné frekvence ve výstavbě. S jejich pomocí můžete definovat strukturální průměr, což usnadňuje analýzu této řady distribuce.

Akumulované frekvence jsou určeny sekvenčním doplňkem frekvencí (nebo vnitřních frekvencí) první skupiny těchto ukazatelů následujících skupin řady distribuce. Pro ilustraci jsou používány distribuční řádky, kumulativní a řádky. Chcete-li je vybudovat na ose abscisy, hodnoty diskrétního znaku (nebo konec intervalů) jsou zaznamenány, a na ose ordinátu - rostoucí výsledky frekvencí (náboj), obr.5.3.

Obr. 5.3. Kumulaci distribuce cvičení

Pokud měřítka frekvencí a možností mění místa, tj. Na ose ASSCISSA odrážejí akumulované frekvence a na osu objednání - hodnoty možností, křivka charakterizující změnu frekvencí ze skupiny do skupiny, bude nazývána řadou distribuce, Obr. 5.4.

Obr. 5.4. OHIVA distribuce pracovníků k práci

Variační série se stejnými intervaly poskytují jednu z nejdůležitějších požadavků statistické řádky Distribuce, zajištění srovnatelnosti je v čase a prostoru.

Distribuční hustota. Frekvence jednotlivých nerovných intervalů v těchto řadách však nejsou přímo srovnatelné. V takových případech se vypočítá hustota distribuce, aby byla zajištěna nezbytná srovnatelnost, tj. Určete, kolik jednotek v každém skupinovém účtu pro jednotku velikosti intervalu.

Při konstrukci grafu distribuce variační řady s nerovnými intervaly se výška obdélníků stanoví v poměru k ne-frekvencí, ale ukazatele hustoty distribuce hodnot uvedeného atributu v odpovídajících intervalech.

Kompilace série variací a jeho grafického obrazu je prvním krokem při zpracování zdrojových dat a první fázi analýzy studovaného kameniva. Dalším krokem v analýze variační série je definice základních generalizací indikátorů nazvaných vlastnosti série. Tyto vlastnosti musí poskytnout představu o průměrném znamení znamení v jednotkách agregátu.

průměrná hodnota. Průměrná hodnota je zobecněná charakteristika studovaného atributu ve studiu, což odráží její typickou úroveň na jednotku spalování za určité podmínky místa a času.

Průměrná hodnota je vždy pojmenována, má stejný rozměr jako znamení jednotlivých jednotek agregátu.

Před výpočtem průměrných hodnot je nutné seskupit jednotky celkového agregátu, přidělování vysoce kvalitních homogenních skupin.

Průměr, vypočtený na celku jako celek se nazývá společný průměr a pro každou skupinu - průměrné průměry.

Existují dvě odrůdy průměrných hodnot: výkon (průměrný aritmetika, průměrná harmonická, střední geometrická, střední kvadratické); Strukturální (móda, medián, kvartil, Decil).

Volba média pro výpočet závisí na cíli.

Typy průměru a metod pro jejich výpočet.V praxi statistického zpracování sestaveného materiálu vznikají různé úkoly pro řešení různých průměrů.

Matematické statistiky zobrazují různé průměry z vzorců elektrického média:

kde průměrná hodnota; X - Samostatné možnosti (známky značek); Z je indikátor stupně (při z \u003d 1 - průměrný aritmetiku, z \u003d 0 průměrný geometrický, Z \u003d - 1 je průměrný harmonický harmonický, z \u003d 2 je průměrný kvadratický).

Otázka, kterou musí být v každém jednotlivém případě aplikován typ média, je povoleno specifickou analýzou studovaného kameniva.

Nejčastější ve statistice, typ průměrných hodnot je střední aritmetika. Vypočítá se v případech, kdy je objem zprůměrované funkce vytvořen jako součet svých hodnot v jednotlivých jednotkách studovaného statistického agregátu.

V závislosti na povaze zdrojových dat je průměrná aritmetika určena různými způsoby:

Pokud jsou data nemajlivá, pak se výpočet provádí vzorec jednoduché střední velikosti

Výpočet média aritmetiky v diskrétní řadědodává vzorec 3.4.

Výpočet média aritmetiky v intervalu řady. V intervalu variační série, kde je uprostřed intervalu podmíněně přijímán v každé skupině, může průměrná aritmetika se lišit od průměru vypočteného na non-hlavní údaje. Čím větší je velikost intervalu ve skupinách, tím větší je možné odchylky průměru vypočtené seskupenými daty, od průměrného vypočteného na nespadajících dat.

Při výpočtu průměru v intervalu variační řady, k provedení potřebných výpočtů z intervalů do jejich mentů. A pak vypočítat průměrnou hodnotu podle vzorce průměrného aritmetického váženého.

Vlastnosti média aritmetiky.Průměrný aritmetika má některé vlastnosti, které vám umožní zjednodušit výpočty, zvážit je.

1. Průměrná aritmetika konstantních čísel se rovná tomuto konstantním čísle.

Pokud x \u003d a. Pak .

2. Pokud jsou závaží všech variant proporcionální změny, tj. Zvýšit nebo snížit ve stejný počet časů, pak průměrný aritmetický nový řádek z toho se nezmění.

Pokud vše váží f poněkud v k časech, pak .

3. Součet pozitivních a negativních odchylek jednotlivých variant z průměrného násobeného hmotnosti je nula, tj.

Pokud pak. Odtud.

Pokud jsou všechny možnosti snížení nebo zvýšení libovolného čísla, pak průměrný aritmetický nový řádek sníží nebo zvýší stejný.

Snižte všechny možnosti x. na a.. x.´ = x.– a.

Pak

Průměrná aritmetická počáteční řada lze získat přidáním do sníženého média dříve odečteného z možností čísel. a.. .

5. Pokud všechny možnosti sníží nebo zvyšují k. Jednou, průměrný aritmetický nový řádek sníží nebo zvyšuje stejnou částku, tj. v k. čas.

Pak .

Odtud, tj. Chcete-li získat střední počáteční rozsah, musí být zvýšen průměrný aritmetický nový řádek (se sníženými možnostmi) k.čas.

Střední harmonický.Průměrná harmonická je hodnota středního aritmetiky. Používá se, když statistické informace Neobsahuje frekvence v určitých variantách celku a je reprezentován jako jejich produkt (m \u003d XF). Průměrná harmonická bude vypočítána podle vzorce 3.5

Praktická aplikace středního harmonického - vypočítat některé indexy, zejména cenový index.

Střední geometrický.Při použití středně geometrie jsou jednotlivé charakteristické hodnoty jako pravidlo, relativní hodnoty Reproduktory postavené ve formě hodnot řetězce jako vztah k předchozí úrovni každé úrovně v řadě reproduktorů. Průměrný průměrný koeficient růstu.

Průměrná geometrická hodnota se také používá k určení hodnoty ekvidistance z maximálních a minimálních hodnot znamení. Pojišťovna například uzavírá smlouvy o poskytování automobilových pojišťoven. V závislosti na konkrétní pojistné události se pojistná platba se může pohybovat od 10 000 USD na 100 000 dolarů ročně. Průměrná výše pojistných plateb bude dolarů.

Průměrná geometrická hodnota je hodnota použitá jako průměr vztahů nebo v řadách distribuce prezentovaných ve formě geometrického progrese, když z \u003d 0. Tento průměr je vhodné použít, pokud je věnována pozornost ne absolutní rozdíly, ale dvěma počty vztahů .

Vzorce pro výpočet následující

kde - možnosti průměrného označení; - Možnosti práce; f.- Možnosti frekvence.

Průměrná geometrie se používá při výpočtech průměrného ročního růstu růstu.

Střední kvadratické.Vzorec průměrného kvadratického se používá k měření stupně množství jednotlivých hodnot atributu kolem průměrné aritmetiky v řadách distribuce. Při výpočtu ukazatelů variací je tedy průměr vypočítán z čtverců odchylek jednotlivých hodnot rysy od střední aritmetické hodnoty.

Průměrná kvadratická hodnota je vypočtena vzorcem

V ekonomických studiích je průměrný kvadratický v modifikované formě široce používán při výpočtu ukazatelů charakterizace vlastnosti, jako je disperze, průměrná kvadratická odchylka.

Pravidlo majority. Mezi výkonnými průměry existuje následující závislost - tím větší je indikátor, tím větší je průměrná hodnota, tabulka.5.4:

Tabulka 5.4.

Poměr mezi průměrnými hodnotami

Z Hodnota
Poměr mezi médiem

Tento poměr se nazývá vlády.

Strukturální střední hodnoty.Speciální indikátory se používají k charakterizaci struktury sady, která se nazývá strukturální průměry. Tyto ukazatele zahrnují módu, medián, kvartil a desil.

Móda. Moda (MO) se nazývá nejčastější význam znamení v jednotkách agregátu. Móda se nazývá hodnota funkce, která odpovídá maximálnímu bodu teoretické křivky distribuce.

Móda je široce používána v komerční praxi při studiu poptávky zákazníků (při určování velikosti oděvů a bot, které jsou obecně v poptávce), registrace cen. Mod v agregátu může být několik.

Módní výpočet v diskrétní řadě. V diskrétní řadě módy je možnost s nejvyšší frekvencí. Zvažte hledání módy v diskrétním řádku.

Módní výpočet v intervalu řady. V intervalu variační řadě je modální interval přibližně považován za přibližně, tj. tohoto intervalu, který má největší frekvenci (frekvence). V rámci intervalu je nutné najít hodnotu znamení, která je móda. Pro intervalu série módy bude určeno vzorcem

kde - spodní řádek Modální interval; - velikost modálního intervalu; - frekvence odpovídající modálnímu intervalu; - frekvence předcházejícího modálního intervalu; - Frekvence intervalu po modálním.

Medián.Medián () se nazývá význam střední jednotky řady řady. Ranked Row je série, z nichž jsou značky zaznamenány ve vzestupném pořadí nebo sestupném pořadí. Nebo medián je hodnota, která rozděluje počet objednaných variační série do dvou stejných částí: jedna část má hodnotu měnící se funkce menší než průměrná volba, a druhý je velký.

Chcete-li najít medián, jeho pořadové číslo je určeno jako první. Za tímto účelem s lichým počtem jednotek do součtu všech frekvencí je přidána jednotka a vše je rozděleno do dvou. Při sudém čísle se jednotky mediánu zjistí jako hodnota označení v jednom, číslo sekvence, které je určeno celkovým množstvím frekvencí rozdělených dvěma. Znát pořadové číslo mediánu, snadno na akumulovaných frekvencích, aby našel svůj význam.

Výpočet mediánů v diskrétním řádku.Podle selektivního vyšetření, údaje o distribuci rodin v počtu dětí, tabulky. 5.5. Chcete-li určit medián, nejprve definujte jeho sekvenční číslo

V těchto rodinách je počet dětí 2, tedy, \u003d 2. Tak, v 50% rodin, počet dětí nepřesahuje 2.

- spotřebitel akumulovaný předcházejícím střední intervalu;

Na jedné straně je to velmi pozitivní majetek. V tomto případě je třeba vzít v úvahu činnost všech důvodů, proč ovlivnit všechny jednotky běžného agregátu. Na druhou stranu, dokonce i jedno pozorování, které spadaly do počátečních dat náhodně, může výrazně zkreslit myšlenku úrovně vývoje studovaného atributu v kombinaci v úvahu (zejména v krátkodobých řadách).

A odhodlání.Analogicky s hledáním mediánu v variační sérii, můžete najít hodnotu funkce libovolného v pořadí jednotky řady řady. Zejména můžete najít hodnotu charakterizace v jednotkách, které rozdělují řádek do 4 rovných dílů, o 10 atd.

Kajuty. Možnosti, které rozdělují řadu řady do čtyř stejných částí, se nazývají čtvrtletí.

Současně rozlišovat: dolní (nebo první) kvartet (Q1) je hodnota znamení v jednotce řady řadou, dělící kombinaci v poměru ¼ až ¾ a horní (nebo třetí) kvartilu (q3) ) - Hodnota přihlášení jednotky řady řadou, rozdělení celku v poměru ¾ až ¼.

- frekvence kvartilních intervalů (dolní a horní)

Intervaly obsahující Q1 a Q3 jsou stanoveny akumulovanými frekvencemi (nebo obecně).

Decil. Kromě čtvrtin, Deciles jsou vypočteny - možnosti dělící řadou na 10 stejných částech.

Jsou označeny D, první Decil D1 rozděluje číslo v poměru 1/10 a 9/10, druhý D2 - 2/10 a 8/10 atd. Vypočítávají se stejným schématem jako medián a kvartil.

Oba Mediana, a Questred, a decile patří k tzv. Orderinální statistice, pod kterým chápou možnost zabírat určitou sekvenci v řadě řady.

1. Střední hodnoty: Esence, hodnota, typy

Důležitým příspěvkem k odůvodnění a rozvoj teorie průměrných množství učinil významný vědec XIX století Adolf Ketle. (1796-1874), člen belgické akademie věd, odpovídajícího člena akademie věd St. Petersburg.

průměrná hodnota - Zobecnění charakteristiky studovaného prvku v celkové kombinaci. Definuje svou typickou úroveň na jednotku agregátu ve specifických podmínkách místa a času.

průměrná hodnota Vždy pojmenovaný, má stejný rozměr (měrné jednotky), což je znaménko individuálních jednotek agregátu.

Základní podmínka vědeckého využití střední velikosti Je to vysoce kvalitní homogenita souhrnu, na které se průměr vypočítá.

energie (průměrná aritmetika, střední harmonická, střední geometrická, střední kvadratická, střední, střední kubická);

strukturální (móda, medián).

Průměrný průměr - Root Root. k. od poloviny všech možností k.- Rozsah je následující formulář:

kde - znamení, které je médium, ve kterém se nazývá průměrná znaménko,

h. i. I. nebo (( h. 1 , h. 2 ... h. n.) - Hodnota průměrné funkce pro každou jednotku agregátu,

f. i. I. - opakovatelnost individuální hodnoty funkce.

V závislosti na stupni k. Získá se různé typy výkonových médií, vzorce výpočtu jsou uvedeny níže v tabulce 1.

Tabulka 1 - Druhy elektrického média

Hodnota k.	Prostřední jméno	Střední vzorce
			vážený
	Střední harmonický		, w. i. I. \u003d X. i. I. · F. i. I.
	Střední geometrie
	Střední aritmetika	=	=
	Střední kvadratický	=	=

f. i. I. – frekvence opakování individuální hodnoty označení (jeho hmotnost)

Hmotnost může být frekvence, tj Poměr frekvence individuální hodnoty znaménka na frekvenční součet:

Výběr typu střední velikosti:

Průměrný aritmetický jednoduchý Používá se, pokud se individuální hodnota podepsat v jednotkách agregátu opakuje nebo ve stejnou dobu nebo stejný počet časů, tj. Když je průměr vypočítán ne-mapovanými daty.

Když individuální hodnota studovaného označení nastane několikrát v jednotkách celkové sady, je v vypočtených vzorcích výkonového média přítomna frekvence opakování jednotlivých znaků (hmotnost). V tomto případě se nazývají vzorce vážený uprostřed.

Pokud je podmínkou problému nezbytné, aby se nezměněna zůstala v průměru množství hodnot, inverzních, individuálních hodnot funkce, průměrná hodnota je harmonický uprostřed.

Pokud se při výměně individuálních hodnot podepsat na průměrnou hodnotu, je nutné zachovat možný produkt jednotlivých hodnot, pak aplikovat střední geometrika. Průměrná geometrická geometrie se používá k výpočtu průměrných tempa růstu v analýze reproduktorů.

Pokud při výměně jednotlivých hodnot znamení na průměrnou hodnotu je nutné zachovat beze změny čtverců čtverců počátečních hodnot, pak bude průměr kvadratická střední velikost. Průměrný kvadratický se používá k výpočtu průměrné kvadratické odchylky při analýze variace funkce v řadách distribuce.

Průměrný průměr různé druhyvypočteno na stejném souhrnu, mají odlišný kvantitativní a čím větší indikátor stupně k., Čím vyšší je hodnota odpovídajícího průměru, pokud jsou všechny počáteční hodnoty atributu stejné, pak veškerý průměr se rovná této konstanty:

Garm. ≤ geom. ≤ Arif. ≤ sq. ≤ kostka.

to vlastnictví elektrického média Zvýšení se zvýšením stupně definující funkce media Mazerania.

V případě, že výpočet průměru energie se používají v případě, že výpočet průměru výkonu je nemožný nebo neukázaný.

Strukturální průměr zahrnuje: móda a medián.

Móda - To je nejčastější význam znamení v jednotkách tohoto celku. V přítomnosti možností a frekvencí v řadě distribuce, velikost režimu odpovídá hodnotě charakteristiky největšího počtu jednotek (nejvyšší frekvence), tj. Pro diskrétní variační řadu, mod je podle definice.

Medián - Hodnota podepsat v jednotce sady ve středu řady distribuce, když všechny jednotlivé hodnoty funkce studovaných jednotek jsou uspořádány v pořadí jejich zvýšení nebo snížení.

V případě lichého počtu pozorování je medián podle definice, tj. Volba (Kde n. - počet pozorování). S ještě počtem pozorování je medián určen vzorcem:

Pro rozložení intervalu, velikost režimu a mediánů se vypočítá podle následujících vzorců:
;
,

kde: - dolní hranice modálního nebo mediánového intervalu;

Velikost intervalu;

a
- frekvence předcházející a po modálním intervalu;

- frekvence modálního nebo mediánového intervalu;

- Součet akumulovaných frekvencí v intervalech před mediánem.

Výpočet mediánů ne-mapovanými daty se provádí následujícím způsobem:

1. Jednotlivé hodnoty znaků jsou uspořádány v rostoucím pořadí. 2. Je určeno střední pořadové číslo. № Me \u003d (n.+1) / 2

Ukazatele variace, entity, hodnoty, typů. Zákony variace

Pro měření variace funkce se aplikují různé absolutní a relativní indikátory.

Změny zahrnují absolutní ukazatele (opatření): houpání oscilací, průměrná absolutní odchylka, disperze, průměrná kvadratická odchylka.

Variace variace - To je rozdíl mezi maximálními a minimálními hodnotami funkce:
.

Variace variace ukazuje, v jakém omezení velikosti funkce tvořící řadu distribučních rozsahů

Průměrná absolutní odchylka (CAO) - Průměr absolutních hodnot odchylek individuální volby z průměru.

(jednoduchý),
(Vážený)

Rozptyl- Průměr čtverců odchylek hodnot charakteristiky jejich průměrné velikosti:

(jednoduchý),
(Vážený)

Disperze může být rozložena na prvky součástí pro odhad účinku různých faktorů, které způsobují charakterizaci

ty. Disperze se rovná rozdílu mezi středovým čtvercem charakteristických hodnot a čtvercového čtverce.

Disperzní vlastnosti umožňující zjednodušení způsobu, jakým se vypočítá:

Disperze konstantní hodnoty je 0.

Pokud jsou všechny možnosti pro známky znaménko sníženy na stejný počet časů, disperze se nesnižuje.

Pokud jsou všechny možnosti pro značky sníženy na stejný počet časů ( k. časy) pak se disperze sníží k. 2 čas.

Průměrná kvadratická odchylka (Cca) je druhá odmocnina disperze, ukazuje, kolik hodnoty znamení v jednotkách celkového agregátu kolísá:  =

KOF je míra spolehlivosti. Čím menší je cca, tím lepší je průměrná aritmetika odráží celý prezentovaný agregát.

Variace variace, CAO, aproximace jsou hodnoty pojmenované, tj. Mají stejné jednotky opatření jako jednotlivé hodnoty funkce.

Existují 4 typy rozptylu: společný, intergroup, intragroup, skupina.

Disperze vypočtená pro celý celek jako celek společná disperze. Omezuje oscilační závislé znaménko (výsledek) způsobené akcí vůbec bez výjimky.

Celková disperze se rovná součtu středu intragroup a intergroupové disperze:

Pokud je sada rozdělena do skupin, pak pro každou skupinu může být jeho disperze stanovena, charakterizující variaci ve skupině. Skupinová disperze - střední kvadratické odchylky od skupinového průměru, tj Z průměrné velikosti funkce v této skupině.

kdej. - sériové číslo x. a f. ve skupině.

Skupinová disperze charakterizuje variantu funkce ve skupině díky všem ostatním faktorům s výjimkou seskupení.

Měření změn v celku jako celku, vypočítáme, jak uprostřed intragroup disperzí:

kde - Disperze skupiny,

n. j. - počet jednotek ve skupinách.

Skupinové průměry se liší od sebe a z celkového průměru, tj. lišit se. Jejich variace se nazývá intergroup variace. Pro jeho charakterizaci se vypočítá průměrný čtverec odchylek průměru skupiny z celkového průměru:

kde j. – průměrné průměry - obecný průměr n. j. - počet jednotek ve skupině.

Intergroupová disperze (Skupina Střední disperze) měří změnu výsledné funkce v důsledku faktoru označení, který je založen na seskupení.

Při porovnání množství různých znaků ve stejné kombinaci nebo při porovnání množství stejného znaku, v několika agregátech s různou velikost průměrného aritmetického použití relativních ukazatelů variace.

Tyto ukazatele se vypočítávají jako poměr absolutních parametrů variace na střední aritmetiku (nebo medián)

Koeficient variace

Relativní lineární odchylka

Koeficient oscilace

Nejčastěji používaný indikátor relativních částek - koeficient variacekterý ukazuje průměrnou odchylku od průměrného označení procenta.

Používá se pro: srovnávací odhad variace; Charakteristiky jednotnosti agregátu. Kombinace je považována za homogenní v případě, že koeficient změny nepřesahuje 33%, tj. méně než 33%.

Z. aka variace.

Zákon změny jednotlivých hodnot funkce nebo "pravidlo tří sigmů". Belgická statistická statistika A.Kel zjistila, že variace některých hmotných jevů podléhají zákonu distribuce chyb, otevřených K. Gaussem a P. laplasem téměř současně. Křivka, která odráží tuto distribuci, má vzhled zvonu (obr. 2).

Podle normální právo (Termín navrhuje anglický statistický K. Pirson) distribuce Odmazání jednotlivých znaků je uvnitř
(pravidlo tří Sigm).

Normální distribuční právo podléhá přirozeným vlastnostem osoby (růst, hmotnost, fyzická síla), charakteristika průmyslových výrobků (velikost, hmotnost, elektrický odpor, elasticita atd.). V oblasti rychlého měnící se sociální jevy se akce tohoto zákona projevuje poměrně zřídka. Nicméně, v některých případech použití pravidla tří Sigmprakticky možné.

Zákon střední variace. Variace hodnot média je menší než variace jednotlivých příznaků funkce. Průměrné hodnoty změny funkce v rámci:
kde n. - počet jednotek.

Metoda seskupení umožňuje studovat stav a vztahy ekonomických jevů, pokud se skupiny charakterizují ukazatele, které odhalují nejdůležitější strany fenoménu ve studiu.

Při analýze a plánování je nutné spoléhat se na náhodná fakta, ale na ukazatelích vyjadřujících hlavní, typický, domorodý. Taková vlastnost poskytuje různé typy průměrných hodnot, stejně jako módu a medián.

Otázka homogenity agregátu by nemělo být formálně řešeno ve formě jeho distribuce. Stejně jako otázka typického průměru je třeba řešit, na základě příčin a podmínek tvořících celek. Uniforma je taková totalita, jejichž jednotky jsou tvořeny pod vlivem obecných hlavních příčin a podmínek, které určují celkovou úroveň této funkce charakteristické pro celou celek.

Podle teorie typologických skupin patří stanovená hodnota při posuzování jednotnosti totality formou distribuce, ale velikost změny a podmínek jeho tvorby. Pro kvalitativně homogenní agregát, variace se vyznačuje v určitých mezích, po kterých začíná nová kvalita. K těmto hranicím však posoudit vysoce kvalitní homogenitu souhrnu, je nutné přistupovat z hlediska stvoření případu, a nikoli formálně, protože stejná částka různé podmínky Vyjadřuje novou kvalitu. Například se stejným počtem pracovních podniků v některých průmyslových odvětvích jsou velké a jiné jsou malé.

Pro komplexní a hloubkové studium jevů, pro objektivní charakteristiky typů jevů, jejich vztahy a procesy způsobené vývojem systému jako celku, je nutné kombinovat skupinové médium se společnými průměry. Kombinace takového média a je jedním z hlavních prvků pro analýzu komplexních systémů. Tato kombinace se váže na jeden celou dvě organicky doplňující navzájem ze statistických metod: způsobu průměrných hodnot a metody seskupení. Při výpočtu průměru jsou jednotlivé hodnoty různé pro skupinu nahrazeny jednou průměrnou hodnotou. Současně jsou náhodné odchylky znakové hodnoty pro jednotlivé jednotky ve směru zvyšování nebo snižování vzájemně naneseny a navzájem splachují, a v hodnotě uprostřed je typická charakteristická velikost typická pro tuto skupinu. Průměrná hodnota slouží jako charakteristika agregátu a zároveň se odkazuje na samostatný prvek - nosič vysoce kvalitních vlastností fenoménu. Hodnota průměru je poměrně konkrétně, ale současně a abstraktní; Získá se abstrakcí z náhodného jedince pro každou jednotku, aby se identifikovalo to společné, typické, což je typické pro všechny jednotky a které tvoří tuto sadu. Při výpočtu průměrné velikosti by měl být počet jednotek agregátu poměrně velký. Hodnota průměru je definována jako poměr celkových jevů k počtu jednotek agregátu ve skupině. Pro nezvolené údaje to bude průměrný aritmetický jednoduchý:

a pro seskupená data, kde má každá hodnota znaková frekvence - průměrný aritmetický vážený:

kde X I. - hodnota funkce; f. i. I. - Frekvence těchto znaků.

Vzhledem k tomu, že průměrný aritmetika se vypočítá jako poměr součtu hodnot připisování celkovém počtu, nikdy nepřekračuje tyto hodnoty. Průměrný aritmetika má řadu vlastností, které jsou široce používány za účelem zefektivnění výpočtů.

1. Součet odchylek jednotlivých hodnot funkce z průměrné hodnoty je vždy rovná nule:

Důkaz. N.

Dělení levé a pravé ruky

2. Pokud se změní hodnoty funkce (X I) k.časy, pak se průměrná aritmetika změní x.čas.

Důkaz.

Průměrná aritmetika nových značek signalizace X, pak:

Trvalý 1 / k.můžete si vzít částku, a pak se dostaneme:

3. Pokud ze všech známek znamení X. i. I. Odečíst nebo přidat stejné konstantní číslo, pak průměrný aritmetika sníží nebo zvýší tuto částku.

Důkaz.

Průměr odchylek charakteristických hodnot z konstantního čísla bude roven:

Stejným způsobem se dokazuje v případě přidání konstantního čísla.

4. Jsou-li frekvence všech známek znaménko sníženy nebo zvyšují n.jednou se průměr nezmění:

V přítomnosti údajů o celkovém objemu a známých hodnotách funkce, ale neznámé frekvence, pro stanovení průměru, použijte vzorec středně-ray-váženého.

Existují například údaje o cenách prodeje zelí a celkových příjmů pro různé termíny (tabulka 1).

Stůl 1.

Zelí Prodejní cena a celkové příjmy pro různé termíny implementace

Tak jako průměrná cena Představuje vztah celkového příjmu na celkový objem zelnými zelí, počet prodaných zelí by měl být stanoven jako první. různé časování Implementace jako poměr příjmů na cenu, a pak definovat průměrnou cenu realizovaného zelí.

V našem příkladu bude průměrná cena:

Pokud spočítáte v tomto případě, průměrná cena implementace průměrného aritmetika je jednoduchá, dostaneme další výsledek, který bude narušit skutečnou pozici a přeceňují průměrnou prodejní cenu, protože skutečnost, že velký podíl na implementaci padá na pozdní zelí S nižší cenou.

Někdy je nutné určit průměrnou hodnotu, když jsou hodnoty znaků uvedeny ve formě zlomkových čísel, tj. Reverzní celočíselná čísla (například při studiu produktivity prostřednictvím indikátoru návratu, intenzitou práce). V takových případech je vhodné použít střední harmonický vzorec:

Průměrná doba potřebná pro výrobu jednotky výrobků je tedy průměrný harmonický. Pokud x 1 \u003d 1/4 hodiny, x 2 \u003d 1/2 hodiny, x 3 \u003d 1/3 hodiny, pak průměrná harmonická z těchto čísel je:

Pro výpočet průměrné hodnoty ze vztahů dvou identických ukazatelů, jako jsou tempo růstu, je aplikován průměrný geometrický geometrický, vypočítaný vzorcem:

kde x 1 x x 2 ... x ... x 4 je poměr dvou stejných jmen, jako jsou míry růstu řetězců; n.- Populace vztahu tempa růstu.

Uvažované průměrné hodnoty mají majetek Carranty:

Například mají následující hodnoty H.(20; 40), pak se dříve považuje za pohledy na průměrné hodnoty, budou stejné:

Při studiu složení agregátu o typickém základě může být posuzován tzv. Strukturální průměr - móda a medián.

Modojnýto se nazývá nejčastější význam znamení v agregátu.V řádcích intervalu variace je modální interval prvním nálezem. V nalezeném modálním intervalu, móda vypočítá vzorec:

kde x 0 je dolní hranice modálního intervalu; d -velikost intervalu; F 1, F 2, f. 3 - Frekvence předem modálních, modálních a poštovních intervalů.

Způsob módy v řádku intervalu je poměrně jednoduchý, lze nalézt na základě grafu. K tomu v nejvyšším sloupci histogramu z hranic dvou sousedních sloupců tráví dva řádky. Z průsečíku těchto tratí je spuštěna kolmá k ose abscisy. Hodnota atributu osy abscisy a bude mod (obr. 2).

Obr. 2.

Pro vyřešení praktických problémů je největší zájem obvykle móda, vyjádřený ve formě intervalu, a ne diskrétní číslo. To je vysvětleno konstrukcí módy, který by měl identifikovat nejběžnější velikosti fenoménu.

Průměr je hodnota typická pro všechny jednotky homogenního agregátu. Móda je také typickou hodnotou, ale určuje velikost charakteristické charakteristiky významné části, ale stále není celou celek. Je velmi důležité pro řešení některých úkolů, například předpovědět, jaké velikosti bot, oděv musí být navržen pro masovou výrobu atd.

Medián- Hodnota označení umístěného uprostřed řady zařazených. Označuje středové rozložení jednotek agregátu a rozděluje jej do dvou stejných částí.

Mediana je nejlepší charakteristika Centrální tendence, když jsou otevřené hranice extrémních intervalů. Medián je přijatelnější charakteristikou úrovně distribuce a pokud existují příliš velké nebo příliš malé hodnoty v řadě distribuce, které mají silný vliv na průměrnou hodnotu, a neexistují žádná média. Medián, navíc má majetek lineárního minima: součet absolutních hodnot odchylek charakteristiky znaku znamení ve všech jednotkách souhrnu od středního minima, tj.

Tato nemovitost má velký význam pro řešení některých praktických úkolů - například vypočítat nejkratší ze všech možných vzdáleností pro různé typy dopravy, aby se vyhovovaly stanicí pro údržbu tak, aby vzdálenost ke všem strojům obsluhovala tato stanice minimální atd.

Při hledání mediánů se stanoví jeho pořadové číslo v řadě distribuce:

Dále, resp. Sekvenční číslo, se medián sama o sobě nachází u akumulovaných frekvencí. V diskrétním řádku - bez jakéhokoliv výpočtu a v intervalové řadě se sekvenční číslo mediánu, střední interval se nachází na akumulovaných frekvencích, ve kterých je střední hodnota již určena nejjednodušším příjmem interpolace. Výpočet mediánu se provádí vzorcem:

kde H. 0 - dolní hranice mediánového intervalu; d.- velikost intervalu; f._ 1 - frekvence nahromaděná na střední interval; f.- Frekvence mediánového intervalu.

Vypočítejte průměrnou velikost, módu a medián na příklad intervalu distribuce. Data jsou uvedena v tabulce. 2.

Tak, různé indikátory mohou být použity jako distribuční centrum: střední, móda a medián,

a každá z těchto vlastností má své vlastní vlastnosti. Pro průměrnou hodnotu je tedy charakteristická, že všechny odchylky od jednotlivých hodnot funkce se vzájemně splacují, tj.

Medián je charakteristická, že množství odchylek jednotlivých příznaků tohoto znaku (s výjimkou značek) je minimální. Móda charakterizuje nejčastější hodnotu rozpoznávání. Proto v závislosti na tom, na které mají funkce zájemce o výzkumný pracovník, a jeden z uvažovaných charakteristik by měl být vybrán. V některých případech se vypočítávají všechny vlastnosti.

Jejich srovnání a identifikace vztahů mezi nimi pomáhá zjistit rysy distribuce jedné nebo jiné řady variací. Takže v symetrických řadách, jako v našem případě, všechny tři vlastnosti (střední, módy a medián) se přibližně shodují. Čím více nesoulad mezi módou a průměrnou hodnotou, tím více asymetrickým číslem. Bylo zjištěno, že pro mírně asymetrickou sérii je rozdíl mezi módou a průměrnou aritmetikou asi třikrát vyšší než rozdíl mezi mediánem a střední aritmetikou:

Tento poměr lze použít k určení jednoho indikátoru o dva známé. Z toho vyplývá, že kombinace módy, mediánů a průměr je důležitá pro charakteristiky typu distribuce.

V procesu zpracování a zobecnění statistických údajů je třeba určit průměrná množství. Každý homogenní statistický agregát sestává z dostatečně velkého počtu jednotek, které se liší v kvantitativních značkách. Zároveň je každá jednotka agregátu podle definice nese vlastnosti charakteristické pro celý celek. Výpočet průměrných hodnot umožňuje odhalit typickou úroveň funkcí a vlastnosti studie.

Střední hodnotyupravené indikátory se nazývají, charakterizují typickou úroveň variability v výpočtu jednotky součtu v jednotlivých podmínkách místa a času.

Správné pochopení podstaty průměrné hodnoty ji určuje speciálnívýznam v podmínkách tržního hospodářství, kdy v průměru prostřednictvím jediného a náhodného umožňuje identifikovat obecný a nezbytný, identifikovat tendenci vzory ekonomického rozvoje. V podmínkách skutečné ekonomiky, včetně komerčních, činností, neustálých příčin (faktorů) jednat na každém studovaném fenoménu a je to, že tyto jevy podobné sobě navzájem a vytvářejí společné pro všechny vzory. Výsledkem vyučování na obecné a individuální důvody jevů byly přidělování průměrných hodnot jako hlavní techniku \u200b\u200bstatistické analýzy založené na schválení, které statistické střední hodnoty nejsou jen měřítkem matematického měření, ale a kategorie objektivní reality. Ve statistické teorii je typická realistická průměrná hodnota vonná s pravým množstvím velikosti, odchylka, z nichž může být pouze náhodná.

Produkce prodávajícího závisí například na mnoha důvodech: kvalifikaci, zkušenosti, věk, formy služby, výchovy, zdraví atd. A Průměrná výroba (prodej) na prodejce odráží obecný typický majetek celé sady prodejců. Schopnost průměrných hodnot pro udržení vlastností statistické agregáty Volání určující vlastnost.

Průměrné hodnoty tedy zobecňují indikátory, ve kterých výraz obecné podmínky, vzor studovaného jevu.

V praxi zpracování statistických údajů vznikají různé úkoly, existují rysy studovaných jevů, a proto je nutné různé průměry, které je potřebují k vyřešení.

Pokud jde o socializaci studijních údajů, médium může být společná a skupina. Průměr vypočítaný agregátem jako celek se nazývá společný průměra průměr vypočítaný pro každou skupinu - skupinové průměry.

Rozlišovat moc a strukturálnístřední.

Napájeníprůměr je odvozen od obecného vzorce formuláře:

Se změnou indikátoru dorazíme k určitému typu média:

když - střední harmonický;

když - střední geometrie;

když - střední aritmetika;

když - střední kvadratický.

Otázka, jejíž typ průměru musí být aplikován v samostatném případě, je řešen specifickou analýzou celkové celkového obsahu, materiálem materiálu studovaného jevu, význam výsledků v průměru. Pouze pak průměrná hodnota se použije správně, když v důsledku průměrování se hodnotí hodnoty s reálným významem.

Představuje se následující notace:

- kvantitativní znamení, které je médium, nazývá se průměrné znaménko;

– znamenatznamení (s z výše uvedeného znaku), představující výsledek průměrování;

Jednotlivé hodnoty znamení v jednotkách agregátu možnosti;

- celkový počet jednotek agregátu;

- frekvence nebo opakovatelnost individuální hodnoty atributu (její hmotnost);

Průměrování funkce (index).

V závislosti na přítomnosti zdrojových dat může být průměr vypočítán různými způsoby. V případě, že jednotlivé hodnoty zprůměrné funkce (možnosti) nejsou opakovány ve specifických hodnotách aplikace v průměru vzorce jednoduchých výkonových průměrů.V případě praktických studií však jednotlivé hodnoty studovaného označení vyskytují několikrát v jednotkách celkové sady, pak je v the frekvenci opakování jednotlivých příznaků funkce (- hmotnost označení) vzorce výkonového média. V tomto případě se nazývají vzorce suspendovaného výkonového média. Ve vzorcích vážených průměru namísto frekvencí může být frekvence

definován jako poměr frekvence znaménka k součtu frekvence.

Tabulka 9 ukazuje vzorce výpočtu různé druhy Výkonné jednoduché a pozastavené průměry.

Tabulka 9. Vzorce pro výpočet průměrných hodnot energie

Hodnota	Prostřední jméno	Střední vzorec
Jednoduchý	Vážený
- 1	Střední harmonický
	Střední geometrie
	Střední aritmetika
	Střední kvadratický

Střední aritmetika -nejběžnější typ média. Vypočítá se v případech, kdy je objem zprůměrné funkce vytvořen jako součet svých hodnot v jednotlivých jednotkách agregátu. Například je nutné vypočítat průměrné zkušenosti s deseti zaměstnanci podniku a řadu jednotlivých hodnot funkce 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3 , 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4. pak objem zprůměrné funkce.

a průměrná hodnota je vypočtena vzorcem jednoduchého průměru

Pokud jsou stejná data seskupena podle velikosti funkce, pak průměrná hodnota vypočítá vzorec pozastaveného průměru

Střední harmonickýhodnota se nejčastěji vypočítá, když statistické informace neobsahují frekvence podle některých možností kombinace a jsou zde data o objemu průměrného atributu týkajícího se určitých možností kombinace. Například je nutné vypočítat průměrnou cenu jednotky zboží a objem implementace pro každý typ zboží ve formě série 600, 1000, 850 (tis. Rublů) a odpovídajících cen pro každý typ zboží ve formě řady 20, 40, 50 (tisíce rublů ./pc.). Průměrná cena se pak vypočítá vzorec průměrného harmonického zavěšeného

Je vidět, že průměrná harmonická je transformovaná (reverzní) forma středního aritmetika. Místo průměrné harmonické, můžete vždy vypočítat průměrnou aritmetiku, ale pro to nejprve potřebujete určit závaží jednotlivých příznaků funkce.

Při použití vzorce střední geometriejednotlivé hodnoty funkce jsou zpravidla relativní hodnoty dynamiky postavené ve formě hodnot řetězce (jako vztahu následných úrovní indikátoru na předchozí úrovně v řadě reproduktorů ) a dočasné segmenty řady dynamiky jsou stejné (den, měsíc, rok). Průměrná geometrická hodnota se tak vyznačuje průměrným koeficientem růstu. Například pro řadu reproduktorů uvedených v tabulce 10,

Tab 10. Řada reproduktorů růstu příjmů

průměrný tempo růstu příjmových populace je vypočtena vzorcem průměrné geometrické jednoduché

Vzorec střední kvadratickýhodnoty se používají k měření průměrného stupně částí znakových hodnot v blízkosti průměrné aritmetické hodnoty v řadě distribuce. Například při výpočtu takové varianty indikátoru jako disperze se průměr vypočítá z čtverců odchylek jednotlivých hodnot atributu ze střední aritmetické hodnoty (viz kapitola 6).

Výkonné průměry různých druhů vypočtených na stejném součtu mají různé kvantitativní hodnoty a čím větší je větší, čím větší je to větší průměrný průměr

Tato vlastnost Power Medium se nazývá mazeranie průměr.

Pro vlastnosti nastavené struktury jsou aplikovány speciální indikátory, které se nazývají strukturálnístřední. Tyto ukazatele zahrnují módu a medián.

Modojnýto se nazývá nejběžnější význam vlastnosti jednotek dané populace. To odpovídá určitému znamení znamení.

Například selektivní vyšetření 8 měnových směnných bodů umožnilo opravit různé ceny pro dolar (tabulka 11). V tomto případě je modální cena pro dolar vzhledem k tomu, v dotazované sadě měnových směnných míst se nejčastěji (3 krát).

Číslo odstavce
Cena za $ 1

Medián- Jedná se o znamení znaku, který rozděluje počet objednaných variační série do dvou stejných částí.

Například vezmeme datovou tabulku 10 a umístíme jednotlivé hodnoty atributu v rostoucím pořadí.

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

Mediánové pořadové číslo je určeno vzorcem

a) V případě čtenáře nemá střední číslo žádný význam (v našem případě 4.5). Medián bude roven středně aritmetikou sousedního významu a

b) V případě lichého počtu jednotlivých znaků (řekněme)

Proto v tomto případě

Ve zvažovaném příkladu bylo vhodné zjištění takového média jako móda a medián, protože výzkumník neměl objem prodeje pro každou položku, a proto s dobrou přesností provádět výpočet průměrné aritmetické ceny za dolar. Také uvažovaný příklad ilustruje ustanovení, že volba druhu odpovídajícího průměru vždy závisí na dostupných údajích.

4.3. Vlastnosti a metody výpočtu průměrných hodnot

Nejčastěji používaným v ekonomické a statistické praxi průměrná aritmetická hodnota má řadu matematických vlastností, které někdy zjednodušují jeho výpočet. Tyto vlastnosti jsou následující:

1. Pokud možnosti snížit nebo zvýšit některé konstantní číslo, pak

průměrná aritmetická hodnota se odpovídajícím způsobem sníží nebo zvyšuje

2. Pokud možnosti měnit konstanty, bude průměr také změnit

tolikrát

3. Pokud jsou frekvence rozděleny nebo vynásobeny určitým konstantním číslem, pak se průměr nezmění

4. Produkt průměrné aritmetiky ve výši frekvencí se rovná množství produktů pro volby kmitočtu

5. Algebraické množství odchylky možností z průměrné hodnoty je nula

Všechny uvedené vlastnosti následují z definice průměrné aritmetické vážené (viz bod 4.2).

Někdy je výpočet průměrné aritmetické hodnoty vhodný pro zjednodušení používat matematické vlastnosti. K tomu je nutné ze všech možností odečíst libovolnou neustálou hodnotu, výsledný rozdíl je rozdělen do společného faktoru, a pak vypočtená průměrná hodnota se množí do společného násobitele a přidat libovolnou konstantu. V důsledku toho bude střední aritmetický vzorec následujícím způsobem.