Centrul de greutate al secțiunii T. Calcularea grinzilor T din beton armat

O caracteristică a centrului de greutate este că această forță acționează asupra corpului nu în niciun moment, ci este distribuită în tot corpul. Forțele gravitaționale care acționează asupra elementelor individuale ale corpului (care pot fi considerate puncte materiale) sunt direcționate către centrul Pământului și nu sunt strict paralele. Dar, deoarece dimensiunile majorității corpurilor de pe Pământ sunt mult mai mici decât raza sa, prin urmare, aceste forțe sunt considerate paralele.

Determinarea centrului de greutate

Definiție

Punctul prin care trece rezultatul tuturor forțelor gravitaționale paralele care afectează elementele corpului în orice locație a corpului în spațiu este numit centrul de greutate.

Cu alte cuvinte: centrul de greutate este punctul în care forța gravitației este aplicată în orice poziție a corpului în spațiu. Dacă poziția centrului de gravitație este cunoscută, atunci putem presupune că gravitația este o forță și ea este aplicată în centrul gravitației.

Sarcina de a găsi centrul de greutate este o sarcină semnificativă în tehnologie, deoarece stabilitatea tuturor structurilor depinde de poziția centrului de greutate.

Metoda pentru găsirea centrului de greutate al corpului

Determinând poziția centrului de greutate al unui corp cu o formă complexă, puteți să împărțiți mai întâi mental corpul în părți cu o formă simplă și să găsiți pentru ei centrele de greutate. Pentru corpurile de formă simplă, se poate determina imediat centrul de greutate din motive de simetrie. Greutatea unui disc și a unei bile omogene se află în centrul lor, un cilindru omogen într-un punct din mijlocul axei sale; paralelipiped omogen la intersecția diagonalelor sale etc. Pentru toate corpurile omogene, centrul de greutate coincide cu centrul de simetrie. Centrul de greutate poate fi în afara corpului, cum ar fi un inel.

Aflați locația centrelor de greutate ale părților corpului, găsiți locația centrului de greutate al corpului în ansamblu. Pentru aceasta, corpul este reprezentat ca o combinație de puncte materiale. Fiecare astfel de punct se află în centrul de greutate al părții sale din corp și are masa acestei părți.

Centrul de coordonate ale gravitației

În spațiul tridimensional, coordonatele punctului de aplicare al rezultatului tuturor forțelor de gravitație paralele (coordonatele centrului de greutate) pentru un solid sunt calculate ca:

\\ [\\ left \\ (\\ begin (array) (c) x_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limite_i (\\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\\\ y_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limite_i (\\ Delta m_iy_i) ) (m) ;; \\\\ z_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limite_i (\\ Delta m_iz_i)) (m) \\ end (array) \\ right. \\ left (1 \\ right), \\]

unde $ m $ este masa corpului. $ ;; x_i $ este coordonata de pe axa X a masei elementare $ \\ Delta m_i $; $ y_i $ - coordonată pe axa Y a masei elementare $ \\ Delta m_i $; ; $ z_i $ - coordonată pe axa Z a masei elementare $ \\ Delta m_i $.

Într-o notație vectorială, un sistem de trei ecuații (1) este scris ca:

\\ [((\\ overline (r)) _ c \u003d \\ frac (1) (m) \\ sum \\ limite_i (m_i (\\ overline (r)) _ i \\ left (2 \\ right),) \\]

$ (\\ overline (r)) _ c $ - raza - un vector care determină poziția centrului de greutate; $ (\\ overline (r)) _ i $ sunt vectori de rază care determină pozițiile maselor elementare.

Centrul de greutate, centrul de masă și centrul de inerție al corpului

Formula (2) coincide cu expresiile care determină centrul de masă al corpului. În cazul în care dimensiunea corpului este mică în comparație cu distanța până la centrul pământului, se consideră că centrul de greutate coincide cu centrul de masă al corpului. În majoritatea sarcinilor, centrul de greutate coincide cu centrul de masă al corpului.

Forța inerției în cadrele de referință non-inerțiale care se mișcă translațional aplicate în centrul de greutate al corpului.

Dar trebuie avut în vedere faptul că forța de inerție centrifugă (în general) nu se aplică centrului de greutate, deoarece într-un sistem de referință neerțial, forțe de inerție centrifugă diferite acționează asupra elementelor corpului (chiar dacă masa elementelor este egală), deoarece distanțele până la axa de rotație sunt diferite.

Exemple de sarcini cu o soluție

Exemplul 1

Sarcina. Sistemul este compus din patru bile mici (Fig. 1). Care sunt coordonatele centrului său de greutate?

Decizie. Luați în considerare Fig. 1. În acest caz, centrul de greutate va avea o coordonată $ x_c $, pe care o definim ca:

Masa corporală în cazul nostru este egală cu:

Numerotorul fracției din partea dreaptă a expresiei (1.1) în cazul (1 (a)) ia forma:

\\ [\\ sum \\ limite_ (i \u003d 4) (\\ Delta m_ix_i \u003d m \\ cdot 0 + 2m \\ cdot a + 3m \\ cdot 2a + 4m \\ cdot 3a \u003d 20m \\ cdot a). \\]

Primim:

Răspuns. $ x_c \u003d 2a; $

Exemplul 2

Sarcina. Sistemul este compus din patru bile mici (Fig. 2) care sunt coordonatele centrului său de greutate?

Decizie. Luați în considerare Fig. 2. Centrul de greutate al sistemului este pe plan, prin urmare, are două coordonate ($ x_c, y_c $). Le găsim după formulele:

\\ [\\ left \\ (\\ begin (array) (c) x_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limite_i (\\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\\\ y_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limite_i (\\ Delta m_iy_i) ) (m). \\ end (array) \\ right. \\]

Greutatea sistemului:

Găsiți coordonata $ x_c $:

Coordonata $ Y_c $:

Răspuns. $ x_c \u003d 0,5 \\ a $; $ y_c \u003d 0,3 \\ a $

Calculele sunt aceleași ca pentru un fascicul de secțiune dreptunghiulară. Ele acoperă definiția forței în grindă și la colțurile plăcii. Apoi eforturile duc la centrul de greutate al noii secțiuni T.

Axa trece prin centrul de greutate al plăcii.

O abordare simplificată pentru forțele contabile de pe placă este de a înmulți forțele de pe nodurile plăcii (placa comună și nodurile fasciculului) cu lățimea plăcii de proiectare. La poziționarea fasciculului în raport cu placa, sunt luate în considerare deplasările (de asemenea, deplasările relative). Rezultatele scurtate obținute sunt aceleași ca și în cazul în care secțiunea T a fost ridicată de pe planul plăcii cu o cantitate de deplasare egală cu distanța de la centrul de greutate al plăcii până la centrul de greutate al secțiunii T (vezi figura de mai jos).

Aducerea eforturilor în centrul de greutate al secțiunii T se face după cum urmează:

M \u003d Mb + Mp * B + Np * B * e1 + Nb * e2

B \u003d beff1 + b + beff2

Determinarea centrului de greutate al secțiunii T

Momentul static calculat la centrul de greutate al plăcii

S \u003d b * h * (compensare)

A \u003d (beff1 + b + beff2) * hpl + b * h

Centrul de greutate ridicat în raport cu centrul de greutate al plăcii:

b este lățimea fasciculului;

h este înălțimea fasciculului;

beff1, beff2 - lățimea calculată a plăcii;

hpl - înălțimea plăcii (grosimea plăcii);

decalarea este decalarea fasciculului în raport cu placa.

NOTĂ.

1. Trebuie menționat că pot exista zone comune ale plăcii și grinzilor, care din păcate vor fi calculate de două ori, ceea ce va crește rigiditatea fasciculului T. Drept urmare, efortul și devierea sunt mai mici.
2. Rezultatele plăcii sunt citite din nodurile elementelor finite; îngroșarea ochiurilor afectează rezultatele.
3. În model, axa secțiunii T traversează centrul de greutate al plăcii.
4. Înmulțirea eforturilor corespunzătoare cu lățimea acceptată a plăcii de proiectare este o simplificare, ceea ce duce la rezultate aproximative.

Structurile flexibile din beton armat cu secțiune transversală dreptunghiulară nu sunt eficiente din punct de vedere al rentabilității. Acest lucru se datorează faptului că tensiunile normale de-a lungul înălțimii secțiunii în timpul îndoirii elementului sunt distribuite inegal. În comparație cu secțiunile dreptunghiulare, secțiunile T sunt mult mai profitabile, deoarece cu aceeași capacitate portantă, consumul de beton în elementele profilului T este mai mic.

Secțiunea T, de regulă, are o armătură unică.

În calculele pentru rezistența secțiunilor normale ale elementelor de îndoire a profilului T, există două cazuri de proiectare.

Algoritmul primului caz de proiectare se bazează pe presupunerea că axa neutră a elementului îndoit este situată în flanșa comprimată.

Algoritmul celui de-al doilea caz de proiectare se bazează pe presupunerea că axa neutră a elementului îndoit este situată în afara flanșei comprimate (trece de-a lungul marginii secțiunii T a elementului).

Calculul rezistenței secțiunii normale a unui element de beton armat flexibil cu o armătură unică în cazul în care axa neutră este amplasată în flanșa comprimată este identică cu algoritmul pentru calcularea unei secțiuni transversale dreptunghiulare cu o armătură unică, cu o lățime de secțiune egală cu lățimea flanșei T.

Schema de proiectare pentru acest caz este prezentată în figura 3.3.

Fig. 3.3. Calculul rezistenței secțiunii normale a unui element de beton flexibil în cazul în care axa neutră este amplasată în flanșa comprimată.

Geometric, cazul în care axa neutră este situată în raftul comprimat înseamnă că înălțimea zonei comprimate a secțiunii Taur () nu este mai mare decât înălțimea raftului comprimat și este exprimată prin condiția: .

Din punct de vedere al forțelor de acțiune din sarcina externă și forțele interne, această condiție înseamnă că rezistența secțiunii este asigurată dacă valoarea calculată a momentului de îndoire din sarcina externă (M ) nu va depăși valoarea calculată a momentului eforturilor interne în raport cu centrul de greutate al secțiunii transversale a armăturii întinse la valori .

M (3.25)

Dacă condiția (3.25) este îndeplinită, atunci axa neutră este într-adevăr situată în flanșa comprimată. În acest caz, este necesar să se clarifice ce dimensiune a lățimii raftului comprimat trebuie să fie luată în considerare în calcul. Regulile stabilesc următoarele reguli:

Valoare b " f intrat în calcul; acceptați cu condiția ca lățimea suprafetei raftului în fiecare direcție de la coastă să nu fie mai mare 1 / 6 durata unui element și nu mai mult:

a) în prezența coastelor transversale sau cu h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 distanța în lumină dintre coastele longitudinale;

b) în absența coastelor transversale (sau la distanțe între ele mai mari decât distanțele dintre coastele longitudinale) și h " f < 0,1 h - 6 h " f

c) cu coamele rabatabile ale raftului:

la h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

la 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

la h " f < 0,05 h - suprapunerile nu iau în considerare.

Scriem condiția de rezistență în raport cu centrul de greutate al armăturii longitudinale întinse

M (3.26)

Transformăm ecuația (3.26) în mod similar transformărilor expresiilor (3.3). (3.4) obținem expresia

M (3.27)

De aici definim valoarea

= (3.28)

După valoarea din tabel definiți valorile și.

Comparați valoarea . secțiunea unui element. Dacă condiția 𝛏 este îndeplinită, atunci constituie o condiție de rezistență în raport cu centrul de greutate al zonei comprimate a mărcii.

M (3.29)

După finalizarea transformării expresiei (3.29), similar transformării expresiei (3.12), obținem:

= (3.30)

este necesar să se selecteze valorile zonei armăturii longitudinale de lucru.

Calculul rezistenței secțiunii normale a unui element de beton armat îndoit cu o singură armătură în cazul în care axa neutră este amplasată în afara flanșei comprimate (trece de-a lungul marginii mărcii) este oarecum diferită de cea considerată mai sus.

Schema de proiectare pentru acest caz este prezentată în Fig. 3.4.

Fig. 3.4. Calculul rezistenței secțiunii normale a unui element de beton flexibil în cazul în care axa neutră este amplasată în afara flanșei comprimate.

Luați în considerare secțiunea zonei comprimate a mărcii ca suma formată din două dreptunghiuri (părțile laterale ale raftului) și un dreptunghi legat de partea comprimată a coastei.

Stare de rezistență în raport cu centrul de greutate al armăturii la tracțiune.

M + (3.31)

unde – efort în coșurile comprimate ale raftului;

Apăsați de la centrul de greutate al armăturii întinse până la centrul de greutate al suprafețelor raftului;

–Force în partea comprimată a coastei mărcii;

- umăr de la centrul de greutate al armăturii întinse până la centrul de greutate al părții comprimate a coastei.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Înlocuim expresiile (3.32 - 3.35) în formula (3.31).

M + b (3.36)

Transformăm în expresia (3.36) al doilea termen din partea dreaptă a ecuației în mod similar transformărilor efectuate mai sus (formulele 3.3; 3.4; 3.5)

Obținem următoarea expresie:

M + (3.37)

De aici determinăm valoarea numerică .

= (3.38)

După valoarea din tabel definiți valorile și.

Comparați valoarea cu valoarea de delimitare a înălțimii relative a zonei comprimate . secțiunea unui element. Dacă condiția 𝛏 este îndeplinită, atunci acestea alcătuiesc condiția de echilibru pentru proiecțiile forțelor pe axa longitudinală a elementului. Σ N=0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

De aici determinăm aria secțiunii transversale necesare a armăturii de lucru longitudinale întinse.

= (3.41)

Prin sortiment de armare a barelor este necesar să se selecteze valorile zonei armăturii longitudinale de lucru.