Divizarea după unghiul fracțiilor zecimale regulă. Fracționarea zecimală: reguli, exemple, soluții

Găsiți prima cifră a coeficientului (rezultatul diviziunii).   Pentru a face acest lucru, împărțiți prima cifră a dividendului la un divizor. Scrieți rezultatul sub divizor.

• În exemplul nostru, prima cifră a dividendului este numărul 3. Împărțirea 3 cu 12. Deoarece 3 este mai mic de 12, atunci rezultatul împărțirii va fi 0. Notează 0 sub divizor - aceasta este prima cifră a coeficientului.

Înmulțiți rezultatul cu divizorul.   Scrieți rezultatul înmulțirii sub prima cifră a dividendului, deoarece tocmai ați împărțit acest număr într-un divizor.

• În exemplul nostru, 0 × 12 \u003d 0, scrieți 0 sub 3.

Reduceți rezultatul înmulțirii din prima cifră a dividendului.   Scrieți răspunsul pe o nouă linie.

• În exemplul nostru: 3 - 0 \u003d 3. Scrieți 3 direct sub 0.

Mutați în jos a doua cifră a dividendului.   Pentru a face acest lucru, scrieți următoarea cifră a dividendului lângă rezultatul scăderii.

• În exemplul nostru, numărul 30. este divizibil. Cea de-a doua cifră a dividendului este 0. Reduceți-l în jos, scriind 0 lângă 3 (rezultatul scăderii). Vei primi numărul 30.

Împărțiți rezultatul la un divizor.   Vei găsi cea de-a doua cifră a cotei. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul de pe linia de jos de către un divizor.

• În exemplul nostru, împărțim 30 la 12. 30 ÷ 12 \u003d 2 plus alte resturi (deoarece 12 x 2 \u003d 24). Scrieți 2 după 0 sub divizor - aceasta este a doua cifră a coeficientului.
• Dacă nu găsiți o cifră adecvată, sortați cifrele până când rezultatul înmulțirii oricărei cifre de către divizor este mai mic și cel mai aproape de numărul localizat ultima în coloană. În exemplul nostru, luați în considerare numărul 3. Înmulțiți-l de divizor: 12 x 3 \u003d 36. Deoarece 36 este mai mare de 30, atunci numărul 3 nu este potrivit. Acum luați în considerare numărul 2. 12 x 2 \u003d 24. 24 este mai mic decât 30, deci numărul 2 este decizia corectă.

Repetați pașii de mai sus pentru a găsi următoarea cifră.   Algoritmul descris este utilizat în orice sarcină de coloană de divizare.

• Înmulțiți a doua cifră a coeficientului cu divizorul: 2 x 12 \u003d 24.
• Scrieți rezultatul înmulțirii (24) sub ultimul număr din coloana (30).
• Scădeți numărul mai mic de la cel mai mare. În exemplul nostru: 30 - 24 \u003d 6. Scrieți rezultatul (6) pe o nouă linie.

Dacă în dividend există numere care pot fi reduse, continuați procesul de calcul.   În caz contrar, treceți la pasul următor.

• În exemplul nostru, ați redus ultima cifră a dividendului (0). Prin urmare, treceți la pasul următor.

Dacă este necesar, utilizați punctul zecimal pentru a extinde dividendul.   Dacă dividendul este divizibil complet, atunci pe ultima linie veți obține numărul 0. Aceasta înseamnă că problema este rezolvată, iar răspunsul (sub forma unui număr întreg) este scris sub divizor. Dar dacă în partea de jos a coloanei se află o altă cifră decât 0, este necesar să se extindă dividendul punând un punct zecimal și alocând 0. Reamintim că aceasta nu schimbă valoarea dividendului.

• În exemplul nostru, ultima linie este numărul 6. Prin urmare, la dreapta 30 (dividend) scrieți un punct zecimal și apoi scrieți 0. De asemenea, puneți un punct zecimal după cifrele găsite ale cotientului pe care îl scrieți sub divizor (după acest punct, nu scrieți nimic!) .

Repetați pașii pentru a găsi următoarea cifră.   Principalul lucru este să nu uitați să puneți un punct zecimal atât după dividend, cât și după cifrele găsite ale cotului. Restul procesului este similar cu cel descris mai sus.

• În exemplul nostru, coborâți la 0 (pe care l-ați scris după punctul zecimal). Veți obține numărul 60. Acum împărțiți acest număr la divizor: 60 ÷ 12 \u003d 5. Scrieți 5 după 2 (și după punctul zecimal) sub divizor. Aceasta este a treia cifră a cotientului. Astfel, răspunsul final este 2,5 (zero înainte de 2 pot fi neglijate).

Luați în considerare exemplele fracțiilor zecimale din această lume.

Un exemplu.

Împărțiți zecimale 1,2 la zecimale 0,48.

Decizie.

Răspunsul este:

1,2:0,48=2,5 .

Un exemplu.

Împărțiți fracția zecimală 0, (504) la fracția zecimală 0,56.

Decizie.

   Conversia fracției zecimale periodice în obișnuită:. De asemenea, traducem fracția zecimală finală de 0,56 în fracția ordinară, avem 0,56 \u003d 56/100. Acum putem trece de la împărțirea fracțiilor zecimale originale la fracțiunile fracțiilor obișnuite și să terminăm calculul:

Traducem fracția obișnuită obținută într-o fracție zecimală, prin împărțirea numărătorului cu numitorul într-o coloană:

Răspunsul este:

0,(504):0,56=0,(900) .

Principiul diviziunii fracțiilor zecimale infinite neperiodice   diferă de principiul divizării fracțiilor zecimale finite și periodice, deoarece fracțiile zecimale neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite. Împărțirea fracțiilor zecimale infinite neperiodice se reduce la diviziunea fracțiilor zecimale finite, pentru care rotunjirea numerelor la un anumit nivel. Mai mult, dacă unul dintre numerele cu care se realizează diviziunea este o fracție zecimală finită sau periodică, atunci este rotunjită la același nivel cu fracția zecimală neperiodică.

Un exemplu.

Împărți zecimalul infinit neperiodic de 0,779 ... la zecimalul final de 1,5602.

Decizie.

Mai întâi trebuie să rotunjiți fracțiile zecimale, astfel încât, de la împărțirea unei fracții zecimale infinite neperiodice, să treceți la fracțiile zecimale finale. Putem rotunji la suta: 0,779 ... ≈0.78 și 1.5602≈1.56. Astfel, 0.779 ...: 1.5602≈0.78: 1.56 \u003d 78/100: 156/100 \u003d 78/100100/156 \u003d 78/156=1/2=0,5 .

Răspunsul este:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Împărțirea unui număr natural cu o fracție zecimală și invers

Esența abordării de a împărți un număr natural la o fracție zecimală și de a împărți o fracție zecimală la un număr natural nu este diferită de esența divizării fracțiilor zecimale. Adică, fracțiile finite și periodice sunt înlocuite cu fracții obișnuite, iar fracțiile infinite neperiodice sunt rotunjite.

Pentru a ilustra, luați în considerare exemplul de împărțire a fracției zecimale la un număr natural.

Un exemplu.

Împărțiți fracția zecimală 25,5 la numărul natural 45.

Decizie.

Înlocuind fracția zecimală cu 25,5 fracție ordinară 255/10 \u003d 51/2, diviziunea se reduce la împărțirea fracției obișnuite cu un număr natural:. Fracția rezultată în notație zecimală are forma 0,5 (6).

Răspunsul este:

25,5:45=0,5(6) .

Împărțirea unei zecimale la un număr natural de o coloană

Împărțirea fracțiilor zecimale finite în numere naturale se realizează în mod convenabil într-o coloană prin analogie cu diviziunea numerelor naturale într-o coloană. Dăm regula împărțirii.

că împarte o zecimală într-un număr natural cu o coloană, este necesar:

• adăugați mai multe cifre 0 la dreapta în fracția zecimală (în procesul de împărțire, puteți adăuga orice număr de zerouri, dacă este necesar, dar este posibil ca aceste zerouri să nu fie necesare);
• efectuați împărțirea cu o fracție zecimală cu un număr natural conform tuturor regulilor de divizare printr-o coloană de numere naturale, dar când se termină diviziunea părții întregi a fracției zecimale, trebuie să puneți o virgulă în cotă și să continuați diviziunea.

Imediat, spunem că, ca rezultat al împărțirii fracției zecimale finale la un număr natural, se poate obține fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Într-adevăr, după ce se termină diviziunea tuturor zecimalelor care nu sunt 0 ale fracției divizibile, restul 0 poate fi obținut și vom obține fracția zecimală finală sau restul vor începe să se repete periodic și vom obține fracția zecimală periodică.

Vom rezolva toate complicațiile divizării fracțiilor zecimale în numere naturale la o coloană atunci când rezolvăm exemple.

Un exemplu.

Împărțiți zecimalul de 65,14 la 4.

Decizie.

Executăm împărțirea fracției zecimale cu un număr natural într-o coloană. Adăugăm o pereche de zerouri la dreapta în înregistrarea fracției 65.14 și obținem fracția zecimală 65.1400 egală cu aceasta (vezi fracții zecimale egale și inegale). Acum puteți începe să împărțiți partea întreagă a fracției zecimale 65,1400 la un număr natural 4 cu o coloană:

În acest sens, diviziunea părții întregi a fracției zecimale este completată. Aici, în cotă, trebuie să puneți punctul zecimal și să continuați diviziunea:

Am ajuns la restul 0, în această etapă, se termină diviziunea coloanei. Drept urmare, avem 65,14: 4 \u003d 16,285.

Răspunsul este:

65,14:4=16,285 .

Un exemplu.

Împărțiți 164.5 la 27.

Decizie.

Să împărțim fracția zecimală într-un număr natural cu o coloană. După împărțirea părții întregi, obținem următoarea imagine:

Acum puneți o virgulă privată și continuați diviziunea cu o coloană:

Acum este clar vizibil că rămășițele din 25, 7 și 16 au început să se repete, în timp ce numerele 9, 2 și 5 se repetă în special. Astfel, împărțirea fracției zecimale 164,5 la 27 ne conduce la fracția zecimală 6,0 (925).

Răspunsul este:

164,5:27=6,0(925) .

Diviziunea coloanelor

Prin împărțirea fracției zecimale la un număr natural, coloana poate fi redusă prin împărțirea fracției zecimale la fracția zecimală. Pentru aceasta, dividendul și divizorul trebuie înmulțiți cu un astfel de număr 10, sau 100, sau 1.000, etc., astfel încât divizorul să devină un număr natural, și apoi să se împartă cu un număr natural cu o coloană. Putem face acest lucru datorită proprietăților diviziei și înmulțirii, deoarece a: b \u003d (a · 10) :( b · 10), a: b \u003d (a · 100) :( b · 100) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte pentru a împărți zecimalul final în zecimală finală, Trebuie să:

• în dividend și divizor, mutați virgula spre dreapta prin cât mai multe personaje există după virgulă în divizor, dacă în același timp în dividend nu există suficiente semne pentru a transfera virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta;
• după aceea, împărțiți la o fracție zecimală la un număr natural.

Luați în considerare, atunci când rezolvați un exemplu, aplicarea acestei reguli de divizare zecimală.

Un exemplu.

Împărțiți la 7.287 la 2.1.

Decizie.

Deplasați virgula în aceste fracții zecimale cu o cifră la dreapta, acest lucru ne va permite să împărțim fracția zecimală de 7.287 la fracția zecimală de 2.1 și să continuăm să împărțim fracția zecimală de 72,87 la un număr natural 21. Efectuați împărțirea pe coloană:

Răspunsul este:

7,287:2,1=3,47 .

Un exemplu.

Împărțiți zecimalul 16.3 la zecimale 0.021.

Decizie.

Mutați virgula în dividend și divizorul spre dreapta cu 3 cifre. Evident, divizorul nu are suficiente cifre pentru a transporta virgula, așa că adăugăm numărul necesar de zerouri la dreapta. Acum vom efectua împărțirea cu o coloană a fracției 16300.0 cu un număr natural 21:

Din acest moment, rămășițele 4, 19, 1, 10, 16 și 13 încep să se repete, ceea ce înseamnă că numerele 1, 9, 0, 4, 7 și 6 se vor repeta în special. Drept urmare, obținem fracția zecimală periodică 776, (190476).

Răspunsul este:

16,3:0,021=776,(190476) .

Rețineți că regula menționată vă permite să împărțiți printr-o coloană un număr natural la o fracție zecimală finală.

Un exemplu.

Împărțiți numărul natural 3 la fracția zecimală de 5,4.

Decizie.

După transferarea virgulei cu 1 cifră la dreapta, ajungem la împărțirea numărului 30.0 la 54. Efectuați împărțirea pe coloană:
.

Această regulă poate fi aplicată și la împărțirea fracțiilor zecimale infinite la 10, 100, ... De exemplu, 3, (56): 1.000 \u003d 0.003 (56) și 593.374 ...: 100 \u003d 5.93374 ...

Împărțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,01, 0,001 etc.

Deoarece 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, etc., rezultă din regula divizării cu o fracție obișnuită care împarte fracția zecimală cu 0,1, 0,01, 0,001 etc. . este la fel ca înmulțirea unei zecimale date cu 10, 100, 1.000 etc. respectiv.

Cu alte cuvinte, pentru a împărți fracția zecimală cu 0,1, 0,01, ... trebuie să mutați virgula spre dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, în timp ce cifrele din înregistrarea fracției zecimale nu sunt suficiente pentru a transfera virgula, atunci trebuie adăugată suma corectă zerouri.

De exemplu, 5.739: 0.1 \u003d 57.39 și 0.21: 0.00001 \u003d 21.000.

Aceeași regulă poate fi aplicată la împărțirea fracțiilor zecimale infinite cu 0,1, 0,01, 0,001 etc. În acest caz, ar trebui să fii foarte atent la împărțirea fracțiilor periodice, pentru a nu greși cu perioada fracției care rezultă din diviziune. De exemplu, 7.5 (716): 0.01 \u003d 757, (167), deoarece după transferul punctului zecimal 7.5716716716 ... la două cifre la dreapta, avem intrarea 757.167167 ... Cu fracții zecimale neperiodice infinite, totul este mai simplu: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Împărțirea unei fracții obișnuite sau a unui număr mixt cu o fracție zecimală și invers

Împărțirea unei fracții obișnuite sau a unui număr mixt cu o fracție zecimală finită sau periodică, precum și împărțirea unei fracții zecimale finite sau periodice cu o fracție comună sau a unui număr mixt, se reduce la diviziunea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, fracțiile zecimale sunt înlocuite cu fracțiile ordinare corespunzătoare, iar numărul mixt este reprezentat ca o fracție incorectă.

Când împărțiți o fracție zecimală infinită neperiodă la o fracție obișnuită sau un număr mixt și invers, ar trebui să mergeți la diviziunea fracțiilor zecimale, înlocuind fracția obișnuită sau numărul mixt cu fracția zecimală corespunzătoare.

Referințe.

• matematică: manual. timp de 5 cl. educație generală. institutii / N. Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - ediția a 21-a. - M .: Mnemosyne, 2007 .-- 280 p .: bolnav. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica.   Gradul 6: manual. pentru învățământul general. instituții / [N. Y. Vilenkin și colab.]. - ediția a 22-a, Rev. - M.: Mnemozin, 2008 .-- 288 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra:   Proc. timp de 8 cl. educație generală. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; sub redacția din S. A. Telyakovsky. - ediția a 16-a. - M.: Educație, 2008 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovici A.G.   Matematică (manual pentru intrarea în facultate): manual. indemnizație.- M .; Executive. școală., 1984.-351 p., bolnav.

Mulți liceeni uită cum să efectueze diviziunea într-o coloană. Calculatoare, calculatoare, telefoane mobile și alte dispozitive au intrat atât de strâns în viața noastră încât operațiile matematice elementare duc uneori la o stupoare. Și de îndată ce oamenii au făcut fără toate aceste beneficii acum câteva decenii? Mai întâi trebuie să vă amintiți principalele concepte matematice care sunt necesare pentru divizare. Deci, dividendul este numărul care trebuie împărțit. Divizorul este numărul care trebuie împărțit. Ceea ce va rezulta se numește coeficient. Pentru împărțirea într-o linie, se folosește un simbol similar unui colon: „:”, iar la împărțirea într-o coloană se folosește pictograma „∟”, se mai numește și colț.

De asemenea, merită reamintit că orice diviziune poate fi verificată prin înmulțire. Pentru a verifica rezultatul împărțirii, doar înmulțiți-l de divizor, ca urmare, ar trebui să obțineți un număr care să corespundă dividendului (a: b \u003d c; prin urmare, c * b \u003d a). Acum despre ce este o fracție zecimală. Fracția zecimală se obține după împărțirea unității cu 0,0, 1000, etc. Înregistrarea acestor numere și operațiunile matematice cu acestea sunt exact aceleași ca și cu numere întregi. La împărțirea fracțiilor zecimale, nu este necesar să vă amintiți unde se află numitorul. Totul devine atât de clar atunci când scrii un număr. În primul rând, este scris un număr întreg și după virgulă sunt scrise zecimile, sutimile, miile. Prima cifră după zecimal corespunde zeci, a doua la sute, a treia la mii etc.

Fiecare student ar trebui să știe să împartă fracțiile zecimale la fracția zecimală. Dacă atât dividendul, cât și divizorul sunt înmulțiți cu același număr, atunci răspunsul, adică cotul, nu se va modifica. Dacă fracția zecimală este înmulțită cu 0,0, 1000 etc., atunci virgula, după un număr întreg, își va schimba poziția - va fi deplasată spre dreapta cu cât mai multe cifre există zerouri în numărul cu care am înmulțit. De exemplu, dacă înmulțiți zecimala cu 10, virgula va schimba un număr la dreapta. 2.9: 6.7 - multiplicăm atât divizorul cât și dividendul cu 100, obținem 6.9: 3687. Cel mai bine este să înmulțim, astfel încât atunci când înmulțim cu cel puțin un număr (divizor sau dividend) să nu aibă cifre după punctul zecimal, adică faceți cel puțin un număr întreg. Alte câteva exemple de transfer de virgule după un număr întreg: 9.2: 1.5 \u003d 2492: 2.5; 5,4: 4,8 \u003d 5344: 74598.

Atenție, fracția zecimală nu-și va schimba valoarea dacă îi sunt atribuite zerouri din dreapta, de exemplu 3.8 \u003d 3.0. De asemenea, valoarea fracției nu se va schimba dacă elimină zero de la dreapta la sfârșitul numărului: 3.0 \u003d 3.3. Cu toate acestea, este imposibil să eliminați zerourile la mijlocul numărului - 3.3. Cum se împarte o fracție zecimală cu un număr natural într-o coloană? Pentru a împărți o fracție zecimală într-un număr natural într-o coloană, trebuie să faceți intrarea corespunzătoare cu un colț, să o împărțiți. Într-o virgulă privată trebuie să puneți când se termină diviziunea unui număr întreg. De exemplu, 5.4 | 2 14 7.2 18 18 0 4 4 0 Dacă prima cifră a numărului din dividend este mai mică decât divizorul, atunci sunt utilizate următoarele cifre, până când este posibilă prima acțiune.

În acest caz, prima cifră a divizibilului 1, ea nu poate fi împărțită la 2, prin urmare, două cifre 1 și 5 sunt utilizate simultan: 15 cu 2 se împarte cu restul, se dovedește în cotul 7, iar restul este 1. Atunci folosim următoarea cifră a divizibilului - 8. Îl coborâm până la 1 și împărțim 18 cu 2. În cotă scriem numărul 9. Nu mai rămâne nimic în rest, deci scriem 0. Cifra rămasă 4 a dividendului este divizată și divizată de divizor, adică 2. În cotă scrie 2, iar restul din nou 0. 0. Rezultatul acestei diviziuni este numărul 7.2. Se numește privat. Este destul de simplu să rezolvi întrebarea cum să împarți o fracție zecimală într-o fracție zecimală într-o coloană, dacă știi câteva trucuri. Împărțirea fracțiilor zecimale în minte este uneori destul de dificilă, astfel încât divizarea coloanelor este utilizată pentru a facilita procesul.

Cu această diviziune, se aplică aceleași reguli ca atunci când se împarte fracția zecimală cu un număr întreg sau când se împarte într-o șir. În stânga liniei scrieți dividendul, apoi puneți simbolul „colț”, apoi scrieți divizorul și începeți diviziunea. Pentru a facilita împărțirea și transferul într-un loc convenabil cu virgulă după un număr întreg, puteți înmulți cu zeci, sute sau mii. De exemplu, 9.2: 1.5 \u003d 24920: 125. Atenție, ambele fracții sunt înmulțite cu 0,0, 1000. Dacă dividendul a fost înmulțit cu 10, atunci divizorul este, de asemenea, înmulțit cu 10. În acest exemplu, atât dividendul, cât și divizorul au fost înmulțiți cu 100. În continuare, calculul este efectuat așa cum se arată în exemplul divizării fracției zecimale la un număr natural. Pentru a se împărți cu 0,1; 0,1; 0,1 etc. este necesar să se înmulțească atât divizorul cât și dividendul cu 0,0, 1000.

Destul de des, atunci când se împarte în cotă, adică în răspuns, se obțin fracții infinite. În acest caz, este necesar să rotunjiți numărul la zecimi, sutimi sau mii. În acest caz, regula se aplică, dacă după numărul la care trebuie să rotunjiți răspunsul mai mic sau egal cu 5, atunci răspunsul este rotunjit și dacă este mai mare de 5, este mai mare. De exemplu, doriți să rotunjiți un rezultat de la 5,5 la mii. Deci, răspunsul după punctul zecimal ar trebui să se termine cu numărul 6. După 6 costă 9, ceea ce înseamnă că răspunsul este rotunjit și obținem 5,7. Dar dacă ar fi necesar să rotunjiți răspunsul 5.5 nu la mii, ci la zecimi, atunci răspunsul ar arăta astfel - 5.2. În acest caz, 2 nu a fost rotunjit, deoarece după ce vine 3 și este mai mic de 5.

§ 107. Adăugarea fracțiilor zecimale.

Adăugarea fracțiilor zecimale este aceeași cu adăugarea de numere întregi. Vom verifica acest lucru cu exemple.

1) 0,132 + 2,354. Să semnăm termenii unul sub celălalt.

Aici, de la adăugarea a 2 mii la 4 mii, se obțin 6 mii;
din adăugarea a 3 sutimi cu 5 sutimi, se obțin 8 sutimi;
de la adăugarea de 1 zecime cu 3 zecimi -4 zecimi și
de la adăugarea de 0 întregi la 2 numere întregi - 2 întregi.

2) 5,065 + 7,83.

În cel de-al doilea termen nu există nici o mie de miimi, de aceea este important să nu greșim când semnați termenii unul sub celălalt.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Aici, la adăugarea miilor, s-a dovedit 21 de mii; am scris 1 sub mii și am adăugat 2 la sutimi, așa că în descărcarea de sute am obținut următorii termeni: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; în total, dau 19 sutimi, am semnat 9 sub sutimi, iar 1 numărat la zecimi etc.

Astfel, la adăugarea fracțiilor zecimale, trebuie respectată următoarea ordine: semnează fracțiunile una sub alta, astfel încât, în toți termenii, să fie aceleași cifre unul sub celălalt și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; în dreapta zecimalelor unor termeni, ei atribuie, cel puțin mental, un astfel de număr de zerouri, astfel încât toți termenii după punctul zecimal să aibă același număr de cifre. Apoi, se efectuează adăugarea prin cifre, începând din partea dreaptă, iar în cantitatea rezultată, o virgulă este plasată în aceeași coloană verticală în care se află în acești termeni.

§ 108. Scăderea fracțiilor zecimale.

Scăderea fracțiilor zecimale este aceeași cu scăderea numerelor întregi. Arătăm acest lucru cu exemple.

1) 9.87 - 7.32. Scriem deductibilul în condițiile decretate, astfel încât unitățile dintr-o categorie să fie una de cealaltă:

2) 16.29 - 4.75. Vom semna deductibilul în condițiile decretate, ca în primul exemplu:

Pentru a face scăderea zecimilor, a fost necesar să luăm o unitate întreagă din 6 și să o împărțim în zecimi.

3) 14.0213-5.350712. Semnăm deductibilul sub reducerea:

Scăderea s-a efectuat după cum urmează: din moment ce nu putem scădea 2 milioane din 0, ar trebui să ne întoarcem la cea mai apropiată cifră la stânga, adică la sutimi de o mie, dar zero stă și la locul sutimilor de o mie, așa că luăm 1 din 3 zece mii și o zece mii și îl zdrobim în sute de mii, obținem 10 sutimi dintr-o mie, din care 9 sute de mii rămân în categoria a o sută, iar noi împărțim o sutime de o mie în milioane, obținem 10 milioane. Astfel, în ultimele trei cifre, am obținut: a 10-a a 10-a, a suta-a mil-a-mii-mii-mii 2. Aceste numere, pentru claritate și comoditate (pentru a nu fi uitate), sunt scrise deasupra cifrelor fracționale corespunzătoare ale celui decretat. Acum puteți începe scăderea. Din 10 milioane ne scădem 2 milioane, obținem 8 milioane; de la 9 sutimi, scadem 1 sutime, obținem 8 sutimi etc.

Astfel, la scăderea fracțiilor zecimale, se observă următoarea ordine: ele semnează deductibilul sub decrementat, astfel încât aceleași cifre să fie unul față de celălalt și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; în dreapta, ei atribuie, cel puțin mental, în atâtea zerouri care trebuie reduse sau scăzute astfel încât să aibă același număr de cifre, apoi se scad prin cifre, începând din partea dreaptă și pun virgula în diferența primită în aceeași coloană verticală în care se află reducibil și deductibil.

§ 109. Înmulțirea fracțiilor zecimale.

Să ne uităm la câteva exemple de înmulțire zecimale.

Pentru a găsi produsul acestor numere, putem argumenta după cum urmează: dacă factorul este mărit de 10 ori, atunci ambii factori vor fi numere întregi și le putem multiplica prin regulile de înmulțire a numerelor întregi. Știm însă că atunci când unul dintre factori crește de mai multe ori, produsul crește cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că numărul obținut prin înmulțirea tuturor factorilor, adică 28 cu 23, este de 10 ori mai mare decât produsul adevărat, iar pentru a obține produsul adevărat, trebuie să reduceți produsul găsit de 10 ori. Prin urmare, aici va trebui să efectuați o înmulțire o dată cu 10 și o împărțire a timpului cu 10, dar înmulțirea și divizarea cu 10 se realizează prin mutarea virgulei la dreapta și la stânga de un singur caracter. Prin urmare, trebuie să faceți acest lucru: în factor, mutați virgula spre dreapta cu un singur personaj, din aceasta va fi egală cu 23, atunci trebuie să multiplicați numerele întregi rezultate:

Această lucrare este de 10 ori mai mare decât adevărată. Prin urmare, trebuie redusă de 10 ori, pentru care mutăm virgula la un personaj la stânga. Astfel, obținem

28 2,3 = 64,4.

În scopuri de verificare, puteți să scrieți o fracție zecimală cu un numitor și să efectuați o acțiune conform regulii pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite, adică.

2) 12,27 0,021.

Diferența dintre acest exemplu și precedent este că aici ambii factori sunt reprezentați prin fracții zecimale. Dar aici, în procesul de înmulțire, nu vom acorda atenție virgulelor, adică crește temporar multiplicatorul de 100 de ori, iar multiplicatorul de 1.000 de ori, ceea ce face ca produsul să crească de 100.000 de ori. Astfel, înmulțind 1 227 cu 21, obținem:

1 227 21 = 25 767.

Ținând cont că lucrarea rezultată este de 100.000 de ori mai mare decât cea adevărată, acum trebuie să o reducem de 100.000 de ori prin setarea corectă a unei virgule în ea, atunci obținem:

32,27 0,021 = 0,25767.

Verificați:

Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale, este suficient, fără să acordăm atenție virgulelor, să le înmulțim ca numere întregi și în produs, să separe cât mai multe zecimale ca numărul din multiplicator și în multiplicatorul împreună pe partea dreaptă.

În ultimul exemplu, am obținut un produs cu cinci zecimale. Dacă nu este necesară o precizie atât de mare, atunci zecimalul este rotunjit. La rotunjire, ar trebui să folosiți regula care a fost specificată pentru întregi.

§ 110. Înmulțirea pe tabele.

Înmulțirea fracțiilor zecimale se poate face uneori folosind tabele. În acest scop, de exemplu, puteți utiliza tabele de înmulțire cu două cifre descrise anterior.

1) Înmulțiți 53 cu 1,5.

Vom înmulți 53 cu 15. În tabel, acest produs este 795. Am găsit produsul 53 cu 15, dar al doilea factor a fost de 10 ori mai mic, ceea ce înseamnă că produsul trebuie redus de 10 ori, adică

53 1,5 = 79,5.

2) Înmulțiți 5,3 cu 4,7.

Mai întâi găsim produsul de 53 cu 47 în tabel, acesta va fi 2 491. Dar, deoarece am crescut multiplicatorul și factorul cu un total de 100 de ori, produsul rezultat este de 100 de ori mai mult decât ar trebui; prin urmare, trebuie să reducem acest produs de 100 de ori:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Înmulțiți 0,53 cu 7,4.

Mai întâi găsim în tabel produsul de 53 cu 74; va fi 3.922. Dar, deoarece am crescut multiplicatorul de 100 de ori, iar factorul de 10 ori, produsul a crescut de 1.000 de ori; prin urmare, trebuie să o reducem acum de 1.000 de ori:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Împărțirea zecimelor zecimale.

Vom lua în considerare împărțirea fracțiilor zecimale în această ordine:

1. Împărțirea fracției zecimale cu un număr întreg,

1. Împărțirea fracției zecimale cu un număr întreg.

1) Împărțiți 2.46 la 2.

Am împărțit în 2 prime întregi, apoi zeci și în sfârșit sutimi.

2) Împărțiți 32.46 la 3.

32,46: 3 = 10,82.

Am împărțit 3 zeci în 3, apoi am început să împărțim 2 unități în 3; întrucât numărul de unități divizibile (2) este mai mic decât divizorul (3), a fost necesar să se stabilească 0 în cotă; mai departe, în rest am demolat 4 zecimi și am împărțit 24 de zecimi în 3; a primit în privat 8 zecimi și în cele din urmă a împărțit 6 sutimi.

3) Împărțiți 1.2345 la 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Aici, în primul rând, în număr, am obținut zero numere întregi, deoarece un număr întreg nu este divizibil cu 5.

4) Împărțiți 13.58 la 4.

Particularitatea acestui exemplu este că atunci când am obținut 9 sutimi în cotă, am găsit restul egal cu 2 sutimi, am împărțit restul în mii, am obținut 20 mii și am dus diviziunea până la sfârșit.

Regula.Împărțirea fracției zecimale cu un număr întreg se realizează în același mod ca și diviziunea întregi, iar reziduurile rezultate sunt convertite în fracții zecimale, din ce în ce mai mici; diviziunea este continuată până când se obține un zero în restul.

2. Împărțirea fracției zecimale la fracția zecimală.

1) Împărțiți 2,46 la 0,2.

Știm deja cum să împărțim fracția zecimală cu un număr întreg. Să ne gândim, este posibil să reducem acest nou caz de divizare la cel anterior? La un moment dat, am considerat proprietatea remarcabilă a cotientului, care constă în faptul că acesta rămâne neschimbat în timp ce crește sau scade dividendul și divizorul de același număr de ori. Am putea diviza cu ușurință numerele oferite nouă dacă divizorul ar fi un număr întreg. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l crești cu un factor de 10, iar pentru a obține coeficientul potrivit este necesar să crești dividendul cu același factor, adică cu un factor de 10. Atunci diviziunea acestor numere va fi înlocuită cu diviziunea acestor numere:

mai mult decât atât, nu va mai fi necesară nicio modificare a privatului.

Efectuați această împărțire:

Deci 2,46: 0,2 \u003d 12,3.

2) Împărțiți 1,25 la 1,6.

Măriți divizorul (1,6) de 10 ori; pentru ca cotientul să nu se schimbe, creștem de 10 ori dividendul; 12 numere întregi nu este divizibil cu 16, deci scriem în coeficientul 0 și împărțim 125 zecimi în 16, obținem în cotul 7 zecimi și restul 13. Împărțim 13 zecimi în sutimi, alocând zero și împărțim 130 sutimi la 16 etc. la următoarele:

a) atunci când în numărul întreg nu funcționează numere întregi, atunci zero numere întregi sunt scrise la locul lor;

b) atunci când după ce ați rămas restul cifrei dividendului, se obține un număr care nu este divizibil de divizor, atunci cotul este scris la zero;

c) când după ce ultima cifră a dividendului a fost demolată, diviziunea nu se încheie, atunci, alocând zerouri restului, diviziunea continuă;

d) dacă dividendul este un număr întreg, atunci când îl împarte la o fracție zecimală, creșterea acestuia se realizează prin alocarea de zerouri.

Astfel, pentru a împărți numărul la o fracție zecimală, trebuie să aruncați virgula în divizor și apoi să măriți dividendul de câte ori divizorul crește când aruncați virgula în ea, apoi efectuați diviziunea conform regulii de împărțire a fracției zecimale la un număr întreg.

§ 112. Cotul aproximativ.

În paragraful precedent, am examinat împărțirea fracțiilor zecimale, iar în toate exemplele pe care le-am rezolvat, diviziunea a fost adusă la final, adică s-a obținut coeficientul exact. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, nu poate fi obținut coeficientul exact, oricât de departe vom continua diviziunea. Iată un astfel de caz: împărțiți 53 la 101.

Am primit deja cinci cifre în privat și diviziunea nu s-a încheiat încă și nu există nicio speranță că se va termina vreodată, deoarece în reziduuri începem să vedem numere care au fost deja întâlnite. În special, se vor repeta și numerele: este evident că după numărul 7 va apărea numărul 5, apoi 2 etc., fără sfârșit. În astfel de cazuri, diviziunea este întreruptă și limitată la primele câteva cifre ale coeficientului. Acest particular este numit aproximative.   Cum este necesar să se efectueze diviziunea, vom arăta cu exemple.

Să presupunem că aveți nevoie de 25 împărțit la 3. Evident, nu puteți obține coeficientul exact exprimat ca un număr întreg sau fracție zecimală. Prin urmare, vom căuta un coeficient aproximativ:

25: 3 \u003d 8 și restul 1

Quocientul aproximativ este de 8; este, desigur, mai mic decât coeficientul exact, pentru că există restul 1. Pentru a obține coeficientul exact, trebuie să adăugați fracția obținută din împărțirea restului egală cu 1 cu 3 la coeficientul aproximativ găsit, adică la 8; va fi o fracție 1/3. Prin urmare, coeficientul exact va fi exprimat ca un număr mixt 8 1/3. Deoarece 1/3 este o fracție regulată, adică o fracție, mai puține unitățiapoi aruncând-o, permitem eroarecă mai puțin de unul. Privat 8 va coeficientul aproximativ exact la unitatea cu un dezavantaj.   Dacă în loc de 8 luăm în calculul 9, atunci permitem și o eroare mai mică decât una, deoarece vom adăuga nu o unitate întreagă, ci 2/3. Un astfel de privat va fi coeficientul aproximativ exact la unitatea în exces.

Acum să luăm un alt exemplu. Să fie necesar să împărțim 27 la 8. Întrucât aici nu vom obține coeficientul exprimat ca un număr întreg, vom căuta un coeficient aproximativ:

27: 8 \u003d 3, iar restul 3.

Aici eroarea este 3/8, este mai mică decât unitatea, ceea ce înseamnă că coeficientul aproximativ (3) se găsește exact la unitatea cu un deficit. Continuăm diviziunea: împărțim restul de 3 în zecimi, obținem 30 de zecimi; împărțiți-le pe 8.

Am ajuns în privat în locul a zecea parte din 3 și restul a b zecimilor. Dacă ne restrângem în special la 3.3 și aruncăm restul de 6, atunci vom permite o eroare mai mică de o zecime. De ce? Deoarece coeficientul exact s-ar fi întâmplat când am adăugat la 3,3 rezultatul împărțirii a 6 zecimi la 8; din această diviziune ar fi 6/80, care este mai puțin de o zecime. (Verificați!) Astfel, dacă în particular ne restrângem la zecimi, putem spune că am găsit privat exact la o zecime(cu lipsa).

Continuați diviziunea pentru a găsi un alt zecimal. Pentru a face acest lucru, împărțim 6 zecimi în sute și obținem 60 de sutimi; împărțiți-le pe 8.

În privat, pe locul trei s-a dovedit 7, iar restul 4 sutimi; dacă le aruncăm, vom permite o eroare mai mică de o sută, deoarece 4 sutimi împărțite la 8 sunt mai mici de o sută. În astfel de cazuri, se spune că se găsește cotantul exact la o sută   (cu lipsa).

În exemplul pe care îl analizăm acum, putem obține coeficientul exact exprimat în zecimale. Pentru a face acest lucru, ultimul rest, 4 sutimi, este suficient pentru a împărți în mii și a împărți la 8.

Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor este imposibil să se obțină coeficientul exact și trebuie să se limiteze la valorile sale aproximative. Acum vom lua în considerare un astfel de exemplu:

40: 7 = 5,71428571...

Punctele de la sfârșitul numărului indică faptul că diviziunea nu a fost terminată, adică egalitatea este aproximativă. De obicei, egalitatea aproximativă este scrisă după cum urmează:

40: 7 = 5,71428571.

Am luat cotul cu opt zecimale. Dar dacă nu este necesară o precizie atât de mare, vă puteți limita numai la întreaga parte a cotientului, adică la numărul 5 (mai exact 6); pentru o mai mare acuratețe, se poate lua în considerare zecimi și să ia coeficientul egal cu 5,7; dacă din anumite motive această precizie este și ea insuficientă, atunci ne putem opri la sutimi și luăm 5,71, etc. Să scriem cotițele individuale și să le denumim.

Primul coeficient aproximativ exact la unitatea 6.

A doua "" "până la o zecime din 5.7.

A treia „„ „până la o sutime 5.71.

Al patrulea „„ „la o a mia parte 5.714.

Astfel, pentru a găsi coeficientul aproximativ până la unii, de exemplu, a 3-a zecimală (adică până la o mia parte), diviziunea este oprită imediat ce este găsit acest semn. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă amintiți regula prevăzută la § 40.

§ 113. Cele mai simple probleme de interes.

După studierea fracțiilor zecimale, vom rezolva mai multe probleme cu interes.

Aceste probleme sunt similare cu cele pe care le-am rezolvat în departamentul de fracții obișnuite; dar acum vom scrie sutimi sub formă de fracții zecimale, adică fără un numitor explicit desemnat.

În primul rând, trebuie să puteți trece cu ușurință de la o fracție obișnuită la o zecimală cu un numitor de 100. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor:

Tabelul de mai jos arată cum un număr cu un simbol% \u200b\u200b(procente) este înlocuit cu un zecimal cu un numitor de 100:

Acum avem în vedere mai multe sarcini.

1. Găsirea procentului dintr-un număr dat.

Sarcina 1Doar 1.600 de oameni trăiesc într-un sat. Numărul de copii în vârstă de școală este de 25% din populația totală. Câți copii în vârstă de școală sunt în acest sat?

În această problemă, trebuie să găsiți 25%, sau 0,25, de la 1.600. Problema este rezolvată prin înmulțirea:

1.600 0,25 \u003d 400 (copii).

Prin urmare, 25% din 1.600 sunt 400.

Pentru o înțelegere clară a acestei sarcini, este util să reamintim că pentru fiecare sută din populație, există 25 de copii de vârstă școlară. Prin urmare, pentru a găsi numărul tuturor copiilor de vârstă școlară, puteți afla mai întâi câte sute din 1.600 (16), apoi de 25 de ori numărul de sute (25 x 16 \u003d 400). În acest fel puteți verifica validitatea deciziei.

Sarcina 2   Băncile de economii oferă investitorilor 2% din venit anual. Cât de câștig va primi un depozitar pentru un an, după ce a pus în casierie: a) 200 de ruble? b) 500 de ruble? c) 750 de ruble? d) 1000 ruble.?

În toate cele patru cazuri, pentru a rezolva problema, va fi necesar să se calculeze 0,02 din sumele indicate, adică fiecare dintre aceste numere va trebui înmulțit cu 0,02. Să o facem:

a) 200 0,02 \u003d 4 (ruble),

b) 500 0,02 \u003d 10 (ruble),

c) 750 0,02 \u003d 15 (ruble),

d) 1.000 0,02 \u003d 20 (ruble).

Fiecare dintre aceste cazuri poate fi verificat prin următoarele considerente. Băncile de economii oferă investitorilor 2% din venituri, adică 0,02 din suma alocată pentru economisire. Dacă suma ar fi de 100 de ruble, atunci 0,02 din aceasta ar fi de 2 ruble. Deci, la fiecare sută îi aduc investitorului 2 ruble. venituri. Prin urmare, în fiecare dintre cazurile luate în considerare, este suficient să ne dăm seama cât de multe dintr-un număr dat de sute, iar prin acest număr de sute înmulțim 2 ruble. De exemplu a) sute de 2, ceea ce înseamnă

2 2 \u003d 4 (rub.).

De exemplu d) sute de 10, ceea ce înseamnă

2 10 \u003d 20 (ruble).

2. Găsirea unui număr în procente.

Sarcina 1   În primăvară, 54 de studenți au absolvit școala, ceea ce reprezintă 6% din numărul total de studenți. Câți elevi au fost în școală în ultimul an școlar?

Să lămurim mai întâi sensul acestei sarcini. Școala a absolvit 54 de studenți, ceea ce reprezintă 6% din numărul total de studenți sau, cu alte cuvinte, 6 sutimi (0,06) din toți elevii din școală. Aceasta înseamnă că cunoaștem partea studenților exprimată prin numărul (54) și fracția (0,06), iar din această fracție trebuie să găsim numărul întreg. Astfel, avem înaintea noastră problema obișnuită de a găsi un număr prin fracția sa (§90 § 6). Sarcinile de acest tip se rezolvă prin împărțirea:

Deci, școala a avut în total 900 de elevi.

Este util să verificați astfel de probleme rezolvând problema inversă, adică, după rezolvarea problemei, ar trebui, cel puțin în minte, să rezolvați primul tip de problemă (găsirea procentului dintr-un număr dat): luați numărul găsit (900) ca dat și găsiți procentul din aceasta în problema rezolvată. și anume:

900 0,06 = 54.

Sarcina 2Familia cheltuiește 780 de ruble pe parcursul lunii, ceea ce reprezintă 65% din câștigurile lunare ale tatălui lor. Determinați câștigurile sale lunare.

Această sarcină are aceeași semnificație ca cea anterioară. Acesta oferă partea câștigurilor lunare exprimate în ruble (780 de ruble) și indică faptul că această parte este de 65%, sau 0,65, din câștigurile totale. Și cel dorit sunt toate câștigurile:

780: 0,65 = 1 200.

În consecință, câștigul dorit este de 1200 de ruble.

3. Găsirea procentului de numere.

Sarcina 1   În biblioteca școlii există doar 6.000 de cărți. Printre ele se numără 1.200 de cărți în matematică. Câte procente din cărțile de matematică sunt din toate cărțile disponibile în bibliotecă?

Am considerat deja (§97) astfel de probleme și am ajuns la concluzia că pentru a calcula procentajul a două numere, trebuie să găsiți raportul acestor numere și să îl multiplicați cu 100.

În problema noastră, trebuie să găsim procentul numerelor 1 200 și 6 000.

Mai întâi, găsiți raportul lor și apoi înmulțiți-l cu 100:

Astfel, procentul numerelor 1.200 și 6.000 este de 20. Cu alte cuvinte, cărțile de matematică reprezintă 20% din numărul total al tuturor cărților.

Pentru a verifica, rezolvăm problema inversă: găsiți 20% din 6.000:

6 000 0,2 = 1 200.

Sarcina 2Instalația ar trebui să primească 200 de tone de cărbune. A adus deja 80 de tone. Cât la sută din cărbunele livrat la uzină?

Această problemă se întreabă câte procente dintr-un număr (80) sunt de la altul (200). Proporția acestor numere va fi de 80/200. Înmulțiți-l cu 100:

Deci, a livrat 40% din cărbune.

37. Împărțire după zecimale

Sarcină.   Zona dreptunghiului este de 2,88 dm 2, iar lățimea sa de 0,8 dm. Care este lungimea dreptunghiului?

DECIZIE.De 2,88 dm 2 \u003d 288 cm 2 și 0,8 dm \u003d 8 cm, lungimea dreptunghiului este 288: 8, adică 36 cm \u003d 3,6 dm. Am găsit un astfel de număr 3.6 încât 3.6 0.8 \u003d 2.88. Este coeficientul de a împărți 2,88 la 0,8.

Răspunsul 3.6 poate fi obținut fără a converti decimetri în centimetri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți divizorul cu 0,8 și dividendul de 2,88 cu 10 (adică mutați virgula în ele cu o cifră la dreapta) și împărțiți 28,8 cu 8. Din nou obținem:.

Să împartă un număr după zecimale, este necesar:
1) în dividend și divizor, mutați virgula spre dreapta cu câte cifre există după virgulă în divizor;
2) după aceea, efectuați împărțirea cu un număr natural.

Exemplul 1 Împărțiți 12.096 la 2.24. În dividend și divizor, transferăm virgula cu 2 cifre la dreapta. Obținem numerele 1209.6 și 224.

De atunci.

Exemplul 2   Împărțiți 4.5 la 0.125. Aici este necesar să transferați virgula cu 3 cifre la dreapta în dividend și divizor. Deoarece numai o cifră după punctul zecimal este divizibil, îi atribuim două zerouri în dreapta. După mutarea virgulei, obținem numerele 4500 și 125.

De atunci.

Din exemplele 1 și 2 se poate observa că la împărțirea unui număr la o fracțiune neregulată, acest număr scade sau nu se schimbă, iar la împărțirea cu o fracție zecimală regulată, crește:, a.

Împărțiți 2,467 la 0,01. După transferul virgulei în dividend și divizor cu 2 cifre la dreapta, obținem că coeficientul este 246.7: 1, adică 246.7. Prin urmare, 2.467: 0,01 \u003d 246,7. De aici obținem regula:

Să împart zecimalul cu 0,1; 0,01; 0,001, trebuie să mutați virgula din ea spre dreapta cu câte cifre există zerouri în fața unității din divizor (adică înmulțiți-o cu 10, 100, 1000).

Dacă nu există suficiente cifre, trebuie să atribuiți mai întâi câteva zerouri la sfârșitul fracției.

De exemplu,.

1443. Găsiți coeficientul și efectuați verificarea de înmulțire:

a) 0,8: 0,5; b) 3,51: 2,7; c) 14.335: 0.61.

1444. Găsiți coeficientul și verificați diviziunea:

a) 0,096: 0,12; 6) 0,126: 0,9; c) 42.105: 3.5.

1445. Efectuați diviziunea:

1446. Scrieți expresiile:

a) coeficientul de împărțire a sumei a și 2.6 la diferența dintre b și 8.5;
b) cantitatea de privat x și 3.7 și privată 3.1 și y.

1447. Citiți expresia:

a) m: 12,8 - n: 4,9; b) (x + 0,7): (y + 3,4); c) (a: b) (8: c).

1448. Pasul unei persoane este de 0,8 m. Câți pași trebuie să facă pentru a parcurge o distanță de 100 m?

1449. Alyosha a călătorit cu trenul 162,5 km în 2,6 ore. La ce viteză a mers trenul?

1450. Găsiți masa de 1 cm3 de gheață, dacă masa de 3,5 cm 3 gheață este de 3,08 g.

1451. Frânghia a fost tăiată în două părți. Lungimea unei părți este de 3,25 m, iar lungimea celeilalte părți este de 1,3 ori mai mică decât prima. Care a fost lungimea funiei?

1452. Primul pachet a inclus 6,72 kg de făină, care este de 2,4 ori mai mare decât al doilea pachet. Câte kilograme de făină au fost incluse în ambele pachete?

1453. Borya a petrecut de 3,5 ori mai puțin timp pregătind lecții decât mersul pe jos. Cât a durat Boris să facă o plimbare și să pregătească lecții dacă plimbarea a durat 2,8 ore?