Ecuația liniară Gauss. Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată, folosind metoda Gauss
Două sisteme de ecuații liniare sunt numite echivalente dacă setul tuturor soluțiilor lor coincide.
Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:
- Trecerea din sistemul ecuațiilor banale, adică. aceia pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
- Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;
- Adăugarea la orice a-a-a ecuație orice ecuație a j-a înmulțită cu orice număr.
O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă și întregul sistem de ecuații este permis.
Teorema. Transformările elementare traduc sistemul de ecuații în echivalent.
Sensul metodei Gauss este transformarea sistemului inițial de ecuații și obținerea unui sistem incompatibil echivalent permis sau echivalent.
Deci, metoda Gauss constă în următorii pași:
- Luați în considerare prima ecuație. Selectăm primul coeficient zero și divizăm întreaga ecuație în el. Obținem o ecuație în care o anumită variabilă x i intră cu un coeficient de 1;
- Scădem această ecuație de la toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei i în restul ecuațiilor să fie resetate. Obținem un sistem rezolvat cu privire la variabila x i și echivalent cu originalul;
- Dacă apar ecuații banale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 \u003d 0), ștergeți-le din sistem. Drept urmare, ecuațiile devin una mai puțin;
- Repetăm \u200b\u200bpașii precedenți nu mai mult de n ori, unde n este numărul de ecuații în sistem. De fiecare dată, selectăm o nouă variabilă pentru procesare. Dacă apar ecuații conflictuale (de exemplu, 0 \u003d 8), sistemul este incompatibil.
Drept urmare, în câțiva pași obținem un sistem permis (posibil cu variabile libere) sau unul incompatibil. Sistemele permise se încadrează în două cazuri:
- Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Deci sistemul este definit;
- Numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații. Colectăm toate variabilele gratuite din dreapta - obținem formulele pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise ca răspuns.
Asta e tot! Sistemul de ecuații liniare este rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu, iar pentru dezvoltarea lui nu trebuie să mergi la un profesor superior de matematică. Luați în considerare un exemplu:
O sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:
Descrierea etapelor:
- Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
- Înmulțim a doua ecuație cu (−1) și divizăm a treia ecuație cu (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu un coeficient de 1;
- Adăugăm a doua ecuație la prima și scăzem din a treia. Obțineți variabila permisă x 2;
- În cele din urmă, scăzem a treia ecuație din prima - obținem variabila permisă x 3;
- Aveți un sistem autorizat, scrieți răspunsul.
Soluția generală a unui sistem comun de ecuații liniare este un nou sistem echivalent cu cel inițial, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni liberi.
Când poate fi nevoie de o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este vorba de câte ecuații sunt în total). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se încheie la un pas l< k , может быть две:
- După pasul al patrulea, s-a obținut un sistem care nu conține o ecuație cu numărul (l + 1). De fapt, acest lucru este bun, pentru că un sistem autorizat este încă obținut - chiar cu câțiva pași mai devreme.
- După pasul al patrulea, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este incompatibil.
Este important să înțelegem că apariția unei ecuații contradictorii prin metoda Gauss este o bază suficientă pentru incompatibilitate. În același timp, observăm că, ca urmare a celui de-al patrulea pas, ecuațiile banale nu pot rămâne - toate sunt șterse chiar în acest proces.
Descrierea etapelor:
- Scade prima ecuație de 4 ori de la a doua. Și, de asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
- Scădem ecuația a treia, înmulțită cu 2, de la a doua - obținem ecuația contradictorie 0 \u003d −5.
Deci, sistemul este incompatibil, deoarece a fost descoperită o ecuație contradictorie.
O sarcină. Cercetați compatibilitatea și găsiți o soluție comună pentru sistem:
Descrierea etapelor:
- Scădeți prima ecuație din a doua (înmulțind cu două înainte) și a treia - obținem variabila permisă x 1;
- Scade a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații coincid, a treia ecuație se va transforma într-unul banal. În același timp, înmulțim a doua ecuație cu (−1);
- Reduceți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Tot sistemul de ecuații este acum soluționat;
- Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, mutați-le spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.
Deci, sistemul este comun și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).
Metoda Gauss, numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor, este următoarea. Folosind transformări elementare, sistemul ecuațiilor liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți este trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapez (curs direct al metodei Gauss, apoi pur și simplu curs direct). Un exemplu de astfel de sistem și soluția acestuia este în figura de mai sus.
Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită fără echivoc. Apoi, valoarea acestei variabile este substituită în ecuația anterioară ( revenirea metodei Gauss , mai departe - doar o mișcare inversă), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.
În sistemul trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile y și x iar a doua ecuație este o variabilă x .
După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să înțelegeți problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți singure soluțiile.
Avantajele metodei:
- atunci când se rezolvă sisteme de ecuații liniare cu numărul de ecuații și mai mult de trei necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece la rezolvarea metodei Gauss sunt necesare mai puține calcule;
- folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme indefinite de ecuații liniare, adică având o soluție generală (și le vom analiza în această lecție), și folosind metoda Cramer, putem afirma doar că sistemul este nedeterminat;
- este posibil să se rezolve sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
- metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adăugare a ecuațiilor, pe care le-am atins în articolul corespunzător.
Pentru ca toată lumea să fie îmbibată de simplitatea cu care sunt rezolvate sistemele trapezoidale (triunghiulare, în trepte) de ecuații liniare, oferim o soluție unui astfel de sistem folosind o cursă inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost arătată în imagine la începutul lecției.
Exemplul 1 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind mișcarea inversă:
Decizie. În acest sistem trapezoidal, variabila z găsit fără echivoc din ecuația a treia. Înlocuim valoarea acesteia în a doua ecuație și obținem valoarea cu o variabilă y:
Acum știm deja valorile a două variabile - z și y. Înlocuiți-le în prima ecuație și obțineți valoarea variabilei x:
Din etapele anterioare scriem soluția sistemului de ecuații:
Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care le-am rezolvat foarte simplu, este necesar să se aplice o mișcare directă asociată cu transformări elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte dificil.
Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare
Repetând metoda școlară de adăugare algebrică a ecuațiilor sistemului, am constatat că una dintre ecuațiile sistemului poate fi adăugată la o altă ecuație a sistemului și fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu unele numere. Drept urmare, obținem un sistem de ecuații liniare echivalente cu acesta. În ea deja o ecuație conținea o singură variabilă, substituind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. Această adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când utilizăm metoda Gauss, putem utiliza mai multe tipuri de transformări.
Animația de mai sus arată modul în care sistemul de ecuații se transformă treptat într-un trapez. Adică, cea pe care ai văzut-o la prima animație și te-ai asigurat singur că este ușor să găsești valorile tuturor necunoscutelor din ea. Cum se realizează o astfel de transformare și, bineînțeles, exemple, vor fi discutate mai târziu.
La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului poate sa:
- rearanjați liniile (acest lucru a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
- dacă linii egale sau proporționale apar ca urmare a altor transformări, acestea pot fi șterse, cu excepția uneia;
- ștergeți liniile „zero” unde toți coeficienții sunt egali cu zero;
- înmulțiți sau împărțiți orice linie cu un anumit număr;
- la orice linie adăugați o altă linie înmulțită cu un număr.
În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalente cu acesta.
Algoritmul și exemple din metoda Gauss de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a unui sistem
Mai întâi considerăm soluția sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din el este egal cu numărul de coloane.
Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss
Rezolvând sisteme de ecuații liniare prin metode școlare, am înmulțit una dintre ecuații cu un anumit număr, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. La adăugarea de ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează într-un mod similar.
Pentru a simplifica aspectul soluției alcătuiți o matrice extinsă a sistemului:
În această matrice, coeficienții pentru necunoscute sunt localizați pe partea stângă către linia verticală, iar termenii liberi sunt situați în dreapta după linia verticală.
Pentru comoditatea divizării coeficienților variabilelor (pentru a obține diviziunea la una) rearanjați primul și al doilea rând al matricei de sistem. Obținem un sistem echivalent cu acesta, deoarece în sistemul ecuațiilor liniare este posibil să rearanjați ecuațiile:
Utilizarea noii prime ecuații exclude variabila x din a doua și toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați primul rând înmulțit cu (în cazul nostru) la al doilea rând al matricei, iar primul rând înmulțit cu (în cazul nostru) la al treilea rând.
Este posibil de atunci
Dacă în sistemul nostru de ecuații există mai mult de trei, atunci ar trebui să adăugăm la toate ecuațiile ulterioare prima linie înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu un semn minus.
Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu un sistem dat al unui nou sistem de ecuații în care toate ecuațiile, începând de la a doua nu conțin o variabilă x :
Pentru a simplifica al doilea rând al sistemului rezultat, îl înmulțim și obținem din nou matricea sistemului de ecuații echivalentă acestui sistem:
Acum, păstrând neschimbată prima ecuație a sistemului rezultat, folosind a doua ecuație, excludem variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru aceasta, adăugați al doilea rând înmulțit cu (în cazul nostru) la al treilea rând al matricei sistemului.
Dacă în sistemul nostru de ecuații există mai mult de trei, atunci ar trebui să adăugăm la toate ecuațiile ulterioare a doua linie înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu un semn minus.
Drept urmare, obținem din nou matricea sistemului echivalent cu acest sistem de ecuații liniare:
Am obținut un sistem trapezoidal echivalent de ecuații liniare:
Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în \u200b\u200bexemplul nostru, procesul de excludere succesivă a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demo.
Vom găsi soluția „de la capăt” - cursa de întoarcere. Pentru asta din ultima ecuație pe care o definim z:
.
Înlocuirea acestei valori în ecuația anterioară, vor găsi y:
Din prima ecuație vor găsi x:
Răspuns: rezolvarea acestui sistem de ecuații - 
.
: în acest caz, același răspuns va fi emis dacă sistemul are o soluție lipsită de ambiguitate. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci acesta va fi răspunsul, iar acesta este deja subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.
Rezolvați singur sistemul de ecuații liniare prin metoda Gauss și vedeți soluția
Înaintea noastră este din nou un exemplu de sistem comun și definit de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de demonstrația noastră de algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.
Exemplul 4 Rezolvați sistemul ecuațiilor liniare prin metoda Gauss:
Acum trebuie să folosim a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Vom efectua lucrări pregătitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți unul în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scade a treia din a doua linie și înmulțiți linia a doua rezultată cu -1.
Acum realizăm excluderea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua o dată de a treia linie, iar a doua de a patra.
Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia oară al patrulea rând. Obținem o matrice trapezoidală extinsă.
Aveți un sistem de ecuații, care este echivalent cu un sistem dat:
În consecință, sistemele rezultate și date sunt comune și definite. Găsim decizia finală „de la sfârșit”. Din a patra ecuație, putem exprima direct valoarea variabilei „a patra X”:
Substituim această valoare în a treia ecuație a sistemului și obținem
,
,
În cele din urmă, substituirea valorii
Prima ecuație dă
,
unde găsim „X primul”:
Răspuns: acest sistem de ecuații are o soluție unică 
.
Puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă metoda Cramer: în acest caz, același răspuns va fi emis dacă sistemul are o soluție lipsită de ambiguitate.
Soluția Gauss a problemelor aplicate prin exemplul unei probleme pe aliaje
Sistemele de ecuații liniare sunt utilizate pentru modelarea obiectelor reale ale lumii fizice. Vom rezolva una dintre aceste probleme - pentru aliaje. Sarcini similare sunt sarcini privind amestecurile, costul sau gravitatea specifică a bunurilor individuale dintr-un grup de mărfuri și altele asemenea.
Exemplul 5Trei bucăți de aliaj au o greutate totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea 30%, al treilea 10%. Mai mult, în al doilea și al treilea aliaj de cupru combinat, cu 28,4 kg mai puțin decât în \u200b\u200bprimul aliaj, iar în al treilea aliaj de cupru cu 6,2 kg mai puțin decât în \u200b\u200bal doilea. Găsiți masa fiecărei bucăți de aliaj.
Decizie. Compunem un sistem de ecuații liniare:
Înmulțim ecuațiile a doua și a treia cu 10, obținem sistemul echivalent de ecuații liniare:
Realizăm o matrice extinsă a sistemului:
Atenție, mișcare directă. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând înmulțit cu un număr (aplicăm de două ori) cu matricea extinsă a sistemului, apar următoarele transformări:
Mișcarea directă s-a încheiat. A primit o matrice trapezoidală extinsă.
Aplicați o cursă inversă. Găsim o soluție de la sfârșit. Noi vedem asta.
Din a doua ecuație găsim
Din a treia ecuație -
Puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă metoda Cramer: în acest caz, același răspuns va fi emis dacă sistemul are o soluție lipsită de ambiguitate.
Simplitatea metodei Gauss este dovedită chiar și de faptul că matematicianul german Karl Friedrich Gauss a avut nevoie de doar 15 minute pentru a o inventa. Pe lângă metoda numelui său din activitatea lui Gauss, zicala „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare improbabil și nefiresc, cu absolut imposibil” este un fel de instrucțiuni scurte pentru a face descoperiri.
În multe probleme aplicate, poate să nu existe o a treia restricție, adică o a treia ecuație, atunci este necesar să se rezolve prin metoda Gauss un sistem de două ecuații cu trei necunoscute sau, invers, mai puține necunoscute decât ecuațiile. Vom începe acum să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.
Folosind metoda Gauss, puteți stabili dacă orice sistem este compatibil sau incompatibil n ecuații liniare cu n variabile.
Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare având un număr infinit de soluții
Următorul exemplu este un sistem comun, dar nedeterminat, de ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.
După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (permutarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea unui alt rând la un rând), rândurile formei
Dacă în toate ecuațiile formei
Termenii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este nedeterminat, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest fel sunt „redundante” și sunt excluse din sistem.
Exemplul 6
Decizie. Compunem o matrice extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua, a treia și a patra linie prima, respectiv înmulțită cu:
Acum adăugăm a doua linie la a treia și a patra.
Drept urmare, venim în sistem
Ultimele două ecuații s-au transformat în ecuații ale formei. Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice necunoscut și pot fi aruncate.
Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și, atunci valoarea pentru va fi determinată în mod unic: 
. Din prima ecuație, valoarea pentru este determinată în mod unic: 
.
Atât sistemele date, cât și ultimele sunt compatibile, dar nedeterminate, și formulele
pentru arbitrari și ne oferă toate soluțiile unui sistem dat.
Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare care nu au soluții
Următorul exemplu este un sistem incompatibil de ecuații liniare, adică fără soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat după cum urmează: sistemul nu are soluții.
Așa cum am menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului, liniile de formă
corespunzând unei ecuații a formei
Dacă dintre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber nul (adică), atunci acest sistem de ecuații este incompatibil, adică nu are soluții și soluția sa este finalizată.
Exemplul 7 Rezolvați sistemul ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss:
Decizie. Realizăm o matrice extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din următoarele ecuații. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua linie prima înmulțită cu, la a treia linie - prima, înmulțită cu, a patra - prima, înmulțită cu.
Acum trebuie să folosim a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține raporturile întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând al matricei extinse a sistemului.
Pentru a exclude de la a treia și a patra ecuații, la a treia linie adăugăm cea de-a doua înmulțită cu, iar la a patra cea de-a doua, înmulțită cu.
Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia oară al patrulea rând.
Un sistem dat este astfel echivalent cu următoarele:
Sistemul rezultat este incompatibil, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare necunoscută. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.
Fie un sistem dat, ∆ ≠ 0. (1)Metoda Gauss Este o metodă de excludere secvențială a necunoscutelor.
Esența metodei Gauss este transformarea (1) într-un sistem cu matrice triunghiulară, din care apoi valorile tuturor necunoscutelor sunt obținute secvențial (prin invers). Luați în considerare una dintre schemele de calcul. Această schemă se numește o schemă de diviziune unică. Deci, luați în considerare această schemă. Fie un 11 ≠ 0 (elementul conducător) să fie împărțit la un 11 prima ecuație. Primim
(2)
Folosind ecuația (2), este ușor să excludem necunoscutul x 1 din ecuațiile rămase ale sistemului (pentru aceasta este suficient să scădem ecuația (2) înmulțită anterior cu coeficientul corespunzător la x 1 din fiecare ecuație), adică în primul pas obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al următoarelor linii, începând cu a doua, este egal cu diferența dintre elementul inițial și produsul „proiecției” sale pe prima coloană și primul rând (convertit).
După aceasta, lăsând singura prima ecuație, peste ecuațiile rămase ale sistemului obținut în prima etapă, realizăm o transformare similară: alegem o ecuație cu un element conducător dintre ele și excludem x 2 din restul ecuațiilor (pasul 2).
După n pași, în loc de (1), obținem un sistem echivalent 
(3)
Astfel, la prima etapă, obținem un sistem triunghiular (3). Acest pas se numește înainte de alergare.
În a doua etapă (cursă de întoarcere) găsim succesiv din (3) valorile x n, x n -1, ..., x 1.
Notăm soluția rezultată cu x 0. Atunci diferența ε \u003d b-A · x 0 numit rezidual.
Dacă ε \u003d 0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.
Calculele gaussiene sunt efectuate în două etape:
- Prima etapă se numește cursul direct al metodei. În prima etapă, sistemul original este transformat într-o formă triunghiulară.
- A doua etapă se numește invers. În a doua etapă, se rezolvă un sistem triunghiular echivalent cu originalul.
La fiecare etapă, s-a presupus că elementul principal este zero. Dacă nu este așa, atunci puteți utiliza orice alt element ca lider, ca și cum am rearanjat ecuațiile sistemului.
Numirea metodei Gauss
Metoda Gauss este proiectată să rezolve sisteme de ecuații liniare. Se referă la metodele directe de soluție.Tipuri de metoda Gauss
- Metoda Gauss clasică;
- Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei Gauss este schema cu alegerea elementului principal. O caracteristică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de permutare a ecuațiilor, astfel încât la pasul kth, cel mai mare element din coloana kth se dovedește a fi elementul principal.
- Metoda Jordan-Gauss;
Ilustrați diferența metoda Jordan-Gauss din metoda Gauss cu exemple.
Exemplu de soluție Gauss
Rezolvați sistemul: 
Pentru comoditatea calculelor, schimbăm liniile în locuri: 
Înmulțiți al doilea rând cu (2). Adăugați al 3-lea rând la al 2-lea 
Înmulțiți al doilea rând cu (-1). Adăugați al doilea rând la primul 
Din prima linie exprimăm x 3:
Din a doua linie exprimăm x 2:
Din a treia linie exprimăm x 1: 
Un exemplu de soluție prin metoda Jordan-Gauss
Vom rezolva același SLAE prin metoda Jordan-Gauss. 
Vom alege secvențial elementul de rezolvare al RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de rezolvare este (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
Elementul de rezoluție RE (1), elementele matricei A și B formând un dreptunghi cu elemente din STE și RE.
Imaginează-ți calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elementul de rezolvare este (3).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana în sine scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includeți întotdeauna un element de rezolvare al RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elementul de rezolvare este (-4).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana în sine scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includeți întotdeauna un element de rezolvare al RE.
Imaginează-ți calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Răspuns: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1
Implementarea metodei Gauss
Metoda Gauss este implementată în mai multe limbaje de programare, în special: Pascal, C ++, php, Delphi și există, de asemenea, o implementare a metodei Gauss în modul online.Folosind metoda Gauss
Aplicarea metodei Gauss în teoria jocurilor
În teoria jocurilor, atunci când găsiți strategia maximă a jucătorului optim, este compilat un sistem de ecuații, care este rezolvat prin metoda Gauss.Aplicarea metodei Gauss în rezolvarea ecuațiilor diferențiale
Pentru a căuta o soluție particulară la o ecuație diferențială, mai întâi găsiți derivate de gradul corespunzător pentru soluția particulară scrisă (y \u003d f (A, B, C, D)), care sunt înlocuite în ecuația inițială. În continuare, pentru a găsi variabilele A, B, C, D, este compilat un sistem de ecuații, care este rezolvat prin metoda Gauss.Aplicarea metodei Jordan-Gauss în programarea liniară
În programarea liniară, în special, în metoda simplex, pentru a transforma o tabelă simplex la fiecare iterație, se utilizează o regulă dreptunghi în care se folosește metoda Jordan-Gauss.Definiția și descrierea metodei Gauss
Metoda de transformare gaussiană (cunoscută și sub denumirea de metoda de excludere secvențială a variabilelor necunoscute dintr-o ecuație sau matrice) pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este o metodă clasică pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice (SLAE). Această metodă clasică este folosită și pentru rezolvarea problemelor, cum ar fi obținerea matricei inversă și determinarea gradului unei matrice.
Transformarea folosind metoda Gauss constă în realizarea unor mici modificări secvențiale (elementare) în sistemul ecuațiilor algebice liniare, ceea ce duce la excluderea variabilelor de la ea în sus cu formarea unui nou sistem triunghiular de ecuații, care este echivalent cu cel inițial.
Definiția 1
Această parte a soluției se numește cursul direct al soluției Gauss, deoarece întregul proces se desfășoară de sus în jos.
După reducerea sistemului inițial al ecuațiilor la triunghiular, toate variabilele sistemului se găsesc de jos în sus (adică primele variabile găsite sunt ocupate tocmai pe ultimele linii ale sistemului sau matricei). Această parte a soluției este cunoscută și ca inversa soluției prin metoda Gauss. Algoritmul său este următorul: mai întâi, se calculează variabile care sunt cele mai apropiate de partea de jos a sistemului de ecuații sau matrice, apoi valorile obținute sunt substituite mai sus și astfel se găsește o altă variabilă etc.
Descrierea algoritmului metodei Gauss
Secvența acțiunilor pentru soluția generală a sistemului de ecuații prin metoda Gauss constă în aplicarea alternativă a mișcării înainte și inversă asupra matricei bazate pe SLAE. Fie sistemul inițial de ecuații să aibă următoarea formă:
$ \\ begin (cazuri) a_ (11) \\ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \\ cdot x_n \u003d b_1 \\\\ ... \\\\ a_ (m1) \\ cdot x_1 + a_ (mn) \\ cdot x_n \u003d b_m \\ end (cazuri) $
Pentru a rezolva SLAE folosind metoda Gauss, este necesar să scrieți sistemul inițial de ecuații sub forma unei matrice:
$ A \u003d \\ begin (pmatrix) a_ (11) & ... & a_ (1n) \\\\ \\ vdots & ... & \\ vdots \\\\ a_ (m1) & ... & a_ (mn) \\ end (pmatrix) $, $ b \u003d \\ begin (pmatrix) b_1 \\\\ \\ vdots \\\\ b_m \\ end (pmatrix) $
Matricea $ A $ se numește matricea principală și reprezintă coeficienții variabilelor scrise în ordine, iar $ b $ se numește coloana termenilor săi liberi. Matricea $ A $ scrisă printr-o liniuță cu o coloană de termeni liberi se numește matrice extinsă:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) & ... & a_ (1n) & b_1 \\\\ \\ vdots & ... & \\ vdots & ... \\\\ a_ (m1) & ... & a_ ( mn) & b_m \\ end (tablou) $
Acum, folosind transformări elementare asupra sistemului de ecuații (sau peste matrice, deoarece este mai convenabil), este necesar să o aducem la următoarea formă:
$ \\ begin (cazuri) α_ (1j_ (1)) \\ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_1 \\\\ α_ (2j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_2 \\\\ ... \\\\ α_ ( rj_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_r \\\\ 0 \u003d β_ (r + 1) \\\\ ... \\ Matricea obținută din coeficienții sistemului transformat de ecuație (1) este numită pas, astfel este de obicei matricile în trepte:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\\\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\\\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \\ end (tablou) $
Aceste matrici sunt caracterizate de următorul set de proprietăți:
Toate liniile sale zero sunt după zero
- Dacă un anumit rând al matricei cu numărul $ k $ este zero, atunci în rândul precedent al aceleiași matrice există mai puține zerouri decât în \u200b\u200bacest rând cu numărul $ k $.
- După primirea matricei în trepte, este necesar să se substituie variabilele obținute în ecuațiile rămase (începând de la sfârșit) și să obținem valorile rămase ale variabilelor.
Reguli de bază și transformări rezolvabile folosind metoda Gauss
Când se simplifică o matrice sau un sistem de ecuații prin această metodă, trebuie utilizate doar transformări elementare.
Astfel de transformări sunt operații care pot fi aplicate unei matrice sau unui sistem de ecuații fără a-i schimba sensul:
permutarea mai multor linii în locuri,
- adăugând sau scăzând dintr-un rând al matricei un alt rând din ea,
- înmulțirea sau împărțirea liniei cu o constantă care nu este egală cu zero,
- trebuie eliminată o linie constând din numai zerouri obținute în procesul de calcul și simplificare a sistemului,
- de asemenea, trebuie să eliminați liniile suplimentare proporționale, alegând-o pe singura pentru sistem cu coeficienți mai potriviți și mai convenabili pentru calcule suplimentare.
- {!LANG-b0a2a9f13b7c565ac56391e85176e19d!}
Toate transformările elementare sunt reversibile.
Analiza celor trei cazuri principale care apar la rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda simplă de transformare Gauss
Există trei cazuri care apar atunci când se utilizează metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor:
- Când sistemul este incompatibil, adică nu are soluții
- Sistemul de ecuații are o soluție, și singura, și numărul de rânduri și coloane diferite de la matrice este egal unul cu celălalt.
- Sistemul are un anumit număr sau multe soluții posibile, iar numărul de rânduri în el este mai mic decât numărul de coloane.
Rezultatul unei soluții cu un sistem incompatibil
Pentru această opțiune, atunci când rezolvați ecuația matricială prin metoda Gauss, este tipic să obțineți o anumită linie cu imposibilitatea egalității. Prin urmare, dacă apare cel puțin o egalitate incorectă, sistemele rezultate și inițiale nu au soluții, indiferent de celelalte ecuații pe care le conțin. Un exemplu de matrice incompatibilă:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) $
În ultima linie a apărut o egalitate neîmplinită: $ 0 \\ cdot x_ (31) + 0 \\ cdot x_ (32) + 0 \\ cdot x_ (33) \u003d 1 $.
Un sistem de ecuații care are o singură soluție
După reducerea la o matrice pas și ștergerea liniilor cu zerouri, aceste sisteme au același număr de rânduri și coloane din matricea principală. Iată cel mai simplu exemplu de astfel de sistem:
$ \\ begin (cazuri) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 2 \\ cdot x_1 + x_2 \u003d -7 \\ end (cazuri) $
O scriem sub formă de matrice:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 2 & 1 & -7 \\ end (array) $
Pentru a aduce prima celulă a celui de-al doilea rând la zero, înmulțim rândul superior cu $ -2 $ și o scăzem din rândul de jos al matricei și lăsăm rândul de sus în forma sa originală, ca urmare, avem următoarele:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 0 & 3 & 10 \\ end (array) $
Acest exemplu poate fi scris ca un sistem:
$ \\ begin (cazuri) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 3 \\ cdot x_2 \u003d 10 \\ end (cazuri) $
Următoarea valoare de $ x $ iese din ecuația de jos: $ x_2 \u003d 3 \\ frac (1) (3) $. Înlocuiește această valoare în ecuația superioară: $ x_1 - 3 \\ frac (1) (3) $, obținem $ x_1 \u003d 1 \\ frac (2) (3) $.
Un sistem cu multe soluții posibile
Acest sistem este caracterizat printr-un număr mai mic de rânduri semnificative decât numărul de coloane din el (sunt luate în considerare rândurile matricei principale).
Variabilele dintr-un astfel de sistem sunt împărțite în două tipuri: de bază și gratuit. La transformarea unui astfel de sistem, principalele variabile conținute în acesta trebuie lăsate în panoul din stânga până la semnul „\u003d”, iar variabilele rămase ar trebui transferate în partea dreaptă a egalității.
Un astfel de sistem nu are decât o anumită soluție generală.
Analizăm următorul sistem de ecuații:
$ \\ begin (cazuri) 2y_1 + 3y_2 + x_4 \u003d 1 \\\\ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 \\ end (cazuri) $
O scriem sub formă de matrice:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Sarcina noastră este de a găsi o soluție generală pentru sistem. Pentru această matrice, variabilele de bază vor fi $ y_1 $ și $ y_3 $ (pentru $ y_1 $ - pentru că vine prima, iar în cazul $ y_3 $ este după zerouri).
Ca variabile de bază, selectăm cele care sunt primele din rând care nu sunt egale cu zero.
Restul variabilelor sunt numite libere, prin intermediul acestora trebuie să le exprimăm pe cele de bază.
Folosind așa-numita cursă inversă, analizăm sistemul de jos în sus, pentru aceasta, mai întâi exprimăm $ y_3 $ din linia de jos a sistemului:
5y_3 $ - 4y_4 \u003d 1 $
5y_3 $ \u003d 4y_4 + 1 $
$ y_3 \u003d \\ frac (4/5) y_4 + \\ frac (1) (5) $.
Acum în ecuația superioară a sistemului $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 \u003d 1 $ înlocuim expresul $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5)) + y_4 \u003d 1 $
Express $ y_1 $ prin variabilele gratuite $ y_2 $ și $ y_4 $:
2y_1 $ + 3y_2 - \\ frac (4) (5) y_4 - \\ frac (1) (5) + y_4 \u003d 1 $
$ 2y_1 \u003d 1 - 3y_2 + \\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5) - y_4 $
$ 2y_1 \u003d -3y_2 - \\ frac (1) (5) y_4 + \\ frac (6) (5) $
$ y_1 \u003d -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $
Soluția este gata.
Exemplul 1
Rezolvați un slauss folosind metoda Gauss. Exemple. Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare date de o matrice 3 cu 3 folosind metoda Gauss
$ \\ begin (cazuri) 4x_1 + 2x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 \u003d 2 \\\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 \u003d 0 \\ end (cazuri) $
Scriem sistemul nostru sub forma unei matrice extinse:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
Acum, pentru comoditate și practic, trebuie să transformați matricea astfel încât în \u200b\u200bcolțul superior al coloanei extreme să fie 1 $.
Pentru a face acest lucru, adăugați linia de la mijloc înmulțită cu $ -1 $ la prima linie și scrieți linia din mijloc așa cum este, rezultă:
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 0 & -3 \\\\ \\ end (array) $
Înmulțiți liniile superioare și ultimele cu -1 USD, și schimbați, de asemenea, ultimele și mijlocul linii:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ \\ end (array) $
Și împărți ultima linie la 3 $:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Obținem următorul sistem de ecuații echivalent cu originalul:
$ \\ begin (cazuri) x_1 + x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ x_2 \u003d 3 \\\\ x_3 \u003d 1 \\ end (cazuri) $
Din ecuația superioară, exprimăm $ x_1 $:
$ x1 \u003d 1 + x_3 - x_2 \u003d 1 + 1 - 3 \u003d -1 $.
Exemplul 2
Un exemplu de rezolvare a unui sistem definit folosind o matrice 4 cu 4 prin metoda Gauss
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ end (tablou) $.
La început, schimbăm liniile de top explorând în spatele ei pentru a obține 1 $ în colțul din stânga sus:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ end (tablou) $.
Înmulțiți acum linia de top cu -2 $ și adăugați la a 2-a și a treia. La a 4-a se adaugă prima linie înmulțită cu -3 $:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\\\ \\ end (tablou) $
Acum, adăugați linia 2 înmulțită cu 4 $ până la rândul numărul 3 și adăugați rândul 2 înmulțit cu $ -1 $ la rândul 4.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\\\ \\ end (tablou) $
Înmulțim linia 2 cu -1 $, iar linia 4 o împărțim cu 3 $ și punem în locul liniei 3.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ \\ end (tablou) $
Acum îl adăugăm pe penultimul, înmulțit cu -5 $ până la ultima linie.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ \\ end (tablou) $
Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:
$ \\ begin (cazuri) m \u003d 0 \\\\ g \u003d 2 \\\\ y + m \u003d 2 \\ \\ x + 3y + 2g + m \u003d 11 \\ end (cazuri) $
Aici puteți rezolva gratuit un sistem de ecuații liniare metoda Gauss online dimensiuni mari, în număr complex, cu o soluție foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemul obișnuit definit cât și cel nedeterminat de ecuații liniare prin metoda Gauss, care are un număr infinit de soluții. În acest caz, în răspuns veți primi dependența unei variabile de alta, gratuită. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru compatibilitatea online utilizând o soluție folosind metoda Gauss.
Despre metodă
La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare online prin metoda Gauss, se efectuează următorii pași.
- Scriem matricea extinsă.
- De fapt, soluția este împărțită în etape directe și invers ale metodei Gauss. Cursul direct al metodei Gauss este reducerea matricei la o formă în trepte. Inversul metodei Gauss este reducerea matricei la o formă de etapă specială. Dar, în practică, este mai convenabil să anulezi imediat ceea ce este situat atât deasupra cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru utilizează exact această abordare.
- Este important de menționat că, atunci când se rezolvă prin metoda Gauss, prezența în matricea a cel puțin unui rând zero cu o parte dreaptă non-zero (coloana de termeni liberi) indică incompatibilitatea sistemului. Soluția sistemului liniar în acest caz nu există.
Pentru a înțelege cel mai bine principiul de funcționare al algoritmului Gauss online, introduceți orice exemplu, selectați „soluția foarte detaliată” și vedeți soluția acestuia online.