Sisteme omogene de ecuații liniare diferențiale cu coeficienți constanți. Sisteme liniare cu coeficienți constanți

Nu există reguli generale pentru soluționarea relațiilor de recurență. Cu toate acestea, există o clasă foarte comună de relații rezolvate printr-o metodă uniformă. Acestea sunt relații de recurență ale formei

f (n + k) \u003d a1 f (n + k - 1) + a2 f (n + k - 2) + ...

A k f (n),

unde a1, a2, ..., a k sunt câteva numere. Astfel de relații sunt numite relații de recurență liniară cu coeficienți constanți.

Considerăm cum se rezolvă astfel de relații pentru k \u003d 2, adică studiem relațiile de formă

f (n + 2) \u003d a1 f (n + 1) + a2 f (n). (3)

Soluția acestor relații se bazează pe următoarele două afirmații:

1) Dacă f1 (n) și f 2 (n) sunt soluții ale relației de recurență (3), atunci pentru orice A și B secvența

f (n) \u003d Af1 (n) + Bf2 (n) este, de asemenea, o soluție la această relație. De fapt, prin ipoteză, avem

f1 (n + 2) \u003d a1 f1 (n + 1) + a2 f1 (n) și

f2 (n + 2) \u003d a1 f2 (n + 1) + a2 f2 (n).

Înmulțiți aceste egalități cu A și respectiv B și adăugați identitățile obținute. Obținem asta

Af1 (n + 2) + Bf2 (n + 2) \u003d a1 [Af1 (n + 1) + Bf2 (n + 1)] + a2

Aceasta înseamnă că f (n) \u003d Af1 (n) + Bf2 (n) este o soluție la relația noastră.

2) Dacă numărul r1 este rădăcina ecuației cvadratice

apoi secvența

1, r1, r12, ..., r1n −1, ...

este o soluție a relației de recurență

f (n + 2) \u003d a1 f (n + 1) + a2 f (n)

Alături de secvența (r1n −1), orice secvență

f (n) \u003d r1n + m, n \u003d 1,2, ... este, de asemenea, o soluție a relației studiate.

Din enunțurile 1) și 2) urmează următoarea regulă pentru soluționarea relațiilor liniare de recurență liniară cu coeficienți constanți:

Să fie dată o relație recursivă

f (n + 2) \u003d a1 f (n + 1) + a2 f (n).

Compunem o ecuație cvadratică

ceea ce se numește caracteristic pentru acest raport.

1. Dacă această ecuație are două rădăcini diferite r1 și r2, atunci soluția generală a relației de recurență are forma

f (n) \u003d C1 r1n −1 + C2 r2n - 2

2. dacă ecuația patratică r2 \u003d a1 r + a 2 are două rădăcini coincidente r1 \u003d r2, atunci soluția sa generală are forma:

f (n) \u003d C1 r1n −1 + C2 nr1n −1 \u003d r1n −1 (C1 + C2n).

Selectând C1 și C2, orice condiții inițiale pot fi îndeplinite.

Relațiile liniare de recurență cu coeficienți constanți, al căror ordin este mai mult de doi, se rezolvă în același mod.

Puteți găsi informații de interes în motorul de căutare științific Otvety.Online. Folosiți formularul de căutare:

Subiecte înrudite Relații liniare de recurență cu coeficienți constanți.:

1. 17. Sisteme DE liniare omogene și neomogene cu coeficienți constanți
2. Ecuații diferențiale omogene liniare cu coeficienți constanți.
3. Sistem liniar eterogen de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți
4. Sisteme normale de ecuații diferențiale omogene liniare cu coeficienți constanți.
5. Ecuații diferențiale neomogene liniare cu coeficienți constanți.
6. 22. Ecuațiile diferențiale liniare ale ordinelor superioare cu coeficienți constanți sunt omogene.
7. Linear Dif. ur de ordinul doi cu coeficienți constanți, aplicarea lor la studiul oscilațiilor libere și forțate.

Lectură 23.

Definiție 23.1.Se numește sistemul ecuațiilor diferențiale liniardacă este liniară în ceea ce privește toate funcțiile necunoscute și derivatele acestora.

În special, sistemul ecuațiilor liniare de ordinul întâi cu coeficienți constanți are forma:

Puteți utiliza notarea matricială a unui astfel de sistem, dacă introduceți matricea

. Apoi sistemul (23.1) este echivalent cu ecuația matricială. (23,2)

Dacă luăm în considerare operatorul liniar , ecuația (23.2) ia forma:

De când operatorul L are proprietăți de liniaritate:

1) L[cX] = cL[X];

2) L[X 1 + X 2] = L[X 1] + L[X 2],

apoi pentru soluții ale sistemului liniar omogen (23.3) (pt F \u003d 0) aceleași proprietăți sunt adevărate: dacă X 1și X 2 Sunt soluții ale ecuației omogene (23.3), atunci combinația lor liniară va fi o soluție a aceleiași ecuații.

Putem introduce conceptul de dependență liniară a soluțiilor X 1, X 2, ..., X p:

Definiția 23.2. Vectori (coloane) X 1, X 2, ..., X p Unde

sunt numite liniar dependentpentru, dacă există numere α 1, α 2, ..., α Pnu toate sunt egale cu zero

α 1 X 1 + α 2 X 2 + ... + α p X p ≡0 (23.4)

la. Dacă identitatea (23.4) este valabilă numai pentru toți α i \u003d 0, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.

Cometariu. Apel determinantul lui Vronsky pentru ecuația (23.4), un determinant al formei

, (23.5)

care este determinantul sistemului de ecuații obținut prin înregistrarea pe coordonate a egalității (23.4). Se poate arăta că în același mod ca și în cazul rezolvării unei ecuații liniare omogene, pentru W \u003d 0 soluții X 1, X 2, ..., X p dependent liniar de [ a, b]. Apoi urmează următoarea teoremă:

Teorema 23.1. Combinație liniară p soluții generale liniare ale unui sistem liniar omogen este o soluție generală pentru acest sistem.

Vom căuta un sistem fundamental de soluții ale unui sistem liniar omogen, cu coeficienți constanți

(23.6)

sub forma:, (23,7)

unde α i - constant. Înlocuirea (23.7) în (23.6) și reducerea cu e ktprimim:

. (23.8)

Pentru ca acest sistem să aibă o soluție non-zero, este necesar și suficient ca principalul său determinant să fie egal cu zero:

, (23.9)

care este ecuația p - gradul relativ la kdenumit caracteristică.

Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, atunci înlocuindu-le secvențial în sistem (23.8), putem găsi valorile corespunzătoare acestora, și astfel p diverse soluții ale sistemului (23.6). Aceste soluții sunt liniar independente. Într-adevăr, dacă ar exista numere β 1, β 2, ..., β pastfel încât

, datorită independenței liniare a funcțiilor, ar urma asta pentru fiecare i. Dar întrucât cel puțin unul dintre non-zero, obținem asta. Prin urmare, soluțiile găsite (23.7) sunt liniar independente, iar soluția generală a sistemului are forma: , (23.10)

unde c i - constante arbitrare.

Compunem ecuația caracteristică:

k 1 \u003d1, k 2 \u003d 5. Pentru k \u003d 1 obținem un sistem pentru determinarea: , adică

Voi accepta apoi . La k = 5 ,

Apoi . Prin urmare, soluția generală a sistemului are forma:.

În cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice, soluția la sistem (23.6) are forma

Unde γ este multiplicitatea rădăcinii k s.

Ecuația caracteristică are forma:

k 1 \u003d k 2 \u003d 3. Fie x \u003d(c 1 + c 2 t)e 3 t, y \u003d(c 3 + c 4 t)e 3 t. Exprimăm constantele de la 3și de la 4 peste de la 1și de la 2. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluțiile găsite într-una din ecuațiile sistemului și echivalăm coeficienții pentru e 3 tși te 3 t: (3c 1 + c 2 +3c 2 t)e 3 t \u003d (2c 1 + c 3)e 3 t +(2c 2 + c 4)te 3 t, c 3 \u003d c 1 + c 2,

c 4 \u003d c 2.Deci, soluția generală a sistemului este obținută sub forma: x \u003d(c 1 + c 2 t)e 3 t, y \u003d(c 1 + c 2 + c 2 t)e 3 t.

Cometariu. Pentru un sistem neomogen (23.1), soluția generală, precum și pentru o ecuație neomogenă va fi suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător și soluția particulară a sistemului neomogen. Când selectați soluții particulare, principiul superpoziției este valid.

. Găsim o soluție specială sub forma: . Când înlocuim, obținem: de unde A \u003d 3, LA \u003d 1. Adăugând la soluția particulară obținută soluția generală a sistemului omogen corespunzător, scriem soluția generală a sistemului original: x \u003d c 1 e t + 2c 2 e 4 t +3e 5 t, y \u003d -c 1 e t + c 2 e 4 t + e 5 t.

Lectură 24.

Stabilitatea soluțiilor ecuațiilor diferențiale și a sistemelor lor. Determinarea stabilității Lyapunov și a stabilității asimptotice. Sisteme autonome de ecuații diferențiale. Spațiu de fază (plan), traiectorie de fază. Puncte de odihnă. Clasificarea punctelor staționare ale unui sistem cu două ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți. Condiții de stabilitate pentru punctul staționar.

Întrucât la rezolvarea problemelor reale cu ajutorul ecuațiilor diferențiale, condițiile inițiale sunt de obicei rezultatele măsurătorilor și, prin urmare, obținute cu o oarecare eroare, este foarte importantă întrebarea modului în care soluția ecuației se va schimba cu o modificare mică în condițiile inițiale. În special, dacă aceste modificări modifică semnificativ soluția, atunci o astfel de soluție, evident, nu are nicio valoare practică.

Să fie descris un anumit fenomen printr-un sistem de ecuații diferențiale

(24.1)

cu condiții inițiale i eu(t 0) = y i 0.

Definiție 24.1. Decizie φ i(t) (ǐ = 1,2,…,n) se numește stabil după Lyapunov, dacă

Astfel, pentru orice decizie y i (t) din același sistem, ale cărui condiții inițiale satisfac inegalitățile, inegalitățile sunt valabile pentru toți (24.2)

(adică soluțiile care au valoare apropiată rămân aproape de toată lumea).

Dacă pentru cel puțin o soluție y i (t)inegalitățile (24.2) nu sunt satisfăcute, soluția φ i(t) se numește instabil.

Dacă soluția φ i(t) nu numai că este stabil în conformitate cu Lyapunov, dar îndeplinește și condiția

(24.3)

când, atunci se numește această soluție stabil asimptotic.

Cometariu. O condiție (24.3) nu asigură stabilitatea soluției.

Planul de fază.

Ecuația diferențială de ordinul doi

(24.4)

echivalent cu un sistem de ecuații de prim ordin

. (24.5)

Geometric, soluția generală a ecuației (24.4) sau a sistemului (24.5) poate fi reprezentată de familie traiectoriile de fază pe plan de fază.Această reprezentare este deosebit de convenabilă atunci când funcția nu conține explicit o variabilă independentă t. Atunci sistemul (24.5) are forma

(24.6)

și a sunat sistem autonom. Traiectoriile de fază în acest caz satisfac ecuația diferențială de ordinul întâi

care asociază cu fiecare punct panta curbei integrale care trece prin ea.

Puncte de odihnă.

Definiția 24.2. Se numește punctul plan de fază al sistemului (24.6) punct obișnuitdacă ambele sunt diferențiate și nu dispar simultan; prin fiecare punct obișnuit trece o traiectorie de fază. Punctul chemat un punct special, dacă .

Cometariu. Punctele singulare sunt clasificate după natura traiectoriilor de fază din vecinătatea lor.

Studiul de stabilitate al unei soluții la sistem (24.1) poate fi redus la studiul unei soluții banale - puncte de odihnăsituat la origine, transformând sistemul în noi variabile: - abaterile vechilor necunoscute de la soluția investigată pentru stabilitate. În noile variabile, sistemul (24.1) ia forma:

Cele mai simple tipuri de puncte liniștite.

Investigăm amplasarea traiectoriilor în vecinătatea punctului staționar x = 0, la \u003d 0 sistem cu două ecuații liniare omogene cu coeficienți constanți:

Unde. (24.9)

Ecuația caracteristică în acest caz are forma:

Luați în considerare diferitele seturi de rădăcini ale acestei ecuații:

1) k 1 și k 2 valabil și diferit. Apoi, soluția generală a sistemului (24.9) poate fi definită după cum urmează: . Sunt posibile următoarele cazuri:

si daca k 1< 0 și k 2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в начальный момент t \u003d t 0 în orice δ - un cartier de origine, cu un număr suficient de mare t treceți în puncte situate într-un ε arbitrar de mic - un cartier al originii și atunci când tindeți spre origine. Acest punct de odihnă se numește nod stabil.

Cum se rezolvă un sistem de ecuații diferențiale?

Se presupune că cititorul este deja bun în rezolvarea ecuațiilor diferențiale, în special, ecuații omogene de ordinul doi și ecuații neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. În sistemele de ecuații diferențiale nu este nimic complicat și dacă aveți de-a face cu încredere cu tipurile de ecuații de mai sus, atunci stăpânirea sistemelor nu va fi dificilă.

Există două tipuri principale de sisteme de ecuații diferențiale:

- Sisteme liniare omogene de ecuații diferențiale
- Sisteme liniare eterogene de ecuații diferențiale

Și două moduri principale de soluționare a sistemului de ecuații diferențiale:

- metoda de excludere. Esența metodei este că în timpul soluției, sistemul de telecomandă este redus la o ecuație diferențială.

- Folosind ecuația caracteristică (așa-numita metodă Euler).

În marea majoritate a cazurilor, sistemul ecuațiilor diferențiale trebuie rezolvat în primul mod. A doua metodă în ceea ce privește sarcinile este mult mai puțin obișnuită, pentru toată practica mea am decis-o cu puterea a 10-20 de sisteme. Dar vom lua în considerare și pe scurt în ultimul alineat al acestui articol.

Îmi cer scuze dintr-o dată pentru incompletitudinea teoretică a materialului, dar, pe de altă parte, am inclus în lecție doar acele sarcini care pot fi efectiv întâlnite în practică. Ce este căzut de dușul de meteoriți la fiecare cinci ani, este puțin probabil să găsiți aici, și cu astfel de persoane neașteptate ar trebui să apelați la cărămizi de difuzie specializate.

Sisteme liniare omogene de ecuații diferențiale

Cel mai simplu sistem omogen de ecuații diferențiale are următoarea formă:

De fapt, aproape toate exemplele practice ale unui astfel de sistem sunt limitate \u003d)

Ce este acolo?

Sunt numere (coeficienți numerici). Cele mai frecvente numere. În special, unul, mai mulți sau chiar toți coeficienții pot fi zero. Dar astfel de cadouri sunt rareori aruncate, astfel încât numerele sunt cel mai adesea zero.

Și - acestea sunt funcții necunoscute. Variabila acționează ca o variabilă independentă - este „ca X în ecuația diferențială obișnuită”.

Și - primele derivate ale funcțiilor necunoscute și, respectiv.

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații diferențiale?

Înseamnă a găsi astfel de funcții și care satisfac atât primul, cât și cel de-al doilea ecuația sistemului. După cum puteți vedea, principiul este foarte similar cu cel obișnuit sisteme de ecuații liniare. Doar acolo rădăcinile sunt numere, și aici funcțiile.

Răspunsul găsit este scris ca: soluție generală a unui sistem de ecuații diferențiale:

În bretele! Aceste funcții sunt „într-un singur ham”.

Pentru sistemul de control, se poate rezolva problema Cauchy, adică găsi soluție de sistem privatsatisfacerea condițiilor inițiale date. O soluție specială pentru sistem este scrisă și cu clapetele.

Un sistem mai compact poate fi rescris după cum urmează:

Dar în cursul tradiției, o soluție cu derivate care sunt pictate în diferențiale este în mod tradițional mai frecventă, așa că vă rugăm să vă obișnuiți cu următoarea notare imediată:
și - instrumente derivate de ordinul întâi;
și - derivați de ordinul al doilea.

Exemplul 1

Rezolva problema Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale cu condiții inițiale.

Decizie: În sarcini cel mai adesea sistemul îndeplinește condițiile inițiale, astfel că aproape toate exemplele acestei lecții vor fi cu problema Cauchy. Dar acest lucru nu este important, deoarece o soluție generală pe parcurs va trebui să fie încă găsită.

Rezolvați sistemul metoda de excludere. Vă reamintesc că esența metodei este de a reduce sistemul la o ecuație diferențială. Și ecuații diferențiale, sper să rezolve bine.

Algoritmul soluției este standard:

1) Ia a doua ecuație a sistemului și exprimă din ea:

Vom avea nevoie de această ecuație mai aproape de sfârșitul soluției și o voi marca cu un asterisc. În manuale, se întâmplă că acestea găsesc 500 de notări, apoi se referă la: „după formula (253) ...” și caută această formulă undeva după 50 de pagini din spate. Mă voi limita la o singură notă (*).

2) Diferențiați pe ambele părți ale ecuației rezultate:

Cu „lovituri” procesul arată astfel:

Este important ca acest moment simplu să fie înțeles, în plus, nu mă voi lăsa pe el.

3) Înlocuitor și în prima ecuație a sistemului:

Și vom face simplificările maxime:

Obținut cel mai mult că niciuna dintre ele nu este obișnuită ecuație omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Cu „lovituri” se scrie astfel: .

- se obțin diferite rădăcini reale, prin urmare:
.

Una dintre funcțiile găsite, la jumătatea drumului.

Da, vă rugăm să rețineți că am obținut o ecuație caracteristică cu un discriminator „bun”, ceea ce înseamnă că nu am confundat nimic în substituție și simplificări.

4) Mergem pentru funcție. Pentru a face acest lucru, luați funcția deja găsită și găsiți derivatul său. Diferențiem prin:

Substitui și în ecuație (*):

Sau mai scurt:

5) Ambele funcții sunt găsite, scriem soluția generală a sistemului:

Răspuns: soluție privată:

Răspunsul rezultat este destul de ușor de verificat, verificarea se face în trei etape:

1) Verificăm dacă condițiile inițiale sunt într-adevăr satisfăcute:

Ambele condiții inițiale sunt satisfăcute.

2) Verificați dacă răspunsul găsit satisface prima ecuație a sistemului.

Luăm funcția din răspuns și găsiți derivatul său:

Substitui , și în prima ecuație a sistemului:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că răspunsul găsit satisface prima ecuație a sistemului.

3) Verificați dacă răspunsul satisface a doua ecuație a sistemului

Luăm funcția din răspuns și găsim derivata ei:

Substitui , și în a doua ecuație a sistemului:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că răspunsul găsit satisface a doua ecuație a sistemului.

Verificarea a fost finalizată. Ce se verifică? Verificat îndeplinirea condițiilor inițiale. Și, cel mai important, este demonstrat faptul că soluția particulară găsită satisface pentru fiecare ecuația sistemului inițial .

În mod similar, putem verifica soluția generală , verificarea va fi și mai scurtă, deoarece nu este necesară verificarea îndeplinirii condițiilor inițiale.

Acum înapoi la sistemul rezolvat și puneți câteva întrebări. Soluția a început astfel: am luat a doua ecuație a sistemului și ne-am exprimat din acesta. Dar a fost posibil să se exprime nu „X”, ci „joc”? Dacă exprimăm acest lucru, nu ne va da nimic - în această expresie există atât un „jucător” cât și un „X” din dreapta, prin urmare nu vom putea scăpa de variabilă și de a reduce soluția sistemului la soluția unei ecuații diferențiale.

A doua întrebare. A fost posibilă pornirea soluției nu de la a doua, ci de la prima ecuație a sistemului? Poate sa. Ne uităm la prima ecuație a sistemului:. În ea, avem două „X” și una „Y”, deci este necesar să exprimăm strict „Y” prin „X”: . Următorul este primul derivat: . Atunci ar trebui să înlocuiți și în a doua ecuație a sistemului. Soluția va fi complet echivalentă, cu diferența că vom găsi mai întâi funcția, și apoi.

Și doar în al doilea mod va exista un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Găsiți o soluție specială la sistemul de ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date.

În soluția de eșantion, care este dată la sfârșitul lecției, din prima ecuație este exprimată iar întregul dans pornește de la această expresie. Încercați singuri să realizați o soluție oglindă, fără a privi proba.

Puteți merge după modul din Exemplul nr. 1 - de la a doua ecuație să se exprime (rețineți că X trebuie arătat). Dar această metodă este mai puțin rațională, din cauza faptului că am obținut o fracțiune, ceea ce nu este foarte convenabil.

Sisteme liniare neomogene de ecuații diferențiale

Aproape același lucru, doar soluția va fi puțin mai lungă.

Sistemul eterogen de ecuații diferențiale, care în majoritatea cazurilor vă puteți confrunta cu probleme, are următoarea formă:

Comparativ cu un sistem omogen, în fiecare ecuație se adaugă o funcție suplimentară, în funcție de te. Funcțiile pot fi constante (și cel puțin una dintre ele nu este egală cu zero), exponenți, sinele, cosinele etc.

Exemplul 3

Găsiți o soluție particulară a sistemului de control liniar corespunzător condițiilor inițiale date

Decizie: Este dat un sistem liniar eterogen de ecuații diferențiale, constantele acționează ca „aditivi”. Utilizare metoda de excludereîn timp ce algoritmul soluției în sine este păstrat pe deplin. Pentru o schimbare, voi începe doar cu prima ecuație.

1) Din prima ecuație a sistemului exprimăm:

Acesta este un dispozitiv important, așa că îl voi marca din nou cu un asterisc. Este mai bine să nu deschideți parantezele, de ce fracțiile suplimentare?

Și încă o dată, rețineți că „ecuația” este exprimată din prima ecuație - prin două „X” și o constantă.

2) Diferențiem ambele părți:

Constanta (tripla) a dispărut, datorită faptului că derivata constantei este egală cu zero.

3) Înlocuitor și în a doua ecuație a sistemului :

Imediat după înlocuire, este indicat să scăpați de fracțiuni, pentru aceasta multiplicăm fiecare parte a ecuației cu 5:

Acum simplificăm:

Ca urmare, a primit ecuație liniară neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Aceasta este, de fapt, întreaga diferență față de soluția sistemului omogen de ecuații discutate în paragraful precedent.

Notă: Cu toate acestea, într-un sistem eterogen, uneori se poate obține o ecuație omogenă..

Găsim soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare:

Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

- se obțin rădăcini complexe conjugate, prin urmare:
.

Rădăcinile ecuației caracteristice s-au dovedit din nou a fi „bune”, ceea ce înseamnă că suntem pe drumul cel bun.

Căutăm o soluție specială la ecuația neomogenă sub formă.
Găsiți primul și al doilea derivat:

Înlocuiți partea stângă a ecuației neomogene:

În acest fel:

Trebuie menționat că o anumită soluție este ușor de selectat verbal și este destul de acceptabil să scriem în loc de calcule lungi: „Este evident că o soluție particulară la o ecuație neomogenă:”.

Ca rezultat:

4) Cautam o functie. Mai întâi găsim derivata funcției găsite deja:

Nu foarte frumos, dar derivate similare în diferiți trebuie găsite des.

Furtuna este în plină dezvoltare, iar acum va fi un al nouălea puț. Legați-vă cu o funie de punte.

Substitui
și în ecuație (*):

5) Soluția generală a sistemului:

6) Găsiți o soluție specială corespunzătoare condițiilor inițiale:

În sfârșit, o decizie privată:

Vedeți, ce poveste cu un final fericit, acum puteți naviga neînfricat pe bărci în marea senină, sub soarele blând.

Răspuns: soluție privată:

Apropo, dacă începeți să rezolvați acest sistem cu a doua ecuație, atunci calculele se vor dovedi a fi mult mai ușoare (puteți încerca), dar mulți vizitatori ai site-ului au cerut să analizeze și mai multe lucruri dificile. Cum poți refuza? \u003d) Să existe exemple mai serioase.

Un exemplu este mai ușor pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Găsiți o soluție specială la un sistem liniar inomogen de ecuații diferențiale corespunzătoare condițiilor inițiale date

Această problemă a fost rezolvată de mine pe modelul exemplului nr. 1, adică din a doua ecuație „X” este exprimată. Decizie și răspuns la sfârșitul lecției.

În exemplele luate în considerare, nu am fost întâmplător că am folosit notație diferită, am aplicat soluții diferite. Deci, de exemplu, derivatele din aceeași sarcină au fost scrise în trei moduri:. În matematica superioară, nu trebuie să vă fie frică de tot felul de squiggles, principalul lucru este să înțelegeți algoritmul soluției.

Metoda ecuației caracteristice (Metoda Euler)

Așa cum am menționat deja la începutul articolului, cu ajutorul ecuației caracteristice, sistemul ecuațiilor diferențiale este rar necesar să fie rezolvat, prin urmare, în secțiunea finală voi lua în considerare doar un exemplu.

Exemplul 5

Este dat un sistem liniar omogen de ecuații diferențiale

Găsiți o soluție generală la un sistem de ecuații folosind ecuația caracteristică

Decizie: Analizăm sistemul ecuațiilor și compunem un determinant de ordinul doi:

După ce principiu este calculat determinantul, cred că toată lumea poate vedea.

Compunem o ecuație caracteristică, pentru aceasta, de la fiecare număr, care este situat pe diagonala principală, scade un parametru:

Desigur, ecuația caracteristică ar trebui scrisă imediat pe curățare, explic în detaliu, pas cu pas, astfel încât să fie clar ce a venit.

Dezvăluim determinantul:

Și găsim rădăcinile ecuației cvadratice:

Dacă ecuația caracteristică are două rădăcini reale diferiteatunci soluția generală a sistemului de ecuații diferențiale are forma:

Coeficienții exponenților ne sunt deja cunoscuți, rămâne să găsim coeficienții

1) Luați în considerare rădăcina și înlocuiți-o în ecuația caracteristică:

(acești doi factori determinanți nu pot fi, de asemenea, scrise pe curățare, ci compuneți imediat sistemul de mai jos)

Din numerele determinantului, compunem un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Ambele ecuații implică aceeași egalitate:

Acum trebuie să ridicați cel mai puţin valoare, astfel încât valoarea este întreagă. Evident, ar trebui să întrebi. Și dacă, atunci

(SODU), care este liniar omogen cu coeficienți constanți, are următoarea formă: $ \\ left \\ (\\ begin (array) (c) (y "_ (1) \u003d a_ (11) \\ cdot y_ (1) + a_ (12) ) \\ cdot y_ (2) + \\ ldots + a_ (1n) \\ cdot y_ (n)) \\\\ (y "_ (2) \u003d a_ (21) \\ cdot y_ (1) + a_ (22) \\ cdot y_ (2) + \\ ldots + a_ (2n) \\ cdot y_ (n)) \\\\ (\\ ldots) \\\\ (y "_ (n) \u003d a_ (n1) \\ cdot y_ (1) + a_ (n2) \\ Aici $ y_ (1) \\ stânga (x \\ dreapta), \\; y_ (2) \\ stânga (x \\ dreapta), \\; \\ ldots, \\; y_ (n) \\ left (x \\ right) $ - funcțiile dorite ale variabilei independente $ x $, coeficienții $ a_ (jk), \\; 1 \\ le j, k \\ le n $ li se dau numere reale.

{!LANG-05f62cf4381b0f086ee2e9ae7256676c!}

Pentru a rezolva acest tip de SODE, folosim metoda de eliminare, care constă în transformarea acestuia într-o ecuație diferențială (DU) a ordinului $ n $ th, pe care apoi o rezolvăm prin oricare dintre metodele cunoscute.

Sarcina 1

Rezolvați sistemul de control $ \\ left \\ (\\ begin (array) (c) (\\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d 2 \\ cdot y_ (1) + y_ (2)) \\\\ (\\ frac (dy_) 2)) (dx) \u003d 3 \\ cdot y_ (1) +4 \\ cdot y_ (2)) \\ end (array) \\ right. $.

Pasul 1. Din prima ecuație găsim $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d \\ frac (dy_ (1)) (dx) -2 \\ cdot y_ (1) $.

\\ [\\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d 3 \\ cdot y_ (1) +4 \\ cdot \\ stânga (\\ frac (dy_ (1)) (dx) -2 \\ cdot y_ (1) \\ right) ; \\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d 4 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) -5 \\ cdot y_ (1). \\]

Pasul 3. Diferențați prima ecuație față de $ x $: $ \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) + \\ frac (dy_ (2)) (dx) $.

\\ [\\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) +4 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) ( dx) -5 \\ cdot y_ (1); \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -6 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) +5 \\ cdot y_ (1) \u003d 0. \\]

1. ecuația caracteristică $ k ^ (2) -6 \\ cdot k + 5 \u003d 0 $;
2. rădăcinile ecuației caracteristice $ k_ (1) \u003d 1 $, $ k_ (2) \u003d 5 $ - real, diferit;
3. funcția dorită este $ y_ (1) \u003d C_ (1) \\ cdot e ^ (x) + C_ (2) \\ cdot e ^ (5 \\ cdot x) $.

1. derivat $ \\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d C_ (1) \\ cdot e ^ (x) +5 \\ cdot C_ (2) \\ cdot e ^ (5 \\ cdot x) $;

\

Soluția generală a acestui sistem:

Sarcina 2

Rezolvați sistemul de control de la distanță

$ \\ left \\ (\\ begin (array) (c) (\\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d 3 \\ cdot y_ (1) -y_ (2)) \\\\ (\\ frac (dy_ (2))) (dx) \u003d 4 \\ cdot y_ (1) -y_ (2)) \\ end (array) \\ right. $.

Rezolvăm sistemul excludând funcția necunoscută $ y_ (2) $.

Pasul 1. Din prima ecuație găsim $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d - \\ frac (dy_ (1)) (dx) +3 \\ cdot y_ (1) $.

Pasul 2. Înlocuiește $ y_ (2) $ în a doua ecuație:

\\ [\\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d 4 \\ cdot y_ (1) + \\ frac (dy_ (1)) (dx) -3 \\ cdot y_ (1); \\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d \\ frac (dy_ (1)) (dx) + y_ (1). \\]

Pasul 3. Diferențați prima ecuație față de $ x $: $ \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 3 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) - \\ frac (dy_ (2)) (dx) $.

Pasul 4. Se înlocuiește expresia obținută în pasul 2 cu expresia obținută la pasul 3:

\\ [\\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d 3 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) - \\ frac (dy_ (1)) (dx) - y_ (1); \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -2 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) + y_ (1) \u003d 0. \\]

Pasul 5. Rezolvăm controlul liniar omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți:

1. ecuația caracteristică $ k ^ (2) -2 \\ cdot k + 1 \u003d 0 $;
2. rădăcinile ecuației caracteristice $ k_ (1) \u003d 1 $, $ k_ (2) \u003d 1 $ sunt reale, egale;
3. funcția dorită este $ y_ (1) \u003d C_ (1) \\ cdot e ^ (x) + C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x) $.

Pasul 6. Găsiți funcția $ y_ (2) $:

1. derivat $ \\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d C_ (1) \\ cdot e ^ (x) + C_ (2) \\ cdot \\ left (e ^ (x) + x \\ cdot e ^ (x) \\ rezultatul substituției în expresia obținută la pasul 1:
2. \\ \\ [\u003d - C_ (1) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x) +3 \\ cdot C_ (1) ) \\ cdot e ^ (x) +3 \\ cdot C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x) \u003d \\] \\ [\u003d 2 \\ cdot C_ (1) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) ) \\ cdot e ^ (x) +2 \\ cdot C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x). \\]

Sarcina 3

Soluția generală a acestui sistem:

Rezolvați sistemul de control $ \\ left \\ (\\ begin (array) (c) (\\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d y_ (1) -3 \\ cdot y_ (2)) \\\\ (\\ frac (dy_) 2)) (dx) \u003d 3 \\ cdot y_ (1) + y_ (2)) \\ end (array) \\ right. $.

Pasul 1. Din prima ecuație găsim $ y_ (2) $: $ y_ (2) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ left (- \\ frac (dy_ (1)) (dx) + y_ (1) \\ dreapta) $.

Rezolvăm sistemul excludând funcția necunoscută $ y_ (2) $.

\\ [\\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d 3 \\ cdot y_ (1) + \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ left (- \\ frac (dy_ (1)) (dx) + y_ ( 1) \\ dreapta); \\ frac (dy_ (2)) (dx) \u003d - \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) + \\ frac (10) (3) \\ cdot y_ (1). \\]

Pasul 2. Înlocuiește $ y_ (2) $ în a doua ecuație:

Pasul 3. Diferențați prima ecuație în $ x $: $ \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d \\ frac (dy_ (1)) (dx) -3 \\ cdot \\ frac (dy_ (2)) (dx) $.

\\ [\\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) \u003d \\ frac (dy_ (1)) (dx) -3 \\ cdot \\ left (- \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) + \\ frac (10) (3) \\ cdot y_ (1) \\ right); \\ frac (d ^ (2) y_ (1)) (dx ^ (2)) -2 \\ cdot \\ frac (dy_ (1)) (dx) +10 \\ cdot y_ (1) \u003d 0. \\]

Pasul 4. Se înlocuiește expresia obținută în pasul 2 cu expresia obținută la pasul 3:

ecuația caracteristică $ k ^ (2) -2 \\ cdot k + 10 \u003d 0 $;

Pasul 5. Rezolvăm controlul liniar omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți:

1. rădăcinile ecuației caracteristice $ k_ (1) \u003d 1 + 3 \\ cdot i $, $ k_ (2) \u003d 1-3 \\ cdot i $ sunt complexe;
2. funcția dorită $ y_ (1) \u003d e ^ (x) \\ cdot \\ left (C_ (1) \\ cdot \\ cos \\ left (3 \\ cdot x \\ right) + C_ (2) \\ cdot \\ sin \\ left (3 \\ derivat
3. $ \\ frac (dy_ (1)) (dx) \u003d e ^ (x) \\ cdot \\ left (C_ (1) \\ cdot \\ cos \\ left (3 \\ cdot x \\ right) + C_ (2) \\ cdot \\ sin \\ left (3 \\ cdot x \\ right) \\ right) $ + \\ [+ e ^ (x) \\ cdot \\ left (-3 \\ cdot C_ (1) \\ cdot \\ sin \\ left (3 \\ cdot x \\ right) +3 \\ cdot C_ (2) \\ cdot \\ cos \\ left (3 \\ cdot x \\ right) \\ right); \\]

Pasul 6. Găsiți funcția $ y_ (2) $:

1. \\ \\ [+ \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ (x) \\ cdot \\ left (3 \\ cdot C_ (1) \\ cdot \\ sin \\ left (3 \\ cdot x \\ right) -3 \\ cdot C_ (2) \\ cdot \\ cos \\ left (3 \\ cdot x \\ right) \\ right) + \\] \\ [+ \\ frac (1) (3) \\ cdot e ^ (x) \\ cdot \\ left (C_ (1) \\ cdot \\ cos \\ left (3 \\ cdot x \\ right) + C_ (2) \\ cdot \\ sin \\ left (3 \\ cdot x \\ right) \\ right) \u003d \\] \\ [\u003d e ^ (x) \\ cdot \\ Ultimul

Cum să alegeți un ferăstrău pentru lemn în versiune manuală și electrică și nu regretă alegerea

2. \\ \\ [\u003d - C_ (1) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x) +3 \\ cdot C_ (1) ) \\ cdot e ^ (x) +3 \\ cdot C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x) \u003d \\] \\ [\u003d 2 \\ cdot C_ (1) \\ cdot e ^ (x) -C_ (2) ) \\ cdot e ^ (x) +2 \\ cdot C_ (2) \\ cdot x \\ cdot e ^ (x). \\]
Instrument pentru plafoane întinse - recepție de instalare de înaltă calitate Instrumente pentru tavane întinse

Soluția generală a acestui sistem:

Considerăm sisteme liniare de formă normală în care a (- sunt orice numere, a /, (*) sunt funcții cunoscute. Necunoscute într-o notație vectorială și / (*) este o funcție vectorială cunoscută, A este orice matrice constantă. Astfel de sisteme sunt adesea găsite și în teoria ecuațiilor diferențiale și în aplicații. Soluția generală a unui astfel de sistem în cazul f (t) \u003d 0 este întotdeauna exprimată în termeni de funcții elementare. Prin urmare, astfel de sisteme sunt adesea folosite pentru a studia sisteme mai complexe în apropierea poziției de echilibru. Ele apar în aplicații, de exemplu, atunci când studiază mișcări în sisteme mecanice cu mai multe grade de libertate și în descrierea curenților în circuite electrice ramificate, eliminând necunoscutele, sistemul poate fi redus la una sau mai multe ecuații cu o funcție necunoscută în fiecare. Pentru a face acest lucru, exprimăm unul necunoscut prin celelalte și îl înlocuim cu alte ecuații ale sistemului.Vom obține un sistem cu mai puține necunoscute. Puteți face acest lucru la fel. Această metodă convenabil pentru rezolvarea numai a sistemelor simple. Sisteme liniare cu coeficienți constanți I Exemplu 20. Rezolvați sistemul Soluția exemplului. Excludeți y. Din prima ecuație avem y \u003d x "- t. Substituind ecuația a doua, obținem. Rezolvăm această ecuație prin metoda din § 11. Găsim. Prin urmare, 1 2. | Soluția sistemului x" \u003d Ax (x 6 Rn) în cazul când matricea A de ordin n are n evevectorii independenți liniar. Acesta va fi cazul când fie ecuația det (A-XE) \u003d 0 nu are rădăcini multiple A, fie pentru fiecare rădăcină multiplă A, rangul r al matricei A - \\ E este egal cu n - k, unde k este multiplicitatea acestei rădăcini (deoarece ecuația (A - XE) v \u003d 0 pentru eigenvectori v are n - r soluții liniar independente). Fie A valoarea eigenă, iar v vectorul propiu al matricei A. Atunci x \u003d eMv este o soluție particulară a ecuației x1 \u003d Axu deoarece. Dacă vectorii proprii Vx, ..., vn sunt independenți liniar, atunci avem soluții. Ele sunt liniar independente, deoarece Wronskian W Φ 0 la t \u003d 0 (coloanele sale vl, ..., vn sunt liniar independente). În consecință, soluția generală a sistemului x * \u003d Ax are forma - constante arbitrare. Limma 9. Dacă A (\u003d a + pi (fi Φ 0) este o valoare propie a matricei reale A, iar vl \u003d (»(, ... este un eigenvector pentru A1 # atunci Aj \u003d X (\u003d a - pi este un valor propiu) , și v2 \u003d v1 \u003d (v), ..., este un eigenvector pentru A2. Pentru Xp real, putem lua eigenvectorul real. Dovadă. Avem Av (\u003d A ^ 1. Egalitatea nu va fi încălcată dacă există X în ea (și coordonatele) înlocuiți vectorii v1 cu cei conjugați: Avl \u003d Ajt; 1, adică pentru Хр reale, coordonatele eigenvectorului sunt determinate și din sistem cu coeficienți reali, astfel încât vectorul v poate fi luat real. Soluția generală a sistemului x "\u003d Ax cu matrice reală A poate fi exprimată în termeni de funcții reale. Pentru a face acest lucru, luați astfel de vectori proprii ca în Lemma 9 și apoi înlocuiți fiecare pereche de soluții complexe conjugate x1 \u003d eAlV, x2 \u003d eXltv2 cu o pereche de soluții reale ca în. Obținem un sistem fundamental de soluții fundamentale și prin intermediul acestuia exprimăm soluția generală. I Exemplul 21. Rezolvați sistemul Soluția exemplului. Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică Sisteme liniare cu coeficienți constanți Pentru a găsi eigenvectorul (^ j Puteți lua Obținem o soluție particulară Soluțiile acestui sistem sunt părțile reale și imaginare ale acestei soluții particulare: J Soluția în cazul general. Simplificați sistemul reducând matricea A la cea mai simplă formă - Se știe că pentru orice matrică pătrată A există o matrice nesingulară C astfel încât matricea B \u003d C ~ [AC este Iordania, adică celulele Ki pot fi de orice dimensiune; fiecare celulă de pe întreaga diagonală are același număr Af, dar în celule diferite A (pot fi diferite sau aceleași. Deoarece, prin urmare, matricele C "1 AC și A au aceeași ecuație caracteristică, înseamnă că aceleași rădăcini sunt A ^ cu aceleași multiplicități. Pentru sistemul x" \u003d Ax folosim o transformare liniară a coordonatelor x \u003d Cy, adică acolo unde matricea C este aceeași ca mai sus. Obținem înmulțirea la stânga cu C "1, avem, adică unde matricea B este Jordan. Dacă prima celulă are dimensiunea k x k, a doua 1x1 etc., apoi primele ecuații k ale sistemului y \u003d Prin includ doar necunoscute y p ..., y *, ecuațiile următoare I conțin doar necunoscute yt + 1, ..., yk + 1, și t .D. Aceasta înseamnă că sistemul se descompune în subsisteme, fiecare putând fi rezolvat separat. Primul subsistem are forma (unde A \u003d X () Alte subsisteme diferă doar în numerele X și K. După ce au făcut o înlocuire, obținem Rezolvarea acestui sistem, pornind de la ultima ecuație, găsim Înmulțirea prin ex, t, obținem soluția primului subsistem Această soluție este generală, din moment ce este obținut din ecuații (73) folosind transformări identice. Soluțiile altor subsisteme au o formă similară, numai numerele k \u003d k- și constantele arbitrare cf- vor fi diferite (Lu este numărul A în celula j-ft, k este dimensiunea sa) Completând soluțiile tuturor subsistemelor, obținem o soluție generală a întregului sistem y \u003d By. Revenind de la y la x, în virtutea (72), obținem un astfel de rezultat. Teorema 16 * Soluția generală a sistemului x "\u003d Ax este o funcție vectorială; pentru care fiecare coordonată xi are forma în care Ap .., Am sunt diferitele valori proprii ale matricei A, este un polinom algebric al cărui grad este cu 1 mai mic decât dimensiunea celei mai mari dintre celulele Iordaniene conținând A.; Coeficienții polinoamelor ^ (t) (»\u003d 1,. .., n; j \u003d 1, ..., m) depind de n constante arbitrare. Soluția unui sistem specific x "\u003d Ax poate fi obținută și fără a reduce matricea A la forma Jordan. Pentru a face acest lucru, găsiți toate valorile proprii A ale matricei A din ecuația det (A - AE) - 0. Pentru fiecare A trebuie să găsiți numărul m de eigenvectori liniari independenți. conform formulei m \u003d n - r, unde n este ordinea matricei A - XE9 r este rangul acesteia. În cazul m \u003d ku unde k este multiplicitatea rădăcinii A, această rădăcină corespunde soluției în care b, ..., b * sunt liniar independente eigenvectori. Dacă matricea A este reală, atunci trebuie să folosim Lema 9 și ce s-a spus după ea. În cazul m, trebuie să căutăm o soluție x \u003d (xp ..., xn) T în forma în care 8 \u003d k - nr. Înlocuirea acestor expresii cu litera prin coeficienții a, b, ... într-un sistem dat, reducând prin e ^ și echivalând coeficienții pentru astfel de termeni, obținem un sistem de ecuații algebrice liniare pentru găsirea numerelor a, b, .... Trebuie să găsim o soluție generală la acest sistem, în funcție de k arbitrar constante. (Rețineți că, în cazul k ^ 4, toți cei mai mari coeficienți din polinomii sunt uneori sunt egale cu zero, dar acest lucru nu interferează cu găsirea unei soluții.) După ce am făcut acest lucru pentru fiecare A și adăugând soluțiile găsite, obținem soluția generală a sistemului. Dacă matricea A este reală, atunci este suficient să facem cele de mai sus numai pentru rădăcini reale și pentru una dintre fiecare pereche de rădăcini complexe de conjugat A \u003d a ± pi (RF 0) și să luăm părțile reale și imaginare din soluția obținută. De exemplu, din soluția x1 \u003d (cj + C2t) elt, se obțin două soluții: u1 \u003d Re xx - (cj + cjt) cos t și u2 \u003d (C3 + cAt) sin t cu noile constante Cj, c4. (Justificarea unei astfel de metode necesită o analiză detaliată și este prezentată la § 34.) I Exemplul 22. Rezolvați sistemul Soluția exemplului. Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică Pentru o rădăcină simplă A \u003d -2 găsim vectorul autoigen (a, p, 7). Putem lua a \u003d p \u003d 2, 7 \u003d -2. Avem o soluție particulară Pentru rădăcina multiplă L2 3 \u003d 1, găsim rangul matricei A - XE, numărul m de eigenvectori ai vectorilor și gradul polinomului: căutăm o soluție sub forma înlocuită aceasta în sistemul dat și o reducem cu e *. Echivalăm coeficienții pentru astfel de termeni, începând cu cei mai mari: Trebuie să găsim o soluție generală la acest sistem. Multiplitatea rădăcinii A \u003d 1 este 2, prin urmare, toate necunoscutele a, b, ... trebuie să se exprime prin două dintre ele (nu știm încă care sunt). Dintre primele trei ecuații, avem b \u003d q \u003d 2d. Substituind ecuațiile rămase, obținem Toate necunoscutele pot fi exprimate prin final. Noi avem. Setarea d \u003d Cj, c \u003d Cj, obținem. Înlocuind acest lucru în (77) și adăugând soluția particulară (76) înmulțită cu ω obținem soluția generală a sistemului: sisteme liniare neomogene cu coeficienți constanți. Soluția la un astfel de sistem poate fi obținută întotdeauna prin metoda de variație a constantelor (Secțiunea 5, § 9). Utilizează integrarea. Cu toate acestea, în cazul în care neomogenitățile f ((t) din sistemul (70) sunt exprimate doar în ceea ce privește sumele și produsele funcțiilor atm, e7 *, cos / 3 *, sin fit, o soluție particulară a sistemului poate fi găsită fără integrare - prin metoda coeficienților nedefiniți, așa cum este arătat mai jos. Deoarece soluția sistemului x "\u003d Ax + fl (t) + ... + fr (t) este egală cu suma soluțiilor sistemelor (xj)" \u003d Axj + fj (t) (j \u003d 1, ..., r) , iar sinele și cosinusele conform formulelor Euler sunt exprimate în termeni de funcții exponențiale, este suficient să se indice forma soluției particulare a sistemului x "\u003d Ax + pfe7 *, unde p (t) - amtm + am_xtm ~ x + ... + a0; ao" sunt vectori. Facem aceleași transformări cu acest sistem ca în § 3 cu sistemul x1 \u003d Ax, în loc de (74) obținem un sistem în care p * (£) sunt polinoame de cel mult m. \u200b\u200bDin acest sibtem găsim succesiv zk, zk_v. .., zx. Două cazuri sunt posibile: Dacă 7 - A Φ 0, atunci Jpl (t) eb - »dt \u003d q unde ql (t) este un polinom de același grad ca aici și mai jos, presupunem că constantele de integrare sunt egale cu zero, deoarece se caută o soluție particulară, în mod similar z k_v ..., z (. Obținem * unde q * (t) sunt polinoame de grad maxim m. Dacă 7 - Λ \u003d 0, atunci £ 1 și numai polinomul este integrat de fiecare dată. De aici, gradul său crește cu 1. După integrări k, gradul crește cu k. Prin urmare, în acest caz, în cazul în care q * (t) sunt polinoame de grad nu mai mari decât m + k. Revenind de la funcțiile z- la y (și apoi la x-, obținem că sistemul are o soluție particulară a formei în care q ^ t) este un polinom de grad nu mai mare decât m dacă 7 nu coincide cu oricare dintre rădăcini și un grad nu mai mare decât m + fy dacă 7 coincide cu rădăcina A ^ .; numărul k- este egal cu dimensiunea celei mai mari dintre celulele Iordaniei conținând A; Prin urmare, kj este cu 1 mai mult decât cel mai mare grad de polinoame înmulțit cu ex "r în soluția generală a sistemului omogen. I Exemplul 23. Rezolvați sistemul IL Soluția exemplului. Soluția generală a sistemului omogen a fost obținută în Exemplul 21, aici A. 2 \u003d 2 ± i. Pentru neomogenitățile 4e cos *, numerele 7 \u003d 2 și 7 \u003d 2 + t sunt diferite, de aceea trebuie rezolvate două sisteme pentru sistem (79) 7 \u003d 2 ^ A; prin urmare, o soluție particulară. Înlocuind în (79), găsim a \u003d b \u003d c \u003d 1, d \u003d 0. Prin urmare, în sistemul (80) înlocuim 4e2 * cos $ cu 4e * 2 + | ^. Considerăm numărul 4 ca un polinom de grad 0. Deoarece 7 \u003d 2 + i \u003d A, k \u003d 1, gradul polinomului crește cu 1 și înlocuirea în sistem cu Re scăzut, obținem ecuațiile sunt dependente, există multe soluții. Luăm o soluție particulară, de exemplu, soluția generală a sistemului x \u003d x0 + x (+ x2, y \u003d y0 + y! + y2 * unde x0, y0 este soluția sistemului omogen (Exemplul 21), iar x (, y, x2, y2 se găsesc aici. Sarcini de exercițiu: Sisteme liniare cu coeficienți constanți I Sistemele de ecuații care nu sunt reduse la forma normală au proprietăți excelente pe proprietățile sistemelor formei (70) Conform § 11, toate soluțiile sunt combinații liniare de soluții ale formei x \u003d r (t) ext, y \u003d s (f) eM, unde Λ este orice rădăcină a ecuației caracteristice - polinoame al căror grad este mai mic decât multiplicitatea din rădăcina A (dacă Λ \u003d 1, togas * sunt numere), polinoamele pot fi găsite prin metoda coeficienților nedefiniți. Sistemele a trei sau mai multe ecuații pot fi rezolvate într-un mod similar. A se vedea problemele din §14, b. Există multe modalități de soluționare a sistemelor liniare cu coeficienți constanți. Dacă nu sunt cunoscute numai numerele A, ci și baza în care matricea A are o formă Jordan, atunci soluția sistemului x "\u003d Ax este scrisă în formă explicită (, Teorema 11; §14, Secțiunea 3). Metoda operațională pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și sistemele cu coeficienți constanți sunt descrise la §24. condiții pentru existența unei soluții periodice a sistemului x1 \u003d Ax 4 - f (t) cu o funcție vectorială periodică f (t) (, Ch. 4, §7, pct. 3).