Extindeți acest vector într-o bază. Dependența liniară și independența liniară a vectorilor

În calculul vectorial și aplicațiile sale, problema de descompunere are o importanță deosebită, care constă în reprezentarea acestui vector sub forma sumei mai multor vectori, numiți componentele acestui

vector. Această problemă, care, în general, are nenumărate soluții, devine destul de sigură dacă specificați unele elemente ale vectorilor componente.

2. Exemple de descompunere.

Luați în considerare câteva cazuri foarte frecvente de descompunere.

1. Extindeți acest vector c în două componente ale vectorului dintre care una, de exemplu, a, este dată în mărime și direcție.

Problema se reduce la determinarea diferenței a doi vectori. Într-adevăr, dacă vectorii sunt componente ale vectorului c, atunci egalitatea

Din aceasta, se determină cel de-al doilea vector component

2. Decompuneți acest vector c în două componente, dintre care una trebuie să se afle într-un plan dat, iar a doua ar trebui să se întindă pe o linie dată a.

Pentru a determina vectorii constituenți, transferăm vectorul c astfel încât începutul său să coincidă cu punctul de intersecție al liniei date cu planul (punctul O - vezi Fig. 18). De la sfârșitul vectorului c (punctul C) trasăm o linie dreaptă către

intersecție cu planul (B este punctul de intersecție), iar apoi din punctul C tragem o linie dreaptă în paralel

Vectorii și vor fi cei doriți, adică este firesc ca această descompunere să fie posibilă dacă linia a și planul nu sunt paralele.

3. Se dau trei vectori coplanari a, b și c, iar vectorii nu sunt coliniari. Este necesar să descompunem un vector cu de către vectori

Aducem toți cei trei vectori dați la un punct O. Apoi, datorită coplanarității lor, vor fi localizați în același plan. Pe acest vector cu diagonală, construim o paralelogramă ale cărei laturi sunt paralele cu liniile de acțiune ale vectorilor (Fig. 19). Această construcție este întotdeauna posibilă (cu excepția cazului în care vectorii sunt coliniari) și unică. Din fig. 19 arată că

Bazele spațiuluiei numesc un astfel de sistem de vectori în care toți ceilalți vectori ai spațiului pot fi reprezentați ca o combinație liniară de vectori incluși în bază.
În practică, toate acestea sunt implementate destul de simplu. Baza, de regulă, este verificată pe un plan sau în spațiu, și pentru aceasta este necesar să se găsească determinantul unei matrice de ordinul al doilea, compus din coordonatele vectorilor. Mai jos sunt înregistrate schematic condiții în care vectorii formează o bază

La descompun vectorul b în vectori de bază
e, e ..., e [n], este necesar să se găsească coeficienții x, ..., x [n] pentru care combinația liniară a vectorilor e, e ..., e [n] este egală cu vectorul b:
x1 * e + ... + x [n] * e [n] \u003d b.
Pentru a face acest lucru, ecuația vectorială ar trebui transformată într-un sistem de ecuații liniare și să găsească soluții. De asemenea, este destul de simplu de implementat.
Se numesc coeficienții găsiți x, ..., x [n] coordonatele vectorului b în bază e, e ..., e [n].
Revenim la partea practică a subiectului.

Descompunerea unui vector în vectori de bază

Sarcina 1 Verificați dacă vectorii a1, a2 formează o bază pe plan

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Soluție: Compunem determinantul din coordonatele vectorilor și îl calculăm

Determinantul nu este egal cu zerode aici vectorii sunt liniari independenți, ceea ce înseamnă că formează o bază.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Soluție: Calculați determinantul compus din vectori

Determinantul este 13 (nu este egal cu zero) - acest lucru implică faptul că vectorii a1, a2 sunt o bază pe plan.

---=================---

Luați în considerare exemple tipice din programul IAPM la disciplina „Matematică superioară”.

Sarcina 2 Arătați că vectorii a1, a2, a3 formează baza spațiului vectorial tridimensional și extindeți vectorul b de-a lungul acestei baze (atunci când rezolvați sistemul ecuațiilor algebice liniare, utilizați metoda Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Soluție: În primul rând, luați în considerare sistemul de vectori a1, a2, a3 și verificați determinantul matricei A

construit pe vectori non-zero. Matricea conține un element zero, prin urmare, este mai convenabil să se determine determinantul ca o programare pentru prima coloană sau a treia rând.

În urma calculelor, am obținut că determinantul este zero vectorii a1, a2, a3 sunt liniar independenți.
Prin definiție, vectorii formează o bază în R3. Scriem graficul vectorului b după bază

Vectorii sunt egali atunci când coordonatele lor sunt egale.
Prin urmare, din ecuația vectorială obținem un sistem de ecuații liniare

Rezolvați SLAU Metoda Cramer . Pentru a face acest lucru, vom scrie sistemul de ecuații sub formă

Principalul determinant al SLAE este întotdeauna egal cu determinantul compus din vectori de bază

Prin urmare, în practică, nu este calculat de două ori. Pentru a găsi determinanți auxiliari, punem coloana de termeni liberi în locul fiecărei coloane a determinantului principal. Determinanți calculați de regula triunghiurilor



Înlocuim determinanții găsiți în formula Cramer



Deci, expansiunea vectorului b în bază are forma b \u003d -4a1 + 3a2-a3. Coordonatele vectorului b în baza a1, a2, a3 vor fi (-4.3, 1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Soluție: verificăm o bază de vectori - compunem un determinant din coordonatele vectorilor și îl calculăm

Prin urmare, determinantul nu este egal cu zero vectorii formează o bază în spațiu. Rămâne să găsiți programul vectorului b prin această bază. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația vectorială

și se transformă într-un sistem de ecuații liniare

Scriem ecuația matricială

În continuare, pentru formulele lui Cramer, găsim determinanți auxiliari



Aplicați formulele Cramer



Deci vectorul dat b are un program prin doi vectori de bază b \u003d -2a1 + 5a3, iar coordonatele sale în bază sunt egale cu b (-2,0, 5).

rn
(MATEMATICA ÎN ECONOMIE)

Descompunere vectorială

Descompunere vectorială și pe componente - operație de înlocuire a vectorului și alți câțiva vectori a2, a2, a3 etc., care, atunci când sunt adăugați împreună, formează vectorul inițial și; în acest caz, vectorii db a2, a3 etc. sunt numiți componente ale vectorului și. Cu alte cuvinte, descompunerea oricărui ...
(FIZICĂ)

Baza și rangul unui sistem vectorial

Luați în considerare sistemul de vectori (1.18) Cel mai independent subsistem al sistemului vectorial (1.I8) se numește un set parțial de vectori ai acestui sistem care îndeplinește două condiții: 1) vectorii acestui set sunt liniar independenți; 2) orice vector al sistemului (1.18) este exprimat liniar prin vectorii acestui set ...
(MATEMATICA ÎN ECONOMIE)

Reprezentarea unui vector în diferite sisteme de coordonate.

Considerăm două sisteme de coordonate rectiligne ortogonale cu seturi de vectori de unitate (i, j, k) și (i j ", k") și reprezintă vectorul a în ele. Presupunem condiționat că vectorii unității cu lovituri corespund noului sistem de coordonate și fără lovituri corespund celor vechi. Reprezentăm vectorul ca o expansiune de-a lungul axelor atât ale sistemelor vechi, cât și ale noilor ...

Vector descompunere în bază ortogonală

Luați în considerare baza spațiului rn în care fiecare vector este ortogonal față de alți vectori de bază: Bazele ortogonale sunt cunoscute și bine reprezentate pe plan și în spațiu (Fig. 1.6). Bazele de acest fel sunt convenabile în primul rând pentru că sunt determinate coordonatele extinderii unui vector arbitrar ...
(MATEMATICA ÎN ECONOMIE)

Vectori și reprezentările lor în sisteme de coordonate

Conceptul de vector este asociat cu anumite cantități fizice, care se caracterizează prin intensitatea (magnitudinea) și direcția lor în spațiu. Astfel de cantități sunt, de exemplu, forța care acționează asupra unui corp material, viteza unui anumit punct al acestui corp, accelerația unei particule de material ...
(MECANICA CONTINUĂ: TEORIA VOLTĂRII ȘI MODELE DE BAZĂ)

Cele mai simple reprezentări analitice ale unei funcții eliptice arbitrare

Reprezentarea unei funcții eliptice ca suma celor mai simple elemente. Lasa / (Z) este o funcție eliptică de ordin s cu poli simple jjt, $ s situată în paralelogramul perioadelor. Etichetare de Bk restul funcției în raport cu polul, avem că 2? l \u003d 0 (§ 1 »p. 3, Teorema ...
(INTRODUCERE LA TEORIA FUNCȚIILOR UNUI VARIABIL INTEGRAT)

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afine

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. În acest articol, două secțiuni de matematică superioară vor fi afectate simultan și vom vedea cum se înțeleg într-un singur înveliș. Faceți o pauză, mâncați Twix! ... al naibii de bine, prostii. Deși, bine, nu voi puncta, până la urmă, ar trebui să existe o atitudine pozitivă la studiu.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectorilor iar alți termeni au nu numai o interpretare geometrică, ci, mai ales, un sens algebric. Însăși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem înfățișa pe un plan sau în spațiu. Nu trebuie să mergeți departe pentru a face dovada, încercați să desenați un vector spațial în cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo, după care tocmai am mers la Gismeteo: - temperatura și, respectiv, presiunea atmosferică. Exemplul, desigur, este incorect din punct de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri cu un vector. Respirația toamnei….

Nu, nu o să vă încărc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar se vor da exemple geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și clar. Pe lângă problemele geometriei analitice, vom lua în considerare câteva sarcini tipice ale algebrei. Pentru a stăpâni materialul, este recomandat să vă familiarizați cu lecțiile. Vectori pentru manechine și Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza planului și a sistemului de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului (doar o masă, noptiere, podea, tavan, oricine îi place). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Alegeți o bază de avion. Aproximativ vorbind, un blat are o lungime și o lățime, astfel încât este intuitiv clar că este nevoie de doi vectori pentru a construi o bază. În mod clar, un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mulți.

2) Pe baza selectată setați sistemul de coordonate (grilă) pentru a atribui coordonate tuturor obiectelor de pe masă.

Nu vă mirați, primele explicații vor fi pe degete. Mai mult, pe al tău. Te rog pune mâna stângă pe marginea blatului, astfel încât să se uite în monitor. Va fi un vector. Acum pune mâna dreaptă deget mic la marginea mesei în același mod - astfel încât să fie direcționat către ecranul monitorului. Va fi un vector. Zambeste, arati grozav! Ce zici de vectori? Vectorii de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate între ele:
, bine, sau invers:, unde este alt număr decât zero.

O imagine a acestei acțiuni poate fi văzută în lecție. Vectori pentru manechineunde am explicat regula înmulțirii unui vector cu un număr.

Vă vor pune degetele la baza planului mesei computerului? Evident nu. Vectorii colineari călătoresc înainte și înapoi catre unul direcție, iar planul are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori sunt numiți liniar dependent.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile matematice, expresiile nu există pătrate, cuburi, alte grade, logaritmi, sinus etc. Există doar expresii liniare (gradul I) și dependențe.

Doi vectori vectori liniar dependent dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează degetele pe masă, astfel încât să existe un unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori vectoriliniar nudependente dacă și numai dacă nu sunt colineare. Deci, baza este obținută. Nu trebuie să vă jenăți că baza este „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construirea lui, dar nu numai vectori de unitate de lungime egală

Orice vector de avion unic descompus pe baza:
unde sunt numere reale. Numerele sunt apelate coordonate vectoriale în această bază.

Ei mai spun că vector prezentat ca combinație liniară vectori de bază. Adică se numește expresia descompunere vectorialăde bază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, putem spune că un vector este descompus de-a lungul unei baze ortonormale a planului, dar putem spune că este prezentat ca o combinație liniară de vectori.

Afirmăm determinarea bazei oficial: Avion de bază numită o pereche de vectori liniar independenți (noncolineari), , în care orice un vector plan este o combinație liniară de vectori de bază.

Un punct esențial al determinării este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. baze - acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi reorganizat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe tabela computerului. De ce nu suficient? Vectoarele sunt libere și rătăcesc peste tot în avion. Deci cum să atribuiți coordonatele acele mici puncte de tabel murdare care au rămas după un weekend furtunoasă? Este necesar un punct de referință. Și un astfel de reper este un punct cunoscut tuturor - originea. Ne ocupăm de sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlii”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat unele diferențe între un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbesc sistem dreptunghiular de coordonate, atunci cel mai adesea înseamnă originea, coordonarea axelor și scara de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate care sunt familiare de la gradul 5-6 și despre modul de așezare a punctelor în avion.

Pe de altă parte, se pare că un sistem de coordonate dreptunghiulare poate fi determinat printr-o bază ortonormală. Și este aproape așa. Redactarea este următoarea:

origine, și ortonormalăbază stabilită sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian al planului . Adică un sistem dreptunghiular de coordonate categoric definit de un singur punct și două unități de vectori ortogonali. De aceea, vedeți desenul pe care l-am citat mai sus - în problemele geometrice deseori (dar nu întotdeauna) desenați atât vectorii cât și axele coordonate.

Cred că toată lumea înțelege că folosind un punct (origine) și o bază ortonormală ORICE PUNCT al avionului și ORICE VECTOR al avionuluiputeți atribui coordonate. Figurativ vorbind, „totul poate fi numerotat în avion”.

Vectorii de coordonate trebuie să fie unități? Nu, ele pot avea o lungime arbitrală de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali cu lungime diferită de zero:

Această bază se numește ortogonale. Originea cu vectorii este definită de grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în această bază. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este faptul că vectorii coordonați în general au lungimi diferite, altele decât unitatea. Dacă lungimile sunt unitatea, atunci obținem baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, și de asemenea mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, unitățile de-a lungul axelor sunt considerate CONDIȚII. De exemplu, o unitate de pe axa abscisă conține 4 cm, într-o unitate pe axa ordonată 2 cm. Această informație este suficientă pentru a transfera coordonatele „non-standard” la „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care a fost deja dat răspunsul - este necesar ca unghiul dintre vectorii de bază să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai noncolare. În consecință, unghiul poate fi altceva decât 0 și 180 de grade.

Punctul unui avion numit origine, și noncollinear vectori cere sistemul afinat de coordonate al avionului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Ca exemple în desen, punctele și vectorii sunt arătați:

După cum știți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în partea a doua a lecției, nu funcționează în el Vectori pentru manechinemulte formule delicioase legate de produs scalar al vectorilor. Dar regulile de adăugare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr sunt valabile, formule pentru împărțirea unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz particular al unui sistem afinat de coordonate este un sistem dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, draga, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care doar cele oblice (sau unele altele, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, iar aceste sisteme umanoide pot fi savurate \u003d)

Trecem la partea practică. Toate sarcinile acestei lecții sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiulare, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat, tot materialul este disponibil chiar și pentru student.

Cum se poate determina colinearitatea vectorilor plani?

Un lucru tipic. La doi vectori plani au fost coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționaleÎn esență, acesta este un detaliu coordonat-înțelept al relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Formați vectorii o bază ?

Decizie:
a) Aflați dacă pentru vectori coeficientul de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie satisfăcute:

Asigurați-vă că vorbiți despre varietatea „tipului” din aplicarea acestei reguli, care este destul de rulantă în practică. Ideea este să compunem imediat proporția și să vedem dacă este adevărat:

Compunem o proporție din relațiile coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurta:
Astfel, coordonatele corespunzătoare sunt, prin urmare, proporționale

Relația ar putea fi alcătuită și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru auto-testare, puteți utiliza faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar între ei. În acest caz, există egalități . Dreptatea lor este ușor verificată prin acțiuni elementare cu vectori:

b) Doi vectori ai unui plan formează o bază dacă nu sunt coliniari (independent liniar). Examinați vectori de colinearitate . Haideți să formăm sistemul:

Din prima ecuație rezultă că, din a doua ecuație rezultă că, prin urmare, sistemul este incompatibil (fără soluții). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt liniari independenți și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compunem proporția coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor :
prin urmare, acești vectori sunt liniari independenți și formează o bază.

De obicei această opțiune nu este respinsă de recenzori, dar există o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Asa: . Sau așa: . Sau așa: . Cum să acționeze prin proporție? (într-adevăr, este imposibil de împărțit la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „omule”.

Răspuns:a), b) forma.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a parametrului sunt vectorii va fi coliniar?

În soluția de eșantion, parametrul se găsește prin proporție.

Există un mod algebric elegant de a verifica colinearitatea vectorilor. Ne sistematizăm cunoștințele și al cincilea punct este doar să îl adăugăm:

Pentru doi vectori ai avionului, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul format din coordonatele acestor vectori este zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar dependenți;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar între ei;
+ 5) determinantul format din coordonatele acestor vectori este egal cu zero.

Chiar sper, într-adevăr, că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și declarațiile care s-au îndeplinit.

Să analizăm mai detaliat noul, al cincilea punct: doi vectori plani coliniar dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este zero:. Pentru a aplica această caracteristică, desigur, trebuie să puteți găsi identificatori.

Decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
atunci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori ai unui plan formează o bază dacă nu sunt coliniari (independent liniar). Calculăm determinantul format din coordonatele vectorilor :
prin urmare, vectorii sunt liniar independenți și formează o bază.

Răspuns:a), b) forma.

Pare mult mai compact și mai frumos decât o soluție proporțională.

Folosind materialul considerat, este posibil să se stabilească nu numai colinearitatea vectorilor, ci și să se dovedească paralelismul segmentelor, liniilor. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Vârfurile unui patrulater sunt date. Dovedește că patrulaterul este un paralelogram.

evidență: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Reamintim definiția unei paralelograme:
Paralelogram numit cadran, în care laturile opuse sunt paralele.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Dovedim:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul a fost același vector („asemănător școlii” - vectori egali). Colinearitatea este destul de evidentă, dar este mai bine să elaborezi o decizie corect, cu un aranjament. Calculăm determinantul format din coordonatele vectorilor:
, atunci acești vectori sunt coliniari și.

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, ceea ce înseamnă că este o paralelogramă prin definiție. Q.E.D.

Mai multe cifre sunt bune și diferite:

Exemplul 4

Vârfurile unui patrulater sunt date. Dovedește că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezilor, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient și simplu să vă amintiți cum arată.

Această sarcină este pentru o soluție independentă. Soluție completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să treci încet din avion în spațiu:

Cum se poate determina colinearitatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte similară. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor să fie proporționale.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

și) ;
b)
la)

Decizie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificarea” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
- coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru decizie independentă. Încercați să-l aranjați în două moduri.

Există o metodă de verificare a colectorilor vectori spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este acoperită în articol Produs vectorial al vectorilor.

În mod similar cu cazul plat, cutia de instrumente considerată poate fi folosită pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bine ați venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiului tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre legile pe care le-am examinat în avion vor fi valabile pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece ponderea leului de informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece apar termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, explorăm spațiul tridimensional. În primul rând, creează-i baza. Cineva este acum în cameră, cineva pe stradă, dar, în orice caz, nu ne putem îndepărta de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, sunt necesari trei vectori spațiali. Unul sau doi vectori nu sunt suficienți, al patrulea este de prisos.

Și din nou, încălzește-te pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna în sus și să o întindeți în diferite direcții. degetul mare, arătătorul și degetul mijlociu. Aceștia vor fi vectori, vor arăta în direcții diferite, vor avea lungimi diferite și vor avea unghiuri diferite unul cu celălalt. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor, indiferent de modul în care vă răsuciți degetele, dar nu vă puteți îndepărta de definiții \u003d)

În continuare, să punem o întrebare importantă, indiferent dacă trei vectori formează baza spațiului tridimensional? Vă rugăm să țineți trei degete ferm de partea superioară a biroului computerului. Ce s-a întâmplat Trei vectori sunt situați într-un singur plan și, aproximativ, am pierdut una dintre dimensiuni - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanare și, este evident că nu creează o bază pentru spațiul tridimensional.

Trebuie menționat că vectorii coplanari nu trebuie să se întindă în același plan, ei pot fi în planuri paralele (pur și simplu nu faceți acest lucru cu degetele, doar Salvador Dali a ieșit \u003d)).

Definiție: vectori sunt numiți coplanaredacă există un plan la care sunt paralele. Este logic să adăugăm aici că, dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna liniari dependențiadică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, presupunem din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt numai coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În cel de-al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei în mod unic: (și de ce - este ușor de ghicit din materialele secțiunii anterioare).

Contrar este, de asemenea, adevărat: trei vectori non-coplanari sunt întotdeauna liniari independenți, adică nu este exprimat în niciun fel unul prin celălalt. Și, evident, doar astfel de vectori pot forma baza spațiului tridimensional.

Definiție: Bazele spațiului tridimensional numită o triplă a vectorilor independenți liniar (non-coplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector de spațiu unic se descompune pe o bază dată, unde sunt coordonatele vectorului din această bază

Vă reamintesc, se poate spune și că vectorul este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus în același mod ca și pentru cazul plan, un punct și orice trei vectori independenți liniar sunt suficiente:

origine, și non-coplanar vectori luate într-o anumită ordinecere sistem de coordonate afine a spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. În mod similar planului, în sistemul de coordonate spațiale afine unele formule despre care am menționat deja nu vor funcționa.

Cel mai familiar și mai convenabil caz particular al unui sistem afinat de coordonate, după cum se presupune că toată lumea este sistem dreptunghiular de coordonare a spațiului:

Punct spațial numit origine, și ortonormalăbază stabilită sistem cartezian dreptunghiular de coordonare spațială . Poza de familie:

Înainte de a trece la sarcini practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori de spațiu, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniari independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar între ei;
5) determinantul format din coordonatele acestor vectori este zero.

Cred că afirmațiile opuse sunt de înțeles.

Dependența / independența liniară a vectorilor spațiali este verificată în mod tradițional folosind un determinant (paragraful 5). Sarcinile practice rămase vor avea un caracter algebric pronunțat. Este timpul să puneți un club geometric pe un cui și să purtați un lut de baseball din algebră liniară:

Trei vectori spațiali coplanar dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero: .

Atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba din aceasta - vezi proprietățile determinanților). Dar mult mai bine în coloane, deoarece este mai profitabil pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calcul a factorilor determinanți, și poate chiar le navighează prost, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori stau la baza spațiului tridimensional:

Decizie: De fapt, întreaga soluție se reduce la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este prezentat pe prima linie):

prin urmare, vectorii sunt liniar independenți (nu coplanari) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un element pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există, de asemenea, sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare de parametru vectorii vor fi coplanari?

Decizie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este zero:

În esență, trebuie să rezolvați ecuația cu determinantul. Zborăm spre zerouri ca zmeii pe jerboase - determinantul este cel mai avantajos să dezvăluim pe a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Realizăm și alte simplificări și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor de verificat aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea obținută în determinantul inițial și să vă asigurați că dezvăluind-o din nou.

În concluzie, considerăm o altă problemă tipică, care este de natură mai algebră și inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:

Dovedește că 3 vectori stau la baza spațiului tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al patrulea vector în această bază

Exemplul 8

Vectori datori. Arătați că vectorii formează baza spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Decizie: În primul rând, avem de-a face cu starea. Prin ipoteză, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja anumite coordonate. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6, este necesar să verificăm dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculăm determinantul format din coordonatele vectorilor:

prin urmare, vectorii sunt liniar independenți și constituie baza spațiului tridimensional.

! Important : coordonatele vectorilor în mod necesar scrie în coloane calificativ, nu în linii. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de decizie suplimentară.