Determinarea semnului numărului în trigonometrie. Proprietăți ale sinusului, cosin, tangentă și colț de catangene

Trigonometria, cum ar fi știința, originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost derivate de către astronomi pentru a crea un calendar precis și pentru a se concentra asupra stelelor. Aceste calcule aparțineau trigonometriei sferice, în timp ce în cursul școlii, sunt studiate rapoartele partidelor și un unghi de triunghi plat.

Trigonometria este o secțiune a matematicii angajate în proprietățile funcțiilor trigonometrice și dependența dintre părți și colțurile triunghiurilor.

În timpul zilei de glorie a culturii și științei primului mileniu, epoca noastră de cunoștințe sa răspândit din vechea est spre Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei este meritul soților califatului arab. În special, omul de știință din Turkmen al-Marazvi a intrat în funcții precum tangente și kotangent, compilate primele mese pentru valorile sinusale, tangente și catangents. Conceptul de sine și cosinus este introdus de oamenii de știință indieni. Trigonometria este dedicată multă atenție în scrierile unor astfel de mari lideri de antichitate, cum ar fi Euclidea, Arhimede și Eratosthene.

Principalele valori ale trigonometriei

Principalele funcții trigonometrice ale argumentului numeric sunt sinusul, cosinul, tangentul și catangenul. Fiecare dintre ei are propriul său program: sinusoid, cosineida, tangensoid și catangensoid.

Baza formulelor pentru calcularea valorilor cantităților specificate este teorema Pythagoreo. Elevii sunt mai cunoscuți în formularea: "Pantaloni Pythagoras, în toate direcțiile sunt egale", deoarece dovada este dată pe un exemplu de triunghi dreptunghiular egal.

Sinus, cosinie și alte dependențe stabilesc o legătură între colțurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghiular. Oferăm formule pentru calcularea acestor valori pentru unghi A și urmează relația dintre funcțiile trigonometrice:

După cum se poate vedea, TG și CTG sunt funcții inverse. Dacă trimiteți catatul A ca o bucată de păcat A și hipotensus cu, și roll b sub formă de Cos A * C, vom primi următoarele formule pentru tangentă și kotangent:

Cercul trigonometric

Raportul grafic, raportul dintre valorile menționate poate fi reprezentat după cum urmează:

Cercul, în acest caz, este un unghi posibil α - de la 0 ° la 360 °. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție are o valoare negativă sau pozitivă în funcție de valoarea colțului. De exemplu, păcatul α va fi cu semnul "+", dacă α aparține I și II din trimestrul cercului, adică este între 0 ° și 180 °. Cu α de la 180 ° la 360 ° (iii și iv sferturi), păcatul α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru unghiuri specifice și să aflăm valoarea valorilor.

Valorile α sunt de 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° și așa mai departe - se numesc cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice sunt calculate pentru ele și sunt prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu sunt alese de niciun accident. Desemnarea π în tabele reprezintă radiani. Rad este un unghi la care lungimea arcului circumferinței corespunde razei sale. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o dependență universală, la calcularea radiațiilor, lungimea reală a razei în cm nu contează.

Colțurile din tabelele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianului:

Deci, nu este dificil să ghiciți că 2π este un cerc complet sau 360 °.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a lua în considerare și compara principalele proprietăți ale sinusurilor și cosinului, tangentelor și catangens, este necesar să se deseneze funcțiile lor. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensionale.

Luați în considerare un tabel comparativ de proprietăți pentru sinusoiduri și cosinieri:

SinusoidKosinusoid.
y \u003d păcat xy \u003d cos x
ODZ [-1; unu]ODZ [-1; unu]
sIN X \u003d 0, la X \u003d PK, unde k ε zcos x \u003d 0, la x \u003d π / 2 + πk, unde k ε z
sIN X \u003d 1, la x \u003d π / 2 + 2πK, unde k ε zcos x \u003d 1, la x \u003d 2πk, unde k ε z
sIN X \u003d - 1, la x \u003d 3π / 2 + 2πK, unde k ε zcos x \u003d - 1, la x \u003d π + 2πk, unde k ε z
păcat (-x) \u003d - Sin x, adică funcția este ciudatăcos (-x) \u003d cos x, adică funcția este chiar
funcția periodică, cea mai mică perioadă - 2π
sIN X\u003e 0, cu sferturi de I și II deținute de x sau de la 0 ° la 180 ° (2πK, π + 2πK)cos x\u003e 0, cu sferturi de X-X-X și IV sau de la 270 ° la 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sIN X \u003c0, cu sferturi de X-X-X și IV sau de la 180 ° la 360 ° (π + 2πK, 2π + 2πK)cOS X \u003c0, cu X-X și trei sferturi sau de la 90 ° la 270 ° (π / 2 + 2πK, 3π / 2 + 2πK)
crește pe intervalul [- π / 2 + 2πK, π / 2 + 2πK]crește pe interval [-π + 2πk, 2πk]
scade la intervale [π / 2 + 2πK, 3π / 2 + 2πK]scade la intervale
derivat (sin x) '\u003d cos xderivat (cos x) '\u003d - Sin x

Determinați dacă funcția este chiar sau nu foarte simplă. Este suficient să prezentați un cerc trigonometric cu semne de valori trigonometrice și "pliate" mental ", graficul față de axa de ox. Dacă semnele coincid, funcția este chiar, altfel - un ciudat.

Introducerea radiațiilor și transferul proprietăților principale ale sinusoidelor și ale coslineidelor vă permit să aduceți următoarea regularitate:

Asigurați-vă că formula este foarte simplă. De exemplu, pentru X \u003d π / 2 sinusul este 1, precum și cosinus x \u003d 0. Puteți verifica tabelele sau urmăriți funcțiile funcțiilor pentru valorile specificate.

Proprietăți de tangenoide și kotangensoides

Graficele funcțiilor Tangentului și Kotangentului diferă semnificativ de sinusoiduri și cosinieri. Valorile TG și CTG se întorc reciproc.

  1. Y \u003d tg x.
  2. Tangensoid tinde să valorifice y la x \u003d π / 2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
  3. Cea mai mică perioadă pozitivă de tangensoid este egală cu π.
  4. Tg (- x) \u003d - tg x, adică, funcția este ciudată.
  5. Tg x \u003d 0, la x \u003d πk.
  6. Funcția este în creștere.
  7. Tg x\u003e 0, la x ε (πk, π / 2 + πk).
  8. Tg x \u003c0, la x ε (- π / 2 + πk, πk).
  9. Derivat (tg x) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Luați în considerare imaginea grafică a catangenilor sub textul.

Principalele proprietăți ale kotangensoidelor:

  1. Y \u003d ctg x.
  2. Spre deosebire de funcțiile sinusului și a cosiniei, în Tangentsoid Y, acesta poate lua valorile multor numere valide.
  3. Kotangensoid tinde să valorifice y la x \u003d πk, dar nu le atinge niciodată.
  4. Cea mai mică perioadă pozitivă a catangenoidei este egală cu π.
  5. CTG (- x) \u003d - CTG X, adică funcția este ciudată.
  6. Ctg x \u003d 0, la x \u003d π / 2 + πk.
  7. Funcția este descendentă.
  8. CTG X\u003e 0, la x ε (πk, π / 2 + πk).
  9. Ctg x \u003c0, la x ε (π / 2 + πk, πk).
  10. Derivat (CTG X) '\u003d - 1 / păcat 2 \u2061x fix

Dacă spunem pur și simplu, acestea sunt legume gătite în apă printr-o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente sursă (salată de legume și apă) și rezultatul finit - Borsch. Geometric, acest lucru poate fi reprezentat ca un dreptunghi în care o parte denotă o salată, a doua parte denotă apă. Suma acestor două părți va denota Borsch. Diagonala și zona unui astfel de dreptunghi "izbucni" sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borsch cu baruri.


Cum se transformă salata și apa în Borsch în ceea ce privește matematica? Cum poate fi transformată suma a două segmente în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.


În manualele matematice, nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare. Dar fără ei nu pot exista matematicieni. Legile matematicii, precum și legile naturii, lucrează independent de faptul dacă știm despre existența lor sau nu.

Funcțiile unghiulare liniare sunt legile de adăugare. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie, iar geometria se transformă în trigonometrie.

Este posibil să faceți fără funcții unghiulare liniare? Este posibil, deoarece matematica continuă fără ei. Trucul matematicienilor este că ei ne spun întotdeauna numai despre aceste provocări pe care ei înșiși le pot decide și nu vor spune niciodată despre aceste sarcini pe care nu le cunosc cum să decidă. Vedea. Dacă știm rezultatul adăugării și un termen, pentru a căuta un alt complex, folosim scăderea. Tot. Nu cunoaștem alte sarcini și nu știu cum să rezolvăm. Ce trebuie să faceți în cazul în care suntem cunoscuți numai pentru rezultatul adăugării și nu sunt cunoscute ambii termeni? În acest caz, rezultatul adăugării trebuie să fie descompus în doi termeni cu funcții unghiulare liniare. Apoi, deja alegem, cum poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată ceea ce ar trebui să fie al doilea termen, astfel încât rezultatul adăugării a fost exact ceea ce avem nevoie. Astfel de perechi de termeni pot fi un set infinit. În viața de zi cu zi, ne trezim fără descompunere a sumei, avem suficientă scădere. Dar în cercetarea științifică a legilor naturii, descompunerea sumei pe componente poate fi foarte utilă.

O altă lege de adăugare, despre care matematica nu-i place să vorbească (un alt truc), necesită ca componentele să aibă aceleași unități de măsurare. Pentru salată, apă și borschor, poate fi o unitate de măsură, volum, cost sau unitate de măsură.

Figura prezintă două nivele de diferențe pentru matematică. Primul nivel este diferențele în domeniul numerelor indicate a., b., c.. Aceasta este ceea ce matematica este angajată. Al doilea nivel este diferențele în domeniul unităților de măsurare, care sunt prezentate în paranteze pătrate și indicate de litera U.. Fizica este angajată în acest sens. Putem înțelege cel de-al treilea nivel - diferențele în câmpul obiectelor descrise. Diferitele obiecte pot avea același număr de unități identice de măsurare. În ceea ce este important, putem vedea exemplul trigonometriei lui Borscht. Dacă adăugăm indexuri mai mici la aceeași denumire a unităților de măsurare a diferitelor obiecte, putem spune cu exactitate ce valoare matematică descrie un obiect specific și modul în care se schimbă în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. Scrisoare W. Voi face referire la apă, scrisoare S. Lăsați salata și scrisoarea B. - Borsch. Așa arată funcțiile unghiulare liniare pentru Borscht.

Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o parte din Borscht. Aici vă sugerez să vă distrageți puțin de la Borscht și să vă amintiți copilăria îndepărtată. Amintiți-vă cum am fost învățați să plopim bunienii și grefierul împreună? Era necesar să se găsească cât de multe animale ar reuși. Ce ne-au învățat apoi să facem? Am fost învățați să rupăm unitățile de măsurători din numere și să adăugăm numere. Da, un număr poate fi pliat cu un alt număr. Aceasta este o cale directă către autori a matematicii moderne - noi nu este clar ce, nu este clar de ce și foarte bine înțelegeți cum se referă la realitate, din cauza celor trei niveluri de matematică diferențe doar una. Va fi mai corect să înveți să vă deplasați de la o unitate de măsură la alții.

Și iepurașii, ciripii și animalele pot fi calculate în bucăți. O unitate comună de măsurare pentru diferite obiecte ne permite să le pliam împreună. Aceasta este o opțiune de sarcină a copiilor. Să ne uităm la o sarcină similară pentru adulți. Ce se întâmplă dacă conduceți iepurași și bani? Aici puteți oferi două soluții.

Prima opțiune. Definim valoarea de piață a iepurașilor și o plianți cu suma de bani. Am primit costul total al bogăției noastre în echivalentul în numerar.

A doua opțiune. Puteți adăuga numărul de iepurași cu numărul de facturi de numerar disponibile. Vom primi numărul de proprietăți mobile în bucăți.

După cum puteți vedea, aceeași lege a aranjamentului vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.

Dar înapoi la Boors. Acum putem vedea ce se va întâmpla la diferite valori ale unghiului de funcții unghiulare liniare.

Unghiul este zero. Avem o salată, dar nu există apă. Nu putem găti borsch. Cantitatea de panouri este, de asemenea, zero. Acest lucru nu înseamnă că zero borschor este zero apă. Zero zero poate fi la salată zero (unghi drept).


Pentru mine personal, principalele dovezi matematice ale faptului. Zero nu modifică numărul la adăugarea. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există doar un singur termen și nu există un al doilea termen. Puteți să o tratați oricum, dar să vă amintiți - toate operațiile matematice cu zero au venit cu matematica înșiși, astfel încât să vă aruncați logica și instrumentul stupid definițiile inventate de matematicieni: "Divizia de zero este imposibilă", "Orice număr înmulțit cu zero este zero "," pentru un punct de rață zero "și alte prostii. Este o singură dată să ne amintim că zero nu este un număr, și nu veți avea niciodată o întrebare, este un număr natural zero sau nu, deoarece o astfel de întrebare este în general lipsită de orice înțeles: Cum poate fi considerat un număr pe care numărul îl este nu. Este ca și cum ați cere ce culoare este o culoare invizibilă. Adăugați zero la număr este același ca vopsea de pictură, care nu este. Casselul uscat a fost spălat și discutați cu toată lumea că "am pictat". Dar am fost puțin distras.

Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem o mulțime de salată, dar puțină apă. Ca rezultat, avem un borsch gros.

Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem în cantități egale apă și salată. Acesta este Borsch perfect (și iartă-mi un bucătar, este doar o matematică).

Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai puțin de nouăzeci de grade. Avem o mulțime de apă și salată mică. Se pare că este borsch lichid.

Unghi drept. Avem apă. Numai amintirile au rămas din salată, deoarece unghiul pe care îl continuăm să le măsuram de la linie, care odată a marcat salata. Nu putem găti borsch. Cantitatea de borscht este zero. În acest caz, țineți și beți apă în timp ce este)))

Aici. Ceva de genul. Pot spune aici și alte povestiri care vor fi mai mult decât adecvate aici.

Doi prieteni au avut propriile acțiuni în afacerea generală. După uciderea uneia dintre ele, totul a mers la altul.

Apariția matematicii pe planeta noastră.

Toate aceste povestiri în limba matematicii sunt declarate folosind funcții unghiulare liniare. Încă o dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, înapoi la trigonometria Borscht și ia în considerare proiecția.

sâmbătă, 26 octombrie 2019

Vizualizați un videoclip interesant despre rândul grande. Un minus unul plus unul minus unul - numere . Matematica minciuna. Ei nu au verificat egalitatea în timpul raționamentului lor.

Acest lucru reflectă argumentele mele despre.

Să ne uităm la semnele de înșelare cu matematicienii. La începutul raționamentului, matematica declară că suma secvenței depinde de numărul de elemente din el sau de nu. Acesta este un fapt stabilit în mod obiectiv. Ce se întâmplă în continuare?

Alte matematici din unitate deduce secvența. La ce dorește acest lucru? Acest lucru duce la o schimbare a numărului de elemente de secvență - chiar și modificările cantității la o schimbare ciudată, ciudată la uniformă. La urma urmei, am adăugat la un element de secvență egal cu unul. În ciuda tuturor similitudinii externe, secvența înainte de conversie nu este egală cu secvența după transformare. Chiar dacă ne certăm despre secvența infinită, este necesar să ne amintim că secvența infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o secvență infinită, cu un număr și de elemente.

Prin semnarea egalității între două elemente diferite prin secvențe, matematica susțin că suma secvenței nu depinde de numărul de elemente din secvență, ceea ce contravine faptului stabilit în mod obiectiv. Motivul suplimentar cu privire la suma secvenței infinite este falsă, deoarece se bazează pe egalitate falsă.

Dacă vedeți că matematica în cursul dovezilor setați parantezele, elementele expresiei matematice sunt rearanjate în locuri, ceva este adăugat sau îndepărtat, fiind foarte atent, cel mai probabil că încercați să vă înșele. Ca și magicienii de carduri, matematica cu diferite manipulări, cu o expresie distrage atenția dvs. pentru a suferi rezultatul fals ca rezultat. Dacă cardul se concentrează, nu se poate repeta, fără a cunoaște secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiți nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu expresia matematică vă permite să-i convingeți pe alții În corectitudinea rezultatului, la fel ca și când te-ai convins.

Întrebare din sala: și infinit (ca număr de elemente din secvență), este chiar sau ciudat? Cum poate fi schimbată paritatea că paritatea nu are?

Infinit pentru matematicieni, ca Împărăția Cerului pentru Popov - Nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum este aranjată acolo))) Sunt de acord, după moarte veți fi absolut indiferenți, chiar sau un număr ciudat de zile a trăit, dar ... adăugând doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele de familie, numele și patronimic al lui este exact același, doar data nașterii este complet diferită - el sa născut într-o zi înainte de tine.

Și acum în esență))) să presupunem că secvența finală care are paritate pierde această paritate atunci când se deplasează la infinit. Apoi, orice segment finit al secvenței infinite ar trebui să piardă paritatea. Nu observăm acest lucru. Faptul că nu putem spune cu siguranță, un număr egal sau ciudat de elemente într-o secvență infinită, nu înseamnă că paritatea a dispărut. Nu poate paritatea dacă este, a dispărut fără o urmă în infinit, ca în mâneca lui Shulera. Pentru acest caz există o analogie foarte bună.

Nu ați cerut niciodată cucului așezat în ceas, în ce direcție se rotește săgeata ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește în direcția opusă celui pe care îl numim "în sensul acelor de ceasornic". Deoarece nu sună paradoxal, dar direcția de rotație depinde numai de partea pe care o observăm rotația. Și așa, avem o roată care se rotește. Nu putem spune, în ce direcție este rotația, deoarece o putem observa pe de o parte a planului de rotație, cât și pe celălalt. Putem doar să mărturisim faptul că rotația este. Analogie completă cu paritatea secvenței infinite S..

Acum, adăugați cea de-a doua roată rotativă, a planului de rotație, care este paralel cu planul de rotație a primei roții rotative. Încă nu putem spune cu siguranță, în ce direcție aceste roți se rotesc, dar putem spune doar că ambele roți sunt rotite într-o direcție sau în contract. Comparând două secvențe nesfârșite S. și 1-s.Eu, cu ajutorul matematicii, a arătat că aceste secvențe au o paritate diferită și au pus semnul egalității între ele - aceasta este o eroare. Eu personal cred că matematica, nu am încredere în matematicienii))))), pentru o înțelegere completă a geometriei transformărilor secvențelor infinite, este necesar să se introducă conceptul "simultaneitate". Va trebui să o tragă.

miercuri, 7 august 2019

Finalizarea conversației despre, trebuie să luați în considerare setul infinit. Aceasta a dat ca conceptul de "infinit" acte asupra matematicienilor ca pe un navigat pentru iepure. Awesome Horror înainte ca Infinity să priveze matematicienii de bun simț. Iată un exemplu:

Sursa este situată. Alpha denotă un număr valid. Semnul de egalitate în expresiile de mai sus sugerează că, dacă este la infinit să adauge un număr sau infinit, nimic nu se va schimba, rezultând aceeași infinitate. Dacă este un exemplu, luați un set infinit de numere naturale, atunci exemplele considerate pot fi reprezentate în acest formular:

Pentru dovada vizuală a matematicii lor, au apărut multe metode diferite. Personal, mă uit la toate aceste metode, cum ar fi dansul de șamane cu tamburine. În esență, toți sunt redus la faptul că nici o parte a numerelor nu sunt ocupate și oaspeții noi sunt soluționați în ele sau faptului că o parte din vizitatori sunt aruncați în coridor pentru a elibera locul oaspeților (foarte uman). Am subliniat opinia mea cu privire la astfel de soluții sub forma unei povesti fantastice despre blonda. Care sunt raționamentul meu bazat pe? Reinstalarea numărului fără sfârșit de vizitatori necesită infinit de mult timp. După ce am eliberat prima cameră pentru oaspete, unul dintre vizitatori va urma întotdeauna coridorul din camera dvs. în secolul vecin. Desigur, factorul de timp poate fi ignorat prost, dar nu va fi scris din categoria "nebunilor". Totul depinde de ceea ce facem: personalizați realitatea pentru teorii matematice sau invers.

Care este "Hotelul nesfârșit"? Hotelul nesfârșit este un hotel unde există întotdeauna un număr de locuri libere, indiferent câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din coridorul infinit "Pentru vizitatori" sunt ocupate, există un alt coridor nesfârșit cu numere de oaspeți. Astfel de coridoare vor fi un set infinit. În acest caz, "Hotelul fără sfârșit" este un număr infinit de etaje într-o cantitate infinită de carcase pe o cantitate infinită de planete într-un număr infinit de universuri create de o cantitate infinită de zei. Matematica nu este capabilă să elimine din problemele de uz casnic banal: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna doar unul, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Aici sunt matematicienii și încearcă să mătură numerele ordinale ale camerelor hoteliere, ne-au convins în faptul că poți "împinge nemulțumirea".

Logica raționamentului dvs., vă voi demonstra în exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele au venit cu ei înșiși, nu există numere în natură. Da, natura știe cum să numere perfect, dar pentru aceasta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Cum crede natura, îți voi spune un alt moment. Deoarece numerele au venit cu noi, noi înșine decid câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum este prezentat de acest om de știință.

Mai întâi. "Să dăm" un singur set de numere naturale, care serene se află pe raft. Luați-o din scoici, acest lucru este foarte mult. Totul, alte numere naturale de pe raft nu au mai rămas și nu le ia nicăieri. Nu putem adăuga o unitate la acest set, așa cum o avem deja. Și dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate de mulți care au luat deja și o aduc înapoi la raft. După aceea, putem lua o unitate din adăpost și adăugăm la ceea ce am lăsat. Ca rezultat, primim din nou un set infinit de numere naturale. Scrieți toate manipulările noastre ca acesta:

Am înregistrat acțiunile în sistemul algebric al denumirilor și în sistemul de denumiri adoptate în teoria seturilor, cu o listă detaliată a seturilor de seturi. Indicele inferior indică faptul că numerele naturale pe care le avem singura. Se pare că setul de numere naturale va rămâne neschimbat numai dacă este scăzut din acesta o unitate și va adăuga aceeași unitate.

Opțiunea secundă. Avem o mulțime de seturi diferite infinite de numere naturale pe raftul nostru. Am subliniat - diferit, în ciuda faptului că practic nu se deosebește. Luați unul dintre aceste seturi. Apoi, dintr-un alt set de numere naturale, luăm o unitate și adăugăm un set de deja luat de noi. Putem chiar să fugim două seturi de numere naturale. Asta facem:

Indicele inferioare "One" și "Două" indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați o unitate la un set infinit, rezultatul este, de asemenea, un set infinit, dar nu va fi același ca setul inițial. Dacă se adaugă un set infinit la un set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elemente ale primelor două seturi.

Setul de numere naturale este utilizat pentru cont doar ca un conducător pentru măsurători. Acum, imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la domnitor. Aceasta va fi deja o altă linie, nu egală cu cea originală.

Puteți accepta sau nu accepta raționamentul meu este materia dvs. personală. Dar dacă ați întâlnit vreodată probleme matematice, gândiți-vă dacă vă plimbați de-a lungul traseului de raționament fals, generații trotate de matematicieni. La urma urmei, clasele din matematică, în primul rând, formează un stereotip constant de gândire, și numai apoi adăugați abilități mentale față de noi (sau viceversa, ne privesc de marfă).

pozg.ru.

duminică, 4 august 2019

Actualizat PostScript la articol despre și a văzut acest text minunat în Wikipedia:

Am citit: "... Baza teoretică bogată a matematicii Babilonului nu a avut o natură holistică și a fost redusă la setul de tehnici împrăștiate lipsite de un sistem și dovezi comune."

Wow! Ce suntem inteligenți și cât de bine putem vedea deficiențele altora. Și ne uităm puțin la matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul dat, am reușit personal următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este o natură holistică și se reduce la setul de secțiuni împrăștiate lipsite de un sistem comun și de baze de dovezi.

Pentru confirmarea cuvintelor dvs., nu voi merge departe - are o altă limbă și o denumire condiționată, alta decât limba și simbolurile multor alte secțiuni de matematică. Aceleași nume în diferite secțiuni ale matematicii pot avea un înțeles diferit. Cele mai evidente bucăți de matematică modernă, vreau să dedic un întreg ciclu de publicații. Pe curând.

sâmbătă, 3 august 2019

Cum să împărțiți setul pe subseturi? Pentru a face acest lucru, introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă din partea elementelor setului selectat. Luați în considerare un exemplu.

Să avem multe DARconstând din patru persoane. Acest set este format pe baza "oamenilor" pe care o denunțăm elementele acestui set prin scrisoare darIndicele inferior cu numărul va indica numărul de secvență al fiecărei persoane din acest set. Introducem o nouă unitate de măsurare "penis" și ne-am denotă scrisoarea b.. Deoarece semnele sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, multiplicați fiecare element al setului DAR pe semnul sexual b.. Vă rugăm să rețineți că acum mulți oameni au devenit mulți "oameni cu semne sexuale". După aceea, putem împărți semnele genitale pentru bărbați bM. și femei bW. Semne sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: alegem unul dintre aceste semne sexuale, care este indiferent de ceea ce este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la om, atunci îl înmulțiți pe unul, dacă nu există un astfel de semn - îl înmulțiți pe zero. Și apoi aplicați matematica școlară obișnuită. Vedeți ce sa întâmplat.

După multiplicare, abrevieri și regrupare, am primit două subseturi: un subset de bărbați BM. și un subset de femei BW.. Aproximativ acelasi matematicieni rata atunci cand folosesc teoria seturilor in practica. Dar, în detaliile, noi nu ne lipsesc, dar dau rezultatul finit - "O mulțime de oameni constă dintr-un subset de bărbați și un subset de femei". Bineînțeles, este posibil să aveți o întrebare cât de corect se aplică matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur, în esență, transformările au făcut totul corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a algebrei aritmetice, booleene și alte secțiuni de matematică. Ce este? Timpul altcuiva vă voi spune despre asta.

În ceea ce privește exemple, este posibilă combinarea a două seturi într-o premisă, prezintă o unitate de măsură prezent la elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsurare și matematică obișnuită transformă teoria seturilor în relicvă a trecutului. Un semn al faptului că, cu teoria seturilor nu este în regulă, este că pentru teoria seturilor de matematică, a apărut propria lor limbă și propriile lor denumiri. Matematica a fost acceptată ca șamanii să vină odată. Numai șamanii știu cum "în mod corect" aplică "cunoștințele lor". Aceste "cunoștințe" ne învață.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipularea matematicii
Să presupunem că Ahilele trece de zece ori mai repede decât broasca testoasa și se află în spatele ei la o distanță de o mie de pași. Pentru moment, pentru care Achilles trece prin această distanță, o sută de pași se vor prăbuși în aceeași parte. Când Achilles rulează o sută de pași, broasca testoasa se va târî cu aproximativ zece pași și așa mai departe. Procesul va continua până la infinit, Achilles nu va prinde niciodată pe broască țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile ulterioare. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... toți au considerat cumva apriologia Zenonului. Șocul sa dovedit a fi atât de puternic încât " ... Discuțiile continuă și în prezent, să vină la avizul general cu privire la esența paradoxurilor comunității științifice nu au fost încă posibile ... o analiză matematică, teoria seturilor, noile abordări fizice și filosofice a fost implicată în studiul problemei; Nici unul dintre ei nu a devenit o problemă general acceptată a problemei ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Toată lumea înțelege că sunt blocați, dar nimeni nu înțelege ce înșelăciune este.

Din punctul de vedere al matematicii, Zeno în aproboria sa a demonstrat în mod clar tranziția de la valoarea la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constantă. În ceea ce înțeleg, aparatul matematic al utilizării variabilelor de unități de măsurare este încă încă nu sa dezvoltat, fie nu a fost aplicat apariției Zenonului. Utilizarea logicii noastre obișnuite ne conduce la o capcană. Noi, prin inerție de gândire, folosim unități permanente de măsurare a timpului la invertor. Din punct de vedere fizic, se pare că o încetinire a timpului până la oprirea completă în momentul în care Ahile este umplute cu o broască țestoasă. Dacă timpul se oprește, Achilles nu mai poate depăși broasca testoasa.

Dacă întoarceți logica, de obicei, totul devine în vigoare. Achilles rulează la o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al căii sale este de zece ori mai scurt decât cel precedent. În consecință, timpul petrecut asupra depășirii sale, de zece ori mai mică decât cea precedentă. Dacă aplicați conceptul de "infinit" în această situație, va spune corect că "Achilles infinit va prinde rapid broasca testoasa".

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități de măsurare permanente și nu vă deplasați la valori inverse. În limba Zenon, se pare că:

Pentru acel moment, pentru care Achilles rulează o mie de pași, o sută de pași vor sparge broasca țestoasă în aceeași parte. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Achilles va rula încă o mie de pași, iar broasca țestoasă va sparge o sută de pași. Acum, Achilles este o opt sută de pași înainte de broască țestoasă.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără paradoxuri logice. Dar aceasta nu este o soluție completă la această problemă. Pe Agracul Zenonian de Achilles și broasca țestoasă este foarte asemănătoare cu declarația lui Einstein asupra irealizării vitezei luminii. Încă mai trebuie să studiem această problemă, să regândească și să rezolvăm. Și decizia ar trebui să fie căutată în numere infinit mari, ci în unități de măsură.

Un alt interesant Yenon Aproria spune despre săgețile zburătoare:

Săgeata zburătoare este încă, deoarece în fiecare moment se odihnește și, din moment ce se odihnește în fiecare moment, se odihnește întotdeauna.

În acest conac, paradoxul logic este foarte simplu - este suficient să clarificați că, în fiecare moment, săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte de spațiu, care, de fapt, este mișcarea. Aici trebuie să observați un alt moment. Potrivit unei fotografii a mașinii pe drum, este imposibil să se determine faptul că mișcarea sa, nici distanța față de ea. Pentru a determina mișcarea mașinii, aveți nevoie de două fotografii făcute dintr-un punct la diferite puncte în timp, dar este imposibil să se determine distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, două fotografii din diferite puncte de spațiu la un moment dat, dar este imposibil să se determine faptul că mișcarea (în mod natural, datele suplimentare sunt încă necesare pentru calcule, trigonometria pentru a vă ajuta). Ceea ce vreau să fac o atenție deosebită este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu ar trebui să fie confuze, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
Voi arăta procesul de exemplu. Selectăm "roșu roșu la pernă" - acesta este "întregul nostru". În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu un arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din "întreg" și formați o mulțime de "cu un arc". Deci, șamanii își fac hrana, legați-le teoria seturilor la realitate.

Acum, să facem puțin murdar. Luați un "greu într-o barieră cu un arc" și uni aceste "întregi" în semnul de culoare, leagăn elementele roșii. Avem o mulțime de "roșu". Acum, întrebarea este pe coloana vertebrală: seturile obținute "cu un arc" și "roșu" sunt aceleași seturi sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai precis, ei înșiși nu știu nimic, dar vor spune, așa că va fi.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă atunci când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format o mulțime de "solid roșu într-o barieră cu un arc". Formarea a avut loc în patru unități diferite de măsurători: culoare (roșu), rezistență (solidă), rugozitate (într-o tragere), decorațiuni (cu arc). Numai setul de unități de măsurare permite în mod adecvat să descrie obiectele reale în limba matematică. Așa arată.

Scrisoarea "A" cu indicii diferiți indică diferite unități de măsură. În paranteze alocate unități de măsură pe care "întregul" este evidențiat la pasul preliminar. În spatele parantezelor au făcut o unitate de măsură, care este formată dintr-un set. Ultima linie indică rezultatul final - elementul setului. După cum puteți vedea, dacă utilizați unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este deja matematică, nu dansul de șamane cu tamburine. Șamanii pot fi "intuitivi" să ajungă la același rezultat, argumentând "aparent", deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor științific ".

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți unul sau să combinați mai multe seturi într-o singură alarmă. Să ne uităm mai atent la algebra acestui proces.

Numărarea colțurilor pe un cerc trigonometric.

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

El este aproape ca în lecția anterioară. Există axe, cerc, unghi, tot rang chinar. Adăugate (în colțurile unui pătrat mare) - de la primul la al patrulea. Și atunci dacă cineva nu știe? După cum puteți vedea, un sfert (ele sunt, de asemenea, numite numere frumoase de cuvânt "cadrans"), împotriva cursului în sensul acelor de ceasornic. Au adăugat valori unghiulare pe axe. Totul este clar, fără probleme.

Și săgeata verde a fost adăugată. Cu un plus. Ce înseamnă? Permiteți-mi să vă reamintesc că partea staționară a colțului mereu Este acoperit cu semi-axa pozitivă Oh. Deci, dacă vom transforma partea în mișcare a unghiului pe săgeată cu un plus. Numerele de curatare ascendentă, unghiul va fi considerat pozitiv. De exemplu, imaginea prezintă un unghi pozitiv + 60 °.

Dacă ținem colțurile în direcția opusă, de-a lungul arrow-ului în sensul acelor de ceasornic, unghiul va fi considerat negativ. Mouse-ul peste imagine (sau atingeți imagini de pe tabletă), consultați săgeata albastră cu un minus. Aceasta este direcția referinței negative a colțurilor. De exemplu, este arătat un unghi negativ (60 °). Și veți vedea cum au schimbat fișierele pe axe ... le-am transferat și la unghiuri negative. Quadrantele de numerotare nu se schimbă.

Aici, de obicei, începu primele neînțelegeri. Cum așa!? Și dacă unghiul negativ pe cerc coincide cu pozitiv!? Și, în general, se pare că aceeași poziție a părții mobile (sau punct pe cercul numeric) poate fi numită ca un unghi negativ și pozitiv!?

Da. Exact. Să presupunem un unghi pozitiv de 90 de grade, ocupă un cerc exact la fel Situația este ca un unghi negativ în minus 270 de grade. Unghiul pozitiv, de exemplu, + 110 ° grade ocupă exact la fel poziție ca unghi negativ -250 °.

Nici o problemă. Deasupra corectă.) Alegerea unui calcul pozitiv sau negativ al unghiului depinde de starea sarcinii. Dacă nu se spune nimic în condiție deschideți textul despre semnul colțului, (tip "pentru a determina cel mai mic pozitiv Colțul ", etc.), lucrăm cu valori confortabile.

Cu excepția (și cum fără ei?!) Sunt inegalități trigonometrice, dar acolo vom stăpâni acest cip.

Și acum vă întrebați. Cum am recunoscut că poziția unghiului de 110 ° coincide cu poziția unghiului -250 °?
Pseudonimul că acest lucru se datorează turnului complet. La 360 ° ... nu este clar? Apoi trageți un cerc. Desening, pe hârtie. Marchează colțul despre 110 °. ȘI consideraCât de mult rămâne la cifra de afaceri completă. Va rămâne doar 250 ° ...

Prins? Și acum - Atenție! Dacă unghiurile sunt ocupate de 110 ° și -250 ° într-un cerc la fel Poziție, ce? Da că unghiurile sunt de 110 ° și -250 ° complet identice Sinus, kosinus, tangent și cotangent!
Acestea. SIN110 ° \u003d SIN (-250 °), CTG110 ° \u003d CTG (-250 °) și așa mai departe. Acest lucru este deja foarte important! Și în sine - există o mulțime de sarcini, în care este necesar să se simplifice expresii și ca o bază pentru dezvoltarea ulterioară a formulelor de aducere și alte înțelepciune a trigonometriei.

Casurarea clară, 110 ° și -250 ° Am luat Namaumul, pur și simplu. Toate aceste egalități lucrează pentru orice colț care ocupă o poziție în cerc. 60 ° și -300 °, -75 ° și 285 ° și așa mai departe. Observ imediat că unghiurile din aceste cupluri - diferit. Și aici sunt funcții trigonometrice ale acestora - aceeași.

Cred că astfel de unghiuri negative pe care le înțelegeți. Este destul de simplu. Împotriva progresului în sensul acelor de ceasornic - o numărătoare pozitivă. În curs - negativ. Citiți unghiul pozitiv sau negativ depinde de noi. Din dorința noastră. Ei bine, și din sarcină, bineînțeles ... Sper că înțelegeți și cum să vă deplasați în funcții trigonometrice de la unghiuri negative la pozitiv și înapoi. Desenați un cerc, un unghi aproximativ, dar vedeți cât de mult nu are până la cifra de afaceri completă, adică. până la 360 °.

Colțurile sunt mai mari de 360 \u200b\u200b°.

Colțuri care sunt mai mari de 360 \u200b\u200b°. Există astfel de așa? Există, desigur. Cum să le desenezi într-un cerc? Da, nu o problemă! Să presupunem că trebuie să înțelegem care cartier va avea un unghi de 1000 °? Uşor! Facem o întoarcere completă împotriva timpului în sensul acelor de ceasornic (unghiul a fost dat pozitiv!). Mutat 360 °. Ei bine, și vânt! Un alt rând - deja sa dovedit 720 °. Cât de mult este lăsat? 280 °. Nu este suficient pentru o întoarcere completă ... dar unghiul este mai mare de 270 ° - și aceasta este granița dintre al treilea și al patrulea trimestru. A fost unghiul nostru în 1000 ° intră în al patrulea trimestru. Tot.

După cum puteți vedea, este destul de simplu. Încă o dată îți amintesc că unghiul este 1000 ° și un unghi de 280 °, pe care l-am prins prin revoluțiile complete "inutile" - este, strict vorbind, diferit Colțuri. Dar funcțiile trigonometrice ale acestor colțuri complet identiceFotografiile! Acestea. SIN1000 ° \u003d SIN280 °, COS1000 ° \u003d COS280 ° etc. Dacă aș fi sinus, nu aș observa diferența dintre aceste două colțuri ...

De ce ai nevoie de toate astea? De ce trebuie să traducem colțurile de la unul la altul? Da, totul este același.) Pentru a simplifica expresiile. Simplificarea expresiilor, de fapt, sarcina principală a matematicii școlare. Ei bine, în cale, capul este pregătire.)

Practicați?)

Răspundeți la întrebări. Primul simplu.

1. Ce trimestru face colțul -325 ° toamna?

2. Ce trimestru are unghiul de 3000 ° toamna?

3. Ce trimestru are unghiul -3000 ° toamna?

Există o problemă? Sau incertitudine? Mergem la secțiunea 555, lucrări practice cu un cerc trigonometric. Acolo, în prima lecție această "lucrare practică ..." totul este detaliat ... în astfel de Probleme de nesiguranță nu!

4. Ce semn are păcatul555 °?

5. Ce semn este TG555 °?

Definit? Excelent! Îndoială? Este necesar pentru secțiunea 555 ... Apropo, vor învăța cum să atragă tangentă și cotangentă pe un cerc trigonometric. Lucru foarte util.

Și acum întrebări în rădăcină.

6. Certificați expresia păca777 ° față de sinusul celui mai mic unghi pozitiv.

7. Creați o expresie cos777 ° la cosinul celui mai mare unghi negativ.

8. Furnizați expresia COS (-777 °) la Cacinul celui mai mic unghi pozitiv.

9. Certificați expresia păcatului777 ° față de sinusul celui mai mare unghi negativ.

Ce, întrebări 6-9 nedumerite? Obișnuiți cu, pe examen și nu o astfel de formulare întâlnire ... așa că, voi, voi traduce. Doar pentru tine!

Cuvintele "aduc o expresie la ..." înseamnă a transforma o expresie astfel încât valoarea sa neschimbat Și aspectul sa schimbat în funcție de sarcină. Deci, în sarcina 6 și 9 trebuie să primim sinusul, în care costă mute colț pozitiv. Totul - nu contează.

Răspunsurile vor fi emise în ordine (în încălcarea regulilor noastre). Și ce să facă, semnul este doar doi, iar trimestrul este doar patru ... nu veți rula în opțiuni.

6. SIN57 °.

7. COS (-57 °).

8. Cos57 °.

9. -SIN (-57 °)

Presupun că răspunsurile la întrebările 6 -9 cineva confuz. Special -SIN (-57 °)Este adevărat?) Într-adevăr, în regulile elementare de colțuri de referință, există un loc pentru erori ... de aceea a trebuit să fac o lecție: "Cum să identificăm semnele de funcții și să aducă colțurile pe un cerc trigonometric? " În secțiunea 555. Există 4 - 9 sarcini dezasamblate. Bine dezasamblat, cu toate pietrele subacvatice. Și sunt aici.)

În următoarea lecție, vom face față unor radiani misterioși și cu numărul "PI". Vom învăța cu ușurință și corect traducem grade în radiani și înapoi. Și cu surpriză veți găsi că aceste informații elementare de pe site deja luați. Pentru a rezolva unele sarcini trigonometrice non-standard!

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

În general, această întrebare merită o atenție deosebită, dar totul este simplu aici: unghiul de grade și sinusuri și cosinus sunt pozitive (vezi desenul), apoi ia un semn plus.

Încercați acum pe baza celor de mai sus pentru a găsi unghiuri sinusale și cosinine: și

Puteți smulge: în special pentru un unghi în grade. Deoarece, dacă un colț al triunghiului dreptunghiular este egal cu grade, apoi al doilea grade. Acum formulele familiare pentru tine intră în vigoare:

Apoi, atunci. De atunci. Cu grade sunt încă mai simple: deci dacă unul dintre colțurile triunghiului dreptunghiular este grade, atunci celălalt este egal cu grade, ceea ce înseamnă că un astfel de triunghi este liber.

Astfel încât pisicile sale sunt egale. Și, prin urmare, sinusul și cosinul său sunt egale.

Acum găsiți-vă pentru noua definiție (prin X și IX!) Sinusul și colțurile cosinoase în grade și grade. Nu există triunghiuri aici. De asemenea, ei vor fi plat!

A trebuit să obțineți:

Tangente și kotangenes vă puteți găsi conform formulelor:

Vă rugăm să rețineți că este imposibil să o împărtășiți!

Acum, toate numerele obținute pot fi reduse la masă:

Iată valorile colțurilor sinusului, cosiniei, tangentelor și catangenelor I trimestru. Pentru comoditate, unghiurile sunt date atât în \u200b\u200bgrade, cât și în radiani (dar acum știți legătura dintre ele!). Acordați atenție la 2 andocare în tabel: și anume de la Kotangens zgâriet și grade tangente. Acest lucru nu este bun!

În special:

Acum, să rezumăm conceptul de sinus și cosinus pe un unghi complet arbitrar. Voi lua în considerare aici două cazuri:

  1. Colțul se află de la până la grade
  2. Colț mai multe grade

În general, am răsucit un mic suflet, vorbind despre unghiurile "complet toate". Ele sunt, de asemenea, negative! Dar acest caz, vom lua în considerare într-un alt articol. În primul rând, să ne oprim în primul caz.

Dacă unghiul se află la 1 trimestru - atunci totul este clar, am considerat deja acest caz și chiar tabelele au atras.

Acum lăsați colțul nostru mai multe grade și nu mai mult decât. Aceasta înseamnă că este localizată fie în 2, fie în 3 sau 4 trimestre.

Cum facem? Da, în același mod!

Sa luam in considerare În loc de acest caz ...

... Aceasta este:

Asta este, luați în considerare unghiul situat în al doilea trimestru. Ce putem spune despre el?

La punctul, care este punctul de intersecție a fasciculului, iar circumferința are încă 2 coordonate (nimic supranatural, nu?). Acestea sunt coordonate și.

Iar primul coordonate este negativ, iar al doilea este pozitiv! Înseamnă că unghiurile celui de-al doilea trimestru este negativ, iar sinusul este pozitiv!

În mod surprinzător, nu? Înainte de aceasta, nu am întâlnit niciodată un cosinus negativ.

Și, în principiu, acest lucru nu a putut fi atunci când am considerat funcții trigonometrice ca relația părților triunghiului. Apropo, gândiți-vă la care colțurile Kosinus sunt egale? Și ce este egal cu sinusul?

În mod similar, puteți lua în considerare unghiurile din toate celelalte trimestre. Doar îți amintesc că unghiul este numărat împotriva unei săgeții în sensul acelor de ceasornic! (Deci, după cum se arată în ultima figură!).

Desigur, puteți conta pe cealaltă parte, dar abordarea acestor colțuri va fi deja oarecum diferită.

Pe baza raționamentului de mai sus, este posibil să se plaseze semne de sinus, cosin, tangentă (ca sinusul împărțit la cosinus) și kotangens (ca un cosinus împărțit în sinus) pentru toate cele patru sferturi.

Dar repet încă o dată, nu are sens să memoreze acest desen. Tot ce trebuie să știți:

Lasă-mă să practic cu tine puțin. Sarcini complet simple:

Aflați ce semn sunt următoarele valori:

Verifica?

  1. gradul este un unghi, mai mare și mai mic și, prin urmare, se află la 3 sferturi. Desenați orice unghi la 3 sferturi și vedeți ce este auzit. El va fi negativ. Atunci.
    Gradul de 2 trimestre. Sinusul este pozitiv acolo, iar cosinul este negativ. Plus pentru a împărtăși minus - va fi minus. Asa de.
    Gradul - unghi, mai mare și mai mic. Deci, el se află la 4 sferturi. Orice unghi al celui de-al patrulea trimestru "X" va fi pozitiv, înseamnă
  2. Cu radiani, lucrăm în același mod: este unghiul celui de-al doilea trimestru (de atunci. Al doilea trimestru este un sinus pozitiv.
    .
    Acesta este colțul celui de-al patrulea trimestru. Există o cosinină pozitivă.
    - Unghi din nou al patrulea trimestru. Există o cosinină pozitivă, iar sinusul este negativ. Apoi tangentul va fi mai mic de zero:

Poate că este dificil să determinați cartierele radianilor. În acest caz, puteți merge întotdeauna la grade. Răspunsul, desigur, va fi exact același.

Acum aș vrea să mă opresc foarte scurt în ce moment. Să reamintim din nou identitatea principală trigonometrică.

După cum am spus, de la ea putem exprima sinusul prin cosinus sau opusul:

Numai trimestrul, care este unghiul nostru alfa va afecta alegerea semnului. Pentru ultimele două formule există o mulțime de sarcini în examen, de exemplu, astfel:

O sarcină

Găsiți dacă.

De fapt, acesta este o sarcină sfert! Vedeți cum este rezolvată:

Decizie

De când vom înlocui o valoare aici. Acum este mic: Dealați semnul. De ce avem nevoie de asta? Știți ce trimestru este unghiul nostru. Sub condiția sarcinii :. Ce trimestru? Al patrulea. Care este semnul cosiniei în al patrulea trimestru? Cosine în al patrulea trimestru este pozitiv. Apoi, mai trebuie să alegem un semn "plus" înainte. , atunci.

Nu mă voi opri în detaliu cu privire la aceste sarcini, puteți găsi analiza detaliată în articolul "". Voiam doar să vă spun că importanța semnului acceptă una sau altă funcție trigonometrică în funcție de trimestru.

Colțuri mai multe grade

Ultimul lucru pe care aș dori să-l menționez în acest articol este cum să fim cu colțurile mai mari decât gradele?

Ce este și ce poate fi cu a nu suprima? O voi lua, voi spune unghiul în grade (radiani) și voi merge de la ea în sens invers acelor de ceasornic ...

În figură, am tras o spirală, dar înțelegi că, de fapt, nu avem spirală: avem doar un cerc.

Deci, unde vom ajunge dacă începeți de la un anumit unghi și treceți întregul cerc (grade sau radiani)?

Unde suntem? Și vom veni în același colț!

Acest lucru, desigur, este adevărat pentru orice alt unghi:

Luând un unghi arbitrar și trecerea complet a circumferinței, vom reveni la același colț.

Ce ne va da acest lucru? Dar ce: Dacă, atunci

Unde primesti in cele din urma:

Pentru orice întreg. Înseamnă că sine și cosinoara sunt funcții periodice cu o perioadă.

Astfel, nu există nici o problemă în găsirea unui semn acum un unghi arbitrar: este suficient să renunțați la toate "cercurile întregi" care se potrivesc în colțul nostru și să afle care un cartier rămas.

De exemplu, găsiți un semn:

Verifica:

  1. În grade în formă de timp în grade (grade):
    grade la stânga. Acesta este un unghi de 4 sferturi. Acolo sinus este negativ, înseamnă
  2. . Diplomă. Acesta este un unghi de 3 sferturi. Există o cosinină negativă. Atunci
  3. . . De atunci - unghiul primului trimestru. Există cosinus pozitiv. Atunci cos.
  4. . . De atunci, atunci unghiul nostru se află în al doilea trimestru, unde sinele este pozitiv.

În mod similar, putem face pentru tangentă și kotangent. Cu toate acestea, de fapt, este chiar mai ușor cu ei: sunt și funcții periodice, doar astăzi sunt de 2 ori mai puțin:

Deci, ați realizat că un astfel de cerc trigonometric și de ce este necesar.

Dar avem încă o mulțime de întrebări:

  1. Ce este unghiurile negative?
  2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste colțuri
  3. Ca și în conformitate cu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice, 1 sfert pentru a căuta valorile funcțiilor în alte trimestre (într-adevăr nevoie să ascuți masa?!)
  4. Cum să simplificați soluțiile ecuațiilor trigonometrice folosind un cerc?

NIVEL MEDIU

Ei bine, în acest articol, vom continua să studiem cercul trigonometric și să discutăm următoarele puncte:

  1. Care sunt unghiurile negative?
  2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste colțuri?
  3. Ca și în conformitate cu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice de 1 sfert pentru a căuta valori ale funcțiilor în alte sferturi?
  4. Care este axele tangente și axa Kotangens?

Fără cunoștințe suplimentare, cu excepția competențelor de bază de a lucra cu un singur cerc (articolul precedent) nu vom avea nevoie. Să ajungem la prima întrebare: Ce este unghiurile negative?

Unghiuri negative

Unghiuri negative în trigonometrie Pus pe un cerc trigonometric în jos de la început, în direcția mișcării în sensul acelor de ceasornic:

Să ne amintim cum am fost amânați colțurile din Cercul Trigonometric: am plecat de la direcția axei pozitive contract:

Apoi, în figura noastră, a construit un unghi egal. În mod similar, am construit toate unghiurile.

Cu toate acestea, nimic nu ne-a forțat să mergem din direcția pozitivă a axei în sensul acelor de ceasornic.

De asemenea, vom obține unghiuri diferite, dar vor fi deja negative:

În imaginea următoare, două unghiuri sunt descrise într-o valoare absolută, dar opusă semnului:

În general, regula poate fi formulată astfel:

  • Mergem în sens invers acelor de ceasornic - avem unghiuri pozitive
  • Mergem în sensul acelor de ceasornic - avem unghiuri negative

Schematic, regula este prezentată în această imagine:

Mi-ai putea întreba o întrebare complet rezonabilă: Ei bine, avem nevoie de unghiuri pentru a măsura valorile sinusurilor, cosiniei, tangentelor și cavandentului.

Deci există o diferență atunci când avem un colț pozitiv și când este negativul? Vă voi răspunde: de regulă.

Cu toate acestea, puteți reduce întotdeauna calculul funcției trigonometrice din unghiul negativ la calculul funcției din colțpozitiv.

Uită-te la următoarea imagine:

Am construit două unghiuri, sunt egale în valoare absolută, dar au semnul opus. Observăm pentru fiecare colț al sinusului și al cosiniei pe axe.

Ce vedem cu tine? Dar ce:

  • Sinusuri la colțuri și opuse de semn! Atunci dacă
  • Cosines la colțuri și coincid! Atunci dacă
  • De atunci:
  • De atunci:

Astfel, putem să scăpăm întotdeauna de un semn negativ în orice funcție trigonometrică: fie să o distrug, ca o cosinină, fie să o punem înainte de funcție, cum ar fi sinusul, tangentul și Kotangenes.

Apropo, amintiți-vă că este numele funcției care este permisă este efectuată :?

Această funcție este numită ciudată.

Și dacă este permisă este efectuată :? În acest caz, funcția este numită chiar.

Așa că tocmai am arătat că:

Sinus, tangent și kotangent - funcții ciudate și cosinus - chiar.

Astfel, după cum înțelegeți, nu există nici o diferență, indiferent dacă căutăm o sinusul dintr-un unghi pozitiv sau un negativ: este ușor să faceți față unui minus. Deci, nu avem nevoie de tabele separat pentru unghiuri negative.

Pe de altă parte, sunt de acord, ar fi foarte convenabil să știți doar funcțiile trigonometrice ale colțurilor primului trimestru, pentru a putea calcula funcții similare pentru restul trimestrelor. Este posibil să faceți acest lucru? Sigur că poți! Aveți cel puțin 2 moduri: Primul este de a construi un triunghi și să aplicați teorema lui Pythagore (așa că suntem cu dvs. și am găsit valorile funcțiilor trigonometrice pentru principalele colțuri ale primului trimestru); al doilea este de a-și aminti valorile funcțiilor pentru colțuri în primul trimestru și o regulă simplă, pot calcula funcțiile trigonometrice pentru toate celelalte trimestre. Al doilea mod vă va salva de la un capăt lung cu triunghiuri și cu Pythagoras, așa că mi se pare mai promițătoare:

Deci, această metodă (sau regula) se numește - formule ale plumbului.

Formulele de distribuție

Aproximativ, aceste formule vă vor ajuta să nu memorați această masă (este prin modul în care conține 98 de numere!):

dacă vă amintiți acest lucru (doar 20 de numere):

Adică, nu vă puteți înscrie capul complet inutil 78 de numere! De exemplu, trebuie să calculăm. Este clar că nu există un astfel de lucru într-o masă mică. Ce facem? Dar ce:

În primul rând, vom avea nevoie de următoarele cunoștințe:

  1. Sinusul și cosinul au o perioadă (grade), adică

    Tangentă (Kotangenes) au o perioadă (grade)

    Orice număr întreg

  2. Sinus și tangent - funcții ciudate și cosino - chiar:

Prima declarație pe care am dovedit-o deja cu dvs. și justiția celui de-al doilea instalat destul de recent.

Direct regula de a aduce astfel:

  1. Dacă calculăm valoarea funcției trigonometrice din unghiul negativ - o facem pozitiv cu grupul de formula (2). De exemplu:
  2. Îndepărtăm perioadele pentru sinusuri și cosinie: (în grade) și pentru tangentă - (grade). De exemplu:
  3. Dacă "colțul" rămas este mai mic decât gradele, atunci sarcina este rezolvată: îl căutăm în "masa mică".
  4. În caz contrar, căutăm ce trimestru este unghiul nostru: va fi de 2, 3 sau 4 sferturi. Ne uităm la ce semn este funcția dorită a unui sfert. Îmi amintesc acest semn!
  5. Prezentăm un unghi într-unul din următoarele forme:

    (dacă în al doilea trimestru)
    (dacă în al doilea trimestru)
    (dacă în trimestrul al treilea)
    (dacă în trimestrul al treilea)

    (dacă în al patrulea trimestru)

    astfel încât unghiul rămas este mai zero și mai puțin grade. De exemplu:

    În principiu, aceasta nu contează care dintre cele două formulare alternative pentru fiecare trimestru veți prezenta un unghi. În cele din urmă, acest lucru nu va afecta.

  6. Acum ne uităm la ceea ce am făcut: Dacă ați ales o înregistrare prin sau de grade plus un minus ceva, atunci semnul funcției nu se va schimba: Doar scoateți sau scrieți un unghi sinanic, cosiniu sau tangent rămas. Dacă alegeți o înregistrare prin sau de grade, atunci se schimbă sinusul la cosinie, cosinus pe sinus, tangent pentru kotangență, cotangent - pe tangentă.
  7. Am pus semnul de la punctul 4 înainte de expresia rezultată.

Să demonstrăm toate cele de mai sus pe exemple:

  1. calculati
  2. calculati
  3. Nai DI-Cei de raze You:

Să începem în ordine:

  1. Acționăm conform algoritmului nostru. Evidențiam numărul de cercuri pentru:

    În general, concluzionăm că colțul este plasat în întregime de 5 ori și cât de mult rămâne? Stânga. Atunci

    Ei bine, am scăpat prea mult. Acum avem de-a face cu semnul. Se află la 4 sferturi. Sinusul al patrulea trimestru are un semn "minus", nu ar trebui să uit să fac răspuns. Apoi, prezentăm conform uneia dintre cele două formule ale paragrafului 5 din Regulile de conducere. Voi alege:

    Acum ne uităm la ceea ce sa întâmplat: avem un caz cu grade, apoi aruncând sinusul prin schimbarea cosiniei. Și a pus semnul "minus" înaintea lui!

    gradul - unghiul în primul trimestru. Știm (ați promis că ați învățat o masă mică!) Înțelesul său:

    Apoi primim răspunsul final:

    Răspuns:

  2. toate aceleași, dar în loc de grade - radiani. Nimic în neregulă. Principalul lucru de reținut asta

    Dar nu puteți înlocui radiații pentru grade. Aceasta este o întrebare a gustului tău. Nu voi schimba nimic. Voi începe din nou cu aruncarea întregului cercuri:

    Noi aruncăm aceste două cercuri întregi. Rămâne de calculat. Acest unghi este în al treilea trimestru. Cosina din al treilea trimestru este negativă. Nu uitați să puneți un semn "minus" ca răspuns. pot fi reprezentate ca. Amintiți-vă regula: avem un caz "întreg" (sau), atunci funcția nu se schimbă:

    Atunci.
    Răspuns:.

  3. . Trebuie să faceți totul la fel, dar deja cu două funcții. Voi fi oarecum mai scurt: și grade - unghiurile celui de-al doilea trimestru. Cosina din al doilea trimestru are un semn "minus", iar sinusul este "plus". pot fi reprezentate ca: și cum, atunci

    Ambele evenimente sunt "jumătăți din ansamblu". Apoi sinusul se schimbă la cosinie, iar cosinul este pe sinus. Și înainte ca cosinia să fie un semn "minus":

Răspuns:.

Acum scoateți-vă în următoarele exemple:

Și iată soluțiile:


  1. La început, voi scăpa de minus, l-am lăsat în fața sinusului (ca sinusul este o funcție ciudată !!!). Apoi luați în considerare unghiurile:

    Întoarceți un număr întreg de cercuri - adică trei cercuri ().
    Rămâne să se calculeze :.
    De asemenea, acționați cu al doilea unghi:

    Eliminăm numărul întreg de cercuri - 3 cercuri () apoi:

    Acum credem: Ce trimestru este colțul rămas? El "nu ajunge la tot. Atunci ce trimestru? Al patrulea. Care este semnul trimestrului al patrulea cosinus? Pozitiv. Acum imaginați-vă. Deoarece vom deduce din întregul număr, atunci semnul cosiniei nu se schimbă:

    Înlocuim toate datele obținute în formula:

    Răspuns:.


  2. În mod standard: eliminăm minusul din cosinus, folosind faptul că.
    Rămâne să numărați gradele cosinoase. Eliminați cercurile întregi :. Atunci

    Atunci.
    Răspuns:.

  3. Acționăm ca în exemplul anterior.

    Pe măsură ce vă amintiți că perioada de la tangeni - (sau), spre deosebire de cosinus sau sinusoida, de la care este de 2 ori mai mult, apoi îndepărtați întreaga sumă.

    gradul - unghiul în al doilea trimestru. Tangentul celui de-al doilea trimestru este negativ, atunci nu uitați la sfârșitul "minus"! Puteți scrie ca. Schimbări tangente la Kotence. În cele din urmă obțineți:

    Atunci.
    Răspuns:.

Ei bine, rămâne foarte puțin!

Axa tangentă și axa kotangenilor

Ultimul lucru pe care aș vrea să-l opresc aici este pe două axe suplimentare. După cum am discutat deja, avem două axe:

  1. Axa axei cosiniei
  2. Axa axei sinusurilor

De fapt, axele de coordonate s-au încheiat, nu? Dar cum să fii cu tangenți și catangle?

Nu există o interpretare grafică pentru ei?

De fapt, ea este, o puteți vedea la această imagine:

În special, pe aceste imagini puteți spune acest lucru:

  1. Tangentul și Kotangenes au aceleași semne al patrulea
  2. Ele sunt pozitive în 1 și 3 trimestre
  3. Ele sunt negative în 2 și 4 trimestre
  4. Tangentul nu este definit în colțuri
  5. Kotangent nu este definit în colțuri

De ce mai aveți nevoie de aceste imagini? Învățăm la un nivel avansat, unde voi spune, ca și cu ajutorul unui cerc trigonometric, puteți simplifica soluțiile ecuațiilor trigonometrice!

NIVEL AVANSAT

În acest articol voi descrie cum cerc unic (cerc trigonometric) Poate fi utilă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pot evidenția două cazuri atunci când poate fi utilă:

  1. Ca răspuns, nu lucrăm un unghi "frumos", dar totuși trebuie să faceți selecția de rădăcini
  2. Ca răspuns, există o serie de rădăcini prea mare

Nu există cunoștințe specifice de care aveți nevoie, cu excepția cunoștințelor despre subiect:

Tema "ecuații trigonometrice" Am încercat să scriu, fără a recurge la circumferință. Mulți nu mă vor lăuda pentru o astfel de abordare.

Dar eu sunt o formulă frumoasă, doar aici să fac. Cu toate acestea, în unele cazuri, formulele se dovedesc a fi mici. Scrieți acest articol mi-a motivat următorul exemplu:

Rezolva ecuația:

Bine. Rezolvarea ecuației în sine este ușoară.

Înlocuirea inversă:

De aici, ecuația noastră inițială este echivalentă cu patru ecuații simple! Trebuie să scriem 4 serii de rădăcini:

În principiu, acest lucru ar putea fi oprit. Dar numai cititorii acestui articol care aplică pentru o anumită "complicație"!

În primul rând, luați în considerare prima serie de rădăcini. Deci, cercul unității este luat, acum să aducem aceste rădăcini în cerc (separat și pentru):

Acordați atenție: ce angle sa dovedit între colțuri și? Acesta este unghiul. Acum voi face același lucru pentru seria :.

Între rădăcinile ecuației s-au dovedit din nou unghiul. Și acum aceste două imagini sunt compatibile:

Ce vedem? Apoi, toate colțurile dintre rădăcinile noastre sunt egale. Ce înseamnă?

Dacă începem de la colț și luăm colțurile egale cu (pentru orice întreg), atunci vom intra întotdeauna într-unul din cele patru puncte de pe cercul superior! Astfel, 2 serii de rădăcini:

Puteți combina într-una:

Din păcate, pentru seria de rădăcini:

Argumentele nu vor fi corecte. Faceți un desen și înțelegeți de ce este așa. Cu toate acestea, ele pot fi combinate după cum urmează:

Apoi, ecuația inițială are o rădăcină:

Ce este un răspuns destul de scurt și concis. Ce înseamnă Brevitatea și Concise? La nivelul diplomei dvs. matematice.

Acesta a fost primul exemplu în care utilizarea unui cerc trigonometric a dat fructe benefice.

Al doilea exemplu este ecuațiile care au "rădăcini urâte".

De exemplu:

  1. Decideți ecuația.
  2. Găsiți-i rădăcinile aparținând decalajului.

Prima parte nu este nimic complicat.

Din moment ce sunteți deja familiarizați cu subiectul, atunci îmi voi permite o scurtă în calculele mele.

atunci

Așa că am găsit rădăcinile ecuației noastre. Nimic dificil.

Este mai dificil să rezolvăm a doua parte a sarcinii, fără a ști ce este exact egal cu arquosina de la minus un sfert (aceasta nu este o valoare de masă).

Cu toate acestea, putem descrie seria de rădăcini găsite pe un singur cerc:

Ce vedem? În primul rând, desenul ne-a dat să înțelegem, în ce limite este arkkosinus:

Această interpretare vizuală ne va ajuta să găsim rădăcinile aparținând segmentului :.

În primul rând, numărul este în ea, apoi (vezi FIG).

aparține și segmentului.

Astfel, un singur cerc ajută la determinarea care limitează unghiurile "urâte".

A trebuit să rămâi cel puțin o întrebare: Și cum ar trebui să fim cu tangenți și catangents?

De fapt, pentru ei există și axele lor, totuși, au un aspect ușor specific:

În caz contrar, modul de manipulare a acestora va fi același ca și cu sine și cosinus.

Exemplu

Ecuația este dată.

  • Decideți această ecuație.
  • Specificați rădăcinile acestei ecuații aparținând decalajului.

Decizie:

Desăvârșiți un singur cerc și sărbătorim soluțiile noastre:

Din figura pe care o puteți înțelege că:

Sau chiar mai mult: de atunci

Apoi găsim rădăcinile aparținând segmentului.

, (la fel de)

Vă dau singur pentru a vă asigura că alte rădăcini aparținând decalajului, ecuația noastră nu are.

Rezumatul și formulele de bază

Principalul trigonometrie a instrumentului este cercul trigonometric,vă permite să măsurați unghiurile, să găsiți sinele, cosinul și așa mai departe.

Există două modalități de a măsura unghiurile.

  1. Prin grade
  2. Prin radiani

Dimpotrivă: de la radiani la grade:

Pentru a găsi unghiul de sine și cosinus aveți nevoie de:

  1. Conduceți un singur cerc cu un centru care coincide cu vârful unghiului.
  2. Găsiți punctul de intersecție din acest colț cu un cerc.
  3. Coordonatele ei "Iksova" este o cosinie a unghiului artificial.
  4. Coordonatele ei "reciclare" este un sinus al unghiului artistic.

Formulele de distribuție

Acestea sunt formule care permit simplificarea expresiilor complexe ale funcției trigonometrice.

Aceste formule vă vor ajuta să nu memorați acest tabel:

Rezumând

    Ați învățat să faceți un spor universal în trigonometrie.

    Ați învățat să rezolvați sarcinile mult mai ușor și mai rapid și, cel mai important, fără erori.

    Ți-ai dat seama că nu trebuie să ascuți mesele și, în general, trebuie să ascuți!

Acum vreau să vă aud!

    Ați reușit să vă ocupați de acest subiect complex?

    Ce ți-a plăcut? Ce nu ți-a plăcut?

    Poate ai găsit o greșeală?

    Scrieți în comentarii!

    Și noroc la examen!

Coordonatele x. situată pe circumferința punctelor sunt CO (θ) și coordonatele y. corespund păcatului (θ), unde θ este magnitudinea unghiului.

  • Dacă vă place să vă amintiți această regulă, amintiți-vă că într-o pereche (cos, păcat) "Sinus este în ultimul loc".
  • Această regulă poate fi de ieșire dacă luați în considerare triunghiurile dreptunghiulare și determinarea acestor funcții trigonometrice (sinusul de colț este egal cu raportul dintre lungimea opusului, iar cosinul este categoria adiacentă pentru hipotenuse).

Notați coordonatele a patru puncte pe cerc. "Cercul unic" este un astfel de cerc, al cărui rază este egal cu unul. Utilizați-l pentru a determina coordonatele x. și y. La patru puncte de intersecție a axelor de coordonate cu un cerc. Mai sus, am marcat aceste puncte pentru claritate "East", "Nord", "West" și "Sud", deși nu au numit nume.

  • "Est" corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0) .
  • "Nord" corespunde punctului cu coordonatele (0; 1) .
  • "West" corespunde punctului cu coordonatele (-1; 0) .
  • "Sud" corespunde unui punct cu coordonatele (0; -1) .
  • Acest lucru este similar cu programul obișnuit, deci nu este nevoie să memorați aceste valori, este suficient să ne amintim principiul de bază.

  • Amintiți-vă coordonatele punctelor din primul cadran. Primul cvadrant este situat în partea dreaptă superioară a cercului, unde coordonatele x. și y. Ia valori pozitive. Acestea sunt singurele coordonate pe care trebuie să le amintiți:

    Petreceți linii drepte și determinați coordonatele punctelor de intersecție cu un cerc. Dacă cheltuiți linii orizontale și verticale directe din punctele unui cvadrant, al doilea punctaj de intersecție a acestor linii cu un cerc va avea coordonate x. și y. Cu aceleași valori absolute, dar alte semne. Cu alte cuvinte, puteți petrece linii orizontale și verticale din punctele de cvadrant și puteți semna punctele de intersecție cu cercul aceleași coordonate, dar în același timp părăsiți locul spre stânga pentru semnul corect ("+" sau "-").

  • Pentru a determina semnul de coordonate, utilizați regulile de simetrie. Există mai multe modalități de a determina unde ar trebui să fie pusă semnul "-":

    • amintiți regulile de bază pentru grafice obișnuite. Axă x. Negativ la stânga și pozitiv spre dreapta. Axă y. negativ de jos și pozitiv pe partea de sus;
    • Începeți de la primul cadran și petreceți liniile în alte puncte. Dacă linia traversează axa y.Coordona x. Schimbă semnul. Dacă linia traversează axa x.va schimba semnul de la coordonate y.;
    • amintiți-vă că toate funcțiile sunt pozitive în primul cadran, numai sinusul este pozitiv în cel de-al doilea cadran, doar tangentul este pozitiv în al treilea cvadrant, și numai cosinul este pozitiv în cel de-al patrulea cvadrant;
    • orice metodă pe care o utilizați, în primul cadran trebuie să fie (+, +), în al doilea (-, +), în a treia (-, -) și în al patrulea (+, -).

  • Verificați dacă nu vă înșelați. Mai jos este o listă completă a coordonatelor "speciale" (cu excepția a patru puncte de pe axele de coordonate), dacă vă deplasați de-a lungul unui singur cerc în sens invers acelor de ceasornic. Amintiți-vă că pentru a determina toate aceste valori, este suficient să vă amintiți coordonatele punctelor numai în primul cvadrant:

    • primul cvadrant: ( 3 2, 1 2 (\\ displaystyle (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)), (\\ frac (1) (2)))); ( 2 2, 2 2 (\\ displaystyle (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2)), (\\ sqrt (2)) (2)))); ( 1 2, 3 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (2)), (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)));
    • al doilea cvadrant: ( - 1 2, 3 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (1) (2)), (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)))); ( - 2 2, 2 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2)), (\\ sqrt (2)) (2)))); ( - 3 2, 1 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)), (\\ frac (1) (2))));
    • al treilea cvadrant: ( - 3 2, - 1 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)), - (\\ frac (1) (2)))); ( - 2 2, - 2 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2)), - (\\ sqrt (2)) (2)))); ( - 1 2, - 3 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (1) (2)), - (\\ sqrt (3)) (2)));
    • al patrulea cvadrant: ( 1 2, - 3 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (2)), - (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2))); ( 2 2, - 2 2 (\\ DISPLICASTYLE (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2)), - (\\ sqrt (2)) (2)))); ( 3 2, - 1 2 (\\ displaystyle (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2)), - (\\ frac (1) (2)))).