Těžiště T-profilu. Výpočet železobetonových T-nosníků

Zvláštností těžiště je to, že tato síla nepůsobí na tělo v žádném jednom bodě, ale je rozložena po celém objemu těla. Gravitační síly, které působí na jednotlivé prvky těla (které lze považovat za hmotné body), směřují do středu Země a nejsou striktně paralelní. Ale protože rozměry většiny těles na Zemi jsou mnohem menší než její poloměr, jsou tyto síly považovány za rovnoběžné.

Stanovení těžiště

Definice

Bod, kterým prochází výslednice všech paralelních gravitačních sil, které ovlivňují prvky těla pro jakékoli umístění těla v prostoru, se nazývá centrum gravitace.

Jinými slovy: těžiště je bod, na který působí gravitace pro jakoukoli polohu těla v prostoru. Pokud je známa poloha těžiště, pak můžeme předpokládat, že síla gravitace je jedna síla a je aplikována v těžišti.

Úkol najít těžiště je významným technologickým úkolem, protože stabilita všech struktur závisí na poloze těžiště.

Metoda zjištění těžiště těla

Při určování polohy těžiště komplexně tvarovaného těla můžete nejprve mentálně rozbít tělo na části jednoduchého tvaru a najít pro ně těžiště. U těles jednoduchého tvaru můžete z důvodů symetrie okamžitě určit těžiště. Tíhová síla homogenního disku a koule je v jejich středu, homogenní válec v bodě uprostřed jeho osy; homogenní rovnoběžnostěn v průsečíku jeho úhlopříček atd. U všech homogenních těles se těžiště shoduje se středem symetrie. Těžiště může být mimo tělo, například prsten.

Pojďme zjistit polohu těžišť částí těla, najděte polohu těžiště těla jako celku. Za tímto účelem je tělo reprezentováno jako sada hmotných bodů. Každý takový bod se nachází v těžišti své části těla a má hmotnost této části.

Souřadnice těžiště

V trojrozměrném prostoru se souřadnice bodu aplikace výslednice všech paralelních gravitačních sil (souřadnice těžiště) pro tuhé těleso počítají jako:

\\ [\\ left \\ (\\ begin (array) (c) x_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limits_i (\\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\\\ y_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limits_i (\\ Delta m_iy_i) ) (m) ;; \\\\ z_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limits_i (\\ Delta m_iz_i)) (m) \\ end (pole) \\ vpravo. \\ vlevo (1 \\ vpravo), \\]

kde $ m $ - tělesná hmotnost $ ;; x_i $ - souřadnice na ose X základní hmoty $ \\ Delta m_i $; $ y_i $ - souřadnice Y základní hmoty $ \\ Delta m_i $; ; $ z_i $ - souřadnice na ose Z elementární hmoty $ \\ Delta m_i $.

Ve vektorovém zápisu je systém tří rovnic (1) zapsán jako:

\\ [(\\ overline (r)) _ c \u003d \\ frac (1) (m) \\ sum \\ limits_i (m_i (\\ overline (r)) _ i \\ left (2 \\ right),) \\]

$ (\\ overline (r)) _ c $ - radius - vektor definující polohu těžiště; $ (\\ overline (r)) _ i $ - vektory poloměru, které definují polohy elementárních hmot.

Těžiště, těžiště a těžiště těla

Vzorec (2) se shoduje s výrazy, které určují těžiště těla. V případě, že rozměry tělesa jsou malé ve srovnání se vzdáleností od středu Země, považuje se těžiště za shodné s těžištěm tělesa. Ve většině úkolů se těžiště shoduje s těžištěm těla.

Síla setrvačnosti v neinerciálních referenčních rámcích, pohybující se translačně, je aplikována na těžiště těla.

Je však třeba mít na paměti, že odstředivá síla setrvačnosti (obecně) není aplikována na těžiště, protože v neinerciálním referenčním rámci působí různé odstředivé síly setrvačnosti na prvky tělesa (i když jsou jejich hmotnosti stejné), protože vzdálenosti k ose otáčení jsou různé.

Příklady úkolů s řešením

Příklad 1

Úkol. Systém je tvořen čtyřmi malými kuličkami (obr. 1). Jaké jsou souřadnice jeho těžiště?

Rozhodnutí. Zvažte obr. V tomto případě bude mít těžiště jednu souřadnici $ x_c $, kterou definujeme jako:

Tělesná hmotnost se v našem případě rovná:

Čitatel zlomku na pravé straně výrazu (1.1) v případě (1 (a)) má podobu:

\\ [\\ sum \\ limits_ (i \u003d 4) (\\ Delta m_ix_i \u003d m \\ cdot 0 + 2m \\ cdot a + 3m \\ cdot 2a + 4m \\ cdot 3a \u003d 20m \\ cdot a). \\]

Dostaneme:

Odpovědět. $ x_c \u003d 2a; $

Příklad 2

Úkol. Systém je tvořen čtyřmi malými kuličkami (obr. 2). Jaké jsou souřadnice jeho těžiště?

Rozhodnutí. Zvažte obr. Těžiště systému je v rovině, proto má dvě souřadnice ($ x_c, y_c $). Najdeme je podle vzorců:

\\ [\\ left \\ (\\ begin (array) (c) x_c \u003d \\ frac (\\ sum \\ limits_i (\\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\\\ y_с \u003d \\ frac (\\ sum \\ limits_i (\\ Delta m_iy_i) ) (m). \\ end (pole) \\ vpravo. \\]

Hmotnost systému:

Najděte souřadnici $ x_c $:

$ Y_с $ souřadnice:

Odpovědět. $ x_c \u003d 0,5 \\ a $; $ y_с \u003d 0,3 \\ a $

Výpočty jsou stejné jako u obdélníkového nosníku. Pokrývají definici síly v nosníku a v rozích desky. Úsilí pak přináší těžiště nového T-profilu.

Osa prochází těžištěm desky.

Zjednodušený přístup k zohlednění sil z desky spočívá v vynásobení sil v uzlech desky (společné uzly desky a nosníku) vypočítanou šířkou desky. Při umístění paprsku vzhledem k desce se zohlední posunutí (také relativní posunutí). Výsledné zkrácené výsledky jsou stejné, jako kdyby byl T-profil zvýšen z roviny desky posunem rovným vzdálenosti od těžiště desky k těžišti T-profilu (viz obrázek níže).

Přivedení sil do těžiště T-profilu je následující:

M \u003d Mb + Mp * B + Np * B * e1 + Nb * e2

B \u003d beff1 + b + beff2

Stanovení těžiště T-profilu

Statický moment vypočítaný v těžišti desky

S \u003d b * h * (offset)

A \u003d (beff1 + b + beff2) * hpl + b * h

Těžiště zvednuté vzhledem k těžišti desky:

b - šířka paprsku;

h je výška paprsku;

beff1, beff2 - vypočtené šířky desky;

hpl - výška desky (tloušťka desky);

offset je offset paprsku vzhledem k desce.

POZNÁMKA.

Vezměte prosím na vědomí, že mohou existovat společné oblasti desky a nosníku, které se bohužel vypočítají dvakrát, což zvýší tuhost T-nosníku. Ve výsledku jsou síly a průhyby menší.
Výsledky desek jsou čteny z uzlů konečných prvků; zahuštění sítě ovlivňuje výsledky.
V modelu bude osa T řezu procházet těžištěm desky.
Násobení příslušných sil předpokládanou návrhovou šířkou desky je zjednodušení, které vede k přibližným výsledkům.

Ohebné železobetonové konstrukce obdélníkového průřezu nejsou z ekonomického hlediska efektivní. To je způsobeno skutečností, že normální napětí podél výšky průřezu během ohýbání prvku jsou nerovnoměrně rozložena. Ve srovnání s obdélníkovými profily jsou T-profily mnohem výnosnější, protože při stejné únosnosti je spotřeba betonu v prvcích profilu T menší.

T-profil má zpravidla jedinou výztuž.

Při pevnostních výpočtech normálních řezů ohybových prvků profilu T existují dva návrhové případy.

Algoritmus pro první návrhový případ je založen na předpokladu, že neutrální osa ohnutého prvku je umístěna uvnitř stlačené příruby.

Algoritmus pro druhý návrhový případ je založen na předpokladu, že neutrální osa ohnutého prvku je umístěna mimo stlačenou přírubu (prochází podél okraje T-průřezu prvku).

Výpočet pevnosti normálního průřezu ohýbaného železobetonového prvku s jedinou výztuží v případě, že je neutrální osa umístěna uvnitř stlačené příruby, je shodný s algoritmem pro výpočet obdélníkového průřezu s jedinou výztuží se šířkou průřezu rovnou šířce T-příruby.

Návrhové schéma pro tento případ je znázorněno na obrázku 3.3.

Postava: 3.3. K výpočtu pevnosti normálového průřezu ohýbaného železobetonového prvku v případě, kdy je neutrální osa umístěna uvnitř stlačené příruby.

Geometricky, případ, kdy je neutrální osa umístěna uvnitř stlačené příruby, znamená, že výška stlačené zóny úseku odpaliště () není větší než výška stlačené příruby a je vyjádřena podmínkou: .

Z hlediska působících sil z vnějšího zatížení a vnitřních sil tato podmínka znamená, že pevnost průřezu je zajištěna, pokud vypočítaná hodnota ohybového momentu z vnějšího zatížení (M ) nepřekročí vypočítanou hodnotu momentu vnitřních sil vzhledem k těžišti řezu napnuté výztuže při hodnotách .

M (3.25)

Pokud je splněna podmínka (3.25), pak je neutrální osa skutečně umístěna uvnitř stlačené příruby. V tomto případě je nutné ujasnit, jakou velikost šířky stlačené příruby je třeba při výpočtu zohlednit. Normy stanoví následující pravidla:

Hodnota b " f vstoupil do výpočtu; vezměte z podmínky, že šířka přesahu police na každé straně žebra by neměla být větší 1 / 6 rozpětí prvku a nic víc:

a) za přítomnosti příčných žeber nebo h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 světlá vzdálenost mezi podélnými žebry;

b) při absenci příčných žeber (nebo pokud jsou vzdálenosti mezi nimi větší než vzdálenost mezi podélnými žebry) a h " f < 0,1 h - 6 h " f

c) s konzolovými přesahy police:

v h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

v 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

v h " f < 0,05 h - převisy se nezohledňují.

Napišme si pevnostní podmínku vzhledem k těžišti natažené podélné výztuže

M (3.26)

Transformujeme rovnici (3.26) podobně jako transformace výrazů (3.3). (3.4) získáme výraz

M (3.27)

Odtud definujeme hodnotu

= (3.28)

Podle hodnoty z tabulky definujte hodnoty a 𝛈.

Pojďme porovnat hodnotu . část prvku. Pokud je splněna podmínka 𝛏, pak jde o podmínku pevnosti vzhledem k těžišti stlačené T-zóny.

M (3.29)

Provedení transformace výrazu (3.29) podobné transformaci výrazu (3.12) získáme:

= (3.30)

je nutné zvolit hodnoty plochy prodloužené podélné pracovní výztuže.

Výpočet pevnosti normálového průřezu ohýbaného železobetonového prvku s jedinou výztuží v případě, kdy je neutrální osa umístěna mimo stlačenou přírubu (probíhá podél okraje T-kusu), je poněkud odlišný od výše diskutovaného.

Návrhové schéma pro tento případ je znázorněno na obrázku 3.4.

Postava: 3.4. K výpočtu pevnosti normálového průřezu ohýbaného železobetonového prvku v případě, že je neutrální osa umístěna mimo stlačenou přírubu.

Uvažujme část stlačené zóny Tavr jako součet skládající se ze dvou obdélníků (přesahů police) a obdélníku patřícího ke stlačené části žebra.

Podmínka pevnosti vzhledem k těžišti tahové výztuže.

M + (3.31)

kde – úsilí v komprimovaných přesahech polic;

Rameno od těžiště napnuté výztuže k těžišti přesahů police;

- síla ve stlačené části žebra značky;

- rameno z těžiště natažené výztuže do těžiště stlačené části žebra.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Náhradní výrazy (3,32 - 3,35) do vzorce (3.31).

M + b (3.36)

Transformujme ve výrazu (3.36) druhý člen na pravé straně rovnice podobně jako výše provedené transformace (vzorce 3.3; 3.4; 3.5)

Dostaneme následující výraz:

M + (3.37)

Odtud určíme číselnou hodnotu .

= (3.38)

Podle hodnoty z tabulky definujte hodnoty a 𝛈.

Porovnejme hodnotu s hraniční hodnotou relativní výšky komprimované zóny . část prvku. Pokud je splněna podmínka 𝛏, je vytvořena podmínka rovnováhy projekcí sil na podélnou osu prvku. Σ N=0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

Odtud určíme požadovanou plochu průřezu natažené podélné pracovní výztuže.

= (3.41)

Sortimentem výztuže tyče je nutné zvolit hodnoty plochy prodloužené podélné pracovní výztuže.