Rovnice přímky. Rovnice přímek a křivek v rovině Obecná rovnice přímky

Rovnice přímky procházející daným bodem v daném směru. Rovnice přímky procházející dvěma danými body. Úhel mezi dvěma čarami. Podmínka rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek. Určení průsečíku dvou přímek

Příklady problémů s řešením

Najděte rovnici přímky procházející dvěma body: (-1, 2) a (2, 1).

Řešení.

Podle rovnice

věřit v to X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 \u003d 1 (bez ohledu na to, který bod je považován za první, který - druhý), dostaneme

po zjednodušení nakonec získáme požadovanou rovnici ve tvaru

X + 3y - 5 = 0.

Strany trojúhelníku jsou dány rovnicemi: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (AC ) X - y + 2 = 0, (před naším letopočtem ) 3 X + 4 y -12 = 0. Najděte souřadnice vrcholů trojúhelníku.

Řešení.

Souřadnice vrcholu A najít řešením soustavy složené z vedlejších rovnic AB A AC:

Řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých metodami známými z elementární algebry a dostáváme

Vrchol A má souřadnice

Souřadnice vrcholu B najít řešením soustavy rovnic stran AB A před naším letopočtem:

dostaneme .

Souřadnice vrcholu C získáme řešením soustavy z rovnic stran před naším letopočtem A AC:

Vrchol C má souřadnice.

A (2, 5) rovnoběžně s čárou 3X - 4 y + 15 = 0.

Řešení.

Dokažme, že pokud jsou dvě přímky rovnoběžné, pak lze jejich rovnice vždy znázornit tak, že se liší pouze volnými členy. Z podmínky rovnoběžnosti dvou přímek totiž vyplývá, že .

Označit podle t celkovou hodnotu těchto vztahů. Pak

a z toho tedy plyne

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Pokud dva řádky

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0 a

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

jsou rovnoběžné, podmínky (1) jsou splněny a nahrazení v první z těchto rovnic A 1 a B 1 podle vzorců (1), budeme mít

A 2 TX + B 2 ty + C 1 = 0,

nebo, když obě strany rovnice vydělíme, dostaneme

Porovnání výsledné rovnice s rovnicí druhého řádku A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, poznamenáváme, že tyto rovnice se liší pouze ve volném členu; tím jsme tvrzení dokázali. Nyní začneme problém řešit. Rovnici požadované přímky napíšeme tak, že se bude od rovnice této přímky lišit pouze volným členem: první dva členy v požadované rovnici budou převzaty z této rovnice a její volný člen bude být označen C. Poté lze požadovanou rovnici zapsat do tvaru

3X - 4y + C = 0, (3)

a být určeno C.

Uvedení rovnice (3) k hodnotě C všechny možné reálné hodnoty, dostaneme množinu přímek rovnoběžných s danou. Rovnice (3) tedy není rovnicí jedné přímky, ale celé rodiny přímek rovnoběžných s touto přímkou ​​3 X - 4y+ 15 = 0. Z této rodiny čar je třeba vybrat tu, která prochází bodem A(2, 5).

Pokud přímka prochází bodem, pak souřadnice tohoto bodu musí splňovat rovnici přímky. A tak definujeme C, pokud v (3) dosadíme místo aktuálních souřadnic X A y souřadnice bodu A, tj. X = 2, y= 5. Dostáváme a C = 14.

Nalezená hodnota C dosadíme do (3) a požadovaná rovnice bude zapsána takto:

3X - 4y + 14 = 0.

Stejný problém lze řešit i jinak. Protože sklony rovnoběžných čar jsou navzájem stejné a pro danou čáru 3 X - 4y+ 15 = 0 sklon, pak sklon požadované čáry je také roven .

Nyní použijeme rovnici y - y 1 = k(X - X 1) svazek rovných čar. Tečka A(2, 5), kterým prochází přímka, je nám známo, a proto dosazením do rovnice tužky přímek y - y 1 = k(X - X 1) dostaneme hodnoty

nebo po zjednodušení 3 X - 4y+ 14 = 0, tedy stejné jako dříve.

Najděte rovnice přímek procházejících bodemA (3, 4) pod úhlem 60 stupňů k řádku 2X + 3 y + 6 = 0.

Řešení.

K vyřešení problému bychom měli určit sklony čar I a II (viz obrázek). Označme tyto koeficienty, resp k 1 a k 2 a sklon této přímky - průchozí k. To je zřejmé.

Na základě definice úhlu mezi dvěma přímkami se při určování úhlu mezi danou přímkou ​​a přímkou ​​řídím v čitateli zlomku ve vzorci

odečtěte sklon dané přímky, protože je třeba ji otočit proti směru hodinových ručiček kolem bodu C dokud se neshoduje s čárou I.

Vzhledem k tomu, dostáváme

Při určování úhlu mezi přímkou ​​II a danou přímkou ​​je třeba odečíst sklon přímky II v čitateli stejného zlomku, tj. k 2, protože čára II by měla být kolem bodu otočena proti směru hodinových ručiček B dokud se neshoduje s tímto řádkem:

Najděte rovnici přímky procházející bodemA (5, -1) kolmo na čáru 3X - 7 y + 14 = 0.

Řešení.

Pokud dva řádky

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

jsou kolmé, pak rovnost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

nebo, což je totéž,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

a z toho tedy plyne

Obecný význam těchto výrazů bude označen t.

Potom, odkud to vyplývá

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Nahrazení těchto hodnot A 2 a B 2 a rovnici druhé přímky, dostaneme

B 1 TX - A 1 ty + C 2 = 0.

nebo dělením t obě strany rovnosti, budeme mít

Porovnání výsledné rovnice s rovnicí první přímky

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

všimněte si, že mají koeficienty at X A y změnila místa a znaménko mezi prvním a druhým členem se změnilo na opak, zatímco volné členy jsou různé.

Začněme nyní řešit problém. Přání si napsat rovnici přímky kolmé k přímce 3 X - 7y+ 14 = 0, na základě výše učiněného závěru postupujeme následovně: prohodíme koeficienty při X A y, a znaménko mínus mezi nimi je nahrazeno znaménkem plus, volný termín je označen písmenem C. Dáme 7 X + 3y + C= 0. Tato rovnice je rovnicí řady přímek kolmých k přímce 3 X - 7y+ 14 = 0. Definujte C z podmínky, že požadovaná přímka prochází bodem A(5, -1). Je známo, že pokud přímka prochází bodem, pak souřadnice tohoto bodu musí splňovat rovnici přímky. Dosazení v poslední rovnici 5 místo X a -1 místo toho y, dostaneme

Tato hodnota C Dosaďte do poslední rovnice a dostaňte

7X + 3y - 32 = 0.

Stejný problém řešíme jiným způsobem, pomocí rovnice tužka čar

y - y 1 = k(X - X 1).

Sklon této přímky 3 X - 7y + 14 = 0

pak sklon přímky k ní kolmé,

Dosazení do rovnice tužka řádků a místo toho X 1 a y 1 souřadnice daného bodu A(5, -1), najděte , nebo 3 y + 3 = -7X+ 35 a nakonec 7 X + 3y- 32 = 0, tedy stejné jako dříve.

Přímku procházející bodem K(x 0; y 0) a rovnoběžnou s přímkou ​​y = kx + a najdeme podle vzorce:

y – y 0 \u003d k (x – x 0) (1)

Kde k je sklon přímky.

Alternativní vzorec:
Přímka procházející bodem M 1 (x 1 ; y 1) rovnoběžná s přímkou ​​Ax+By+C=0 je znázorněna rovnicí

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Příklad #1. Sestavte rovnici přímky procházející bodem M 0 (-2,1) a zároveň:
a) rovnoběžně s přímkou ​​2x+3y -7 = 0;
b) kolmo k přímce 2x+3y -7 = 0.
Řešení . Představme rovnici sklonu jako y = kx + a . Za tímto účelem přeneseme všechny hodnoty kromě y na pravou stranu: 3y = -2x + 7 . Potom pravou stranu vydělíme koeficientem 3 . Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Najděte rovnici NK procházející bodem K(-2;1) rovnoběžným s přímkou ​​y = -2 / 3 x + 7 / 3
Dosazením x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
nebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 nebo 3 roky + 2x +1 = 0

Příklad č. 2. Napište rovnici přímky rovnoběžné s přímkou ​​2x + 5y = 0 a tvořící spolu se souřadnicovými osami trojúhelník, jehož obsah je 5.
Řešení . Protože jsou čáry rovnoběžné, rovnice požadované čáry je 2x + 5y + C = 0. Oblast pravoúhlého trojúhelníku, kde a a b jsou jeho nohy. Najděte průsečíky požadované čáry se souřadnicovými osami:
;
.
Takže A(-C/2,0), B(0,-C/5). Dosaďte ve vzorci pro oblast: . Dostaneme dvě řešení: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y - 10 = 0 .

Příklad č. 3. Napište rovnici přímky procházející bodem (-2; 5) a rovnoběžky 5x-7y-4=0 .
Řešení. Tuto přímku lze znázornit rovnicí y = 5/7 x – 4/7 (zde a = 5/7). Rovnice požadované přímky je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), tzn. 7(y-5)=5(x+2) nebo 5x-7y+45=0.

Příklad #4. Řešením příkladu 3 (A=5, B=-7) pomocí vzorce (2) zjistíme 5(x+2)-7(y-5)=0.

Příklad číslo 5. Napište rovnici přímky procházející bodem (-2;5) a rovnoběžné přímky 7x+10=0.
Řešení. Zde A=7, B=0. Vzorec (2) dává 7(x+2)=0, tzn. x+2=0. Vzorec (1) není použitelný, protože tuto rovnici nelze vyřešit vzhledem k y (tato přímka je rovnoběžná s osou y).

Vlastnosti přímky v euklidovské geometrii.

Existuje nekonečně mnoho čar, které lze nakreslit jakýmkoli bodem.

Přes jakékoli dva neshodné body vede pouze jedna přímka.

Dvě neshodné čáry v rovině se buď protínají v jednom bodě, nebo jsou

paralelní (vyplývá z předchozího).

V trojrozměrném prostoru existují tři možnosti pro relativní polohu dvou čar:

• čáry se protínají;

• přímky jsou rovnoběžné;

• přímé čáry se protínají.

Rovný čára- algebraická křivka 1. řádu: v kartézské soustavě souřadnic přímka

je dána v rovině rovnicí prvního stupně (lineární rovnice).

Obecná rovnice přímky.

Definice. Jakákoli přímka v rovině může být dána rovnicí prvního řádu

Ah + Wu + C = 0,

a konstantní A, B nerovná se zároveň nule. Tato rovnice prvního řádu se nazývá Všeobecné

přímková rovnice. V závislosti na hodnotách konstant A, B A Z Jsou možné následující speciální případy:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čára prochází počátkem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- přímka rovnoběžná s osou Ach

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- přímka rovnoběžná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čára se shoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čára se shoduje s osou Ach

Rovnice přímky může být reprezentována v různých formách v závislosti na jakékoli dané

počáteční podmínky.

Rovnice přímky bodem a normálovým vektorem.

Definice. V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému vektor se složkami (A, B)

kolmá k přímce dané rovnicí

Ah + Wu + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející bodem A(1; 2) kolmo k vektoru (3, -1).

Řešení. Sestavme při A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnici přímky: 3x - y + C \u003d 0. Chcete-li najít koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme souřadnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, tedy

C = -1. Celkem: požadovaná rovnice: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnice přímky procházející dvěma body.

Nechť jsou uvedeny dva body v prostoru M 1 (x 1, y 1, z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), pak přímková rovnice,

procházející těmito body:

Pokud je některý ze jmenovatelů roven nule, měl by být odpovídající čitatel nastaven na nulu. Na

rovina, rovnice přímky napsaná výše je zjednodušená:

-li x 1 ≠ x 2 A x = x 1, pokud x 1 = x 2 .

Zlomek = k volala faktor sklonu rovný.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející body A(1, 2) a B(3, 4).

Řešení. Použitím výše uvedeného vzorce dostaneme:

Rovnice přímky bodem a sklonem.

Je-li obecná rovnice přímky Ah + Wu + C = 0 uvést do formuláře:

a určit , pak se výsledná rovnice nazývá

rovnice přímky se sklonem k.

Rovnice přímky na bodu a směrového vektoru.

Analogicky k bodu uvažujícímu rovnici přímky přes normálový vektor můžete zadat úlohu

přímka procházející bodem a směrový vektor přímky.

Definice. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), jehož součásti splňují podmínku

Aai + Ba2 = 0 volala směrový vektor přímky.

Ah + Wu + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky se směrovým vektorem (1, -1) a procházející bodem A(1, 2).

Řešení. Budeme hledat rovnici požadované přímky ve tvaru: Ax + By + C = 0. Podle definice,

koeficienty musí splňovat podmínky:

1 * A + (-1) * B = 0, tzn. A = B.

Pak má rovnice přímky tvar: Ax + Ay + C = 0, nebo x + y + C / A = 0.

v x=1, y=2 dostaneme C/A = -3, tj. požadovaná rovnice:

x + y - 3 = 0

Rovnice přímky v úsecích.

Pokud v obecné rovnici přímky Ah + Wu + C = 0 C≠0, pak po dělení -C dostaneme:

nebo kde

Geometrický význam koeficientů je ten, že koeficient a je souřadnicí průsečíku

rovný s nápravou Ach, ale b- souřadnice průsečíku přímky s osou OU.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky x - y + 1 = 0. Najděte rovnici této přímky v úsecích.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normální rovnice přímky.

Pokud obě strany rovnice Ah + Wu + C = 0 dělit číslem , který se nazývá

normalizační faktor, pak dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normální rovnice přímky.

Znaménko ± normalizačního faktoru musí být zvoleno tak, aby μ * C< 0.

R- délka kolmice pokleslé od počátku k přímce,

ale φ - úhel, který svírá tato kolmice s kladným směrem osy Ach.

Příklad. Vzhledem k obecné rovnici přímky 12x - 5 let - 65 = 0. Nutné napsat různé typy rovnic

tato přímka.

Rovnice této přímky v úsecích:

Rovnice této přímky se sklonem: (dělte 5)

Rovnice přímky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Je třeba poznamenat, že ne každá přímka může být reprezentována rovnicí v segmentech, například přímky,

rovnoběžné s osami nebo procházející počátkem.

Úhel mezi čarami v rovině.

Definice. Pokud jsou uvedeny dva řádky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pak ostrý úhel mezi těmito čarami

bude definován jako

Dvě přímky jsou rovnoběžné, jestliže k 1 = k 2. Dvě čáry jsou kolmé

-li k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorém.

Přímo Ah + Wu + C = 0 A A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 jsou paralelní, když jsou koeficienty proporcionální

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Pokud také С 1 \u003d λС, pak se čáry shodují. Souřadnice průsečíku dvou přímek

se nacházejí jako řešení soustavy rovnic těchto přímek.

Rovnice přímky procházející daným bodem je kolmá k dané přímce.

Definice. Přímka procházející bodem M 1 (x 1, y 1) a kolmo k přímce y = kx + b

reprezentováno rovnicí:

Vzdálenost od bodu k přímce.

Teorém. Pokud je dán bod M(x 0, y 0), pak vzdálenost k čáře Ah + Wu + C = 0 definováno jako:

Důkaz. Nechte bod M 1 (x 1, y 1)- základna kolmice klesla z bodu M za daný

Přímo. Potom vzdálenost mezi body M A M 1:

(1)

Souřadnice x 1 A 1 lze nalézt jako řešení soustavy rovnic:

Druhá rovnice soustavy je rovnicí přímky procházející daným bodem M 0 kolmo

daný řádek. Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta byla prokázána.