Cum să găsești înălțimea unui triunghi dreptunghic cunoscând catetele. Triunghi dreptunghic

Triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri este drept, adică egal cu 90 de grade.

• Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. c sau AB)
• Latura adiacentă unghiului drept se numește picior. Fiecare triunghi dreptunghic are două catete (indicate ca Ași b sau AC și BC)

Formule și proprietăți ale unui triunghi dreptunghic

Denumirile formulei:

(vezi poza de mai sus)

a, b- catetele unui triunghi dreptunghic

c- ipotenuza

α, β - unghiurile ascuțite ale unui triunghi

S- zona

h- înălțimea scăzută de la vârful unghiului drept la ipotenuză

m a A din coltul opus ( α )

m b- mediana trasă în lateral b din coltul opus ( β )

mc- mediana trasă în lateral c din coltul opus ( γ )

ÎN triunghi dreptunghic oricare catete este mai mic decat ipotenuza(Formula 1 și 2). Această proprietate este o consecință a teoremei lui Pitagora.

Cosinusul oricăruia dintre unghiurile ascuțite mai puțin de unu (Formula 3 și 4). Această proprietate urmează de la precedenta. Deoarece oricare dintre catete este mai mic decât ipotenuză, raportul dintre catete și ipotenuză este întotdeauna mai mic de unu.

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor (teorema lui Pitagora). (Formula 5). Această proprietate este utilizată în mod constant în rezolvarea problemelor.

Aria unui triunghi dreptunghic egal cu jumătate din produsul picioarelor (Formula 6)

Suma medianelor pătrate la catete este egal cu cinci pătrate ale medianei ipotenuzei și cinci pătrate ale ipotenuzei împărțite la patru (Formula 7). Pe lângă cele de mai sus, există Încă 5 formule, așa că este recomandat să vă familiarizați și cu lecția „ Mediana unui triunghi dreptunghic”, care descrie mai detaliat proprietățile medianei.

Înălţime a unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză (Formula 8)

Pătratele catetelor sunt invers proporționale cu pătratul înălțimii coborâte la ipotenuză (Formula 9). Această identitate este și una dintre consecințele teoremei lui Pitagora.

Lungimea ipotenuzei egal cu diametrul (două raze) cercului circumscris (Formula 10). Hipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului circumscris. Această proprietate este adesea folosită în rezolvarea problemelor.

Raza înscrisăîn triunghi dreptunghic cercuri poate fi găsită ca jumătate din expresia, care include suma catetelor acestui triunghi minus lungimea ipotenuzei. Sau ca produsul catetelor împărțit la suma tuturor laturilor (perimetrului) unui triunghi dat. (Formula 11)
Sinusul unui unghi opus acest colt picior la ipotenuză(prin definiția unui sinus). (Formula 12). Această proprietate este utilizată la rezolvarea problemelor. Cunoscând dimensiunile laturilor, puteți găsi unghiul pe care îl formează.

Cosinusul unghiului A (α, alfa) dintr-un triunghi dreptunghic va fi egal cu relație adiacent acest colt picior la ipotenuză(prin definiția unui sinus). (Formula 13)

Proprietate: 1.În orice triunghi dreptunghic, altitudinea scăzută de la unghiul drept (până la ipotenuză) împarte triunghiul dreptunghic în trei triunghiuri similare.

Proprietate: 2.Înălțimea unui triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este egală cu media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză (sau media geometrică a acelor segmente în care înălțimea împarte ipotenuza).

Proprietate: 3. Catonul este egal cu media geometrică a ipotenuzei și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

Proprietate: 4. Piciorul față de un unghi de 30 de grade este egal cu jumătate din ipotenuză.

Formula 1.

Formula 2. unde este ipotenuza; , patine.

Proprietate: 5.Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta și egală cu raza cercului circumscris.

Proprietate: 6. Dependența dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic:

44. Teorema cosinusului. Consecințe: legătura dintre diagonalele și laturile unui paralelogram; determinarea tipului de triunghi; formula pentru calcularea lungimii medianei unui triunghi; calcularea cosinusului unghiului unui triunghi.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Clasă. Programul Colocviului Fundamentele planimetriei

Proprietatea unghiurilor adiacente.. definiția a două unghiuri sunt adiacente dacă o latură au în comun celelalte două formează o linie dreaptă..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi- aceasta este o figură formată din trei segmente și trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, și punctele culmi.

Suma unghiurilor triunghiul este egal cu 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului este o perpendiculară trasată de la un vârf spre partea opusă.

Într-un triunghi cu unghi ascuțit, înălțimea este conținută în interiorul triunghiului (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt înălțimile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, înălțimea trece în afara triunghiului (Fig. 3).

Proprietățile înălțimii triunghiului:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi- acesta este un segment care traversează colțul vârfului și leagă vârful de un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietăți bisectoare:

Mediana unui triunghi.

Mediana triunghiului- acesta este un segment care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Lungimea mediei poate fi calculată folosind formula: 2b 2 + 2c 2 - A 2 m a 2 = —————— 4 Unde m a- mediana trasă în lateral dar. Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este jumătate din ipotenuză: c mc = — 2 Unde mc este mediana trasată de ipotenuză c(Fig. 9c) Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (în centrul de masă al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2:1, numărând de sus. Adică, segmentul de la vârf la centru este de două ori segmentul de la centru spre latura triunghiului (Fig. 9c). Cele trei mediane ale unui triunghi îl împart în șase triunghiuri de arie egală.

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a triunghiului- acesta este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.

Colțul exterior al triunghiului.

colțul exterior triunghiul este egal cu suma a două unghiuri interioare neadiacente (Fig. 11).

Unghiul exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic- acesta este un triunghi care are unghi drept (Fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză.

Celelalte două părți sunt numite picioare.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea trasă din unghiul drept formează trei triunghiuri asemănătoare: ABC, ACH și HCB (Fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel- acesta este un triunghi în care două laturi sunt egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar al treilea bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și înălțimea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile unui triunghi echilateral:

Proprietăți remarcabile ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți originale care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele asociate cu aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm ​​din nou, adăugându-le și alte câteva caracteristici grozave:

1) Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 90º, 30º și 60º, catetul b, situat opus unghiului de 30º, este egal cu jumătate din ipotenuză. Un piciorA mai mult piciorb√3 ori (Fig. 15 dar). De exemplu, dacă catetul lui b este 5, atunci ipotenuza c neapărat egal cu 10, iar piciorul dar este egal cu 5√3. 2) Într-un triunghi isoscel dreptunghic cu unghiuri de 90º, 45º și 45º, ipotenuza este de √2 ori catetul (Fig. 15). b). De exemplu, dacă catetele sunt 5, atunci ipotenuza este 5√2. 3) Linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătate din latura paralelă (Fig. 15 din). De exemplu, dacă latura unui triunghi este 10, atunci linia mediană paralelă cu acesta este 5. 4) Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză (Fig. 9c): mc= c/2. 5) Medianele unui triunghi, care se intersectează într-un punct, sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2:1. Adică, segmentul de la vârf până la punctul de intersecție al medianelor este de două ori segmentul de la punctul de intersecție al medianelor până la latura triunghiului (Fig. 9c) 6) Într-un triunghi dreptunghic, punctul mijlociu al ipotenuzei este centrul cercului circumscris (Fig. 15). d).

Semne de egalitate a triunghiurilor.

Primul semn de egalitate: Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn de egalitate: dacă latura și unghiurile adiacente acestuia ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile adiacente acestuia ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al treilea semn al egalității: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Inegalitatea triunghiului.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = A 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale și înălțimea trasă de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre oricare două dintre laturile sale și sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB · AC · păcat A
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 dar).

Triunghi înscris într-un cerc.

Un triunghi se numește înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile (Fig. 17 A).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascutit X opus cateter la ipotenuză.
Notat astfel: păcatX.

Cosinus unghi ascutit X triunghiul dreptunghic este raportul adiacent cateter la ipotenuză.
Se notează astfel: cos X.

Tangentă unghi ascutit X este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Notat astfel: tgX.

Cotangentă unghi ascutit X este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.
Notat astfel: ctgX.

Reguli:

Colțul opus piciorului X, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin X:

b=c păcat X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul ipotenuzei și cos X:

a = c cos X

Colțul opus piciorului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și tg X:

b = a tg X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și ctg X:

a = b ctg X.

Pentru orice unghi ascuțit X:

păcat (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = păcat X

(ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză, latura opusă unghiului drept.

Sfat 1: Cum să găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Desen lateral AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi SW- ipotenuza.

Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30° catetul opus acestui unghi se va rupe la jumătate din ipotenuză.

hC

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DB

Triunghi
Există o teoremă:
sistem de comentarii CACKLE

Rezolvare: 1) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt egale. Adevărat 2) Dacă există un unghi ascuțit într-un triunghi, atunci acest triunghi este un unghi ascuțit. Neadevarat. Tipuri de triunghiuri. Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90 ° 3) Dacă punctul se află pe.

Sau, într-o altă intrare,

Conform teoremei lui Pitagora

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză poate fi găsită într-un fel sau altul, în funcție de datele din enunțul problemei.

Sau, într-o altă intrare,

Unde BK și KC sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (segmentele în care altitudinea împarte ipotenuza).

Altitudinea trasată la ipotenuză poate fi găsită prin aria unui triunghi dreptunghic. Dacă aplicăm formula pentru găsirea ariei unui triunghi

(jumătate din produsul unei laturi și înălțimea trasă pe această latură) la ipotenuză și înălțimea trasă la ipotenuză, obținem:

De aici putem găsi înălțimea ca raportul de două ori aria triunghiului și lungimea ipotenuzei:

Deoarece aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor:

Adică, lungimea înălțimii trasate la ipotenuză este egală cu raportul dintre produsul catetelor la ipotenuză. Dacă notăm lungimile catetelor prin a și b, lungimea ipotenuzei prin c, formula poate fi rescrisă ca

Deoarece raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză, lungimea înălțimii poate fi exprimată în termeni de catete și raza cercului circumscris:

Deoarece înălțimea trasată la ipotenuză formează încă două triunghiuri dreptunghiulare, lungimea ei poate fi găsită prin rapoartele din triunghiul dreptunghic.

Din triunghiul dreptunghic ABK

Din triunghiul dreptunghic ACK

Lungimea înălțimii unui triunghi dreptunghic poate fi exprimată în termeni de lungimi ale catetelor. pentru că

Conform teoremei lui Pitagora

Dacă pătram ambele părți ale ecuației:

Puteți obține o altă formulă pentru a raporta înălțimea unui triunghi dreptunghic cu catetele:

Care este înălțimea într-o formulă de triunghi dreptunghic

Triunghi dreptunghic. Nivel mediu.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau OGE?

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar zona mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Ai observat un lucru foarte util? Privește cu atenție farfuria.

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

II. Prin catete și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa În ambele triunghiuri, piciorul era adiacent sau în ambele - opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncați o privire la subiectul „Triunghi” și acordați atenție faptului că, pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele, sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

III. Prin catete și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Desenați o diagonală și luați în considerare punctul în care se intersectează diagonalele. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Punctul de intersecție diagonală bisectează Diagonalele sunt egale

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci să începem cu acest „în afară de asta. ".

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ambele au aceleași colțuri ascuțite!

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Cum să obțineți al doilea?

Și acum aplicăm asemănarea triunghiurilor și.

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabilă de aplicat. Să le scriem din nou.

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Comentarii

Distribuirea materialelor fără aprobare este permisă dacă există un link dofollow către pagina sursă.

Politica de Confidențialitate

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare. Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante. De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic a scăzut la ipotenuză

Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public. În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Multumesc pentru mesaj!

Comentariul dumneavoastră a fost acceptat, după moderare va fi publicat pe această pagină.

Vrei să știi ce se ascunde sub tăietură și să primești materiale exclusive pentru pregătirea pentru OGE și USE? Lasă un e-mail

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

Luați în considerare un triunghi dreptunghic (ABC)și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Un triunghi dreptunghic are o ipotenuză, latura opusă unghiului drept. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. Desen lateral AD, DC și BD, DC- picioare și laterale ACȘi SW- ipotenuza.

Semne de egalitate ale unui triunghi dreptunghic:

Teorema 1. Dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 2. Dacă două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt egale cu două catete ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 3. Dacă ipotenuza și un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt similare cu ipotenuza și un unghi ascuțit al unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 4. Dacă cateta și unghiul ascuțit adiacent (opus) unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și unghiul ascuțit adiacent (opus) altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Proprietățile unui picior opus unui unghi de 30 °:

Teorema 1.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, catetul opus acestui unghi se va rupe la jumătate din ipotenuză.

Teorema 2. Dacă într-un triunghi dreptunghic catetul este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus este de 30°.

Dacă înălțimea este trasă de la vârful unghiului drept la ipotenuză, atunci un astfel de triunghi este împărțit în două mai mici, asemănătoare cu cel de ieșire și asemănătoare unul cu celălalt. De aici rezultă următoarele concluzii:

1. Înălțimea este media geometrică (media proporțională) a celor două segmente de ipotenuză.
2. Fiecare catetă a triunghiului este media proporțională cu ipotenuza și segmentele adiacente.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele acționează ca înălțimi. Ortocentrul este punctul în care se intersectează înălțimile triunghiului. Coincide cu partea de sus a unghiului drept al figurii.

hC- inaltimea care iese din unghiul drept al triunghiului;

AB- ipotenuza;

ANUNȚȘi DB- segmentele care au apărut la împărțirea ipotenuzei la înălțime.

Înapoi la vizualizarea referințelor la disciplina „Geometrie”

Triunghi este o figură geometrică formată din trei puncte (vârfurile) care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are unul dintre unghiurile de 90° (un unghi drept).
Există o teoremă: suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este de 90°.
sistem de comentarii CACKLE

Cuvinte cheie: triunghi, dreptunghiular, cateta, ipotenuza, teorema lui Pitagora, cerc

Triunghi numit dreptunghiular dacă are unghi drept.
Un triunghi dreptunghic are două laturi reciproc perpendiculare numite picioare; a treia latură se numește ipotenuză.

• După proprietățile ipotenuzei perpendiculare și oblice, fiecare catete este mai lung (dar mai mic decât suma lor).
• Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este egală cu unghiul drept.
• Două înălțimi ale unui triunghi dreptunghic coincid cu picioarele sale. Prin urmare, unul dintre cele patru puncte remarcabile cade pe vârfurile unghiului drept al triunghiului.
• Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.
• Mediana unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unghiului drept la ipotenuză este raza cercului circumscris acestui triunghi.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar ABC și desenați o înălțime CD = hc din vârful C al unghiului său drept.

Acesta va împărți triunghiul dat în două triunghiuri dreptunghiulare ACD și BCD; fiecare dintre aceste triunghiuri are un unghi ascuțit comun cu triunghiul ABC și, prin urmare, este similar cu triunghiul ABC.

Toate cele trei triunghiuri ABC, ACD și BCD sunt similare unul cu celălalt.

Din asemănarea triunghiurilor se determină următoarele relații:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

teorema lui Pitagora una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic.

Formulare geometrică.Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Formulare algebrică.Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c și lungimile catetelor prin a și b:
a2 + b2 = c2

Teorema inversă a lui Pitagora.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic

Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât
a2 + b2 = c2,
există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
• pe două picioare;
• de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit;
• ipotenuza si unghiul ascutit.

Vezi si:
Zona triunghiului, triunghiul isoscel, triunghiul echilateral

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

ANUNȚ : CD=CD : B.D. Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun:

ANUNȚ : AC=AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun:

BD : BC=BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36.

Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30.

Cum să găsești înălțimea într-un triunghi dreptunghic?

Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Verifică răspunsuri!

D8.04.1. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

În Δ ABC ∠ACV = 90°. Cattele AC și BC, ipotenuza AB.

CD este altitudinea triunghiului trasat la ipotenuză.

Proiecția AD a catetei AC pe ipotenuză,

Proiecția BD a catetei BC pe ipotenuză.

Altitudinea CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri similare cu acesta (și unul cu celălalt): Δ ADC și Δ CDB.

Din proporționalitatea laturilor Δ ADC și Δ CDB similare rezultă:

ANUNȚ : CD=CD : B.D.

Proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic coborât la ipotenuză.

Prin urmare, CD2 = AD ∙ B.D. Ei spun: înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză,este valoarea proporțională medie dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Din similitudinea dintre Δ ADC și Δ ACB rezultă:

ANUNȚ : AC=AC : AB. Prin urmare, AC2 = AB ∙ ANUNȚ. Ei spun: fiecare catenă este valoarea proporțională medie dintre întreaga ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

În mod similar, din similitudinea dintre Δ CDB și Δ ACB rezultă:

BD : BC=BC : AB. Prin urmare BC2 = AB ∙ B.D.

Rezolva probleme:

1. Aflați înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză dacă împarte ipotenuza în segmente de 25 cm și 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză împarte ipotenuza în segmentele 9 și 36. Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză este 22, proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați proiecția celuilalt catete.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. catetul unui triunghi dreptunghic este 18, iar proiecția lui pe ipotenuză este 12. Aflați ipotenuza.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Ipotenuza este 32. Aflați catetul a cărui proiecție pe ipotenuză este 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 45. Aflați catetul a cărui proiecție pe ipotenuză este 9.

8. catetul unui triunghi dreptunghic este 30. Aflați distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză dacă raza cercului circumscris acestui triunghi este 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 41, iar proiecția unuia dintre catete este 16. Aflați lungimea altitudinii trasate de la vârful unghiului drept la ipotenuză.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Diferența dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză este 15, iar distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză este 4. Aflați raza cercului circumscris.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme legate de un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un catet!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, pisica. Deci, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Și acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum să o exprim în cuvinte acum? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și catetul? Adiacent colțului. Deci ce am primit?

Vedeți cum sunt inversate numărătorul și numitorul?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare?

Dreapta, .

Dar zona mai mică?

Cu siguranță, .

Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze.

Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Prin catete și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele - opuse.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor?

Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi.

Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Colţ acut

II. Pe două picioare

III. Prin catete și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la eu.

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu altele, vei rezolva orice problemă cu un triunghi dreptunghic!

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabilă de aplicat.

Să le scriem din nou.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• de-a lungul catetei și ipotenuzei: or
• de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin catetere: