Găsiți zona unui calculator online trapezoidal. Toate opțiunile pentru găsirea zonei unui trapez

Practica USE și GIA de anul trecut arată că problemele de geometrie cauzează dificultăți multor școlari. Le puteți face față cu ușurință dacă memorați toate formulele necesare și practicați rezolvarea problemelor.

În acest articol, veți vedea formule pentru găsirea ariei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Puteți găsi același lucru în KIM la examenele de certificare sau la olimpiade. De aceea, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știți despre trapez?

Pentru început, nu uitați asta trapez numit patrulater, care are două laturi opuse, se mai numesc baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Înălțimea poate fi coborâtă și în trapez (perpendicular pe bază). Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă care este paralelă cu bazele și este egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele, care se pot intersecta, formând colțuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, se poate înscrie un cerc în el. Și descrie un cerc în jurul său.

Formule de suprafață pentru un trapez

Pentru început, luați în considerare formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalitățile de a calcula aria unui isoscel și a trapezelor curbate de mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în \u200b\u200bcare înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calculul suprafeței figurii în acest caz este ușor. Trebuie doar să împărțiți la două suma lungimilor bazelor și să înmulțiți ceea ce obțineți cu înălțimea: S \u003d 1/2 (a + b) * h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că, în trapez, pe lângă înălțime, este trasată linia de mijloc m. Știm formula pentru găsirea lungimii liniei mediane: m \u003d 1/2 (a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următoarea formă: S \u003d m * h... Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să multiplicați linia mediană cu înălțimea.

Luați în considerare o altă opțiune: trapezul conține diagonale d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți la două produsul diagonalelor și să înmulțiți ceea ce obțineți cu păcatul unghiului dintre ele: S \u003d 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Acum, luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre ea, cu excepția lungimilor tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complexă, dar vă va fi util să vă amintiți-o, în caz că: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și în cazul în care aveți nevoie de formula zonei unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură este adiacentă bazelor în unghi drept.

Trapezoid isoscel

Un trapez, ale cărui laturi sunt egale, se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în trapezul isoscel, iar latura laterală și baza mai mare formează un unghi acut α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez, cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți-l pe tot cu sinα: S \u003d 4r 2 / sinα... O altă formulă de zonă este un caz special pentru cazul în care unghiul dintre baza mare și lateral este 30 0: S \u003d 8r 2.

A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care, în plus, sunt trasate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele trapezului sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h \u003d 1/2 (a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula deja familiară pentru aria unui trapez în următoarea formă: S \u003d h 2.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Să începem prin a privi ce este un trapezoid curbat. Imaginați-vă o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și non-negative f care nu schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniar este format din graficul funcției y \u003d f (x) - în partea de sus, axa x - în partea de jos (segment), iar pe laturi - liniile trasate între punctele a și b și graficul funcției.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de forme nestandardizate folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integralul. Și anume: formula Newton-Leibniz - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d F (x) │ b a \u003d F (b) - F (a)... În această formulă, F este antiderivativ al funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria trapezului curbat corespunde creșterii antiderivativei pe un anumit segment.

Exemple de sarcini

Pentru ca toate aceste formule să se așeze mai bine în capul tău, iată câteva exemple de sarcini pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi verificați răspunsul primit cu soluția gata pregătită.

Sarcina numărul 1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică are 4 cm. Diagonalele sunt trasate în trapez, una lungă de 12 cm, cealaltă lungime de 9 cm.

Soluție: Construiți AMRS trapez. Trageți linia PX prin vârful P astfel încât să se dovedească a fi paralelă cu diagonala MC și să intersecteze linia AC în punctul X. Veți obține un triunghi ARX.

Vom lua în considerare două figuri obținute ca urmare a acestor manipulări: triunghiul ARX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX \u003d MC \u003d 12 cm și CX \u003d MR \u003d 4cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul ARX este dreptunghiular (pentru aceasta, aplicați teorema lui Pitagora - AX 2 \u003d AR 2 + PX 2). Și calculați aria sa: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Apoi, trebuie să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale. Baza va fi egalitatea părților MP și CX (deja dovedită mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să afirmați că S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Sarcina numărul 2: Este dat trapezul KRMS. Punctele O și E sunt situate pe laturile sale laterale, în timp ce OE și KC sunt paralele. Se știe, de asemenea, că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt într-un raport de 1: 5. PM \u003d a și KC \u003d b. Este necesar să găsiți OE.

Soluție: Trageți o linie dreaptă prin punctul M, paralel cu RC și desemnați punctul de intersecție cu OE de T. A - punctul de intersecție a unei linii drepte trasate prin punctul E paralel cu RC, cu baza KS.

Să introducem încă o notație - OE \u003d x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți dovedi independent similitudinea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b\u003e a. Zonele trapezelor ORME și OKSE sunt legate ca 1: 5, ceea ce ne dă dreptul să întocmim următoarea ecuație: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 \u003d (x - a) / (b - x). Combinați ambele înregistrări și obțineți: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Astfel, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară știință, dar cu siguranță puteți face față sarcinilor examenului. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, desigur, amintiți-vă toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm într-un singur loc toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și să revizuiți materialul.

Asigurați-vă că distribuiți acest articol colegilor de clasă și prietenilor dvs. pe rețelele sociale. Să existe mai multe note bune pentru USE și GIA!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Instrucțiuni

Pentru a clarifica ambele metode, pot fi date câteva exemple.

Exemplul 1: lungimea liniei de mijloc a unui trapez este de 10 cm, aria sa este de 100 cm². Pentru a găsi înălțimea acestui trapez, trebuie să faceți:

h \u003d 100/10 \u003d 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 10 cm

Exemplul 2: aria trapezului este de 100 cm², lungimile bazelor sunt de 8 cm și 12 cm. Pentru a găsi înălțimea acestui trapez, trebuie să efectuați acțiunea:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 20 cm

Notă

Există mai multe tipuri de trapezoide:
Un trapez isoscel este un trapez în care laturile sunt egale.
Un trapez dreptunghiular este un trapez cu unul dintre unghiurile sale interioare egale cu 90 de grade.
Trebuie remarcat faptul că într-un trapez dreptunghiular, înălțimea coincide cu lungimea laterală în unghi drept.
În jurul trapezului, puteți descrie un cerc sau îl puteți înscrie în interiorul acestei figuri. Puteți înscrie un cerc numai dacă suma bazelor sale este egală cu suma laturilor opuse. Un cerc poate fi descris numai în jurul unui trapez isoscel.

Sfat util

Un paralelogram este un caz special al unui trapez, deoarece definiția unui trapez nu contrazice definiția unui paralelogram în niciun fel. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele una cu cealaltă. În cazul unui trapez, definiția se referă doar la câteva dintre laturile sale. Prin urmare, orice paralelogram este, de asemenea, un trapez. Conversa nu este adevărată.

surse:

cum se găsește aria unei formule trapezoidale

Sfat 2: Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă zona este cunoscută

Un trapez este un patrulater în care două din cele patru laturi ale sale sunt paralele una cu cealaltă. Laturile paralele sunt bazele acestui lucru, celelalte două sunt laturile acestuia trapez... A găsi inaltimea trapezdacă se știe zonă, va fi foarte ușor.

Instrucțiuni

Este necesar să ne dăm seama cum să calculăm zonă originalul trapez... Pentru aceasta, mai multe formule, în funcție de datele inițiale: S \u003d ((a + b) * h) / 2, unde a și b sunt baze trapez, iar h este înălțimea sa (Înălțimea trapez - perpendicular coborât de la o bază trapez altcuiva);
S \u003d m * h, unde m este o linie trapez (Linia de mijloc este un segment, bazele trapez și conectând mijlocul laturilor sale laterale).

Pentru a o face mai clară, pot fi luate în considerare sarcini similare: Exemplul 1: Un trapez este dat cu zonă 68 cm², a cărui linie medie este de 8 cm, pe care doriți să o găsiți inaltimea dat trapez... Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați formula derivată anterior:
h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Răspuns: înălțimea acestuia trapez este de 8,5 cm Exemplul 2: Fie y trapez zonă egală cu 120 cm², lungimea bazelor acestuia trapez 8 cm și respectiv 12 cm, trebuie să găsiți inaltimea acest trapez... Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați una dintre formulele derivate:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Răspuns: înălțime dată trapez egală cu 12 cm

Videoclipuri similare

Notă

Orice trapez are o serie de proprietăți:

Linia de mijloc a unui trapez este egală cu jumătatea sumelor bazelor sale;

Segmentul care leagă diagonalele trapezului este egal cu jumătate din diferența dintre bazele sale;

Dacă o linie dreaptă este trasată prin punctele medii ale bazelor, atunci aceasta va intersecta punctul de intersecție a diagonalelor trapezului;

Un cerc poate fi înscris într-un trapez dacă suma bazelor acestui trapez este egală cu suma laturilor sale laterale.

Folosiți aceste proprietăți atunci când rezolvați probleme.

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui trapez dacă bazele sunt cunoscute

Prin definiție geometrică, un trapez este un patrulater cu o singură pereche de laturi paralele. Aceste părți sunt ea motive... Distanta intre motive numită înălțime trapez... A găsi zonă trapez este posibil folosind formule geometrice.

Instrucțiuni

Măsurați bazele și trapez AVSD. De obicei, acestea sunt date în sarcini. Lăsați în acest exemplu de problemă baza AD (a) trapez va fi egal cu 10 cm, baza BC (b) - 6 cm, înălțime trapez BK (h) - 8 cm. Aplicați geometric pentru a găsi aria trapez, dacă lungimile bazelor și înălțimilor sale sunt cunoscute - S \u003d 1/2 (a + b) * h, unde: - a - dimensiunea bazei AD trapez ABCD, - b - baza BC, - h - înălțimea BK.

Există multe modalități de a găsi aria unui trapez. De obicei, un profesor de matematică cunoaște mai multe metode de calcul, să ne oprim asupra lor mai detaliat:
1) , unde AD și BC sunt baze, iar BH este înălțimea trapezului. Dovadă: desenați o diagonală BD și exprimați zonele triunghiurilor ABD și CDB în funcție de semiprodusul bazelor și înălțimii lor:

, unde DP este înălțimea exterioară în

Să adăugăm aceste egalități termen cu termen și ținând cont că înălțimile BH și DP sunt egale, obținem:

Să scoatem din paranteză

Quod erat demonstrandum

Corolar din formula pentru aria unui trapez:
Deoarece jumătatea sumelor bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului, atunci

2) Aplicarea formulei ariei generale a unui patrulater.
Aria unui patrulater este jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru demonstrație, este suficient să împărțiți trapezul în 4 triunghiuri, să exprimați zona fiecăruia în termeni de „jumătate din produsul diagonalelor prin sinusul unghiului dintre ele” (ca unghi, adăugați expresiile rezultate, puneți-le din paranteză și factorizați această paranteză în factori prin metoda de grupare pentru a obține egalitatea acestuia

3) Metoda de deplasare diagonală
Acesta este numele meu. În manualele școlare, un profesor de matematică nu va găsi un astfel de titlu. O descriere a tehnicii poate fi găsită numai în tutoriale suplimentare, ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Observ că majoritatea faptelor interesante și utile ale planimetriei sunt predate de către tutori de matematică studenților în procesul de a face lucrări practice. Acest lucru este extrem de suboptim, deoarece elevul trebuie să le separe în teoreme separate și să le numească „nume mari”. Una dintre acestea este „deplasarea diagonală”. Despre ce e vorba? Desenați prin vârful B o linie dreaptă paralelă cu AC până când se intersectează cu baza inferioară din punctul E. În acest caz, patrulaterul EBCA va fi un paralelogram (prin definiție) și, prin urmare, BC \u003d EA și EB \u003d AC. Prima egalitate este importantă pentru noi acum. Noi avem:

Rețineți că triunghiul BED, a cărui suprafață este egală cu aria trapezului, are mai multe proprietăți remarcabile:
1) Aria sa este egală cu aria trapezului
2) Isoscelul său apare simultan cu isoscelul trapezului însuși
3) Unghiul său superior la vârful B este egal cu unghiul dintre diagonalele trapezului (care este foarte des utilizat în probleme)
4) BK-ul său median este egal cu distanța QS dintre punctele medii ale bazelor trapezoidale. Am întâlnit recent utilizarea acestei proprietăți atunci când pregăteam un student pentru Facultatea de Mecanică și Matematică de la Universitatea de Stat din Moscova folosind manualul lui Tkachuk, versiunea din 1973 (problema este dată în partea de jos a paginii).

Tutor matematic Tehnici speciale.

Uneori propun sarcini pe un mod foarte dificil de a găsi pătratul trapezoidal. O atribuiesc unor tehnici speciale, deoarece în practică tutorele le folosește extrem de rar. Dacă aveți nevoie de pregătire pentru UTILIZARE în matematică numai în partea B, nu trebuie să citiți despre ele. În rest, vă voi spune mai departe. Se pare că aria trapezului este de două ori aria unui triunghi cu vârfuri la capetele unei părți și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură:
Dovadă: desenați înălțimile SM și SN în triunghiurile BCS și ADS și exprimați suma ariilor acestor triunghiuri:

Deoarece punctul S este punctul de mijloc al CD, atunci (demonstrați-l singur). Să găsim suma ariilor triunghiurilor:

Deoarece această sumă s-a dovedit a fi egală cu jumătate din aria trapezului, atunci - a doua jumătate. Ch.d.

În colecția tehnicilor speciale ale tutorelui, aș include forma de calcul a ariei unui trapez isoscel pe laturile sale: unde p este semiperimetrul trapezului. Nu voi da o dovadă. În caz contrar, tutorele dvs. de matematică va rămâne fără muncă :). Vino la ore!

Sarcini în zona trapezului:

Nota Tutorului de matematică: Lista de mai jos nu este un acompaniament metodologic pentru subiect, este doar o mică selecție de probleme interesante pentru tehnicile de mai sus.

1) Baza inferioară a unui trapez isoscel este 13, iar cea superioară este 5. Aflați aria trapezului dacă diagonala acestuia este perpendiculară pe lateral.
2) Aflați aria trapezului dacă bazele sale sunt de 2cm și 5cm, iar laturile sunt de 2cm și 3cm.
3) Într-un trapez isoscel, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Găsiți zona trapezului.
4) Diagonala unui trapez isoscel este 5, iar linia de mijloc este 4. Aflați aria.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria unui trapez
6) Diagonala unui trapez isoscel face un unghi cu baza sa inferioară. Aflați aria unui trapez dacă înălțimea sa este de 6 cm.
7) Aria trapezului este de 20, iar una dintre laturile sale are 4 cm. Găsiți distanța față de acesta de la mijlocul laturii opuse.
8) Diagonala unui trapez isoscel îl împarte în triunghiuri cu arii de 6 și 14. Găsiți înălțimea dacă latura este 4.
9) În trapez, diagonalele sunt 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este 2. Găsiți zona trapezului (Mehmat MGU, 1970).

Nu am ales cele mai dificile probleme (nu vă temeți de mechmat!) Cu așteptarea posibilității de a le rezolva independent. Decideți asupra sănătății! Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de matematică, atunci fără participarea la acest proces a formulei pentru zona unui trapez, pot apărea probleme grave chiar și cu problema B6 și cu atât mai mult cu C4. Nu lansați tema și în caz de dificultăți, cereți ajutor. Un profesor de matematică este întotdeauna fericit să vă ajute.

Kolpakov A.N.
Tutor la matematică la Moscova, pregătire pentru examenul din Strogino.

În matematică, sunt cunoscute mai multe tipuri de patrulatere: pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram. Printre acestea se numără un trapez - un fel de patrulater convex, în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu. Laturile opuse paralele se numesc baze, iar celelalte două sunt numite laturi ale trapezului. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană. Există mai multe tipuri de trapezoide: izoscel, dreptunghiular, curbat. Pentru fiecare tip de trapez, există formule pentru găsirea zonei.

Zona trapezului

Pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să cunoașteți lungimea și înălțimea bazelor sale. Înălțimea unui trapez este un segment de linie perpendicular pe baze. Fie baza superioară a, baza inferioară b și înălțimea h. Apoi puteți calcula aria S folosind formula:

S \u003d ½ * (a + b) * h

acestea. ia jumătatea sumelor bazelor înmulțite cu înălțimea.

De asemenea, va fi posibil să calculați aria unui trapez dacă cunoașteți înălțimea și linia centrală. Să notăm linia de mijloc - m. Apoi

Să rezolvăm o problemă mai dificilă: sunt cunoscute lungimile celor patru laturi ale trapezului - a, b, c, d. Apoi zona va fi găsită prin formula:

Dacă lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele sunt cunoscute, atunci zona este căutată după cum urmează:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

unde d cu indicii 1 și 2 sunt diagonale. În această formulă, sinusul unghiului este dat în calcul.

Cu lungimi de bază cunoscute a și b și două unghiuri la baza inferioară, aria se calculează după cum urmează:

S \u003d ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel este un caz special al unui trapez. Diferența sa este că un astfel de trapez este un patrulater convex cu o axă de simetrie care trece prin punctele medii ale celor două laturi opuse. Laturile sale sunt egale.

Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapez isoscel.

Prin lungimile celor trei laturi. În acest caz, lungimile laturilor vor coincide, prin urmare, ele sunt desemnate cu aceeași valoare - c, iar a și b sunt lungimile bazelor:

Dacă cunoașteți lungimea bazei superioare, latura și unghiul de la baza inferioară, atunci aria se calculează după cum urmează:

S \u003d c * sin α * (a + c * cos α)

unde a este baza superioară, c este partea.

Dacă, în locul bazei superioare, se cunoaște lungimea celei inferioare, aria se calculează prin formula:

S \u003d c * sin α * (b - c * cos α)

Dacă, când sunt cunoscute două baze și unghiul de la baza de jos, aria se calculează prin tangenta unghiului:

S \u003d ½ * (b2 - a2) * tan α

De asemenea, aria este calculată prin diagonale și unghiul dintre ele. În acest caz, diagonalele sunt egale în lungime, deci fiecare este notată cu litera d fără indici:

S \u003d ½ * d2 * sin α

Calculăm aria trapezului, cunoscând lungimea laturii, linia mediană și unghiul de la baza inferioară.

Fie partea laterală c, linia de mijloc m, unghiul a, apoi:

S \u003d m * c * sin α

Uneori, un cerc poate fi înscris într-un trapez echilateral, a cărui rază va fi r.

Se știe că un cerc poate fi înscris în orice trapez dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor sale laterale. Apoi, zona se găsește prin raza cercului înscris și unghiul de la baza inferioară:

S \u003d 4r2 / sin α

Același calcul se efectuează prin diametrul D al cercului înscris (apropo, coincide cu înălțimea trapezului):

Cunoscând bazele și unghiul, aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează:

S \u003d a * b / sin α

(aceasta și următoarele formule sunt valabile numai pentru trapezoide cu cerc inscripționat).

Prin bazele și raza cercului, aria se găsește după cum urmează:

Dacă sunt cunoscute numai bazele, atunci aria se calculează folosind formula:

Prin baze și linia laterală, aria trapezului cu un cerc inscripționat și prin baze și linia mediană - m se calculează după cum urmează:

Aria unui trapez dreptunghiular

Se numește un trapez dreptunghiular, în care una dintre laturile laterale este perpendiculară pe baze. În acest caz, lungimea laterală coincide cu înălțimea trapezului.

Un trapez dreptunghiular este un pătrat și un triunghi. După ce ați găsit aria fiecărei forme, adăugați rezultatele pentru a obține aria totală a formei.

De asemenea, pentru a calcula aria unui trapez dreptunghiular, sunt potrivite formulele generale pentru calcularea ariei unui trapez.

Dacă lungimile bazelor și înălțimea (sau latura perpendiculară) sunt cunoscute, atunci aria se calculează prin formula:

S \u003d (a + b) * h / 2

H (înălțimea) poate fi partea c. Apoi formula arată astfel:

S \u003d (a + b) * c / 2

O altă modalitate de a calcula suprafața este de a înmulți lungimea liniei centrale cu înălțimea:

sau de lungimea laturii perpendiculare laterale:

Următorul mod de calcul este prin jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci formula este simplificată pentru:

S \u003d ½ * d1 * d2

Un alt mod de a calcula este printr-un semi-perimetru (suma lungimilor a două laturi opuse) și raza cercului înscris.

Această formulă este valabilă din motive. Dacă luăm lungimile laturilor, atunci una dintre ele va fi egală cu dubla rază. Formula va arăta astfel:

S \u003d (2r + c) * r

Dacă un cerc este înscris în trapez, atunci aria se calculează în același mod:

unde m este lungimea liniei medii.

Zona trapezoidală curbată

Un trapezoid curbiliniar este o figură plană mărginită de graficul unei funcții continue non-negative y \u003d f (x), definită pe un segment, de axa abscisei și de liniile drepte x \u003d a, x \u003d b. De fapt, cele două laturi ale sale sunt paralele între ele (baze), a treia parte este perpendiculară pe baze, iar a patra este o curbă corespunzătoare graficului funcției.

Aria unui trapez curbat este căutată prin integrală prin formula Newton-Leibniz:

Astfel se calculează suprafețele diferitelor tipuri de trapezoide. Dar, pe lângă proprietățile laturilor, trapezele au aceleași proprietăți ale unghiurilor. Ca și în toate patrulaterele existente, suma unghiurilor interioare ale unui trapez este de 360 \u200b\u200bde grade. Iar suma unghiurilor adiacente laterale este de 180 de grade.

Ce trebuie să știți despre trapez?

Pentru început, nu uitați asta trapez numit patrulater, care are două laturi opuse, se mai numesc baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Formule de suprafață pentru un trapez

Trapezoid isoscel

Un trapez, ale cărui laturi sunt egale, se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Exemple de sarcini

Sarcina numărul 1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică are 4 cm. Diagonalele sunt trasate în trapez, una lungă de 12 cm, cealaltă lungime de 9 cm.

Vom lua în considerare două figuri obținute ca urmare a acestor manipulări: triunghiul ARX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX \u003d MC \u003d 12 cm și CX \u003d MR \u003d 4cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Toate acestea vă vor permite să afirmați că S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Astfel, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Concluzie

Asigurați-vă că distribuiți acest articol colegilor de clasă și prietenilor dvs. pe rețelele sociale. Să existe mai multe note bune pentru USE și GIA!

site-ul blogului, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Găsiți zona unui calculator online trapezoidal. Toate opțiunile pentru găsirea zonei unui trapez

Ce trebuie să știți despre trapez?

Formule de suprafață pentru un trapez

Trapezoid isoscel

Formula pentru aria unui trapez curbat

Exemple de sarcini

Concluzie

Sfat 2: Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă zona este cunoscută

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui trapez dacă bazele sunt cunoscute

Tutor matematic Tehnici speciale.

Sarcini în zona trapezului:

Zona trapezului

Aria unui trapez isoscel

Zona trapezoidală curbată

Ce trebuie să știți despre trapez?

Formule de suprafață pentru un trapez

Trapezoid isoscel

Formula pentru aria unui trapez curbat

Exemple de sarcini

Concluzie

Recent

Trebuie să știți