Care este formula pentru găsirea zonei unui triunghi. Zona triunghiului - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Triunghiul este cea mai simplă formă geometrică care are trei laturi și trei vârfuri. Datorită simplității sale, triunghiul a fost folosit din cele mai vechi timpuri pentru a efectua diverse măsurători, iar astăzi figura poate fi utilă pentru rezolvarea problemelor practice și cotidiene.

Caracteristici ale triunghiului

Figura a fost folosită din cele mai vechi timpuri pentru calcule, de exemplu, inspectorii și astronomii operează pe proprietățile triunghiurilor pentru a calcula zonele și distanțele. Este ușor de exprimat zona oricărui n-gon prin zona acestei figuri, iar această proprietate a fost folosită de oamenii de știință antici pentru a obține formule pentru zonele poligonilor. Munca constantă cu triunghiuri, în special cu un triunghi dreptunghiular, a devenit baza unei întregi ramuri a matematicii - trigonometria.

Geometria triunghiului

Proprietățile figurii geometrice au fost studiate încă din cele mai vechi timpuri: primele informații despre triunghi au fost găsite în papirusurile egiptene acum 4000 de ani. Apoi, figura a fost studiată în Grecia Antică, iar cea mai mare contribuție la geometria triunghiului a fost realizată de Euclid, Pitagora și Heron. Studiul triunghiului nu s-a oprit niciodată, iar în secolul 18 Leonhard Euler a introdus conceptul de ortocentru al unei figuri și al cercului lui Euler. La sfârșitul secolelor XIX și XX, când părea că se știe absolut totul despre triunghi, Frank Morley a formulat o teoremă pe trisectricele unui unghi, iar Vaclav Sierpinski a propus un triunghi fractal.

Există mai multe tipuri de triunghiuri plate, cunoscute pentru noi de la cursul de geometrie școlară:

• acut-unghi - toate colțurile figurii sunt ascuțite;
• obtuză - forma are un unghi obtuz (mai mult de 90 de grade);
• dreptunghiulară - figura conține un unghi drept egal cu 90 de grade;
• izoscel - un triunghi cu două laturi egale;
• echilateral - un triunghi cu toate laturile egale.
• În viața reală, există tot felul de triunghiuri, iar în unele cazuri este posibil să fie nevoie să calculăm aria unei figuri geometrice.

Zona unui triunghi

Zona este o estimare a cât de mult se limitează forma unui plan. Zona unui triunghi poate fi găsită în șase moduri, care operează cu laturi, înălțime, unghiuri, inscripționate sau circumscriu raza, precum și folosind formula lui Heron sau calculând dubla integrală de-a lungul liniilor care au legat planul. Cea mai simplă formulă pentru calcularea ariei unui triunghi arată astfel:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea sa.

Cu toate acestea, în practică, nu ne este întotdeauna convenabil să găsim înălțimea unei figuri geometrice. Algoritmul calculatorului nostru vă permite să calculați zona, știind:

• trei laturi;
• două părți și un unghi între ele;
• o parte și două colțuri.

Pentru a determina zona pe trei laturi, folosim formula Heron:

S \u003d sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

unde p este semiperimetrul triunghiului.

Calculul suprafeței de pe ambele părți și colț se realizează după formula clasică:

S \u003d a × b × sin (alfa),

unde alfa este unghiul dintre laturile a și b.

Pentru a determina zona printr-o parte și două colțuri, utilizăm raportul care:

a / sin (alfa) \u003d b / sin (beta) \u003d c / sin (gamma)

Folosind o proporție simplă, determinăm lungimea celei de-a doua părți, apoi calculăm aria folosind formula S \u003d a × b × sin (alfa). Acest algoritm este complet automat și trebuie doar să introduceți variabilele specificate și să obțineți rezultatul. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple de viață reală

Pavaje plăci

Să zicem că doriți să pavați podeaua cu dale triunghiulare, iar pentru a determina cantitatea de material necesară, trebuie să cunoașteți zona unei plăci și zona podelei. Să presupunem că trebuie să prelucrați 6 metri pătrați de suprafață folosind plăci, ale căror dimensiuni sunt a \u003d 20 cm, b \u003d 21 cm, c \u003d 29 cm. Evident, pentru a calcula aria unui triunghi, calculatorul utilizează formula lui Heron și va da rezultatul:

Astfel, suprafața unui element de țiglă este de 0,021 metri pătrați, iar pentru îmbunătățirea podelei veți avea nevoie de 6 / 0,021 \u003d 285 triunghiuri. Numerele 20, 21 și 29 alcătuiesc trei - numere care sunt satisfăcătoare. Și pe bună dreptate, calculatorul nostru a calculat și toate unghiurile triunghiului, iar unghiul gamma este exact 90 de grade.

Sarcina școlară

Într-o problemă de școală, este necesar să se găsească aria unui triunghi, știind că latura este a \u003d 5 cm, iar unghiurile alfa și beta ale plăgii sunt de 30, respectiv 50 de grade. Pentru a rezolva manual această problemă, am găsi mai întâi valoarea laturii b folosind proporția raportului de aspect și a sinelor din unghiurile opuse, apoi vom determina zona folosind formula simplă S \u003d a × b × sin (alfa). Să economisim timp, să introducem datele în formularul calculatorului și să obținem un răspuns instantaneu

Când folosiți calculatorul, este important să indicați corect unghiurile și laturile, altfel rezultatul va fi incorect.

Concluzie

Triunghiul este o figură unică care poate fi găsită atât în \u200b\u200bviața reală, cât și în calcule abstracte. Folosiți calculatorul nostru online pentru a găsi zona oricărui tip de triunghi.

Instrucțiuni

Petreceri iar colțurile sunt considerate elemente de bază și... Un triunghi este complet definit de oricare dintre următoarele elemente de bază: fie prin trei laturi, fie de o parte și două colțuri, fie de două laturi și un unghi între ele. Pentru existență triunghidat de trei părți a, b, c, este necesar și suficient pentru a satisface inegalitățile, numite inegalități triunghi:
a + b\u003e c,
a + c\u003e b,
b + c\u003e a.

Pentru construcție triunghi pe trei laturi a, b, c, este necesar din punctul C al segmentului CB \u003d a cum să desenăm un cerc cu o busolă cu raza b. Apoi, în același mod, desenați un cerc din punctul B cu o rază egală cu latura c. Punctul lor de intersecție A este al treilea vertex al doritului triunghi ABC, unde AB \u003d c, CB \u003d a, CA \u003d b - laturi triunghi... Problema este dacă părțile a, b, c satisfac inegalitățile triunghi specificat la pasul 1.

Zona S construită în acest fel triunghi ABC cu laturile cunoscute a, b, c, se calculează după formula lui Heron:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
unde a, b, c - laturi triunghi, p este un semiperimetru.
p \u003d (a + b + c) / 2

Dacă un triunghi este echilateral, adică toate laturile sale sunt egale (a \u003d b \u003d c). triunghi calculat după formula:
S \u003d (a ^ 2 v3) / 4

Dacă triunghiul este dreptunghiular, adică unul dintre colțurile sale este de 90 °, iar laturile care îl formează sunt picioare, a treia parte este hipotenuză. În acest caz zonă este egal cu produsul picioarelor împărțit la două.
S \u003d ab / 2

A găsi zonă triunghi, puteți utiliza una dintre numeroasele formule. Alegeți formula în funcție de ce date sunt deja cunoscute.

Vei avea nevoie

• cunoașterea formulelor pentru găsirea zonei unui triunghi

Instrucțiuni

Dacă cunoașteți amploarea uneia dintre laturi și mărimea înălțimii coborâtă în această parte din colțul opus, atunci puteți găsi zona cu următoarele: S \u003d a * h / 2, unde S este aria triunghiului, a este una dintre laturile triunghiului, iar h - înălțime, spre partea a.

Există o modalitate cunoscută de a determina aria unui triunghi dacă sunt cunoscute cele trei laturi ale acestuia. Ea este formula Heron. Pentru a simplifica înregistrarea, se introduce o valoare intermediară - un semi-perimetru: p \u003d (a + b + c) / 2, unde a, b, c -. Atunci formula lui Heron este următoarea: S \u003d (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ exponențiere.

Să presupunem că cunoașteți o parte a unui triunghi și trei unghiuri. Atunci este ușor de găsit zona triunghiului: S \u003d a²sinα sinγ / (2sinβ), unde β este unghiul opus față de latura a, iar α și γ sunt unghiurile adiacente laturii.

Videoclipuri similare

Notă

Cea mai generală formulă care funcționează pentru toate cazurile este cea a lui Heron.

surse:

Sfat 3: Cum puteți găsi aria unui triunghi pe trei laturi

Găsirea zonei unui triunghi este una dintre cele mai frecvente sarcini în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale și triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimea a două și, respectiv, a unei laturi.

Vei avea nevoie

• lungimi laterale ale triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instrucțiuni

Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Dacă pictăm semiperimetrul p, obținem: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Puteți deriva, de asemenea, o formulă pentru aria unui triunghi din considerente, de exemplu, aplicând teorema cosinusului.

Prin teorema cosinusului, AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Folosind denumirile introduse, acestea pot fi și sub forma: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Prin urmare, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Zona unui triunghi se găsește și prin formula S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 prin două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat în termenii acesteia folosind identitatea trigonometrică de bază: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC))) ^ 2). Substituind sinusul în formula zonei și notându-l, puteți veni la formula pentru zona unui triunghi ABC.

Videoclipuri similare

Pentru lucrările de reparații, poate fi necesară măsurarea zonă pereți. Acest lucru face mai ușor să calculați cantitatea necesară de vopsea sau tapet. Pentru măsurători, este mai bine să folosiți o bandă sau o bandă centimetrică. Măsurătorile trebuie efectuate după pereți au fost aliniate.

Vei avea nevoie

• -ruletă;
• -scară.

Instrucțiuni

A număra zonă pereți, trebuie să știți înălțimea exactă a plafoanelor și să măsurați și lungimea de-a lungul podelei. Acest lucru se face după cum urmează: luați un centimetru, așezați-l peste tabla de bază. De obicei, un centimetru nu este suficient pentru întreaga lungime, așa că fixați-l în colț, apoi dezlegați-vă la lungimea maximă. În acest moment, marcați cu un creion, notați rezultatul obținut și efectuați măsurători în același mod, începând de la ultimul punct de măsurare.

Plafoane standard în tipic - 2 metri 80 centimetri, 3 metri și 3 metri 20 centimetri, în funcție de casă. Dacă casa a fost construită înainte de anii 50, atunci, cel mai probabil, înălțimea reală este puțin mai mică decât cea indicată. Dacă calculezi zonă pentru lucrările de reparații, atunci un stoc mic nu va strica - luați în considerare pe baza standardului. Dacă mai trebuie să știți înălțimea reală - luați măsurători. Principiul este similar cu măsurarea lungimii, dar este necesară o scăriță.

Înmulțiți indicatorii obținuți - acesta este zonă ta pereți... Adevărat, atunci când pictează sau pentru este necesar să se deducă zonă deschideri de uși și ferestre. Pentru a face acest lucru, așezați un centimetru de-a lungul deschiderii. Dacă vorbim despre o ușă pe care ulterior o veți modifica, atunci cheltuiți cu rama ușii scoasă, luând în considerare doar zonă direct deschiderea în sine. Zona ferestrei este calculată de-a lungul perimetrului cadrului său. După zonă fereastra și ușa sunt calculate, scade rezultatul din suprafața totală a camerei obținute.

Vă rugăm să rețineți că măsurătorile lungimii și lățimii camerei sunt efectuate împreună, astfel încât este mai ușor să fixați un centimetru sau o bandă și, în consecință, să obțineți un rezultat mai precis. Efectuați aceeași măsură de mai multe ori pentru a vă asigura că numerele sunt corecte.

Videoclipuri similare

Găsirea volumului unui triunghi este într-adevăr o sarcină non-banală. Ideea este că un triunghi este o figură bidimensională, adică. se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu puteți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Se poate face următoarea presupunere - volumul unei figuri bidimensionale este aria sa. Vom căuta zona triunghiului.

Vei avea nevoie

• foaie de hârtie, creion, riglă, calculator

Instrucțiuni

Desenați o bucată de hârtie folosind o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, puteți să vă asigurați că într-adevăr nu, întrucât este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: lăsați o parte să fie latura a, cealaltă latura b și a treia latură c. Etichetați vârfurile triunghiului cu literele „A”, „B” și „C”.

Măsurați ambele părți ale triunghiului cu o riglă și scrieți rezultatul. După aceea, restabiliți perpendicular pe latura măsurată de la vertexul opus, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, perpendiculara "h" este restabilită pe partea "c" de la vertexul "A". Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și înregistrați măsurarea.

Este posibil să vă fie dificil să reconstruiți exact perpendicularul. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. Apoi calculați jumătatea perimetrului triunghiului "p" adăugând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor la jumătate. Având la dispoziție valoarea unei jumătăți de perimetru, puteți utiliza formula Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să extrageți rădăcina pătrată dintre următoarele: p (p-a) (p-b) (p-c).

Ați obținut aria necesară a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar după cum am menționat mai sus, volumul nu este. Puteți găsi volumul, care este în esență un triunghi într-o lume tridimensională. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru original a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale în funcție de aria triunghiului pe care l-am obținut.

Notă

Calculele vor fi cu atât mai exacte, cu cât măsurați mai atent.

surse:

• În totalitate, portalul valorilor de referință
• volumul unui triunghi în 2019

Trei puncte care definesc în mod unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile sale. Cunoscând poziția lor în raport cu fiecare dintre axe de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei cifre plane, inclusiv cel limitat de perimetrul său zonă... Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Folosiți formula Heron pentru a calcula zona triunghi... Utilizează dimensiunile celor trei fețe ale formei, deci începeți calculul cu. Lungimea fiecărei părți trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axe de coordonate. Dacă notăm coordonatele A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) și C (X₃, Y₃, Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate astfel: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semi-perimetru (P). Din aceasta, este jumătate din suma lungimilor tuturor părților: Р \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Un triunghi este o figură geometrică care constă din trei linii drepte care se conectează în puncte care nu se află pe o linie dreaptă. Punctele de conectare a liniilor drepte sunt vârfurile unui triunghi, care sunt notate cu litere latine (de exemplu, A, B, C). Conectarea triunghiurilor drepte se numesc segmente de linie, care sunt, de asemenea, notate cu litere latine. Se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• Obtuz.
• Ascutitunghic.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula pentru aria unui triunghi după lungime și înălțime

S \u003d a * h / 2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărei zonă trebuie găsită, h este lungimea înălțimii trase către bază.

Formula lui Heron

S \u003d √p * (p-a) * (p-b) * (p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este jumătatea perimetrului triunghiului, a, b, c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Jumătatea perimetrului unui triunghi poate fi calculată folosind formula p \u003d (a + b + c) / 2.

Formula pentru aria unui triunghi după unghiul și lungimea segmentului

S \u003d (a * b * sin (α)) / 2,
unde b, c este lungimea laturilor triunghiului, sin (α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi de-a lungul razei cercului înscris și a trei laturi

S \u003d p * r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă doriți să găsiți, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi pe trei laturi și raza unui cerc circumscris în jurul lui

S \u003d (a * b * c) / 4 * R,
unde a, b, c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza unui cerc circumscris în jurul triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi prin coordonate carteziene de puncte

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este o abscisă, y este o ordonată. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan se numește axe numerice reciproc perpendiculare Oх și Oy cu o origine comună la punctul O. Dacă coordonatele punctelor de pe acest plan sunt date sub forma A (x1, y1), B (x2, y2) și C (x3, y3) ), atunci puteți calcula aria unui triunghi folosind următoarea formulă, care este obținută din produsul încrucișat al doi vectori.
S \u003d | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) | / 2,
unde || denotă un modul.

Cum se găsește zona unui triunghi drept

Un triunghi cu unghi drept este un triunghi care are un unghi de 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru zona unui triunghi drept în două picioare

S \u003d a * b / 2,
unde a, b este lungimea picioarelor. Partile laterale sunt numite laturi adiacente unui unghi drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghiular prin hipotenuză și unghi acut

S \u003d a * b * sin (α) / 2,
unde a, b sunt picioarele triunghiului, iar sin (α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile drepte a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghiular în raport cu piciorul și unghiul opus

S \u003d a * b / 2 * bronzat (β),
unde a, b sunt picioarele triunghiului, tg (β) este tangenta unghiului la care sunt conectate picioarele a, b.

Cum se calculează aria unui triunghi izoscel

Un triunghi izoscel este un triunghi care are două laturi egale. Aceste laturi sunt numite laturi, iar cealaltă parte este baza. Puteți utiliza una dintre următoarele formule pentru a calcula aria unui triunghi izoscel.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi izoscel

S \u003d h * c / 2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului căzut la bază.

Formula triunghiului isoscel pentru partea și baza

S \u003d (c / 2) * √ (a * a - c * c / 4),
unde c este baza triunghiului, a este mărimea uneia dintre laturile laterale ale unui triunghi izoscel.

Cum se găsește aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți utiliza următoarea formulă:
S \u003d (√3 * a * a) / 4,
unde a este lungimea laterală a unui triunghi echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria dorită a triunghiului. Este important să rețineți că pentru a calcula aria triunghiurilor, trebuie să luați în considerare tipul de triunghi și datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Triunghiul este o figură cunoscută tuturor. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Dreptunghiular, echilateral, unghi acut, izoscel, unghi obtuz. Fiecare dintre ele este diferit într-un fel. Dar pentru oricine, trebuie să știți zona unui triunghi.

Formule comune tuturor triunghiurilor care folosesc lungimi laterale sau înălțimi

Denumiri utilizate în ele: laturi - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare n a, n v, n s.

1. Zona unui triunghi este calculată ca produsul a ½, latura și înălțimea scăzută pe el. S \u003d ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formulele pentru celelalte două părți.

2. Formula lui Heron, în care apare semimetrul (este obișnuit să-l denotăm cu o literă mică p, spre deosebire de perimetrul complet). Semi-perimetrul trebuie calculat după cum urmează: adăugați toate laturile și împărțiți-le cu 2. Formula semi-perimetrului: p \u003d (a + b + c) / 2. Apoi, egalitatea pentru aria figurii arată astfel: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să folosiți un semi-perimetru, atunci o formulă în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Este ceva mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat să găsiți un semi-perimetru.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Denumiri care sunt necesare pentru a citi formulele: unghiuri α, β, γ. Ele se află în laturile opuse a, b, c, respectiv.

1. Potrivit acestuia, jumătate din produsul din două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S \u003d ½ a * b * sin γ. În mod similar, ar trebui să scrieți formule pentru celelalte două cazuri.

2. Zona unui triunghi poate fi calculată dintr-o parte și trei unghiuri cunoscute. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există, de asemenea, o formulă cu o latură cunoscută și două colțuri adiacente. Arată astfel: S \u003d c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai ușoare. Este greu să le amintim.

Formule generale pentru o situație în care razele cercurilor înscrise sau circumscrise sunt cunoscute

Desemnări suplimentare: r, R - raze. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă folosită pentru calcularea ariei unui triunghi este asociată cu un semiperimetru. S \u003d p * r. În alt mod, se poate scrie astfel: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. În cel de-al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți de raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literari, arată astfel: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație vă permite să faceți fără a cunoaște laturile, dar aveți nevoie de valorile celor trei unghiuri. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghi

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Ele sunt notate prin literele latine a și b. Zona unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din aria dreptunghiului completat la acesta.

Matematic, arată așa: S \u003d ½ a * b. Este cea mai ușor de reținut. Deoarece pare a fi formula pentru aria unui dreptunghi, doar mai există o fracțiune care înseamnă jumătate.

Caz special: triunghi izoscel

Deoarece cele două părți ale sale sunt egale, unele formule pentru zona sa arată oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care este utilizată pentru a calcula aria unui triunghi izoscel, ia următoarea formă:

S \u003d ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Dacă îl transformi, atunci va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S \u003d ¼ în √ (4 * a 2 - b 2).

Formula de zonă pare ceva mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar dacă se cunosc laturile și unghiul dintre ele. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, în probleme este cunoscută o parte despre el sau poate fi descoperită într-un fel. Atunci formula prin care se găsește aria unui astfel de triunghi este următoarea:

S \u003d (a 2 √3) / 4.

Probleme de găsire a zonei, în cazul în care triunghiul este reprezentat pe hârtie cu carouri

Cea mai simplă situație este atunci când este trasat un triunghi în unghi drept, astfel încât picioarele sale să coincidă cu liniile hârtiei. Atunci trebuie doar să numeri numărul de celule care se încadrează în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le cu două.

Când triunghiul este unghi unghi acut sau obturat, acesta trebuie desenat pe un dreptunghi. Atunci cifra rezultată va avea 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Determinați zona ultimelor două prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculează aria dreptunghiului și scade din acesta cele calculate pentru cele auxiliare. A fost determinată aria triunghiului.

Mult mai complicată este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi, trebuie să fie înscris în dreptunghi, astfel încât vertexurile formei originale să se așeze pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri auxiliare în unghi drept.

Un exemplu de problemă pentru formula lui Heron

Condiție. Un anumit triunghi are laturi cunoscute. Ele sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Este necesar să cunoaștem zona sa.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată este produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică, zona este √ (4 * 14) \u003d 2 √ (14).

Dacă nu este necesară mai multă precizie, atunci rădăcina pătrată de 14. Este egală cu 3,74. Atunci suprafața va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S \u003d 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Exemplu de problemă cu un triunghi cu unghi drept

Condiție. Un picior al unui triunghi dreptunghic este mai mare cu 31 cm decât al doilea. Este necesar să se cunoască lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm2.
Decizie. Va trebui să rezolvăm un sistem de două ecuații. Primul este legat de zonă. Al doilea - cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
În primul rând, valoarea „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se dovedește: 180 \u003d ½ (în + 31) * in. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După extinderea parantezelor, se obține o ecuație patratică: la 2 + 31 la - 360 \u003d 0. Dă două valori pentru „la”: 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns, deoarece lungimea laturii unui triunghi nu poate fi negativă.

Rămâne să calculăm a doua etapă: adăugați 31 la numărul rezultat. Se dovedește 40. Acestea sunt valorile necesare în problemă.

Răspuns. Picioarele triunghiului au 9 și 40 cm.

Problema găsirii unei laturi prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă cealaltă parte este de 15 cm, iar unghiul dintre ele este de 30º.

Decizie. Pe baza denumirilor acceptate, partea dorită „a”, cunoscută „b”, unghiul dat „γ”. Atunci formula de zonă poate fi rescrisă după cum urmează:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, "a" se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Partea dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi drept

Condiție. Partea superioară a pătratului de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Celelalte două se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm. Care este aria unui triunghi cu unghi drept?

Decizie. Luați în considerare două triunghiuri în unghi drept. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe binecunoscutul picior al triunghiului inițial. Sunt similare, deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii paralele.

Atunci relația picioarelor lor este egală. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (piciorul dat este de 42 cm, scade partea pătratului de 24 cm). Picioarele corespunzătoare ale triunghiului mare sunt 42 cm și x cm. Este necesară această „x” pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 \u003d 24 / x, adică x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (cm).

Apoi suprafața este egală cu produsul de 56 și 42 împărțit la două, adică 1176 cm2.

Răspuns. Suprafața necesară este de 1176 cm2.

Zona triunghiului - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea zonei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea zonei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, aici sunt explicații privind utilizarea sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența desemnărilor de litere în formule și denumiri grafice din desen.

Notă ... Dacă un triunghi are proprietăți speciale (izoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele de mai jos, precum și formule speciale, care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

• "Formule pentru aria unui triunghi echilateral"

Formule de zonă pentru un triunghi

Explicații ale formulelor:
a, b, c - lungimile laturilor triunghiului, a cărei zonă dorim să le găsim
r - raza unui cerc înscris într-un triunghi
R - raza cercului circumscris în jurul triunghiului
h - înălțimea triunghiului coborât în \u200b\u200blateral
p - semi-perimetru al unui triunghi, 1/2 din suma laturilor sale (perimetru)
α - unghiul opus părții laterale a triunghiului
β - unghiul opus laturii b a triunghiului
γ - unghiul opus laturii c a triunghiului
h a, h b , h c - înălțimea triunghiului, coborâtă spre latura a, b, c

Vă rugăm să rețineți că denumirile date corespund cifrei de mai sus, astfel încât, atunci când rezolvați o problemă reală în geometrie, vă va fi mai ușor să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite ale formulei.

• Zona triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului cu lungimea laturii la care este înălțată această înălțime (Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă până la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă le completăm pe fiecare dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din suprafața dreptunghiului (Sпр \u003d bh)
• Zona triunghiului este jumătate din produsul celor două părți ale acestuia prin sinusul unghiului dintre ele (Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă de mai jos). În ciuda faptului că pare spre deosebire de cel precedent, acesta poate fi transformat cu ușurință în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, se dovedește că produsul laturii a prin sinusul unghiului γ în funcție de proprietățile sinusului dintr-un triunghi drept este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat, ceea ce ne va oferi formula anterioară
• Zona unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin compoziţiejumătate din raza cercului înscris cu suma lungimilor tuturor laturilor sale (Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să înmulțiți semi-perimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
• Zona unui triunghi arbitrar poate fi găsită împărțind produsul din toate părțile sale la 4 raze ale cercului circumscris din jurul său (Formula 4)
• Formula 5 reprezintă găsirea zonei unui triunghi pe lungimile laturilor și semiperimetrul său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron (6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a utiliza conceptul de semiperimetru, numai pe lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul pătratului laturii triunghiului de către sinele unghiurilor adiacente acestei părți împărțite prin dubla sinusă a unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Zona unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate dintr-un cerc circumscris în jurul lui de sinele fiecăruia dintre colțurile sale. (Formula 8)
• Dacă se cunoaște lungimea unei părți și amploarea celor două unghiuri adiacente, atunci zona unui triunghi poate fi găsită ca pătratul acestei părți, împărțită la suma dublă a cotangentelor acestor unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște doar lungimea fiecăreia dintre înălțimile triunghiului (Formula 10), atunci un astfel de triunghi este invers proporțional cu lungimile acestor înălțimi, cum este conform Formulei lui Heron
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi prin coordonatele vârfurilor sale, care sunt date ca valori (x; y) pentru fiecare dintre vârfurile. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vertexurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în intervalul valorilor negative

Notă... Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă în geometrie, care nu este similară cu cea care nu este aici - scrieți despre asta pe forum. În soluții, în loc de simbolul „rădăcină pătrată”, se poate utiliza funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicală este indicată între paranteze.. Uneori pentru expresii radicale simple simbolul √

O sarcină. Găsiți zona de-a lungul a două părți și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 și 6 cm. Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți zona unui triunghi.

Decizie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Zona unui triunghi poate fi găsită pe lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S \u003d 1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru soluție (conform formulei), trebuie doar să înlocuim valorile din starea problemei în formulă:
S \u003d 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul valorilor funcțiilor trigonometrice, găsim și înlocuim valoarea sinusului 60 grade în expresie. Acesta va fi egal cu rădăcina de la trei la doi.
S \u003d 15 √3 / 2

Răspuns: 7.5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, puteți lăsa probabil 15 √3 / 2)

O sarcină. Găsiți zona unui triunghi echilateral

Găsiți aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Decizie.

Zona unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Deoarece a \u003d b \u003d c formula pentru aria unui triunghi echilateral va lua forma:

S \u003d √3 / 4 * a 2

S \u003d √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

O sarcină. Schimbarea zonei la schimbarea lungimii laturilor

De câte ori suprafața triunghiului va crește dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Decizie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, atunci pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria acestui triunghi, iar apoi vom găsi aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre zonele acestor triunghiuri ne va da răspunsul la problemă.

Mai jos este o explicație textuală a soluției problemei în pași. Cu toate acestea, la sfârșit, această aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai ușor de citit. Cei interesați pot coborî imediat soluția.

Pentru a rezolva problema, folosim formula lui Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arată astfel:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(vezi prima linie a figurii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt date de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci noul triunghi c va fi:

S 2 \u003d 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform regulilor generale ale matematicii.
Apoi

S 2 \u003d 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pe a treia linie a figurii
S 2 \u003d 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată este extrasă perfect din numărul 256, așa că o scoatem de sub rădăcină
S 2 \u003d 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 \u003d 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(a se vedea a cincea linie a figurii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat pe aria originalului.
Determinați raporturile ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.