Modely systémů front. Jednokanálový model s Poissonovým vstupním tokem s exponenciálním rozložením doby trvání služby
QS s poruchami (jednokanálové a vícekanálové)
Nejjednodušší jednokanálový model s pravděpodobnostním vstupním tokem a servisním postupem je model, který „může být charakterizován exponenciálním rozdělením doby intervalu mezi nároky a rozdělením doby trvání služby“. V tomto případě má distribuční hustota trvání intervalů mezi příchody nároků formu:
f 1 (t) \u003d l * e (-l * t), (1)
kde l je intenzita nároků vstupujících do systému (průměrný počet nároků vstupujících do systému za jednotku času). Hustota distribuce trvání služby:
f 2 (t) \u003d µ * e-µ * t, µ \u003d 1 / t rev, (2)
kde µ je intenzita služby, t je průměrná doba služby jednoho klienta. Relativní propustnost servisních nároků vůči všem příchozím nárokům se vypočítá podle vzorce:
Tato hodnota se rovná pravděpodobnosti, že servisní kanál je volný. Absolutní propustnost (A) - průměrný počet požadavků, které systém front může obsloužit za jednotku času:
Tuto hodnotu P lze interpretovat jako průměrný podíl neřízených příkazů.
Příklad. Nechte jednokanálový systém s poruchami představovat jednu denní čerpací stanici pro mytí aut. Žádost - auto, které dorazilo v době, kdy je obsazeno místo - obdrží odmítnutí služby. Průtok automobilu l \u003d 1,0 (auto za hodinu). Průměrná doba provozu t asi \u003d 1,8 hodiny. Je nutné stanovit v ustáleném stavu mezní hodnoty: relativní propustnost q;
- - absolutní výkon A;
- - pravděpodobnost selhání P.
Určme intenzitu toku služeb pomocí vzorce 2: Vypočítejme relativní propustnost: q \u003d. Hodnota q znamená, že v ustáleném stavu bude systém obsluhovat přibližně 35% automobilů přicházejících na stanoviště. Absolutní propustnost je určena vzorcem: A \u003d lHq \u003d 1H0,356 \u003d 0,356. To svědčí o tom, že systém je schopen provádět průměrně 0,356 vozidel za hodinu. Pravděpodobnost selhání: P otevřeno \u003d 1-q \u003d 1-0,356 \u003d 0,644. To znamená, že přibližně 65% vozidel, která dorazí na stanoviště EO, bude odepřena služba. Definujme nominální propustnost tohoto systému A nom: A nom \u003d (auta za hodinu).
Ve většině případů je však frontový systém vícekanálový, to znamená, že několika požadavkům lze vyhovět současně. Proces QS popsaný tímto modelem je charakterizován intenzitou vstupního toku l, zatímco paralelně nelze obsluhovat více než n klientů. Průměrná doba obsluhy jednoho požadavku je 1 / m. „Provozní režim obslužného kanálu nemá vliv na provozní režim ostatních obslužných kanálů systému a doba trvání servisního postupu pro každý z kanálů je náhodná proměnná podléhající zákonu exponenciálního rozdělení. Konečným cílem použití paralelně připojených servisních kanálů je zvýšit rychlost požadavků na servis současným obsluhováním n klientů. ““ Řešením takového systému je:
Vzorce pro výpočet pravděpodobnosti se nazývají Erlangovy vzorce. Určme pravděpodobnostní charakteristiky fungování vícekanálového QS se selháním ve stacionárním režimu. Pravděpodobnost selhání P otevřeno se rovná:
P otevřeno \u003d P n \u003d * P 0. (7)
Aplikace je odmítnuta, pokud dorazí v době, kdy jsou všechny kanály zaneprázdněny. Hodnota P obt charakterizuje úplnost služby příchozího toku; pravděpodobnost, že žádost bude přijata ke službě (je to také relativní kapacita systému), doplňuje P otk k jednomu:
Absolutní šířka pásma
Průměrný počet kanálů v provozu () je následující:
Hodnota charakterizuje stupeň zatížení systému front. Příklad. Nechť n-kanál QS představuje výpočetní centrum se třemi (n \u003d 3) zaměnitelnými počítači pro řešení příchozích problémů. Tok úkolů přicházejících do CC má intenzitu l \u003d 1 úkol za hodinu. Průměrná doba provozu t asi \u003d 1,8 hodiny.
Chcete vypočítat hodnoty:
- - pravděpodobnost počtu obsazených CC kanálů;
- - pravděpodobnost odmítnutí žádosti vyhovět;
- - relativní propustnost CC;
- - absolutní výkon CC;
- - průměrný počet zaměstnaných počítačů v počítačovém centru.
Definujme parametr m toku služeb:
Snížená intenzita toku aplikací:
Nacházíme omezující pravděpodobnost stavů podle Erlangových vzorců:
Pravděpodobnost odmítnutí doručení žádosti:
Relativní propustnost VTS:
Absolutní propustnost CC:
Průměrný počet obsazených kanálů - PC:
Při ustáleném stavu provozu systému QS bude tedy obsazeno průměrně 1,5 počítače ze tří - zbývající jeden a půl bude nečinný. Propustnost VC pro dané l a m lze zvýšit pouze zvýšením počtu PC.
Daný: systém má jeden servisní kanál, který přijímá nejjednodušší tok požadavků s intenzitou. Tok služeb je intenzivní. Požadavek, který zjistil, že je systém zaneprázdněn, jej okamžitě opustí.
Najít: absolutní a relativní propustnost QS a pravděpodobnost, že nárok přijatý v čase t bude zamítnut.
Systém pro všechny t \u003e 0 může být ve dvou stavech: S 0 - kanál je volný; S 1 - kanál je zaneprázdněn. Přechod z S 0 palců S 1 je spojen s výskytem aplikace a okamžitým zahájením její služby. Přechod z S 1 palce S 0 se provede, jakmile je dokončena další služba (obr. 9).
Obr. Stavový graf jednokanálového QS s poruchami
Výstupní charakteristiky (výkonnostní charakteristiky) této a dalších QS budou uvedeny bez závěrů a důkazů.
(průměrný počet doručených žádostí za jednotku času):
kde je intenzita toku aplikací (reciproční průměrný časový interval mezi příchozími aplikacemi -); - intenzita toku služeb (reciproční průměrná doba provozu).
Relativní šířka pásma (průměrný podíl žádostí obsluhovaných systémem):
Pravděpodobnost selhání (pravděpodobnost, že aplikace opustí CMO bez dozoru):
Jsou zřejmé následující vztahy: a.
N - kanál QS se selháním (Erlang problém). Toto je jeden z prvních problémů teorie front. Vyplývalo z praktických potřeb telefonování a na začátku 20. století jej vyřešil dánský matematik Erlang.
Daný: systém má n - kanály, které přijímají tok požadavků s intenzitou. Tok služeb je intenzivní. Požadavek, který zjistil, že je systém zaneprázdněn, jej okamžitě opustí.
Najít: absolutní a relativní propustnost systému; pravděpodobnost, že nárok dorazí v okamžiku t, bude odmítnuto; průměrný počet aplikací obsluhovaných současně (jinými slovy průměrný počet zaneprázdněných kanálů).
Rozhodnutí... Stav systému S (QS) se čísluje podle maximálního počtu požadavků v systému (shoduje se s počtem obsazených kanálů):
· S 0 - v SOT nejsou žádné aplikace;
· S 1 - v QS je jeden požadavek (jeden kanál je zaneprázdněn, zbytek je volný);
· S 2 - v QS jsou dva požadavky (dva kanály jsou zaneprázdněny, zbytek je volný);
· S n - existuje n - aplikace (všechny n - kanály jsou zaneprázdněny).
Graf stavu QS je znázorněn na Obr. deset.
Obr. Stavový graf pro n - kanál QS s poruchami
Proč je takto označen státní graf? Ze státu S 0 do stavu S 1, systém přenáší tok požadavků s intenzitou (jakmile se požadavek objeví, systém se přepne z S 0 palců S 1). Pokud byl systém ve stavu S 1 a dorazila další žádost, pak jde do stavu S 2 atd.
Proč jsou spodní šipky (grafové oblouky) tak intenzivní? Nechte systém být ve stavu S 1 (funguje jeden kanál). Produkuje služby za jednotku času. Proto je oblouk přechodu od státu S 1 ve stavu S 0 je načten s intenzitou. Nyní nechte systém ve stavu S 2 (fungují dva kanály). Aby ji přivedla S 1, je nezbytné, aby první kanál dokončil servis, nebo druhý. Celková intenzita jejich toků je stejná atd.
Výstupní charakteristiky (charakteristiky účinnosti) této QS jsou definovány následovně.
Absolutní šířka pásma:
kde n - počet kanálů CMO; Je pravděpodobnost nalezení QS v počátečním stavu, když jsou všechny kanály volné (konečná pravděpodobnost nalezení QS ve stavu S 0);
Chcete-li napsat vzorec pro definici, zvažte obr. 11.
Obr. Státní graf pro schéma smrti a reprodukce
Graf zobrazený na tomto obrázku se také nazývá stavový graf pro schéma „smrt a reprodukce“. Nejprve napíšeme obecný vzorec pro (bez důkazu):
Mimochodem, ostatní konečné pravděpodobnosti stavů QS jsou psány následovně.
Pravděpodobnost, že QS je ve stavu S 1, když je jeden kanál zaneprázdněn.
Jednokanálový systém převzetí služeb při selhání.
Předpokládejme, že QS sestává z jednoho servisního kanálu a Poissonův tok nároků dorazí na jeho vstup s intenzitou X, tj. kontinuální náhodná proměnná T - doba mezi sousedními zákazníky je distribuována exponenciálně, doba služby každého zákazníka má stejné rozdělení s parametrem p. Parametry X a p se nazývají rychlost toku poptávky a rychlost toku služby.
Systém hromadné obsluhy může být v jednom ze dvou stavů: s 0 - kanál je volný (nečinný) nebo s, - kanál je zaneprázdněn. Ze stavu s 0 do stavu s, systém přenáší tok příchozích nároků a ze stavu s do stavu s 0 - tok služeb. Pravděpodobnostní hustoty přechodů ze stavu 0 do stavu s ( a zadní jsou stejné X a str.
Graf stavu QS je znázorněn na Obr. 1.5.
Postava:
ve stavu s 0 nebo s t. Normalizační podmínka p 0 (t) + Pi (t) \u003d 1 je samozřejmě platná.
S ohledem na to, že náhodný proces vyskytující se v QS je Markov, pravděpodobnosti p 0 (t) a pj (t) lze určit ze systému Kolmogorovových rovnic:
Nahrazení normalizačních podmínek do tohoto systému vede k obyčejné diferenciální rovnici pro p 0 (t):
Za předpokladu, že v počátečním okamžiku t \u003d 0 je kanál volný, tj. P 0 (0) \u003d 1 a pj (0) \u003d 0, můžeme získat řešení rovnice (1.20) v následující formě:
Pomocí podmínky normalizace lze také nastavit výraz pro určení pj (t):
V omezujícím stacionárním režimu (at - »°°) má systém algebraických rovnic pravděpodobnosti stavů tvar: 
S ohledem na normalizační podmínku definujeme omezující pravděpodobnost stavů
Zvažte hlavní ukazatele výkonu jednokanálového systému QS s poruchami.
Protože pravděpodobnost obsluhy přijatých nároků v takovém systému je rovna p 0 a relativní výkon Q je roven poměru průměrného počtu obsluhovaných nároků k průměrnému počtu přijatých nároků za jednotku času, pak Q \u003d p 0, tj. Pro jednokanálový QS s odmítnutím
Absolutní propustnost QS je průměrný počet požadavků na jednotku času nebo intenzita odchozího toku:
Pravděpodobnost selhání v QS nastane, když je kanál zaneprázdněn, to je pravděpodobnost P!
Průměrná doba služby žádosti je vzájemná hodnota p:
Podobně můžete určit průměrnou dobu prostoje kanálu:
Průměrná doba setrvání aplikace v systému se vypočítá podle vzorce:
Příklad 1.4.Nejjednodušší tok hovorů s intenzitou X \u003d 1,5 objednávky za minutu. Kapacita linky p \u003d 0,4 volání za minutu. Hovor, který přišel na linku, když je zaneprázdněn, není obsluhován. Určete absolutní kapacitu linky, průměrnou dobu služby jednoho hovoru, pravděpodobnost odmítnutí služby, jakož i průměrnou dobu zdržení požadavku v systému.
Rozhodnutí. 1. Podle vzorců (1.27) - (1.31) získáme po provedení nezbytných výpočtů: A \u003d 0,32 volání / min; p otevřeno \u003d 0,79; t06cjl \u003d 2,5 min;
- 1 syst \u003d °\u003e 52 MIN -
- 2. Odhadované údaje naznačují, že pokud existuje jedno telefonní číslo, nebude CMO dobře zvládat tok aplikací.
Vícekanálová QS s poruchami.
Vstup systému s n kanály přijímá nejjednodušší tok nároků s intenzitou X, tok služeb každým kanálem je také nejjednodušší s intenzitou p.
Vyjmenujme stavy systému podle počtu zaneprázdněných kanálů (každý kanál v systému je buď volný, nebo slouží pouze jednomu požadavku).
Systém má následující stavy: kde s k -
stav systému, když jsou v něm nároky na k, tj. k kanály jsou zaneprázdněny.
Stavový graf takového systému odpovídá procesu smrti a reprodukce a je znázorněn na Obr. 1.6.
Postava: 1.6.
Tok nároků postupně přenáší systém z jakéhokoli levého stavu do sousedního pravého stavu se stejnou intenzitou na. Intenzita toku služeb, která přenáší systém z jakéhokoli pravého stavu do levého, se neustále mění v závislosti na stavu. Uvažujme například QS ve stavu 2, když jsou obsazeny dva kanály. Systém může přejít do stavu s t, když končí služba druhého nebo prvního kanálu, přičemž celková intenzita služby bude rovna 2p.
Pomocí vzorce (1.18) pro proces smrti a reprodukce získáme následující výraz pro omezení pravděpodobnosti stavu p 0
Představme zápis, který se nazývá snížená rychlost toku žádostí (rychlost zatížení kanálů). Tato hodnota představuje průměrný počet zákazníků, kteří přijdou během průměrné doby služby jednoho zákazníka. Pak můžeme získat následující vzorec:
Pomocí výrazu (1.19) máme:
Výše uvedené vzorce (1.34) v technické literatuře se nazývají Erlangovy vzorce (dánský inženýr, matematik - jeden ze zakladatelů teorie front).
Popíšeme analytické výrazy pro vyhodnocení hlavních ukazatelů účinnosti uvažované QS. Vycházíme-li z principu fungování takové QS, požadavek je odepřena služba, když jsou všechny kanály zaneprázdněny a systém je ve stavu s n, tj. Pravděpodobnost selhání QS.
Protože událost obsluhy reklamace a případ odmítnutí služby jsou opačné, pravděpodobnost obsluhy reklamace (pravděpodobnost, že alespoň jeden kanál je volný) bude
Relativní propustnost QS je definována jako pravděpodobnost její služby
Absolutní propustnost QS (je to také průtoková rychlost obsluhovaných aplikací):
Pro vícekanálovou QS je důležitým ukazatelem efektivity jejich práce průměrný počet obsazených kanálů k (matematické očekávání počtu obsazených kanálů)
Vzhledem k tomu, že absolutní propustnost systému A není ničím jiným než intenzitou toku nároků obsluhovaných systémem za jednotku času a každý rušný kanál slouží v průměru p nárokům za jednotku času, lze průměrný počet obsazených kanálů stanovit podle vzorce:
Příklad 1.5.Výpočtové centrum energetické sítě je vybaveno třemi počítači, které přijímají objednávky na výpočetní práci. Pokud všechny tři počítače pracují současně, nová objednávka nebude přijata. Průměrná pracovní doba při jedné objednávce 2,5 hodiny Intenzita toku aplikací 0,2 h -1. Určete a analyzujte omezující pravděpodobnosti stavů a \u200b\u200bvýkonových ukazatelů výpočetního centra.
Rozhodnutí. 1. Určme parametry QS: n \u003d 2; X \u003d 0,2 h -1;
průtok služby 
; intenzita zatížení počítače p \u003d 0,2 / 0,4 \u003d 0,5.
2. Najdeme pravděpodobnosti stavů: pravděpodobnost, že v systému nejsou žádné příkazy:
pravděpodobnosti jiných států:
pravděpodobnost, že bude příchozí žádost zamítnuta:
Ve stacionárním režimu provozu výpočetního střediska tedy průměrně během 61% času neexistuje jediný požadavek, ve 30% času je jeden požadavek (jeden počítač je zaneprázdněn), v 8% - dva požadavky (dva počítače jsou obsazeny) a 1% - tři aplikace (tři počítače jsou obsazeny). Pravděpodobnost selhání, když jsou všechny tři počítače zaneprázdněny - p otevřeno \u003d 0,01.
3. Určete ukazatele výkonu výpočetního centra: relativní propustnost:
to znamená, že ze všech stovek aplikací slouží výpočetní centrum 99;
absolutní šířka pásma datového centra:
to znamená, že za 0,2 hodiny se podá v průměru 0,2 aplikace; průměrný počet zaměstnaných počítačů:
Technická a ekonomická analýza získaných údajů by měla být založena na porovnání příjmu z provádění aplikací se ztrátami z prostojů drahých počítačů. Jak vidíte, v tomto případě je vysoká propustnost výpočetního centra, ale významné prostoje obslužných kanálů. Musí být nalezeno kompromisní řešení.
Absolutní šířka pásma charakterizuje intenzitu odcházejícího toku obsluhovaných pohledávek.Příklad. Čerpací stanice přijímá nejjednodušší tok požadavků s intenzitou 1 auto za 2 hodiny a ve frontě na dvoře nesmí být více než 3 auta. Průměrná doba opravy je 2 hodiny. Vyhodnotit práci systému QS a vyvinout doporučení pro zlepšení služby.
Rozhodnutí:
Určete typ společné organizace trhu. Fráze „Na stanici“ označuje jediné servisní zařízení, tj. k ověření řešení používáme službu Jednokanálová CMO.
Určete typ jednokanálové QS. Protože existuje odkaz na frontu, vybereme proto „Jednokanálový QS s omezenou délkou fronty“.
Parametr λ musí být vyjádřen v hodinách. Intenzita aplikací je 1 auto na 2 hodiny nebo 0,5 na 1 hodinu.
Průtok služby μ není explicitně specifikován. Zde je servisní doba t obs \u003d 2 hodiny.
Vypočítáme ukazatele služeb pro jednokanálový QS:
Průtok služby:
1. Intenzita zatížení.
ρ \u003d λ t obs \u003d 0,5 2 \u003d 1
Intenzita zátěže ρ \u003d 1 ukazuje stupeň konzistence mezi vstupními a výstupními toky nároků servisního kanálu a určuje stabilitu systému front.
3. Pravděpodobnost, že kanál je volný (zlomek prostojů kanálu). 
Proto 20% během hodiny bude kanál nečinný, prostoje se rovnají t pr \u003d 12 min.
4. Podíl zamítnutých žádostí.
Žádosti nejsou odmítnuty. Všechny přijaté aplikace jsou obsluhovány, p open \u003d 0.
5. Relativní šířka pásma.
Podíl obsluhovaných aplikací přicházejících za jednotku času:
Q \u003d 1 - p otevřeno \u003d 1 - 0 \u003d 1
Následně bude doručeno 100% přijatých žádostí. Přijatelná úroveň služeb by měla být nad 90%.
6. Absolutní šířka pásma.
A \u003d Q λ \u003d 1 0,5 \u003d 0,5 aplikací za hodinu.
8. Průměrný počet aplikací ve frontě (průměrná délka fronty). 
Jednotky
9. Průměrné prostoje systému (průměrná doba čekání na vyřízení žádosti ve frontě). 
hodina.
10. Průměrný počet doručených žádostí.
L obs \u003d ρ Q \u003d 1 1 \u003d 1 jednotka.
12. Průměrný počet požadavků v systému.
L CMO \u003d L och + L obs \u003d 1,2 + 1 \u003d 2,2 jednotky.
13. Průměrná doba strávená aplikací v společné organizaci trhu.
hodina.
Počet aplikací, které byly během hodiny odmítnuty: λ p 1 \u003d 0 aplikací za hodinu.
Jmenovitá produktivita systému: 1/2 \u003d 0,5 aplikací za hodinu.
Skutečná produktivita SMO: 0,5 / 0,5 \u003d 100% jmenovité kapacity.
Závěr: stanice je naložena na 100%. V tomto případě nejsou pozorovány žádné poruchy.
1) jednokanálová CMO
V omezujícím (stacionárním) režimu systém Kolmogorovových rovnic:
S ohledem na normalizační podmínku p 0 + p 1 \u003d 1 zjistíme:
které vyjadřují průměrný relativní čas strávený systémem ve stavu S0 (když je kanál volný) a S1 (když je kanál zaneprázdněn), tj. určit, respektive, relativní propustnost systému q a pravděpodobnost selhání P otevřít:
Absolutní šířka pásma :.
Cíl 1. Je známo, že požadavky v ateliéru přicházejí s intenzitou? \u003d 90 (požadavky za hodinu) a průměrná doba hovoru na telefonu je t \u003d \u003d 2 minuty. Určete ukazatele výkonu společné organizace trhu (telefonní komunikace) v přítomnosti jednoho telefonního čísla.
Rozhodnutí.
Intenzita provozního toku a \u003d 1 / t asi \u003d 1/2 \u003d 0,5 (1 / min) \u003d 30 (1 / h).
Relativní propustnost QS q \u003d 30 / (30 + 90) \u003d 0,25, tj. v průměru bude pouze 25% příchozích aplikací jednat telefonicky. V souladu s tím bude pravděpodobnost odmítnutí služby P ov \u003d 0,75. Absolutní propustnost QS: Q \u003d 90 * 0,25 \u003d 22,5, tj. v průměru bude za hodinu doručeno 22,5 aplikací.
Je zřejmé, že pokud existuje pouze jedno telefonní číslo, nebude CMO dobře zvládat tok aplikací.
2) vícekanálová CMO
Kolmogorovův systém rovnic má podobu:
Ve stacionárním režimu:
Řešme systém (1) s ohledem na neznámé p 0, p 1, ..., p m. Z první rovnice:
Od druhého, s ohledem na (2):
Obdobně od třetího, s přihlédnutím k bodům 2 a 3:
a obecně, pro nějaké k? m:
Představme si zápis:
Určuje průměrný počet nároků, které dorazí do QS během průměrné doby provozu jednoho nároku (snížená hustota toku poptávky).
Vzorec (6) vyjadřuje všechny pravděpodobnosti p k až p 0. Pojďme použít podmínku:
Nahrazení (7) do (6), dostaneme, 0? k? m. (8)
Vzorce (7) a (8) se nazývají Erlangovy vzorce. Za předpokladu, že k \u003d m ve vzorci (8), dostaneme pravděpodobnost selhání
Relativní propustnost (pravděpodobnost, že bude žádosti doručeno):
Erlangovy vzorce a jejich důsledky (9), (10) jsou odvozeny pro případ exponenciálního distribučního zákona o době služby. Výzkum v posledních letech však ukázal, že tyto vzorce zůstávají v platnosti pro jakýkoli zákon o distribuci doby služby, pokud je vstupní tok jednoduchý. Rovněž Erlangovy vzorce lze použít (se známou aproximací) v případě, že se tok nároků liší od nejjednoduššího (například je to stacionární tok s omezeným následným účinkem). Konečně, Erlangovy vzorce lze použít přibližně v případě, kdy QS připouští čekání na zákazníka ve frontě, ale když čekací doba je malá ve srovnání s průměrnou servisní dobou jednoho zákazníka.
Absolutní šířka pásma:
Průměrný počet obsazených kanálů je matematické očekávání počtu obsazených kanálů:
nebo, s přihlédnutím k bodům 11 a 5
S velkým počtem servisních kanálů použít následující vzorce, které se také nazývají Erlangovy vzorce:
Pro velké hodnoty i:
laplaceova funkce.
Pravděpodobnost selhání: (9 ")
Relativní šířka pásma
Průměrný počet obsazených kanálů:
Cíl 2. Za podmínek předchozího problému určete optimální počet telefonních čísel v ateliéru, pokud je podmínkou optimality uspokojení alespoň 90 žádostí o vyjednávání ze každých 100 žádostí.
Rozhodnutí.Intenzita zatížení kanálu podle vzorce (5)? \u003d 90/30 \u003d 3, tj. během průměrného (z hlediska délky) telefonního hovoru t rev \u003d 2 min. v průměru jsou přijaty 3 žádosti o jednání.
Postupně zvýšíme počet kanálů (telefonní čísla) n \u003d 2, 3, 4, ... a definujeme charakteristiky služby pomocí vzorců (7), (10), (11) pro získaný n-kanál QS. Například pro n \u003d 2
Hodnoty charakteristik QS jsou uvedeny v tabulce:
Podle podmínek optimality q? 0,9 proto musí být v ateliéru nastaveno 5 telefonních čísel (v tomto případě q \u003d 0,9). Současně bude za hodinu doručeno průměrně 80 požadavků (Q \u003d 80,1) a průměrný počet obsazených telefonních čísel (kanálů)
Cíl 3. Automatická telefonní ústředna neposkytuje více než 120 konverzací najednou. Průměrná doba hovoru je 60 sekund a hovory jsou přijímány průměrně po 0,5 sekundách. Pokud vezmeme v úvahu takovou stanici jako vícekanálový servisní systém s poruchami a nejjednodušším vstupním tokem, určete: a) průměrný počet obsazených kanálů, b) relativní propustnost, c) průměrný hovorový pobyt na stanici, přičemž se vezme v úvahu, že konverzace nemusí probíhat.
Rozhodnutí.Máme: m \u003d 120; ? \u003d 1 / 0,5 \u003d 2; ? \u003d 1/60; ? \u003d? /? \u003d 120.
Pomocí tabulek Laplaceovy funkce získáme:
tak jako? je intenzita vstupního toku (počet aplikací za jednotku času), pak? t av \u003d a.
2 ... CMO s čekáním a omezenou čekací dobou.
Existují m servisní kanály, vstupní tok je nejjednodušší s intenzitou ?, Servisní doba a čekací doba jsou SV, distribuované exponenciálně s parametry? a? resp.
Pokud jsou kanály i a zaneprázdněny? m, pak v důsledku nezávislosti jejich fungování, intenzita služby se zvyšuje faktorem i :? i, i-1 \u003d i? Když se objeví fronta, je každý stav uvažované QS charakterizován obsazením obslužných kanálů. Proto se intenzita uvolňování kanálu stává konstantní u \u003d m ?.
Zákon o rozdělení doby čekání je určen intenzitou? opuštění fronty, pokud je v ní jeden požadavek. Na základě nezávislosti příchodu pohledávek (viz definice nejjednoduššího toku) je míra, s jakou pohledávky odmítají službu a opustí frontu, r? (pro frontu o délce r ≥ 1). Hustota pravděpodobnosti přechodu systému ze stavu S m + r do stavu S m + r-1 se tedy rovná součtu intenzit uvolnění obslužných kanálů a odmítnutí služby: m + r, m + r-1 \u003d m? + r?.
Sestavme Kolmogorovovy rovnice:
i \u003d 1, ..., m-1, r? 0.
Pokud na délku fronty nejsou uložena žádná omezení, pak je systém obyčejných diferenciálních rovnic (1) nekonečný.
Pokud byl v počátečním okamžiku t \u003d 0 uvažovaný systém v jednom ze svých možných stavů Sj, vypadají počáteční podmínky pro něj následovně.