Rovnice v totálních diferenciálech je rovnice. Totální diferenciální rovnice

Definice 8.4. Diferenciální rovnice tvaru

kde
se nazývá rovnice totálních diferenciálů.

Všimněte si, že levá strana takové rovnice je úplný diferenciál nějaké funkce
.

V obecném případě lze rovnici (8.4) znázornit jako

Místo rovnice (8.5) lze uvažovat rovnici

,

jehož řešením je obecný integrál rovnice (8.4). Pro řešení rovnice (8.4) je tedy nutné najít funkci
... V souladu s definicí rovnice (8.4) máme

(8.6)

Funkce
budeme hledat funkci, která splňuje jednu z těchto podmínek (8.6):

kde je libovolná funkce nezávislá na .

Funkce
je definován tak, aby byla splněna druhá podmínka výrazu (8.6).

(8.7)

Z výrazu (8.7) je určena funkce
... Dosazením do výrazu pro
a získejte obecný integrál původní rovnice.

Úkol 8.3. Integrujte rovnici

Tady
.

V důsledku toho tato rovnice patří k typu diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech. Funkce
budeme hledat ve formuláři

.

Na druhé straně,

.

V některých případech stav
nemusí být proveden.

Potom se takové rovnice redukují na uvažovaný typ násobením takzvaným integračním faktorem, který je v obecném případě funkcí pouze nebo .

Má-li některá rovnice integrační faktor závisí pouze na , pak se určí podle vzorce

kde je vztah by měla být pouze funkce .

Podobně integrační faktor závisí pouze na , je určen vzorcem

kde je vztah
by měla být pouze funkce .

Absence ve výše uvedených vztazích, v prvním případě proměnné a ve druhém - proměnná , jsou známkou existence integračního faktoru pro tuto rovnici.

Úkol 8.4. Redukujte tuto rovnici na rovnici totálních diferenciálů.

.

Zvažte vztah:

.

Téma 8.2. Lineární diferenciální rovnice

Definice 8.5... Diferenciální rovnice
se nazývá lineární, pokud je lineární vzhledem k požadované funkci , jeho derivát a neobsahuje součin požadované funkce a její derivace.

Obecný pohled na lineární diferenciální rovnici představuje následující vztah:

(8.8)

Pokud je ve vztahu (8.8) pravá strana
, pak se taková rovnice nazývá lineární homogenní. V případě, kdy pravá strana
, pak se taková rovnice nazývá lineární nehomogenní.

Ukažme, že rovnice (8.8) je integrovatelná kvadraturami.

V první fázi zvažte lineární homogenní rovnici.

Taková rovnice je separovatelná rovnice. Opravdu,

;

/

Poslední vztah určuje obecné řešení lineární homogenní rovnice.

K nalezení obecného řešení lineární nehomogenní rovnice se používá metoda variace derivace konstanty. Myšlenkou metody je, že obecné řešení lineární nehomogenní rovnice ve stejném tvaru jako řešení odpovídající homogenní rovnice, ale libovolná konstanta nahrazena nějakou funkcí
být odhodlán. Takže máme:

(8.9)

Dosazením do vztahu (8.8) výrazů odpovídajících
a
, dostaneme

Dosazením posledního výrazu ve vztahu (8.9) získáme obecný integrál lineární nehomogenní rovnice.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice je tedy určeno dvěma kvadraturami: obecným řešením lineární homogenní rovnice a konkrétním řešením lineární nehomogenní rovnice.

Úkol 8.5. Integrujte rovnici

Původní rovnice tedy patří k typu lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic.

V první fázi najdeme obecné řešení lineární homogenní rovnice.

;

Ve druhé fázi určíme obecné řešení lineární nehomogenní rovnice, kterou hledáme ve tvaru

,

kde
- funkce, která má být definována.

Takže máme:

Nahrazení vztahů za a do původní lineární nehomogenní rovnice dostaneme:

;

;

.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice bude mít tvar:

.

Ve standardním tvaru $ P \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + Q \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dy = 0 $, ve kterém je levá strana celkovým diferenciálem nějaké funkce $ F \ vlevo ( x, y \ vpravo) $, se nazývá totální diferenciální rovnice.

Rovnici v totálních diferenciálech lze vždy přepsat jako $ dF \ vlevo (x, y \ vpravo) = 0 $, kde $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) $ je taková funkce, že $ dF \ vlevo (x, y \ vpravo) = P \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + Q \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dy $.

Integrujeme obě strany rovnice $ dF \ vlevo (x, y \ vpravo) = 0 $: $ \ int dF \ vlevo (x, y \ vpravo) = F \ vlevo (x, y \ vpravo) $; integrál nulové pravé strany je roven libovolné konstantě $ C $. Obecné řešení této rovnice v implicitním tvaru je tedy $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = C $.

Aby tato diferenciální rovnice byla rovnicí totálních diferenciálů, je nutné a postačující, aby byla splněna podmínka $ \ frac (\ parciální P) (\ parciální y) = \ frac (\ parciální Q) (\ parciální x) $. Pokud je zadaná podmínka splněna, pak existuje taková funkce $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) $, pro kterou můžete napsat: $ dF = \ frac (\ částečné F) (\ částečné x) \ cdot dx + \ frac (\ částečný F) (\ částečný y) \ cdot dy = P \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + Q \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dy $, odkud dostaneme dvě vztahy: $ \ frac (\ částečné F) (\ částečné x) = P \ doleva (x, y \ doprava) $ a $ \ frac (\ částečná F) (\ částečná y) = Q \ doleva (x, y \ vpravo) $.

Integrujeme první vztah $ \ frac (\ částečný F) (\ částečný x) = P \ vlevo (x, y \ vpravo) $ přes $ x $ a dostaneme $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = \ int P \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + U \ vlevo (y \ vpravo) $, kde $ U \ vlevo (y \ vpravo) $ je libovolná funkce $ y $.

Zvolme to tak, aby byl splněn druhý vztah $ \ frac (\ částečný F) (\ částečný y) = Q \ vlevo (x, y \ vpravo) $. Abychom to udělali, derivujeme získaný vztah pro $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) $ $ y $ a výsledek přirovnáme k $ Q \ vlevo (x, y \ vpravo) $. Dostaneme: $ \ frac (\ částečný) (\ částečný y) \ doleva (\ int P \ doleva (x, y \ doprava) \ cdot dx \ doprava) + U "\ doleva (y \ doprava) = Q \ doleva ( x, y \ vpravo) $.

Další řešení je následující:

• od poslední rovnosti najdeme $ U "\ vlevo (y \ vpravo) $;
• integrujte $ U "\ vlevo (y \ vpravo) $ a najděte $ U \ vlevo (y \ vpravo) $;
• dosaďte $ U \ vlevo (y \ vpravo) $ do rovnosti $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = \ int P \ vlevo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + U \ vlevo (y \ vpravo) $ a nakonec dostaneme funkci $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) $.

\

Najdi rozdíl:

Integrujeme $ U "\ vlevo (y \ vpravo) $ přes $ y $ a najdeme $ U \ vlevo (y \ vpravo) = \ int \ vlevo (-2 \ vpravo) \ cdot dy = -2 \ cdot y $.

Najdeme výsledek: $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = V \ vlevo (x, y \ vpravo) + U \ vlevo (y \ vpravo) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Obecné řešení zapíšeme ve tvaru $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = C $, a to:

Najděte konkrétní řešení $ F \ vlevo (x, y \ vpravo) = F \ vlevo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $, kde $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Konkrétní řešení je: $ 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y = 102 $.

Vyjádření problému ve dvourozměrném případě

Rekonstrukce funkce více proměnných z jejího totálního diferenciálu

9.1. Vyjádření problému ve dvourozměrném případě. 72

9.2. Popis řešení. 72

Toto je jedna z aplikací křivočarého integrálu druhého druhu.

Je dán výraz pro celkový diferenciál funkce dvou proměnných:

Najděte funkci.

1. Protože ne každý výraz tvaru je totálním diferenciálem nějaké funkce U(X,y), pak je nutné zkontrolovat správnost zadání úlohy, tedy zkontrolovat nutnou a postačující podmínku pro celkový diferenciál, který má pro funkci 2 proměnných tvar. Tato podmínka vyplývá z ekvivalence výroků (2) a (3) ve větě z předchozí části. Pokud je naznačená podmínka splněna, pak má problém řešení, tedy funkci U(X,y) můžete obnovit; pokud podmínka není splněna, pak problém nemá řešení, to znamená, že funkci nelze obnovit.

2. Je možné najít funkci podle jejího totálního diferenciálu, například pomocí křivočarého integrálu druhého druhu, který ji vypočítáme z přímky spojující pevný bod ( X 0 ,y 0) a proměnný bod ( x; y) (Rýže. osmnáct):

Tak bylo získáno, že křivočarý integrál druhého druhu totálního diferenciálu dU(X,y) se rovná rozdílu mezi hodnotami funkce U(X,y) na koncových a počátečních bodech integrační přímky.

Nyní, když znáte tento výsledek, musíte místo toho nahradit dU do křivočarého integrálního výrazu a vypočítejte integrál podél přerušované čáry ( ACB), vzhledem k jeho nezávislosti na tvaru integrační linie:

na ( AC): na ( SV) :

(1)

Tak byl získán vzorec, s jehož pomocí se obnoví funkce 2 proměnných z jejich celkového diferenciálu.

3. Funkci lze obnovit ze svého totálního diferenciálu pouze do konstantního členu, od d(U+ konst) = dU... V důsledku řešení úlohy tedy získáme množinu funkcí, které se od sebe liší konstantním členem.

Příklady (obnovení funkce dvou proměnných z jejího totálního diferenciálu)

1. Najděte U(X,y), pokud dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Zkontrolujeme podmínku totálního diferenciálu funkce dvou proměnných:

Totální diferenciální podmínka je splněna, tedy funkce U(X,y) lze obnovit.

Zkontrolujte: - pravda.

Odpovědět: U(X,y) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Najděte takovou funkci, že

Zkontrolujeme nutné a postačující podmínky pro totální diferenciál funkce tří proměnných:,,, je-li výraz uveden.

V řešeném problému

všechny podmínky pro totální diferenciál jsou splněny, proto lze funkci obnovit (problém je položen správně).

Funkci obnovíme pomocí křivočarého integrálu druhého druhu a vypočítáme ji podél nějaké přímky spojující pevný bod a proměnný bod, protože

(tato rovnost je odvozena stejným způsobem jako ve dvourozměrném případě).

Na druhou stranu křivočarý integrál druhého druhu totálního diferenciálu nezávisí na tvaru integrační přímky, proto je nejjednodušší jej počítat podél přerušované čáry sestávající z úseků rovnoběžných se souřadnicovými osami. V tomto případě si jako pevný bod můžete vzít bod s konkrétními číselnými souřadnicemi jen pro vás, sledovat pouze tak, aby v tomto bodě a na celé linii integrace byla splněna podmínka existence křivočarého integrálu (tj. , že funkce a jsou spojité). S ohledem na tuto poznámku v tomto problému můžete vzít pevný bod, například bod M 0. Pak na každém z článků přerušované čáry budeme mít

10.2. Výpočet plošného integrálu prvního druhu. 79

10.3. Některé aplikace plošného integrálu prvního druhu. 81

Může se stát, že levá strana diferenciální rovnice

je celkový diferenciál nějaké funkce:

a proto rovnice (7) nabývá tvaru.

Pokud je funkce řešením rovnice (7), pak, a tedy,

kde je konstanta a naopak, pokud nějaká funkce převede výslednou rovnici (8) na identitu, pak derivováním výsledné identity získáme, a proto, kde je libovolná konstanta, je obecný integrál původní rovnice.

Pokud jsou uvedeny počáteční hodnoty, pak je konstanta určena z (8) a

je požadovaný parciální integrál. Pokud v bodě, pak rovnice (9) definuje jako implicitní funkci.

Aby levá strana rovnice (7) byla celkovým diferenciálem nějaké funkce, je nutné a postačující, aby

Pokud je tato podmínka, indikovaná Eulerem, splněna, lze rovnici (7) snadno integrovat. Opravdu, . Na druhé straně, . Proto,

Při výpočtu integrálu je veličina uvažována jako konstanta, je tedy libovolnou funkcí. Abychom funkci definovali, derivujeme nalezenou funkci s ohledem na a protože dostáváme

Z této rovnice určíme a integrací najdeme.

Jak víte z kurzu matematické analýzy, je ještě snazší určit funkci jejím celkovým diferenciálem tím, že vezmete křivočarý integrál mezi nějakým pevným bodem a bodem s proměnnými souřadnicemi podél jakékoli cesty:

Nejčastěji je vhodné brát jako integrační cestu přerušovanou čáru, tvořenou dvěma spojnicemi rovnoběžnými se souřadnicovými osami; v tomto případě

Příklad. .

Levá strana rovnice je celkový diferenciál nějaké funkce, protože

Obecný integrál má tedy tvar

Lze použít jiný způsob definování funkce:

Za výchozí bod volíme např. počátek souřadnic, jako cestu integrace - rozbitou. Pak

a obecný integrál má tvar

Což je stejné jako u předchozího výsledku, výsledkem čehož je společný jmenovatel.

V některých případech, kdy levá strana rovnice (7) není úplný diferenciál, je snadné najít funkci, kterou se po vynásobení levá strana rovnice (7) změní na totální diferenciál. Tato funkce se nazývá integrační faktor... Všimněte si, že násobení integračním faktorem může vést ke vzniku zbytečných konkrétních řešení, která činí tento faktor nulovým.

Příklad. .

Je zřejmé, že po vynásobení faktorem se levá strana stane úplným diferenciálem. Opravdu, po vynásobení dostaneme

nebo integrace,. Vynásobením 2 a zesílením budeme mít.

Samozřejmě, že výběr integračního faktoru není vždy tak snadný. V obecném případě je pro nalezení integračního faktoru nutné vybrat alespoň jedno konkrétní řešení parciální diferenciální rovnice, které není shodně nulové nebo v rozšířeném tvaru.

který se po vydělení a přenesení některých pojmů na druhou stranu rovnosti zredukuje na tvar

V obecném případě není integrace této parciální diferenciální rovnice v žádném případě jednodušším problémem než integrace původní rovnice, v některých případech však není výběr konkrétního řešení rovnice (11) obtížný.

Kromě toho, za předpokladu, že integrační faktor je funkcí pouze jednoho argumentu (například je to funkce pouze nebo pouze, nebo pouze funkce, nebo pouze atd.), je již možné integrovat rovnici (11) bez obtížnosti a uveďte podmínky, za kterých existuje integrační faktor uvažovaného typu. Rozlišují se tak třídy rovnic, pro které lze snadno najít integrační faktor.

Najdeme například podmínky, za kterých má rovnice integrační faktor závislý pouze na, tzn. ... V tomto případě je rovnice (11) zjednodušena a má tvar, odkud za předpokladu spojité funkce dostaneme

Jestliže je funkcí pouze z, pak integrační faktor závislý pouze na existuje a je roven (12), jinak integrační faktor tvaru neexistuje.

Podmínka existence integračního faktoru závislého pouze na je splněna např. u lineární rovnice resp. Opravdu, a proto. Úplně stejně lze najít podmínky pro existenci integračních faktorů formuláře atd.

Příklad. Má rovnice integrační faktor tvaru?

Označme. Rovnice (11) at má tvar, odkud nebo

Pro existenci integračního faktoru daného tvaru je nutné a za předpokladu kontinuity, aby byl pouze funkcí. V tomto případě tedy integrační faktor existuje a je roven (13). Když se dostaneme. Vynásobením původní rovnice ji přivedeme do tvaru

Integrací dostaneme a po potenciaci budeme mít, nebo v polárních souřadnicích - rodinu logaritmických spirál.

Příklad... Najděte tvar zrcadla, které odráží, rovnoběžně s daným směrem, všechny paprsky vycházející z daného bodu.

Počátek souřadnic umístíme do daného bodu a nasměrujeme osu úsečky rovnoběžně se směrem zadaným v podmínkách úlohy. Nechte paprsek dopadnout na zrcadlo v určitém bodě. Uvažujme řez zrcadlem rovinou procházející osou úsečky a bodem. Nakreslete tečnu k uvažovanému úseku zrcadlové plochy v bodě. Protože úhel dopadu paprsku je roven úhlu odrazu, je trojúhelník rovnoramenný. Proto,

Výslednou homogenní rovnici lze snadno integrovat změnou proměnných, ale ještě snazší je, když se zbavíme iracionality ve jmenovateli, přepsat ji do tvaru. Tato rovnice má zřejmý integrační faktor,,, (rodina parabol).

Tento problém je ještě snadněji řešitelný v souřadnicích a kde v tomto případě nabývá tvar rovnice průřezu hledaných ploch.

Je možné prokázat existenci integračního faktoru, nebo, což je totéž, existenci nenulového řešení parciální diferenciální rovnice (11) v určité oblasti, pokud funkce a mají spojité derivace a alespoň jedna z nich funkce nezmizí. Metodu integračního faktoru lze následně považovat za obecnou metodu integrace rovnic tvaru, avšak vzhledem k obtížnosti nalezení integračního faktoru se tato metoda nejčastěji používá v případech, kdy je integrační faktor zřejmý.

Ukazuje, jak rozpoznat diferenciální rovnici v totálních diferenciálech. Jsou uvedeny způsoby jeho řešení. Je uveden příklad řešení rovnice v totálních diferenciálech dvěma způsoby.

Obsah

Úvod

Diferenciální rovnice prvního řádu v totálních diferenciálech je rovnice ve tvaru:
(1) ,
kde levá strana rovnice je totální diferenciál nějaké funkce U (x, y) na proměnné x, y:
.
V čem .

Pokud je taková funkce nalezena U (x, y), pak má rovnice tvar:
dU (x, y) = 0.
Jeho obecný integrál je:
U (x, y) = C,
kde C je konstanta.

Pokud je diferenciální rovnice prvního řádu zapsána pomocí derivace:
,
pak se dá snadno zredukovat do formy (1) ... Za tímto účelem vynásobíme rovnici dx. Pak . Výsledkem je rovnice vyjádřená pomocí diferenciálů:
(1) .

Vlastnost diferenciální rovnice v totálních diferenciálech

Aby byla rovnice (1) byla rovnice v totálních diferenciálech, je nutné a postačující, aby vztah platil:
(2) .

Důkaz

Dále předpokládáme, že všechny funkce použité v důkazu jsou definovány a mají odpovídající derivace v určitém rozsahu hodnot proměnných x a y. Bod x 0, y 0 také patří do této oblasti.

Dokažme nutnost podmínky (2).
Nechte levou stranu rovnice (1) je diferenciál nějaké funkce U (x, y):
.
Pak
;
.
Protože druhá derivace nezávisí na řádu derivace, pak
;
.
Z toho tedy vyplývá. Nutnost podmínka (2) osvědčený.

Dokažme dostatečnost podmínky (2).
Ať je podmínka splněna (2) :
(2) .
Ukažme, že takovou funkci U lze najít (x, y)že její diferenciál:
.
To znamená, že existuje taková funkce U (x, y) který splňuje rovnice:
(3) ;
(4) .
Pojďme najít takovou funkci. Integrujeme rovnici (3) podle x od x 0 na x, za předpokladu, že y je konstanta:
;
;
(5) .
Diferencujte s ohledem na y za předpokladu, že x je konstanta a platí (2) :

.
Rovnice (4) bude proveden, pokud
.
Integrujeme přes y od y 0 k y:
;
;
.
Vystřídejte v (5) :
(6) .
Našli jsme tedy funkci, jejíž diferenciál je
.
Dostatečnost byla prokázána.

Ve vzorci (6) , U (x 0, y 0) je konstanta - hodnota funkce U (x, y) v bodě x 0, y 0... Lze mu přiřadit libovolnou hodnotu.

Jak rozpoznat diferenciální rovnici v totálních diferenciálech

Zvažte diferenciální rovnici:
(1) .
Pro zjištění, zda se jedná o rovnici v totálních diferenciálech, je nutné zkontrolovat splnění podmínky (2) :
(2) .
Pokud platí, pak se jedná o totální diferenciální rovnici. Pokud ne, pak se nejedná o totální diferenciální rovnici.

Příklad

Zkontrolujte, zda rovnice v celkových diferenciálech je:
.

Tady
, .
Diferencujte s ohledem na y, za předpokladu, že x je konstanta:


.
Rozlišování


.
Pokud:
,
pak je daná rovnice v totálních diferenciálech.

Metody řešení diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech

Metoda sekvenční diferenciace

Nejjednodušší metodou pro řešení rovnice v totálních diferenciálech je metoda postupného derivování diferenciálu. K tomu používáme diferenciační vzorce zapsané v diferenciálním tvaru:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
V těchto vzorcích jsou u a v libovolné výrazy složené z libovolné kombinace proměnných.

Příklad 1

Řešte rovnici:
.

Již dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Pojďme to transformovat:
(W1) .
Řešíme rovnici a postupně zvýrazňujeme diferenciál.
;
;
;
;

.
Vystřídejte v (W1):
;
.

Metoda sekvenční integrace

V této metodě hledáme funkci U (x, y) splňující rovnice:
(3) ;
(4) .

Integrujeme rovnici (3) v x, za předpokladu, že y je konstanta:
.
Zde φ (y)- libovolná funkce y, která má být určena. Je integrační konstantou. Dosaďte do rovnice (4) :
.
Proto:
.
Integrací zjistíme φ (y) a tedy U (x, y).

Příklad 2

Řešte rovnici v totálních diferenciálech:
.

Již dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Představme si notaci:
, .
Hledám funkci U (x, y), jehož diferenciál je levá strana rovnice:
.
Pak:
(3) ;
(4) .
Integrujeme rovnici (3) v x, za předpokladu, že y je konstanta:
(P2)
.
Rozlišujte podle y:

.
Vystřídejte v (4) :
;
.
Integrujeme:
.
Vystřídejte v (P2):

.
Obecný integrál rovnice:
U (x, y) = konst.
Spojíme dvě konstanty do jedné.

Integrace podél křivky

Funkce U, definovaná poměrem:
dU = p (x, y) dx + q (x, y) dy,
lze nalézt integrací této rovnice podél křivky spojující body (x 0, y 0) a (x, y):
(7) .
Pokud
(8) ,
pak integrál závisí pouze na souřadnicích iniciály (x 0, y 0) a finále (x, y) bodů a nezávisí na tvaru křivky. Z (7) a (8) shledáváme:
(9) .
Tady x 0 a y 0 - trvalé. Proto U (x 0, y 0)- také konstantní.

Příklad takové definice U byl získán v důkazu:
(6) .
Zde se integrace provádí nejprve podél segmentu rovnoběžného s osou y z bodu (x 0, y 0) do té míry (x 0, y)... Poté se integrace provede podél segmentu rovnoběžného s osou x z bodu (x 0, y) do té míry (x, y) .

Obecněji řečeno, musíte znázornit rovnici křivky spojující body (x 0, y 0) a (x, y) v parametrické podobě:
X 1 = s (t 1); y 1 = r (t 1);
X 0 = s (t 0); y 0 = r (t 0);
x = s (t); y = r (t);
a integrovat přes t 1 od t 0 až t.

Nejjednodušší integrace se provádí přes úsečku spojující body (x 0, y 0) a (x, y)... V tomto případě:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) ti;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Po substituci získáme integrál přes t of 0 před 1 .
Tato metoda však vede k poměrně těžkopádným výpočtům.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálních rovnic, "LCI", 2015.