Интервалы прогноза по уравнению регрессии. Т.к

Предположим, что мы хотим распространить нашу модель на другие значения независимой переменной и поставить проблему прогнозирования среднего значения у соответствующего некоторому данному значению, которое может лежать как между выборочными наблюдениями отдо, так и вне этого интервала. Прогноз может быть точечным или интервальным.

Точечный прогноз – это вычисленное по уравнению
значение.

Интервальный прогноз – это доверительный интервал, покрывающий с заданной надежностью 1-
ожидаемую величину:

, (3.1.13)

. (3.1.14)


Можно построить доверительный интервал для параметра
, который покрывает истинное значение параметра
с заданной надежностью 1-
:

. (3.1.16)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции находят по формуле (3.1.17):

. (3.1.18)

Для нелинейных регрессий рассчитывают индекс корреляции равный квадратному корню из коэффициента детерминации, вычисляемого по формуле (3.1.10).

Оценку надежности индекса корреляции проводят с помощью
-статистики, вычисляемой по формуле (3.2.19):

, (3.1.19)

где m – число параметров в уравнении регрессии. По таблицам Фишера (приложение Е) по заданной надёжности 1-
и числу степеней свободы (
) и (
) находят табличное значение
. Если
, то с заданной надёжностью 1-
можно сделать вывод о надежности индекса корреляции.

Адекватность построенной модели изучаемому процессу может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических значений и фактических):

. (3.1.20)

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5-% погрешность (иногда 7-%, редко 10-%). Модель считается адекватной (а значит и пригодной), если
.

Поскольку одна и та же тенденция может быть выражена разными моделями, то часто используют ряд функций, а затем и выбирают наиболее предпочтительную. Выбор наиболее предпочтительной модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратического отклонения (остаточной дисперсии):

, (3.1.21)

где
- число параметров в уравнении.

Лучшей будет та функция, у которой меньше.

Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.

Решение. Для нахождения параметров линейного уравнения регрессии (3.1.1) с помощью системы линейных уравнений Гаусса (3.1.2) составим вспомогательную расчетную таблицу 3.1.

Одна из базовых задач, возникающих при прогнозировании, состоит в определœении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в базе расчета доверительности интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда. Чем выше эта колеблемость, тем шире интервал для прогноза. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно таким измерителœем является среднее квадратическое отклонение:

где - соответственно фактическое и расчетное значения ряда;

f – число степеней свободы, определяемое исходя из числа наблюдений (n ) и числа оцениваемых параметров.

f = n – z,

где z – число оцениваемых параметров.

К примеру, для параболы второй степени f = n – 3, третьей степени f = n – 4 и т.д.

Сумму квадратов отклонений от тренда можно разложить следующим образом:

Последнее выражение можно упростить. Допустим, что начало отсчета находится в серединœе ряда, тогда , а параметры а и b будут равны:

После преобразований получим:

Разность первых двух членов правой стороны равна сумме квадратов отклонений от средней арифметической, ᴛ.ᴇ. .

Таким образом,

Последнее выражение показывает, что сумма квадратов отклонений от линий тренда меньше, чем от средней арифметической.

Сумма квадратов отклонений от линий тренда, ᴛ.ᴇ. и среднее квадратическое отклонение от тренда Sy является основой при определœении средней квадратической ошибки параметров.

Прежде чем приступить к определœению доверительного интервала прогноза, следовало бы сделать оговорку. Дело в том, что предположение о нормальности распределœения отклонений вокруг линии регрессии не может ни утверждаться и не быть проверено при анализе рядов. Дискуссии еще в 30-40-х годах пролили свет на трудности, связанные с этой проблемой. В итоге, принципиальный новый подход так и не был найден. Все предложения так или иначе связаны с определœением доверительного интервала на базе оценки среднего квадратического отклонения членов ряда.

Полученные в ходе оценивания параметры не свободны от погрешности. Расчетные значения несут на себе груз неопределœенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал прогноза определяется как

где - средняя квадратическая ошибка;

Расчетное значение у t ;

Значение t -критерия Стьюдента.

В случае если t = I + L , то последнее определит значение доверительного интервала на L единиц времени.

Доверительный интервал прогноза должен учитывать не только неопределœенность, но возможность отклонения, ᴛ.ᴇ. диапазон варьирования. В случае если обозначим среднюю квадратическую ошибку как S p , тогда доверительный интервал прогноза составит:

Доверительные интервалы прогноза - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Доверительные интервалы прогноза" 2017, 2018.

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в предсказании будущего на основе данных прошлого.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

§ развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией - трендом;

§ общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для экспорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики экспорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для импорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики импорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

Доверительные интервалы прогноза

При составлении прогноза погрешность имеет следующие источники:

§ выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

§ оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

§ тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом.

Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где - средняя квадратическая ошибка тренда;

Расчетное значение y t ;

Значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S y , то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.

Для экспорта (см. таблицу 77), для импорта (см. таблицу 80).

Значит, для экспорта S y = 18,11,для импорта S y = 25,45.

Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. При использовании линейной и степенной функций число степеней свободы равно 4, соответственно значение критерия равно 2,776.

Таким образом, доверительный интервал прогноза для экспорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество экспорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 704,542 млрд. долл. до 805,089 млрд. долл.

Доверительный интервал прогноза для импорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество импорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 596,072 млрд. долл. до 737,371 млрд. долл.

Графическое представление результатов прогнозирования

Завершающим этапом прогнозирования является построение графических изображений, дающих представление о точности прогноза и наглядно демонстрирующих размах доверительных интервалов.

Таблица 89. Данные прогнозирования для экспорта



Рис. 63.

Таблица 90. Данные прогнозирования для экспорта


Рис. 64.

К сожалению, в нашем случае реальные значения вышли за пределы доверительного интервала прогноза, что лишний раз подчёркивает трудности выбора модели тренда.

Экстраполяция на основе среднего темпа роста и среднего абсолютного прироста

В данном пункте рассмотрим прогнозирование на основе среднего темпа роста. Значения будущих периодов получают, руководствуясь формулой:

где - средний темп роста; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Средний темп роста определяется как:

где y n - данные за последний год периода, а y 1 - данные по первому году в рассматриваемом периоде.

Рассчитаем для экспорта:

Доверительный интервал:

Таблица 91. Расчеты по формуле, средний темп роста для экспорта Японии

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей


Глава 1. Теоретическая часть. 3

Глава 2. Практическая часть. 9

Список используемой литературы.. 13


 Глава 1. Теоретическая часть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:


где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

(1.2.),

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:


(1.7.),

где y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Линейный тренд

Параболический тренд

Длина ряда (п)

Период упреждения (L)

длина ряда (п)

период упреждения (L)

7 2,6380 2,8748 3,1399 7 3,948 5,755 8,152
8 2,4631 2,6391 2,8361 8 3,459 4,754 6,461
9 2,3422 2,4786 2,6310 9 3,144 4,124 5,408
10 2,2524 2,3614 2,4827 10 2,926 3,695 4,698
11 2,1827 2,2718 2,3706 11 2,763 3,384 4,189
12 2,1274 2,2017 2,2836 12 2,636 3,148 3,808
13 2,0837 2,1463 2,2155 13 2,536 2,965 3,516
14 2,0462 2,1000 2,1590 14 2,455 2,830 3,286
15 2,0153 2,0621 2,1131 15 2,386 2,701 3,100
16 1,9883 2,0292 2,0735 16 2,330 2,604 2,950
17 1,9654 2,0015 2,0406 17 2,280 2,521 2,823
18 1,9455 1,9776 2,0124 18 2,238 2,451 2,717
19 1,9280 1,9568 1,9877 19 2,201 2,391 2,627
20 1,9117 1,9375 1,9654 20 2,169 2,339 2,549
21 1,8975 1,9210 1,9461 21 2,139 2,293 2,481
22 1,8854 1,9066 1,9294 22 2,113 2,252 2,422
23 1,8738 1,8932 1,9140 23 2,090 2,217 2,371
24 1,8631 1,8808 1,8998 24 2,069 2,185 2,325
25 1,8538 1,8701 1,8876 25 2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

1 510 11 494 21 523
2 497 12 499 22 527
3 504 13 502 23 523
4 510 14 509 24 528
5 509 15 525 25 529
6 503 16 512 26 538
7 500 17 510 27 539
8 500 18 506 28 541
9 500 19 515 29 543
10 495 20 522 30 541

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка


,

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

На 1 день вперед (=1);

На 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.

. а =0,1 – по условию;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

а =0,5 – по условию.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

Экспоненциальная средняя

Экспоненциальная средняя

а =0,1

а =0,5

а =0,1

а =0,5

1 506,4 508 16 505,7 513,3
2 505,5 502,5 17 506,1 511,7
3 505,3 503,2 18 506,1 508,8
4 505,8 506,6 19 507,0 511,9
5 506,1 507,8 20 508,5 517
6 505,8 505,4 21 509,9 520
7 505,2 502,7 22 511,6 523,5
8 504,7 501,4 23 512,8 523,2
9 504,2 500,7 24 514,3 525,6
10 503,4 497,8 25 515,8 527,3
11 502,4 495,9 26 518,0 532,7
12 502,0 497,5 27 520,1 525,8
13 502,0 499,7 28 522,2 538,4
14 502,7 504,4 29 524,3 540,7
15 505,0 514,7 30 525,9 540,9

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):


 Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.

Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, о которых мы говорили выше, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд.

Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явление маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

3) тренд характеризует некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения прогноза.

Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как

где ¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

¾ расчетное значение yt ;

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Если t = i + L то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.

Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.

При условии учета стандартных ошибок оценок параметров уравнения тренда (которые по определению являются выборочными, а следовательно, могут не являться оценками неизвестных генеральных параметров из-за проявления случайной ошибки репрезентативности), и не рассматривая последовательность преобразований получим общую формулу доверительного интервала прогноза.

где - значение прогноза, рассчитанного по уравнению тренда на период t+L

¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

К - коэффициент, учитывающий ошибки коэффициентов уравнения тренда

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Коэффициент К рассчитывается следующим образом

n ¾ число наблюдений (длина ряда динамики);

L – число прогнозов

Значение К зависит только от п и L, т. е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Пример расчета прогноза и построения доверительного интервала прогноза.

Оптимальным трендом является линейный тренд . Необходимо рассчитать прогнозы объемов импорта в Германии на 1996 и 1997 год. Для этого необходимо определить значения уровней тренда при значениях временного фактора 14 и 15.

Объем импорта в 1996 г:

Объем импорта в 1997 г:

Стандартная ошибка тренда Sy = 30,727. Коэффициент доверия распределения Стъюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод равен 2,16. Коэффициент К равен 1,428:

Таким образом, нижняя граница первого доверительного интервала равна 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Верхняя граница равна 568,28: 473,452+30,727*2,16*1,428.

Результаты расчетов необходимо оформить в виде таблице и графически

Фактическое значение объема импорта в Германии за 1996 год

Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1996 год

Нижняя граница 95% доверительного интервала

Фактическое значение объема импорта в Германии за 1997 год

Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1997 год

Верхняя граница 95% доверительного интервала

Данный график рисуется следующим образом:

1) необходимо сделать копию уже существующего графика сглаживания динамического ряда линейным трендом

2) дорисовать недостающие значения (фактические уровни ряда за 1996 и 1997 год, прогнозы на 1996 и 1997 год, а также границы доверительных интервалов).

График в какой-то степени условный, так как точный масштаб вряд ли удастся выставить. Рисовать можно как от руки, так и используя инструменты рисования Excel.