Cum se calculează așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete. Probabilitate și statistică - fapte de bază

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.

Să ne amintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Cert este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.

In medie

Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.

Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.

Dispersia

În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.

Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.

Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?

Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele. Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.

Sarcină

Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.

Valorea estimata

Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptarea matematică este rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea rezultată, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.

Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice cantitate din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.

Încă un exemplu

Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.

Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.

Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.

Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.

În cele din urmă, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.

Deviere

Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.

Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătrată direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.

Software

După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.

De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

In cele din urma

Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.

Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.

Caracteristicile DSW și proprietățile lor. Așteptări matematice, varianță, abatere standard

Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Totuși, atunci când este imposibil de găsit legea distribuției, sau acest lucru nu este necesar, se poate limita la găsirea unor valori, numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare. Aceste cantități determină o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile unei variabile aleatoare și gradul de dispersie a acestora în jurul acestei valori medii.

așteptări matematice O variabilă aleatoare discretă este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și a probabilităților acestora.

Așteptările matematice există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.

Din punct de vedere al probabilității, putem spune că așteptarea matematică este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.

Exemplu. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este cunoscută. Găsiți așteptările matematice.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Soluţie:

9.2 Proprietăți așteptări

1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși.

2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării.

3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

Această proprietate este valabilă pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.

4. Aşteptarea matematică a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma aşteptărilor matematice ale termenilor.

Această proprietate este valabilă și pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.

Să fie efectuate n încercări independente, probabilitatea de apariție a evenimentului A în care este egală cu p.

Teorema. Așteptarea matematică M(X) a numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare încercare.

Exemplu. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Soluţie:

9.3 Dispersia unei variabile aleatoare discrete

Cu toate acestea, așteptările matematice nu pot caracteriza pe deplin un proces aleatoriu. Pe lângă așteptarea matematică, este necesar să se introducă o valoare care să caracterizeze abaterea valorilor variabilei aleatoare de la așteptarea matematică.

Această abatere este egală cu diferența dintre variabila aleatoare și așteptarea ei matematică. În acest caz, așteptarea matematică a abaterii este zero. Acest lucru se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, altele sunt negative și, ca urmare a anulării lor reciproce, se obține zero.

Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică.

În practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii.

Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptărilor sale matematice.

Dovada. Ținând cont de faptul că așteptarea matematică M (X) și pătratul așteptării matematice M 2 (X) sunt valori constante, putem scrie:

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete dată de legea distribuției.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Soluție: .

9.4 Proprietăţi de dispersie

1. Dispersia unei valori constante este zero. .

2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. .

3. Varianta sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. .

4. Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile. .

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea p de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție și neapariție a evenimentului în fiecare încercare.

9.5 Abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete

Deviație standard variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței.

Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcina pătrată a sumei abaterilor standard pătrate ale acestor variabile.

Conceptul de așteptare matematică poate fi luat în considerare folosind exemplul aruncării unui zar. La fiecare aruncare, punctele pierdute sunt înregistrate. Valorile naturale în intervalul 1 - 6 sunt folosite pentru a le exprima.

După un anumit număr de aruncări, folosind calcule simple, puteți găsi media aritmetică a punctelor căzute.

Pe lângă eliminarea oricăreia dintre valorile intervalului, această valoare va fi aleatorie.

Și dacă mărești de mai multe ori numărul aruncărilor? Cu un număr mare de aruncări, valoarea medie aritmetică a punctelor se va apropia de un anumit număr, care în teoria probabilității a primit denumirea de așteptare matematică.

Deci, așteptarea matematică este înțeleasă ca valoarea medie a unei variabile aleatoare. Acest indicator poate fi prezentat și ca o sumă ponderată a valorilor probabile.

Acest concept are mai multe sinonime:

• valoarea medie;
• valoarea medie;
• indicator central de tendință;
• primul moment.

Cu alte cuvinte, nu este altceva decât un număr în jurul căruia sunt distribuite valorile unei variabile aleatorii.

În diverse sfere ale activității umane, abordările pentru înțelegerea așteptărilor matematice vor fi oarecum diferite.

Poate fi privit ca:

• beneficiul mediu primit în urma adoptării unei decizii, în cazul în care o astfel de decizie este considerată din punct de vedere al teoriei numerelor mari;
• suma posibilă de câștig sau pierdere (teoria jocurilor de noroc), calculată în medie pentru fiecare dintre pariuri. În argo, ele sună ca „avantajul jucătorului” (pozitiv pentru jucător) sau „avantaj de cazinou” (negativ pentru jucător);
• procentul din profitul primit din câștiguri.

Așteptările matematice nu sunt obligatorii pentru absolut toate variabilele aleatoare. Este absent pentru cei care au o discrepanță în suma sau integrala corespunzătoare.

Proprietăți de așteptare

Ca orice parametru statistic, așteptarea matematică are următoarele proprietăți:

Formule de bază pentru așteptările matematice

Calculul așteptării matematice poate fi efectuat atât pentru variabile aleatoare caracterizate atât prin continuitate (formula A) cât și prin discretitate (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, unde xi sunt valorile variabilei aleatoare, pi sunt probabilitățile:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, unde f(x) este o densitate de probabilitate dată.

Exemple de calcul a așteptărilor matematice

Exemplul A.

Este posibil să aflați înălțimea medie a gnomilor din basmul despre Albă ca Zăpada. Se știe că fiecare dintre cei 7 gnomi avea o anumită înălțime: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 și 0,81 m.

Algoritmul de calcul este destul de simplu:

• găsiți suma tuturor valorilor indicatorului de creștere (variabilă aleatorie):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Suma rezultată este împărțită la numărul de gnomi:
  6,31:7=0,90.

Astfel, înălțimea medie a gnomilor într-un basm este de 90 cm. Cu alte cuvinte, aceasta este așteptarea matematică a creșterii gnomilor.

Formula de lucru - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementarea practică a așteptărilor matematice

La calculul unui indicator statistic al așteptării matematice se recurge în diverse domenii de activitate practică. În primul rând, vorbim despre sfera comercială. Într-adevăr, introducerea acestui indicator de către Huygens este legată de determinarea șanselor care pot fi favorabile, sau, dimpotrivă, nefavorabile, pentru un anumit eveniment.

Acest parametru este utilizat pe scară largă pentru evaluarea riscurilor, mai ales când vine vorba de investiții financiare.
Deci, în afaceri, calculul așteptărilor matematice acționează ca o metodă de evaluare a riscului la calcularea prețurilor.

De asemenea, acest indicator poate fi utilizat la calcularea eficacității anumitor măsuri, de exemplu, privind protecția muncii. Datorită acesteia, puteți calcula probabilitatea de apariție a unui eveniment.

Un alt domeniu de aplicare a acestui parametru este managementul. Poate fi calculat și în timpul controlului calității produsului. De exemplu, folosind mat. așteptări, puteți calcula numărul posibil de piese defecte de fabricație.

Așteptarea matematică este indispensabilă și în timpul prelucrării statistice a rezultatelor obținute în cursul cercetării științifice. De asemenea, vă permite să calculați probabilitatea unui rezultat dorit sau nedorit al unui experiment sau studiu, în funcție de nivelul de realizare a obiectivului. La urma urmei, realizarea sa poate fi asociată cu câștig și profit, iar nerealizarea sa - ca o pierdere sau pierdere.

Utilizarea așteptărilor matematice în Forex

Aplicarea practică a acestui parametru statistic este posibilă atunci când se efectuează tranzacții pe piața valutară. Poate fi folosit pentru a analiza succesul tranzacțiilor comerciale. Mai mult, o creștere a valorii așteptărilor indică o creștere a succesului acestora.

De asemenea, este important de reținut că așteptarea matematică nu trebuie considerată ca fiind singurul parametru statistic utilizat pentru a analiza performanța unui comerciant. Utilizarea mai multor parametri statistici împreună cu valoarea medie mărește uneori acuratețea analizei.

Acest parametru sa dovedit bine în monitorizarea observațiilor conturilor de tranzacționare. Datorită lui, se realizează o evaluare rapidă a lucrărilor efectuate pe contul de depozit. În cazurile în care activitatea comerciantului este de succes și acesta evită pierderile, nu se recomandă utilizarea doar a calculului așteptării matematice. În aceste cazuri, riscurile nu sunt luate în considerare, ceea ce reduce eficacitatea analizei.

Studiile efectuate asupra tacticii comercianților indică faptul că:

• cele mai eficiente sunt tacticile bazate pe intrări aleatorii;
• cele mai puțin eficiente sunt tacticile bazate pe intrări structurate.

Pentru a obține rezultate pozitive, este la fel de important:

• tactici de gestionare a banilor;
• strategii de ieșire.

Folosind un astfel de indicator precum așteptarea matematică, putem presupune care va fi profitul sau pierderea atunci când investim 1 dolar. Se știe că acest indicator, calculat pentru toate jocurile practicate în cazinou, este în favoarea instituției. Acesta este ceea ce vă permite să faceți bani. În cazul unei serii lungi de jocuri, probabilitatea de a pierde bani de către client crește semnificativ.

Jocurile jucătorilor profesioniști sunt limitate la perioade mici de timp, ceea ce crește șansele de câștig și reduce riscul de a pierde. Același model se observă și în efectuarea operațiunilor de investiții.

Un investitor poate câștiga o sumă semnificativă cu o așteptare pozitivă și un număr mare de tranzacții într-o perioadă scurtă de timp.

Așteptarea poate fi considerată ca diferența dintre procentul profitului (PW) înmulțit cu profitul mediu (AW) și probabilitatea pierderii (PL) înmulțit cu pierderea medie (AL).

Ca exemplu, luați în considerare următoarele: poziție - 12,5 mii de dolari, portofoliu - 100 mii de dolari, risc pe depozit - 1%. Rentabilitatea tranzacțiilor este de 40% din cazuri cu un profit mediu de 20%. În cazul unei pierderi, pierderea medie este de 5%. Calcularea așteptărilor matematice pentru o tranzacție dă o valoare de 625 USD.

Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă concisă.

Aceste cantități sunt în primul rând valorea estimataȘi dispersie .

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilităţilor. Desemnat ca .

În cel mai simplu mod, așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X(w), se găsesc ca integralăLebesgueîn ceea ce priveşte măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate

De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:

unde este setul tuturor valorilor posibile X.

Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X este prin distribuție R X. De exemplu, Dacă X- variabilă aleatoare cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate Borelfuncţie X , Acea:

Dacă F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):

în timp ce integrabilitatea XÎn ceea ce privește ( * ) corespunde finiturii integralei

În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități , atunci

Dacă X are o distribuție absolut continuă cu o densitate de probabilitate p(x), Acea

în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.

• Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:

C- constant;

• M=C.M[X]

• Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

• Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente = produsul așteptărilor lor matematice:

L=M[X]+L[Y]

Dacă XȘi Y independent.

dacă seria converge:

Algoritm pentru calcularea așteptării matematice.

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; echivalează fiecare valoare cu o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile pe rând: x i pe pi.

2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.

De exemplu, Pentru n = 4 :

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.

Exemplu: Găsiți așteptările matematice după formula.

Cea mai completă caracteristică a unei variabile aleatoare este legea distribuției sale. Totuși, nu se știe întotdeauna, iar în aceste cazuri trebuie să te mulțumești cu mai puține informații. Astfel de informații pot include: intervalul de variație a unei variabile aleatoare, valoarea sa cea mai mare (cea mai mică), alte caracteristici care descriu o variabilă aleatoare într-un mod rezumat. Toate aceste cantități sunt numite caracteristici numerice variabilă aleatorie. De obicei acestea sunt unele Nu la nimereală numere care caracterizează cumva o variabilă aleatoare. Scopul principal al caracteristicilor numerice este de a exprima într-o formă concisă cele mai semnificative trăsături ale unei anumite distribuții.

Cea mai simplă caracteristică numerică a unei variabile aleatoare X a sunat-o valorea estimata:

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

Aici x 1, x 2, …, x n sunt valorile posibile ale variabilei aleatoare X, A p 1, p 2, …, p n sunt probabilitățile lor.

Exemplul 1 Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare dacă legea ei de distribuție este cunoscută:

Soluţie. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.

Exemplul 2. Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea acestui eveniment este R.

Soluţie. Dacă X– numărul de apariții ale evenimentului Aîntr-un proces, apoi evident legea distribuirii X se pare ca:

Apoi М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.

Deci: așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestuia.

Sensul probabilistic al așteptărilor matematice

Lăsați produs n teste în care variabila aleatoare X admis m 1 ori valoarea x 1, m2 ori valoarea x 2, …, m k ori valoarea x k. Apoi suma tuturor valorilor din n teste este egal cu:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Să găsim media aritmetică a tuturor valorilor luate de variabila aleatoare:

Valori - frecvențele relative de apariție a valorilor x i (i=1, …, k). Dacă n destul de mare (n®¥), atunci aceste frecvențe sunt aproximativ egale cu probabilitățile: . Dar apoi

=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).

Astfel, așteptarea matematică este aproximativ egală (cu cât este mai precisă, cu atât este mai mare numărul de încercări) cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare. Acesta este sensul probabilistic al așteptărilor matematice.

Proprietăți de așteptare

1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi.

M(S)=S×1=S.

2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării

M(CX)=S×M(X).

Dovada. Să fie legea distribuției X dat de tabel:

Apoi variabila aleatoare SH ia valori Dx 1, CX 2, …, Сх n cu aceleași probabilități, adică legea distributiei SH se pare ca:

М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).

3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Această afirmație este dată fără dovezi (dovada se bazează pe definiția așteptării).

Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

În special, pentru trei variabile aleatoare independente

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Exemplu. Aflați așteptarea matematică a produsului dintre numărul de puncte care pot cădea la aruncarea a două zaruri.

Soluţie. Lăsa Х i- numărul de puncte i oasele. Ar putea fi numere 1 , 2 , …, 6 cu probabilităţi. Apoi

М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Lăsa X \u003d X 1 × X 2. Apoi

M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.

4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (independente sau dependente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Această proprietate este generalizată în cazul unui număr arbitrar de termeni.

Exemplu. Se trag 3 lovituri cu probabilitati de a lovi tinta egale cu p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3Și p 3 \u003d 0,6. Aflați așteptările matematice ale numărului total de rezultate.

Soluţie. Lăsa Х i- numărul de accesări i-a lovitură. Apoi

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Prin urmare,

M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.