A tras pe unul plat. Open Library - biblioteca deschisă de informații educaționale
Selectați în jurul unui punct K al corpului un paralelipiped cu margini de lungime infinitesimală. În cazul general, tensiunile normale și de forfecare pot acționa pe fețele acestui paralelipiped elementar. Setul de stresuri pe toate tipurile de site-uri care trec printr-un punct se numește starea de stres a materialului la punct... S-a dovedit că este posibil să aranjați un paralelipiped în spațiu, astfel încât să rămână doar tensiuni normale pe fețele sale. Asemenea fețe sunt numite site-uri importanteși tensiunile de pe ele - stresurile principale... Cea mai mare tensiune principală este desemnată σ 1, cea mai mică este σ 3 și, prin urmare, tensiunea intermediară este σ 2.
Există trei tipuri de stres: liniar, plat și volumetric (Fig. 3.1).
Fig. 1. Tipuri de stres la un moment dat: și - liniar; b - apartament; în - volumetric
2. Starea de stres a avionului
Să luăm în considerare mai detaliat starea de tensiune plană. Selectați dintr-o placă subțire cu o grosime t un element infinitesimal, de-a lungul fețelor laterale ale cărora acționează tensiuni normale și tangențiale (Fig. 2, și). Presupunem că eforturile sunt distribuite uniform pe toată grosimea plăcii, prin urmare mărimea specifică t nu afectează analiza ulterioară. Vom privi elementul din axă z, iar tensiunile de pe fețele laterale ale elementului sunt considerate pozitive (Fig. 2, b).
Fig. 2. Starea de stres a avionului
Conform legea tensiunilor de forfecare pereche adică tensiunile de forfecare pe zonele reciproc perpendiculare sunt egale ca mărime și direcționate astfel încât acestea tind să rotească elementul în direcții opuse.
Zonele principale (Fig. 3) fac un unghi cu 0 cu zonele originale, a căror valoare este determinată din expresie
Fig. 3. Situri majore și stresuri majore
Principalele acțiuni, notate ca și, sunt calculate după formulă
Tensiunile extreme de forfecare sunt egale cu jumătatea diferenței dintre eforturile principale și acționează asupra site-urilor înclinate către site-urile principale cu un unghi de 45 °
Deformările unui element infinitesimal sub o stare de tensiune plană constau într-o schimbare a dimensiunilor liniare ale unui element și într-o schimbare a formei unui element. Dacă, în cazul general, tensiunile normale și tangențiale acționează pe fețele unui element, atunci în punctul corpului apar deformări liniare relative
și deformare unghiulară ( schimbare relativă) sub forma unui unghi de forfecare (Fig. 4, b).
Fig. 4. Stare de stres plat: și - Voltaj; b - deformări
Există dependențe sub forma legii lui Hooke între deformările liniare relative și tensiunile din punctul corpului elastic:
Iată modulul de elasticitate longitudinală (modulul de elasticitate de primul tip); este raportul Poisson.
Un caz special al unei stări de tensiune plană este unul în care numai tensiunile tangențiale acționează asupra zonelor reciproc perpendiculare (Fig. 5).
Un astfel de caz se numește schimbare pură, iar site-urile originale sunt numite site-uri cu forfecare pură. Zonele principale se dovedesc a fi înclinate către zonele de forfecare pură la un unghi de 45 °, iar tensiunile principale sunt numeric egale cu eforturile de forfecare, una dintre tensiunile principale fiind de tracțiune și cealaltă compresiune. Conform regulii de desemnare a acțiunilor principale;
Deformațiile unui element infinitesimal în timpul forfecării pure constă în denaturarea unghiurilor drepte cu o cantitate numită unghi de forfecare(fig. 4 și 5).
Există o relație proporțională între unghiul de forfecare și eforturile de forfecare, numite legea lui Hooke la forfecare pură
unde factorul de proporționalitate G – modul de forfecare (modulul de elasticitate de cel de-al doilea fel), măsurat în aceleași unități ca tensiunile, MPa, kN / cm2.
Trei caracteristici ale proprietăților elastice ale unui material izotrop se dovedesc a fi legate între ele printr-o dependență, care este scrisă cel mai adesea în următoarea formă:
Fundamentele teoriei elasticității
Curs 4
Problema cu planul teoriei elasticității
Slide 2
În teoria elasticității, există o clasă mare de probleme care sunt importante în sensul aplicațiilor practice și, în același timp, permit simplificări semnificative ale laturii matematice a soluției. Simplificarea este că în aceste probleme, una dintre axele de coordonate ale corpului, de exemplu, axa z, poate fi aruncată și toate fenomenele pot fi considerate ca apărute într-un plan de coordonate x0y al corpului încărcat. În acest caz, tensiunile, deformările și deplasările vor fi funcții a două coordonate - x și y.
Problema considerată în două coordonate se numește problemă plană a teoriei elasticității.
În termenul „ problemă plană a teoriei elasticității»Combinați două probleme fizic diferite, ceea ce duce la dependențe matematice foarte similare:
1) problema unei stări plane deformate (deformare plană);
2) problema stării de tensiune plană.
Aceste probleme sunt cel mai adesea caracterizate de o diferență semnificativă între o dimensiune geometrică și alte două dimensiuni ale corpurilor luate în considerare: o lungime mare în primul caz și o grosime mică în cel de-al doilea caz.
Deformație plană
Deformația este numită plană dacă deplasările din toate punctele corpului pot apărea doar în două direcții într-un singur plan și nu depind de coordonatul normal față de acest plan, adică.
u \u003d u (x, y); v \u003d v (x, y); w \u003d 0 (4.1)
Deformarea planului are loc în corpuri lungi prismatice sau cilindrice, cu o axă paralelă cu axa z, de-a lungul căreia o sarcină acționează pe suprafața laterală care este perpendiculară pe această axă și nu se modifică ca mărime de-a lungul ei.
Un exemplu de deformare plană este starea de solicitare a tensiunii care apare într-un baraj lung drept și o boltă lungă a unui tunel subteran (Fig. 4.1).
Figura - 4.1. Deformarea planului apare în corpul barajului și pe acoperișul tunelului subteran
Slide 3
Substituind componentele vectorului deplasării (4.1) în formulele Cauchy (2.14), (2.15), obținem:
(4.2)
Absența deformațiilor liniare în direcția axei z duce la apariția unor eforturi normale σ z. Rezultă din formula legii lui Hooke (3.2) pentru deformarea ε z care
de unde se obține expresia pentru stres σ z:
(4.3)
Substituind acest raport în primele două formule ale legii lui Hooke, găsim:
(4.4)
Slide 4
O analiză a formulelor (4.2) - (4.4) și (3.2) implică, de asemenea, că
Astfel, ecuațiile de bază ale teoriei tridimensionale a elasticității în cazul deformării plane sunt mult simplificate.
Dintre cele trei ecuații diferențiale ale echilibrului Navier (2.2), rămân doar două ecuații:
(4.5)
iar a treia se transformă în identitate.
Deoarece direcția cosinus este peste tot pe suprafața laterală n \u003d cos (v, z) \u003d cos90 0 \u003d 0, Z v \u003d 0, atunci dintre cele trei condiții de la suprafață (2.4) rămân doar două ecuații:
(4.6)
unde l, m sunt cosinusele de direcție ale normalului exterior v la suprafața conturului;
X, Y, X v, Y v - componente ale forțelor volumetrice și ale intensității încărcărilor exterioare pe suprafața x și respectiv axa y.
Slide 5
Cele șase ecuații Cauchy (2.14), (2.15) se reduc la trei:
(4.7)
Dintre cele șase ecuații ale continuității deformărilor lui Saint-Venant (2.17), (2.18), o ecuație rămâne:
(4.8)
iar restul devin identități.
Dintre cele șase formule ale legii lui Hooke (3.2), luând în considerare (4.2), (4.4), trei formule rămân:
În aceste relații sunt introduse noi constante elastice pentru forma de notație tradițională în teoria elasticității:
Slide 6
Stare de stres plat
Starea de tensiune plană apare atunci când lungimea aceluiași corp prismatic este mică în comparație cu celelalte două dimensiuni. În acest caz, se numește grosime. Tensiunile din corp acționează numai în două direcții în planul de coordonate xOy și nu depind de coordonata z. Un exemplu de astfel de corp este o placă subțire de grosime h, încărcată de-a lungul suprafeței laterale (coaste) de forțe paralele cu planul plăcii și distribuită uniform pe grosimea acesteia (Fig. 4.2).
Figura 4.2 - Placă subțire și sarcini aplicate pe ea
În acest caz, sunt posibile simplificări, similare cu cele din problema deformării plane. Componentele tensiunii tensiunii σ z, τ xz, τ yz pe ambele planuri ale plăcii sunt egale cu zero. Deoarece placa este subțire, putem presupune că acestea sunt egale cu zero și în interiorul plăcii. Atunci starea de solicitare va fi determinată doar de componentele σ x, σ y, τ xy, care nu depind de coordonata z, adică nu se schimbă peste grosimea plăcii, ci sunt funcții de numai x și y.
Astfel, următoarea stare de stres apare într-o placă subțire:
Diapozitiv 7
În ceea ce privește tensiunile, starea de tensiune plană diferă de deformarea planului de condiție
În plus, din formula pentru legea lui Hooke (3.2), luând în considerare (4.10), pentru deformarea liniară ε z, obținem că aceasta nu este egală cu zero:
În consecință, bazele plăcii se vor îndoi odată cu apariția deplasărilor. 
de-a lungul axei z.
Conform acestor presupuneri, ecuațiile de bază ale deformării plane: ecuații diferențiale de echilibru (4.5), condiții la suprafață (4.6), ecuații Cauchy (4.7) și ecuații de continuitate a deformațiilor (4.8) păstrează aceeași formă în problema stării de tensiune plană.
Formulele legale ale lui Hooke vor lua următoarea formă:
Formulele (4.11) diferă de formulele (4.9) din legea lui Hooke pentru deformarea planului numai în valorile constantelor elastice: E și E 1, v și v 1 .
Slide 8
În formă inversă, legea lui Hooke este scrisă după cum urmează:
(4.12)
Astfel, atunci când se rezolvă aceste două probleme (deformarea plană și starea de tensiune plană), se pot utiliza aceleași ecuații și combina problemele într-o problemă plană a teoriei elasticității.
În problema plană a teoriei elasticității, există opt necunoscute:
- două componente ale vectorului de deplasare u și v;
- trei componente ale tensiunii tensiunii σ x, σ y, τ xy;
- trei componente ale tensiunii tensiunii ε x, ε y, γ xy.
Pentru a rezolva problema, se folosesc opt ecuații:
- două ecuații diferențiale de echilibru (4.5);
- trei ecuații Cauchy (4.7);
- trei formule din legea lui Hooke (4.9) sau (4.11).
În plus, deformările rezultate trebuie să se supună ecuației de continuitate a deformațiilor (4.8) și a condițiilor de echilibru (4.6) dintre tensiunile interne și intensitățile sarcinii exterioare a suprafeței X v, Y v.
STAT DEFORMAT ("PROBLEMA DE PLAT")
Stresul planului și stările plane ale tensiunii se caracterizează prin următoarele caracteristici.
1. Toate componentele de stres nu depind de una dintre coordonate, comune pentru toate componentele și rămân constante atunci când se schimbă.
2. În planurile normale pentru axa acestei coordonate:
a) Componentele de efort de forfecare sunt zero;
b) stresul normal este fie zero (starea de tensiune plană), fie egală cu jumătate din suma celor două alte solicitări normale (starea de tensiune plană).
Să luăm axa y ca axa menționată anterior. Din precedent, este clar că această axă va fi principala, adică poate fi desemnată și de indexul 2. Mai mult, și nu depinde de y; în același timp și, prin urmare, și sunt egale cu zero.
Pentru o stare sub tensiune plană \u003d 0. Pentru o stare deformată de plan (această caracteristică a unei stări deformate de plan se va dovedi mai jos).
Unul ar trebui să țină cont întotdeauna de diferența semnificativă între stresul plan și stările de tensiune plană.
În primul, în direcția celei de-a treia axe, nu există o tensiune normală, dar există o deformare, în a doua, există o tensiune normală, dar nici o deformare.
O stare de tensiune plană poate fi, de exemplu, într-o placă supusă acțiunii forțelor aplicate pe conturul acesteia paralel cu planul plăcii și distribuite uniform pe grosimea acesteia (Fig. 3.16). Schimbarea grosimii plăcii în acest caz nu contează, iar grosimea acesteia poate fi luată ca unitate. Starea de solicitare a flanșei atunci când trageți un semifabricat cilindric din materialul de foi poate fi considerată plană cu o precizie suficientă.
O stare deformată în plan poate fi adoptată pentru secțiuni ale unui corp cilindric sau prismatic de lungime mare, îndepărtată de capetele sale, dacă corpul este încărcat cu forțe care nu variază de-a lungul lungimii sale și sunt direcționate perpendicular pe generatori. Într-o stare plană deformată, de exemplu, poate fi considerată o bară care este supusă unei supărări în direcția grosimii sale, când deformarea de-a lungul lungimii sale poate fi neglijată.
Toate ecuațiile stării de stres pentru problema planului sunt mult simplificate și numărul de variabile este redus.
Ecuațiile pentru problema planului pot fi obținute cu ușurință de la cele derivate anterior pentru starea de tensiune în masă, ținând cont de faptul că 
\u003d 0 și presupunând \u003d 0, deoarece zonele înclinate trebuie considerate doar paralele cu axa y, adică normală pentru zone libere de eforturi într-o stare sub tensiune plană sau libere de deformări într-o stare deformată de plan (figura 3.17).
În cazul analizat
Notând unghiul (a se vedea Fig. 3.17) între platforma normală față de platforma înclinată și axa (sau axa, dacă starea de solicitare este dată în axele principale 1 și 2) prin, ajungem unde.
Având în vedere cele de mai sus, prin substituții directe în expresiile corespunzătoare (3.10) și (3.11) pentru starea de solicitare volumetrică, obținem tensiunile normale și de forfecare în zona înclinată (vezi Fig. 3.17).
Figura 3.15. Stare de tensiune plană (a), stres pe o platformă înclinată (b)
Tensiune normală
Stres de forfecare
. (3.41)
Din expresia (3.41) este ușor de observat că are un maxim la sin 2 \u003d 1, adică la \u003d 45 °:
. (3.42)
Mărimea eforturilor principale poate fi exprimată în termeni de componente în axe arbitrare, folosind ecuația (3.13), din care obținem
. (3.43)
În acest caz, pentru o stare de tensiune plană \u003d 0; pentru o stare plată deformată
Cunoscând starea de solicitare în axele principale, este ușor să treceți la orice axe de coordonate arbitrare (Fig. 3.18). Lasă noua axă de coordonate x să facă un unghi cu axa, apoi, considerând-o normală pentru zona înclinată, avem pentru aceasta din urmă conform ecuației (3.40)
dar pentru axă, prin urmare, stresul este stresul
această expresie poate fi transformată astfel:
(3.44)
Noua axă va fi înclinată spre axa 1 într-un unghi (+ 90 °); prin urmare, înlocuind ecuația anterioară cu (+ 90 °), obținem
Tensiunea este determinată din expresia (3.41):
. (3.46)
Notarea tensiunii medii prin, adică luarea
, (3.47)
ținând cont de ecuația (3.42), obținem așa-numitele formule de transformare care exprimă componentele de tensiune ca funcție a unghiului:
(3.48)
Când construim o diagramă Mohr, avem în vedere că, având în vedere că avem în vedere zone paralele cu axa Y (adică axa 2), direcția cosinului este întotdeauna zero, adică unghiul \u003d 90 °. Prin urmare, toate valorile corespunzătoare și vor fi localizate pe cercul definit de ecuația (3.36 b) atunci când este înlocuit în acesta \u003d 0, și anume:
, (3.49)
sau luând în considerare expresiile (3.47) și (3.42)
... (3.49a)
Acest cerc este prezentat în Fig. 3.19 și este o diagramă Mohr. Coordonatele oricărui punct P localizat pe cerc determină valorile corespunzătoare și. Conectați punctul P cu punctul. Este ușor de observat că segmentele 0 2 P \u003d;
Pp \u003d, Op \u003d și, prin urmare, păcat 
= 
.
Comparând expresiile obținute cu ecuațiile (3.48), se poate stabili că
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Astfel, cunoscând poziția platformei înclinate, determinată de unghiul, este posibilă găsirea valorilor tensiunilor și acționării în această platformă.
Figura 3.17. Diagrama Mohr
,
atunci segmentul OP exprimă tensiunea totală S.
Dacă elementul unui corp stresat, pe fața înclinată a căruia sunt considerate tensiunile, este desenat astfel încât tensiunea principală să fie direcționată paralel cu axa, atunci N normal atras de această față înclinată și, în consecință, direcția de solicitare va fi paralelă cu segmentul CP.
Continuând linia Р0 2 până la intersecția cu cercul, la punctul Р "vom obține a doua pereche de valori pentru o altă zonă înclinată, care are" \u003d + 90 °, adică pentru zona perpendiculară pe prima, cu direcția normală ". Direcțiile normalelor N și N "pot fi luate, respectiv, pentru direcțiile noilor axe: și, și tensiunile și" - respectiv pentru tensiunile de coordonate și. Astfel, este posibilă determinarea stării de tensiune în axe arbitrare fără a utiliza formule (3.44) - (3.46). Valorile absolute ale tensiunilor rt " sunt egali unul cu celălalt prin legea împerecherii.
Nu este dificil de rezolvat problema inversă: pentru tensiunile date în două zone reciproc perpendiculare, u, t "(unde t" \u003d t) găsiți tensiunile principale.
Desenăm axele de coordonate n și (Fig. 3.19). Atragem punctele P și P "cu coordonate corespunzătoare eforturilor specificate și. Intersecția segmentului PP" cu axa va determina centrul cercului lui Mohr 0 2 cu diametrul PP "\u003d 2 31. În plus, dacă construim N, N" (sau, ceva la fel ,,) și rotiți figura astfel încât direcțiile acestor axe să fie paralele cu direcțiile de solicitare și în punctul considerat al corpului dat, atunci direcțiile axelor și diagrama vor fi paralele cu direcția axelor principale 1 și 2.
Obținem ecuația de echilibru diferențială pentru problema plană din ecuațiile (3.38), ținând cont că toate derivatele față de y sunt egale cu zero și, de asemenea, egale cu zero și:
(3.50)
La rezolvarea unor probleme legate de plan, uneori este convenabil să folosiți coordonate polare în loc de coordonate dreptunghiulare, definind poziția unui punct de vectorul de rază și unghiul polar, adică unghiul care alcătuiește vectorul cu raza cu axa.
Condițiile de echilibru în coordonatele polare pot fi obținute cu ușurință din aceleași condiții în coordonate cilindrice prin echivalare
Și considerând că derivatele sunt egale cu
(3.51)
Un caz special al problemei plane este atunci când tensiunile sunt, de asemenea, independente de coordonate (distribuția de tensiune simetrică în jurul axei). În acest caz, derivații față de și tensiuni și dispar, iar condițiile de echilibru sunt determinate de o ecuație diferențială
. (3.52)
Este clar că și aici sunt principalele tensiuni.
O astfel de stare de stres se poate presupune pentru flanșa unei panglici rotunde în timpul desenului, fără a apăsa cupa cilindrică.
Tipul de stres
Starea de tensiune din orice punct al corpului deformabil este caracterizată de trei solicitări normale principale și direcții ale axelor principale.
Există trei tipuri principale de stres de tensiune: volumetric (triaxial), în care toate cele trei solicitări principale nu sunt egale cu zero, plan (biaxial), în care una dintre tensiunile principale este zero și liniară (uniaxial), în care o singură tensiune principală este diferită de zgârietură.
Dacă toate tensiunile normale au același semn, atunci starea de tensiune se numește cu același nume, iar la tensiuni cu semne diferite, opuse.
Astfel, există nouă tipuri de stări de stres: patru volumetrice, trei plane și două liniare (figura 3.18).
Starea de tensiune se numește omogenă atunci când, în orice punct al corpului deformabil, direcțiile axelor principale și mărimile tensiunilor normale principale rămân neschimbate.
Tipul de stare de stres afectează capacitatea metalului de a se deforma plastic fără a se rupe și amploarea forței externe care trebuie aplicată pentru a efectua deformarea unei valori date.
Așadar, de exemplu, deformarea în condițiile aceleiași stări de tensiune volumetrică necesită mai mult efort decât sub starea de stres opusă, toate celelalte fiind egale.
testează întrebări
1.Care este tensiunea? Ce caracterizează starea stresată a unui punct, a corpului în ansamblu?
2. Ce exprimă indicii în notația componentelor tensiunii tensiunii?
3. Dati regula semnelor pentru componentele tensiunii tensiunii.
4. Scrieți formulele Cauchy pentru tensiunile de pe rampe. Care este baza concluziei lor?
5.Care este tensorul de stres? Care sunt componentele tensiunii tensiunii?
6. Care sunt numele eigenvectorilor și valorile proprii ale tensiunii tensiunii?
7. Care sunt principalele stresuri? Cât de multe sunt acolo?
8. Dă regula atribuirii indici principalelor tensiuni normale.
9. Oferiți o interpretare fizică a principalelor eforturi normale și a principalelor axe ale tensiunii tensiunii.
10. Afișați diagramele principalelor eforturi normale pentru principalele procese de metalizare - rulare, desenare, presare.
11. Care sunt invariantele tensiunii? Cât de multe sunt acolo?
12. Care este sensul mecanic al primului invariant al tensiunii tensiunii?
13. Cum se numește intensitatea tensiunilor de forfecare?
14. Care sunt principalele eforturi de forfecare? Găsiți-le site-urile
15 .. Câte zone de eforturi de forfecare principale pot fi specificate la un moment dat al unui corp deformat?
16. Care este tensiunea de forfecare maximă, stresul normal pe site-ul pe care acționează?
17. Ce este o stare de stres aximetrică? Dă exemple.
18. Afișați diagramele principalelor eforturi normale pentru principalele procese de OMD - rulare, desen, presare.
19. Ce este obișnuit între stresul plan și stările de tulpini plane și care este diferența dintre ele? La care dintre aceste state se referă schimbarea simplă?
20. Vă sunt cunoscute formule de teorie a stresului în sistemul principal de coordonate
21. Ce este elipsoidul de stres? Scrieți ecuația acesteia și indicați ordinea construcției. Ce formă are elipsoidul de stres pentru presiunea hidrostatică, stările plane și liniare de stres?
22. Scrieți ecuația pentru găsirea tensiunilor normale principale și trei sisteme de ecuații pentru găsirea axelor principale T a.
23 .. Ce este un tensor cu bilă și un deviator de stres? Pentru a calcula ce cantități sunt folosite al doilea și al treilea invariant al deviatorului de stres?
24. Arătați că sistemele principale de coordonate ale tensiunii tensiunii și deviatorului coincid.
25. De ce sunt luate în considerare intensitatea de stres și forța de forfecare? Explicați sensul lor fizic și dați interpretări geometrice.
26. Ce este o diagramă Mohr? Care sunt razele cercurilor principale?
27. Cum se va schimba diagrama Mohr atunci când se modifică tensiunea medie?
28. Care sunt tensiunile octaedrice?
29. Câte zone caracteristice pot fi trase printr-un punct al unui corp în stare stresată?
30. Condiții de echilibru pentru starea de solicitare volumetrică în coordonate dreptunghiulare, în coordonate cilindrice și sferice.
31. Ecuații de echilibru pentru problema planului.
LISTA DE REFERINTE
1. Plasticitatea Ilyushin AA. Partea I. M.-L., GTI, 1948.346 p. (33)
2. Pavlov IM Cu privire la natura fizică a reprezentărilor tensorilor în teoria plasticității. - „Izvestiya vuzov. Metalurgia feroasă ”, 1965, nr. 6, p. 100-104.
3. Sokolovsky VV Teoria plasticității. M., „Liceul”, 1969. 608 p. (91)
4. Storozhev MV și Popov EA Teoria prelucrării presiunii metalelor. M., „Inginerie mecanică”, 1971. 323 p. (99)
5. Timoshenko SP Teoria elasticității. Gostekhizdat, 1934.451 p. (104)
6. Shofman LA Osnovy rascheta protsessov stampovki i pressingovaniya [Bazele calculului procesului de ștampilare și presare]. Mashgiz, 1961. (68)
STAT STRAT STRAT
Curs 15
Un exemplu de structură, toate punctele aflate într-o stare sub tensiune plană, este o placă subțire încărcată la capete de forțele care se află în planul său. Deoarece suprafețele laterale ale plăcii sunt lipsite de solicitări, atunci, datorită mărimii grosimii sale, se poate presupune că tensiunile sunt neglijabile în interiorul plăcii pe zone paralele cu suprafața sa. O situație similară apare, de exemplu, atunci când arbori de încărcare și grinzi cu profil cu pereți subțiri.
În cazul general, atunci când vorbim despre o stare de stres plană, nu ne referim la întreaga structură, ci doar la elementul ei în cauză. Un semn că la un moment dat starea de stres este plană este prezența unei platforme care trece prin ea, pe care nu există tensiuni. Astfel de puncte vor fi, în special, puncte libere de sarcini pe suprafața exterioară a corpului, care în majoritatea cazurilor sunt periculoase. Prin urmare, atenția este de înțeles, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ se acordă analizei acestui tip de stare de stres.
Atunci când înfățișăm un paralelopip elementar într-o stare sub tensiune plană, este suficient să se arate una dintre fețele sale descărcate, alinându-l cu planul de desen (Fig. 15.1). Apoi, fețele încărcate ale elementului vor fi aliniate cu limitele zonei arătate. În acest caz, sistemul de notație pentru stres și regulile semnelor rămân aceleași - componentele stării de stres prezentate în figură sunt pozitive. Ținând cont de legea împerecherii tensiunilor tangențiale
t xy \u003dt YX, starea de tensiune plană (PLS) este descrisă de trei componente independente - s X,s y,t X y. ...
VOLTAJE PE SITE-URILE INCLUSE ÎN STATE STRESS FLAT
Din elementul ͵ prezentat în Fig. 15.1, o prismă triunghiulară, tăind-o mental cu o secțiune oblică perpendiculară pe planul desenului xOy... Poziția rampei și axe asociate x 1 , da 1 este setată folosind unghiul a, care va fi considerat pozitiv atunci când axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic.
Ca în cazul general descris mai sus, prezentat în Fig. 15.2, tensiunile pot fi considerate ca acționând la un moment dat, dar pe site-uri orientate diferit. Găsim tensiunile de pe platforma înclinată din condiția de echilibru a prismei, exprimându-le în termenii tensiunilor date s X,s y, T X y pe fețe care coincid cu planurile de coordonate. Să denotăm zona feței înclinate dA, apoi zonele fețelor coordonate vor fi găsite după cum urmează:
dA x \u003d dAcos a ,
dA y \u003d dApăcat a .
Să proiectăm forțele care acționează pe fețele prismei pe axă x 1 și y 1:
Prin reducerea unui factor comun dA, și efectuând transformări elementare, obținem
Dacă luăm în considerare asta
expresiile (15.1) pot fi date după următoarea formă finală:
În fig. 15.3 împreună cu originalul, este prezentat un element infinitesimal, orientat de-a lungul axelor. x 1 , da 1. Stresează pe fețele sale normale față de axă x 1 sunt determinate de formulele (15.2). Pentru a găsi stresul normal pe o față perpendiculară pe axă y 1, este extrem de important să înlocuim valoarea cu + 90 ° în loc de unghiul a:
Stresuri tangențiale și într-un sistem rotativ de coordonate x 1 y 1 respectați legea împerecherii, adică
Suma tensiunilor normale, după cum se cunoaște din analiza stării de tensiune în masă, este una dintre invariantele sale și trebuie să rămână constantă atunci când înlocuim un sistem de coordonate cu altul. Acest lucru poate fi ușor verificat prin adăugarea tensiunilor normale determinate din formulele (15.2), (15.3):
VOLTAGE PRINCIPALE
Mai devreme, am stabilit că zonele pe care nu există tensiuni de forfecare se numesc zone principale, iar stresurile asupra acestora sunt numite tensiuni principale. Într-o stare de stres plat, poziția uneia dintre principalele platforme este cunoscută în avans - ϶ᴛᴏ o platformă pe care nu există tensiuni, ᴛ.ᴇ. aliniat cu planul desenului (vezi Fig. 15.1). Să găsim principalele platforme perpendiculare cu aceasta. Pentru a face acest lucru, lăsăm tensiunea tangențială din (15.1) să fie egală cu zero, de unde obținem
Unghiul a 0 indică direcția normală către site-ul principal sau direcția principală, în această privință este numit colțul principal. Deoarece tangența unui unghi dublu este o funcție periodică cu o perioadă p / 2, unghiul
un 0 + p / 2 este de asemenea unghiul principal. În total, există trei platforme principale în total și toate sunt reciproc perpendiculare. Singura excepție este cazul când nu există trei site-uri principale, ci un set infinit - de exemplu, cu compresie integrală, când orice direcție aleasă este principala, iar tensiunile sunt aceleași la toate site-urile care trec prin punct.
Merită să spunem că pentru a găsi tensiunile principale, se poate utiliza prima dintre formule (15.2), înlocuind succesiv în loc de unghi valorile a 0 și
Se ține cont aici că
Funcțiile trigonometrice pot fi excluse din expresii (15.5) dacă folosim egalitatea binecunoscută
Și ține cont și de formula (15.4). Atunci ajungem
Semnul plus în formulă corespunde uneia dintre tensiunile principale, semnul minus celuilalt. După calcularea acestora, puteți utiliza denumirile acceptate pentru tensiunile principale s 1, s 2, s 3, ținând cont că s 1 este cel mai algebric cel mai mare, iar s 3 este cel mai puțin algebric stres. Cu alte cuvinte, dacă ambele stresuri principale găsite prin expresii (15.6) se dovedesc a fi pozitive, obținem
Dacă ambele tensiuni sunt negative, vom avea
În cele din urmă, dacă expresia (15.6) dă valori ale tensiunilor cu semne diferite, atunci tensiunile principale vor fi
CELE MAI MARE VALORI A VOLTAJELOR NORMALE ȘI TENSIONALE
Dacă rotiți mental axele x 1 y 1 și elementul asociat cu ele (vezi Fig. 15.3), tensiunile de pe fețele sale se vor schimba, iar la o anumită valoare a unghiului a, tensiunea normală va atinge un maxim. Deoarece suma tensiunilor normale în zonele reciproc perpendiculare rămâne constantă, stresul va fi cel mai scăzut în acest moment.
Pentru a găsi această poziție a site-urilor, trebuie să examinați expresia pentru extremum, considerând-o ca funcție a argumentului a:
Comparând expresia dintre paranteze cu (15.2), ajungem la concluzia că tensiunile tangențiale sunt egale cu zero la zonele solicitate. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, tensiunile normale ating valori extreme exact pe site-urile principale.
Pentru a găsi cel mai mare efort de forfecare, luăm plăcuțele principale ca cele inițiale, alinind axele x și y cu direcții principale. Formulele (15.1), în care unghiul a va fi măsurat acum din direcția s 1, va arăta astfel:
Din ultima expresie rezultă că tensiunile de forfecare ating cele mai ridicate valori pe zonele transformate spre cele principale cu 45 °, când
sin 2a \u003d ± 1. În acest caz, valoarea lor maximă este
Rețineți că formula (15.8) este valabilă și în cazul când
REPRESENTAREA GRAFICĂ A STĂRII STRATULUI. CIRCURILE MORA
Formulele (15.7), care sunt utilizate pentru a determina eforturile de pe sit, rotite cu un anumit unghi α în raport cu cea principală, au o interpretare geometrică clară. Presupunând claritatea că ambele eforturi principale sunt pozitive, introducem următoarele denumiri:
Apoi, expresiile (15.7) iau forma destul de recunoscută a ecuației parametrice a cercului în coordonatele σ și τ:
Indicele „α”, din denumiri, subliniază că eforturile sunt pe site-ul rotit la cel inițial într-un unghi dat. Cantitatea șidetermină poziția centrului cercului pe axa σ; raza cercului este R ... Prezentat în fig. 15.5, conform tradiției consacrate, diagrama de stres circular se numește cercul Mohr, după celebrul om de știință german Otto Mohr (1835 - 1918. Предлож.) Care a propus-o. Direcția axei verticale este selectată ținând cont de semn τ α în (15.10). Fiecare valoare a unghiului α corespunde unui punct reprezentativ K (σ α, τ α ) pe un cerc ale cărui coordonate sunt egale cu eforturile de pe platforma rotită. Zonele reciproc perpendiculare, în care unghiul de rotație diferă cu 90 °, corespund punctelor K și K- Întins la capetele opuse ale diametrului.
Se ține cont aici că
deoarece formulele (15.2) și (15.7) când unghiul se schimbă cu 90 0 dau semnul tensiunii tangențiale în sistemul de coordonate rotite, în care una dintre axe coincide în direcție cu axa inițială, iar cealaltă este opusă în direcție (Fig. 15.5)
Dacă site-urile principale acționează ca site-urile inițiale, ᴛ.ᴇ. se cunosc valorile σ 1 și σ 2, cercul lui Mohr se construiește cu ușurință din punctele 1 și 2. O rază trasă din centrul cercului în unghiul 2a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul, va da un punct reprezentativ ale cărui coordonate sunt egale cu eforturile căutate pe zona rotită. În același timp, este mai convenabil să folosiți așa-numitul pol al unui cerc, direcționând un fascicul din acesta într-un unghi a. Din relația evidentă dintre raza și diametrul cercului, polul indicat în desen prin literă A, va coincide în acest caz cu punctul 2. În general, polul se află la intersecția normelor cu zonele inițiale. Dacă site-urile originale nu sunt cele principale, cercul Mohr este construit după cum urmează: punctele reprezentative sunt reprezentate pe planul σ - t K (σ X, t X y) și K’(σ y, -t X y) corespunzătoare plăcuțelor sursă verticală și orizontală. Legând punctele unei linii drepte, la intersecția cu axa σ, găsim centrul cercului, după care se construiește graficul plăcintă în sine. Intersecția cercului cu axa orizontală va oferi valoarea tensiunilor principale, iar raza va fi egală cu cea mai mare efort de forfecare. În fig. 15.7 prezintă cercul lui Mohr, construit pe site-urile originale, care nu sunt cele principale. Stâlp A se află la intersecția normelor cu plăcuțele originale KA și K’A... rază A.Mtrase de la pol într-un unghi a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul va da punctul reprezentativ M(σ a, t a), ale cărui coordonate sunt stresuri pe site-ul de interes pentru noi. Razele trase de la pol la punctele 1 și 2 vor arăta unghiurile principale a 0 și a 0 +90 0. Circles ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, cercurile lui Mohr sunt un instrument grafic util pentru analiza tensiunii plane.
b) Tensiunea de pe marginea elementului rotit cu 45 0, o găsim prin (15.1)
Stres normal la un loc perpendicular
(a \u003d 45 0 +90 0) va fi egal
c) Cele mai mari solicitări de forfecare sunt găsite de (15.8)
2. Soluție grafică.
Construiește cercul lui Mohr din punctele reprezentative K(160.40) și K’ (60, -40)
Polul cercului A găsiți la intersecția normalilor cu zonele inițiale.
Cercul va traversa axa orizontală la punctele 1 și 2. Punctul 1 corespunde tensiunii principale σ 1 \u003d 174 MPa, punctul 2 - la valoarea tensiunii principale σ 2 \u003d 46 MPa. Un fascicul tras dintr-un stâlp A prin punctele 1 și 2, se va afișa valoarea unghiurilor principale. Sforțele de pe site-ul rotit cu 45 0 față de original sunt egale cu coordonatele punctului reprezentativ Msituat la intersecția cercului cu raza trasă de la stâlp A la un unghi de 45 0. După cum puteți vedea, soluția grafică a problemei analizei stării de stres coincide cu cea analitică.
biaxială sau apartament se numește o astfel de stare stresată a corpului, în care în toate punctele sale una dintre tensiunile principale este egală cu zero. Se poate arăta * că o stare de tensiune plană apare într-un corp prismatic sau cilindric (Fig. 17.1) cu capete libere și descărcate, dacă un sistem de forțe externe normal pe axă este aplicat pe suprafața laterală a corpului oz și schimbând în funcție de z conform legii cvadratice, este simetric față de secțiunea din mijloc. Se dovedește că în toate secțiunile transversale ale corpului
și tensiune a x, a y, x variază în funcție de z de asemenea, conform legii cvadratice, simetric despre secțiunea medie. Introducerea acestor presupuneri face posibilă obținerea unei soluții la problema care satisface condițiile (17.13) și toate ecuațiile teoriei elasticității.
De interes este cazul particular când tensiunile sunt independente de variabilă z'-
O astfel de stare de stres este posibilă numai sub acțiunea unei sarcini distribuite uniform pe lungime. Din formulele legii lui Hooke (16.3) rezultă că deformările ex, e y, e z, y sunt, de asemenea, independente de z, și deformări la și y zx luând în considerare (17.13) sunt egale cu zero. În acest caz, a patra și a cincea din ecuațiile de continuitate a tulpinii (16.4), (16.5) sunt satisfăcute identic, iar a doua, a treia și a șasea ecuație iau forma
Integrarea acestor ecuații și luarea în considerare a treia dintre formulele din legea lui Hooke (16.3) pentru a z \u003d 0, ajungem
Cm.: Timoshenko S.P., Goodyer J. Teoria elasticității. Moscova: Nauka, 1975.
Astfel, o stare de tensiune plană într-un corp prismatic sau cilindric, cu capetele libere încărcate cu o constantă de sarcină de suprafață de-a lungul lungimii corpului este posibilă numai în cazul special atunci când suma eforturilor a x + a y variază în funcție de variabilele x și la liniară sau constantă.
Dacă distanța dintre planurile de capăt ale corpului (Fig. 7.1) este mică în comparație cu dimensiunile secțiunilor, atunci avem cazul unei plăci subțiri (Fig. 17.5) încărcate de-a lungul conturului exterior de forțe distribuite simetric în raport cu planul median al plăcii conform unei legi patratice. Deoarece grosimea plăcii h este mică, atunci cu o eroare nesemnificativă se poate presupune că pentru orice încărcare a placii simetrice în raport cu planul median, tensiunile a x, a v, t xv sunt distribuite uniform pe grosimea sa.
În acest caz, tensiunile ar trebui să fie înțelese ca valorile lor de grosime medie, de exemplu
De asemenea, trebuie menționat faptul că, odată cu introducerea asumării (17.14), starea (17.13) a tensiunii zero
Se consideră adesea cazul considerat al stării subliniate a unei plăci subțiri cu presupuneri (17.13) și (17.14) stare generală de stres plat.
Luați în considerare ecuațiile de bază ale teoriei elasticității pentru acest caz.
Luând în considerare (17.13), formulele legii lui Hooke (16.3) sunt scrise în formă
Relațiile inverse corespunzătoare au forma
Formulele (17.17) și (17.18) diferă de formulele (17.7) și (17.9) Legea lui Hooke pentru deformarea planului doar în cea din urmă, în loc de modulul elastic E iar raportul Poisson v conține cantitățile reduse E ( și v r
Ecuațiile de echilibru, relațiile Cauchy, ecuația de continuitate a deformațiilor și condițiile de graniță statică nu diferă de ecuațiile corespunzătoare (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) pentru deformarea planului.
Aceeași ecuații sunt descrise în mod esențial la tensiunea plană și starea generală a tensiunii plane. Singura diferență este în valorile constantelor elastice din formulele legii lui Hooke. Prin urmare, ambele sarcini sunt unite cu un nume comun: problemă plană a teoriei elasticității.
Sistemul complet de ecuații pentru problema planului este format din două ecuații de echilibru (17.10), trei relații geometrice Cauchy (17.3) și trei formule ale legii lui Hooke (17.7) sau (17.17). Conțin opt funcții necunoscute: trei tensiuni a x, a y,% xy, trei deformări da, da, da și două mișcări și și și.
Dacă la rezolvarea problemei nu este necesară determinarea deplasărilor, atunci numărul de necunoscute se reduce la șase. Există șase ecuații pentru a le determina: două ecuații de echilibru, trei formule ale legii lui Hooke și ecuația de continuitate a deformațiilor (17.11).
Principala diferență între cele două tipuri de problemă avute în vedere este următoarea. Cu deformare plană ? z = 0, o z * 0 și cantitatea c z poate fi găsit după formula (17.6) după ce au fost determinate tensiunile o x uo. Sub starea de stres plan generalizat o z = 0, ? z f 0 și deformare ? z poate fi exprimat în termeni de tensiuni o x și oU după formula (17.16). In miscare w poate fi găsit prin integrarea ecuației Cauchy