Jak vypočítat matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny. Pravděpodobnost a statistika - základní fakta

Teorie pravděpodobnosti je speciální obor matematiky, který studují pouze studenti vysokých škol. Máte rádi výpočty a vzorce? Nebojíte se vyhlídek na seznámení s normálním rozdělením, entropií souboru, matematickým očekáváním a rozptylem diskrétní náhodné veličiny? Pak vás bude toto téma velmi zajímat. Pojďme se seznámit s některými nejdůležitějšími základními pojmy této části vědy.

Připomeňme si základy

I když si pamatujete ty nejjednodušší pojmy teorie pravděpodobnosti, nezanedbávejte první odstavce článku. Faktem je, že bez jasného pochopení základů nebudete schopni pracovat s níže uvedenými vzorci.

Takže existuje nějaká náhodná událost, nějaký experiment. V důsledku provedených akcí můžeme získat několik výsledků – některé z nich jsou častější, jiné méně časté. Pravděpodobnost události je poměr počtu skutečně získaných výsledků jednoho typu k celkovému počtu možných. Pouze pokud znáte klasickou definici tohoto pojmu, můžete začít studovat matematické očekávání a rozptyl spojitých náhodných proměnných.

Průměrný

Ještě ve škole, v hodinách matematiky, jsi začal pracovat s aritmetickým průměrem. Tento koncept je široce používán v teorii pravděpodobnosti, a proto jej nelze ignorovat. Pro nás je v tuto chvíli hlavní, že se s ní budeme setkávat ve vzorcích pro matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny.

Máme posloupnost čísel a chceme najít aritmetický průměr. Vše, co se od nás vyžaduje, je sečíst vše, co je k dispozici, a vydělit počtem prvků v posloupnosti. Mějme čísla od 1 do 9. Součet prvků bude 45 a tuto hodnotu vydělíme 9. Odpověď: - 5.

Disperze

Z vědeckého hlediska je rozptyl střední čtverec odchylek hodnot získaných vlastností od aritmetického průměru. Jedna se značí velkým latinským písmenem D. Co je potřeba k jejímu výpočtu? Pro každý prvek posloupnosti vypočítáme rozdíl mezi dostupným číslem a aritmetickým průměrem a umocníme jej. Pro událost, kterou zvažujeme, bude přesně tolik hodnot, kolik může být výsledků. Dále shrneme vše přijaté a vydělíme počtem prvků v sekvenci. Pokud máme pět možných výsledků, vydělte je pěti.

Rozptyl má také vlastnosti, které si musíte zapamatovat, abyste je mohli použít při řešení problémů. Pokud se například náhodná proměnná zvýší Xkrát, rozptyl se zvýší o Xkrát čtverec (tj. X*X). Nikdy není menší než nula a nezávisí na posunu hodnot o stejnou hodnotu nahoru nebo dolů. Také u nezávislých pokusů se rozptyl součtu rovná součtu rozptylů.

Nyní rozhodně musíme zvážit příklady rozptylu diskrétní náhodné veličiny a matematického očekávání.

Řekněme, že provedeme 21 experimentů a získáme 7 různých výsledků. Každý z nich jsme pozorovali 1, 2, 2, 3, 4, 4 a 5krát. Jaký bude rozptyl?

Nejprve vypočítáme aritmetický průměr: součet prvků je samozřejmě 21. Vydělíme ho 7, dostaneme 3. Nyní odečteme 3 od každého čísla v původní posloupnosti, odmocníme každou hodnotu a výsledky sečteme. . Ukazuje se 12. Nyní nám zbývá vydělit číslo počtem prvků a zdá se, že je to vše. Má to ale háček! Pojďme to probrat.

Závislost na počtu pokusů

Ukazuje se, že při výpočtu rozptylu může být jmenovatelem jedno ze dvou čísel: buď N, nebo N-1. Zde N je počet provedených experimentů nebo počet prvků v sekvenci (což je v podstatě totéž). Na čem to závisí?

Pokud se počet testů měří ve stovkách, pak musíme do jmenovatele dát N. Pokud v jednotkách, pak N-1. Vědci se rozhodli nakreslit hranici zcela symbolicky: dnes vede podél čísla 30. Pokud jsme provedli méně než 30 experimentů, pak částku vydělíme N-1, a pokud více, pak N.

Úkol

Vraťme se k našemu příkladu řešení problému rozptylu a očekávání. Dostali jsme mezičíslo 12, které bylo třeba vydělit N nebo N-1. Protože jsme provedli 21 experimentů, což je méně než 30, zvolíme druhou možnost. Takže odpověď je: rozptyl je 12 / 2 = 2.

Očekávaná hodnota

Přejděme k druhému konceptu, který musíme v tomto článku zvážit. Matematické očekávání je výsledkem sečtení všech možných výsledků vynásobených odpovídajícími pravděpodobnostmi. Je důležité pochopit, že výsledná hodnota, stejně jako výsledek výpočtu rozptylu, se získá pouze jednou pro celý úkol, bez ohledu na to, kolik výsledků bere v úvahu.

Matematický vzorec očekávání je poměrně jednoduchý: vezmeme výsledek, vynásobíme ho jeho pravděpodobností, přičteme totéž pro druhý, třetí výsledek atd. Vše, co s tímto pojmem souvisí, je snadné spočítat. Například součet matematických očekávání se rovná matematickému očekávání součtu. Totéž platí pro práci. Ne každá veličina v teorii pravděpodobnosti umožňuje provádět tak jednoduché operace. Vezmeme si úkol a vypočítejme hodnotu dvou pojmů, které jsme studovali najednou. Navíc nás rozptylovala teorie – je čas na praxi.

Ještě jeden příklad

Provedli jsme 50 zkoušek a získali jsme 10 druhů výsledků – čísla 0 až 9 – objevující se v různém procentuálním zastoupení. Jsou to v tomto pořadí: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Připomeňme, že k získání pravděpodobností je třeba vydělit procentuální hodnoty 100. Dostaneme tedy 0,02; 0,1 atd. Uveďme příklad řešení úlohy pro rozptyl náhodné veličiny a matematického očekávání.

Aritmetický průměr vypočítáme podle vzorce, který si pamatujeme ze základní školy: 50/10 = 5.

Nyní přeložme pravděpodobnosti na počet výsledků „v kusech“, aby bylo počítání pohodlnější. Dostaneme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 a 9. Od každé získané hodnoty odečtěte aritmetický průměr a poté odmocníme každý ze získaných výsledků. Podívejte se, jak to udělat s prvním prvkem jako příklad: 1 - 5 = (-4). Dále: (-4) * (-4) = 16. Pro jiné hodnoty proveďte tyto operace sami. Pokud jste udělali vše správně, pak po sečtení všeho dostanete 90.

Pokračujme ve výpočtu rozptylu a průměru vydělením 90 N. Proč volíme N a ne N-1? Je to tak, protože počet provedených experimentů přesahuje 30. Takže: 90/10 = 9. Dostali jsme rozptyl. Pokud vám přijde jiné číslo, nezoufejte. S největší pravděpodobností jste ve výpočtech udělali banální chybu. Ještě jednou zkontrolujte, co jste napsal, a určitě vše zapadne na své místo.

Nakonec si připomeňme matematický vzorec očekávání. Nebudeme uvádět všechny výpočty, napíšeme pouze odpověď, kterou můžete zkontrolovat po dokončení všech požadovaných postupů. Očekávaná hodnota bude 5,48. Připomínáme pouze, jak provádět operace, na příkladu prvních prvků: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... a tak dále. Jak vidíte, jednoduše vynásobíme hodnotu výsledku jeho pravděpodobností.

Odchylka

Dalším konceptem úzce souvisejícím s disperzí a matematickým očekáváním je směrodatná odchylka. Označuje se buď latinskými písmeny sd, nebo řeckým malým písmenem „sigma“. Tento koncept ukazuje, jak se v průměru hodnoty odchylují od centrální funkce. Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte vypočítat druhou odmocninu rozptylu.

Pokud vykreslíte normální rozdělení a chcete vidět druhou mocninu odchylky přímo na něm, lze to provést v několika krocích. Vezměte polovinu obrázku vlevo nebo vpravo od režimu (středová hodnota), nakreslete kolmici k vodorovné ose tak, aby se plochy výsledných obrazců rovnaly. Hodnota segmentu mezi středem rozdělení a výsledným promítáním na vodorovnou osu bude směrodatná odchylka.

Software

Jak je patrné z popisů vzorců a uvedených příkladů, výpočet rozptylu a matematického očekávání není z aritmetického hlediska nejjednodušší postup. Abychom neztráceli čas, má smysl používat program používaný ve vysokoškolském vzdělávání - nazývá se "R". Má funkce, které vám umožňují vypočítat hodnoty pro mnoho konceptů ze statistiky a teorie pravděpodobnosti.

Například definujete vektor hodnot. To se provádí následovně: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Konečně

Rozptyl a matematické očekávání jsou ty, bez kterých je těžké v budoucnu něco spočítat. V hlavním kurzu přednášek na vysokých školách jsou zvažovány již v prvních měsících studia předmětu. Právě kvůli nepochopení těchto jednoduchých pojmů a neschopnosti je spočítat mnoho studentů okamžitě začne v programu zaostávat a později dostanou na konci sezení špatné známky, což je připraví o stipendia.

Cvičte alespoň jeden týden půl hodiny denně a řešte úkoly podobné těm, které jsou uvedeny v tomto článku. Pak se v jakémkoli testu teorie pravděpodobnosti vypořádáte s příklady bez nadbytečných tipů a podvodných listů.

Charakteristika DSW a jejich vlastnosti. Matematické očekávání, rozptyl, směrodatná odchylka

Distribuční zákon plně charakterizuje náhodnou veličinu. Pokud však není možné najít zákon rozdělení nebo to není vyžadováno, lze se omezit na hledání hodnot, nazývaných numerické charakteristiky náhodné veličiny. Tyto hodnoty určují nějakou průměrnou hodnotu, kolem které jsou seskupeny hodnoty náhodné proměnné, a stupeň jejich rozptylu kolem této průměrné hodnoty.

matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina je součet součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a jejich pravděpodobností.

Matematické očekávání existuje, pokud řada na pravé straně rovnosti absolutně konverguje.

Z hlediska pravděpodobnosti můžeme říci, že matematické očekávání se přibližně rovná aritmetickému průměru pozorovaných hodnot náhodné veličiny.

Příklad. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny je znám. Najděte matematické očekávání.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Řešení:

9.2 Vlastnosti očekávání

1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě.

2. Ze znaku očekávání lze vyjmout konstantní faktor.

3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Tato vlastnost je platná pro libovolný počet náhodných proměnných.

4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných veličin se rovná součtu matematických očekávání členů.

Tato vlastnost platí také pro libovolný počet náhodných proměnných.

Nechť je provedeno n nezávislých pokusů, přičemž pravděpodobnost výskytu události A je rovna p.

Teorém. Matematické očekávání M(X) počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu jevu v každém pokusu.

Příklad. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, pokud jsou známa matematická očekávání X a Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Řešení:

9.3 Disperze diskrétní náhodné veličiny

Matematické očekávání však nemůže plně charakterizovat náhodný proces. Kromě matematického očekávání je nutné zavést hodnotu, která charakterizuje odchylku hodnot náhodné veličiny od matematického očekávání.

Tato odchylka se rovná rozdílu mezi náhodnou veličinou a jejím matematickým očekáváním. V tomto případě je matematické očekávání odchylky nulové. To se vysvětluje tím, že některé možné odchylky jsou kladné, jiné záporné a v důsledku jejich vzájemného zrušení se získá nula.

Rozptyl (rozptyl) Diskrétní náhodná veličina se nazývá matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.

V praxi je tento způsob výpočtu rozptylu nepohodlný, protože vede k těžkopádným výpočtům pro velké množství hodnot náhodné veličiny.

Proto se používá jiný způsob.

Teorém. Rozptyl se rovná rozdílu mezi matematickým očekáváním druhé mocniny náhodné veličiny X a druhou mocninou jejího matematického očekávání.

Důkaz. Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že matematické očekávání M (X) a druhá mocnina matematického očekávání M 2 (X) jsou konstantní hodnoty, můžeme napsat:

Příklad. Najděte rozptyl diskrétní náhodné veličiny daný distribučním zákonem.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Řešení: .

9.4 Vlastnosti disperze

1. Rozptyl konstantní hodnoty je nulový. .

2. Konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho umocněním. .

3. Rozptyl součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .

4. Rozptyl rozdílu dvou nezávislých náhodných veličin je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .

Teorém. Rozptyl počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost p výskytu jevu konstantní, se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu a nenastane. události v každém pokusu.

9.5 Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny

Standardní odchylka náhodná veličina X se nazývá druhá odmocnina rozptylu.

Teorém. Směrodatná odchylka součtu konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných proměnných je rovna druhé odmocnině součtu čtverců směrodatných odchylek těchto proměnných.

Koncept matematického očekávání lze uvažovat na příkladu hodu kostkou. Při každém hodu se zapisují shozené body. K jejich vyjádření se používají přirozené hodnoty v rozmezí 1 - 6.

Po určitém počtu hodů pomocí jednoduchých výpočtů můžete najít aritmetický průměr padlých bodů.

Stejně jako vynechání kterékoli z hodnot rozsahu bude tato hodnota náhodná.

A když počet hodů několikrát zvýšíte? Při velkém počtu hodů se aritmetický průměr bodů přiblíží konkrétnímu číslu, které v teorii pravděpodobnosti dostalo název matematické očekávání.

Matematické očekávání je tedy chápáno jako průměrná hodnota náhodné veličiny. Tento ukazatel lze také prezentovat jako vážený součet pravděpodobných hodnot.

Tento pojem má několik synonym:

• průměrná hodnota;
• průměrná hodnota;
• centrální indikátor trendu;
• první okamžik.

Jinými slovy, není to nic jiného než číslo, kolem kterého jsou distribuovány hodnoty náhodné proměnné.

V různých oblastech lidské činnosti budou přístupy k pochopení matematického očekávání poněkud odlišné.

Lze na to nahlížet takto:

• průměrný prospěch získaný z přijetí rozhodnutí v případě, kdy je takové rozhodnutí posuzováno z hlediska teorie velkých čísel;
• možná výše výhry nebo prohry (teorie hazardu), vypočtená v průměru pro každou ze sázek. Slangově znějí jako „výhoda hráče“ (pozitivní pro hráče) nebo „výhoda kasina“ (negativní pro hráče);
• procento zisku získaného z výher.

Matematické očekávání není povinné pro absolutně všechny náhodné veličiny. Chybí pro ty, kteří mají nesrovnalost v odpovídajícím součtu nebo integrálu.

Vlastnosti očekávání

Jako každý statistický parametr má matematické očekávání následující vlastnosti:

Základní vzorce pro matematické očekávání

Výpočet matematického očekávání lze provést jak pro náhodné veličiny charakterizované jak spojitostí (vzorec A), tak diskrétností (vzorec B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kde xi jsou hodnoty náhodné veličiny, pi jsou pravděpodobnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kde f(x) je daná hustota pravděpodobnosti.

Příklady výpočtu matematického očekávání

Příklad A.

Je možné zjistit průměrnou výšku skřítků v pohádce o Sněhurce. Je známo, že každý ze 7 gnómů měl určitou výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.

Algoritmus výpočtu je poměrně jednoduchý:

• najděte součet všech hodnot ukazatele růstu (náhodná proměnná):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Výsledná částka se vydělí počtem skřítků:
  6,31:7=0,90.

Průměrná výška skřítků v pohádce je tedy 90 cm. Jinými slovy, toto je matematické očekávání růstu skřítků.

Pracovní vzorec - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktická realizace matematického očekávání

K výpočtu statistického ukazatele matematického očekávání se uchyluje v různých oblastech praktické činnosti. V první řadě se bavíme o komerční sféře. Zavedení tohoto ukazatele Huygensem totiž souvisí s určením šancí, které mohou být pro nějakou událost příznivé, nebo naopak nepříznivé.

Tento parametr je široce používán pro hodnocení rizik, zejména pokud jde o finanční investice.
Takže v podnikání funguje výpočet matematického očekávání jako metoda pro hodnocení rizika při výpočtu cen.

Tento ukazatel lze také použít při výpočtu účinnosti určitých opatření, například na ochranu práce. Díky němu můžete vypočítat pravděpodobnost výskytu události.

Další oblastí použití tohoto parametru je správa. Lze ji také vypočítat při kontrole kvality produktu. Například pomocí mat. očekávání, můžete vypočítat možný počet výrobních vadných dílů.

Matematické očekávání je také nepostradatelné při statistickém zpracování výsledků získaných v průběhu vědeckého výzkumu. Umožňuje také vypočítat pravděpodobnost požadovaného nebo nežádoucího výsledku experimentu nebo studie v závislosti na úrovni dosažení cíle. Koneckonců, jeho dosažení může být spojeno se ziskem a ziskem a jeho nedosažení - jako ztráta nebo ztráta.

Použití matematického očekávání na Forexu

Praktická aplikace tohoto statistického parametru je možná při provádění transakcí na devizovém trhu. Lze jej použít k analýze úspěšnosti obchodních transakcí. Navíc zvýšení hodnoty očekávání naznačuje zvýšení jejich úspěchu.

Je také důležité si uvědomit, že matematické očekávání by nemělo být považováno za jediný statistický parametr používaný k analýze výkonnosti obchodníka. Použití několika statistických parametrů spolu s průměrnou hodnotou občas zvyšuje přesnost analýzy.

Tento parametr se dobře osvědčil při sledování pozorování obchodních účtů. Díky němu se provádí rychlé posouzení práce provedené na vkladovém účtu. V případech, kdy je činnost obchodníka úspěšná a vyhýbá se ztrátám, se nedoporučuje používat pouze výpočet matematického očekávání. V těchto případech se neberou v úvahu rizika, což snižuje efektivitu analýzy.

Provedené studie taktiky obchodníků ukazují, že:

• nejúčinnější je taktika založená na náhodném zadání;
• nejméně efektivní jsou taktiky založené na strukturovaných vstupech.

Pro dosažení pozitivních výsledků je stejně důležité:

• taktiky řízení peněz;
• výstupní strategie.

Pomocí takového ukazatele, jako je matematické očekávání, můžeme předpokládat, jaký bude zisk nebo ztráta při investování 1 dolaru. Je známo, že tento ukazatel, vypočítaný pro všechny hry provozované v kasinu, je ve prospěch instituce. To je to, co vám umožňuje vydělávat peníze. V případě dlouhé série her se výrazně zvyšuje pravděpodobnost ztráty peněz ze strany klienta.

Hry profesionálních hráčů jsou omezeny na malá časová období, což zvyšuje šanci na výhru a snižuje riziko prohry. Stejný vzorec je pozorován při provádění investičních operací.

Investor může vydělat značnou částku s pozitivním očekáváním a velkým počtem transakcí v krátkém časovém období.

Očekávání si lze představit jako rozdíl mezi procentem zisku (PW) krát průměrný zisk (AW) a pravděpodobností ztráty (PL) krát průměrná ztráta (AL).

Jako příklad zvažte následující: pozice - 12,5 tisíc dolarů, portfolio - 100 tisíc dolarů, riziko na vklad - 1%. Ziskovost transakcí je 40 % případů s průměrným ziskem 20 %. V případě ztráty je průměrná ztráta 5 %. Výpočet matematického očekávání pro obchod dává hodnotu 625 $.

Každá jednotlivá hodnota je zcela určena svou distribuční funkcí. K řešení praktických problémů také stačí znát několik číselných charakteristik, díky nimž je možné prezentovat hlavní rysy náhodné veličiny ve stručné podobě.

Tato množství jsou primárně očekávaná hodnota A disperze .

Očekávaná hodnota- průměrná hodnota náhodné veličiny v teorii pravděpodobnosti. Označeno jako .

Nejjednodušším způsobem matematické očekávání náhodné veličiny X(š), se nacházejí jako integrálníLebesgue s ohledem na míru pravděpodobnosti R originál pravděpodobnostní prostor

Můžete také najít matematické očekávání hodnoty jako Lebesgueův integrál z X podle rozdělení pravděpodobnosti R X množství X:

kde je množina všech možných hodnot X.

Matematické očekávání funkcí od náhodné veličiny X je prostřednictvím distribuce R X. Například, Pokud X- náhodná proměnná s hodnotami v a f(x)- jednoznačný Borelfunkce X , Že:

Li F(x)- distribuční funkce X, pak je matematické očekávání reprezentovatelné integrálníLebesgue - Stieltjes (nebo Riemann - Stieltjes):

zatímco integrovatelnost X Ve smyslu ( * ) odpovídá konečnosti integrálu

V konkrétních případech, pokud X má diskrétní rozdělení s pravděpodobnými hodnotami x k, k=1,2, . a pravděpodobnosti pak

Li X má absolutně spojité rozdělení s hustotou pravděpodobnosti p(x), Že

v tomto případě je existence matematického očekávání ekvivalentní absolutní konvergenci odpovídající řady nebo integrálu.

Vlastnosti matematického očekávání náhodné veličiny.

• Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná této hodnotě:

C- konstantní;

• M=C.M[X]

• Matematické očekávání součtu náhodně vybraných hodnot se rovná součtu jejich matematických očekávání:

• Matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin = součin jejich matematických očekávání:

M=M[X]+M[Y]

Li X A Y nezávislý.

pokud řada konverguje:

Algoritmus pro výpočet matematického očekávání.

Vlastnosti diskrétních náhodných proměnných: všechny jejich hodnoty lze přečíslovat přirozenými čísly; srovnejte každou hodnotu s nenulovou pravděpodobností.

1. Postupně vynásobte dvojice: x i na pí.

2. Přidejte produkt každého páru x i p i.

Například, Pro n = 4 :

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny postupně se prudce zvyšuje v těch bodech, jejichž pravděpodobnosti mají kladné znaménko.

Příklad: Najděte matematické očekávání podle vzorce.

Nejúplnější charakteristikou náhodné veličiny je její distribuční zákon. Ne vždy se to však ví a v těchto případech se člověk musí spokojit s méně informacemi. Takové informace mohou zahrnovat: rozsah variace náhodné proměnné, její největší (nejmenší) hodnotu, některé další charakteristiky, které nějakým souhrnným způsobem popisují náhodnou proměnnou. Všechny tyto veličiny jsou tzv číselné charakteristiky náhodná proměnná. Obvykle to jsou některé nenáhodnýčísla, která nějak charakterizují náhodnou veličinu. Hlavním účelem číselných charakteristik je vyjádřit stručnou formou nejvýznamnější rysy určitého rozdělení.

Nejjednodušší číselná charakteristika náhodné veličiny X zavolal jí očekávaná hodnota:

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

Tady x 1, x 2, …, x n jsou možné hodnoty náhodné veličiny X, A p 1, p 2, …, p n jsou jejich pravděpodobnosti.

Příklad 1 Najděte matematické očekávání náhodné veličiny, pokud je znám její distribuční zákon:

Řešení. M(X) = 2 x 0,3 + 3 x 0,1 + 5 x 0,6 = 3,9.

Příklad 2. Najděte matematické očekávání počtu výskytů události A v jednom pokusu, pokud je pravděpodobnost této události R.

Řešení. Li X– počet výskytů události A v jednom procesu pak evidentně distribuční zákon X vypadá jako:

Pak М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.

Takže: matematické očekávání počtu výskytů události v jednom pokusu se rovná její pravděpodobnosti.

Pravděpodobnostní význam matematického očekávání

Nechat vyrobit n testy, ve kterých náhodná veličina X přijato m 1 krát hodnotu x 1, m2 krát hodnotu x 2, …, m k krát hodnotu x k. Pak součet všech hodnot v n testy se rovná:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Pojďme najít aritmetický průměr všech hodnot přijatých náhodnou veličinou:

Hodnoty - relativní četnosti výskytu hodnot x i (i=1, …, k). Li n dostatečně velký (n®¥), pak se tyto četnosti přibližně rovnají pravděpodobnostem: . Ale pak

=xip1+x2p2 +...+x kpk =M(X).

Matematické očekávání se tedy přibližně rovná (čím přesnější, tím větší počet pokusů) aritmetickému průměru pozorovaných hodnot náhodné veličiny. To je pravděpodobnostní význam matematického očekávání.

Vlastnosti očekávání

1. Matematické očekávání konstanty se rovná konstantě samotné.

M(S)=Sxl=S.

2. Ze znaku očekávání lze vyjmout konstantní faktor

M(CX)=S×M(X).

Důkaz. Nechť distribuční zákon X dáno tabulkou:

Pak náhodná veličina SH nabývá hodnot Dx 1, CX 2, …, Сх n se stejnou pravděpodobností, tj. distribuční zákon SH vypadá jako:

М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).

3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Toto tvrzení je uvedeno bez důkazu (důkaz je založen na definici očekávání).

Následek. Matematické očekávání součinu několika vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Zejména pro tři nezávislé náhodné proměnné

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Příklad. Najděte matematické očekávání součinu počtu bodů, které mohou padnout při hodu dvěma kostkami.

Řešení. Nechat Х i- počet bodů i kosti. Mohou to být čísla 1 , 2 , …, 6 s pravděpodobnostmi. Pak

М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Nechat X \u003d X 1 × X 2. Pak

M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.

4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných (nezávislých nebo závislých) se rovná součtu matematických očekávání členů:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Tato vlastnost je zobecněna pro případ libovolného počtu termínů.

Příklad. Vystřelí se 3 rány s pravděpodobností zásahu cíle rovna p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3 A p 3 \u003d 0,6. Najděte matematické očekávání celkového počtu zásahů.

Řešení. Nechat Х i- počet zásahů i-tý výstřel. Pak

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Tím pádem,

M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.