Prohlášení o neomezeném optimalizačním problému. Jaká by měla být cílová funkce

Obtíž při řešení problémů s nelineární optimalizací je způsobena řadou faktorů. Za prvé, za nelineárních omezení nemusí být oblast proveditelných řešení konvexní nebo dokonce sestávat z řady nespojených oblastí. Zadruhé, postup řešení obvykle umožňuje vybrat extremum, ale nezaručuje, že tento extrem je globální. Tyto a řada dalších okolností vedou k tomu, že nelineární problém není vždy možné vyřešit nebo se uspokojit s přibližným řešením.

Bezpodmínečný extrémní problém

Nechť v nějaké oblasti n-dimenzionálního prostoru R n funkce je nastavena p proměnné WQQ. Je nutné najít body X* \u003d (* 1 x „), ve kterém má tato funkce maximum

(minimální hodnoty). Formálně to lze napsat takto:

Problém (13.1) označuje soubor problémů, které spojuje pojem „bezpodmínečný extrémní problém“. Řešení tohoto druhu problémů je zcela určeno vlastnostmi funkce W (X).

Pojďme si představit několik definic. Funkce se říká, že je W (X) má v bodě X * místní maximum (non-strict), pokud pro malé ACH kondice

Pokud je podmínka splněna

říká se, že bX * funkce W (X) má minimum (non-strict).

Pokud jsou nerovnosti přísné („\u003e“ nebo „maximum ( minimální) zvané globální („Největší maximum“ a „nejmenší minimum“).

Všechny body maximální a minimální funkce mají obecný název - extrémy. Je zřejmé, že globální extremum je zároveň lokálním extremem. Funkce W (X) může mít jeden, několik nebo dokonce nekonečné množství extrémy. Možná to nebude mít extrém. Na obr. 13.1 ukazuje graf funkce jedné proměnné Dx) uvažované na intervalu [a; B]. Uvnitř segmentu má tato funkce extrémy v bodech x, x 2, x 3,x 4, x 5. Z toho bod x 2 - globální minimum, x 3 - globální maximum a v bodech x g a funkce x 5 má lokální maxima, v bodě x 4 - lokální minimum. Všimněte si, že hraničními body mohou být také extrémní body.

Postava: 13.1.

Hledání bodů, ve kterých má funkce extrém, je jedním z důležitých problémů matematiky, protože mnoho dalších s velkým praktický význam úkoly. Kde a jak hledat extrémní body, tj. jak řešit neomezené optimalizační problémy?

Nechť Dx) je funkcí jedné proměnné dané na segmentu [a; B]. Extrémní body funkce Dx) mohou být pouze ty body, ve kterých je splněna jedna z následujících podmínek:

• 1) Dx) trpí mezerou (na obr. 13.2 - bod x 2);
• 2) Dx) je spojitý, ale derivace f "(x) neexistuje (body ^;
• 3) D (x) \u003d 0 (body x 3 a x 4);
• 4) hraniční body (body x \u003d a a x \u003d b).

Jsou volány body, ve kterých je splněna alespoň jedna z těchto podmínek podezřelý z extrému. Funkce tedy může mít extremum pouze v místech podezřelých z extrému.

Pokud je ve vzorci (13.1) funkce diferencovatelná, pak je možnost řešení tohoto problému určena weierstrassova věta.

Postava: 13.2.

Věta 13.1 (Weierstrass). Spojitá funkce definovaná na neprázdné uzavřené ohraničené množině dosáhne svého maxima (minima) alespoň v jednom z bodů této množiny.

Všimněte si, že tato věta hovoří pouze o možnosti řešení úlohy (13.1), ale ne o metodách jejího řešení.

V některých případech lze formulovat nezbytné podmínky pro existenci extrému v určitém bodě. Pro diferencovatelné funkce tedy platí následující. nutná podmínka pro existenci extrému: pokud je diferencovatelná funkce f (x) má v bodě x \u003d x * extremum, pak jeho derivát v tomto bodě zmizí, tj. f "(x *) \u003d 0.

Pro funkci několika proměnných W (X) nutná podmínka pro extrém je splněna, když jsou všechny jeho parciální derivace rovny nule. Například pro maximální bod máme

Je zřejmé, že pro body, kde je dosaženo minima, platí obdobná podmínka. Jsou volány body, ve kterých je splněna podmínka rovnosti nula všech částečných derivací stacionární.

Zdůrazňujeme, že stacionarita bodu je pouze nezbytnou podmínkou pro existenci extrému v něm, a v žádném případě ve všech stacionárních bodech funkce nemá extremum. Identifikace stacionárních bodů však řešení problému zjednodušuje.

Dostatečné podmínky pro existenci extrému jsou také formulovány pro dvakrát diferencovatelné funkce, což také určuje odpovídající metodu řešení problému (13.1). Následující věta platí.

Věta 13.2. Pokud ve stacionárním bodě je funkce dvakrát diferencovatelná a matice jejích druhých derivací (matice

Hesse) je kladně semi-definitivní, pak má funkce v tomto bodě minimum, ale pokud je matice negativně semi-definitivní, pak má funkce v tomto bodě maximum.

Připomeňme, že o symetrické matici se říká, že je v určitém okamžiku pozitivně semidefinitní, pokud jsou všechny její vlastní hodnoty nezáporné nebo, což je stejné, všechny nezletilé matice Hesse jsou nezáporné. V tomto okamžiku má funkce minimum. V případě negativně semidefinitní matice, kdy jsou všechny její vlastní hodnoty nepozitivní nebo (což je stejné) jsou hlavní nezletilí sudého stupně nepozitivní, je matice pozitivně semidefinitní. V takových bodech má funkce maximum.

Příklad 13.1

Najděte extrém funkce Dx x, x 2) \u003d x? + x | - 3xiX 2.

Rozhodnutí. Nejprve spočítáme první parciální derivace a přirovnáme je k nule:

Tento systém má dvě řešení - dva stacionární body: =

\u003d (o, 0), X 2 \u003d (1, 1).

Vytvořme Hesseovu matici:

Zvažte matici v každém z nalezených bodů.

Pro X máme Diagonální členy matice jsou nula a determinant je -9. Proto v tuto chvíli X 1 \u003d (0, 0) funkce má maximum.

Pro X 2 my máme ... Úhlopříčky jsou kladné,

a determinant matice je 27\u003e 0. Proto závěr: v bodě X 2 \u003d (1,1) funkce / (xj, x 2) \u003d X] 3 + x | -ZX [X 2 má minimum, tj. min / (x x, x 2) \u003d \u003d / (1,1) \u003d -1.

Při hledání globálního extrému je nutné vybrat body s nejmenší a největší hodnotou funkce procházením a porovnáním všech bodů lokálního extrému. Postupy při hledání extrémů analytickými metodami jsou velmi komplikované a ne vždy fungují. V tomto ohledu se často používají algoritmy založené na numerických (přibližných) metodách.

Dichotomická metoda. Nejjednodušší numerickou metodou pro nalezení extrému funkce jedné proměnné, která nevyžaduje výpočet derivace, je metoda rozdělení segmentu na polovinu (dichotomií). Tato metoda umožňuje vyjasnit umístění maximálního (nebo minimálního) bodu, když se dříve najde segment, kde je tento bod určitě přítomen, a navíc v jednotném čísle.

Nechte známou funkci Dx) na intervalu [a; B] má jedno maximum umístěné v neznámém bodě x *. Protože x * se nachází v neznámém bodě segmentu [a; B], pak se tomu říká segment nejistoty. Vyžadováno s předem stanovenou přesností r najděte maximální bod funkce Dx).

Myšlenkou metody dichotomie je snížit v každém kroku segment nejistoty téměř o polovinu, dokud jeho délka nebude menší než specifikovaná přesnost. To se provádí následovně: segment nejistoty se rozdělí na polovinu, ta polovina se nachází tam, kde leží požadované maximum, poté se tento segment opět rozdělí na polovinu a postup pokračuje.

Uvažujme algoritmus této metody trochu podrobněji. Dejte vědět, že požadovaný bod x * je na segmentu [a 0; B 0]. Vyberte střed segmentu s 0 \u003d (a 0 + b 0) / 2. Dále dva protínající se segmenty [a; s 0 + 5] a [s 0-5; B], kde 8 - malé číslo, mnohem menší než e, tj. 8 «: e (někdy je pro větší pohodlí zvolena hodnota S / 2). Je zřejmé, že pokud / (c 0 - b)\u003e f (c 0 + b), pak maximum je na intervalu [a 0; c 0 + 5], jinak - na segmentu [c 0 - b; B 0]. Pokud je tedy podmínka / (c 0 - b)\u003e f (c 0 + 5) splněna, pak segment [a a; B x], kde a a \u003d a 0, b a \u003d c 0 + 5, jinak se jedná o segment, kde a 0= od 0 do 8, B z \u003d b 0. Tento segment je opět rozdělen na polovinu a postup pokračuje až do podmínky | fo fc - a fc |

Příklad 13.2

Vezměme si například následující problém: na segmentu najděte minimální bod funkce Dx) \u003d 2x 2 - 4x + 4 s přesností na e \u003d 0,5.

Rozhodnutí. Zvolme parametr 5 \u003d 0,2. Počáteční segment nejistoty je. Najděte body „středu“ tohoto segmentu:

Pojďme vypočítat hodnoty funkce v těchto bodech a porovnat je:

Jako nový segment nejistoty zvolíme ten, kde se nachází požadovaný minimální bod, tj. \u003d [a; x 2] \u003d.

Pojďme znovu definovat "střední" body:

Protože DO, 95) e, tak pokračujeme v procesu:

Protože f (x 5)\u003e f (x 6), pak dáme 3 \u003d x 5, B 3 \u003d B 2. Nový segment nejistoty [a 3; B 3] \u003d. Jeho délka 0,675 překračuje zadanou přesnost, takže pokračujeme v procesu dichotomie:

Od Dx 7) = 2,1653, Dx 8) \u003d 2,0153, pak nový segment nejistoty bude [a 4; B 4] \u003d. Tento segment má délku 0,4375, což je méně než 0,5. Proces dichotomie je tedy u konce. Ze dvou bodů x 7 a x 8 jako požadovaná aproximace x * zvolíme bod x 8, protože / (x 8)

Postava: 13.3.

Gradientní metody. Pro funkci mnoha proměnných jsou obvykle použitelné metody vyhledávání založené na vlastnostech přechodu, které v každém daném bodě indikují směr největšího nárůstu funkce. Připomeňme, že gradient skalární funkce W (x b x 2, ..., xn) je vektor skládající se z parciálních derivací této funkce:

V srdci každého gradientní metoda myšlenka postupného zlepšování některých počátečních řešení přesunem do extrému studované funkce. Celá paleta metod spočívá v rozdílech v postupu takové propagace. Uvažujme jen o jednom z nich.

Nechť je nalezeno nějaké počáteční řešení problému (13.1) X ° \u003d (xJ), X2, ..., x®) a krok h. Další a všechny následující kroky jsou prováděny postupně podle následujícího vztahu opakování:

Význam vzorce je tento: od daného bodu X th délka kroku h ve směru označeném přechodem. Znaménko plus je vybráno při hledání maxima, znaménko mínus - v opačném případě.

Podle vzorce (13.4) tedy v každém kroku nakaždá x souřadnice řešení dostane určitý přírůstek v požadovaném směru. Proces pokračuje, dokud není splněna přijatá podmínka ukončení procesu. Podmínky pro dokončení procesu stanoví výzkumný pracovník na základě fyzické podstaty problému. Jednou z forem podmínek může být například tato:

kde 8 je předem přiřazená malá hodnota - přesnost řešení problému. K dokončení procesu je možné použít následující podmínku:

Je zřejmé, že účinnost gradientové metody závisí na zvoleném kroku. Pokud je krok malý, pak bude konvergence obecně pomalá, pokud je krok velký, pak může dojít k efektu „překročení“ extrémního bodu a proces nebude konvergovat. V tomto ohledu je vhodné v průběhu řešení problému učinit nejprve dostatečně velký krok a poté jej postupně snižovat. Můžete například nastavit změnou kroku podle vzorce h k \u003d h / k.

Příklad 13.3

Najděte minimum funkce

Rozhodnutí. Vybereme počáteční bod X ° \u003d (3,1,1) a krok h \u003d 0,16. Hodnota funkce v tomto bodě je / (X °) = 26, gradient - (4x x; 10x 2; 6x 3) \u003d (12; 10; 6).

Provedeme první iteraci podle vzorce (13.4):

Hodnota funkce v novém bodě / (X 1) \u003d 4,15.

Pro druhou iteraci je gradient (4,32; -6; 0,24), krok h 2 \u003d 0,08. Pojďme udělat druhou iteraci:

Hodnota funkce v bodě X 2 je následující: / (X 2) \u003d 1,071. Rychlá konvergence je evidentní. Pokračováním procesu podle výše uvedeného schématu můžete rychle přistoupit k přesnému řešení problému - (0, 0, 0).

Statistická zkušební metoda (Monte Carlo). S rozvojem schopností výpočetní techniky jsou široce používány takzvané metody náhodného vyhledávání. Podstatou těchto metod je náhodný výběr velikosti a směru dalšího kroku. Rozlišujte mezi náhodným a řízeným náhodným prohledáváním, náhodným procvičováním a řadou dalších metod.

Schéma nejjednodušší metody náhodného hledání maxima může být následující. Je určen počáteční (počáteční) bod X °a od tohoto bodu v náhodném směru se provede pohyb ve vzdálenosti | d | přesně tak X 1. V tomto případě je náhodný směr vytvořen generováním sekvence pseudonáhodných čísel v množství rovném počtu proměnných analyzované funkce, tj. vektorové komponenty h jsou přehrávané hodnoty náhodné proměnné rovnoměrně rozložené po segmentu, kde Já - maximální přípustný posun podél určité souřadnice h E.

Pokud je hodnota funkce Ž(X 1) se nezvýšil ve srovnání s W (X °), poté se vraťte k bodu X °. Hrají nový směr a kráčí tímto směrem. V případě, že hodnota W (X *)\u003e W (X °), bod X 1 je považován za výchozí bod a postup se opakuje od tohoto bodu. Jinak se pokus o nalezení efektivního směru opakuje. V každém dalším bodě se například postup pro nalezení zlepšujícího se směru neopakuje více než dané číslo t čas. Bod, ze kterého t jednou za sebou byly neúspěšné pokusy o zvýšení hodnoty analyzované funkce, je to bráno jako maximální bod. V příloze 2 je uveden příklad a program jeho řešení v daném jazyce Visual Basic pro aplikaci.

Hlavní výhodou metod náhodného vyhledávání je jednoduchost jejich implementace a skutečnost, že neomezují typ funkce. W. Nevýhody jsou spojeny s pomalou konvergencí těchto metod (k dosažení vysoké přesnosti je zapotřebí značného počtu kroků). V některých případech je však lze kompenzovat pomocí vysokorychlostních počítačů.

Nelineární programování

Objektivní funkcí optimalizačního problému je nelineární funkce reálných proměnných ... Určete hodnoty proměnných, při kterých funkce bere minimální hodnotu bez omezení při změně proměnných.

Optimalizační problémy, ve kterých neexistují žádná omezení na optimalizované proměnné, se nazývají neomezené optimalizační problémy.

Vzhledem ke složitosti problému s parametrickou optimalizací se ukazuje, že aplikace klasické metody extrémního vyhledávání je extrémně obtížná. V praxi se proto upřednostňuje metoda optimalizace vyhledávání (iterativní).

Všechny metody vyhledávání se provádějí podle stejného algoritmu. Počáteční data v metodách vyhledávání jsou výchozím bodem hledání a požadovanou přesností metody. Poté se vybere velikost vyhledávacího kroku a podle pravidla metody se získají nové body z předchozího bodu, pokud jsou takové, že ... Příjem nových bodů pokračuje, dokud není splněna podmínka ukončení hledání. Poslední bod je považován za řešení problému optimalizace. Všechny vyhledávací body tvoří vyhledávací cestu.

Metody vyhledávání se mohou lišit v postupu výběru kroku (může být konstantní při všech iteracích nebo vypočtený při každé iteraci), algoritmu pro získání nového bodu a podmínky pro zastavení vyhledávání.

Metody optimalizace pro vyhledávače jsou obvykle klasifikovány podle pořadí derivace objektivní funkce použité k získání nových bodů. Metody, které nepoužívají derivace objektivní funkce, se nazývají metody nultého řádu (přímé), použití první derivace se nazývá metody prvního řádu, metody druhého řádu druhého řádu. Čím vyšší je pořadí derivace, tím rozumnější je volba dalšího bodu a tím menší je počet iterací metod. Efektivita metody vyhledávání je dána počtem iterací a počtem výpočtů objektivní funkce .

Úvod ……………………… .. ……………………………………………… 2

1. Sestavení modelu ………………………………………………… ..6

2. Lagrangeův problém. Bezpodmínečné a podmíněné extrémy …………… 7

3. Lagrangeův problém s jedním omezením …………………………… ..11

4. Význam Lagrangeových multiplikátorů ……………………………………… ... 15

5. Nejjednodušší model řízení zásob ………………………… ... 18

6. Model I. Wilsonův model bez omezení …………………… ..… .26

7. Model II. Wilsonův model s omezeními skladu ………………………………………………………… ... 33

8. Robinsonova strava ………………………………………………… ... 38

9. Vzájemné extremální problémy …………………………………… ..42

10. Model volby spotřebitele …………………………………… 44

11. Laboratorní úkoly ……………………………………………… ..47

12. Závěr ………………………………………………………… ..51

Seznam použité literatury ……………………………… ... ……… 52

Úvod

Vědecký model je odrazem některých fenoménů, které nás zajímají (například určité objekty, události, procesy, systémy), a používá se pro účely kontroly a predikce. Hlavní funkcí vědeckého modelu není popisovat jevy, ale vysvětlovat je. Model by měl pomoci zjistit, jak některé aspekty jevu ovlivňují ostatní strany nebo jev obecně. Pokud je vytvořen dostatečně správný model, pak lze tyto otázky objasnit provedením vhodných experimentů na modelu bez změny charakteristik studovaného objektu.

Výhody použití modelu pro tyto účely jsou obzvláště zřejmé, když jsou experimenty na samotném objektu buď nemožné, například v astronomii, nebo jsou velmi drahé, jako ve složitých průmyslových organizacích. Znalost těchto modelů však zdaleka není vyčerpána. Ve skutečnosti jsou v jistém smyslu vědecké teorie vysvětlující určité jevy analogické s modely tohoto jevu, protože věda by nemohla existovat bez modelů, stejně jako by nemohla existovat bez teorie.

Modely tedy hrají v procesu výzkumu rozhodující roli, a proto zájem o jejich studium neustále roste. Stávající modely lze rozdělit do tří typů: obrazové (modely geometrické podobnosti), modely - analogické a symbolické (matematické).

Obrázkový model zobrazuje vnější vlastnosti systému (jako fotografie a zda model letadla). Je to podobné jako u originálu. Mnoho fotografií, obrazů a soch je obrazovými modely lidí, různých předmětů nebo scén. Autíčko je ikonickým modelem „skutečného“ automobilu. Zeměkoule je obrazový model zeměkoule. Obecně platí, že jakýkoli displej je obrazový model do té míry, že se jeho vlastnosti shodují s vlastnostmi originálu. Je pravda, že tyto vlastnosti obvykle podléhají metrické transformaci, tj. je přijata určitá stupnice. Například zeměkoule má ve srovnání se zeměkoulí zmenšený průměr, ačkoli tvar a relativní velikosti kontinentů, moří atd. přibližně správné. Model atomu je naopak zvětšen tak, aby byl viditelný pouhým okem. Měřítko v modelu je představeno z důvodu hospodárnosti a pohodlí uživatele. Za normálních okolností je mnohem snazší pracovat s modelem budovy, atomu nebo produkčního systému než se samotným objektem. Takže s pilotním závodem, který je zmenšeným modelem kompletního závodu, se pracuje mnohem snadněji než se skutečným závodem.

Figurativní modely jsou vhodné pro zobrazení statického nebo dynamického jevu v daném časovém okamžiku. Například fotografie nebo diagram pracovního postupu může poskytnout dobrý „obrázek“ rostliny. Ale takové modely nejsou vhodné pro zobrazení dynamiky jevů, například pro zobrazení pracovních operací v závodě. Proto nejsou vhodné pro studium měnícího se procesu nebo dynamiky systému.

Ačkoli je obrazový model podobný originálu, liší se stejně jako ostatní typy modelů od originálu a nemůže odrážet všechny jeho vlastnosti. Zobrazuje pouze vlastnosti originálu, které jsou nezbytné pro úkoly řešené pomocí tohoto modelu. Tato selektivita do značné míry určuje nákladovou efektivitu použití jakéhokoli vědeckého modelu.

Analogový model používá k zobrazení vlastností jiného jevu řadu vlastností jednoho jevu (například v některých případech lze tok vody trubkami považovat za analogii „toku“ elektřiny vodiči).

Při vytváření modelu různých objektů, událostí, procesů nebo systémů není vždy možné zobrazit všechny vlastnosti, které nás zajímají, jednoduše změnou měřítka. Například nemůžeme vizualizovat geometrickou strukturu Země na světě. Můžeme však snadno představovat různé geometrické útvary pomocí vícebarevného zbarvení. Současně nahradíme jednu vlastnost (barvu) jinou (geometrická struktura) v souladu s některými pravidly transformace. Například v kartografii je taková transformace legalizována a pravidla pro transformaci jsou uvedena v legendě. Legenda na mapě také obsahuje seznam symbolů: například plná čára označuje polní cestu a tečkovaná čára označuje dálnici. Takový model se nazývá analogový model, protože v něm je sada některých vlastností reprezentována pomocí sady dalších vlastností.

Příkladem jednoduché analogie je grafika. Grafy používají vzdálenost k zobrazení vlastností, jako je čas, počet, procenta, hmotnost a další. Grafy jsou často užitečné pro prezentaci kvantitativních vztahů a poskytují schopnost předpovědět, jak změny v jedné vlastnosti ovlivňují jinou vlastnost.

Pomocí analogových modelů zvyšujeme naši schopnost kontrolovat změny v různých parametrech modelu. Obvykle je jednodušší změnit analogový model než umělecký model.

Modely - analogové jsou vhodné pro zobrazení dynamických procesů nebo systémů. Můžete postavit model, který funguje jako dopravní pás v továrně. Nebo můžete zobrazit výkyvy v poptávce změnou příslušného vstupu do modelu. Na obrázkovém modelu, jako je zmenšený provozní model dílny, je však taková změna obtížná.

Další výhodou analogového modelu ve srovnání s obrazovým modelem je velká univerzálnost tohoto modelu. Takže, mírně měnící model, můžete zobrazit různé procesy stejné třídy.

Symbolický model používá symboly k reprezentaci vlastností studovaného systému (pomocí matematické rovnice nebo soustavy rovnic). Prvky modelu a jejich vztah jsou specifikovány pomocí symbolů (obvykle matematických nebo logických).

V mnoha případech je obtížné vytvořit analogové modely, protože studium dynamiky jevu trvá hodně času. Chcete-li například studovat vliv kolísání poptávky na výrobní proces pomocí analogového modelu, musíte na modelu provést řadu experimentů. Pokud lze systémy reprezentovat pomocí matematického výrazu, lze efekt změny některého parametru stanovit pomocí matematické dedukce v několika krocích. Zvažujeme proto hlavně symbolické modely.

1. Sestavení modelu

Pro formulaci problému je nutné provést analýzu systému, prostudovat jeho vlastnosti a možné metody správy systému. Schéma vytvořené jako výsledek takové analýzy je buď obrazový, nebo analogový model. První fáze stavby modelu se tedy provádí v procesu stanovení problému. Po takové analýze systému je upřesněn seznam různých možností pro rozhodnutí, která je třeba vyhodnotit. Poté se stanoví míra celkové účinnosti těchto možností. Dalším krokem je proto vytvoření modelu, ve kterém lze efektivitu systému vyjádřit jako funkci proměnných, které systém definují. Některé z těchto proměnných lze v reálném systému změnit, jiné změnit nelze. Proměnné, které lze změnit, se budou nazývat „řízené“. Různé možnosti řešení problému musí být vyjádřeno pomocí řízených proměnných.

Konstrukce matematického (symbolického) modelu systému může začít uvedením seznamu všech prvků systému, které ovlivňují účinnost systému. Pokud se jako míra celkové účinnosti použije „celková očekávaná cena“, lze začít zkoumáním vizuálního nebo analogového modelu získaného ve fázi řešení problému. Můžete rozlišit operace a materiály, kterým jsou zúčtovány některé náklady. V tomto případě získáme například následující počáteční seznam:

1. Výrobní náklady:

a) kupní cena surovin;

b) náklady na dopravu surovin;

c) náklady na přijetí surovin;

d) náklady na skladování surovin;

e) náklady na plánování výroby;

f) náklady na seřizovací práce v obchodě;

g) náklady na proces zpracování;

h) náklady na skladování zásob během výroby;

i) náklady na dokončení výroby a přesun hotových výrobků do skladu;

j) náklady na analýzu výsledků práce plánovacím týmem;

k) náklady na skladování hotových výrobků.

2. Prodejní náklady.

3. Režijní náklady.

2. Lagrangeův problém

Bezpodmínečné a podmíněné extrémy

Důležité místo v matematickém aparátu ekonomiky zaujímají optimální problémy - problémy, pro které se v určitém smyslu hledá nejlepší řešení. V ekonomické praxi je nutné využívat dostupný zdroj nejziskovějším způsobem. V ekonomické teorii je jedním z výchozích bodů postulát, že každý ekonomický subjekt, který má určitou svobodu zvolit si své chování, hledá z jeho pohledu tu nejlepší možnost. A optimalizační úkoly slouží jako prostředek k popisu chování ekonomických entit, nástroj ke studiu vzorců tohoto chování.

Mnoho optimalizačních problémů je formulováno následovně. Rozhodnutí, které má subjekt přijmout, je popsáno množinou čísel x1, x2, ..., xn (nebo bodem X \u003d (x1, x2, ..., xn) n-rozměrného prostoru). Přednosti konkrétního řešení jsou určovány hodnotami funkce f (X) \u003d f (x1, x2, ..., xn) - objektivní funkce. Nejlepším řešením je bod X, ve kterém má funkce f (X) největší hodnotu. Úkol najít takový bod je popsán následovně:

Pokud funkce f (X) charakterizuje negativní aspekty řešení (poškození, ztráty atd.), Hledá se bod X, kde je hodnota f (X) minimální:

Minimum a maximum spojuje koncept extrému. Pro jistotu budeme hovořit pouze o problémech s maximalizací. Hledání minima nevyžaduje zvláštní pozornost, protože nahrazením objektivní funkce f (X) funkcí -f (X) lze vždy „přeměnit nevýhody na výhody“ a minimalizaci minimalizovat na maximalizaci.

Jaké možnosti by měly být vybrány nejlépe? Jinými slovy, mezi kterými body ve vesmíru je třeba hledat optimum. Odpověď na tuto otázku je spojena s takovým prvkem optimalizačního problému, jako je soubor proveditelných řešení. V některých problémech jsou přípustné jakékoli kombinace čísel x1, x2, ..., xn, to znamená, že soubor přípustných řešení je celý uvažovaný prostor.

U jiných úkolů by měla být zohledněna různá omezení, což znamená, že ne všechny body v prostoru jsou k dispozici pro výběr. Ve smysluplných prohlášeních o problémech to může být způsobeno například omezenou dostupností zdrojů.

Omezení lze vyjádřit ve formě rovnosti formuláře

nebo nerovnost

Pokud mají podmínky mírně odlišný tvar, řekněme g1 (X) \u003d g2 (X) nebo g (X)  A, pak je lze redukovat na standardní formu jejich přenosem na funkce a konstanty v jedné z částí rovnosti nebo nerovnosti.

Extrém, který se nachází v celém prostoru bez jakýchkoli omezujících podmínek, se nazývá bezpodmínečný. Pokud je objektivní funkce kontinuálně diferencovatelná, pak nezbytnou podmínkou bezpodmínečného extrému funkce je nulová rovnost všech jejích dílčích derivací:

Jsou-li dána omezení, pak se extrém hledá pouze mezi body, které splňují všechna omezení problému, protože jsou přípustné pouze takové body. V tomto případě se extrem nazývá podmíněný.

Zvažte problém nalezení podmíněného extrému:

za podmínek (2)

g1 (X) \u003d 0; g2 (X) \u003d 0, ..., gn (X) \u003d 0,

všechna omezení jsou rovnosti.

Pokud jsou navíc objektivní funkce a všechny omezující funkce spojitě diferencovatelné, pak budeme takový problém nazývat Lagrangeovým problémem.

3. Lagrangeův problém s jedním omezením

Zvažte problém s následující strukturou:

podléhá (3)

Podívejme se na příklad. Po svahu hory je cesta, musíte na ní najít nejvyšší bod. Na obr. 1 ukazuje mapu oblasti s nakreslenými čarami

stejné výšky; silná čára je silnice. Bod M, kde se silnice dotýká jedné úrovňové čáry, je nejvyšším bodem silnice.

Pokud X \u003d (x1, x2) je bod hustoty, x1 a x2 jsou jeho souřadnice, pak může být problém uveden v následujícím tvaru. Nechť f (X) je výška bodu X nad hladinou moře a rovnice g (X) \u003d 0 popisuje silnici. Nejvyšším bodem silnice je pak řešení problému (3).

Pokud by cesta prošla vrcholem hory, pak by její nejvyšší bod byl nejvyšším bodem v terénu a omezení by mohlo být ignorováno.

Pokud cesta neprochází vrcholem, bylo by možné odchýlit se mírně od silnice, aby bylo možné stoupat výše, než se pohybovat striktně po silnici. Odchylka od silnice odpovídá nárazovým bodům, kde g (X)  0; s malými odchylkami lze dosažitelnou výšku v tomto případě přibližně považovat za úměrnou odchylce.

Myšlenku řešení Lagrangeova problému lze představit následovně: můžete se pokusit „opravit“ terén tak, aby odchylka od silnice nepřinášela výhody při dosažení výšky. Chcete-li to provést, musíte nahradit výšku f (X) funkcí.

L (X) \u003d f (X) - g (X),

kde je faktor  zvolen tak, aby se úsek svahu v blízkosti bodu M stal vodorovným (příliš malý  nevyloučí výhody odchylek od silnice a příliš velký zvýhodní odchylky v opačném směru).

Nyní, protože díky reliéfu L (X) je oblast v blízkosti optimálního bodu vodorovná, splňuje tento bod rovnosti

a protože bod leží na silnici, pak omezení g (X) \u003d 0.

Příklad hory a silnice je pouze ilustrací této myšlenky; stejným způsobem se dvojrozměrný případ používá pouze pro přehlednost. Dalo by se uvažovat podobným způsobem v obecném n-dimenzionálním případě.

Platí následující prohlášení:

Pokud f (x1, ..., xn) a g (x1, ..., xn) jsou spojitě diferencovatelné funkce všech jejich argumentů, pak řešení problému

f (x1, ..., xn)  max

vzhledem k tomu

g (x1, ..., xn) \u003d 0

uspokojuje rovnost

L (x1, ..., xn; ) \u003d f (x1, ..., xn) - g (x1, ..., xn).

Funkce L (X; ) se nazývá Lagrangeova funkce (nebo Lagrangeova) úlohy (3) a koeficient  je Lagrangeův multiplikátor.

Všimněte si, že rovnost (5) je omezení g (X) \u003d 0 prezentované v jiné formě.

Výše uvedené odůvodnění samozřejmě není důkazem zde formulovaného prohlášení; pouze pomáhají pochopit podstatu metody: složka g (X) ve Lagrangeově funkci musí vyvážit možné zvýšení maximální hodnoty funkce g (X) od nuly. Tato okolnost bude velmi užitečná z toho, co následuje při diskusi o významu Lagrangeova multiplikátoru.

Podívejme se na extrémně jednoduchý příklad. K uzavření obdélníkového úseku největší plochy na pobřeží je nutné lano délky A (pobřeží je považováno za rovné).

Obr. 3 k problému Dido

Označme strany obdélníku x1 a x2 (viz obr. 3). Pojďme nejprve vyřešit problém bez použití Lagrangeovy metody.

Je zřejmé, že x2 \u003d A - 2 x1 a plocha obdélníku je S \u003d x1x2 \u003d x1 (A - 2x1). Vezmeme-li to jako funkci jednoho argumentu x1, je snadné najít jeho hodnotu, při které je plocha maximální: x1 \u003d A / 4. Proto x2 \u003d A / 2. Maximální plocha je S * \u003d A2 / 8.

Nyní budeme uvažovat o stejném problému v podobě Lagrangeova problému:

vzhledem k tomu

2 x1 + x2 - A \u003d 0

Lagrangeián tohoto problému je

L (x1, x2; ) \u003d x1x2 -  (2x1 + x2 - A),

a extrémní podmínky jsou

2 x1 + x2 \u003d A

Dosazením hodnot x1 a x2 z první a druhé rovnosti do třetí zjistíme, že 4 \u003d A, odkud

 \u003d A / 4; x1 \u003d A / 4; x2 \u003d A / 2,

jako v řešení prvním způsobem.

Tento příklad ukazuje běžný způsob řešení Lagrangeova problému. Vztahy (4) a (5) tvoří soustavu rovnic pro х1,…, хn a ,. Systém se skládá z n + 1 rovnic - n rovnic tvaru (4) a jedné rovnice tvaru (5). Počet rovnic se rovná počtu neznámých. Z rovnic tvaru (4) se můžeme pokusit vyjádřit každou z neznámých x1,…, x2 až , tj. Vyřešit ji jako soustavu n rovnic, přičemž  považujeme za parametr. Dosazením výsledných výrazů do rovnice (5) - víme, že se shoduje s omezením - získáme rovnici pro . Při jeho řešení se nalezne,, po kterém se určí počáteční neznámé x1, ..., xn.

4. Význam Lagrangeových multiplikátorů

Při řešení Lagrangeova problému nás zajímaly hodnoty x1,…, xn; navíc by nás mohla zajímat extrémní hodnota objektivní funkce f (X). Ale v průběhu řešení byla cestou stanovena hodnota další veličiny - Lagrangeova multiplikátoru.

Ukazuje se, že Lagrangeův multiplikátor je velmi podstatnou charakteristikou řešeného problému. Aby byl jeho význam jasnější, mírně změníme formulaci omezení, aniž bychom změnili cokoli v podstatě.

Typická ekonomická situace se vyznačuje tím, že musíte hledat nejziskovější řešení s omezeným množstvím nějakého zdroje. Pokud r je dané množství zdroje a funkce h (X) charakterizuje jeho požadované množství k dosažení bodu X, pak je přirozené dát omezení formu

Z povahy problému je často zřejmé, že pro dosažení optima musí být zdroj plně využit, aby omezení bylo možné zapsat ve formě rovnosti

F (r) \u003d max f (X)  h (X) \u003d r.

Na pravé straně - přijatelné označení podmíněného extrému: podmínka je zapsána za svislou čáru.

Připomeňme, že když diskutujeme o struktuře Lagrangeova, interpretovali jsme g (X) jako složku, která vyvažuje možné zvýšení maxima f (X), když se g (X) odchyluje od nuly. Ale odchylka g (X) od nuly je odchylka h (X) od r. Pokud je dostupné množství zdroje zvýšeno o r, pak bychom měli očekávat přírůstek maxima funkce f (X) o r.

Ve skutečnosti je tento poměr přibližný. Dostali bychom přesný výsledek v limitu pro r  0:

Lagrangeův multiplikátor tedy charakterizuje rychlost změny maxima objektivní funkce, když se omezující konstanta r \u200b\u200bzmění v omezení formy (6).

Ve variantě Didova problému uvažované v předchozím odstavci byla omezeným zdrojem délka lana A. Ukázalo se, že maximální plocha je S (A) \u003d A2 / 8. Proto dS (A) / dA \u003d A / 4, což přesně odpovídá hodnotě  nalezené v řešení.

Uveďme ještě jednu úvahu. Pro všechny možné body X najděte hodnoty f (X) a h (X) a odložte tyto hodnoty jako body v kartézských souřadnicích (obr. 4). Pokud pro každou hodnotu h (X) existuje maximum funkce f (X), pak budou všechny body umístěny pod určitou křivkou zobrazenou na obrázku tučnou čarou.

Zajímají nás body odpovídající podmínce h (X) \u003d r. Maximum f (X) je označeno bodem M *; označme  sklon křivky v tomto bodě. Pokud vezmeme ne f (X), ale L (X; ) \u003d f (X) - jako souřadnice, pak by nová horní hranice měla v bodě M * vodorovnou tečnou linii. To znamená, že v původním n-dimenzionálním prostoru je odpovídající bod M stacionárním bodem funkce L (X; ) s danou hodnotou parametru . , Je tedy Lagrangeův multiplikátor.

Ale tučná černá křivka je grafem funkce F (r) a  je její sklon, odkud následuje rovnost (7).

5. Nejjednodušší modely řízení zásob.

Níže uvedené úkoly souvisejí s optimální regulací rezerv. Tyto cíle lze formulovat následovně:

1. Časy, kdy jsou přijímány příkazy k doplnění zásob, jsou pevné. Zbývá určit objem a čas objednávek.

2. Je nutné určit jak objem, tak čas objednávek.

1. Náklady způsobené zadáním a přijetím objednávky během nákupu nebo výroby. Je to množství nezávislé na velikosti šarže, a tedy proměnná na jednotku.

2. Náklady na skladování jednotky produktů ve skladu. To zahrnuje náklady spojené s organizací skladování, zastarávání a zhoršování stavu, pojištění a daňové náklady.

3. Výdaje (pokuty), vznikají při vyčerpání zásob, při zpoždění služby nebo poptávce nelze vůbec vyhovět.

Všechny náklady mohou zůstat konstantní nebo se mohou měnit v závislosti na čase (například v závislosti na ročním období může existovat odlišná pokuta za závislost na uchovávání jednotky zboží ve skladu).

Úkoly správy zásob také berou v úvahu charakteristiky poptávky a možnosti doplnění zásob.

Poptávka může být známá nebo neznámá, konstantní nebo časově závislá. Množství, které charakterizuje poptávku, může být buď diskrétní (například počet aut), nebo kontinuální.

Poptávka po zboží na skladě může vzniknout v určitých okamžicích (poptávka po zmrzlině na stadionu) nebo přetrvávat (poptávka po zmrzlině na velkém letišti).

V některých případech lze objednávky na doplnění zásob vyplnit okamžitě (například při objednávce mléka z malého obchodu). V ostatních případech trvá provedení objednávky značné množství času. Objednávky lze zadávat kdykoli nebo pouze v určitých časových okamžicích.

Objem produktů vstupujících do skladu lze měřit diskrétně nebo kontinuálně a může být konstantní i variabilní. Samotné přijetí může být diskrétní a kontinuální a může se vyskytovat rovnoměrně nebo nerovnoměrně.

Bereme následující notaci:

q - objem objednávky (při doplňování zásob);

q0 je optimální velikost objednávky;

t je časový interval;

ts - časový interval mezi dvěma příkazy;

tso je optimální časový interval mezi objednávkami;

T je časové období, pro které je hledána optimální strategie;

R - úplná poptávka po čase T;

C1 jsou náklady na skladování výrobní jednotky za jednotku času;

C2 - výše pokuty za nedostatek jedné výrobní jednotky (v určitém časovém okamžiku).

CS - hodnota objednávky (při nákupu nebo výrobě),

Cs je očekávaná celková režie;

Qo je minimální očekávaná celková režie;

Taková je optimální úroveň zásob na začátku určitého časového intervalu.

Nechť určitý podnikatel dodává svým zákazníkům produkty R rovnoměrně v časovém intervalu T. poptávka je tedy pevná a známá. Nedostatek zboží není povolen, tj. pokuta za neuspokojený požadavek je nekonečně velká (C2 \u003d ). Variabilní výrobní náklady se skládají z následujících prvků: C1 - náklady na skladování jednoho produktu (za jednotku času), C2 - náklady na uvedení jedné dávky produktů do výroby.

Podnikatel se musí rozhodnout, jak často by měl organizovat uvolnění dávky a jaká by měla být velikost každé dávky.

Cenová rovnice a její analytické řešení. Právě popsaná situace je graficky znázorněna na obrázku 5. Nechť q je velikost šarže, ts časový interval mezi spuštěním šarže do výroby, a R celková poptávka po celou dobu plánování T.

Pak R / q je počet účastníků v čase T a

Pokud interval ts začíná, když je na pokladu q položek, a končí, když.

absence objednávek, pak q / 2 je průměrná zásoba během ts (rovnost q / 2 \u003d qav je třeba považovat za přibližnou. její přesnost je čím vyšší, tím větší R) q / 2 * C1 ts náklady na skladování v intervalu ts.

Celkové náklady na vytvoření zásob v intervalu ts se rovnají součtu nákladů na spuštění do výroby

Chcete-li vypočítat celkové náklady na vytvoření zásob pro čas T, měla by se tato hodnota vynásobit celkovým počtem dávek během této doby:

Nahradíme-li zde výraz pro ts, dostaneme

Výrazy na pravé straně rovnic (44) představují náklady na skladování a celkovou hodnotu objednávky při výrobě všech šarží. Jak se velikost stran zvyšuje, první termín se zvyšuje a druhý se snižuje. Řešení problému s řízením zásob spočívá ve stanovení takové velikosti dávky qo, při které by byly celkové náklady nejmenší (obr.6)

Nalezena optimální hodnota velikosti dávky qo

Pro optimální ts® a Qo máme

Příklad I: Předpokládejme, že podnikatel musí dodat svému zákazníkovi 24 000 jednotek produktu ročně. Protože přijaté produkty se používají přímo na montážní lince a zákazník pro ně nemá speciální sklady, musí dodavatel odeslat jedinou denní sazbu. V případě narušení dodávky riskuje dodavatel ztrátu objednávky. Proto je nedostatek produktů nepřijatelný, tj. pokuta za nedostatek může být nekonečná. Skladování produktu za měsíc stojí 0,1 $. Náklady na spuštění jedné dávky produktů jsou 350 $.

Je nutné určit optimální velikost dávky q0, optimální období a tso pro výpočet minimálních celkových očekávaných ročních nákladů Qo. V tomto případě T \u003d 12 měsíců, R \u003d 24 000 jednotek, Cs \u003d 0,1 USD / dávka Cs \u003d 350 USD / dávka. Substituce těchto hodnot do rovnic (9), (10) a (11) nám dává.

Model II.

Uvažujme nyní případ, který se liší od předchozího pouze tím, že je již povolen přebytek poptávky nad akciemi, tj. pokuta za nedostatek je konečná.

Cenová rovnice a její analytické řešení. Uvažovaná situace je znázorněna na obr. 7. Na začátku každého intervalu je stav zásob. Zjistili jsme z podobnosti trojúhelníků.

Průměrná populace během t1 se rovná S / 2. Proto náklady na skladování po celou dobu t1

tvoří S / 2 * t1 C1. Průměrný nedostatek (nadbytek poptávky nad úrovní zásob) pro čas t2 je (qS) / 2 a pokuta za čas t2 je (q - S) / 2 a pokuta za čas t2 je ((q - S) / 2) * Q2 t2.

Očekávané celkové náklady za celou dobu T jsou tedy určeny následujícím výrazem:

Nahrazením výše uvedených výrazů pro t1 a t2, s přihlédnutím k dříve získanému výrazu pro ts, máme

Z rovnice (12) je možné najít optimální hodnoty pro q a S, při kterých budou celkové očekávané náklady minimální.

Po diferenciaci rovnice (12) máme:

Vyrovnáním těchto parciálních derivací na nulu a zjednodušením získáme výrazy,

Při řešení tohoto systému rovnic pro S a q najdeme

a proto

Abychom získali Q®, vyměníme to

Vložíme (14) a (51) do (12), po zjednodušení získáme

Při porovnávání výsledků získaných pro modely I a II je možné poznamenat, že za prvé lze rovnice (9), (10) a (11) získat z rovnic (13), (15) a (16), pokud se do nich někdo snaží C2 do nekonečna. Tento výsledek nelze považovat za neočekávaný, protože model I je zvláštním případem modelu II.

Zadruhé, pokud С2  , pak

V důsledku toho jsou očekávané celkové náklady v modelu II nižší než v modelu I.

Příklad II: Předpokládejme, že všechny podmínky v příkladu I zůstanou, ale pouze pokuta za nedostatek C2 je nyní 0,2 $ za položku za měsíc. A rovnice (13) - (16) dostaneme:

Při optimální strategii by očekávaný schodek na konci každého období byl 4578 - 3058 \u003d 1522 položek.

6. Model I. Wilsonův model bez omezení

Jako nejjednodušší model správy zásob zvažte model optimalizace aktuální zásoby, který umožňuje zvýšit efektivitu obchodního podniku. Takový model je postaven v následující situaci: určitá obchodní společnost ve stanoveném časovém období zahájí a prodá produkt konkrétního (předem známého) objemu a zároveň je nutné simulovat fungování společnosti tak, aby celkové náklady byly minimální. Při vytváření tohoto modelu se používají následující počáteční návrhy:

1. jsou plánovány zásoby pouze jednoho produktu nebo jedné skupiny produktů;

2. úroveň zásob klesá rovnoměrně v důsledku přímého prodeje;

3. poptávka a plánovací období jsou plně stanoveny předem;

4. zboží dorazí striktně v souladu s plánem, odchylky nejsou povoleny, pokuta za neuspokojenou poptávku je nekonečně vysoká;

5. Náklady na správu zásob sestávají pouze z nákladů na dodání a skladování zásob.

Celkové náklady budou považovány za závislé na hodnotě jedné dodávky q. Problém optimálního řízení zásob se tak sníží na nalezení optimální velikosti q0 jednoho příkazu. Po zjištění optimální hodnoty regulované veličiny q je možné vypočítat další parametry modelu, a to: počet dodávek n0, optimální časový interval tso mezi dvěma po sobě následujícími dodávkami, minimální (teoretické) celkové náklady Q0.

Uveďme následující zápis pro známé parametry modelu:

T je celé časové období, pro které se model staví;

R je celý objem (plný požadavek) kuchaře během doby T;

C1 - náklady na skladování jedné jednotky zboží za jednotku času;

Cs - výdaje za dodání jedné dávky zboží.

Označme Q dosud neznámé celkové náklady na vytvoření zásob nebo, což je stejné, objektivní funkce. Úkolem modelování je sestrojit objektivní funkci Q \u003d Q (q). Celkové náklady se budou skládat z nákladů na dovoz a skladování zboží.

Celkové náklady na skladování aktuální zásoby budou

ty. součin nákladů na skladování jedné jednotky zboží podle „průměrného“ aktuálního stavu zásob. Podle návrhu 2 se úroveň zásob rovnoměrně snižuje v důsledku jednotného prodeje, tj. pokud se v počátečním okamžiku vytvoření akcie rovná q, pak se na konci časového období ts rovná 0 a pak se „průměrná“ akcie rovná

Plné náklady na dodání zboží budou stejné

ty. součin nákladů na dovoz jedné dávky zboží a počtu dodávek n, které jsou zjevně stejné.

Pak budou celkové náklady na správu současných zásob

ty. objektivní funkce Q je nelineární funkce q v rozsahu od 0 do R.

Pro problém optimálního řízení aktuálních zásob je tedy vytvořen následující matematický model:

pod omezeními 0

určit hodnoty q minimalizující nelineární objektivní funkci

Formalizovaný úkol je přísně matematicky napsán ve formě:

Problém vyřešíme podle známého schématu. Vypočítáme derivaci:

A srovnáváme to na nulu:

Abychom se ujistili, že v bodě q \u003d q0 funkce Q (q) skutečně dosáhne svého minima, vypočítáme druhou derivaci:

Optimální velikost jedné dodávky je tedy:

optimální průměrná aktuální zásoba:

optimální počet dodávek:

optimální interval mezi dvěma po sobě následujícími dodávkami:

optimální (teoretické) náklady budou:

PŘÍKLAD 1. Obchodní podnik plánuje v průběhu roku dovážet a prodávat cukr v celkovém objemu 10 tisíc tun. Náklady na dovoz jedné dávky zboží jsou 1 000 rublů a skladování jedné tuny cukru stojí 50 rublů. Určete optimální velikost jedné dodávky tak, aby celkové náklady na dodávku a skladování zboží byly minimální, stejně jako počet dodávek, časový interval mezi dvěma po sobě následujícími dodávkami a minimální (teoretické) celkové náklady.

Podle stavu problému: R \u003d 10 000, C \u003d 1 000, C1 \u003d 50, T \u003d 12 měsíců.

Podle vzorců (19), (21), (22) a (23) máme:

Optimální velikost jedné dodávky je tedy 632 tun, počet dodávek n® je 16, doba mezi dvěma po sobě následujícími dodávkami je 23 dní a minimální celková cena je 31 600 rublů.

Upozorňujeme, že podmínky uvažovaného problému jsou z velké části idealizované. V praxi není vždy možné dodržet získané teoretické parametry modelu řízení zásob. Například v uvažovaném problému jsme zjistili, že optimální velikost jedné dodávky je 632 tun, ale může se ukázat, že výrobní závod prodává cukr pouze ve vozech po 60 tunách. To znamená, že obchodní podnik je nucen odchýlit se od optimální velikosti jedné dodávky. Proto je důležité definovat takové limity odchylky, které nevedou k výraznému zvýšení celkových nákladů.

Objektivní funkce Q (q) řízení zásob je součtem dvou funkcí - lineární a hyperbolické. Nakreslíme jeho graf schematicky.

V oblasti minima se mění pomalu, ale se vzdáleností od bodu qo, zejména směrem k malému q, se hodnota Q rychle zvyšuje. Určíme dostupné změny ve velikosti jedné dodávky podle dostupné úrovně zvýšení nákladů. Nechte obchodní podnik „souhlasit“ se zvýšením minimálních nákladů ne více než krát (\u003e 1), tj. podnik připouští náklady

Odchylka velikosti jedné zásoby q od optimální se nastavuje pomocí dalšího parametru  ve tvaru:

Celkové náklady na tuto velikost jedné dodávky pak budou:

z (24) a (25) vyplývá:

Řešení (26) s ohledem na  získáme:

Nechť v příkladu 1 podnik připouští zvýšení celkových nákladů o 20% ve srovnání s optimálními, tj.  \u003d 1,2. Potom pomocí vzorců (27) získáme: 1 \u003d 1,2 - 1,44 - 1 \u003d 0,54; 2 \u003d 1,2 + 1,44 - 1 \u003d 1,86. A rozsah přípustných hodnot  je 0,54    1,86. Pak: 1qo \u003d 0,54 * 632  341; Q2qo \u003d 1,86 * 632  1176 a hlasitost jednoho nastavení q se může v intervalu měnit (1qo; 2q0) \u003d (341; 1176). V takovém případě celkové náklady nepřesáhnou optimální náklady více než 1, 2krát.

Zde si všimněte, že získaný přípustný rozsah hodnot q není symetrický s ohledem na q®, protože ve směru snižování hodnot q se lze odchýlit od qo o 632 - 341 \u003d 291 jednotek a ve směru zvyšujících se hodnot q se lze odchýlit od q0 o 1176 - 632 \u003d 544 jednotek.

Tuto asymetrii přípustných hodnot q ve vztahu k q0 lze snadno vysvětlit z grafu funkce Q na obr. 1: při odchylce doleva od q0 se graf funkce zvyšuje „rychleji“, než když se odchyluje o stejnou částku vpravo od q0.

Výše uvedený model je samozřejmě velmi jednoduchý a lze jej použít pouze v podnicích prodávajících jeden typ produktu, což je extrémně vzácné. Každý obchodní podnik má obvykle zásoby nejrůznějších druhů zboží. Pokud v tomto případě není zboží zaměnitelné, pak se stanovení optimální velikosti zásob provádí pro každou komoditu zvlášť, jak je uvedeno výše. Doporučuje se kombinovat zaměnitelné zboží do skupin a optimalizovat pro něj zásoby jako pro jednotlivé zboží. V praxi však není vždy možné tato doporučení využít, protože mohou nastat další omezující podmínky, zejména omezená velikost skladovacích zařízení. Takové omezující podmínky vedou ke skutečnosti, že optimální dávku zboží nelze umístit do dostupné skladovací kapacity. Model uvažovaný níže bere v úvahu taková omezení.

7. Model II. Wilsonův model s omezeními skladu

Nechte obchodní podnik ve lhůtě T zahájit a prodat n druhů zboží. Podle toho označujeme:

Ri - plná poptávka po i-tom produktu během T;

C1i - náklady na skladování jedné jednotky i-tého produktu po plánovanou dobu;

CSi - výdaje na dodávku jedné dávky i-tého produktu;

Vi - objem skladu obsazený jednou jednotkou i-tého produktu.

V je celá kapacita skladu.

Předpokládá se, že všechny tyto hodnoty jsou známy předem. Množství jedné dodávky i-tého zboží, které dosud není známo, bude označeno qi a prostřednictvím qio budeme dále označovat optimální velikost jedné dodávky i-tého zboží.

Pak se v souladu s bodem (2) budou celkové náklady na dodávku a skladování i-tého produktu rovnat:

a celkové náklady na všechny druhy zboží mají formu:

qi  Ri, qi  0 (30).

Přišli jsme tedy k následujícímu Lagrangeovu problému:

Najděte minimum nelineární funkce (12) pod lineárními omezeními (29) a (30). Lagrangeova funkce uvažovaného problému (28) - (30) má tvar:

Lagrangeova funkce (31) se shoduje s objektivní funkcí (28), pokud je v (31)

Podle algoritmu pro řešení Lagrangeova problému najdeme parciální derivace funkce (31) přes všechny qi a přirovnáme je k nule:

Každá z rovnic systému (34) určuje odpovídající hodnotu

kde na pravé straně jsou známy všechny hodnoty parametrů kromě faktoru мн. Pro určení hodnoty dosadíme výrazy qi do podmínky (32). Dostaneme:

V relaci (36) jsou všechna množství, kromě, známa předem, tj. je to iracionální rovnice s jednou neznámou. To lze vždy vyřešit s ohledem na faktor . Po zjištění hodnot  \u003d 0 je možné určit optimální hodnoty dodávek pro každé zboží podle vzorců:

Nyní se můžeme podívat na konkrétní příklad.

Nechte obchodní podnik v úmyslu zahájit a prodat tři druhy zboží (n \u003d 3) v objemech, respektive 24 tisíc jednotek, 20 tisíc jednotek. a 16 tisíc jednotek. Celý objem skladových prostor je 18 000 metrů krychlových. m. Náklady na skladování jedné jednotky prvního typu produktu jsou 6 rublů, druhá - 8 rublů, třetí - 10 rublů. Náklady na dovoz jedné šarže prvního typu produktu jsou 1200 rublů, druhá - 1600 rublů, třetí - 2000 rublů. V tomto případě jedna jednotka prvního typu produktu trvá 3 metry krychlové. m., druhá - 4 kubické metry. m., třetí - 5 metrů krychlových. m. Najít optimální velikosti dodávky každého druhu zboží. Podle podmínek máme:

R1 \u003d 24000, R2 \u003d 20000, R3 \u003d 16000;

C11 \u003d 6, C12 \u003d 8, C13 \u003d 10;

Cs1 \u003d 1200, Cs2 \u003d 1600, Cs3 \u003d 2000;

V1 \u003d 3, V2 \u003d 4, V3 \u003d 5;

Složíme rovnici tvaru (36), abychom určili hodnotu faktoru ;

odkud о \u003d - 2,41.

Zjistíme hodnoty optimálního zásobení každého zboží podle vzorců (37):

Zkontrolujeme splnění podmínky (29) pro nalezené objemy optimálních zásob. Mělo by být provedeno:

V1 * q1® + V2 * q2® + V3 * q3®  V \u003d 18000.

3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000.

Spokojenost nerovnosti (29) potvrzuje, že objemy optimálních dodávek jsou stanoveny správně. Navíc. Nerovnost (29) byla v našem příkladu splněna jako rovnost, což znamená, že při první dodávce zboží budou všechny skladové prostory naplněny na maximum. V průběhu času, s následnými dodávkami zboží, obraz určitě nebude tak ideální a která část skladového prostoru nebude zaplněna.

Zde si můžeme v tomto příkladu všimnout jednoho malého „triku“, počáteční data v příkladu jsou vybrána tak, aby iracionální rovnice (*) tvaru (36) měla ve všech třech termínech stejného jmenovatele, což samozřejmě řešení rovnice zjednodušuje. Tento „trik“ se používá k uvážení příkladu, protože naším hlavním cílem v současné době není být schopen vyřešit iracionální rovnici. Vyvstává nicméně otázka: co dělat, když při použití tohoto modelu v praxi budou počáteční data taková, že nebude možné použít náš „trik“. Odpověď na tuto otázku je poměrně jednoduchá: v moderní matematice byly vyvinuty desítky metod pro přibližné řešení rovnic, a proto lze hodnoty faktoru  z rovnice (36) určit přibližně s jakýmkoli stupněm přesnosti. Navzdory našemu „triku“, který usnadňuje nalezení hodnoty find, jsme přesto určili jeho aproximaci. S ohledem na výše uvedené můžeme konstatovat, že použitý „trik“ není omezen obecností modelu.

8. Robinsonova strava

Pojďme se nyní obrátit k problému spotřeby přibližně v podobě, v jaké jej Gossen představoval.

Osoba může konzumovat zboží n typů v množství xi, i \u003d 1,…, n. Celková užitečnost spotřeby i-tého zboží je popsána funkcí TUi (xi). Mezní užitečnost MUi (хi) \u003d dTUi (хi) / dxi klesá s rostoucím хi - to je Gossenův zákon. Užitečnost spotřeby všeho: zboží se sčítá podle jednotlivých zboží, takže

Předpokládejme, opět v návaznosti na Gossena, že spotřebitelské příležitosti člověka jsou omezeny pouze v době, kdy se může nabrousit k získání a spotřebě zboží, jako tomu bylo u Robinsona Crusoe. Pokud musí strávit ti jednotky času na jednotku i-tého zboží, pak je omezení zdroje vyjádřeno rovností

kde T je časový fond přidělený na spotřebu zboží.

Optimalizace je proces hledání extrému (globálního maxima nebo minima) určité funkce nebo výběru nejlepší (optimální) možnosti z množiny možných. Většina spolehlivým způsobem nález nejlepší volba je srovnávací hodnocení všech možné možnosti (alternativy). Pokud je počet alternativ velký, obvykle se k nalezení nejlepší používají metody matematického programování. Tyto metody je možné použít, pokud existuje striktní formulace problému: je nastavena sada proměnných, je nastavena oblast jejich možné změny (jsou nastavena omezení) a je stanoven typ objektivní funkce (funkce, jejíž extrém je třeba najít). Ta je kvantitativním měřítkem (kritériem) pro hodnocení stupně dosažení stanoveného cíle.

Problémem neomezené optimalizace je nalezení minima nebo maxima funkce při absenci jakýchkoli omezení. Navzdory skutečnosti, že většina praktických optimalizačních problémů obsahuje omezení, studium neomezených optimalizačních metod je důležité z několika hledisek. Mnoho algoritmů pro řešení problému s omezeními znamená jeho redukci na posloupnost neomezených optimalizačních problémů. Další třída metod je založena na nalezení vhodného směru a následném minimalizaci tímto směrem. Odůvodnění neomezených optimalizačních metod lze přirozeně rozšířit, aby ospravedlnilo postupy pro řešení problémů s omezeními.

Problém podmíněné optimalizace je najít minimální nebo maximální hodnotu argumentů skalární funkce f (x) n-rozměrných vektorů. Řešení problému je založeno na lineární nebo kvadratické aproximaci objektivní funkce k určení přírůstků x1, ..., xn při každé iteraci. Existují také přibližné metody řešení nelineárních problémů. Jedná se o metody založené na metodě lineární aproximace po částech. Přesnost hledání řešení závisí na počtu intervalů, ve kterých nacházíme řešení lineární problémco nejblíže nelineárním. Tato metoda umožňuje výpočty pomocí simplexní metody. V lineárních modelech jsou koeficienty objektivní funkce obvykle konstantní a nezávisí na hodnotě proměnných. Existuje však řada problémů, kdy náklady nejsou lineárně závislé na objemu.

Algoritmus řešení:

• 1. Práce začíná konstrukcí regulárního simplexu v prostoru nezávislých proměnných a odhadem hodnot objektivní funkce na každém z vrcholů simplexu.
• 2. Určuje se vrchol - největší hodnota funkce.
• 3. Vrchol se promítne přes těžiště zbývajících vrcholů do nového bodu, který se použije jako vrchol nového simplexu.
• 4. Pokud funkce dostatečně hladce klesá, iterace pokračují, dokud nebude překryt buď minimální bod, nebo nezačne cyklický pohyb podél 2 nebo více simplexů.
• 5. Hledání končí, když buď rozměry simplexu, nebo rozdíly mezi hodnotami funkce ve vrcholech zůstanou dostatečně malé.

Úkol: optimalizace nádrže. Dosáhněte minimálních nákladů na výrobu nádoby o objemu 2750 litrů na skladování písku.

Z \u003d min. C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5;

kde: X1 je množství požadovaného kovu, kg;

C1 - náklady na kov, RUB / kg;

X2 je hmotnost požadovaných elektrod, kg;

C2 je cena elektrod, rublů / kg;

X3 je množství spotřebované elektřiny, kWh;

C3 jsou náklady na elektřinu, RUB / kWh;

X4 je pracovní doba svářeče, h;

C4 - celní sazba svářeče, rub / h;

X5 - doba provozu výtahu, h;

C5 - platba za výtah, rub / h.

1. Najdeme optimální povrchovou plochu kontejneru:

F \u003d 2ab + 2bh + 2ah min (1)

kde V \u003d 2750 litrů.

x1 \u003d 16,331; x2 \u003d 10,99

Minimum funkce bylo získáno v procesu optimalizace metodou Boxing - 1196,065 dm2

V souladu s GOST 19903 - 74 přijmeme:

h \u003d 16,50 dm, b \u003d 10,00 dm.

Pojďme vyjádřit od (1) a získejte:

Vypočítejte optimální tloušťku plechu

Vyberme uhlíkovou obyčejnou ocel St2sp

U této oceli 320 MPa ,;

Masa písku.

Zatížení na stěnu nádrže největší plochy:

Vypočítáme zatížení na 1 lineární centimetr plechu o šířce 100 cm:

Určete tloušťku stěny na základě podmínky:

kde: l je délka listu (nejlépe největší, aby byla ponechána další bezpečnostní rezerva);

q je zatížení na lineární centimetr, kg / cm;

Tloušťka plechu, m

Maximální dovolené namáhání kovem, N / mm2.

Pojďme vyjádřit tloušťku stěny z (2):

Vzhledem k tomu, že 320 MPa \u003d 3263 kg / cm2,

Hmotnost kovu

kde: F je povrchová plocha nádoby, m2;

Tloušťka kovové stěny, m;

Hustota kovu, kg / m3.

Cena za ocel St2sp je asi 38 rublů / kg.

2. Délka svaru:

Použijeme elektrody na nerezovou ocel „UONI-13/45“

Cena 88,66 rublů / kg;

kde: Sseam - plocha průřezu svařovaného švu, m2;

l je délka svaru, m;

Hustota naneseného kovu, kg / m3.

3. Doba svařování:

kde l je délka svaru, m;

v - rychlost svařování, m / h.

Celková spotřeba energie:

Rsum \u003d 5 17 \u003d 85 kWh;

Cena elektřiny je 5,7 rublů / kWh.

4. U ručního obloukového svařování jsou náklady na pomocný, přípravný a konečný čas a čas na údržbu pracoviště v průměru 40 - 60%. Použijme v průměru 50%.

Celkový čas:

Platba za svářeče kategorie VI - 270 rublů za hodinu.

Plus tarifní faktor 17% za práci v uzavřeném, špatně větraném prostoru:

Platba za asistenta bude 60% platby za svářeče:

8055 0,6 \u003d 4833 rublů.

Celkem: 8055 + 4833 \u003d 12888 rublů.

5. K uchycení plechů během svařování, nakládání a vykládání plechů a samotné hotové nádoby bude zapotřebí jeřáb.

Aby svářeč „uchopil“ celou konstrukci, musí nanést přibližně 30% švů.

Platba za jeřáb - 1000 rublů / hodinu.

Celkové náklady na kapacitu.