Složitá funkce. Derivace komplexní funkce

Od té doby, co jste sem přišli, jste pravděpodobně již tento vzorec viděli v učebnici

a udělej obličej takhle:

Příteli, neboj se! Ve skutečnosti jde všechno jednoduše zostudit. Všemu určitě budete rozumět. Pouze jedna žádost - přečtěte si článek pomalu snažte se pochopit každý krok. Psal jsem co nejjednodušeji a nejjasněji, ale i tak je potřeba se do myšlenky ponořit. A určitě vyřešte úkoly z článku.

Co je komplexní funkce?

Představte si, že se stěhujete do jiného bytu, a proto balíte věci do velkých krabic. Ať je třeba sbírat nějaké drobnosti, například školní potřeby. Pokud je jen hodíte do obrovské krabice, mimo jiné se ztratí. Abyste se tomu vyhnuli, dáte je nejprve například do sáčku, který následně vložíte do velké krabice, kterou poté zalepíte. Tento „nejtěžší“ proces je znázorněn na níže uvedeném diagramu:

Zdálo by se, kde je matematika? A kromě toho se komplexní funkce tvoří ÚPLNĚ STEJNÝM způsobem! Pouze my „balíme“ nikoli sešity a pera, ale \ (x \), přičemž slouží různé „balíčky“ a „krabičky“.

Vezměme například x a „zabalíme“ ho do funkce:

V důsledku toho dostaneme samozřejmě \(\cos⁡x\). To je náš „pytel věcí“. A teď to dáme do "krabice" - balíme to třeba do kubické funkce.

Co se nakonec stane? Ano, je to tak, bude tam "balíček s věcmi v krabici", tedy "kosinus x kostek."

Výsledná konstrukce je komplexní funkcí. V tom se od jednoduchého liší NĚKOLIK „dopadů“ (balíčků) je aplikováno na jeden X v řadě a ukázalo se, jak to bylo, „funkce z funkce“ - „balíček v balíčku“.

Ve školním kurzu existuje jen velmi málo typů těchto stejných „balíčků“, pouze čtyři:

Pojďme nyní „zabalit“ x nejprve do exponenciální funkce se základem 7 a poté do goniometrické funkce. Dostaneme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

A nyní „zabalíme“ x dvakrát do goniometrických funkcí, nejprve do a poté do:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, že?

Nyní napište funkce sami, kde x:
- nejprve se „sbalí“ do kosinusu a poté do exponenciální funkce se základem \(3\);
- nejprve k páté mocnině a poté k tečně;
- nejprve k základnímu logaritmu \(4\) , poté na mocninu \(-2\).

Podívejte se na odpovědi na tuto otázku na konci článku.

Můžeme ale „sbalit“ x ne dvakrát, ale třikrát? Žádný problém! A čtyřikrát, pětkrát a pětadvacetkrát. Zde je například funkce, ve které je x "sbaleno" \(4\) krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takové vzorce se ve školní praxi nenajdou (studenti mají větší štěstí - mohou být obtížnější☺).

"Rozbalení" složité funkce

Podívejte se znovu na předchozí funkci. Dokážete přijít na pořadí „balení“? Do čeho se X nacpalo jako první, do čeho potom a tak dále až do úplného konce. To znamená, která funkce je vnořena do které? Vezměte si kus papíru a napište, co si myslíte. Můžete to udělat pomocí řetězu šípů, jak jsme psali výše, nebo jakýmkoli jiným způsobem.

Nyní je správná odpověď: nejprve bylo x „zabaleno“ do \(4\)-té mocniny, pak byl výsledek zabalen do sinusu, ten byl zase umístěn do logaritmického základu \(2\) a v konec se celá konstrukce strčila do přesilovek.

Tzn., že je nutné rozvinout sekvenci V OBRÁCENÉM POŘADÍ. A tady je nápověda, jak to udělat jednodušeji: stačí se podívat na X - musíte z něj tančit. Podívejme se na pár příkladů.

Zde je například funkce: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Podíváme se na X - co se s ním stane jako první? Převzato od něj. A pak? Vezme se tangens výsledku. A pořadí bude stejné:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Další příklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analyzujeme - nejprve bylo x provedeno na krychli a poté byl z výsledku vzat kosinus. Posloupnost tedy bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Pozor, funkce se zdá být podobná té úplně první (kde s obrázky). Ale to je úplně jiná funkce: tady v krychli x (tedy \(\cos⁡((x x x)))\) a tam v krychli kosinus \(x\) (tj. \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdíl vyplývá z různých sekvencí „balení“.

Poslední příklad (s důležitými informacemi): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že zde jsme nejprve prováděli aritmetické operace s x, pak se z výsledku vzal sinus: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to je důležitý bod: přestože aritmetické operace nejsou samy o sobě funkcemi, zde také fungují jako způsob „balení“. Pojďme se do této jemnosti ponořit trochu hlouběji.

Jak jsem řekl výše, v jednoduchých funkcích je x "sbaleno" jednou a ve složitých funkcích - dvě nebo více. Navíc jakákoliv kombinace jednoduchých funkcí (tedy jejich součet, rozdíl, násobení nebo dělení) je také jednoduchou funkcí. Například \(x^7\) je jednoduchá funkce, stejně jako \(ctg x\). Všechny jejich kombinace jsou tedy jednoduché funkce:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7 ctg x\) je jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) je jednoduché a tak dále.

Pokud se však na takovou kombinaci použije ještě jedna funkce, bude to již komplexní funkce, protože budou existovat dva „balíčky“. Viz diagram:

Dobře, pojďme na to. Napište sekvenci "zabalovacích" funkcí:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovědi jsou opět na konci článku.

Vnitřní a vnější funkce

Proč potřebujeme rozumět vnoření funkcí? Co nám to dává? Jde o to, že bez takové analýzy nebudeme schopni spolehlivě najít derivace výše diskutovaných funkcí.

A abychom se posunuli dál, budeme potřebovat ještě dva pojmy: vnitřní a vnější funkce. To je velmi jednoduchá věc, navíc jsme je již analyzovali výše: pokud si vzpomeneme na naši analogii na samém začátku, pak vnitřní funkcí je „balíček“ a vnější je „krabička“. Tito. to, do čeho je X „zabaleno“ jako první, je vnitřní funkce a to, do čeho je „zabaleno“ interní, je již externí. No, je pochopitelné proč - je to venku, to znamená vnější.

Zde v tomto příkladu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkce \(\log_2⁡x\) je interní a
- vnější.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interní a
- vnější.

Proveďte poslední cvičení analýzy komplexních funkcí a nakonec přejděme k bodu, pro který bylo vše zahájeno - najdeme derivace komplexních funkcí:

Doplňte mezery v tabulce:

Derivace složené funkce

Bravo nám, ještě jsme se dostali k "šéfovi" tohoto tématu - vlastně k derivaci komplexní funkce a konkrétně k tomu velmi hroznému vzorci ze začátku článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec zní takto:

Derivace komplexní funkce se rovná součinu derivace vnější funkce s ohledem na konstantní vnitřní funkci a derivaci vnitřní funkce.

A okamžitě se podívejte na schéma analýzy „slovy“, abyste pochopili, k čemu se vztahuje:

Doufám, že pojmy „derivát“ a „produkt“ nezpůsobují potíže. "Komplexní funkce" - již jsme demontovali. Háček je v "derivaci externí funkce s ohledem na konstantní vnitřní funkci." co to je?

Odpověď: toto je obvyklá derivace vnější funkce, při které se mění pouze vnější funkce, zatímco vnitřní zůstává stejná. Stále nejasné? Dobře, vezměme si příklad.

Řekněme, že máme funkci \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnitřní funkcí je zde \(x^3\) a vnější
. Nalezněme nyní derivaci vnějšího vzhledem ke konstantě vnitřní.

Pokud se budeme řídit definicí, pak derivace funkce v bodě je limita poměru přírůstku funkce Δ y na přírůstek argumentu Δ X:

Vše se zdá být jasné. Ale zkuste vypočítat podle tohoto vzorce, řekněme, derivaci funkce F(X) = X 2 + (2X+ 3) · E X hřích X. Pokud uděláte vše podle definice, pak po několika stránkách výpočtů jednoduše usnete. Proto existují jednodušší a efektivnější způsoby.

Nejprve si všimneme, že takzvané elementární funkce lze odlišit od celé řady funkcí. Jde o poměrně jednoduché výrazy, jejichž derivace jsou již dávno vypočítány a zaneseny do tabulky. Takové funkce jsou snadno zapamatovatelné spolu s jejich derivacemi.

Derivace elementárních funkcí

Základní funkce jsou všechny uvedené níže. Deriváty těchto funkcí je třeba znát nazpaměť. Navíc není těžké si je zapamatovat – proto jsou elementární.

Takže derivace elementárních funkcí:

název	Funkce	Derivát
Konstantní	F(X) = C, C ∈ R	0 (ano, ano, nula!)
Stupeň s racionálním exponentem	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = hřích X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	− hřích X(mínus sinus)
Tečna	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/hřích2 X
přirozený logaritmus	F(X) = log X	1/X
Libovolný logaritmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponenciální funkce	F(X) = E X	E X(nic se nezměnilo)

Pokud se elementární funkce vynásobí libovolnou konstantou, pak se derivace nové funkce také snadno vypočítá:

(C · F)’ = C · F ’.

Obecně lze konstanty vyjmout ze znaménka derivace. Například:

(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zřejmé, že elementární funkce lze vzájemně sčítat, násobit, dělit a mnoho dalšího. Tak se objeví nové funkce, již nepříliš elementární, ale také diferencovatelné podle určitých pravidel. Tato pravidla jsou popsána níže.

Derivace součtu a rozdílu

Nechte funkce F(X) A G(X), jehož deriváty jsou nám známé. Můžete si například vzít výše popsané základní funkce. Pak můžete najít derivaci součtu a rozdílu těchto funkcí:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Takže derivace součtu (rozdílu) dvou funkcí se rovná součtu (rozdílu) derivací. Termínů může být více. Například, ( F + G + h)’ = F ’ + G ’ + h ’.

Přísně vzato, v algebře neexistuje žádný koncept „odčítání“. Existuje koncept „negativního prvku“. Proto ten rozdíl F − G lze přepsat jako součet F+ (-1) G, a pak zbývá pouze jeden vzorec - derivace součtu.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkce F(X) je součet dvou elementárních funkcí, takže:

F ’(X) = (X 2+ hřích X)’ = (X 2) + (hřích X)’ = 2X+ cosx;

Podobně argumentujeme pro funkci G(X). Pouze již existují tři pojmy (z hlediska algebry):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Odpovědět:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická věda, takže mnoho lidí věří, že pokud se derivace součtu rovná součtu derivací, pak derivace součinu stávkovat"\u003e se rovná součinu derivátů. Ale pro vás! Derivát součinu se vypočítá pomocí zcela jiného vzorce. Konkrétně:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Vzorec je jednoduchý, ale často zapomenutý. A to nejen školáků, ale i studentů. Výsledkem jsou nesprávně vyřešené problémy.

Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · E X .

Funkce F(X) je součin dvou elementárních funkcí, takže vše je jednoduché:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (-hřích X) = X 2 (3 cos X − X hřích X)

Funkce G(X) první násobitel je trochu složitější, ale obecné schéma se od toho nemění. Je zřejmé, že první multiplikátor funkce G(X) je polynom a jeho derivace je derivací součtu. My máme:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · E X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · E X + (X 2 + 7X− 7) ( E X)’ = (2X+ 7) · E X + (X 2 + 7X− 7) · E X = E X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · E X = X(X+ 9) · E X .

Odpovědět:
F ’(X) = X 2 (3 cos X − X hřích X);
G ’(X) = X(X+ 9) · E X .

Všimněte si, že v posledním kroku je derivace faktorizována. Formálně to není nutné, ale většina derivací se nepočítá sama o sobě, ale pro zkoumání funkce. To znamená, že se derivace bude dále rovnat nule, zjistí se její znaménka a tak dále. Pro takový případ je lepší mít výraz rozložený na faktory.

Pokud existují dvě funkce F(X) A G(X), a G(X) ≠ 0 na množině, která nás zajímá, můžeme definovat novou funkci h(X) = F(X)/G(X). Pro takovou funkci můžete také najít derivaci:

Není slabý, že? Kde se vzalo mínus? Proč G 2? A takhle! Toto je jeden z nejsložitějších vzorců - bez láhve na to nepřijdete. Proto je lepší si to prostudovat na konkrétních příkladech.

Úkol. Najděte derivace funkcí:

V čitateli a jmenovateli každého zlomku jsou elementární funkce, takže vše, co potřebujeme, je vzorec pro derivaci podílu:

Podle tradice počítáme čitatel do faktorů - to značně zjednoduší odpověď:

Složitá funkce není nutně vzorec dlouhý půl kilometru. Například stačí převzít funkci F(X) = hřích X a nahradit proměnnou Xřekněme dál X 2+ln X. Ukazuje se F(X) = hřích ( X 2+ln X) je komplexní funkce. Má také odvozeninu, ale nebude fungovat ji najít podle výše uvedených pravidel.

Jak být? V takových případech pomůže nahrazení proměnné a vzorce pro derivaci komplexní funkce:

F ’(X) = F ’(t) · t', Pokud X je nahrazeno t(X).

Situace s chápáním tohoto vzorce je zpravidla ještě smutnější než s derivací kvocientu. Proto je také lepší to vysvětlit na konkrétních příkladech, s podrobným popisem každého kroku.

Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = E 2X + 3 ; G(X) = hřích ( X 2+ln X)

Všimněte si, že pokud ve funkci F(X) místo výrazu 2 X+ 3 bude snadné X, pak dostaneme elementární funkci F(X) = E X. Proto provedeme substituci: nechť 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = E t. Hledáme derivaci komplexní funkce podle vzorce:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (E t)’ · t ’ = E t · t ’

A teď - pozor! Provedení zpětné substituce: t = 2X+ 3. Dostáváme:

F ’(X) = E t · t ’ = E 2X+ 3 (2 X + 3)’ = E 2X+ 3 2 = 2 E 2X + 3

Nyní se podíváme na funkci G(X). Evidentně je potřeba vyměnit. X 2+ln X = t. My máme:

G ’(X) = G ’(t) · t' = (hřích t)’ · t' = cos t · t ’

Reverzní výměna: t = X 2+ln X. Pak:

G ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

To je vše! Jak je vidět z posledního výrazu, celý problém se zredukoval na výpočet derivace součtu.

Odpovědět:
F ’(X) = 2 E 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2+ln X).

Velmi často ve svých hodinách místo termínu „derivát“ používám slovo „mrtvice“. Například zdvih součtu se rovná součtu zdvihů. Je to jasnější? Dobře, to je super.

Výpočet derivace tedy spočívá v zbavení se právě těchto zdvihů podle výše uvedených pravidel. Jako poslední příklad se vraťme k derivační mocnině s racionálním exponentem:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokdo to v roli ví n může být i zlomkové číslo. Například kořen je X 0,5. Ale co když je pod kořenem něco záludného? Opět se ukáže složitá funkce - rádi dávají takové konstrukce v testech a zkouškách.

Úkol. Najděte derivaci funkce:

Nejprve přepišme odmocninu jako mocninu s racionálním exponentem:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Nyní provedeme substituci: let X 2 + 8X − 7 = t. Derivaci najdeme podle vzorce:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Provedeme obrácenou substituci: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Na závěr zpět ke kořenům:

Komplexní funkce ne vždy odpovídají definici komplexní funkce. Pokud existuje funkce tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nelze ji na rozdíl od y \u003d sin 2 x považovat za komplexní.

Tento článek ukáže koncept komplexní funkce a její identifikaci. Pracujme se vzorci pro nalezení derivace s příklady řešení v závěru. Použití tabulky derivací a pravidel diferenciace výrazně zkracuje čas na nalezení derivace.

Základní definice

Definice 1

Komplexní funkce je funkce, jejíž argument je také funkcí.

Označuje se takto: f (g (x)) . Máme, že funkce g (x) je považována za argument f (g (x)) .

Definice 2

Jestliže existuje funkce f a je kotangens funkcí, pak g(x) = ln x je funkce přirozeného logaritmu. Dostaneme, že komplexní funkci f (g (x)) zapíšeme jako arctg (lnx). Nebo funkce f, což je funkce umocněná na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 je považováno za celou racionální funkci, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Je zřejmé, že g(x) může být složité. Z příkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je vidět, že hodnota g má odmocninu se zlomkem. Tento výraz lze označit jako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odtud máme, že f je sinusová funkce a f 1 je funkce umístěná pod druhou odmocninou, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 je zlomková racionální funkce.

Definice 3

Stupeň vnoření je definován libovolným přirozeným číslem a zapisuje se jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) .

Definice 4

Pojem složení funkcí se týká počtu vnořených funkcí podle zadání problému. Pro řešení vzorec pro nalezení derivace komplexní funkce tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Příklady

Příklad 1

Najděte derivaci komplexní funkce tvaru y = (2 x + 1) 2 .

Řešení

Podle konvence je f funkce kvadratury a g(x) = 2 x + 1 je považována za lineární funkci.

Aplikujeme derivační vzorec pro komplexní funkci a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2-1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je nutné najít derivaci se zjednodušeným počátečním tvarem funkce. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Proto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky se shodovaly.

Při řešení úloh tohoto druhu je důležité pochopit, kde se bude nacházet funkce tvaru f a g (x).

Příklad 2

Měli byste najít deriváty komplexních funkcí ve tvaru y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

Řešení

První záznam funkce říká, že f je funkce kvadratury a g(x) je funkce sinus. Pak to dostaneme

y "= (hřích 2 x)" = 2 hřích 2 - 1 x (hřích x)" = 2 hřích x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sinusová funkce a g (x) = x 2 označuje mocninnou funkci. Z toho vyplývá, že součin komplexní funkce lze zapsat jako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pro derivaci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) bude zapsán jako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) )))). . . f n "(x)

Příklad 3

Najděte derivaci funkce y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Řešení

Tento příklad ukazuje složitost zápisu a určování umístění funkcí. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označují, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkce sinus, funkce zvýšení na 3 stupně, funkce s logaritmem a základem e, funkce arkus tangens a lineární.

Ze vzorce pro definici komplexní funkce to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získání toho, co najít

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako derivace sinu v tabulce derivací, pak f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako derivace mocninné funkce, pak f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) jako logaritmická derivace, pak f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) jako derivace arkus tangens, pak f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Při hledání derivace f 4 (x) \u003d 2 x odeberte 2 ze znaménka derivace pomocí vzorce pro derivaci mocninné funkce s exponentem rovným 1, pak f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujeme mezivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takových funkcí připomíná hnízdící panenky. Pravidla diferenciace nelze vždy použít explicitně pomocí derivační tabulky. Často je potřeba použít vzorec pro hledání derivací komplexních funkcí.

Mezi komplexním pohledem a komplexní funkcí jsou určité rozdíly. S jasnou schopností toto rozlišit bude nalezení derivátů obzvláště snadné.

Příklad 4

Je třeba zvážit uvedení takového příkladu. Pokud existuje funkce tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , pak ji lze považovat za komplexní funkci tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zřejmé, že je nutné použít vzorec pro komplexní derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkce tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 není považována za komplexní, protože má součet t g x 2, 3 t g x a 1 . Nicméně t g x 2 je považováno za komplexní funkci, pak dostaneme mocninnou funkci tvaru g (x) \u003d x 2 a f, která je funkcí tečny. K tomu je potřeba rozlišovat podle částky. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 co 2 x

Pojďme k nalezení derivace komplexní funkce (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexní funkce mohou být zahrnuty do komplexních funkcí a samotné komplexní funkce mohou být složenými funkcemi komplexní formy.

Příklad 5

Uvažujme například komplexní funkci ve tvaru y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Tato funkce může být reprezentována jako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkcí logaritmu se základem 3 a g (x) je považováno za součet dvou funkcí ve tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zřejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Uvažujme funkci h(x) . Toto je poměr l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je součet dvou funkcí n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexní funkce s číselným koeficientem 3 a p 1 je krychlová funkce, p 2 kosinusová funkce, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineární funkce.

Zjistili jsme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je součtem dvou funkcí q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexní funkce, q 1 je funkce s exponentem, q 2 (x) = x 2 je mocninná funkce.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Při přechodu na výraz ve tvaru k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkce je reprezentována jako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s celočíselným racionálním t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkce druhé mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmické se základem e .

Z toho plyne, že výraz bude mít tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pak to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podle struktur funkce se ukázalo, jak a jaké vzorce je třeba použít, aby se výraz při derivaci zjednodušil. Abychom se s takovými problémy seznámili a porozuměli jejich řešení, je nutné odkázat na bod derivování funkce, tedy nalezení její derivace.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.

V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) byli první, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů.

Proto v naší době, abychom našli derivaci jakékoli funkce, není nutné počítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivací a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.

Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod znakem tahu rozebrat jednoduché funkce a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivace. Tabulka derivací a derivačních pravidel jsou uvedeny za prvními dvěma příklady.

Příklad 1 Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "X" je rovna jedné a derivace sinu je kosinus. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Řešení. Diferencujte jako derivaci součtu, ve které druhý člen s konstantním faktorem, lze vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále existují otázky, odkud něco pochází, zpravidla se vyjasní po přečtení tabulky derivací a nejjednodušších pravidel diferenciace. Právě k nim jdeme.

Tabulka derivací jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "x". Vždy se rovná jedné. To je také důležité mít na paměti
3. Derivace stupně. Při řešení problémů je třeba převést jiné než druhé odmocniny na mocninu.
4. Derivace proměnné na mocninu -1
5. Derivace odmocniny
6. Sinusová derivace
7. Kosinové deriváty
8. Derivace tangens
9. Derivace kotangens
10. Derivace arkussinus
11. Derivace arkuskosinus
12. Derivace arkus tangens
13. Derivace inverzní tečny
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivát produktu
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak ve stejném bodě funkce

a

těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantou, pak jejich derivace jsou, tj.

Pravidlo 2Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak je v tomtéž bodě diferencovatelný i jejich produkt

a

těch. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.

Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého z faktorů a všech ostatních.

Například pro tři násobiče:

Pravidlo 3Pokud funkce

v určitém okamžiku rozlišitelné A , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelný.u/v a

těch. derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a v čitateli a v derivaci jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina předchozího čitatele .

Kde hledat na jiných stránkách

Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných úlohách je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace."Derivace produktu a kvocient".

Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) za člen v součtu a za konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fázi studia odvozenin, ale protože průměrný student řeší několik jedno-dvousložkových příkladů, průměrný student již tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tudíž celý člen bude roven nule (takový případ je analyzován v příkladu 10) .

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce věnovaný samostatnému článku. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez transformací výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručky v nových oknech Akce se silami a kořeny A Akce se zlomky .

Pokud hledáte řešení pro derivace s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá , pak postupujte podle lekce "Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami".

Pokud máte úkol jako , pak jste v lekci "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí".

Příklady krok za krokem - jak najít derivaci

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Řešení. Určujeme části výrazu funkce: celý výraz představuje součin a jeho činitele jsou součty, z nichž druhý obsahuje konstantní činitel. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé:

Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě v každém součtu druhý člen se znaménkem mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže "x" se změní na jednu a mínus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující hodnoty derivací:

Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:

A můžete zkontrolovat řešení problému na derivaci na .

Příklad 4 Najděte derivaci funkce

Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatelem je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení takových problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada kořenů a stupňů, jako je např. pak vítejte ve třídě „Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami“ .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá , pak máte lekci "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .

Příklad 5 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny dostaneme:

Řešení derivačního problému si můžete ověřit na derivační kalkulačka online .

Příklad 6 Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla derivace kvocientu, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, dostaneme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .