komplexní deriváty. logaritmická derivace

Komplexní funkce ne vždy odpovídají definici komplexní funkce. Pokud existuje funkce tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nelze ji na rozdíl od y \u003d sin 2 x považovat za komplexní.

Tento článek ukáže koncept komplexní funkce a její identifikaci. Pracujme se vzorci pro nalezení derivace s příklady řešení v závěru. Použití tabulky derivací a pravidel diferenciace výrazně zkracuje čas na nalezení derivace.

Základní definice

Definice 1

Komplexní funkce je funkce, jejíž argument je také funkcí.

Označuje se takto: f (g (x)) . Máme, že funkce g (x) je považována za argument f (g (x)) .

Definice 2

Jestliže existuje funkce f a je kotangens funkcí, pak g(x) = ln x je funkce přirozeného logaritmu. Dostaneme, že komplexní funkci f (g (x)) zapíšeme jako arctg (lnx). Nebo funkce f, což je funkce umocněná na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 je považováno za celou racionální funkci, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Je zřejmé, že g(x) může být složité. Z příkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je vidět, že hodnota g má odmocninu se zlomkem. Tento výraz lze označit jako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odtud máme, že f je sinusová funkce a f 1 je funkce umístěná pod druhou odmocninou, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 je zlomková racionální funkce.

Definice 3

Stupeň vnoření je definován libovolným přirozeným číslem a zapisuje se jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) .

Definice 4

Pojem složení funkcí se týká počtu vnořených funkcí podle zadání problému. Pro řešení vzorec pro nalezení derivace komplexní funkce tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Příklady

Příklad 1

Najděte derivaci komplexní funkce tvaru y = (2 x + 1) 2 .

Řešení

Podle konvence je f funkce kvadratury a g(x) = 2 x + 1 je považována za lineární funkci.

Aplikujeme derivační vzorec pro komplexní funkci a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2-1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je nutné najít derivaci se zjednodušeným počátečním tvarem funkce. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Proto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky se shodovaly.

Při řešení úloh tohoto druhu je důležité pochopit, kde se bude nacházet funkce tvaru f a g (x).

Příklad 2

Měli byste najít deriváty komplexních funkcí ve tvaru y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

Řešení

První záznam funkce říká, že f je funkce kvadratury a g(x) je funkce sinus. Pak to dostaneme

y "= (hřích 2 x)" = 2 hřích 2 - 1 x (hřích x)" = 2 hřích x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sinusová funkce a g (x) = x 2 označuje mocninnou funkci. Z toho vyplývá, že součin komplexní funkce lze zapsat jako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pro derivaci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) bude zapsán jako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) )))). . . f n "(x)

Příklad 3

Najděte derivaci funkce y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Řešení

Tento příklad ukazuje složitost zápisu a určování umístění funkcí. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označují, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkce sinus, funkce zvýšení na 3 stupně, funkce s logaritmem a základem e, funkce arkus tangens a lineární.

Ze vzorce pro definici komplexní funkce to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získání toho, co najít

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako derivace sinu v tabulce derivací, pak f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako derivace mocninné funkce, pak f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) jako logaritmická derivace, pak f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) jako derivace arkus tangens, pak f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Při hledání derivace f 4 (x) \u003d 2 x odeberte 2 ze znaménka derivace pomocí vzorce pro derivaci mocninné funkce s exponentem rovným 1, pak f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujeme mezivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takových funkcí připomíná hnízdící panenky. Pravidla diferenciace nelze vždy použít explicitně pomocí derivační tabulky. Často je potřeba použít vzorec pro hledání derivací komplexních funkcí.

Mezi komplexním pohledem a komplexní funkcí jsou určité rozdíly. S jasnou schopností toto rozlišit bude nalezení derivátů obzvláště snadné.

Příklad 4

Je třeba zvážit uvedení takového příkladu. Pokud existuje funkce tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , pak ji lze považovat za komplexní funkci tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zřejmé, že je nutné použít vzorec pro komplexní derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkce tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 není považována za komplexní, protože má součet t g x 2, 3 t g x a 1 . Nicméně t g x 2 je považováno za komplexní funkci, pak dostaneme mocninnou funkci tvaru g (x) \u003d x 2 a f, která je funkcí tečny. K tomu je potřeba rozlišovat podle částky. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 co 2 x

Pojďme k nalezení derivace komplexní funkce (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexní funkce mohou být zahrnuty do komplexních funkcí a samotné komplexní funkce mohou být složenými funkcemi komplexní formy.

Příklad 5

Uvažujme například komplexní funkci ve tvaru y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Tato funkce může být reprezentována jako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkcí logaritmu se základem 3 a g (x) je považováno za součet dvou funkcí ve tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zřejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Uvažujme funkci h(x) . Toto je poměr l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je součet dvou funkcí n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexní funkce s číselným koeficientem 3 a p 1 je krychlová funkce, p 2 kosinusová funkce, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineární funkce.

Zjistili jsme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je součtem dvou funkcí q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexní funkce, q 1 je funkce s exponentem, q 2 (x) = x 2 je mocninná funkce.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Při přechodu na výraz ve tvaru k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkce je reprezentována jako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s racionálním celým číslem t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je kvadratická funkce a s 2 (x) = ln x je logaritmické se základem E.

Z toho plyne, že výraz bude mít tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pak to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podle struktur funkce se ukázalo, jak a jaké vzorce je třeba použít, aby se výraz při derivaci zjednodušil. Abychom se s takovými problémy seznámili a porozuměli jejich řešení, je nutné odkázat na bod derivování funkce, tedy nalezení její derivace.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Po předběžné dělostřelecké přípravě budou příklady s 3-4-5 přílohami funkcí méně děsivé. Možná se někomu budou následující dva příklady zdát složité, ale pokud je pochopí (někdo bude trpět), pak téměř vše ostatní v diferenciálním počtu bude působit jako dětský vtip.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Jak již bylo uvedeno, při hledání derivace komplexní funkce je to nejprve nutné Že jo POROZUMĚJTE INVESTICÍM. V případech, kdy existují pochybnosti, připomínám užitečný trik: vezmeme například experimentální hodnotu "x" a pokusíme se (mentálně nebo na konceptu) dosadit tuto hodnotu do "strašného výrazu".

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, takže součet je nejhlubší vnoření.

2) Poté musíte vypočítat logaritmus:

4) Pak krychli kosinus:

5) V pátém kroku rozdíl:

6) A konečně nejvzdálenější funkcí je druhá odmocnina:

Vzorec pro derivování složených funkcí jsou aplikovány v opačném pořadí, od nejvzdálenější funkce k nejvnitřnější. rozhodujeme se:

Zdá se, že je bez chyb:

1) Vezmeme derivaci odmocniny.

2) Vezmeme derivaci rozdílu pomocí pravidla

3) Derivace trojky je rovna nule. Ve druhém členu vezmeme derivaci stupně (krychle).

4) Vezmeme derivaci kosinusu.

6) A nakonec vezmeme derivát nejhlubšího vnoření .

Může se to zdát příliš obtížné, ale toto není ten nejbrutálnější příklad. Vezměte si například Kuzněcovovu sbírku a oceníte veškeré kouzlo a jednoduchost analyzovaného derivátu. Všiml jsem si, že podobnou věc rádi dávají u zkoušky, aby si ověřili, zda student rozumí, jak najít derivaci komplexní funkce, nebo nerozumí.

Následující příklad je pro samostatné řešení.

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Tip: Nejprve použijeme pravidla linearity a pravidlo diferenciace součinu

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Je čas přejít na něco kompaktnějšího a hezčího.
Není neobvyklé, že v příkladu je uveden součin ne dvou, ale tří funkcí. Jak najít derivaci součinu tří faktorů?

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Nejprve se podíváme, ale je možné proměnit součin tří funkcí na součin dvou funkcí? Pokud bychom například měli v součinu dva polynomy, mohli bychom otevřít závorky. Ale v tomto příkladu jsou všechny funkce odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takových případech je to nutné postupně použít pravidlo diferenciace produktů dvakrát

Trik je v tom, že pro "y" označujeme součin dvou funkcí: a pro "ve" - ​​logaritmus:. Proč to lze udělat? Je to? - to není součin dvou faktorů a pravidlo nefunguje?! Není nic složitého:

Nyní zbývá použít pravidlo podruhé do závorky:

Stále můžete zvrátit a něco vyjmout ze závorek, ale v tomto případě je lepší ponechat odpověď v této podobě - ​​bude snazší zkontrolovat.

Výše uvedený příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto ekvivalentní.

Příklad 5

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé řešení, v ukázce je řešeno prvním způsobem.

Zvažte podobné příklady se zlomky.

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít několika způsoby:

Nebo takhle:

Ale řešení lze napsat kompaktněji, pokud nejprve použijeme pravidlo derivace podílu , přičemž za celý čitatel:

V zásadě je příklad vyřešen a pokud bude ponechán v této podobě, nebude to chyba. Ale pokud máte čas, je vždy vhodné zkontrolovat návrh, ale je možné zjednodušit odpověď?

Přivedeme vyjádření čitatele ke společnému jmenovateli a zbavíme se třípatrového zlomku:

Nevýhodou dodatečných zjednodušení je, že existuje riziko chyby nikoli při hledání derivace, ale při banálních školních transformacích. Na druhou stranu učitelé často úkol odmítnou a požadují, aby „připomněli“ odvozeninu.

Jednodušší příklad řešení pro kutily:

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Pokračujeme v zvládnutí technik pro nalezení derivace a nyní zvážíme typický případ, kdy je pro derivování navržen „strašný“ logaritmus.

Funkce komplexní formy není zcela správné nazývat termín "komplexní funkce". Například to vypadá velmi efektně, ale tato funkce není na rozdíl od něj složitá.

V tomto článku se budeme zabývat pojmem komplexní funkce, naučíme se ji identifikovat jako součást elementárních funkcí, uvedeme vzorec pro nalezení její derivace a podrobně zvážíme řešení typických příkladů.

Při řešení příkladů budeme neustále používat tabulku derivací a derivačních pravidel, takže je mějte na očích.

Komplexní funkce je funkce, jejíž argument je také funkcí.

Z našeho pohledu je tato definice nejsrozumitelnější. Obvykle to může být označeno jako f(g(x)) . To znamená, že g(x) je jakoby argument funkce f(g(x)) .

Je-li například f funkce arkustangens a g(x) = lnx je funkce přirozeného logaritmu, pak komplexní funkce f(g(x)) je arctg(lnx) . Další příklad: f je funkce zvýšení na čtvrtou mocninu a je celá racionální funkce (viz ), tedy .

Na druhé straně, g(x) může být také komplexní funkce. Například, . Obvykle může být takový výraz označen jako . Zde f je funkce sinus, je funkce druhé odmocniny, je zlomková racionální funkce. Je logické předpokládat, že míra vnoření funkcí může být libovolné konečné přirozené číslo.

Často můžete slyšet, že se nazývá komplexní funkce funkční složení.

Vzorec pro nalezení derivace komplexní funkce.

Příklad.

Najděte derivaci komplexní funkce.

Řešení.

V tomto příkladu je f kvadratická funkce a g(x) = 2x+1 je lineární funkce.

Zde je podrobné řešení pomocí vzorce pro derivaci komplexní funkce:

Po zjednodušení tvaru původní funkce najdeme tuto derivaci.

Proto,

Jak je vidět, výsledky tomu odpovídají.

Snažte se nezaměňovat, která funkce je f a která je g(x) .

Vysvětleme si to na příkladu pro pozornost.

Příklad.

Najděte derivace komplexních funkcí a .

Řešení.

V prvním případě je f funkce kvadratury a g(x) je funkce sinus, takže
.

Ve druhém případě je f funkce sinus a je to mocninná funkce. Proto podle vzorce pro součin komplexní funkce máme

Derivační vzorec pro funkci má tvar

Příklad.

Diferenciační funkce .

Řešení.

V tomto příkladu lze komplexní funkci podmíněně zapsat jako , kde je funkce sinus, funkce zvýšení na třetí mocninu, funkce logaritmu se základem e, funkce převzetí arkustangens a lineární funkce.

Podle vzorce pro derivaci komplexní funkce

Nyní najdeme

Shrnutí získaných mezivýsledků:

Není nic hrozného, ​​rozložte složité funkce jako hnízdící panenky.

Tím by článek mohl skončit, nebýt jednoho, ale...

Je žádoucí jasně pochopit, kdy použít pravidla derivace a tabulku derivací a kdy vzorec pro derivaci komplexní funkce.

TEĎ BUĎTE VELMI OPATRNÍ. Budeme mluvit o rozdílu mezi komplexními funkcemi a komplexními funkcemi. Jak dalece vidíte tento rozdíl, bude záviset na úspěchu při hledání derivátů.

Začněme jednoduchými příklady. Funkce lze považovat za komplexní: g(x) = tgx , . Proto můžete okamžitě použít vzorec pro derivaci komplexní funkce

A tady je funkce již nelze nazvat obtížným.

Tato funkce je součtem tří funkcí, 3tgx a 1. Ačkoli - je komplexní funkce: - je mocninnou funkcí (kvadratická parabola) a f je tečnou funkcí. Proto nejprve použijeme vzorec pro derivování součtu:

Zbývá najít derivaci komplexní funkce:

Proto .

Doufáme, že pochopíte podstatu.

Pokud se podíváte šířeji, lze tvrdit, že funkce komplexního typu mohou být součástí komplexních funkcí a komplexní funkce mohou být součástí funkcí komplexního typu.

Jako příklad si pojďme analyzovat součásti funkce .

Za prvé, je komplexní funkce, kterou lze reprezentovat jako , kde f je logaritmická funkce se základem 3 a g(x) je součet dvou funkcí A . to znamená, .

Za druhé, pojďme se zabývat funkcí h(x) . Souvisí to s .

Jedná se o součet dvou funkcí a , Kde - komplexní funkce s číselným koeficientem 3 . - krychlová funkce, - kosinusová funkce, - lineární funkce.

Toto je součet dvou funkcí a , kde - komplexní funkce, - exponenciální funkce, - exponenciální funkce.

Tím pádem, .

Třetí, přejděte na , což je produkt komplexní funkce a celou racionální funkci

Funkce kvadratury je logaritmická funkce se základem e.

Proto, .

Shrnout:

Nyní je struktura funkce jasná a bylo jasné, které vzorce a v jakém pořadí použít při jejím derivování.

V sekci derivování funkce (hledání derivace) najdete řešení takových úloh.

Li G(X) A F(u) jsou diferencovatelné funkce jejich argumentů, respektive v bodech X A u= G(X), pak je komplexní funkce také diferencovatelná v bodě X a nachází se podle vzorce

Typickou chybou při řešení úloh na derivacích je automatický přenos pravidel pro derivování jednoduchých funkcí na funkce složité. Naučíme se této chybě vyvarovat.

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Špatné řešení: vypočítejte přirozený logaritmus každého členu v závorce a najděte součet derivací:

Správné řešení: opět určíme, kde je "jablko" a kde "mleté ​​maso". Zde je přirozeným logaritmem výrazu v závorkách „jablko“, tedy funkce na mezilehlém argumentu u, a výraz v závorkách je "mleté ​​maso", to je střední argument u nezávisle proměnnou X.

Potom (pomocí vzorce 14 z tabulky derivací)

V mnoha skutečných problémech je výraz s logaritmem poněkud komplikovanější, a proto existuje poučení

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Špatné řešení:

Správné řešení. Opět určujeme, kde "jablko" a kde "mleté ​​maso". Zde je kosinus výrazu v závorce (vzorec 7 v tabulce derivátů) "jablko", je připraven v režimu 1, který ovlivňuje pouze něj, a výraz v závorce (derivace stupně - číslo 3 v tabulka derivátů) je "mleté ​​maso", vaří se v režimu 2, ovlivňuje pouze je. A jako vždy spojujeme dva deriváty se znakem produktu. Výsledek:

Derivace komplexní logaritmické funkce je častým úkolem testů, proto důrazně doporučujeme navštívit lekci "Derivace logaritmické funkce".

První příklady byly pro komplexní funkce, ve kterých prostředním argumentem nad nezávislou proměnnou byla jednoduchá funkce. Ale v praktických úlohách je často vyžadováno najít derivaci komplexní funkce, kde mezilehlý argument je buď sám komplexní funkcí, nebo takovou funkci obsahuje. Co dělat v takových případech? Najděte derivace takových funkcí pomocí tabulek a derivačních pravidel. Když je nalezena derivace mezilehlého argumentu, je jednoduše dosazena na správné místo ve vzorci. Níže jsou uvedeny dva příklady, jak se to dělá.

Kromě toho je užitečné vědět následující. Pokud lze komplexní funkci reprezentovat jako řetězec tří funkcí

pak by jeho derivace měla být nalezena jako součin derivací každé z těchto funkcí:

Mnoho vašich domácích úkolů může vyžadovat, abyste otevírali výukové programy v nových oknech. Akce se silami a kořeny A Akce se zlomky .

Příklad 4 Najděte derivaci funkce

Aplikujeme pravidlo derivace komplexní funkce, přičemž nezapomínáme, že ve výsledném součinu derivací je meziargument vzhledem k nezávislé proměnné X se nemění:

Připravíme druhý faktor součinu a použijeme pravidlo pro rozlišení součtu:

Druhý termín je kořen, takže

Bylo tedy získáno, že prostřední argument, což je součet, obsahuje komplexní funkci jako jeden z termínů: umocňování je komplexní funkce a to, co je umocněno, je prostřední argument nezávisle proměnnou. X.

Proto znovu použijeme pravidlo derivace komplexní funkce:

Stupeň prvního faktoru transformujeme na odmocninu a při derivování druhého faktoru nezapomeneme, že derivace konstanty je rovna nule:

Nyní můžeme najít derivaci mezilehlého argumentu potřebnou k výpočtu derivace komplexní funkce požadované v podmínce problému y:

Příklad 5 Najděte derivaci funkce

Nejprve použijeme pravidlo derivování součtu:

Získejte součet derivací dvou komplexních funkcí. Najděte první:

Zde je zvýšení sinusu na mocninu komplexní funkcí a samotný sinus je prostředním argumentem v nezávislé proměnné X. Proto používáme pravidlo derivace komplexní funkce, podél cesty vyjmutím násobitele ze závorek :

Nyní najdeme druhý člen z těch, které tvoří derivaci funkce y:

Zde je zvýšení kosinusu na mocninu komplexní funkcí F a samotný kosinus je prostředním argumentem s ohledem na nezávislou proměnnou X. Opět použijeme pravidlo derivace komplexní funkce:

Výsledkem je požadovaná derivace:

Tabulka derivací některých komplexních funkcí

Pro komplexní funkce, založené na pravidle derivace komplexní funkce, má vzorec pro derivaci jednoduché funkce jinou formu.

1. Derivace komplexní mocninné funkce, kde u X
2. Derivace kořene výrazu
3. Derivace exponenciální funkce
4. Speciální případ exponenciální funkce
5. Derivace logaritmické funkce s libovolnou kladnou bází A
6. Derivace komplexní logaritmické funkce, kde u je diferencovatelná funkce argumentu X
7. Sinusová derivace
8. Kosinové deriváty
9. Tečná derivace
10. Derivace kotangens
11. Derivace arkussinus
12. Derivace arkuskosinusu
13. Derivace arkus tangens
14. Derivace inverzní tečny

V této lekci se naučíme, jak najít derivace komplexní funkce. Lekce je logickým pokračováním lekce Jak najít derivát?, na kterém jsme rozebírali nejjednodušší derivace a také se seznámili s pravidly derivování a některými technickými metodami hledání derivací. Pokud tedy nejste s derivacemi funkcí příliš zběhlí nebo vám některé body tohoto článku nejsou zcela jasné, přečtěte si nejprve výše uvedenou lekci. Nalaďte se prosím na vážnou náladu - materiál není snadný, ale i tak se ho pokusím podat jednoduše a srozumitelně.

V praxi se musíte s derivací komplexní funkce zabývat velmi často, dokonce bych řekl, že téměř vždy, když dostanete úkoly na hledání derivací.

V tabulce se podíváme na pravidlo (č. 5) pro derivování komplexní funkce:

Rozumíme. Nejprve se podívejme na zápis. Zde máme dvě funkce - a , přičemž funkce je, obrazně řečeno, vnořena do funkce . Funkce tohoto druhu (když je jedna funkce vnořena do jiné) se nazývá komplexní funkce.

Zavolám funkci vnější funkce a funkce – vnitřní (neboli vnořená) funkce.

! Tyto definice nejsou teoretické a neměly by se objevit v konečném návrhu zadání. Neformální výrazy „externí funkce“, „interní“ funkce používám pouze proto, abych vám usnadnil pochopení látky.

Chcete-li objasnit situaci, zvažte:

Příklad 1

Najděte derivaci funkce

Pod sinem nemáme jen písmeno "x", ale celý výraz, takže hledání derivace okamžitě z tabulky nebude fungovat. Všimli jsme si také, že zde nelze použít první čtyři pravidla, zdá se, že existuje rozdíl, ale faktem je, že je nemožné „roztrhnout“ sinus:

V tomto příkladu, již z mých vysvětlení, je intuitivně jasné, že funkce je komplexní funkcí a polynom je vnitřní funkcí (vložení) a vnější funkcí.

První krok, který je nutné provést při hledání derivace komplexní funkce je to pochopit, která funkce je vnitřní a která vnější.

V případě jednoduchých příkladů se zdá jasné, že polynom je vnořen pod sinus. Ale co když to není zřejmé? Jak přesně určit, která funkce je vnější a která vnitřní? K tomu navrhuji použít následující techniku, kterou lze provádět mentálně nebo na návrhu.

Představme si, že potřebujeme vypočítat hodnotu výrazu pomocí kalkulačky (místo jedné může být libovolné číslo).

Co spočítáme jako první? Nejdříve budete muset provést následující akci: , takže polynom bude vnitřní funkcí:

Za druhé budete muset najít, takže sinus - bude externí funkcí:

Po nás ROZUMĚT U vnitřních a vnějších funkcí je čas použít pravidlo diferenciace složených funkcí.

Začínáme se rozhodovat. Z lekce Jak najít derivát? pamatujeme si, že návrh řešení jakékoli derivace vždy začíná takto - výraz uzavřeme do závorek a dáme tah vpravo nahoře:

Nejprve najdeme derivaci externí funkce (sinus), podíváme se na tabulku derivací elementárních funkcí a všimneme si, že . Všechny tabulkové vzorce jsou použitelné, i když je "x" nahrazeno složitým výrazem, v tomto případě:

Všimněte si, že vnitřní funkce se nezměnilo, nedotýkáme se ho.

No, to je celkem zřejmé

Konečný výsledek použití vzorce vypadá takto:

Konstantní faktor je obvykle umístěn na začátku výrazu:

Pokud dojde k nějakému nedorozumění, zapište si rozhodnutí na papír a znovu si přečtěte vysvětlení.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Jako vždy píšeme:

Zjistíme, kde máme vnější funkci a kde vnitřní. K tomu se snažíme (mentálně nebo na konceptu) vypočítat hodnotu výrazu pro . Co je potřeba udělat jako první? Nejprve musíte vypočítat, čemu se základ rovná:, což znamená, že polynom je vnitřní funkce:

A teprve potom se provádí umocňování, proto je mocninná funkce externí funkcí:

Podle vzorce musíte nejprve najít derivaci externí funkce, v tomto případě stupeň. Požadovaný vzorec hledáme v tabulce:. Znovu opakujeme: jakýkoli tabulkový vzorec platí nejen pro "x", ale i pro komplexní výraz. Výsledkem použití pravidla derivace komplexní funkce je tedy následující:

Znovu zdůrazňuji, že když vezmeme derivaci vnější funkce, vnitřní funkce se nezmění:

Nyní zbývá najít velmi jednoduchou derivaci vnitřní funkce a výsledek trochu „učesat“:

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Pro upevnění pochopení derivace komplexní funkce uvedu příklad bez komentářů, zkuste si na to přijít sami, rozumějte, kde je vnější a kde vnitřní funkce, proč se úlohy řeší tak?

Příklad 5

a) Najděte derivaci funkce

b) Najděte derivaci funkce

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde máme kořen, a aby bylo možné rozlišit kořen, musí být reprezentován jako stupeň. Nejprve tedy uvedeme funkci do správného tvaru pro derivování:

Při analýze funkce dojdeme k závěru, že součet tří členů je vnitřní funkcí a umocňování je vnější funkcí. Aplikujeme pravidlo derivace komplexní funkce:

Stupeň je opět reprezentován jako radikál (odmocnina) a pro derivaci vnitřní funkce použijeme jednoduché pravidlo pro derivování součtu:

Připraveno. Můžete také uvést výraz do společného jmenovatele v závorce a napsat vše jako jeden zlomek. Je to samozřejmě krásné, ale když se získají těžkopádné dlouhé deriváty, je lepší to nedělat (je snadné se splést, udělat zbytečnou chybu a pro učitele bude nepohodlné to kontrolovat).

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Je zajímavé poznamenat, že někdy místo pravidla pro derivování komplexní funkce lze použít pravidlo pro derivování kvocientu , ale takové řešení by vypadalo jako perverze vtipná. Zde je typický příklad:

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete použít pravidlo diferenciace kvocientu , ale mnohem výhodnější je najít derivaci pomocí pravidla derivace komplexní funkce:

Připravíme funkci pro derivování - vyjmeme znaménko mínus derivace a zvedneme kosinus do čitatele:

Kosinus je vnitřní funkce, umocňování je vnější funkce.
Použijme naše pravidlo:

Najdeme derivaci vnitřní funkce, resetujeme kosinus zpět:

Připraveno. V uvažovaném příkladu je důležité nenechat se zmást ve znameních. Mimochodem, zkuste to vyřešit pravidlem , odpovědi se musí shodovat.

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro samořešení (odpověď na konci lekce).

Dosud jsme zvažovali případy, kdy jsme měli pouze jedno vnoření v komplexní funkci. V praktických úlohách se často můžete setkat s odvozeninami, kde se jako hnízdící panenky jedna do druhé vnořuje 3 nebo dokonce 4-5 funkcí najednou.

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Chápeme přílohy této funkce. Snažíme se vyhodnotit výraz pomocí experimentální hodnoty . Jak bychom počítali s kalkulačkou?

Nejprve musíte najít, což znamená, že arcsinus je nejhlubší hnízdo:

Tento arkussinus jednoty by pak měl být na druhou:

A nakonec zvedneme sedm k síle:

To znamená, že v tomto příkladu máme tři různé funkce a dvě vnoření, přičemž nejvnitřnější funkcí je arkussinus a nejvzdálenější funkcí je exponenciální funkce.

Začínáme se rozhodovat

Podle pravidla musíte nejprve vzít derivaci externí funkce. Podíváme se na tabulku derivací a najdeme derivaci exponenciální funkce: Jediný rozdíl je v tom, že místo "x" máme komplexní výraz, který nepopírá platnost tohoto vzorce. Takže výsledek aplikace pravidla derivace komplexní funkce je následující:

Pod přístrojovou deskou máme opět záludnou funkci! Ale už je to jednodušší. Je snadné vidět, že vnitřní funkcí je arkussinus a vnější funkcí je stupeň. Podle pravidla derivace komplexní funkce musíte nejprve vzít derivaci stupně.