Condiții pentru existența unui tetraedru. Proprietăți, tipuri și formule ale tetraedrului

Tetraedru tradus din greacă înseamnă „tetraedru”. Această formă geometrică are patru fețe, patru vârfuri și șase margini. Fețele sunt triunghiuri. De fapt, tetraedrul este prima mențiune a poliedrelor apărute cu mult înainte de existența lui Platon.

Astăzi vom vorbi despre elementele și proprietățile tetraedrului și vom învăța, de asemenea, formulele pentru găsirea ariei, volumului și a altor parametri ai acestor elemente.

Elemente ale unui tetraedru

Un segment eliberat din orice vârf al tetraedrului și coborât până la punctul de intersecție al medianelor feței opuse se numește mediană.

Înălțimea poligonului este linia normală de la vârful opus.

Un bimedian este un segment care leagă centrele coastelor de trecere.

Proprietăți de tetraedru

1) Planurile paralele care trec prin două margini de trecere formează paralelipipedul descris.

2) O trăsătură distinctivă a tetraedrului este că medianele și bimedienii figurii se întâlnesc la un moment dat. Este important ca acesta din urmă să împartă medianele într-un raport de 3: 1, iar bimedienii la jumătate.

3) Planul împarte tetraedrul în două părți egale în volum dacă trece prin mijlocul a două margini de trecere.

Tipuri de tetraedru

Diversitatea speciilor figurii este suficient de largă. Un tetraedru poate fi:

• corect, adică un triunghi echilateral la bază;
• egală, în care toate fețele au aceeași lungime;
• ortocentric, când înălțimile au un punct de intersecție comun;
• dreptunghiular dacă unghiurile plane de la vârf sunt normale;
• proporțional, toate înălțimile bi sunt egale;
• wireframe dacă există o sferă care atinge marginile;
• incentric, adică segmentele căzute de la vârf la centrul cercului înscris al feței opuse au un punct de intersecție comun; acest punct se numește centrul de greutate al tetraedrului.

Să ne oprim în detaliu asupra tetraedrului regulat, ale cărui proprietăți practic nu diferă.

Pe baza numelui, puteți înțelege că se numește așa deoarece fețele sunt triunghiuri regulate. Toate marginile acestei figuri sunt congruente în lungime, iar marginile sunt congruente în zonă. Un tetraedru regulat este unul dintre cele cinci poliedre similare.

Formule de tetraedru

Înălțimea tetraedrului este egală cu produsul rădăcinii de 2/3 și lungimea marginii.

Volumul unui tetraedru este același cu volumul unei piramide: rădăcina pătrată a lui 2 împărțită la 12 și înmulțită cu lungimea muchiei din cub.

Restul formulelor pentru calcularea ariei și razelor cercurilor sunt prezentate mai sus.

Un tetraedru sau piramidă triunghiulară este cel mai simplu dintre poliedre, la fel cum un triunghi este cel mai simplu dintre poligoane pe un plan. Cuvântul „tetraedru” este format din două cuvinte grecești: tetra - „patru” și hedra - „bază”, „față”. Tetraedrul este definit de cele patru vârfuri ale sale - puncte care nu se află în același plan; fețe de tetraedru - patru triunghiuri; tetraedrul are șase margini. Spre deosebire de o piramidă -gonală arbitrară (at), oricare dintre fațetele sale poate fi selectată ca bază a tetraedrului.

Multe dintre proprietățile tetraedrelor sunt similare cu cele ale triunghiurilor. În special, 6 planuri, trasate prin punctele medii ale marginilor tetraedrului perpendiculare pe ele, se intersectează într-un punct. În același punct, 4 linii drepte se intersectează, trasate prin centrele circumscrise în jurul fețelor cercurilor perpendiculare pe planurile fețelor, și este centrul sferei circumscrise în jurul tetraedrului (Fig. 1). În mod similar, cele 6 semiplane bisectoare ale tetraedrului, adică semiplanele care împart unghiurile diedrice la marginile tetraedrului în jumătate, se intersectează și la un punct - în centrul unei sfere inscripționate în tetraedru - un sferă atingând toate cele patru fețe ale tetraedrului. Orice triunghi are, pe lângă inscripționat, încă 3 ex-cercuri (vezi. Triunghi), dar un tetraedru poate avea orice număr - de la 4 la 7 - ex-cercuri, adică sfere care atingeau planurile tuturor celor patru fețe ale tetraedrului. Există întotdeauna 4 sfere inscripționate în colțuri triunghiulare trunchiate, dintre care una este prezentată în Fig. 2, corect. Alte 3 sfere pot fi inscripționate (nu întotdeauna!) În unghiuri diedre trunchiate la marginile tetraedrului - una dintre ele este prezentată în Fig. 2, stânga.

Pentru un tetraedru, există încă o posibilitate de poziționare relativă a acestuia cu o sferă - contactul cu o anumită sferă cu toate marginile sale (Fig. 3). O astfel de sferă - uneori numită „pe jumătate inscripționată” - există doar atunci când sumele lungimilor marginilor opuse ale tetraedrului sunt egale: (Fig. 3).

Pentru orice tetraedru, se menține un analog al teoremei de pe intersecția medianelor unui triunghi la un punct. Și anume, 6 planuri trase prin marginile tetraedrului și punctele medii ale marginilor opuse se intersectează într-un punct - în centroul tetraedrului (Fig. 4). Există, de asemenea, 3 „linii de mijloc” care trec prin centroid - segmente care leagă punctele medii a trei perechi de margini opuse și sunt înjumătățite de un punct. În cele din urmă, trec și 4 „mediane” ale tetraedrului - segmentele care leagă vârfurile cu centroizii fețelor opuse și sunt împărțiți într-un punct într-un raport de 3: 1, numărând de la vârfuri.

Cea mai importantă proprietate a unui triunghi - egalitatea (sau) - nu are un analog „tetraedric” rezonabil: suma tuturor celor 6 unghiuri diedre ale unui tetraedru poate lua orice valoare între și. (Desigur, suma tuturor celor 12 unghiuri plane ale tetraedrului - 3 la fiecare vârf - nu depinde de tetraedru și este egală.)

Triunghiurile sunt de obicei clasificate în funcție de gradul de simetrie al acestora: triunghiurile regulate sau echilaterale au trei axe de simetrie, isoscel - una. Clasificarea tetraedrelor în funcție de gradul de simetrie este mai bogată. Cel mai simetric tetraedru este regulat, delimitat de patru triunghiuri regulate. Are 6 planuri de simetrie - trec prin fiecare nervură perpendiculară pe nervura opusă - și 3 axe de simetrie care trec prin punctele medii ale nervurilor opuse (Fig. 5). Mai puțin simetrice sunt piramidele triunghiulare regulate (3 planuri de simetrie, Fig. 6) și tetraedrul izoedric (adică tetraedrul cu fețe egale - 3 axe de simetrie, Fig. 7).

2) ,

unde este unghiul diedru la margine. Există și alte formule pentru calcularea volumului unui tetraedru.

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să vă lăsați comentariile, recenziile, dorințele. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace didactice și simulatoare pentru clasa 1 în magazinul online Integral
Matematică, clasele 1-4, Peterson L.G., manual electronic pentru manuale

Din istorie

Tetraedrul este o altă figură uimitoare, care este destul de comună în viața noastră, dar, de obicei, cunoștințele noastre despre acesta se limitează la definiția, proprietățile și formulele din cursul de geometrie școlară.

Cuvântul „tetraedru” este format din două cuvinte grecești: tetra - tradus ca patru și hedra - înseamnă bază, față; 3 fețe converg la fiecare vârf al tetraedrului. Această formă are 4 fețe, 6 margini și 4 vârfuri.

Din cele mai vechi timpuri, ideile oamenilor despre frumusețe au fost asociate cu simetria. Poate că acest lucru explică interesul oamenilor pentru poliedre - simboluri uimitoare ale simetriei care au atras atenția gânditorilor proeminenți și a oamenilor din toate epocile. Deja în zilele lui Pitagora, ei se minunau de frumusețea și simetria lor. Discipolii lui Pitagora au crezut că poliedrele regulate sunt figuri divine și le-au folosit în scrierile filosofice. Principiile fundamentale ale ființei - focul, aerul, apa, pământul au primit forma unui octaedru, icosaedru, tetraedru, respectiv cub, iar Universul a fost reprezentat sub forma unui dodecaedru. Discipolii lui Platon au continuat studiul corpurilor enumerate, prin urmare acești poliedri se numesc solide platonice.

Rolul problemelor cu tetraedru este foarte important în dezvoltarea gândirii matematice la școlari. Aceste sarcini stimulează acumularea de concepte geometrice și cunoștințe, contribuie la dezvoltarea gândirii spațiale, care este deosebit de importantă în procesul de studiere a stereometriei.

Unde poți găsi un tetraedru? Tetraedrul, o figură geometrică atât de uimitoare pe care o găsim peste tot, dar la prima vedere nu este atât de ușor de observat. Tetraedrul poate forma o structură rigidă. Realizat din tije, este adesea folosit ca bază pentru structurile spațiale ale grinzilor, grinzilor podurilor, întinderilor clădirilor, podelelor etc. Tetraedrul dreptunghiular a fost folosit mult timp în optică. Pe biciclete, reflectoarele au o formă tetraedrică. Datorită proprietăților tetraedrului, reflectoarele reflectă lumina, iar ciclistul poate fi văzut de alte persoane și șoferi. Dacă priviți cu atenție, puteți vedea multe forme de tetraedru în interiorul reflectorului.

Tipuri de tetraedru

Figura tetraedrului poate fi împărțită în mai multe tipuri, care sunt acestea?

Tetraedru egal, toate fețele sale sunt triunghiuri egale;

Tetraedru ortocentric, înălțimile, coborâte de la vârfuri la fețele opuse, se intersectează la un punct;

Tetraedru dreptunghiular, marginile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare una pe cealaltă;

Tetraedru regulat, acesta este un tetraedru ale cărui fețe sunt triunghiuri echilaterale,

Tetraedru incentric, segmentele sale leagă vârfurile cu centrele cercurilor, care sunt înscrise în fețe opuse și se intersectează la un punct.

Alocați la fel tetraedru cadru, tetraedru proporțional.

Tetraedrul este un echilibru ideal determinat de natură, bazat pe idealitatea unui triunghi isoscel. Un tetraedru este un triunghi, dar numai sub formă volumetrică, în zilele noastre poate fi numit triunghi 3D.

Puteți să vă completați colecția de forme geometrice cu o nouă figură - un tetraedru, folosind matrița prezentată pe site-ul nostru. Tetraedrul asamblat din aceste maturi poate fi folosit pentru predare, de exemplu, pentru a învăța copiii să numere, să recunoască culorile, puteți explica ce sunt un plan și un volum, ce este un triunghi etc.

Scanarea unui tetraedru din hârtie sau carton

Schema unui tetraedru cu cifre arabe 1,2,3,4 (față 10 cm)	Schema unui tetraedru cu cifre arabe 5,6,7,8 (față 10 cm)	Schema unui tetraedru cu cifre arabe 0,1,2,9 (față 10 cm)
Jpg	Jpg	Jpg

Diagrama unui tetraedru multicolor nr. 1 (margine 10 cm)	Diagrama unui tetraedru multicolor nr. 2 (margine 10 cm)	Schema unui tetraedru multicolor nr. 3 (margine 10 cm)
Jpg	Jpg	Jpg

Diagramă tetraedrică simplă (față - 10 cm)	Diagrama unui tetraedru cu formule (fața 10 cm)	Diagrama unui tetraedru cu eroi ai desene animate sovietice (margine - 10 cm)

Planificați pregătirea și desfășurarea lecției:

I. Etapa pregătitoare:

1. Repetarea proprietăților cunoscute ale piramidei triunghiulare.
2. Punerea ipotezelor despre caracteristici posibile, care nu au fost luate în considerare anterior, ale tetraedrului.
3. Formarea grupurilor care să conducă cercetări asupra acestor ipoteze.
4. Distribuirea sarcinilor pentru fiecare grup (luând în considerare dorința).
5. Distribuirea responsabilităților pentru sarcină.

II. Etapa principală:

1. Soluția ipotezei.
2. Consultare cu un profesor.
3. Înregistrarea muncii.

III. Etapa finală:

1. Prezentarea și apărarea ipotezei.

Obiectivele lecției:

• generalizează și sistematizează cunoștințele și abilitățile elevilor; studiați materiale teoretice suplimentare pe tema specificată; învățați să aplicați cunoștințele în rezolvarea problemelor nestandardizate, să vedeți componente simple în ele;
• pentru a forma abilitățile elevilor care lucrează cu literatură suplimentară, pentru a îmbunătăți capacitatea de a analiza, generaliza, găsi principalul lucru în ceea ce citiți, dovedi lucruri noi; să dezvolte abilitățile de comunicare ale elevilor;
• încurajează o cultură grafică.

Etapa pregătitoare (1 lecție):

1. Mesaj student „Secretele marilor piramide”.
2. Discurs introductiv al profesorului despre varietatea tipurilor de piramide.
3. Discutarea întrebărilor:

• Care sunt criteriile pentru combinarea piramidelor triunghiulare neregulate
• Ce vrem să spunem prin ortocentrul unui triunghi și ce se poate numi ortocentrul unui tetraedru
• Are un tetraedru dreptunghiular un ortocentru
• Ce tetraedru se numește izoedrică Ce proprietăți poate avea?

1. Ca urmare a luării în considerare a diferitelor tetraedre, discutarea proprietăților lor, conceptele sunt clarificate și apare o anumită structură:

1. Luați în considerare proprietățile unui tetraedru obișnuit. (Anexă)

Proprietățile 1-4 sunt dovedite oral folosind Slide1.

Proprietatea 1: Toate muchiile sunt egale.

Proprietatea 2: Toate unghiurile plane sunt de 60 °.

Proprietatea 3: Sumele unghiurilor plane la oricare trei vârfuri ale tetraedrului sunt de 180 °.

Proprietatea 4: Dacă tetraedrul este regulat, atunci oricare dintre vârfurile sale este proiectat în ortocentrul feței opuse.

Dat:

ABCD este un tetraedru regulat

AH - înălțime

Dovedi:

H - ortocentru

Dovezi:

1) punctul H poate coincide cu oricare dintre punctele A, B, C. Fie H? B, H? C

2) AH + (ABC) \u003d\u003e AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Luați în considerare ABH, BCH, ADH

AD - total \u003d\u003e ABH, BCH, ADH \u003d\u003e BH \u003d CH \u003d DH

AB \u003d AC \u003d AD т. H - este ortocentrul ABC

Q.E.D.

1. În prima lecție, Proprietățile 5-9 sunt formulate ca ipoteze care necesită dovezi.

Fiecare grup își primește propria temă:

Dovediți una dintre proprietăți.

Pregătiți un motiv cu o prezentare.

II. Etapa principală (în decurs de o săptămână):

1. Soluția ipotezei.
2. Consultare cu un profesor.
3. Înregistrarea muncii.

III. Etapa finală (1-2 lecții):

Prezentarea și apărarea ipotezei folosind prezentări.

Când pregătim materialul pentru lecția finală, elevii ajung la concluzia despre particularitatea punctului de intersecție a înălțimilor, suntem de acord să-l numim un punct „uimitor”.

Proprietatea 5: Centrele sferelor circumscrise și inscripționate coincid.

Dat:

DABC - tetraedru regulat

О 1 - centrul sferei descrise

О - centrul sferei inscripționate

N - punctul de tangență al sferei inscripționate cu fața ABC

Dovediți: О 1 \u003d О

Dovezi:

Fie OA \u003d OB \u003d OD \u003d OC razele cercului circumscris

Să omitem ОN + (ABC)

AON \u003d CON - dreptunghiular, de-a lungul piciorului și hipotenuzei \u003d\u003e AN \u003d CN

Omiteți OM + (BCD)

COM DOM - dreptunghiular, de-a lungul piciorului și hipotenuzei \u003d\u003e CM \u003d DM

Din articolul 1 CON COM \u003d\u003e ON \u003d OM

ОN + (ABC) \u003d\u003e ON, OM sunt razele cercului înscris.

Teorema este dovedită.

Pentru un tetraedru regulat, există posibilitatea poziționării sale relative cu o sferă - atingând o anumită sferă cu toate marginile sale. Această sferă este uneori numită „semi-scrisă”.

Proprietatea 6: Segmentele de linie care leagă punctele medii ale muchiilor opuse și perpendiculare pe aceste margini sunt razele sferei semi-inscripționate.

Dat:

ABCD este un tetraedru regulat;

AL \u003d BL, AK \u003d CK, AS \u003d DS,

TA \u003d CP, BM \u003d DM, CN \u003d DN.

Dovedi:

LO \u003d OK \u003d OS \u003d OM \u003d ON \u003d OP

Dovezi.

Tetraedru ABCD - corect \u003d\u003e AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO

Luați în considerare triunghiurile AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO \u003d BO \u003d\u003e? AOB - isosceles \u003d\u003e
OL - mediană, înălțime, bisectoare
AO \u003d CO \u003d\u003e? AOC– isosceles \u003d\u003e
ОK - mediană, înălțime, bisectoare
CO \u003d DO \u003d\u003e? COD– isosceles \u003d\u003e
ON– mediană, înălțime, bisectoare AOB \u003d\u003e AOC \u003d COD \u003d
BO \u003d DO \u003d\u003e? BOD– isosceles \u003d\u003e BOD \u003d BOC \u003d AOD
OM - mediană, înălțime, bisectoare
AO \u003d DO \u003d\u003e? AOD– isosceles \u003d\u003e
OS - mediană, înălțime, bisectoare
BO \u003d CO \u003d\u003e? BOC– isosceles \u003d\u003e
OP - mediană, înălțime, bisectoare
AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO
AB \u003d AC \u003d AD \u003d BC \u003d BD \u003d CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - înălțimi în raze egale OL, OK, ON, OM, OS, OP

triunghiuri isoscel ale sferei

Corolar:

O sferă pe jumătate inscripționată poate fi desenată într-un tetraedru regulat.

Proprietatea 7:dacă tetraedrul este regulat, atunci fiecare două margini opuse ale tetraedrului sunt reciproc perpendiculare.

Dat:

DABC - tetraedru regulat;

H - ortocentru

Dovedi:

Dovezi:

DABC - tetraedru regulat \u003d\u003e? ADB - echilateral

(ADB) (EDC) \u003d ED

ED - înălțime ADB \u003d\u003e ED + AB,

AB + CE, \u003d\u003e AB + (EDC) \u003d\u003e AB + CD.

Perpendicularitatea altor margini este dovedită în mod similar.

Proprietatea 8: Șase planuri de simetrie se intersectează la un moment dat. În punctul O, patru linii drepte se intersectează, trasate prin centrele circumscrise în jurul marginilor cercurilor perpendiculare pe planurile fețelor, iar punctul O este centrul sferei circumscrise.

Dat:

ABCD este un tetraedru regulat

Dovedi:

O - centrul sferei descrise;

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O;

Dovezi.

CG + BD pentru că BCD - echilateral \u003d\u003e GO + BD (prin teorema a trei perpendiculare GO + BD)

BG \u003d GD, pentru că AG - ABD median

ABD (ABD) \u003d\u003e? BOD - isoscel \u003d\u003e BO \u003d DO

ED + AB, pentru că ABD - unilaterală \u003d\u003e OE + AD (prin teoremă aproximativ trei perpendiculare)

BE \u003d AE, pentru că DE - mediană? ABD

ABD (ABD) \u003d\u003e? AOB - isosceles \u003d\u003e BO \u003d AO

(AOB) (ABD) \u003d AB

ON + (ABC) OF + AC (conform teoremei aproximativ trei

BF + AC, pentru că ABC - perpendiculare echilaterale)

AF \u003d FC, pentru că BF - mediană? ABC

ABC (ABC) \u003d\u003e AOC - isoscel \u003d\u003e AO \u003d CO

(AOC)? (ABC) \u003d AC

BO \u003d AO \u003d\u003e AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO - razele sferei,

AO \u003d CO circumscris în jurul tetraedrului ABCD

(ABR) (ACG) \u003d AO

(BCT) (ABR) \u003d BO

(ACG) (BCT) \u003d CO

(ADH) (CED) \u003d DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

Prin urmare:

Punctul O este centrul sferei descrise,

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O.

Proprietatea 9: Unghiul obtuz dintre perpendiculare care trec prin vârfurile tetraedrului către ortocentri este 109 ° 28 "

Dat:

ABCD este un tetraedru regulat;

O este centrul sferei descrise;

Dovedi:

Dovezi:

1) AS - înălțime

ASB \u003d 90 o OSB dreptunghiular

2) (prin proprietatea unui tetraedru regulat)

3) AO \u003d BO - razele sferei circumscrise

4) 70 ° 32 "

6) AO \u003d BO \u003d CO \u003d DO \u003d\u003e? AOD \u003d? AOC \u003d? AOD \u003d? COD \u003d? BOD \u003d? BOC

(prin proprietatea unui tetraedru regulat)

\u003d\u003e AOD \u003d AOC \u003d AOD \u003d COD \u003d BOD \u003d BOC \u003d 109 ° 28 "

Aceasta era ceea ce trebuia dovedit.

Un fapt interesant este că acesta este exact unghiul pe care îl au unele substanțe organice: silicați și hidrocarburi.

Ca rezultat al lucrărilor asupra proprietăților tetraedrului obișnuit, elevilor le-a venit ideea de a denumi lucrarea „Un punct uimitor într-un tetraedru”. Au existat propuneri pentru a lua în considerare proprietățile tetraedrelor dreptunghiulare și izoedrice. Astfel, lucrarea a depășit sfera lecției.

Constatări:

Punctul „uimitor” al unui tetraedru obișnuit are următoarele caracteristici:

• este punctul de intersecție a trei axe de simetrie
• este punctul de intersecție a șase planuri de simetrie
• este punctul de intersecție al înălțimilor tetraedrului regulat
• este centrul sferei inscripționate
• este centrul sferei pe jumătate inscripționate
• este centrul sferei descrise
• este centrul de greutate al tetraedrului
• este vârful a patru piramide triunghiulare regulate egale cu baze - fețe tetraedrice.

Concluzie.

(Profesorul și elevii rezumă lecția. Cu un mesaj scurt despre tetraedre ca unitate structurală elemente chimice, vorbește unul dintre studenți.)

Sunt studiate proprietățile unui tetraedru regulat și punctul său „uimitor”.

S-a constatat că forma numai a unui astfel de tetraedru, care are toate proprietățile de mai sus, precum și un punct „ideal”, poate avea molecule de silicați și hidrocarburi. Alternativ, moleculele pot fi compuse din mai multe tetraedre regulate. În prezent, tetraedrul este cunoscut nu numai ca reprezentant al civilizației antice, matematică, ci și ca bază a structurii substanțelor.

Silicații sunt substanțe asemănătoare sării care conțin compuși siliciu-oxigen. Numele lor provine de la cuvântul latin „sylex” - „silex”. Baza moleculelor de silicat este reprezentată de radicalii atomici sub formă de tetraedri.

Silicații sunt nisip, argilă, cărămidă, sticlă, ciment, smalț, talc, azbest, smarald și topaz.

Silicații reprezintă mai mult de 75% din scoarța terestră (și împreună cu cuarțul aproximativ 87%) și mai mult de 95% din rocile magmatice.

O caracteristică importantă a silicaților este capacitatea de combinare reciprocă (polimerizare) a două sau mai multe tetraedre siliciu-oxigen printr-un atom comun de oxigen.

Hidrocarburile saturate au aceeași formă de molecule, dar constau, spre deosebire de silicați, din carbon și hidrogen. Formula generală a moleculelor

Hidrocarburile includ gazul natural.

Este necesar să se ia în considerare proprietățile tetraedrelor dreptunghiulare și echilaterale.

Literatură.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. „Chimie organică”, Moscova 1976
• V.P. Babarin „Secretele marilor piramide”, Sankt Petersburg, 2000.
• Sharygin I. F. „Probleme în geometrie”, Moscova, 1984.
• Mare dicționar enciclopedic.
• „Carte de referință școlară”, Moscova, 2001.

Toate fețele sale sunt triunghiuri egale. Desfășurarea unui tetraedru izoedric este un triunghi, împărțit prin trei linii medii în patru triunghiuri egale. Într-un tetraedru echilateral, bazele înălțimilor, punctele medii ale înălțimilor și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor se află pe suprafața unei sfere (sfera de 12 puncte) (Analogul cercului Euler pentru un triunghi) .

Proprietățile unui tetraedru izoedric:

• Toate fețele sale sunt egale (congruente).
• Marginile încrucișate sunt egale în perechi.
• Unghiurile triunghiulare sunt egale.
• Unghiurile diedre opuse sunt egale.
• Două colțuri plane sprijinite pe o margine sunt egale.
• Suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180 °.
• Desfaceți tetraedrul - triunghi sau paralelogram.
• Paralelipipedul descris este dreptunghiular.
• Tetraedrul are trei axe de simetrie.
• Perpendicularele comune ale coastelor de încrucișare sunt perpendiculare pe perechi.
• Liniile de mijloc sunt perpendiculare pe perechi.
• Perimetrele fețelor sunt egale.
• Zonele fețelor sunt egale.
• Înălțimile tetraedrului sunt egale.
• Segmentele de linie care leagă vârfurile cu centrele de greutate ale fețelor opuse sunt egale.
• Razele cercurilor descrise în jurul marginilor sunt egale.
• Centrul de greutate al tetraedrului coincide cu centrul sferei descrise.
• Centrul de greutate coincide cu centrul sferei inscripționate.
• Centrul sferei descrise coincide cu centrul celei inscrise.
• Sfera înscrisă atinge fețele din centrele cercurilor circumscrise în jurul acestor fețe.
• Suma normalelor unității externe (vectori unitari perpendiculari pe fețe) este zero.
• Suma tuturor unghiurilor diedrice este zero.

Tetraedru ortocentric

Toate înălțimile căzute de la vârfuri la fețele opuse se intersectează la un moment dat.

Proprietăți tetraedrice ortocentrice:

• Înălțimile tetraedrului se intersectează la un moment dat.
• Bazele înălțimilor tetraedrului sunt ortocentrele fețelor.
• La fiecare două margini opuse ale unui tetraedru sunt perpendiculare.
• Sumele pătratelor marginilor opuse ale tetraedrului sunt egale.
• Segmentele care leagă punctele medii ale marginilor opuse ale tetraedrului sunt egale.
• Produsele cosinusurilor de unghiuri diedre opuse sunt egale.
• Suma pătratelor suprafețelor fețelor este de patru ori mai mică decât suma pătratelor produselor de margini opuse.
• Avea tetraedru ortocentric un cerc de 9 puncte (cercul lui Euler) din fiecare față aparține unei sfere (o sferă de 24 de puncte).
• Avea tetraedru ortocentric centrele de greutate și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor, precum și punctele care împart segmentele fiecărei înălțimi ale tetraedrului de la vârf la punctul de intersecție a înălțimilor într-un raport de 2: 1, se află pe o sferă (sferă de 12 puncte).

Tetraedru dreptunghiular

Toate muchiile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare una pe cealaltă. Un tetraedru dreptunghiular se obține prin tăierea unui tetraedru cu un plan dintr-un paralelipiped dreptunghiular.

Tetraedru schelet

Este un tetraedru care îndeplinește oricare dintre următoarele condiții:

• există o sferă care atinge toate marginile,
• sumele lungimilor marginilor de trecere sunt egale,
• sumele unghiurilor diedrice la margini opuse sunt egale,
• cercurile înscrise în fețe se ating în perechi,
• sunt descrise toate patrulaturile obținute la desfășurarea unui tetraedru,
• perpendiculare, ridicate la fețe din centrele cercurilor înscrise în ele, se intersectează la un moment dat.

Tetraedru proporțional

Proprietățile unui tetraedru proporțional:

• Înălțimile sunt egale. Bichilurile unui tetraedru sunt perpendiculare comune la cele două margini încrucișate (muchii care nu au vârfuri comune).
• Proiecția unui tetraedru pe un plan perpendicular pe oricare bimedieni, există un romb. Bimedieni un tetraedru este numit segmentele care leagă punctele medii ale marginilor sale care se intersectează (care nu au vârfuri comune).
• Fețele paralelipipedului descris sunt de aceeași dimensiune.
• Următoarele rapoarte sunt îndeplinite: $4a\; ^\; 2\; (a\_1)\; ^\; 2-\; (b\; ^\; 2\; +\; (b\_1)\; ^\; 2-c\; ^\; 2-\; (c\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; \backslash u003d\; 4b\; ^\; 2\; (b\_1)\; ^\; 2-\; (c\; ^\; 2\; +\; (c\_1)\; ^\; 2-a\; ^\; 2-\; (a\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; \backslash u003d\; 4c\; ^\; 2\; (c\_1)\; ^\; 2-\; (a\; ^\; 2\; +\; (a\_1)\; ^\; 2-b\; ^\; 2-\; (b\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$Unde $a$ și $a\_1$, $b$ și $b\_1$, $c$ și $c\_1$ - lungimea marginilor opuse.
• Pentru fiecare pereche de margini opuse ale tetraedrului, planurile trase printr-una dintre ele și mijlocul celei de-a doua sunt perpendiculare.
• O sferă poate fi înscrisă în paralelipipedul descris al unui tetraedru proporțional.

Tetraedru incentric

În acest tip, segmentele de linie care leagă vârfurile tetraedrului de centrele cercurilor înscrise în fețe opuse se intersectează la un punct. Proprietăți tetraedrice incentrice:

• Segmentele care leagă centrele de greutate ale fețelor tetraedrului cu vârfurile opuse (medianele tetraedrului) se intersectează întotdeauna la un punct. Acest punct este centrul de greutate al tetraedrului.
• cometariu... Dacă în ultima condiție înlocuim centrele de greutate ale fețelor cu ortocentrii fețelor, atunci se va transforma într-o nouă definiție tetraedru ortocentric... Dacă le înlocuim cu centrele cercurilor inscripționate în fețe, numite uneori stimulatori, obținem definiția unei noi clase de tetraedre - stimulativ.
• Segmentele care leagă vârfurile tetraedrului de centrele cercurilor înscrise în fețele opuse se intersectează la un moment dat.
• Bisectoarele colțurilor a două fețe, trase către o margine comună a acestor fețe, au o bază comună.
• Produsele lungimilor marginilor opuse sunt egale.
• Un triunghi format din cele două puncte de intersecție a trei muchii care se extind de la un vârf cu orice sferă care trece prin trei capete ale acestor margini este echilateral.

Tetraedru regulat

Este un tetraedru izoedric, toate fețele sale sunt triunghiuri regulate. Este unul dintre cele cinci corpuri ale lui Platon.

Proprietățile unui tetraedru regulat:

• toate marginile tetraedrului sunt egale una cu cealaltă,
• toate fețele tetraedrului sunt egale una cu cealaltă,
• perimetrele și zonele tuturor fețelor sunt egale între ele.
• Un tetraedru obișnuit este în același timp ortocentric, cadru, echidistant, incentric și proporțional.
• Un tetraedru este corect dacă aparține oricăruia dintre următoarele două tipuri de tetraedru: ortocentric, cadru, incentric, proporțional, egal.
• Un tetraedru este corect dacă este egal și aparține unuia dintre următoarele tipuri de tetraedre: ortocentric, cadru, incentric, proporțional.
• Un octaedru poate fi înscris într-un tetraedru regulat, în plus, patru fețe (din opt) ale octaedrului vor fi aliniate cu cele patru fețe ale tetraedrului, toate cele șase vârfuri ale octaedrului vor fi aliniate cu centrele celor șase margini ale tetraedrul.
• Un tetraedru regulat este format dintr-un octaedru inscripționat (în centru) și patru tetraedre (de-a lungul vârfurilor), iar marginile acestor tetraedre și octaedru au jumătate din mărimea marginilor unui tetraedru regulat.
• Un tetraedru regulat poate fi înscris într-un cub în două moduri, cele patru vârfuri ale tetraedrului fiind aliniate cu cele patru vârfuri ale cubului.
• Un tetraedru regulat poate fi înscris într-un icosaedru, în plus, cele patru vârfuri ale tetraedrului vor fi aliniate cu cele patru vârfuri ale icosaedrului.
• Marginile încrucișate ale unui tetraedru regulat sunt reciproc perpendiculare.

Volumul tetraedrului

• Volumul tetraedrului (ținând cont de semn), ale cărui vârfuri sunt situate în puncte $\backslash \backslash \; mathbf\; (r)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \backslash \; mathbf\; (r)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \backslash \; mathbf\; (r)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \backslash \; mathbf\; (r)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$ este egal

$V\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac16$

\\ begin (vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\\\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\\\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\\\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \\ end (vmatrix) \u003d \\ frac16 \\ begin ( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \\ end (vmatrix), sau

$V\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \backslash \; S\; H,$

unde $S$ Este zona oricărei fețe și $H$ - înălțimea coborâtă până la această margine.

• Volumul tetraedrului în ceea ce privește lungimile muchiei este exprimat folosind determinantul Cayley-Menger:

$288\; \backslash \backslash \; cdot\; V\; ^\; 2\; \backslash u003d$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\\\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\\\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\\\ 1 & d_ (14) ^ 2 & d_ ( 24) ^ 2 & d_ (34) ^ 2 & 0

\\ end (vmatrix).

• Această formulă are un analog plat pentru aria unui triunghi sub forma unei variante a formulei Heron printr-un determinant similar.
• Volumul unui tetraedru prin lungimile a două margini opuse a și b precum traversarea liniilor îndepărtate h unul de altul și formează un unghi unul cu celălalt $\backslash \backslash \; phi$, se găsește prin formula:

$V\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; phi.$

$V\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \backslash \; abc\; \backslash \backslash \; sqrt\; (D),$

unde $$D\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; begin\; (vmatrix)$$

1 & \\ cos \\ gamma & \\ cos \\ beta \\\\ \\ cos \\ gamma & 1 & \\ cos \\ alpha \\\\ \\ cos \\ beta & \\ cos \\ alpha & 1 \\ end (vmatrix).

• Un analog pentru planul ultimei formule este formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește lungimile celor două laturi ale acestuia. a și bieșind dintr-un vârf și formând un unghi unul cu celălalt $\backslash \backslash \; gamma$:

$S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \backslash \; ab\; \backslash \backslash \; sqrt\; (D),$

unde $D\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; begin\; (vmatrix)$

1 & \\ cos \\ gamma \\\\ \\ cos \\ gamma & 1 \\\\ \\ end (vmatrix).

Tetraedrele din micromondă

• Tetraedrul regulat se formează în timpul hibridizării sp 3 a orbitalilor atomici (axele lor sunt direcționate către vârfurile tetraedrului regulat, iar nucleul atomului central este situat în centrul sferei descrise a tetraedrului regulat), prin urmare, multe molecule în care are loc o astfel de hibridizare a atomului central au forma acestui poliedru
• Molecula de metan CH 4
• Ion sulfat SO 4 2-, ion fosfat PO 4 3-, ion perclorat ClO 4 - și mulți alți ioni
• Diamantul C este un tetraedru cu o margine egală cu 2,5220 angstromi
• Fluorit CaF 2, tetraedru cu o margine egală cu 3, 8626 angstromi
• Sphalerita, ZnS, tetraedru cu o margine egală cu 3,823 angstromi
• Ioni complecși -, 2-, 2-, 2+
• Silicați, a căror structură se bazează pe tetraedrul de siliciu-oxigen 4-

Tetraedrele în natură

Unele fructe, fiind patru dintre ele pe o parte, sunt situate la vârfurile unui tetraedru, care este aproape de cel corect. Această concepție se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating se află la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele asemănătoare bilelor formează un aranjament reciproc similar. De exemplu, nucile pot fi poziționate în acest fel.

Tetraedrele în tehnologie

Vezi si

• Simplex - tetraedru n-dimensional

Scrieți o recenzie la articolul „Tetraedru”

Note

Literatură

• Matizen V.E., Dubrovsky. Din geometria tetraedrului „Kvant”, nr. 9, 1988. P.66.
• Zaslavsky A.A. // Educație matematică, ser. 3 (2004), nr. 8, pp. 78-92.

Corect Corect neconvexe Convex Formule, teoreme, teorie Alte

Extras din Tetraedru

În a patra zi, au început focurile asupra lui Zubovsky Val.
Pierre și alți treisprezece au fost duși la Crimeea Brod, la vagonul casei unui negustor. Trecând pe străzi, Pierre se sufoca cu fumul care părea să stea deasupra întregului oraș. Incendiile erau vizibile din direcții diferite. Pierre nu a înțeles încă semnificația Moscovei arse în acel moment și a privit cu groază la aceste incendii.
Pierre a stat în vagonul unei căsuțe lângă Krymsky Brod încă patru zile și, în acele zile, din conversația soldaților francezi, a aflat că toată lumea din casă se aștepta la decizia mareșalului în fiecare zi. Ce fel de mareșal, Pierre nu a putut afla de la soldați. Pentru soldat, evident, mareșalul părea a fi cea mai înaltă și oarecum misterioasă verigă a puterii.
Aceste prime zile, până la 8 septembrie, ziua în care prizonierii au fost luați pentru un al doilea interogatoriu, au fost cele mai dificile pentru Pierre.

X
Pe 8 septembrie, un ofițer foarte important a intrat în hambar la prizonieri, judecând după respectul cu care l-au tratat gardienii. Acest ofițer, probabil un ofițer de stat major, cu o listă în mâini, a chemat pe toți rușii, chemându-l pe Pierre: celui care n "avoue pas son nom [cel care nu-i spune numele]. Și, uitându-se indiferent și leneș la tuturor prizonierilor, el a ordonat gardianului ofițerul să-i îmbrace corespunzător și să-i curețe înainte de a-i conduce la mareșal. O oră mai târziu a sosit o companie de soldați, iar Pierre și ceilalți treisprezece au fost conduși la Câmpul Maiden. Ziua era senină. , însorit după ploaie, iar aerul era neobișnuit de limpede. ziua în care Pierre a fost scos din camera de pază a puțului Zubovsky; fum a crescut în coloane în aer curat... Focul incendiilor nu se vedea nicăieri, dar coloane de fum se ridicau din toate părțile și toată Moscova, tot ce putea vedea Pierre, era o singură conflagrație. Pe toate părțile se vedeau pustii cu sobe și coșuri de fum și ocazional pereți arși de case de piatră. Pierre se uită atent la focuri și nu recunoaște cartierele familiare ale orașului. În unele locuri bisericile supraviețuitoare erau vizibile. Kremlinul, nedistrugat, strălucea de departe cu turnurile sale și cu Ivan cel Mare. În imediata apropiere, cupola Mănăstirii Novo Devichy strălucea veselă, iar clopotele se auzeau deosebit de tare de acolo. Acest mesaj i-a amintit lui Pierre că era duminică și sărbătoarea Nașterii Fecioarei. Dar se părea că nu era nimeni care să sărbătorească această sărbătoare: peste tot a avut loc devastarea conflagrației și din poporul rus erau doar ocazional oameni zdrențuiți, înspăimântați, care se ascundeau la vederea francezilor.
Evident, cuibul rus a fost devastat și distrus; dar în spatele distrugerii acestei ordine de viață rusești, Pierre a simțit inconștient că peste acest cuib ruinat s-a stabilit o ordine franceză complet diferită, dar fermă. El a simțit-o din ochii acelora, vesel și vesel, în rânduri regulate de soldați în marș care l-au însoțit cu alți criminali; o putea simți din vederea unui oficial oficial francez important într-o trăsură cu aburi condusă de un soldat care călărea spre el. A simțit-o prin sunetele vesele ale muzicii regimentului care veneau din partea stângă a câmpului și a simțit și înțeles mai ales din lista că ofițerul francez care sosise în această dimineață, după ce a chemat prizonierii, a citit-o în această dimineață. Pierre a fost dus de câțiva soldați, dus într-un loc, în altul cu alte zeci de oameni; se părea că pot uita de el, îl pot amesteca cu alții. Dar nu: răspunsurile sale, date în timpul interogatoriului, i-au revenit sub forma numelui său: celui care n "avoue pas son nom. Și sub acest nume, de care Pierre se temea, acum era condus undeva, cu încredere fără îndoială. scris pe fețele lor că toți ceilalți prizonieri și el erau cei care aveau nevoie și că erau duși la locul potrivit. ”Pierre se simțea ca un cip nesemnificativ prins în roțile unei mașini necunoscute pentru el, dar care funcționează corect .
Pierre și alți criminali au fost conduși în partea dreaptă a Câmpului Fecioarei, nu departe de mănăstire, într-un mare casa Alba cu o grădină imensă. Aceasta era casa prințului Șcherbatov, în care Pierre obișnuia să-l viziteze pe proprietar și în care acum, așa cum a aflat din conversația soldaților, era un mareșal, ducele de Eckmühl.
Au fost duși la verandă și unul câte unul au fost conduși în casă. Pierre a fost adus pe locul șase. Prin galeria de sticlă, vestibul, hol, cunoscut lui Pierre, a fost condus într-un birou lung și jos, la ușa căruia se afla un adjutant.
Davout stătea la capătul camerei deasupra mesei, cu ochelarii pe nas. Pierre se apropie de el. Davout, fără să ridice ochii, pare să facă față cu un fel de hârtie care stătea în fața lui. Fără să ridice ochii, a întrebat în liniște:
- Qui etes vous? [Cine ești tu?]
Pierre a tăcut pentru că nu a putut pronunța cuvintele. Davout pentru Pierre nu era doar un general francez; căci Pierre Davout era un om cunoscut pentru cruzimea sa. Privind fața rece a lui Davout, care, ca un profesor strict, a fost de acord să aibă răbdare pentru o vreme și să aștepte un răspuns, Pierre a simțit că fiecare secundă de întârziere i-ar putea costa viața; dar nu știa ce să spună. Nu îndrăznea să spună ce spunea la primul interogatoriu; a-și dezvălui rangul și poziția era atât de periculos, cât și de rușinat. Pierre tăcea. Dar, înainte ca Pierre să aibă timp să se hotărască, Davout a ridicat capul, și-a ridicat ochelarii la frunte, a micșorat ochii și l-a privit cu atenție pe Pierre.
„Îl cunosc pe acest om”, a spus el cu o voce măsurată și rece, evident calculată să-l sperie pe Pierre. Frigul care curguse anterior pe spatele lui Pierre i-a apucat capul ca într-un menghină.
- Mon general, vous ne pouvez pas me me connaitre, je ne vous ai jamais vu ... [Nu m-ați putut cunoaște, general, nu v-am văzut niciodată.]
"C" este un spion russe, [Acesta este un spion rus]] - îl întrerupse Davout, adresându-se unui alt general care se afla în cameră și Pierre nu observase. Și Davout se întoarse. Cu o palpitare neașteptată în voce, Pierre brusc a vorbit repede.
- Nu, monseniore, spuse el, amintindu-și brusc că Davout era un duce. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Nu, Alteța Ta ... Nu, Alteța Ta, nu m-ai fi putut cunoaște. Sunt ofițer de poliție și nu am plecat de la Moscova.]
- Votre nom? [Numele tău?] A repetat Davout.
- Besouhof. [Bezukhov.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Cine îmi va demonstra că nu minți?]
- Monseignor! [Alteța voastră!] - a strigat Pierre cu o voce nu ofensată, ci rugătoare.
Davout ridică ochii și se uită atent la Pierre. Câteva secunde s-au uitat unul la altul, iar această privire l-a salvat pe Pierre. În acest punct de vedere, pe lângă toate condițiile de război și judecată, relațiile umane au fost stabilite între acești doi oameni. Amândoi în acel minut au simțit vag un număr nenumărat de lucruri și și-au dat seama că amândoi erau copii ai umanității, că erau frați.
La prima vedere, pentru Davout, care își ridica doar capul din lista sa, unde afacerile și viața umană erau numite numere, Pierre era doar o împrejurare; și, neavând faptele rele asupra conștiinței sale, Davout l-ar fi împușcat; dar acum a văzut un om în el. Se gândi o clipă.
- Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Cum îmi vei demonstra adevărul cuvintelor tale?] - spuse rece Davout.
Pierre și-a amintit de Rambal și și-a numit regimentul, numele de familie și strada pe care se afla casa.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Tu nu ești ceea ce spui.] - a spus din nou Davout.
Pierre, cu o voce tremurată, frântă, a început să demonstreze validitatea mărturiei sale.
Dar în acel moment a intrat adjutantul și i-a raportat ceva lui Davout.
Davout se uită brusc la știrile raportate de adjutant și începu să se butoneze singur. Se pare că a uitat complet de Pierre.
Când adjutantul i-a amintit de prizonier, el, încruntat, a făcut semn din cap spre Pierre și i-a spus să fie condus. Dar unde trebuiau să-l ducă - Pierre nu știa: înapoi la cabină sau la locul pregătit de execuție, pe care, trecând de-a lungul Câmpului Fecioarei, tovarășii săi i-au arătat-o.
Întoarse capul și văzu că adjutantul cerea din nou ceva.
- Oui, sans doute! [Da, desigur!] - a spus Davout, dar acel „da”, Pierre nu știa.
Pierre nu-și amintea cum, cât timp mergea și unde. El, într-o stare de completă prostie și terneală, nevăzând nimic în jurul său, și-a mișcat picioarele împreună cu ceilalți până când toți s-au oprit și s-a oprit. Un gând pentru tot acest timp era în capul lui Pierre. S-a gândit cine, care, în cele din urmă, l-a condamnat la moarte. Nu aceștia au fost cei care l-au interogat în comisie: niciunul dintre ei nu a vrut și, evident, nu a putut să o facă. Nu Davout l-a privit atât de uman. Încă un minut, iar Davout și-ar fi dat seama ce făceau greșit, dar acest minut a fost întrerupt de adjutantul care a intrat. Și acest adjutant, evident, nu dorea nimic rău, dar nu ar fi putut intra. Cine în cele din urmă a executat, a ucis, și-a luat viața - Pierre cu toate amintirile, aspirațiile, speranțele, gândurile? Cine a făcut? Și Pierre a simțit că nu este nimeni.
Era ordine, un set de circumstanțe.
O anumită ordine îl ucidea - Pierre, luându-i viața, totul, distrugându-l.

De la casa prințului Șcherbatov, prizonierii au fost conduși direct pe polul Devichye, la stânga mănăstirii Devichy și aduși în grădina pe care se afla un stâlp. În spatele stâlpului a fost săpat groapă mare cu pământ proaspăt săpat și o mulțime mare de oameni stătea într-un semicerc lângă groapă și stâlp. Mulțimea era formată dintr-un număr mic de ruși și un număr mare de trupe napoleoniene în afara liniei: germani, italieni și francezi în uniforme diferite. În dreapta și în stânga stâlpului erau fronturile trupelor franceze în uniforme albastre cu epoleți roșii, în cizme și shako.
Infractorii au fost plasați într-o ordine cunoscută, care era pe listă (Pierre era al șaselea), și aduși la post. Câteva tobe au lovit brusc de ambele părți și Pierre a simțit că, cu acest sunet, o parte din sufletul său se desprinsese. A pierdut capacitatea de a gândi și de a raționa. El nu putea decât să vadă și să audă. Și nu avea decât o singură dorință - dorința să se întâmple ceva teribil care trebuia făcut cât mai curând posibil. Pierre se uită înapoi la tovarășii săi și îi examină.
Două persoane de pe margine erau bărbierite și prudente. Unul este înalt, subțire; cealaltă este neagră, blană, musculară, cu nasul turtit. A treia era o curte, de vreo patruzeci și cinci de ani, cu părul cărunt și un corp plin, bine hrănit. Al patrulea era un bărbat, foarte frumos, cu o barbă blondă și groasă și ochi negri. Al cincilea era un muncitor al fabricii, galben, subțire, de vreo optsprezece ani, în halat.
Pierre a auzit că francezii confereau cum să tragă - unul sau doi odată? - Două câteodată, răspunse ofițerul superior rece și calm. A existat o mișcare în rândurile soldaților și s-a observat că toată lumea se grăbea - și ei se grăbeau nu în aceeași grabă, pe cât se grăbeau să facă ceva de înțeles pentru toată lumea, dar în aceeași grabă ca ei grăbește-te să îndeplinești o sarcină necesară, dar neplăcută și de neînțeles.
Un oficial francez îmbrăcat într-o eșarfă a mers în partea dreaptă a liniei de infractori și a citit sentința în rusă și franceză.
Apoi, două perechi de francezi s-au apropiat de criminali și au luat, la ordinul ofițerului, doi gardieni de închisoare care stăteau pe margine. Paznicii, apropiindu-se de post, s-au oprit și, în timp ce sacii erau aduși, s-au uitat în tăcere în jurul lor, în timp ce un animal bătut se uită la un vânător potrivit. Unul se tot încrucișa, celălalt zgâriindu-și spatele și făcând o mișcare cu buzele ca un zâmbet. Soldații, grăbindu-se cu mâinile, au început să-i legeze la ochi, să pună pungi și să-i lege de un stâlp.
Doisprezece pușcași cu puști au ieșit din spatele rândurilor și s-au oprit la opt pași de stâlp. Pierre s-a întors ca să nu vadă ce se va întâmpla. Dintr-o dată s-a produs o prăbușire și o prăbușire, care i s-au părut lui Pierre mai puternice decât cele mai groaznice tunete și s-a uitat în jur. Era fum, iar francezii cu fețele palide și mâinile tremurânde făceau ceva lângă groapă. Ceilalți doi au fost conduși. În același mod, cu aceiași ochi, acești doi s-au uitat la toată lumea, în zadar, cu aceiași ochi, în tăcere, cerând protecție și, aparent, neînțelegând și neîncrezând ce se va întâmpla. Nu le-a venit să creadă, pentru că singuri știau care este viața lor pentru ei și, prin urmare, nu au înțeles și nu au crezut pentru a putea fi luată.
Pierre a vrut să nu se uite și s-a întors din nou; dar din nou, de parcă o explozie teribilă i-ar fi lovit urechile și, împreună cu aceste sunete, a văzut fum, sângele cuiva și fețele palide înspăimântate ale francezilor, care făceau din nou ceva la post, împingându-se reciproc cu mâinile tremurânde. Pierre, respirând greu, se uită în jurul lui, de parcă ar fi întrebat: ce este asta? Aceeași întrebare a fost în toate privirile care l-au întâlnit pe Pierre.