Řešení rovnic v aplikaci Excel pomocí Cramerovy a Gaussovy iterační metody. Slough řešení metodou jacobi (jednoduchá iterační metoda) pomocí aplikace Microsoft Excel

Příklad 3.1 . Najděte řešení systému lineárního algebraické rovnice (3.1) Jacobiho metodou.

Pro daný systém lze použít iterační metody, protože podmínka je splněna "Převaha diagonálních koeficientů", což zajišťuje sbližování těchto metod.

Schéma výpočtu Jacobiho metody je znázorněno na obr. (3.1).

Přineste systém (3.1). do normálního zobrazení:

, (3.2)

nebo v maticové formě

, (3.3)

Obrázek 3.1.

Chcete-li určit počet iterací potřebných k dosažení dané přesnosti e,a ve sloupci je užitečné přibližné řešení systému Hnainstalujte Podmíněný formát... Výsledek tohoto formátování lze vidět na obrázku 3.1. Buňky sloupce H, jejichž hodnoty splňují podmínku (3.4), jsou stínované.

(3.4)

Při analýze výsledků bereme čtvrtou iteraci jako přibližné řešení původního systému s danou přesností e \u003d 0,1,

ty. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Změnou hodnoty ev cele H5 je možné získat nové přibližné řešení původního systému s novou přesností.

Analyzujte konvergenci iteračního procesu vynesením grafů změn v jednotlivých komponentách řešení SLAE v závislosti na počtu iterací.

Chcete-li to provést, vyberte blok buněk A10: D20 a pomocí Průvodce grafem, sestavte grafy odrážející konvergenci iteračního procesu, obrázek 3.2.

Systém lineárních algebraických rovnic je řešen obdobně Seidelovou metodou.

Laboratorní práce č. 4

Téma. Numerické metody řešení lineární obyčejnosti diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Metoda konečných rozdílů

Úkol.Vyřešte problém mezní hodnoty metodou konečných rozdílů vytvořením dvou aproximací (dvě iterace) s krokem h a s krokem h / 2.

Analyzujte získané výsledky. Možnosti úkolů jsou uvedeny v dodatku 4.

Zakázka

1. Sestavte ručně konečná diference aproximace úlohy okrajové hodnoty (konečný rozdíl SLAE) s krokem h danou možnost.

2. Pomocí metody konečných rozdílů zformulujte Vynikatsystém lineárních algebraických konečných diferenciálních rovnic pro krok h vytyčování segmentů ... Napište tento SLAE na svůj list. Vynikat... Návrhové schéma je znázorněno na obrázku 4.1.

3. Vyřešte získanou SLAE metodou zametání.

4. Pomocí doplňku zkontrolujte správnost řešení SLAE Excel Najděte řešení.

5. Snižte krok mřížky dvakrát a problém vyřešte znovu. Výsledky prezentujte graficky.

6. Porovnejte své výsledky. Učiňte závěr o nutnosti pokračovat nebo ukončit účet.

Řešení problému mezní hodnoty pomocí tabulek aplikace Microsoft Excel.

Příklad 4.1.Pomocí metody konečných rozdílů najděte řešení problému mezní hodnoty , y (1) \u003d 1, y '(2) \u003d 0,5na segmentu xÎ s krokem h \u003d 0,2 a s krokem h \u003d 0,1. Porovnejte získané výsledky a proveďte závěr o potřebě pokračovat nebo ukončit počítání.

Návrhové schéma pro krok h \u003d 0,2 je znázorněno na obrázku 4.1.

Výsledné řešení (funkce mřížky) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2) ve sloupci L a B lze brát jako první iteraci (první aproximaci) původního problému.

Najít druhá iterace vytvořte síť dvakrát tak silnou (n \u003d 10, krok h \u003d 0,1) a opakujte výše uvedený algoritmus.

To lze provést na stejném nebo na jiném listu knihy. Vynikat... Řešení (druhá aproximace) je znázorněno na obrázku 4.2.

Porovnejte získaná přibližná řešení. Pro přehlednost můžete vytvořit grafy těchto dvou aproximací (dvě mřížkové funkce), obrázek 4.3.

Postup pro vykreslení grafů přibližných řešení problému okrajové hodnoty

1. Nakreslete graf řešení úlohy pro rozdílovou mřížku s krokem h \u003d 0,2 (n \u003d 5).

2. Aktivujte již nakreslený graf a vyberte příkaz nabídka Graf \\ Přidat data

3. V okně Nová data upřesněte údaje x i, y i pro rozdílovou mřížku s krokem h / 2 (n \u003d 10).

4. V okně Vložit speciální zaškrtněte políčka:

Ø nové řádky,

Jak je patrné z předložených údajů, dvě přibližná řešení úlohy mezní hodnoty (dvě funkce mřížky) se od sebe neliší o více než 5%. Druhou iteraci proto bereme jako přibližné řešení původního problému, tj.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Laboratorní práce č. 5

Hledání kořenů rovnic

Grafickým způsobem nalezení kořenů je vykreslení funkce f (x) na segment. Průsečík funkčního grafu s osou úsečky poskytuje přibližnou hodnotu kořene rovnice.

Přibližné hodnoty kořenů nalezené tímto způsobem umožňují vybrat segmenty, na kterých můžete v případě potřeby kořeny zpřesnit.

Při hledání kořenů výpočtem pro spojité funkce f (x) se člověk řídí následujícími úvahami:

- pokud má funkce na koncích segmentu různé znaky, pak mezi body a a b na úsečce je lichý počet kořenů;

- pokud má funkce na konci intervalu stejná znaménka, pak je mezi a a b sudý počet kořenů, nebo vůbec žádné;

- pokud má funkce na koncích segmentu různá znaménka a buď první derivace, nebo druhá derivace nemění znaménka na tomto segmentu, pak má rovnice jeden kořen na segmentu.

Najděte všechny skutečné kořeny rovnice x 5 –4x - 2 \u003d 0 v segmentu [–2,2]. Vytvořme tabulku.

stůl 1

Tabulka 2 ukazuje výsledky výpočtu.

tabulka 2

Podobně se řešení nachází v intervalech [-2, -1], [-1,0].

Upřesnění kořenů rovnice

Pomocí režimu „Hledat řešení“

U výše uvedené rovnice je třeba zadat všechny kořeny rovnice x 5 –4x - 2 \u003d 0 s chybou E \u003d 0,001.

Chcete-li upřesnit kořeny v intervalu [-2, -1], vytvořme tabulku.

Tabulka 3

Spustíme režim „Hledání řešení“ v nabídce „Služba“. Provádíme příkazy režimu. Režim zobrazení zobrazí nalezené kořeny. Podobně zjemňujeme kořeny v jiných intervalech.

Upřesnění kořenů rovnic

Používání režimu „Iterace“

Jednoduchá iterační metoda má dva režimy „Ruční“ a „Automatický“. Chcete-li spustit režim „Iterace“ v nabídce „Servis“, otevřete kartu „Parametry“. Poté postupujte podle příkazů režimu. Na kartě Výpočty můžete vybrat automatické nebo manuální.

Řešení soustav rovnic

Řešení soustav rovnic v aplikaci Excel se provádí metodou inverzní matice. Vyřešte soustavu rovnic:

Vytvořme tabulku.

Tabulka 4

	A	B	C	D	E
	Řešení soustavy rovnic.
		Sekera \u003d b
	Počáteční matice A		Pravá strana b
	-8
			-3
			-2		-2
	inverzní matice (1 / A)		Vektor řešení x \u003d (1 / A) / b
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d VÍCENÁSOB (A11: C13; E6: E8)
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d VÍCENÁSOB (A11: C13; E6: E8)
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d VÍCENÁSOB (A11: C13; E6: E8)

Funkce MOVER vrací pole hodnot, které je vloženo najednou do celého sloupce buněk.

Tabulka 5 ukazuje výsledky výpočtu.

Tabulka 5

	A	B	C	D	E
	Řešení soustavy rovnic.
		Sekera \u003d b
	Počáteční matice A		Pravá strana b
	-8
			-3
			-2		-2
	Inverzní matice (1 / A)		Vektor řešení x \u003d (1 / A) / b
	-0,149	0,054	-0,230
	0,054	0,162	-0,189
	-0,122	0,135	-0,824

Seznam použitých literárních zdrojů

1. Turchak L.I. Základy numerických metod: učebnice. manuál pro univerzity / vyd. V.V. Shchennikov. –M.: Nauka, 1987. - 320 s.

2. Bundy B. Optimalizační metody. Úvodní kurz - M.: Rádio a komunikace, 1988. - 128 s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Matematické modelování chemických rovnováh. –M.: Izd-vo Mosk. un-that, 1988.-192s.

4. Bezdezhnykh A.A. Inženýrské metody pro sestavování rovnic reakčních rychlostí a výpočet kinetických konstant - L.: Chemistry, 1973. - 256 s.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Metody lineární algebry ve fyzikální chemii. –M.: Izd-vo Mosk. University, 1976. - 359s.

6. Bakhvalov NS a další Numerické metody v úlohách a cvičeních: Učebnice. příručka pro univerzity / N.S. Bakhvalov, A.V. Lapin, E.V. Chizhonkov. - M.: Vyšší. shk., 2000.-190. - (Vyšší matematika / Sadovnichy V.A.)

7. Aplikace výpočetní matematiky v chemické a fyzikální kinetice, ed. L.S. Polák, Moskva: Nauka, 1969, 279 s.

8. Algoritmizace výpočtů v chemické technologii B.A. Zhidkov, A.G. Bednář

9. Výpočtové metody pro chemické inženýry. H. Rosenbrock, S. Storey

10. Orvis V.D. Excel pro vědce, inženýry a studenty. - Kyjev: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Numerické metody pro matematiku - Astrachaňská státní pedagogická univerzita: Astrachaň, 2000.

Ministerstvo všeobecného školství

Ruská Federace

Uralská státní technická univerzita - UPI

pobočka v Krasnoturyinsku

Ústav výpočetní techniky

Kurz práce

Numerickými metodami

Řešení lineárních rovnic jednoduchou iterací

pomocí aplikace Microsoft Excel

Vedoucí Kuzmina N.V.

Student Nigmatzyanov T.R.

Skupina M-177T

Téma: "Hledání kořene rovnice F (x) \u003d 0 na intervalu s danou přesností metodou jednoduché iterace."

Testovací případ: 0,25-x + sinx \u003d 0

Problémové podmínky: pro danou funkci F (x) v intervalu najděte kořen rovnice F (x) \u003d 0 jednoduchou iterační metodou.

Vypočítejte kořen dvakrát (pomocí automatického a ručního výpočtu).

Zajistěte konstrukci grafu funkce v daném intervalu.

Úvod 4

1. Teoretická část 5

2. Popis postupu prací 7

3. Vstupy a výstupy 8

Závěr 9

Dodatek 10

Bibliografie 12

Úvod.

V průběhu této práce se musím seznámit s různými metodami řešení rovnice a numericky najít kořen nelineární rovnice 0,25-x + sin (x) \u003d 0 - metoda jednoduché iterace. Pro kontrolu správnosti nalezení kořene je nutné rovnici graficky vyřešit, najít přibližnou hodnotu a porovnat ji se získaným výsledkem.

1. Teoretická část.

Jednoduchá iterační metoda.

Iterativní proces spočívá v postupném zpřesňování počáteční aproximace x0 (kořen rovnice). Každý takový krok se nazývá iterace.

Pro použití této metody je původní nelineární rovnice zapsána jako: x \u003d j (x), tj. x vyniká; j (x) - spojitý a diferencovatelný na intervalu (a; c). To lze obvykle provést několika způsoby:

Například:

arcsin (2x + 1) -x 2 \u003d 0 (f (x) \u003d 0)

Metoda 1.

arcsin (2x + 1) \u003d x 2

sin (arcsin (2x + 1)) \u003d sin (x 2)

x \u003d 0,5 (sinx 2 -1) (x \u003d j (x))

Metoda 2.

x \u003d x + arcsin (2x + 1) -x 2 (x \u003d j (x))

Metoda 3.

x 2 \u003d arcsin (2x + 1)

x \u003d (x \u003d j (x)), znaménko je převzato v závislosti na intervalu [a; b].

Transformace musí být taková, aby ½j (x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Nechť je známa počáteční aproximace kořene x \u003d c 0. Dosazením této hodnoty do pravé strany rovnice x \u003d j (x) získáme novou aproximaci kořene: c \u003d j (c 0). Dále dosadíme pokaždé novou hodnotu kořene v x \u003d j ( x), získáme posloupnost hodnot

c n \u003d j (c n-1) n \u003d 1,2,3, ...

Proces iterace by měl pokračovat, dokud nebude splněna následující podmínka pro dvě po sobě jdoucí aproximace: ½c n -c n -1 ½

Rovnice můžete vyřešit numerickými metodami pomocí programovacích jazyků, ale Excel umožňuje zvládnout úkol jednodušším způsobem.

Excel implementuje jednoduchou iterační metodu dvěma způsoby pomocí ručního výpočtu a automatické kontroly přesnosti.

y y \u003d x

j (od 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 kořenů s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

	Postava: Iterativní graf procesu

2. Popis průběhu práce.

1. Zahájil mě.

2. Sestavili jsme graf funkce y \u003d x a y \u003d 0,25 + sin (x) na segmentu s krokem 0,1, který se nazývá list „Graf“.

3. Vyberte tým Servis ® Možnosti.
Otevřel kartu Výpočty .
Zapnutý režim Ručně .
Zakázané zaškrtávací políčko Před uložením přepočítat ... Nastavil hodnotu pole Omezit počet iterací rovno 1, relativní chyba 0,001.

4. V buňce A1 byl zaveden řádek „Řešení rovnice x \u003d 0,25 + sin (x) metodou jednoduché iterace“.

5. Do buňky A3 jsem zadal text „Počáteční hodnota“, do buňky A4 text „Počáteční příznak“, do buňky B3 hodnotu 0,5 a do buňky B4 slovo TRUE.

6. K buňkám B3 a B4 byly přiřazeny názvy „start_zn“ a „start“.
Buňka B6 ověří, zda je pravdivá, rovná se hodnotě buňky „start“. Pokud ano, bude x nastaveno na počáteční hodnotu, jinak rovno buňce B7, tj. 0,25 + sinus x V buňce B7 se odečte 0,25 sinus buňky B6, a tak se organizuje cyklická reference.

7. V buňce A6 zadejte y \u003d x a v buňce A7 y \u003d 0,25 + sin (x). V buňce B6 vzorec:
\u003d IF (start; start_zn; B7).
V buňce B7 vzorec: y \u003d 0,25 + sin (B6).

8. V buňce A9 zadejte slovo Chyba.

9. V buňce B9 vstoupil vzorec: \u003d B7-B6.

10. Použití příkazu Format-Cells (tab Číslo ) převedl buňku B9 na exponenciální formát se dvěma desetinnými místy.

11. Pak jsem uspořádal druhý kruhový odkaz, abych spočítal počet iterací. V buňce A11 jsem zadal text "Počet iterací."

12. V buňce B11 jsem zadal vzorec: \u003d IF (start; 0; B12 + 1).

13. V buňce B12 zadáno \u003d B11.

14. Pro provedení výpočtu jsem umístil kurzor tabulky do buňky B4 a stiskl klávesu F9 (Vypočítat), abych zahájil řešení problému.

15. Změnili jsme hodnotu příznaku startu na FALSE a znovu stiskli klávesu F9. Při každém stisknutí klávesy F9 se provede jedna iterace a vypočítá se další přibližná hodnota x.

16. Stiskl jsem klávesu F9, dokud hodnota x nedosáhla požadované přesnosti.
S automatickým výpočtem:

17. Přesunuto na jiný list.

18. Opakoval jsem kroky od 4 do 7, pouze v buňce B4 jsem zadal hodnotu FALSE.

19. Vybraný tým Servis ® Možnosti (tab Výpočty Nastavte hodnotu pole Omezit počet iterací rovna 100, relativní chyba rovna 0,0000001. Automaticky .

3. Vstupní a výstupní data.

Počáteční příznak je FALSE.
Počáteční hodnota 0,5

Funkce y \u003d 0,25-x + sin (x)

Intervalové hranice

Přesnost výpočtu s ručním výpočtem 0,001

s automatickým

Víkendy:

1. Ruční výpočet:
počet iterací 37
kořen rovnice 1.17123

2. Automatický výpočet:
počet iterací 100
kořen rovnice 1.17123

3. Grafické řešení rovnice:
kořen rovnice je 1,17

Závěr.

V rámci tohoto kurzu jsem se seznámil s různými metodami řešení rovnic:

Analytická metoda

Grafická metoda

Numerická metoda

Ale protože většina numerických metod pro řešení rovnic je iterativní, použil jsem tuto metodu v praxi.

Nalezen s danou přesností kořen rovnice 0,25-x + sin (x) \u003d 0 v intervalu pomocí jednoduché iterační metody.

Aplikace.

1. Ruční výpočet.

2. Automatický výpočet.

3. Grafické řešení rovnice 0,25-x-sin (x) \u003d 0.

Bibliografický seznam.

1. Volkov E.A. "Numerické metody".

2. Samarskij A.A. "Úvod do numerických metod".

3. Igaletkin I.I. "Numerické metody".

Dovolte mi připomenout, že kruhový odkaz se zobrazí, pokud je vzorec zadán do buňky aplikace Excel, která obsahuje odkaz na tuto buňku samotnou (přímo nebo prostřednictvím řetězce dalších odkazů). Například (obrázek 1) obsahuje buňka C2 vzorec, který odkazuje na samotnou buňku C2.

Ale! .. Cyklické odkazy nejsou vždy katastrofou. Zpětnou smyčku lze použít k iterativnímu řešení rovnic. Nejprve musíte nechat Excel provádět výpočty, i když máte cyklický odkaz. V normálním režimu aplikace Excel po zjištění kruhového odkazu zobrazí chybovou zprávu a bude vyžadovat její odstranění. V normálním režimu nemůže Excel provádět výpočty, protože kruhový odkaz generuje nekonečnou výpočtovou smyčku. Můžete buď vyloučit kruhovou referenci, nebo povolit výpočet vzorce s kruhovou referencí, ale omezením počtu opakování cyklu. Chcete-li implementovat druhou možnost, klikněte na tlačítko „Kancelář“ (v levém horním rohu) a poté na „Možnosti aplikace Excel“ (obr. 2).

Stáhněte si poznámku ve formátu, příklady ve formátu

Postava: 2. Možnosti aplikace Excel

V okně „Možnosti aplikace Excel“, které se otevře, přejděte na kartu Vzorce a zaškrtněte možnost „Povolit iterativní výpočty“ (obr. 3). Nezapomeňte, že tato možnost je povolena pro Excel jako celek (a ne pro jeden soubor) a zůstane v platnosti, dokud ji nezakážete.

Postava: 3. Povolte iterativní výpočty

U stejného příspěvku můžete zvolit, jak budou výpočty prováděny: automaticky nebo ručně. Při automatickém výpočtu Excel okamžitě vypočítá konečný výsledek; během výpočtů bude možné ručně sledovat výsledek každé iterace (jednoduše stisknutím klávesy F9 a spuštěním každého nového výpočetního cyklu).

Vyřešme rovnici třetího stupně: x 3 - 4x 2 - 4x + 5 \u003d 0 (obr. 4). K vyřešení této rovnice (a jakékoli jiné zcela libovolné rovnice) potřebujete pouze jednu buňku aplikace Excel.

Postava: 4. Graf funkce f (x)

K vyřešení rovnice potřebujeme opakující se vzorec (tj. Vzorec, který vyjadřuje každý člen v posloupnosti pomocí jednoho nebo více předchozích výrazů):

(1) x \u003d x - f (x) / f '(x), kde

x je proměnná;

f (x) je funkce, která nastavuje rovnici, jejíž kořeny hledáme; f (x) \u003d x 3 - 4x 2 - 4x + 5

f '(x) je derivát naší funkce f (x); f '(x) \u003d 3x 2-8x-4; lze zobrazit deriváty základních elementárních funkcí.

Pokud vás zajímá, odkud vzorec (1) pochází, můžete si přečíst například.

Konečný rekurzivní vzorec je:

(2) x \u003d x - (x 3 - 4x 2 - 4x + 5) / (3x 2 - 8x - 4)

Vyberte libovolnou buňku na listu aplikace Excel (obr. 5; v našem příkladu je to buňka G19), pojmenujte ji xa zadejte do něj vzorec:

(3) \u003d x- (x ^ 3-4 * x ^ 2-4x + 5) / (3 * x ^ 2-8 * x-4)

Namísto x použijte adresu buňky ... ale souhlaste s tím jménem x, vypadá atraktivněji; Do buňky G20 jsem zadal následující vzorec:

(4) \u003d G20- (G20 ^ 3-4 * G20 ^ 2-4 * G20 + 5) / (3 * G20 ^ 2-8 * G20-4)

Postava: 5. Opakující se vzorec: (a) pro pojmenovanou buňku; (b) pro běžnou adresu buňky

Jakmile zadáme vzorec a stiskneme Enter, odpověď se okamžitě objeví v buňce - hodnota 0,77. Tato hodnota odpovídá jednomu z kořenů rovnice, konkrétně druhému (viz graf funkce f (x) na obr. 4). Protože počáteční aproximace nebyla zadána, iterativní výpočetní proces začal s výchozí hodnotou uloženou v buňce x a rovna nule. Jak získáte zbytek kořenů rovnice?

Chcete-li změnit počáteční hodnotu, ze které začíná opakující se vzorec iterací, navrhuje se použít funkci IF:

(5) \u003d IF (x \u003d 0; -5; x- (x ^ 3-4 * x ^ 2-4 * x + 5) / (3 * x ^ 2-8 * x-4))

Zde je hodnota „-5“ počáteční hodnotou vzorce opakování. Jeho změnou můžete přejít ke všem kořenům rovnice.