Způsoby, jak vytvořit reverzní matrici. Inverzní matice

Způsoby, jak najít reverzní matrici ,. Zvažte čtvercovou matici

Označte Δ \u003d det A.

Square Matrix A volal nedefinující nebo Non-singular.Pokud se jeho determinant liší od nuly a degenerovat nebo speciální, PokudΔ = 0.

Čtvercová matrice B je pro čtvercovou matrici, ale stejný řád, pokud jejich produkt A B \u003d v A \u003d E, kde E je jediná matrice stejného pořadí jako matrice A a V.

Teorém . Aby matrice, ale mít reverzní matrici, je nutné a dost, takže jeho determinant se liší od nuly.

Inverzní matice Matice A je označena a - 1, takže in \u003d A - 1 a vypočteno vzorcem

, (1)

kde a J - algebraické doplňky prvků I J Matrix A.

Výpočet A -1 podle vzorce (1) pro matrice s vysokou objednávkou je velmi pracný, takže v praxi může být vhodně nalezen A -1 za použití metody elementární transformace (EE). Jakákoliv jednotná matrice A podle Santy EP (nebo pouze linky) může být uvedena do jediné matice E. Pokud EP vyrobený přes matrici a EP ve stejném pořadí, aby se aplikovalo na jednu matrici E, výsledek je opačný matice. Je vhodné, aby EP nad matricemi A a E zároveň zaznamenal obě matrice v okolí. Znovu všimneme, že při hledání kanonických druhů matrice můžete použít konverze řádků a sloupců. Pokud potřebujete najít reverzní matrici, během konverze by měly být použity pouze struny nebo pouze sloupce.

Příklad 2.10.. Pro matici Najít A -1.

Rozhodnutí.Najít první determinanty matice A
Takže, reverzní matrice existuje a můžeme ho najít podle vzorce: Kde a J i J (I, J \u003d 1,2,3) jsou algebraické doplňky prvků A I J zdrojová matice.

Z .

Příklad 2.11.11.11.11.11.. Způsobem elementárních transformací pro nalezení A -1 pro matrici: A \u003d.

Rozhodnutí.Připisujeme původní matici vpravo od jediné matice stejného řádu: . S pomocí elementárních transformací sloupců dodáváme levou "polovinu" s jediným, což současně provádí takové transformace přes správnou matrici.
Chcete-li to udělat, vyměníme první a druhé sloupce: ~ . Do třetího sloupce přidejte první a druhý je první, vynásobený -2: . Od prvního sloupce, pochybující druhý, a od třetího - vynásobené o 6 sekundy; . Přidat třetí sloupec do prvního a druhého: . Vynásobte poslední sloupec na -1: . Čtvercová matrice získaná z vertikální funkce získaná ze svislé čáry je reverzní matrice této matrice A. tak,
.

Pro jakoukoliv negenerovanou matrici, a tam je také jediná matrice A -1, která

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

kde e je jediná matice stejných objednávek, že A. Matrix A -1 se nazývá reverzní na matrici A.

Pokud někdo zapomněl, v jedné matrici, s výjimkou úhlopříčky naplněné jednotkami, všechny ostatní pozice jsou naplněny nuly, příkladem jedné matrice:

Nalezení reverzní matrice metodou připojené matrice

Reverzní matrice je určena vzorcem:

kde IJ - prvky IJ.

Ty. Pro výpočet reverzní matrice musíte spočítat determinant této matrice. Pak najdete algebraické doplňky pro všechny jeho prvky a tvoří novou matici. Dále potřebujete přepravovat tuto matici. A každý prvek nové matrice je rozdělen do determinant počáteční matrice.

Zvažte několik příkladů.

Najít A -1 pro matici

R e w e n e. Najít A -1 metodou přiložené matrice. Máme det A \u003d 2. V tomto případě najdeme algebraické doplňky prvků matice A.

Máme 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. tvořící připojenou matrici

Přepravujeme matici A *:

Nacházíme reverzní matrici podle vzorce:

Dostaneme:

Pomocí připojené matice najít A -1, pokud

Nejprve spočítáme definici této matrice, abychom se ujistili, že inverzní matrice existuje. Mít

Zde jsme přidali do prvků druhé linie prvků třetí linie, vynásobené pre-on (-1), a pak zveřejnit determinant přes druhý řádek. Vzhledem k tomu, že se rozhodneme, že tato matice se liší od nuly, matice existuje zpět k němu. Chcete-li vytvořit připojenou matrici, najdeme algebraické dodatky k prvkům této matrice. Mít

V souladu se vzorcem

přepravujeme matici A *:

Pak podle vzorce

Nalezení reverzní matrice podle elementárních transformací

Kromě způsobu nalezení reverzní matrice vyplývající ze vzorce (metoda přiložené matrice), existuje způsob hledání reverzní matrice, nazvané elementární transformace.

Základní konverzní matrice

Základní transformace matice jsou následující konverze:

1) Permutace řetězců (sloupce);

2) násobení řetězce (sloupec) jiným než nulovým číslem;

3) Přidejte prvky řádku (sloupec) odpovídajících prvků jiného řádku (sloupec), vynásobené číslem.

Chcete-li najít matici A -1, konstruujeme obdélníkovou matrici B \u003d (A | e) příkazů (n; 2N), které jsou uvedeny na matrici a vpravo od jediného matice E přes separační linie:

Zvážit příklad.

Metoda elementárních transformací pro nalezení A -1, pokud

R e w e n e. tvořící matici b:

Označte řetězec matrice B do α 1, a 2, α 3. Na matricové řetězci produkujeme následující konverzi.

Nalezení matice návratu - Úkol, který je častěji vyřešen dvěma metodami:

• metoda algebraických doplňků, ve kterém je nutné najít identifikaci a transponuje matrice;
• metoda výjimka neznámá gaussakde je nutné vyrábět elementární konverze matric (skládací struny, vynásobte řetězce na stejné číslo a stejné číslo atd.).

Pro zvláště inkvalificitaci existují i \u200b\u200bjiné metody, například způsob lineárních transformací. V této lekci budeme analyzovat tři uvedené metody a algoritmy pro nalezení vrácené matice těmito metodami.

Inverzní matice ALEnazvaný takový matrice

ALE
. (1)

Inverzní matice které chcete najít pro tuto náměstí matrici ALEnazvaný takový matrice

práce, na kterých matrice ALE vpravo je jediná matrice, tj.
. (1)

Jediná matrice se nazývá diagonální matrice, ve které jsou všechny diagonální prvky stejné.

Teorém. Pro každou non-singulární (negenerovaný, non-peculární) čtvercový matrice, můžete najít matici návratu, a navíc pouze jeden. Pro speciální (degenerovaný, singulární) čtvercová matrice neexistuje reverzní matrice.

Square Matrix se nazývá non-singular. (nebo negenerovaný, non-pecular.) Pokud jeho determinant není nula, a speciální (nebo degenerovat, jednotné číslo), pokud je jeho determinant nulový.

Reverzní matrice lze nalézt pouze pro čtvercovou matrici. Inverzní matrice bude samozřejmě také čtvercová a stejná objednávka jako tato matice. Matice, pro kterou lze nalézt reverzní matrice, se nazývá reverzibilní matrice.

Pro reverzní matice Existuje příslušný protějšek. Pro každé číslo a.není rovna nule, existuje taková číslo b.Jaká práce a. a b. Rovna jedné: b. \u003d 1. Číslo b. Volal Reverzní pro číslo b.. Například pro číslo 7 je číslo 1/7, protože 7 * 1/7 \u003d 1.

Nalezení reverzní matrice pomocí algebraických doplňků (Allied Matrix)

Pro non-singulární náměstí matrice ALEreverzní je matrice

kde - determinant matrice ALEa - matrice, spojená s matricí ALE.

Spojen s čtvercovou matricí A.nazývaný matrici stejného řádu, jejichž prvky jsou algebraické doplňky odpovídajících prvků determinant matrice, transponované vzhledem k matrici A. tak,

že

a

Algoritmus pro umístění reverzní matrice pomocí algebraických doplňků

1. Najděte determinant této matrice A.. Pokud je determinant nulová, je zastavena zjištění reverzní matrice, protože matrice je degenerovaná a reverzní pro to neexistuje.

2. Najít matrici transponovanou relativně A..

3. Vypočítejte prvky spojenecké matrice jako algebraické doplňky Maritze nalezené v kroku 2.

4. Použijte vzorec (2): Vynásobte číslo, zpětný determinant matrice A., na spojenecké matice nalezené v kroku 4.

5. Zkontrolujte výsledek přijatý v kroku 4, vynásobte tuto matici A. na reverzní matici. Pokud se výrobek těchto matric rovnají jediné matrici, pak byla správně nalezena reverzní matrice. V opačném případě znovu spusťte rozhodovací proces.

Příklad 1. Pro matici

najděte reverzní matrici.

Rozhodnutí. Chcete-li najít reverzní matrici, je nutné najít determinant matrice ALE. Nacházíme podle pravidla trojúhelníků:

V důsledku toho matice ALE- Non-singulární (nedegenerační, non-pecular) a tam je zpět.

Najděte matrici, spojenou s touto matricí ALE.

Najít matrici, transponovanou vzhledem k matrici A.:

Vypočítejte prvky spojenecké matrice jako algebraický doplněk matrice, transponované vzhledem k matrici A.:

V důsledku toho matrice spojuje s matricí A., má vzhled

Komentář. Postup pro výpočet prvků a transpozice matrice může být odlišný. Nejprve můžete vypočítat algebraické doplňky matrice A.A pak transponuje matrici algebraických doplňků. V důsledku toho by měly být získány stejné prvky spojenecké matrice.

Použití vzorce (2) najdeme matrici, inverzní matrici ALE:

Nalezení reverzní matrice vyloučením neznámého Gaussu

Prvním krokem k nalezení reverzní matrice vyloučením neznámého Gaussu - atributu matice A. Jednotná matice stejného řádu, oddělující je svislou funkcí. Dostaneme duální matrici. Vynásobte obě části této matice, pak se dostaneme

,

Algoritmus hledání reverzní matrice vyloučením neznámého gaussu

1. K matrici A. Obnovte jednu matici stejného pořadí.

2. Výsledná duální matrice je převedena tak, že v levé části se získá jediná matrice, pak se inverzní matrice automaticky vypne na místě matice jednotky. Matice A. Na levé straně se převede na jednu matrici základními transformacemi matrice.

2. Pokud v procesu přeměny matrice A. V jedné matrici v libovolném řádku nebo v libovolném sloupci bude pouze nuly, determinant matrice je nulová, a proto matrice A. Bude degenerovaný a nemá reverzní matrici. V tomto případě, další nalezení reverzní matrice se zastaví.

Příklad 2. Pro matici

najděte reverzní matrici.

a my ho převedeme, takže se na levé straně získá jediná matrice. Začneme transformaci.

Vynásobte první řádek levé a pravé matice na (-3) a položte jej druhým řádkem a pak se vynásobte první řádek (-4) a položte jej na třetí linii, pak se dostaneme

.

Aby nedošlo k frakčním číslům, pokud je to možné, vytvoříme přednastavení v druhé lince na levé straně duální matrice. Chcete-li to udělat, vynásobte druhý řádek pro 2 a odečte třetí řádek z ní, pak se dostaneme

.

Přesunutí prvního řetězce z druhé, a pak násobit druhý řádek na (-9) a položte jej na třetí linii. Pak se dostaneme

.

Třetí řetězec dělíme 8, pak

.

Vynásobím třetí linku na 2 a položím ho druhým řádkem. Ukazuje se:

.

Uspořádat se v místech druhého a třetího řádku, pak se konečně dostaneme:

.

Vidíme, že jediná matrice se ukázala být na levé straně, tedy inverzní matrice se ukázala v pravé straně. Takto:

.

Můžete zkontrolovat správnost výpočtů, vynásobte počáteční matici na nalezenou inverzní matrici:

V důsledku toho by měla být vypnuta reverzní matrice.

Příklad 3. Pro matici

najděte reverzní matrici.

Rozhodnutí. Děláme duální matrici

a převedeme to.

První řádek je vynásoben 3, a druhý až 2, a odečteme se od druhého, a pak je první řádek vynásoben 5, a třetí na 2 a odečtený od třetí linie, pak se dostaneme

.

První řádek je vynásoben 2 a skládací z druhé, a pak odečteme druhý od třetí linie, pak se dostaneme

.

Vidíme, že ve třetí linii na levé straně byly všechny prvky rovny nule. V důsledku toho nemá degenerovaná matrice a matrice návratu. Dále nalezení inverzní zastávky Marita.

Zpravidla se inverzní operace používají ke zjednodušení komplexních algebraických výrazů. Pokud je například přítomna štěpná divize, je možné jej nahradit s multiplikační operací na zadní snímek, což je zpětný provoz. Matice nelze navíc rozdělit, takže se musíte znásobit na reverzní matrici. Vypočítejte matici, inverzní matrici velikosti 3x3, je docela nudná, ale musíte to udělat ručně. Také reverzní hodnota lze nalézt pomocí dobré grafické kalkulačky.

Kroky

Pomocí připojené matrice

Transparenp původní matrice. Provedení je náhrada řádků na sloupcích vzhledem k hlavní úhlopříčce matrice, to znamená, že je nutné měnit prvky (I, J) a (J, I) místa. Současně se prvky hlavní úhlopříčky (začíná v levém horním rohu a končí v pravém dolním rohu) se nemění.

• Chcete-li změnit řádky na sloupcích, napište první řádkové prvky v prvním sloupci, prvky druhého řádku ve druhém sloupci a prvky třetího řádku ve třetím sloupci. Postup pro změnu polohy prvků je znázorněn na obrázku, na kterém jsou odpovídající prvky krouženy s barevnými kruhy.

Najít Definujte každou matici 2x2. Každý prvek každé matrice, včetně transponovaného, \u200b\u200bje spojen s odpovídající matricí 2x2. Chcete-li najít matici 2x2, která odpovídá specifickému prvku, přejděte na řetězec a sloupec, ve kterém je tato položka umístěna, to znamená, že je třeba překročit pět prvků počáteční matrice 3x3. Čtyři prvky zůstanou odkryty, které jsou prvky odpovídající matrice 2x2.

• Chcete-li například najít 2x2 matice pro položku, která je umístěna na křižovatce druhého řádku a prvního sloupce, překročí pět prvků, které jsou ve druhém řádku a prvním sloupci. Zbývající čtyři prvky jsou prvky odpovídající matrice 2x2.
• Najděte determinant každé matrice 2x2. K tomu bude produkt prvků sekundární úhlopříčku odečten z produktu položek hlavního diagonálu (viz obrázek).
• Podrobné informace o matricích 2x2 odpovídající určitým prvkům matice 3x3 lze nalézt na internetu.

Vytvořit matrici kofaktoru. Výsledky získané dříve, zaznamenávají jako novou matrici kofaktoru. K tomu identifikátor našel každý matrice 2x2 napsat tam, kde byl umístěn odpovídající prvek matrice 3x3. Například, pokud je matrice 2x2 zvažována pro prvek (1.1), jeho determinant je zaznamenán v poloze (1,1). Pak změňte známky odpovídajících prvků podle specifického schématu, který je znázorněn na obrázku.

• Schéma Změny značek: První prvek prvního řádku se nemění; Znaménko druhého prvku prvního řádku se mění na opak; Znaménko třetího prvku prvního řádku se nezmění a tak on-line. Upozorňujeme, že znaky "+" a "-", které jsou zobrazeny v diagramu (viz obrázek), neuvádějí, že odpovídající prvek bude kladný nebo negativní. V tomto případě znaménko "+" naznačuje, že znak prvků se nezmění, a znak "-" znaménko označuje změnu znaku prvku.
• Podrobné informace o matricách kofaktorů naleznete na internetu.
• Takže najdete připojenou matrici zdrojové matice. Někdy se nazývá komplex-konjugát matrice. Taková matrice je indikována jako adj (m).

Každý prvek připojené matrice rozdělte determinant. Determinant matice M byla vypočtena na samém počátku, aby ověřil, že reverzní matrice existuje. Nyní rozdělte každý prvek připojené matrice k tomuto determinantu. Výsledek každé operace rozdělení je zaznamenán tam, kde je umístěn odpovídající prvek. Takže najdete matrici, inverzní zdroj.

• Determinant matrice, který je znázorněn na obrázku, je 1. Tak, přiložená matrice je reverzní matrice (protože při dělení libovolného čísla na 1 se nezmění).
• V některých zdrojích je operace rozdělení nahrazena multiplikační operací o 1 / det (m). V tomto případě se konečný výsledek nemění.

Zaznamenejte inverzní matrici. Zapište si prvky umístěné na pravé polovině velké matrice, jako samostatná matrice, která je reverzní matrice.

Do paměti kalkulačky zadejte zdrojovou matici. Chcete-li to provést, stiskněte tlačítko MATRIX (MATRIX), pokud je. V případě kalkulačky Texas Instruments bude muset stisknout tlačítka nd a matic.

Zvolte možnost Úpravy. Udělejte to pomocí tlačítek se šipkami nebo odpovídajícím tlačítkem funkcí, který je v horní části klávesnice kalkulačky (umístění tlačítka závisí na modelu kalkulačky).

Zadejte označení matice. Většina grafických kalkulačců může pracovat s 3-10 matricemi, které lze označit písmena A-J. Jednoduše vyberte [A] pro označení původní matice. Poté stiskněte tlačítko ENTER.

Zadejte velikost matice. Tento článek odkazuje na 3x3 matric. Grafické kalkulačky však mohou pracovat s velkými maticemi. Zadejte počet řádků, stiskněte tlačítko ENTER a zadejte číslo sloupců a znovu stiskněte tlačítko Enter.

Zadejte každý prvek matice. Matice se zobrazí na obrazovce kalkulačky. Pokud byla matice již dříve zavedena dříve v kalkulačce, zobrazí se na obrazovce. Kurzor přidělí první prvek matice. Zadejte hodnotu první položky a stiskněte klávesu Enter. Kurzor se automaticky přesune na další prvek matice.

Matrix algebra - reverzní matrice

Inverzní matice

Inverzní matice Matrice, která, při násobení jak vpravo, tak vlevo, dává jednu matici této matrici.
Označují matici návratu matice ALE Po, pak podle definice se dostaneme:

kde E. - Jediná matrice.
Čtvercová matice volala non-singular. (negenerovaný), pokud jeho determinant není nula. Jinak se nazývá speciální (degenerovat) Or. jednotné číslo.

Tam je teorém: ne-singulární matrice má reverzní matrici.

Provozování zjištění matice návratu se nazývá odvolání Matice. Zvažte algoritmus pro odvolání matice. Nechte non-singulární matrici n.-O Objednávka:

kde δ \u003d det A. ≠ 0.

Algebraický dodatek prvekmatkářský n. objednat ALE nazývá determinant matice přijaté s určitým znakem ( n. -1) -GO pořadí získané přechodem i. I.Řádek I. j.-to sloupec matice ALE:

Udělejme si takzvaný připojený Matice:

kde- algebraické doplnění odpovídajících prvků ALE.
Všimněte si, že algebraické doplňky prvků maticových řetězců ALE Jsou umístěny v odpovídajících sloupcích matrice à To znamená, že současně transponuje matrici.
Sdílení všech prvků matice à Na δ - hodnota determinant matrice ALEBudu mít za následek reverzní matrici:

Všimli jsme si řadu speciálních vlastností matrice návratu:
1) Pro tuto matici ALE Jeho reverzní matice je jediný;
2) Pokud je pak reverzní matrice, pak pravý odpoledne a vlevo Matrians se s tím shodují;
3) Speciální (degenerační) čtvercová matrice nemá vrácenou matici.

Hlavní vlastnosti vrácení matice:
1) determinant inverzní matrice a determinant počáteční matrice jsou reverzní hodnoty;
2) Inverzní matrice produktu čtvercových matric se rovná pracovním matricím faktorů, pořízených v opačném pořadí:

3) Transponovaná reverzní matrice se rovná návratové matrici z této transponované matrice:

PRI MERS. Vypočítejte inverzní matrici.