Împărțire zecimală de rezolvat. Acțiuni zecimale

Luați în considerare exemple de diviziune fracții zecimale în această lumină.

Exemplu.

Împarte zecimalul 1.2 la zecimalul 0.48.

Decizie.

Răspuns:

1,2:0,48=2,5 .

Exemplu.

Împarte zecimalul periodic 0, (504) la zecimalul 0,56.

Decizie.

Să convertim fracția zecimală periodică la una comună :. De asemenea, traducem fracția zecimală finală 0,56 într-una obișnuită, avem 0,56 \u003d 56/100. Acum putem trece de la împărțirea fracțiilor zecimale originale la împărțirea fracțiilor ordinare și finalizarea calculelor:.

Traducem fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală împărțind numărătorul la numitorul dintr-o coloană:

Răspuns:

0,(504):0,56=0,(900) .

Principiul împărțirii fracțiilor zecimale neperiodice infinite diferă de principiul împărțirii fracțiilor zecimale finite și periodice, deoarece fracțiile zecimale neperiodice nu pot fi convertite în fracții ordinare. Împărțirea fracțiilor zecimale neperiodice infinite se reduce la împărțirea fracțiilor zecimale finite, pentru care se efectuează rotunjirea numerelor la un anumit nivel. Mai mult, dacă unul dintre numerele cu care se efectuează împărțirea este o fracție zecimală finală sau periodică, atunci este, de asemenea, rotunjită la aceeași cifră ca fracția zecimală non-periodică.

Exemplu.

Împarte zecimalul neperiodic infinit 0,779 ... la zecimalul final 1,5602.

Decizie.

În primul rând, trebuie să rotunjiți fracțiile zecimale pentru a trece de la împărțirea unei fracții zecimale neperiodice infinite la împărțirea fracțiilor zecimale finale. Putem rotunji la cea mai apropiată sutime: 0,779 ... 0,78 și 1,5602 1,55. Astfel, 0,779 ...: 1,5602≈0,78: 1,56 \u003d 78/100: 156/100 \u003d 78/100 100/156 \u003d 78/156=1/2=0,5 .

Răspuns:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Împărțirea unui număr natural cu o fracție zecimală și invers

Esența abordării de a împărți un număr natural cu o fracție zecimală și de a împărți o fracție zecimală cu un număr natural nu diferă de esența împărțirii fracțiilor zecimale. Adică, fracțiile finite și periodice sunt înlocuite cu fracții obișnuite, iar fracțiile infinite ne-periodice sunt rotunjite.

Pentru ilustrare, luați în considerare un exemplu de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural.

Exemplu.

Împarte zecimalul 25,5 la numărul natural 45.

Decizie.

Înlocuind fracția zecimală 25.5 cu o fracție ordinară 255/10 \u003d 51/2, împărțirea se reduce la împărțirea unei fracții ordinare la un număr natural :. Fracția rezultată în notație zecimală are forma 0,5 (6).

Răspuns:

25,5:45=0,5(6) .

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural dintr-o coloană

Este convenabil să împărțiți fracțiile zecimale finale la numere naturale într-o coloană, prin analogie cu împărțirea la o coloană de numere naturale. Iată regula divizării.

La împărțiți zecimalul cu coloana număr natural, ai nevoie:

• adăugați câteva cifre 0 la dreapta în fracția zecimală divizibilă (în timpul procesului de divizare, dacă este necesar, puteți adăuga orice număr de zerouri, dar este posibil ca aceste zerouri să nu fie necesare);
• efectuați împărțirea cu o coloană a unei fracții zecimale cu un număr natural conform tuturor regulilor de împărțire cu o coloană de numere naturale, dar când se termină împărțirea părții întregi a fracției zecimale, atunci în coeficientul trebuie să puneți un virgulă și continuă împărțirea.

Să spunem imediat că, ca rezultat al împărțirii fracției zecimale finale la un număr natural, se poate obține fie o fracție zecimală finală, fie o fracție zecimală periodică infinită. Într-adevăr, după terminarea împărțirii tuturor zecimale non-0 ale fracției divizibile, se poate obține fie restul 0 și obținem o fracție zecimală finală, fie resturile vor începe să se repete periodic și vom obține o fracție zecimală periodică .

Ne vom ocupa de toate complexitățile împărțirii fracțiilor zecimale la numere naturale într-o coloană atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Împarte zecimalul 65.14 la 4.

Decizie.

Să împărțim fracția zecimală cu un număr natural într-o coloană. Să adăugăm câteva zerouri la dreapta în fracția 65.14 și obținem o fracție zecimală egală 65.1400 (vezi fracții zecimale egale și inegale). Acum puteți începe să împărțiți întreaga parte a fracției zecimale 65.1400 la numărul natural 4:

Aceasta completează împărțirea părții întregi a fracției zecimale. Aici, în coeficient, trebuie să puneți un punct zecimal și să continuați împărțirea:

Am ajuns la restul de 0, în această etapă diviziunea lungă se încheie. Ca urmare, avem 65.14: 4 \u003d 16.285.

Răspuns:

65,14:4=16,285 .

Exemplu.

Împarte 164,5 la 27.

Decizie.

Să împărțim fracția zecimală cu un număr natural într-o coloană. După împărțirea întregii părți, obținem următoarea imagine:

Acum punem o virgulă în diviziunea privată și continuăm cu o coloană:

Acum puteți vedea clar că resturile 25, 7 și 16 au început să se repete, în timp ce în coeficient se repetă numerele 9, 2 și 5. Deci, împărțirea zecimalului 164,5 la 27 ne aduce la zecimalul periodic 6,0 (925).

Răspuns:

164,5:27=6,0(925) .

Împărțirea lungă a fracțiilor zecimale

Împărțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală poate fi redusă la împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural cu o coloană. Pentru a face acest lucru, dividendul și divizorul trebuie să fie înmulțite cu un astfel de număr 10, sau 100 sau 1.000 etc., astfel încât divizorul să devină un număr natural și apoi să se împartă la un număr natural la o coloană. Putem face acest lucru datorită proprietăților de diviziune și multiplicare, deoarece a: b \u003d (a 10) :( b 10), a: b \u003d (a 100) :( b 100) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru a împărți zecimalul final cu zecimalul final, trebuie sa:

• în dividend și divizor, mutați virgula spre dreapta cu câte cifre există după virgulă în divizor, dacă în același timp dividendul nu are suficiente cifre pentru a purta virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta;
• după aceea, împărțiți cu o coloană a unei fracții zecimale la un număr natural.

Luați în considerare, atunci când rezolvați un exemplu, aplicarea acestei reguli de împărțire cu o fracție zecimală.

Exemplu.

Efectuați divizarea lungă 7.287 cu 2.1.

Decizie.

Mutați virgula în aceste fracții zecimale cu o cifră la dreapta, acest lucru ne va permite să împărțim fracția zecimală 7.287 la fracția zecimală 2.1 pentru a merge la împărțirea fracției zecimale 72.87 la numărul natural 21. Să facem o diviziune lungă:

Răspuns:

7,287:2,1=3,47 .

Exemplu.

Împarte zecimalul 16,3 la zecimalul 0,021.

Decizie.

Mutați virgula în dividend și divizor spre dreapta cu 3 semne. Evident, divizorul nu are suficiente cifre pentru a purta virgula, așa că adăugăm numărul necesar de zerouri în dreapta. Acum să efectuăm împărțirea coloanei fracției 16300.0 la numărul natural 21:

Din acest moment, resturile 4, 19, 1, 10, 16 și 13 încep să se repete, ceea ce înseamnă că și numerele 1, 9, 0, 4, 7 și 6 din coeficient vor fi repetate. Ca rezultat, obținem fracția zecimală periodică 776, (190476).

Răspuns:

16,3:0,021=776,(190476) .

Rețineți că regula exprimată vă permite să împărțiți un număr natural cu o fracție zecimală finală la o coloană.

Exemplu.

Împarte numărul natural 3 la zecimalul 5.4.

Decizie.

După ce mutăm virgula 1 cifră spre dreapta, ajungem la împărțirea numărului 30.0 la 54. Să facem o diviziune lungă:
.

Această regulă poate fi aplicată și la împărțirea fracțiilor zecimale infinite la 10, 100,…. De exemplu, 3, (56): 1000 \u003d 0,003 (56) și 593,374…: 100 \u003d 5,93374….

Împărțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,01, 0,001 etc.

Întrucât 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100 etc., rezultă din regula împărțirii cu o fracție obișnuită că împărțirea fracției zecimale cu 0,1, 0,01, 0,001 etc. este la fel ca înmulțirea fracției zecimale date cu 10, 100, 1.000 etc. respectiv.

Cu alte cuvinte, pentru a împărți fracția zecimală cu 0,1, 0,01, ... trebuie să mutați virgula spre dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, în timp ce dacă cifrele din notația zecimală nu sunt suficiente pentru transferați virgula, apoi trebuie să adăugați suma necesară la zerourile din dreapta.

De exemplu, 5.739: 0.1 \u003d 57.39 și 0.21: 0.00001 \u003d 21.000.

Aceeași regulă poate fi aplicată la împărțirea fracțiilor zecimale infinite cu 0,1, 0,01, 0,001 etc. În acest caz, ar trebui să fim foarte atenți la împărțirea fracțiilor periodice, pentru a nu fi confundat cu perioada fracției, care se obține ca urmare a împărțirii. De exemplu, 7,5 (716): 0,01 \u003d 757, (167), deoarece după mutarea virgulei în fracția zecimală 7.5716716716 ... două cifre la dreapta, avem înregistrarea 757.167167 .... Cu fracții zecimale non-periodice infinite, totul este mai ușor: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Împărțirea unei fracții sau a unui număr mixt cu o zecimală și invers

Împărțirea unei fracții ordinare sau a unui număr mixt cu o fracție zecimală finală sau periodică, precum și împărțirea unei fracții zecimale finale sau periodice cu o fracție obișnuită sau număr mixt, se reduce la împărțirea fracțiilor ordinare. Pentru a face acest lucru, fracțiile zecimale sunt înlocuite cu fracțiile ordinare corespunzătoare, iar numărul mixt este reprezentat ca o fracție necorespunzătoare.

Când împărțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu o fracție obișnuită sau un număr mixt și invers, ar trebui să mergeți la împărțirea fracțiilor zecimale, înlocuind fracția ordinară sau numărul mixt cu fracția zecimală corespunzătoare.

Lista de referinte.

• Matematica: manual. pentru 5 cl. educatie generala. institutions / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ediția 21, Șters. - M.: Mnemosina, 2007 .-- 280 p.: Bolnav. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica. Nota 6: manual. pentru învățământul general. instituții / [N. Da. Vilenkin și alții]. - ediția a 22-a, Rev. - M.: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ediția a XVI-a - M .: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții școlilor tehnice): Manual. manual. - M.; Superior. shk., 1984.-351 p., bolnav.

În acest tutorial, vom analiza fiecare dintre aceste operații separat.

Conținutul lecției

Adăugarea de zecimale

După cum știm, fracția zecimală are un întreg și o parte fracționată. Când se adaugă fracții zecimale, părțile întregi și fracționare sunt adăugate separat.

De exemplu, adăugați fracțiile zecimale 3.2 și 5.3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

Să scriem mai întâi aceste două fracții într-o coloană, în timp ce părțile întregi trebuie să fie sub întreg, iar partea fracțională sub fracțional. La școală se solicită această cerință Coma sub virgulă.

Să scriem fracții într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Începem să adăugăm părțile fracționate: 2 + 3 \u003d 5. Scriem cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adăugăm părțile întregi: 3 + 5 \u003d 8. Scriem cele opt în întreaga parte a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, din nou, respectăm regula Coma sub virgulă:

Răspunsul a fost 8,5. Deci expresiile 3.2 + 5.3 sunt 8.5

De fapt, nu totul este la fel de simplu pe cât pare la prima vedere. Și aici sunt capcane, despre care vom vorbi acum.

Zecimale

Fracțiile zecimale, ca și numerele obișnuite, își au locul lor. Acestea sunt zecimi, sutimi, miimi. În acest caz, cifrele încep după punctul zecimal.

Prima cifră după punctul zecimal este responsabilă pentru a zecea poziție, a doua cifră după punctul zecimal pentru poziția a suta, a treia cifră după punctul zecimal pentru a zecea poziție.

Zecimalele conțin câteva informații utile. În special, ele raportează câte zecimi, sutimi și miimi sunt în fracție zecimală.

De exemplu, luați în considerare zecimalul 0.345

Poziția în care se află tripletul se numește în zecimi

Poziția în care se află cei patru se numește sutimi

Poziția în care se află cei cinci este numită miimi

Să aruncăm o privire la această figură. Vedem că pe locul zece există un trei. Acest lucru sugerează că zecimalul 0.345 conține trei zecimi.

Dacă adăugăm fracțiile și obținem fracția zecimală originală 0,345

Se poate vedea că la început am primit răspunsul, dar l-am transformat într-o fracție zecimală și am obținut 0,345.

Când se adaugă fracții zecimale, se respectă aceleași principii și reguli ca și când se adaugă numere ordinare. Fracțiile zecimale sunt adăugate în cifre: zecimi sunt adăugate cu zecimi, sutimi cu sutimi, mii cu miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, trebuie să respectați regula Coma sub virgulă... Virgula de sub virgulă oferă aceeași ordine în care se adaugă zecimi la zecimi, sutimi la sutimi, mii la mii.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei 1.5 + 3.4

În primul rând, adăugați părțile fracționate 5 + 4 \u003d 9. Scrieți cele nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adăugăm părțile întregi 1 + 3 \u003d 4. Scriem cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgula sub virgulă”:

Răspunsul a fost de 4,9. Deci, valoarea expresiei 1.5 + 3.4 este 4.9

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, observând regula „virgulă sub virgulă”

În primul rând, adăugați partea fracțională, și anume sutimile 1 + 2 \u003d 3. Scriem cele trei în partea a suta a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimile 5 + 2 \u003d 7. Scriem cele șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați părțile întregi 3 + 1 \u003d 4. Scriem un patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă, respectând regula „virgula sub virgulă”:

Răspunsul a fost de 4,73. Deci, valoarea expresiei 3.51 + 1.22 este 4.73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor normale, se poate adăuga fracții zecimale. În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la cifra următoare.

Exemplul 3. Găsiți valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie într-o coloană:

Adăugați sutimi 5 + 7 \u003d 12. Numărul 12 nu se va încadra în partea a suta a răspunsului nostru. Prin urmare, în partea a suta, scriem numărul 2 și transferăm unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm zecimile 6 + 2 \u003d 8 plus cea care a venit din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în partea a zecea a răspunsului nostru:

Acum adăugați părțile întregi 2 + 3 \u003d 5. Scriem numărul 5 în întreaga parte a răspunsului nostru:

Răspunsul a fost de 5,92. Deci, valoarea expresiei 2.65 + 3.27 este 5.92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4. Găsiți valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scriem această expresie într-o coloană

Adăugăm părțile fracționate 5 + 8 \u003d 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracționată a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și transferăm unitatea la următoarea cifră, sau mai bine zis o transferăm la întreaga parte:

Acum adăugăm părțile întregi 9 + 2 \u003d 11 plus cea care a venit din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul a fost 12.3. Deci, valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când adăugați fracții zecimale, numărul de cifre după punctul zecimal în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu există suficiente numere, atunci aceste locuri din partea fracționară sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5... Găsiți valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a nota această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după punctul zecimal în ambele fracții. Fracția zecimală 12.725 după punctul zecimal are trei cifre, iar fracția 1.7 are doar una. Deci, în fracția 1.7 de la final trebuie să adăugați două zerouri. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați miimi 5 + 0 \u003d 5. Scriem numărul 5 în partea a mia a răspunsului nostru:

Adăugați sutimile 2 + 0 \u003d 2. Scriem numărul 2 în partea a suta a răspunsului nostru:

Adăugați zecimi 7 + 7 \u003d 14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, mai întâi notăm numărul 4 și transferăm unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm părțile întregi 12 + 1 \u003d 13 plus cea obținută din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul a fost 14.425. Deci, valoarea expresiei 12.725 + 1.700 este egală cu 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea fracțiilor zecimale

La scăderea fracțiilor zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca și pentru adunare: „virgulă sub virgulă” și „număr egal de cifre după punctul zecimal”.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei 2.5 - 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Evaluează partea fracționată 5−2 \u003d 3. Scriem numărul 3 în partea a zecea a răspunsului nostru:

Evaluează partea întreagă 2−2 \u003d 0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul a fost de 0,3. Deci, valoarea expresiei 2.5 - 2.2 este 0.3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 7.353 - 3.1

Această expresie are un număr diferit de cifre după punctul zecimal. Există trei cifre după punctul zecimal în fracția 7.353, iar în fracția 3.1 există doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 de la final, trebuie să adăugați două zerouri pentru a face același număr de cifre din ambele fracții. Apoi primim 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Răspunsul a fost 4.253. Deci, valoarea expresiei 7.353 - 3.1 este egală cu 4.253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori trebuie să ocupați una din cifra adiacentă dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3. Găsiți valoarea expresiei 3,46 - 2,39

Scădeți sutimile din 6-9. Din numărul 6, nu scădeți numărul 9. Prin urmare, trebuie să luați unul din bitul adiacent. După ce a luat unul din bitul vecin, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum puteți calcula sutimile de 16-9 \u003d 7. Scriem cele șapte în partea a suta a răspunsului nostru:

Acum să scădem zecimi. Deoarece am ocupat o unitate pe locul zecelea, cifra care a fost localizată acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, pe locul zece nu este acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile de 3−3 \u003d 0. Scriem zero în partea a zecea a răspunsului nostru:

Acum scădem părțile întregi 3−2 \u003d 1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul a fost 1,07. Deci, valoarea expresiei 3.46−2.39 este 1.07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4... Găsiți valoarea expresiei 3 - 1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Scriem această expresie într-o coloană astfel încât partea întreagă a fracției zecimale 1.23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după punctul zecimal. Pentru a face acest lucru, după numărul 3, puneți o virgulă și adăugați un zero:

Acum scădem zecimile: 0−2. Nu puteți scădea numărul zero de la zero. Prin urmare, trebuie să luați unul din bitul adiacent. Luând unul din bitul adiacent, 0 devine 10. Acum putem calcula zecimile de 10−2 \u003d 8. Scriem cele opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădem părți întregi. Anterior, numărul întreg conținea numărul 3, dar am împrumutat o unitate de la el. Ca rezultat, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, scade 1.2 din 2. 2−1 \u003d 1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul a fost 1,8. Deci, valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimală

Înmulțirea zecimală este ușoară și chiar distractivă. Pentru a multiplica fracțiile zecimale, le înmulțiți ca numere regulate, ignorând virgulele.

După ce am primit răspunsul, este necesar să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în ambele fracții, apoi în răspuns numărați același număr de cifre din dreapta și puneți o virgulă.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Să multiplicăm aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a nu fi atenți la virgule, vă puteți imagina pentru un timp că sunt absenți deloc:

Primit 375. În acest număr este necesar să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiile 2.5 și 1.5. În prima fracție după punctul zecimal există o cifră, în a doua fracție există și una. Total două cifre.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne deplasăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Răspunsul a fost de 3,75. Deci, valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 x 1,5 \u003d 3,75

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să multiplicăm aceste fracții zecimale, ignorând virgulele:

Primit 34695. În acest număr trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiile 12.85 și 2.7. În fracția 12,85 există două cifre după punctul zecimal, în fracția 2,7 există o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne deplasăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Răspunsul a fost de 34,695. Deci, valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 × 2,7 \u003d 34,695

Înmulțirea zecimală cu un număr obișnuit

Uneori apar situații când trebuie să înmulțiți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o fracție zecimală și un număr regulat, trebuie să le înmulțiți, ignorând virgula din fracția zecimală. După ce am primit răspunsul, este necesar să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi în răspuns, numărați același număr de cifre în dreapta și puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțim fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Am primit numărul 508. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracția 2,54. Există două cifre după punctul zecimal în fracția 2.54.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne deplasăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Răspunsul a fost 5.08. Deci, valoarea expresiei 2.54 × 2 este 5.08

2,54 x 2 \u003d 5,08

Înmulțirea zecimală cu 10, 100, 1000

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca înmulțirea fracțiilor zecimale cu numere regulate. Trebuie să efectuați multiplicarea, fără a fi atenți la virgula din fracția zecimală, apoi în răspuns separați întreaga parte de partea fracțională, numărând la fel de multe cifre la dreapta câte cifre erau după punctul zecimal în fracția zecimală.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Înmulțiți zecimalul 2,88 cu 10, ignorând punctul zecimal:

Primit 2880. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracția 2.88. Vedem că există două cifre după punctul zecimal în fracția 2.88.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne deplasăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Răspunsul a fost de 28,80. Dacă scădem ultimul zero, obținem 28,8. Deci, valoarea expresiei 2.88 × 10 este 28.8

2,88 x 10 \u003d 28,8

Există, de asemenea, o a doua modalitate de a multiplica fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai ușoară și mai convenabilă. Acesta constă în faptul că virgula din fracția zecimală este deplasată la dreapta cu câte cifre există zero în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior de 2,88 × 10 în acest fel. Fără a da calcule, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri conține. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 2.88, mutați virgula spre dreapta cu o cifră, obținem 28.8.

2,88 x 10 \u003d 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Imediat ne uităm la factorul 100. Ne interesează câte zerouri există în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 2.88, mutați virgula spre dreapta cu două cifre, obținem 288

2,88 × 100 \u003d 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Uită-te imediat la multiplicatorul 1000. Suntem interesați de câte zerouri există. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 2.88, mutați virgula spre dreapta cu trei cifre. A treia cifră nu există, așa că adăugăm încă un zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 × 1000 \u003d 2880

Înmulțirea zecimală cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca înmulțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală. Este necesar să înmulțiți fracțiile ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând câte cifre la dreapta, câte cifre există după punctul zecimal în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Primit 325. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiile 3.25 și 0.1. Există două cifre după punctul zecimal în fracția 3,25, în fracția 0,1 există o cifră. Există trei numere în total.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne deplasăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După numărarea a trei cifre, constatăm că cifrele s-au terminat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să puneți o virgulă:

Răspunsul a fost 0,325. Deci, valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este egală cu 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Există, de asemenea, o a doua modalitate de a multiplica fracțiile zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai ușoară și mai convenabilă. Constă în faptul că virgula din fracția zecimală este deplasată la stânga cu câte cifre există zerouri în multiplicator.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior de 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără a da calcule, ne uităm imediat la factorul 0,1. Ne interesează câte zerouri există în ea. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracțiunea 3.25, mutați virgula la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră spre stânga, vedem că nu mai sunt cifre în fața celor trei. În acest caz, adăugați un zero și adăugați o virgulă. Ca urmare, obținem 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Uită-te imediat la multiplicatorul 0,01. Ne interesează câte zerouri există în ea. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 3.25, mutați virgula la stânga cu două cifre, obținem 0,0325

3,25 × 0,01 \u003d 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Să ne uităm la multiplicatorul 0.001 imediat. Ne interesează câte zerouri există în ea. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 3.25, mutați virgula la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 \u003d 0,00325

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,001 și 0,001 nu trebuie confundată cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. Greșeală tipică majoritatea oamenilor.

Când se înmulțește cu 10, 100, 1000, virgula este deplasată spre dreapta cu același număr de cifre ca și zerouri în factor.

Și atunci când se înmulțește cu 0,1, 0,01 și 0,001, virgula este transferată la stânga cu același număr de cifre ca și zerourile din multiplicator.

Dacă la început este dificil de reținut, puteți utiliza prima metodă, în care înmulțirea se efectuează ca la numerele obișnuite. În răspuns, va trebui să separați întreaga parte de partea fracționată, numărând atâtea cifre din dreapta cât cifrele după punctul zecimal din ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic cu unul mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare, am spus că atunci când împărțiți un număr mai mic la unul mai mare, obțineți o fracție, în numărătorul căreia este dividendul și în numitorul - divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr la doi, trebuie să scrieți 1 (un măr) în numărător și 2 (doi prieteni) în numitor. Ca rezultat, obținem o fracțiune. Deci, fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, câte o jumătate de măr. Fracțiunea este răspunsul la problemă „Cum se împarte un măr pentru două”

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare, dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, o bară fracționată în orice fracție înseamnă diviziune, ceea ce înseamnă că această împărțire este permisă și într-o fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Și aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că fracția înseamnă diviziune, diviziune, diviziune. Aceasta înseamnă că o unitate poate fi împărțită în câte părți doriți și nu doar în două părți.

Când împărțiți un număr mai mic cu unul mai mare, obțineți o fracție zecimală, în care partea întreagă va fi 0 (zero). Partea fracționată poate fi oricare.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Nu se poate împărți pur și simplu în două complet. Dacă puneți o întrebare „Câți doi sunt într-unul” , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în coeficientul scriem 0 și punem o virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim coeficientul cu divizorul pentru a extrage restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați încă un zero la dreapta celui rezultat:

Avem 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Scriem cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțiți 5 cu 2 pentru a obține 10

Răspunsul a fost de 0,5. Deci fracția este 0,5

O jumătate de măr poate fi de asemenea scris folosind o fracție zecimală de 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi de asemenea înțeles dacă vă imaginați cum este împărțit 1 cm în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 4: 5

Câte cinci sunt în cele patru? Deloc. Scriem 0 în privat și punem o virgulă:

Înmulțiți 0 cu 5, obținem 0. Scrieți zero sub cele patru. Scădem imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 4, adăugați zero și împărțiți 40 la 5, obținem 8. Scrieți opt în coeficient.

Încheiem exemplul înmulțind 8 cu 5 pentru a obține 40:

Răspunsul a fost de 0,8. Deci, valoarea expresiei 4: 5 este 0,8

Exemplul 3. Găsiți valoarea expresiei 5: 125

Câte numere 125 sunt în cinci? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem o virgulă:

Înmulțiți 0 cu 5, obținem 0. Scrieți 0 sub cele cinci. Scade imediat 0 din cinci

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta acestor cinci, notăm zero:

Împarte 50 la 125. Câte numere 125 sunt în 50? Deloc. Deci, în coeficient, scriem din nou 0

Înmulțiți 0 cu 125, obținem 0. Scrieți acest zero sub 50. Scădeți imediat 0 din 50

Acum împărțim numărul 50 la 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 50, scrieți încă un zero:

Împarte 500 la 125. Câte numere 125 sunt în numărul 500. Există patru numere 125 în numărul 500. Scriem cele patru în coeficient:

Finalizați exemplul înmulțind 4 cu 125 pentru a obține 500

Răspunsul a fost 0,04. Deci, valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, punem o virgulă în coeficientul de după acesta, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a terminat și trecem la partea fracționată:

Adăugați zero la restul 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scrieți opt în coeficient:

40-40 \u003d 0. Am primit 0 în rest. Aceasta înseamnă că împărțirea este complet finalizată. Împărțirea 9 la 5 dă zecimalul 1.8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2... Împarte 84 la 5 fără rest

În primul rând, împărțiți 84 la 5 ca de obicei cu restul:

Primit în privat 16 și încă 4 în rest. Acum să împărțim acest rest la 5. Puneți o virgulă în coeficient și adăugați 0 la restul 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scrieți opt în coeficientul după punctul zecimal:

și încheiați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale cu un număr regulat

Fracția zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracționată. Când împărțiți o fracție zecimală cu un număr obișnuit, trebuie mai întâi să:

• împarte întreaga parte a fracției zecimale la acest număr;
• după împărțirea întregii părți, trebuie să puneți imediat o virgulă în coeficient și să continuați calculul ca în diviziunea obișnuită.

De exemplu, împărțiți 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu într-un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțite la două sunt două. Scriem cele două în coeficient și punem imediat o virgulă:

Acum înmulțim coeficientul cu divizorul și vedem dacă există un rest al diviziunii:

4−4 \u003d 0. Restul este zero. Nu notăm încă zero, deoarece soluția nu este completă. Apoi continuăm să calculăm ca în diviziune obișnuită. Dă jos 8 și împarte-l la 2

8: 2 \u003d 4. Scriem cele patru în coeficient și le înmulțim imediat cu divizorul:

Răspunsul a fost 2.4. Valoarea expresiei 4.8: 2 este 2.4

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 8.43: 3

Împărțiți 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după cele două:

Acum înmulțim coeficientul cu divizorul 2 × 3 \u003d 6. Scrieți șase sub opt și găsiți restul:

Împărțiți 24 la 3, obținem 8. Scrieți opt în coeficient. Înmulțiți-l imediat cu divizorul pentru a găsi restul diviziunii:

24-24 \u003d 0. Restul este zero. Nu notați încă zero. Eliminăm ultimele 3 din dividend și împărțim la 3, obținem 1. Înmulțim imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Răspunsul a fost de 2,81. Deci, valoarea expresiei 8.43: 3 este 2.81

Împărțirea unei zecimale cu o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală cu o fracție zecimală, este necesar în dividend și în divizor să mutați virgula la dreapta cu același număr de cifre ca după punctul zecimal din divizor și apoi să împărțiți la un ordinar număr.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie într-un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutați virgula spre dreapta cu același număr de cifre ca după virgulă din divizor. Există o cifră după punctul zecimal. Deci, trebuie să mutăm virgula spre dreapta cu o cifră în dividend și în divizor. Noi transferam:

După mutarea virgulei către o cifră dreaptă, fracția zecimală 5,95 s-a transformat într-o fracție 59,5. Iar fracția zecimală 1.7 după transferarea virgulei la dreapta cu o cifră transformată în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim fracția zecimală cu numărul obișnuit. Calculul ulterior nu este dificil:

Virgula este înfășurată în dreapta pentru a facilita divizarea. Acest lucru este permis datorită faptului că atunci când înmulțiți sau împărțiți dividendul și divizorul cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Acesta este unul dintre caracteristici interesante Divizia. Se numește proprietate privată. Luați în considerare expresia 9: 3 \u003d 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va schimba.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce se întâmplă:

(9 × 2): (3 × 2) \u003d 18: 6 \u003d 3

După cum puteți vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când purtăm virgula în dividend și în divizor. În exemplul anterior, unde am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula în dividend și divizăm o cifră la dreapta. După mutarea punctului zecimal, fracția 5.91 a fost convertită la o fracție 59.1 și fracția 1.7 a fost convertită la numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces, a existat o înmulțire cu 10. Astfel arăta:

5,91 x 10 \u003d 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor depinde de ce se va înmulți dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor va determina câte cifre din dividend și în divizor virgula va fi mutată la dreapta.

Împărțirea unei zecimale cu 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și. De exemplu, să împărțim 2.1 la 10. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Dar există și o a doua cale. Este mai ușor. Esența acestei metode este că virgula din dividend este deplasată spre stânga cu câte cifre există zero în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri există în ea. Vedem că există un zero. Deci, în dividendul 2,1 trebuie să mutați virgula la stânga cu o cifră. Deplasați virgula spre stânga cu o cifră și vedeți că nu mai există cifre. În acest caz, adăugați încă un zero înainte de număr. Ca urmare, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2.1 la 100. Există două zerouri în 100. Deci, în dividendul 2,1 trebuie să mutați virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2.1 la 1000. Există trei zerouri în 1000. Aceasta înseamnă că în dividendul 2,1 este necesar să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțirea unei zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea zecimalului cu 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca și. În dividend și în divizor, virgula trebuie mutată la dreapta cu câte cifre există după virgulă în divizor.

De exemplu, împărțiți 6,3 la 0,1. În primul rând, mutați virgulele din dividend și din divizor spre dreapta cu același număr de cifre ca după virgulă din divizor. Există o cifră după punctul zecimal. Deci transferăm virgulele în dividend și în divizor spre dreapta cu o cifră.

După mutarea virgulei spre dreapta cu o cifră, fracția zecimală 6.3 se transformă în numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0.1 după mutarea virgulei spre dreapta o cifră se transformă într-o singură. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Deci, valoarea expresiei 6.3: 0.1 este 63

Dar există și o a doua cale. Este mai ușor. Esența acestei metode este că virgula din dividend este deplasată spre dreapta cu câte cifre există zerouri în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6,3: 0,1. Ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri există în ea. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că, în dividendul 6,3, trebuie să mutați virgula spre dreapta cu o cifră. Mutați virgula spre dreapta o cifră și obțineți 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul 0.01 are două zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6,3 este necesar să mutați virgula spre dreapta cu două cifre. Dar există doar o cifră după virgulă în dividend. În acest caz, la final trebuie adăugat încă un zero. Ca urmare, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul 0.001 are trei zerouri. Aceasta înseamnă că, în dividendul de 6,3, trebuie să mutați virgula spre dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini de auto-ajutor

Ti-a placut lectia?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre lecții noi

Împărțirea cu o zecimală este redusă la împărțirea cu un număr natural.

Regula pentru împărțirea unui număr la o fracție zecimală

Pentru a împărți un număr cu o fracție zecimală, este necesar să mutați virgula atât în \u200b\u200bdividend cât și în divizor cu câte cifre la dreapta câte sunt în divizor după punctul zecimal. După aceea, împărțiți la un număr natural.

Exemple.

Efectuați împărțirea cu zecimal:

Pentru a împărți cu o fracție zecimală, trebuie să mutați virgula atât în \u200b\u200bdividend cât și în divizor cu câte cifre la dreapta câte sunt după punctul zecimal din divizor, adică cu o zecimală. Obținem: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Acum efectuăm împărțirea cu un colț. Ca rezultat, obținem: 35,1: 1,8 \u003d 19,5.

2) 14,76: 3,6

Pentru a efectua împărțirea fracțiilor zecimale, atât în \u200b\u200bdividend, cât și în divizor, transferăm virgula spre dreapta printr-un singur semn: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Acum efectuăm un număr natural. Rezultat: 14,76: 3,6 \u003d 4,1.

Pentru a efectua împărțirea cu o fracție zecimală a unui număr natural, este necesar atât în \u200b\u200bdividend cât și în divizor să transferați la fel de multe cifre la dreapta câte sunt în divizor după punctul zecimal. Deoarece în acest caz virgula nu este scrisă în divizor, completăm numărul zero de caractere cu zerouri: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Împărțiți numerele naturale rezultate cu un colț: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Pentru a împărți o fracție zecimală cu alta, transferăm virgula spre dreapta atât în \u200b\u200bdividend cât și în divizor cu câte cifre există în divizor după punctul zecimal, adică cu trei zecimale. Astfel, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Împărțirea cu o fracție zecimală a fost înlocuită cu împărțirea cu un număr natural. Împărțim la un colț. Avem: 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58 \u003d 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Găsiți prima cifră a coeficientului (rezultatul diviziunii). Pentru a face acest lucru, împărțiți prima cifră a dividendului la divizor. Scrieți rezultatul sub divizor.

• În exemplul nostru, prima cifră a dividendului este numărul 3. Împarte 3 la 12. Deci 3 este mai mic decât 12, atunci rezultatul împărțirii va fi 0. Scrieți 0 sub divizor - aceasta este prima cifră a coeficient.

Înmulțiți rezultatul cu divizorul. Scrieți rezultatul multiplicării sub prima cifră a dividendului, deoarece tocmai ați împărțit acea cifră la divizor.

• În exemplul nostru, 0 × 12 \u003d 0, deci scrieți 0 sub 3.

Scădeți rezultatul înmulțirii din prima cifră a dividendului. Scrieți răspunsul pe o nouă linie.

• În exemplul nostru: 3 - 0 \u003d 3. Scrieți 3 direct sub 0.

Mutați în jos a doua cifră a dividendului. Pentru a face acest lucru, scrieți următoarea cifră a dividendului lângă rezultatul scăderii.

• În exemplul nostru, dividendul este 30. A doua cifră a dividendului este 0. Deplasați-l în jos scriind 0 lângă 3 (rezultatul scăderii). Veți obține numărul 30.

Împarte rezultatul la divizor. Veți găsi a doua cifră a coeficientului. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul de pe cea mai mică linie la divizor.

• În exemplul nostru, împărțiți 30 la 12.30 ÷ 12 \u003d 2 plus o parte din rest (deoarece 12 x 2 \u003d 24). Scrieți 2 după 0 sub divizor - aceasta este a doua cifră a coeficientului.
• Dacă nu puteți găsi o cifră adecvată, iterați peste cifre până când rezultatul înmulțirii oricărei cifre cu divizorul este mai mic și cel mai apropiat de numărul situat în ultima coloană. În exemplul nostru, considerați numărul 3. Înmulțiți-l cu divizorul: 12 x 3 \u003d 36. Deoarece 36 este mai mare decât 30, numărul 3 nu funcționează. Acum considerați numărul 2. 12 x 2 \u003d 24.24 este mai mic decât 30, deci numărul 2 este soluția corectă.

Repetați pașii de mai sus pentru a găsi următoarea cifră. Algoritmul descris este utilizat în orice problemă de diviziune lungă.

• Înmulțiți a doua cifră a coeficientului cu divizorul: 2 x 12 \u003d 24.
• Scrieți rezultatul înmulțirii (24) sub ultimul număr din coloana (30).
• Scădeți numărul mai mic din numărul mai mare. În exemplul nostru: 30 - 24 \u003d 6. Scrieți rezultatul (6) pe o nouă linie.

Dacă în dividend mai există cifre care pot fi mutate în jos, continuați procesul de calcul. În caz contrar, treceți la pasul următor.

• În exemplul nostru, ați tras în jos ultima cifră a dividendului (0). Așa că treceți la pasul următor.

Dacă este necesar, utilizați un punct zecimal pentru a extinde dividendul. Dacă dividendul este divizibil în mod egal cu divizorul, atunci pe ultima linie veți obține numărul 0. Aceasta înseamnă că problema este rezolvată, iar răspunsul (ca număr întreg) este scris sub divizor. Dar dacă chiar în partea de jos a coloanei există o altă cifră decât 0, este necesar să extindeți dividendul punând un punct zecimal și atribuind 0. Reamintim că acest lucru nu schimbă valoarea dividendului.

• În exemplul nostru, ultima linie conține numărul 6. Prin urmare, în dreapta lui 30 (dividend), scrieți punctul zecimal, apoi scrieți 0. De asemenea, puneți punctul zecimal după cifrele de coeficient găsite, pe care le scrieți sub divizor (nu scrieți nimic după această virgulă!) ...

Repetați pașii de mai sus pentru a găsi următoarea cifră. Principalul lucru este să nu uitați să puneți un punct zecimal atât după dividend, cât și după cifrele găsite ale coeficientului. Restul procesului este același ca mai sus.

• În exemplul nostru, mutați în jos 0 (pe care l-ați scris după punctul zecimal). Veți obține numărul 60. Acum împărțiți acel număr la divizor: 60 ÷ 12 \u003d 5. Scrieți 5 după 2 (și după punctul zecimal) sub factor. Aceasta este a treia cifră a coeficientului. Deci, răspunsul final este 2,5 (zero înainte de 2 este neglijabil).

În ultima lecție, am învățat cum să adunăm și să scădem fracții zecimale (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale”). În același timp, am apreciat cât de ușor calculele sunt comparate cu fracțiile obișnuite „pe două niveluri”.

Din păcate, acest efect nu are loc cu multiplicarea și împărțirea fracțiilor zecimale. În unele cazuri, notația zecimală a unui număr chiar complică aceste operații.

În primul rând, să introducem o nouă definiție. Ne vom întâlni cu el destul de des și nu numai în această lecție.

Partea semnificativă a unui număr este totul între prima și ultima cifră diferită de zero, inclusiv capetele. Vorbim doar despre cifre, punctul zecimal nu este luat în considerare.

Cifrele incluse în partea semnificativă a numărului se numesc cifre semnificative. Ele pot fi repetate sau chiar zero.

De exemplu, luați în considerare mai multe fracții zecimale și scrieți părțile semnificative corespunzătoare:

1. 91,25 → 9125 (cifre semnificative: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (cifre semnificative: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (cifre semnificative: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (cifre semnificative: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (există o singură cifră semnificativă: 3).

Rețineți: zerourile din partea semnificativă a numărului nu merg nicăieri. Am întâlnit deja ceva similar atunci când am învățat să convertim fracțiile zecimale în ordinare (vezi lecția „Fracții zecimale”).

Acest punct este atât de important, iar greșelile sunt făcute aici atât de des, încât voi publica un test pe această temă în viitorul apropiat. Asigurați-vă că practicați! Și noi, înarmați cu conceptul părții semnificative, procedăm, de fapt, la tema lecției.

Înmulțirea zecimală

Operația de multiplicare constă din trei pași consecutivi:

1. Scrieți partea semnificativă pentru fiecare fracție. Rezultatul va fi două numere întregi obișnuite - fără niciun numitor și puncte zecimale;
2. Înmulțiți aceste numere cu oricare într-un mod convenabil... Direct, dacă numerele sunt mici sau în coloane. Obținem partea semnificativă a fracției dorite;
3. Aflați unde și cu câte cifre se deplasează punctul zecimal din fracțiile originale pentru a obține partea semnificativă corespunzătoare. Efectuați schimbări inversate pentru partea semnificativă obținută în pasul anterior.

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că zerourile de pe laturile părții semnificative nu sunt niciodată numărate. Ignorarea acestei reguli duce la erori.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 * 1,08;
3. 132,5 * 0,0034;
4. 0,0108 * 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Lucrăm cu prima expresie: 0,28 12,5.

1. Să scriem părțile semnificative pentru numerele din această expresie: 28 și 125;
2. Produsul lor: 28 · 125 \u003d 3500;
3. În primul factor, punctul zecimal este deplasat cu 2 cifre la dreapta (0,28 → 28), iar în al doilea - cu încă 1 cifră. În total, aveți nevoie de o deplasare la stânga cu trei cifre: 3500 → 3.500 \u003d 3.5.

Acum să ne ocupăm de expresia 6.3 · 1.08.

1. Să scriem părțile semnificative: 63 și 108;
2. Produsul lor: 63 · 108 \u003d 6804;
3. Din nou, două schimbări spre dreapta: cu 2 și respectiv 1 cifră. În total - din nou 3 cifre la dreapta, deci schimbarea inversă va fi de 3 cifre la stânga: 6804 → 6.804. De această dată nu există zerouri finale.

Am ajuns la a treia expresie: 132,5 · 0,0034.

1. Părți semnificative: 1325 și 34;
2. Produsul lor: 1325 · 34 \u003d 45.050;
3. În prima fracție, punctul zecimal merge la dreapta cu 1 cifră, iar în a doua - cu întregul 4. Total: 5 la dreapta. Deplasați 5 spre stânga: 45.050 →, 45050 \u003d 0.4505. Zero a fost eliminat la sfârșit și adăugat în față, pentru a nu lăsa un punct zecimal „gol”.

Următoarea expresie este 0,0108 1600,5.

1. Scriem părțile semnificative: 108 și 16 005;
2. Le înmulțim: 108 16 005 \u003d 1 728 540;
3. Numărăm numerele după punctul zecimal: în primul număr sunt 4, în al doilea - 1. În total - din nou 5. Avem: 1 728 540 → 17.28540 \u003d 17.2854. La final, zero-ul „extra” a fost eliminat.

În cele din urmă, ultima expresie: 5.25 · 10.000.

1. Părți semnificative: 525 și 1;
2. Le înmulțim: 525 · 1 \u003d 525;
3. Prima fracție este deplasată cu 2 cifre la dreapta, iar a doua este deplasată cu 4 cifre la stânga (10.000 → 1.0000 \u003d 1). Total 4 - 2 \u003d 2 cifre la stânga. Efectuăm o deplasare inversă cu 2 cifre spre dreapta: 525, → 52.500 (a trebuit să adăugăm zerouri).

Rețineți ultimul exemplu: întrucât punctul zecimal se deplasează în direcții diferite, deplasarea totală se face prin diferență. Acesta este un punct foarte important! Iată un alt exemplu:

Luați în considerare numerele 1,5 și 12 500. Avem: 1,5 → 15 (deplasați cu 1 la dreapta); 12.500 → 125 (deplasați 2 spre stânga). „Pasim” 1 cifră spre dreapta, apoi 2 spre stânga. Ca rezultat, am făcut 2 - 1 \u003d 1 cifră spre stânga.

Împărțirea fracțiilor zecimale

Diviziunea este poate cea mai dificilă operațiune. Desigur, aici puteți acționa prin analogie cu multiplicarea: împărțiți părțile semnificative și apoi „mutați” punctul zecimal. Dar, în acest caz, există multe subtilități care anulează economiile potențiale.

Prin urmare, să luăm în considerare un algoritm universal care este puțin mai lung, dar mult mai fiabil:

1. Convertiți toate fracțiile zecimale în cele comune. Cu puțină practică, acest pas vă va duce la câteva secunde;
2. Împărțiți fracțiile rezultate în mod clasic. Cu alte cuvinte, înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată” (a se vedea lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor numerice”);
3. Dacă este posibil, prezentați din nou rezultatul ca o zecimală. Acest pas este, de asemenea, rapid, deoarece adesea numitorul este deja o putere de zece.

O sarcină. Găsiți semnificația expresiei:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Numărăm prima expresie. Mai întâi, să traducem fracțiile obi în zecimal:

Să facem același lucru cu a doua expresie. Numeratorul primei fracții este din nou factorizat:

Există un punct important în al treilea și al patrulea exemplu: după ce scăpați de notația zecimală, apar fracții anulabile. Cu toate acestea, nu vom implementa această reducere.

Ultimul exemplu este interesant deoarece numeratorul celei de-a doua fracții conține un număr prim. Pur și simplu nu este nimic de luat în considerare aici, așa că ne gândim înainte:

Uneori, ca rezultat al divizării, se obține un număr întreg (acesta este eu despre ultimul exemplu). În acest caz, al treilea pas nu se realizează deloc.

În plus, divizarea produce adesea fracții „urâte” care nu pot fi convertite în zecimal. Astfel diferă diviziunea de multiplicare, unde rezultatele sunt întotdeauna reprezentate în formă zecimală. Desigur, în acest caz, ultimul pas nu este din nou efectuat.

Rețineți și exemplele 3 și 4. În ele, în mod intenționat nu prescurtăm fracțiile obișnuite derivate din zecimale. Altfel se va complica problema inversă - reprezentarea răspunsului final din nou în formă zecimală.

Amintiți-vă: proprietatea de bază a unei fracții (ca orice altă regulă din matematică) în sine nu înseamnă că ar trebui aplicată peste tot și întotdeauna, cu orice ocazie.