Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile. Ecuații diferențiale separabile

Ecuații diferențiale obișnuite.

Rezolvarea diferitelor probleme geometrice, fizice și de inginerie duce adesea la ecuații care conectează variabilele independente care caracterizează o anumită problemă cu o anumită funcție a acestor variabile și derivate ale acestei funcții de diferite ordine.

Ca exemplu, putem considera cel mai simplu caz de mișcare uniform accelerată a unui punct material.

Se știe că deplasarea unui punct material în timpul mișcării uniform accelerate este o funcție a timpului și este exprimată prin formula:

La rândul său, accelerația A este derivată în timp t din viteza V, care este și derivata timpului t de la mutare S. Acestea.

Atunci obținem:
- ecuația leagă funcția f (t) cu variabila independentă t și derivata de ordinul doi a funcției f (t).

Definiție. Ecuație diferențială numită ecuația care leagă variabilele independente, funcțiile acestora și derivatele (sau diferențiale) acestei funcții.

Definiție. Dacă o ecuație diferențială are o variabilă independentă, atunci se numește ecuație diferențială obișnuită, dacă există două sau mai multe variabile independente, atunci se numește o astfel de ecuație diferențială ecuație cu diferență parțială.

Definiție. Se numește ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ecuație ordinea ecuației diferențiale.

Exemplu.

- ecuație diferențială ordinară de ordinul I. În general, este scris
.

- ecuație diferențială ordinară de ordinul 2. În general, este scris

- ecuație cu diferență parțială de ordinul întâi.

Definiție. Prin decizie generală ecuația diferențială este o funcție diferențiabilă y =  (x, C), care, atunci când este substituită în ecuația originală în loc de o funcție necunoscută, transformă ecuația într-o identitate.

Proprietăți generale ale soluției.

1) Pentru că constanta C este o mărime arbitrară, atunci, în general, ecuația diferențială are un set infinit de soluții.

2) Pentru orice condiții inițiale x = x 0, y (x 0) = y 0, există o valoare C = C 0 pentru care soluția ecuației diferențiale este funcția y =  (x, C 0).

Definiție. Se numește o soluție de forma y =  (x, C 0). prin decizie privată ecuație diferențială.

Definiție. Problema Cauchy(Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematician francez) este definiția oricărei soluții particulare a unei ecuații diferențiale de forma y =  (x, C 0), care îndeplinește condițiile inițiale y (x 0) = y 0.

teorema lui Cauchy. (teorema privind existența și unicitatea soluției unei ecuații diferențiale de ordinul întâi)

Dacă funcţiaf(X, y) este continuă în anumite regiuniDin avionXOYși are în această zonă o derivată parțială continuă
, atunci indiferent de punctul (x 0 , la 0 ) în zonaD, există o singură soluție
ecuații
definit într-un interval care conține punctul x 0 , luând la x = x 0 sens (X 0 ) = y 0 , adică există o soluție unică a ecuației diferențiale.

Definiție. Integral ecuația diferențială este orice ecuație care nu conține derivate, pentru care ecuația diferențială dată este o consecință.

Exemplu. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluția generală a ecuației diferențiale se caută prin integrarea părților stânga și dreaptă ale ecuației, care se transformă preliminar astfel:

Acum să integrăm:

este soluția generală a ecuației diferențiale inițiale.

Să presupunem că sunt date câteva condiții inițiale: x 0 = 1; y 0 = 2, atunci avem

Înlocuind valoarea obținută a constantei în soluția generală, obținem o soluție particulară pentru condițiile inițiale date (soluția problemei Cauchy).

Definiție. Curba integrală se numeşte graficul y =  (x) al soluţiei ecuaţiei diferenţiale pe planul XOY.

Definiție. O soluție specială a unei ecuații diferențiale este o soluție astfel încât în ​​toate punctele condiția de unicitate Cauchy (cf. teorema lui Cauchy.) nu este mulțumit, adică într-o vecinătate a unui punct (x, y) există cel puțin două curbe integrale.

Soluțiile speciale nu depind de constanta C.

Din soluția generală nu se pot obține soluții speciale pentru orice valoare a constantei C. Dacă construim o familie de curbe integrale ale unei ecuații diferențiale, atunci o soluție specială va fi reprezentată printr-o linie care în fiecare punct atinge cel puțin un curba integrala.

Rețineți că nu orice ecuație diferențială are soluții speciale.

Exemplu.
Găsiți o soluție specială dacă există.

Această ecuație diferențială are și o soluție specială la= 0. Această soluție nu poate fi obținută din cea generală, totuși, după înlocuirea în ecuația originală, obținem identitatea. Opinie că soluția y = 0 se poate obtine din solutia generala pt CU 1 = 0 greșit, pentru că C 1 = e C  0.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Definiție. Ecuație diferențială de ordinul întâi se numește relația care leagă funcția, derivata ei prima și variabila independentă, i.e. raportul formei:

Dacă acest raport este transformat în formă
atunci această ecuație diferențială de ordinul întâi va fi numită ecuație, permisă cu privire la derivată.

Reprezentăm funcția f (x, y) ca:
atunci, când este înlocuit în ecuația de mai sus, avem:

acesta este așa-numitul formă diferențială ecuații de ordinul întâi.

Ecuații de formăy ’ = f ( X ).

Fie definită funcția f (x) și continuă pe un anumit interval

A< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
... Dacă sunt date condițiile inițiale x 0 și y 0, atunci constanta C poate fi determinată.

Ecuații separabile

Definiție. Ecuație diferențială
numit ecuație separabilă dacă se poate scrie ca

.

O astfel de ecuație poate fi reprezentată și ca:

Să trecem la noua notație

Primim:

După găsirea integralelor corespunzătoare, se obține o soluție generală a ecuației diferențiale cu variabile separabile.

Dacă sunt date condițiile inițiale, atunci când sunt substituite în soluția generală, se găsește o valoare constantă C și, în consecință, o soluție particulară.

Exemplu. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale:

Integrala din stânga este luată bucată cu bucată (vezi. Integrare pe părți.):

aceasta este integrala generală a ecuației diferențiale originale, deoarece funcţia cerută şi nu este exprimată în termeni de variabilă independentă. Acesta este ce diferență general (privat) integrală din general (privat) solutii.

Pentru a verifica corectitudinea răspunsului primit, îl diferențiem prin variabila x.

- dreapta

Exemplu. Găsiți soluția ecuației diferențiale
în condiția y (2) = 1.

pentru y (2) = 1 obținem

Total:
sau
- solutie privata;

Examinare:
, total

- dreapta.

Exemplu. Rezolvați ecuația

- integrala generala

- decizie comună

Exemplu. Rezolvați ecuația

Exemplu. Rezolvați ecuația
cu condiția ca у (1) = 0.

Integrala din partea stângă va fi luată pe părți (vezi. Integrare pe părți.).

Dacă y (1) = 0, atunci

Total, integrala parțială:
.

Exemplu. Rezolvați ecuația.

Pentru a găsi integrala din partea stângă a ecuației, vezi Tabelul integralelor de bază. p.16. Obținem integrala generală:

Exemplu. Rezolvați ecuația

Transformăm ecuația dată:

A primit integrala generală a acestei ecuații diferențiale. Dacă exprimăm funcția necesară y din această relație, atunci obținem o soluție generală.

Exemplu. Rezolvați ecuația
.

;
;

Să presupunem că sunt date unele condiții inițiale x 0 și y 0. Atunci:

Primim o soluție privată

Ecuații omogene.

Definiție. Se numește funcția f (x, y). omogenn- a-a măsurătoareîn ceea ce privește argumentele sale x și y, dacă pentru orice valoare a parametrului t (cu excepția zero), identitatea este valabilă:

Exemplu. Este o funcție omogenă

Astfel, funcția f (x, y) este omogenă de ordinul 3.

Definiție. Ecuația diferențială a formei
numit omogen dacă partea sa dreaptă f (x, y) este o funcție omogenă de dimensiune zero în raport cu argumentele sale.

Orice ecuație de formă este omogenă dacă funcțiile P(X, y) și Q(X, y) - funcţii omogene de aceeaşi dimensiune.

Soluția oricărei ecuații omogene se bazează pe reducerea acestei ecuații la o ecuație cu variabile separabile.

Luați în considerare ecuația omogenă

pentru că funcția f (x, y) este o dimensiune zero omogenă, atunci putem scrie:

pentru că parametrul t este în general arbitrar, să presupunem că ... Primim:

Partea dreaptă a egalității obținute depinde de fapt de un singur argument
, adică

Ecuația diferențială inițială poate fi astfel scrisă ca:

astfel, am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru funcția necunoscută u.

Exemplu. Rezolvați ecuația
.

Introducem o funcție auxiliară u.

.

Rețineți că funcția pe care am introdus-o u este întotdeauna pozitiv, pentru că în caz contrar, ecuația diferențială originală care conține
.

Înlocuiți în ecuația inițială:

Separarea variabilelor:

Integrând, obținem:

Trecând de la funcția auxiliară înapoi la funcția y, obținem soluția generală:

Ecuații reduse la omogene.

Pe lângă ecuațiile descrise mai sus, există o clasă de ecuații care, folosind anumite substituții, pot fi reduse la unele omogene.

Acestea sunt ecuații de formă
.

Dacă determinantul
atunci variabilele pot fi delimitate prin substituire

unde  și  sunt soluții ale sistemului de ecuații

Exemplu. Rezolvați ecuația

Primim

Aflați valoarea determinantului
.

Rezolvăm sistemul de ecuații

Aplicam o substitutie ecuatiei initiale:

Înlocuiește variabila
când se substituie în expresia scrisă mai sus, avem:

Engleză: Wikipedia face site-ul mai sigur. Utilizați un browser web vechi care nu se va putea conecta la Wikipedia în viitor. Actualizați-vă dispozitivul sau contactați administratorul IT.

中文: 维基 百科 正 在 使用 旧 将来 无法 的 设备 在 请 更新 连接 的 设备 或 联络 您 的 长 管理员 或 您 更 长, 更 具 技术性 的 更新 (仅 英语）。

Español: Wikipedia face el sitio mai sigur. Utilizați un browser web care nu va fi capabil de a conecta Wikipedia în viitor. Actualice su dispozitiv sau contact a su administrator informático. Mai jos există o actualizare mai lungă și mai tehnică în engleză.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

franceză: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Utilizați în prezent un navigator web ancien, care ne pourra plus se connecter à Wikipédia atunci când va fi făcut. Vă rugăm să puneți aparatul dvs. sau să contactați administratorul informatic al acestui fin. Des informații suplimentare plus techniques et en anglais sunt disponibile ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の い を ます ご ご の ブラウザ は バージョン バージョン が でき 今後 今後 能 に 接続 でき なく なる 能 性 性 が あり ます ます デバイス を 更 する か か デバイス 管理 管理 する か か ください ください技術 面 面 詳しい 更更情報 は 以下 に 英語 で 提供 し て い ま す。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia va face mai mult pe site. Stai using un browser web che non will will in grado di connettersi a Wikipedia in viitor. Per favore, actualizați dispozitivul sau contactați administratorul informatic. Più in basso è disponibil un aggiornamento più dettagliato e tecnico în engleză.

maghiar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Înlăturăm suportul pentru versiunile de protocol TLS nesigure, în special TLSv1.0 și TLSv1.1, pe care software-ul browserului se bazează pentru a se conecta la site-urile noastre. Acest lucru este cauzat de obicei de browsere învechite sau de smartphone-uri Android mai vechi. Sau ar putea fi interferența din partea software-ului „Web Security” corporativ sau personal, care de fapt scade securitatea conexiunii.

Trebuie să vă actualizați browserul web sau să remediați în alt mod această problemă pentru a accesa site-urile noastre. Acest mesaj va rămâne până la 1 ianuarie 2020. După această dată, browserul dvs. nu va putea stabili o conexiune la serverele noastre.

Ecuația diferențială cu variabile separate se scrie astfel: (1). În această ecuație, un termen depinde doar de x, iar celălalt de y. Prin integrarea acestei ecuații termen cu termen, obținem:
Este integrala sa generală.

Exemplu: găsiți integrala generală a ecuației:
.

Rezolvare: Această ecuație este o ecuație diferențială variabilă separată. Asa de
sau
Notăm
... Atunci
- integrala generala a ecuatiei diferentiale.

Ecuația separabilă are forma (2). Ecuația (2) poate fi ușor redusă la ecuația (1) împărțind-o termen cu termen la
... Primim:

- integrala generala.

Exemplu: Rezolvați ecuația .

Rezolvare: transforma partea stângă a ecuației:. Împărțim ambele părți ale ecuației cu


Soluția este expresia:
acestea.

Ecuații diferențiale omogene. ecuațiile lui Bernoulli. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi.

O ecuație de formă se numește omogen, dacă
și
- funcţii omogene de acelaşi ordin (măsurători). Funcţie
se numește funcție omogenă de ordinul întâi (măsurare) dacă înmulțim fiecare dintre argumentele sale cu un factor arbitrar intreaga functie se inmulteste cu , adică
=
.

Ecuația omogenă poate fi redusă la forma
... Folosind substituția
(
) ecuația omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile față de noua funcție .

Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi liniar dacă se poate scrie ca
.

metoda Bernoulli

Soluția ecuației
se caută sub forma unui produs al altor două funcții, adică. folosind substituția
(
).

Exemplu: integrează ecuația
.

Noi credem
... Apoi, adică ... În primul rând, rezolvăm ecuația
=0:


.

Acum rezolvăm ecuația
acestea.


... Deci, soluția generală a acestei ecuații este
acestea.

Ecuația lui J. Bernoulli

O ecuație de formă, unde
numit ecuația lui Bernoulli. Această ecuație este rezolvată folosind metoda Bernoulli.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

O ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi este o ecuație de formă (1) , Unde și constant.

Căutăm soluții particulare ale ecuației (1) sub forma
, Unde La- un număr. Diferențierea acestei funcție de două ori și înlocuirea expresiilor pentru
în ecuația (1), obținem, adică sau
(2) (
).

Ecuația 2 se numește ecuația caracteristică a ecuației diferențiale.

La rezolvarea ecuației caracteristice (2), sunt posibile trei cazuri.

Cazul 1. Rădăcini și ecuațiile (2) sunt reale și diferite:

și

.

Cazul 2. Rădăcini și ecuațiile (2) sunt reale și egale:
... În acest caz, soluțiile particulare ale ecuației (1) sunt funcțiile
și
... În consecință, soluția generală a ecuației (1) are forma
.

Cazul 3. Rădăcini și ecuațiile (2) sunt complexe:
,
... În acest caz, soluțiile particulare ale ecuației (1) sunt funcțiile
și
... În consecință, soluția generală a ecuației (1) are forma

Exemplu. Rezolvați ecuația
.

Soluţie: Să compunem ecuația caracteristică:
... Atunci
... Soluția generală a acestei ecuații
.

Extremul unei funcții a mai multor variabile. Extremum condiționat.

Extremul unei funcții a mai multor variabile

Definiție.Punctul M (x O , la O ) se numeștepunct de maxim (minim) funcțiiz= f(X, y) dacă există o vecinătate a punctului M astfel încât pentru toate punctele (x, y) din această vecinătate inegalitatea
(
)

În fig. 1 punct A
- există un punct minim, și un punct V
- punct maxim.

Necesarcondiția extremum este un analog multidimensional al teoremei lui Fermat.

Teorema.Lasă punctul
- este punctul extremum al funcției diferențiabilez= f(X, y). Apoi derivatele parțiale
și
vacest punct este egal cu zero.

Punctele în care sunt îndeplinite condițiile necesare pentru extremul funcției z= f(X, y), acestea. derivate parțiale z" X și z" y egale cu zero, sunt numite critic sau staționar.

Egalitatea derivatelor parțiale la zero exprimă doar condiția necesară, dar insuficientă, pentru extremul unei funcții a mai multor variabile.

În fig. înfățișează așa-numitul punctul șaua M (x O , la O ). Derivate parțiale
și
sunt egale cu zero, dar, evident, nu există extremum la punctul respectiv M (x O , la O ) Nu.

Astfel de puncte de șa sunt analogi bidimensionali ai punctelor de inflexiune ale funcțiilor unei variabile. Provocarea este de a le separa de punctele extremum. Cu alte cuvinte, trebuie să știi suficient stare extrema.

Teoremă (o condiție suficientă pentru extremul unei funcții a două variabile).Lasă funcțiaz= f(X, y): A) definit într-o apropiere a punctului critic (x O , la O ), în care
= 0 și
=0 ;

b) are derivate parțiale continue de ordinul doi în acest punct
;

;
Atunci, dacă ∆ = AC- B 2 >0, apoi în punctul (x O , la O ) funcțiez= f(X, y) are un extremum, iar dacă A<0 - maxim dacă A> 0 - minim. În cazul lui ∆ = AC- B 2 <0, функция z= f(X, y) nu are extremum. Dacă ∆ = AC- B 2 = 0, atunci întrebarea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

Investigarea unei funcții a două variabile pentru un extremum urmatoarele recomandate sistem:

Găsiți derivate parțiale ale unei funcții z" X și z" y .

Rezolvarea sistemului de ecuații z" X =0, z" y =0 și găsiți punctele critice ale funcției.

Găsiți derivatele parțiale de ordinul doi, calculați valorile lor în fiecare punct critic și, folosind condiția suficientă, trageți o concluzie despre prezența extremelor.

Găsiți extremele (valorile extreme) ale funcției.

Exemplu. Găsiți extremele unei funcții

Soluţie. 1. Aflați derivatele parțiale

2. Punctele critice ale funcției se găsesc din sistemul de ecuații:

având patru soluții (1; 1), (1; -1), (-1; 1) și (-1; -1).

3. Aflați derivatele parțiale de ordinul doi:

;
;
, le calculăm valorile în fiecare punct critic și verificăm îndeplinirea condiției suficiente pentru un extrem în acesta.

De exemplu, la punctul (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; B = 0; C = -1. pentru că ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0 = 1> 0 și A = -1<0, atunci punctul (1; 1) este punctul maxim.

În mod similar, stabilim că (-1; -1) este un punct minim, iar la punctele (1; -1) și (-1; 1), la care ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Aflați extremele funcției z max = z (l; 1) = 2, z min = z (-l; -1) = -2,

Extremum condiționat. Metoda multiplicatorului Lagrange.

Luați în considerare o problemă specifică funcțiilor mai multor variabile, când extremul ei este căutat nu pe întregul domeniu de definiție, ci pe o mulțime care satisface o anumită condiție.

Fie funcția z = f(X, y), argumente Xși la care satisfac conditia g(X y)= CU, numit ecuația constrângerii.

Definiție.Punct
numit un punctmaxim condiționat (minimum), dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toate punctele (x, y) din această vecinătate să îndeplinească condițiag (X, y) = С, inegalitatea

(
).

În fig. se arată punctul maximului condiționat
. Evident, nu este un punct de extremum necondiționat al funcției z = f(X, y) (în figură, acesta este un punct
).

Cel mai simplu mod de a găsi extremul condiționat al unei funcții a două variabile este de a reduce problema la găsirea extremului unei funcții a unei variabile. Să presupunem că ecuația constrângerii g (X, y) = CU a reușit să rezolve relativ la una dintre variabile, de exemplu, expres la peste X:
. Înlocuind expresia rezultată într-o funcție de două variabile, obținem z = f(X, y) =
, acestea. funcţia unei variabile. Extremul său va fi extremul condiționat al funcției z = f(X, y).

Exemplu. X 2 + y 2 furnizate 3x + 2y = 11.

Soluţie. Să exprimăm din ecuația 3x + 2y = 11 variabila y în termenii variabilei x și înlocuim cea rezultată
în funcția z. Primim z= X 2 +2
sau z =
. Această funcție are un minim unic la = 3. Valoarea funcției corespunzătoare
Astfel, (3; 1) este un punct extremum (minim) condiționat.

În exemplul considerat, ecuația constrângerii g(X, y) = C s-a dovedit a fi liniar, deci a fost ușor de rezolvat cu privire la una dintre variabile. Cu toate acestea, în cazuri mai complexe, acest lucru nu se poate face.

Pentru a găsi extremul condiționat, în cazul general, se folosește Metoda multiplicatorului Lagrange.

Luați în considerare o funcție a trei variabile

Această caracteristică este numită funcția Lagrange, A - multiplicatorul Lagrange. Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema.Dacă punct
este punctul extremului condiționat al funcțieiz = f(X, y) prevăzuteg (X, y) = С, atunci există o valoare astfel încât punctul
este punctul extremum al funcțieiL{ X, y, ).

Astfel, pentru a găsi extremul condiționat al funcției z = f(X y) furnizate g(X, y) = C trebuie să găsești o soluție la sistem

În fig. se arată semnificaţia geometrică a condiţiilor Lagrange. Linia g(X y)= C întreruptă, linie de nivel g(X, y) = Q funcția z = f(X, y) solid.

Din fig. urmează că în punctul extremului condiționat, linia de nivel a funcției z = f(X, y) atinge liniag(X, y) = C.

Exemplu. Aflați punctele maxime și minime ale funcției z = X 2 + y 2 furnizate 3x + 2y = 11 folosind metoda multiplicatorului Lagrange.

Soluţie. Compunem funcția Lagrange L= x 2 + 2 ani 2 +

Echivalând derivatele sale parțiale cu zero, obținem sistemul de ecuații

Singura sa soluție (x = 3, y = 1, =-2). Astfel, doar punctul (3; 1) poate fi un punct extremum condiționat. Este ușor de verificat că în acest moment funcția z= f(X, y) are un minim condiționat.

Ecuatii diferentiale.

Concepte de bază ale ecuațiilor diferențiale obișnuite.

Definiția 1. Ecuație diferențială obișnuită n- Ordinea a doua a funcției y argument X este o relație de formă

Unde F - o funcție dată a argumentelor sale. În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că ele includ derivate (funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul „obișnuit” înseamnă că funcția necesară depinde de un singur argument valid.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină în mod explicit un argument X, funcția dorită și oricare dintre derivatele sale, dar derivata cea mai mare trebuie să intre în ecuație n- comanda. de exemplu

a) - ecuație de ordinul întâi;

b) - ecuația de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația derivatelor prin diferențiale:

v) - ecuația de ordinul doi;

d) este o ecuație de ordinul întâi,

generator după împărțirea la dx forma echivalenta de stabilire a ecuatiei:.

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, devine o identitate.

De exemplu, ecuația de ordinul 3

Are o solutie .

Găsirea printr-o metodă sau alta, de exemplu, prin selecție, a unei funcții care satisface ecuația nu înseamnă rezolvarea acesteia. A rezolva o ecuație diferențială obișnuită înseamnă a găsi toate funcții care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.1), o familie de astfel de funcții se formează folosind constante arbitrare și se numește soluția generală a ecuației diferențiale obișnuite n de ordinul --lea, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: soluția generală poate sau nu poate fi rezolvată explicit cu privire la y (x): În acest caz, soluția se numește de obicei integrala generală a ecuației (1.1).

De exemplu, soluția generală a ecuației diferențiale este următoarea expresie:, iar al doilea termen poate fi scris și cum, deoarece o constantă arbitrară împărțită la 2 poate fi înlocuită cu o nouă constantă arbitrară.

Prin atribuirea unor valori admisibile tuturor constantelor arbitrare din soluția generală sau din integrala generală, obținem o funcție definită care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește soluție parțială sau integrală parțială a ecuației (1.1). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, o anumită soluție, sunt utilizate diferite condiții suplimentare pentru ecuația (1.1). De exemplu, așa-numitele condiții inițiale pentru (1.2) pot fi specificate

În partea dreaptă a condițiilor inițiale (1.2), sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor, în plus, numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare determinate.

Problema găsirii unei anumite soluții a ecuației (1.1) din condițiile inițiale se numește problema Cauchy.

§ 2. Ecuaţii diferenţiale obişnuite de ordinul I - concepte de bază.

Ecuație diferențială obișnuită de ordinul I ( n= 1) are forma: sau, dacă se poate rezolva în raport cu derivata:. Decizie comună y = y (x, С) sau integrala generală a ecuației de ordinul I conține o constantă arbitrară. Singura condiție inițială pentru ecuația de ordinul întâi vă permite să determinați valoarea constantei din soluția generală sau din integrala generală. Astfel, se va găsi o soluție anume sau, care este și problema Cauchy, se va rezolva. Întrebarea existenței și unicității soluției problemei Cauchy este una dintre cele centrale în teoria generală a ecuațiilor diferențiale ordinare. Pentru o ecuație de ordinul întâi, în special, este valabilă teorema, care este acceptată aici fără dovezi.

Teorema 2.1. Dacă în ecuație funcția și derivata ei parțială sunt continue într-o regiune D avion XOY , iar un punct este dat în această regiune, atunci există și, în plus, o soluție unică care satisface atât ecuația, cât și condiția inițială.

Soluția generală geometrică a ecuației de ordinul întâi este o familie de curbe în plan XOY care nu au puncte comune și diferă între ele într-un singur parametru - valoarea constantei C... Aceste curbe sunt numite curbe integrale pentru o ecuație dată. Curbele integrale ale ecuației au o proprietate geometrică evidentă: în fiecare punct, tangenta unghiului de înclinare a tangentei la curbă este egală cu valoarea laturii drepte a ecuației în acest punct:. Cu alte cuvinte, ecuația este definită în plan XOY câmpul direcțiilor tangentelor la curbele integrale. Cometariu: Trebuie remarcat faptul că ecuația sunt date ecuația și așa-numita ecuație în formă simetrică .

Ecuații diferențiale de ordinul I cu variabile separabile.

Definiție. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de formă (3.1)

sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație cu variabile separate, efectuați următoarele acțiuni:

;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g (y) = 0... Daca are o solutie reala y = a, atunci y = a va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație cu variabile separate prin împărțirea cu produsul:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2): . (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate cu soluții dacă astfel de soluții există.

Rezolvați ecuația:.

Separarea variabilelor:

.

Integrarea, obținem

Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale care pot fi reduse la ecuații cu variabile separabile. Este dat un exemplu de soluție detaliată a unei ecuații diferențiale, care este redusă la o ecuație cu variabile separabile.

Formularea problemei

Luați în considerare ecuația diferențială
(i) ,
unde f este o funcție, a, b, c sunt constante, b ≠ 0 .
Această ecuație se reduce la o ecuație cu variabile separabile.

Metoda de rezolvare

Facem înlocuirea:
u = ax + by + c
Aici y este o funcție a variabilei x. Prin urmare, u este și o funcție a variabilei x.
Diferențierea față de x
u′ = (ax + by + c) ′ = a + by ′
Substitui (i)
u ′ = a + prin ′ = a + b f (ax + prin + c) = a + b f (u)
Sau:
(ii)
Separarea variabilelor. Înmulțiți cu dx și împărțiți cu a + b f (u)... Dacă a + b f (u) ≠ 0, atunci

Integrând, obținem integrala generală a ecuației inițiale (i)în cuadraturi:
(iii) .

În concluzie, luați în considerare cazul
(iv) a + b f (u) = 0.
Să presupunem că această ecuație are n rădăcini u = r i, a + b f (r i) = 0, i = 1, 2, ... n... Deoarece funcția u = r i este constantă, derivata ei față de x este egală cu zero. Prin urmare, u = r i este o soluție a ecuației (ii).
Cu toate acestea, ecuația (ii) nu se potrivește cu ecuația inițială (i)și, eventual, nu toate soluțiile u = r i exprimate în termenii variabilelor x și y satisfac ecuația inițială (i).

Astfel, soluția ecuației inițiale este integrala generală (iii)și unele rădăcini ale ecuației (iv).

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale care se reduce la o ecuație cu variabile separabile

Rezolvați ecuația
(1)

Facem înlocuirea:
u = x - y
Diferențierea față de x și efectuarea transformărilor:
;

Înmulțiți cu dx și împărțiți cu u 2 .

Dacă u ≠ 0, atunci obținem:

Integram:

Aplicam formula din tabelul de integrale:

Calculăm integrala

Atunci
;
, sau

Decizie comună:
.

Acum luați în considerare cazul u = 0 , sau u = x - y = 0 , sau
y = x.
Deoarece y ′ = (x) ′ = 1, atunci y = x este o soluție a ecuației inițiale (1) .

;
.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.