Cum se calculează zona triunghiului versatil. Cum să găsiți o zonă de triunghi

După cum vă puteți aminti din programul Școlii de Geometrie, triunghiul este o figură formată din trei segmente care sunt combinate cu trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă. Triunghiul formează trei unghi, prin urmare numele figurii. Definiția poate fi diferită. Triunghiul poate fi, de asemenea, numit un poligon cu trei unghiuri, răspunsul va fi, de asemenea, adevărat. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de partide egale și de amploarea colțurilor în figuri. Acesta este modul în care astfel de triunghiuri se disting ca un echilibru, echilateral și versatil, precum și dreptunghiular, acut și stupid, respectiv.

Formula pentru calcularea zonei triunghiului este foarte mult. Alegeți cum să găsiți o zonă de triunghi, adică Ce formulă de utilizat, numai pentru dvs. Dar merită observat doar câteva simboluri care sunt utilizate în multe formule pentru calcularea zonei triunghiului. Așa că amintiți-vă:

S este zona triunghiului,

a, B, C este laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului descris,

p este o jumătate de metru.

Iată principalele denumiri pe care le puteți veni la îndemână dacă ați uitat complet cursul geometriei. Mai jos vor fi opțiunile cele mai ușor de înțeles și nu mai dificil pentru calcularea zonei necunoscute și misterioase a triunghiului. Nu este dificil și vin la îndemână atât în \u200b\u200bnevoile interne, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculam zona triunghiului este mai ușoară decât simplă:

În cazul nostru, zona triunghiului este: S \u003d ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. \u003d 2,75 mp M. Amintiți-vă că zona este măsurată în centimetri pătrați (mp).

Triunghi dreptunghiular și zona sa.

Triunghiul dreptunghiular este un triunghi care are un unghi egal cu 90 de grade (deoarece se numește direct). Unghiul drept formează două linii perpendiculare (în cazul unui triunghi - două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghiular, un unghi drept poate fi doar unul, pentru că Suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Se pare că 2 un alt unghi ar trebui să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45, etc. Deci, ți-am amintit cea principală, rămâne să înveți cum să găsești zona unui triunghi dreptunghiular. Imaginați-vă că avem un astfel de triunghi dreptunghiular și trebuie să găsim pătratul S.

1. Cea mai ușoară modalitate de a determina zona triunghiului dreptunghiular se calculează prin următoarea formulă:

În cazul nostru, zona triunghiului dreptunghiular este: S \u003d 2,5 cm. * 3 cm. / 2 \u003d 3,75 mp cm

În principiu, nu mai este nevoie să se reconcilieze zona triunghiului în alte moduri, deoarece În viața de zi cu zi va veni la îndemână și va ajuta numai acest lucru. Dar există opțiuni pentru măsurarea zonei triunghiului prin colțuri ascuțite.

2. Pentru alte modalități de calculare, trebuie să aveți o masă de cosinie, sinusuri și tangente. Judecăți-vă, aceste opțiuni pentru calcularea zonei triunghiului dreptunghiular pot fi utilizate în continuare:

Am decis să profităm de prima formulă și cu bloturi mici (Drew în notebook și am folosit o linie veche și transport), dar am avut un calcul credincios:

S \u003d (2,5 * 2.5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Am atins astfel de rezultate 3.6 \u003d 3.7, dar luând în considerare schimbarea celulelor, această nuanță poate fi iertată.

Egal triunghi și zona sa.

Dacă aveți o sarcină de a calcula formula unui triunghi de echilibru, este mai ușor să utilizați principalul și cum este considerat o zonă triunghi clasică.

Dar pentru început, înainte de a găsi zona unui triunghi echipabil, aflăm ce fel de figură este aceasta. Un triunghi egal tranzacționat este numit triunghi, în care două părți au aceeași lungime. Aceste două părți sunt numite parte, partea terță este numită bază. Nu confunda un triunghi crescut cu echilateral, adică Triunghiul corect, în care toate cele trei laturi sunt egale. Într-un astfel de triunghi nu există tendințe speciale în colțuri, mai precis la amploarea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi echilibrat sunt egale, dar diferă de unghiul dintre partidele egale. Deci, prima și formula principală pe care o cunoașteți deja, rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea zonei unui triunghi echipabil sunt cunoscute:

Triunghiul este una dintre cele mai frecvente figuri geometrice cu care ne cunoaștem deja școală primară. Cu întrebarea despre cum să găsiți o zonă de triunghi, fiecare școală se confruntă în lecțiile de geometrie. Deci, ce caracteristici ale acestei figuri pot fi alocate? În acest articol, vom lua în considerare formulele de bază necesare pentru a îndeplini o astfel de sarcină și vom examina, de asemenea, tipurile de triunghiuri.

Tipuri de triunghiuri

Găsiți o zonă de triunghi poate absolut absolut căi diferiteDeoarece în geometrie nu există nici un fel de cifre care conțin trei unghiuri. Astfel de specii includ:

• Prost.
• Echipamente (corecte).
• Triunghi dreptunghic.
• Isoscel.

Luați în considerare fiecare dintre tipurile de triunghiuri existente.

O astfel de figură geometrică este considerată cea mai frecventă la rezolvarea sarcinilor geometrice. Când devine necesar să trageți un triunghi arbitrar, această opțiune vine la salvare.

În triunghiul acut, la fel de clar de titlu, toate unghiurile sunt ascuțite și în total la 180 °.

Un astfel de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este oarecum mai puțin frecvent. De exemplu, atunci când se rezolvă triunghiuri (adică, mai multe dintre laturile și colțurile sale sunt cunoscute și trebuie să găsiți elementele rămase) uneori trebuie să determinați dacă unghiul este blunt sau nu. Cosinus este un număr negativ.

Valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90 °, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15 ° sau la toate cele 3 °).

Pentru a găsi o zonă de triunghi acest tip, trebuie să știți câteva nuanțe pe care le vom vorbi în continuare.

Corect și egal triunghiuri

Poligonul corect este o figură, care include unghiuri n, în care toate laturile și colțurile sunt egale. Deci, este triunghiul drept. Deoarece suma tuturor colțurilor triunghiului este de 180 °, fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60 °.

Triunghiul corect, datorat proprietății sale, se numește și figura echilaterală.

De asemenea, merită remarcat faptul că în triunghiul drept puteți introduce doar un cerc și despre el poate fi descris numai de un cerc, iar centrele lor sunt situate la un moment dat.

În plus față de tipul echilateral, este posibilă evidențiarea unui triunghi anosositiv, este puțin diferit de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale unul cu celălalt, iar partea a treia (la care unghiurile egale sunt adiacente) este baza.

Figura prezintă un triunghi echipabil Def, unghiurile D și F ale căror egale și DF este baza.

Triunghi dreptunghic

Triunghiul dreptunghiular este numit deoarece unul dintre colțurile sale sunt drepte, care este egal cu 90 °. Altele două unghiuri în cantitate sunt de 90 °.

Cea mai mare parte a unui astfel de triunghi, situată împotriva unui unghi de 90 °, este hipotenuse, restul celor două partide sunt Katenets. Pentru acest tip de triunghiuri, teorema Pythagora este aplicabilă:

Suma pătratelor de lungime a transportului este egală cu pătratul lungimii hipotenusei.

Figura prezintă un triunghi dreptunghiular BAC cu AC Hypothenuisa și AB și BC Cate.

Pentru a găsi zona triunghiului cu un unghi direct, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.

Să ne întoarcem la formulele de găsire a zonei acestei figuri.

Formule de bază Square.

În geometrie, se pot distinge două formule, care sunt potrivite pentru găsirea zonei majorității triunghiurilor, și anume, pentru triunghiuri acute, stupide, corecte și egale. Să ne întrebăm fiecare dintre ele.

Lateral și înălțime

Această formulă este universală pentru a găsi zona luată în considerare a formelor. Pentru aceasta, este suficient să cunoașteți lungimea laterală și lungimea înălțimii cheltuite pe ea. Formula însăși (jumătate din produsul de bază este înălțime) este după cum urmează:

unde A este partea laterală a acestui triunghi, iar H este înălțimea triunghiului.

De exemplu, pentru a găsi zona triunghiului acut ACB, trebuie să vă multiplicați partea AB la înălțimea CD-ului și împărțiți valoarea rezultată la două.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți zona triunghiului în acest fel. De exemplu, pentru a profita de această formulă pentru un triunghi stupid, este necesar să se continue una dintre laturile sale și numai după aceea deține înălțimea.

În practică, această formulă este aplicată mai des decât restul.

Pe două părți și colțuri

Această formulă, precum și cea anterioară potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și în sensul său este o consecință a formulării pentru găsirea zonei de pe partea și înălțimea triunghiului. Aceasta este, formula luată în considerare poate fi ușor eliminată de la cea anterioară. Formularea sa arată așa:

S \u003d ½ * Sino * A * B,

În cazul în care A și B sunt părțile triunghiului și O este unghiul dintre părți la A și B.

Amintiți-vă că unghiul sinusal poate fi văzut într-o masă specială, numită după matematica sovietică remarcabilă V. M. Braradis.

Și acum ne întoarcem la alte formule potrivite numai pentru tipuri excepționale de triunghiuri.

Pătrat de triunghi dreptunghiular

În plus față de formula universală, care include necesitatea de a petrece înălțimea într-un triunghi, o zonă de triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită pe obiceiurile sale.

Astfel, zona triunghiului care conține un unghi drept este jumătate din munca catetelor sale sau:

unde A și B - pisicile triunghiului dreptunghiular.

Triunghi dreptunghic

Acest tip de cifre geometrice diferă de faptul că zona sa poate fi găsită la valoarea specificată a unei părți a acesteia (deoarece toate laturile triunghiului drept sunt egale). Deci, după ce sa întâlnit cu sarcina de a "găsi o zonă triunghi, atunci când partidele sunt egale, trebuie să profitați de următoarea formulă:

S \u003d A 2 * √3 / 4,

unde A este partea triunghiului echilateral.

Formula Gerona.

Ultima opțiune pentru găsirea zonei triunghiului este formula lui Geron. Pentru a profita de ea, trebuie să cunoașteți lungimea celor trei laturi ale figurii. Formula lui Gerona arată astfel:

S \u003d √p · (p - a) · (p - b) · (P - c),

unde A, B și C este părțile laterale ale acestui triunghi.

Uneori, în sarcină este dată: "Zona triunghiului drept este de a găsi lungimea părții lui". În acest caz, trebuie să profitați de formula deja cunoscută în zona triunghiului drept și derivă din ea valoarea laterală (sau pătratul său):

A 2 \u003d 4S / √3.

Sarcini de examinare

În sarcinile GIA în matematică există multe formule. În plus, este adesea necesar să găsiți zona triunghiului pe hârtia tabără.

În acest caz, este cel mai convenabil să cheltuiți înălțimea într-o parte a figurii, pentru a determina lungimea sa în celule și pentru a profita de formula universală pentru găsirea zonei:

Deci, după studierea formulelor prezentate în articol, nu veți avea probleme atunci când găsiți zona triunghiului de orice fel.

Conceptul de Piață

Conceptul unei zone de orice formă geometrică, în special un triunghi, va fi asociat cu o astfel de figură ca un pătrat. Pentru o unitate a zonei oricărei forme geometrice, vom lua pătratul pătratului, al cărui parte este egal cu unul. Pentru completitudine, amintiți-vă cele două proprietăți principale pentru conceptul de forme geometrice.

Proprietate 1:Dacă formele geometrice sunt egale, atunci valorile zonelor lor sunt, de asemenea, egale.

Proprietatea 2: Orice cifră poate fi ruptă în mai multe cifre. În plus, zona figurii originale este egală cu suma valorilor zonelor tuturor componentelor cifrelor sale.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 1.

Evident, o parte a triunghiului este o diagonală a unui dreptunghi, în care o parte are o lungime de 5 $ $ (ca celule de $ 5 $), iar al doilea $ 6 $ (ca celule de $ 6 $). În consecință, zona acestui triunghi va fi egală cu jumătate din acest dreptunghi. Zona dreptunghiului este egală

Apoi zona triunghiului este egală

Răspuns: $ 15 $.

Apoi, luăm în considerare câteva metode de găsire a zonelor de triunghiuri, și anume, cu ajutorul înălțimii și bazei, folosind formula geronală și zona triunghiului echilaterală.

Cum să găsiți o zonă de triunghi prin înălțime și bază

Teorema 1.

Zona triunghiului poate fi găsită ca jumătate din lucrarea laterală a laterală, la înălțimea desfășurată în această parte.

Din punct de vedere matematic, se pare așa

$ S \u003d \\ frac (1) (2) αh $

În cazul în care $ A $ este lungimea laterală, $ h $ este o înălțime petrecută pe ea.

Dovezi.

Luați în considerare un triunghi $ ABC $, în care $ AC \u003d α $. Această parte a fost efectuată o înălțime de $ BH $, care este egală cu $ H $. Aruncați-o în pătratul AxyC $ ca în figura 2.

Zona de dreptunghi $ Axbh $ este $ H \\ CDOT Ah $, iar $ Hbyc $ dreptunghi este $ H \\ CDOT HC $. Atunci

$ S_abh \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot ah $, $ s_cbh \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot hc $

În consecință, zona de triunghi dorită, conform proprietății 2, este egală

$ S \u003d s_abh + s_cbh \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot ah + \\ frac (1) (2) h \\ cdot hc \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot (AH + HC) \u003d \\ Frac (1) (2) αh $

Teorema este dovedită.

Exemplul 2.

Găsiți o zonă de triunghi în figura de mai jos dacă celula are o zonă egală cu una

Baza acestui triunghi este egală cu 9 $ $ (3 $ este de 9 $ celule $). Înălțimea este egală și de 9 $. Apoi, prin teorema 1, ajungem

$ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 9 \\ cdot 9 \u003d 40,5 USD

Răspuns: $ 40.5 $.

Formula Gerona.

Teorema 2.

Dacă ni se oferă trei laturi ale unui triunghi $ α $, $ β și $ γ $, atunci zona sa poate fi găsită după cum urmează

$ S \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

aici $ ρ $ înseamnă semi-metrul acestui triunghi.

Dovezi.

Luați în considerare următorul desen:

Potrivit lui Pythagore, Theorem ABH $ triunghi

De la triunghi $ CBH $, conform teoremei Pythagora, avem

$ H ^ 2 \u003d α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ H ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

Dintre aceste două rapoarte, primim egalitate

$ γ ^ 2-x ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ X \u003d \\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2p) $

$ H ^ 2 \u003d γ ^ 2 - (γ γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2p)) ^ 2 $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac ((α ^ 2- (γ-p) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2) (4β ^ 2) $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac ((α-γ + β) (α + β-α) (γ + β + α)) (4p ^ 2) $

Deoarece $ ρ \u003d \\ frac (α + β + γ) (2) $, apoi $ α + β + γ \u003d 2ρ $, înseamnă

$ H ^ 2 \u003d \\ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2p) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ H ^ 2 \u003d \\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ H \u003d \\ sqrt (\\ frac (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ H \u003d \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Prin teorema 1, ajungem

$ S \u003d \\ frac (1) (2) βH \u003d \\ frac (β) (2) \\ cdot \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

De la vertexul opus) și împărțiți produsul rezultat la două. În forma acestui lucru, se pare că:

S \u003d ½ * A * H,

unde:
S - Piața triunghiului,
a - lungimea părții sale
h este înălțimea, coborâtă pe această parte.

Lungimea părților și înălțimea trebuie prezentată în aceleași unități de măsurare. În același timp, zona triunghiului va reuși în unitățile corespunzătoare "".

Exemplu.
Pe una dintre părțile laterale ale triunghiului versatil, lungimea de 20 cm, perpendiculară de la vârful opus este de 10 cm lungime.
Este necesară o zonă de triunghi.
Decizie.
S \u003d ½ * 20 * 10 \u003d 100 (cm²).

Dacă lungimea a două părți ale triunghiului versatil și unghiul dintre ele sunt cunoscute, utilizați formula:

S \u003d ½ * A * B * SINγ

unde: a, b - lungimea a două părți arbitrare și γ - colțul dintre ele.

În practică, de exemplu, la măsurarea terenurilor, utilizarea formulelor de mai sus este uneori dificilă, deoarece necesită construcții suplimentare și măsurători ale unghiurilor.

Dacă știți lungimea tuturor celor trei laturi ale triunghiului versatil, utilizați formula Gerona:

S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, B, C - lungimea laterală a triunghiului,
p este o jumătate de metru: p \u003d (a + b + c) / 2.

Dacă, în plus față de lungimile tuturor laturilor, raza inscripționată în triunghiul cercului este cunoscută, apoi utilizați următoarea formulă compactă:

unde: R este o rază a cercului inscripționat (P-jumătate de metru).

Pentru a calcula zona triunghiului versatil al cercului descris și lungimea laturilor sale, utilizați formula:

unde: R este raza cercului descris.

Dacă este cunoscută lungimea uneia dintre părțile laterale ale triunghiului și trei unghiuri (în principiu, există suficiente două - cantitatea de a treia este calculată din egalitatea sumei celor trei colțuri ale triunghiului - 180º), atunci Utilizați formula:

S \u003d (A² * Sinp * Sinγ) / 2sinα,

unde α este valoarea laterală opusă a a unghiului;
β, γ - valorile celor două colțuri ale triunghiului.

Nevoia de a găsi diferite elemente, inclusiv zona triunghi, a apărut în multe secole înainte de epoca noastră de la oamenii de știință de astronomii din Grecia antică. Zonă triunghi Acesta poate fi calculat în diferite moduri folosind diferite formule. Metoda de calcul depinde de elementele triunghi Cunoscut.

Instrucțiuni

Dacă știm valorile celor două părți b, c și unghiul lor format?, Atunci zona triunghi ABC este pe formula:
S \u003d (BCSIN?) / 2.

Dacă știm valorile celor două părți a, B și unghiul care nu este format de ei?, Atunci zona triunghi ABC este după cum urmează:
Găsește un unghi?, Păcat? \u003d Bsin? / A, atunci tabelul este determinat de unghiul însuși.
Găsește un unghi? \u003d 180 ° -?.
Găsiți S \u003d (Absin?) / 2 însuși în sine.

Dacă știm valorile a doar trei laturi din această condiție triunghi A, B și C, apoi zona triunghi ABC este pe formula:
S \u003d V (P (p-a) (p-b) (p-c)), în care P este o versiune cu jumătate de versiune p \u003d (A + B + C) / 2

Dacă știm înălțimea din punct de vedere al problemei triunghi h și partea la care această înălțime este omisă, atunci zona triunghi ABC conform formulei:
S \u003d AH (A) / 2 \u003d BH (B) / 2 \u003d CH (C) / 2.

Dacă știm sensul părților triunghi A, B, C și raza descrise lângă acest lucru triunghi R, apoi zona de acest lucru triunghi ABC este determinat prin formula:
S \u003d abc / 4r.
Dacă există trei laturi ale A, B, C și raza inscripționată, atunci zona triunghi ABC este pe formula:
S \u003d PR, unde P este o jumătate de metru, p \u003d (A + B + C) / 2.

Dacă ABC este echilateral, zona este localizată cu formula:
S \u003d (a ^ 2v3) / 4.
Dacă triunghiul ABC este precedat, atunci zona este determinată prin formula:
S \u003d (CV (4A ^ 2 - C ^ 2)) / 4, unde C - triunghi.
Dacă triunghiul ABC este dreptunghiular, atunci zona este determinată prin formula:
S \u003d AB / 2, unde a și b - karteții triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un primar dreptunghiular, atunci zona este determinată prin formula:
S \u003d C ^ 2/4 \u003d A ^ 2/2, unde C este hipotenuse triunghi, A \u003d b - cattat.

Video pe subiect

Surse:

• cum să măsurați zona triunghiului

Sfat 3: Cum să găsiți o zonă de triunghi dacă este cunoscut unghiul

Cunoașterea unui singur parametru (magnitudinea unghiului) nu este suficientă pentru a găsi zona trei. golnik. . Dacă există dimensiuni suplimentare, este posibil să alegeți una dintre formulele pentru a determina zona în care valoarea unghiului este utilizată ca una dintre variabilele cunoscute. Câteva astfel de formule utilizate cel mai adesea sunt date mai jos.

Instrucțiuni

Dacă, pe lângă magnitudinea unghiului (γ) formată de cele două părți trei. golnik. , sunt cunoscute și lungimile acestor părți (A și B), atunci zonă (S) Cifrele pot fi determinate ca jumătate din lungimile produsului lateral pe sinusul acestui unghi cunoscut: S \u003d ½ × A × B × Sin (γ).

Zona de triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt date Formulele care găsesc o zonă a unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea zonei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile sale. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, sunt date explicațiile aplicației sau justificării corectitudinii acestora. De asemenea, într-o figură separată, este indicată conformitatea cu denumirile de litere în formulele și denumirile grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale (un echilibru, dreptunghiular, echilateral), pot fi utilizate formulele de mai jos, precum și suplimentar special, corect numai pentru triunghiuri cu proprietăți de date, formule:

• "Formule ale unui triunghi echilateral"

Formulele pătrate triunghiulare

Explicarea formulelor:
A, B, C - lungimea laterală a triunghiului, zona pe care vrem să o găsim
R. - Raza inscripționată în triunghiul cercului
R. - raza circumferinței descrisă în jurul triunghiului
H. - înălțimea triunghiului, coborâtă în lateral
P. - triunghi de jumătate de măsurare, 1/2 cantitate de laturi (perimetru)
α - unghi, opus lateral un triunghi
β - unghi, partea opusă a unui triunghi
γ - unghi, partea opusă a unui triunghi
H. a., h. b. , h. c. - înălțimea triunghiului, coborâtă în lateral A, B, C

Rețineți că denumirile de mai sus corespund figurii, care este situată mai sus, astfel încât atunci când se rezolvă o sarcină de geometrie reală, a fost mai ușor să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite cu formula.

• Zona triunghiului este egală jumătate din lucrarea înălțimii triunghiului de pe partea laterală a părții la care această înălțime este omisă (Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea, coborâtă pe bază, sparge un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă vă completați fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiuni B și H, atunci, evident, zona acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din zona dreptunghiului (SPR \u003d BH)
• Zona triunghiului este egală jumătate din munca a două laturi ale sinusului de colț între ele (Formula 2) (a se vedea un exemplu de rezolvare a unei probleme utilizând această formulă de mai jos). În ciuda faptului că se pare că este deosebit de cea precedentă, poate fi ușor transformată în ea. Dacă este din unghiul B pentru a reduce înălțimea în lateral B, se pare că lucrarea laterală a pe sinusul unghiului γ cu proprietățile sinusului în triunghiul dreptunghiular a petrecut în mod egal înălțimea triunghiului , care ne va da formula anterioară
• Suprafața unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin compoziţiejumătate din raza inscripționată în circumferința IT în suma lungimilor tuturor părților sale (Formula 3), pur și simplu pusă, trebuie să multiplicați semipimentarea triunghiului la raza cercului inscripționat (amintiți-vă mai ușor)
• Zona unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale cu 4 raze descrise în jurul circumferinței IT (Formula 4)
• Formula 5 este distrugerea zonei triunghiului prin lungimile partidelor sale și jumătate de versiune (jumătate din valoarea tuturor partidelor sale)
• Formula Gerona. (6) este prezentarea aceleiași formule fără utilizarea conceptului de jumătate de măsură, numai prin lungimile părților
• Zona unui triunghi arbitrar este egală cu produsul părții sterline al triunghiului pe sinele unghiurilor colțului adiacent față de unghiul unghiular (Formula 7)
• Zona unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca un produs al a două pătrate descrise în jurul circumferinței sale asupra sinelui fiecăruia dintre colțurile sale. (Formula 8)
• În cazul în care lungimea unei părți și magnitudinea a două unghiuri adiacente este cunoscută, zona triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei părți împărțit la cantitatea dublă a catangentilor din aceste unghiuri (Formula 9)
• Dacă este cunoscută numai lungimea fiecărei înălțimi ale triunghiului (Formula 10), atunci zona unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, ca în conformitate cu formula geronală
• Formula 11 vă permite să calculați zona triunghiului de-a lungul coordonatelor vârfurilor salecare sunt specificate sub formă de valori (x; y) pentru fiecare dintre vârfuri. Rețineți că valoarea rezultată trebuie luată de modul, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar toate) pot fi în domeniul valorilor negative.

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi pătratul triunghiului. Dacă trebuie să rezolvați sarcina de geometrie, asemănătoare cu care nu este - scrieți despre el în forum. În deciziile în loc de un simbol " rădăcină pătratăFuncția "SQRT () poate fi utilizată, în care SQRT este un simbol rădăcină pătrat, iar expresia placată este indicată în paranteze. Uneori simbolul poate fi folosit pentru expresii simple de hrănire. √

O sarcină. Găsiți zona pe două părți și colțul dintre ele

Partea laterală a triunghiului sunt egale cu 5 și 6 cm. Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți zona triunghiului.

Decizie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Zona triunghiului poate fi găsită prin lungimile ambelor părți și sinusul unghiului dintre ele și va fi egal cu
S \u003d 1/2 AB SIN γ

Deoarece toate datele necesare pentru rezolvarea (conform formulei) avem, trebuie doar să înlocuim valorile din starea problemei în formula:
S \u003d 1/2 * 5 * 6 * SIN 60

În tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, vom găsi și înlocuim expresia valoarea sinusului 60 de grade. Va fi egală cu rădăcina a trei la două.
S \u003d 15 √3 / 2

Răspuns: 7.5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, este probabil posibil să se lasă 15 √3 / 2)

O sarcină. Găsiți o zonă de triunghi echilaterală

Găsiți zona triunghiului echilaterală cu 3 cm.

Decizie.

Zona triunghiului poate fi găsită conform formulei Gerona:

S \u003d 1/4 SQRT ((A + C + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C))

Deoarece A \u003d B \u003d C Formula zonei triunghi echilaterale va lua forma:

S \u003d √3 / 4 * A 2

S \u003d √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

O sarcină. Schimbarea zonei la schimbarea lungimii părților

De câte ori crește zona triunghiului, dacă părțile cresc de 4 ori?

Decizie.

Deoarece dimensiunile laterale ale triunghiului sunt necunoscute pentru noi, apoi pentru a rezolva problema, presupunem că lungimile părților sunt respectiv egale cu numerele arbitrare A, B, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea sarcinii, găsim zona acestui triunghi și apoi găsim zona triunghiului, ale căror părți sunt de patru ori mai mult. Raportul dintre zonele acestor triunghiuri ne va da răspunsul la sarcină.

Apoi, oferim textul explicația soluției provocărilor. Cu toate acestea, la sfârșit, aceeași soluție este dată într-o formă grafică mai convenabilă pentru a percepe. Cei care doresc să poată cădea imediat la decizie.

Pentru a rezolva, utilizați formula Geron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Se pare așa:

S \u003d 1/4 SQRT ((A + C + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C))
(Consultați primul șir al imaginii de mai jos)

Lungimile laterale ale triunghiului arbitrare sunt date de variabilele A, B, C.
Dacă părțile cresc de 4 ori, atunci zona noului triunghi C va fi:

S 2 \u003d 1/4 SQRT ((4A + 4B + 4C) (4B + 4C - 4A) (4A + 4C - 4B) (4A + 4B -4C)))
(Consultați al doilea șir din imaginea de mai jos)

După cum se poate vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii reguli generale matematică.
Atunci

S 2 \u003d 1/4 SQRT (4 * 4 * 4 * 4 (A + C + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C)) - pe desenul al treilea rând
S 2 \u003d 1/4 SQRT (256 (A + B + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C)) - al patrulea șir

Din 256, o rădăcină pătrată este perfect extrasă, așa că o voi scoate din rădăcină
S 2 \u003d 16 * 1/4 SQRT ((A + C + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C))
S 2 \u003d 4 SQRT ((A + C + C) (B + C - A) (A + C - B) (A + B-C))
(Consultați cea de-a cincea linie de desenare de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea întrebată în sarcină, putem împărți zona triunghiului rezultat, în zona originală.
Definim rapoartele din zonă, separarea expresiilor unul față de celălalt și reducând fracția rezultată.