Cum se face o matrice a unei ecuații. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind matrici
Luați în considerare un sistem de ecuații liniare cu multe variabile:
unde aij sunt coeficienții pentru xi necunoscuți; membri fără bi;
indici: i \u003d 1,2,3 ... m- determinați numărul ecuației și j \u003d 1,2,3 ... n- numărul necunoscutului.
Definiție: Soluția sistemului de ecuații (5) este setul de n numere (x10, x20, ... .xn0), atunci când este înlocuită în sistem, toate ecuațiile se transformă în identități numerice corecte.
Definiție: Un sistem de ecuații se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Un sistem comun este denumit definit dacă are o soluție unică (x10, x20, ... .xn0) și este incert dacă există mai multe astfel de soluții.
Definiție: Un sistem se numește incompatibil dacă nu are soluție.
Definiție: Tabelele alcătuite din coeficienți numerici (aij) și termeni liberi (bi) ai sistemului de ecuații (5) se numesc matricea sistemului (A) și matricea extinsă (A1), care sunt notate ca:
Definiție: O matrice a sistemului A care are un număr inegal de rânduri și coloane (n? M) se numește dreptunghiulară. Dacă numărul de rânduri și coloane este același (n \u003d m), atunci matricea se numește pătrat.
Dacă numărul de necunoscute din sistem este egal cu numărul de ecuații (n \u003d m), atunci sistemul are o matrice pătrată de ordinul al nouălea.
În matricea A, selectăm rânduri k-arbitrare și coloane k-arbitrare (km, kn).
Definiție: determinantul de ordine k, compus din elementele matricei A situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minorul de ordine k al matricei A.
Luați în considerare toți minorii posibili ai matricei A. Dacă toți minorii din ordinea (k + 1) sunt egali cu zero și cel puțin unul dintre minorii ordinului k nu este egal cu zero, atunci ei spun că matricea are un rang egal cu k.
Definiție: rangul unei matrice A este cel mai mare ordin minor al acestei matrice, altul decât zero. Gradul matricei este notat cu r (A).
Definiție: Orice matrice minoră zero, a cărei ordine este egală cu rangul matricei se numește de bază.
Definiție: Dacă r (A) \u003d r (B) coincid pentru două matrici A și B, atunci aceste matrici sunt numite echivalente și sunt notate de A. B.
Rangul matricei nu se va schimba de la transformări elementare, echivalente, care includ:
- 1. Înlocuiți rândurile cu coloane și coloanele cu rândurile corespunzătoare;
- 2. Reorganizați rânduri sau coloane în locuri;
- 3. Traversarea rândurilor sau a coloanelor, toate elementele fiind egale cu zero;
- 4. Înmulțirea sau împărțirea unui rând sau a unei coloane cu un alt număr decât zero;
- 5. Adăugarea sau scăderea elementelor dintr-un rând sau coloană din altul înmulțit cu orice număr.
Atunci când se determină rangul unei matrice, se utilizează transformări echivalente, cu ajutorul cărora matricea inițială este redusă la o matrice în trepte (triunghiulare).
În matricea de pas, sub diagonala principală, există elemente zero, iar primul element non-zero al fiecărui rând, pornind de la al doilea, este situat în dreapta primului element non-zero al rândului precedent.
Rețineți că rangul matricei este egal cu numărul de rânduri nenule ale matricei pas.
De exemplu, matricea A \u003d are o formă în trepte, iar rangul acesteia este egal cu numărul de linii nenule ale matricei r (A) \u003d 3. Într-adevăr, toți minorii de ordinul 4 cu zero elemente ale celui de-al 4-lea rând sunt zero, iar minorii de ordinul 3 sunt nul. Pentru a verifica, calculăm determinantul minorului din primele 3 rânduri și 3 coloane:
Orice matrice poate fi redusă la o treaptă prin zero cu elementele matricei sub diagonala principală, utilizând acțiuni elementare.
Să revenim la studiul și soluția sistemului de ecuații liniare (5).
Un rol important în studiul sistemelor de ecuații liniare îl are Teorema Kronecker-Capeli. Afirmăm această teoremă.
Teorema Kronecker-Capeli: Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului A este egal cu rangul matricei extinse A1, adică. r (A) \u003d r (A1). În caz de compatibilitate, sistemul este definit dacă rangul matricei sistemului este egal cu numărul de necunoscute, adică. r (A) \u003d r (A1) \u003d n și nedeterminat dacă acest rang este mai mic decât numărul de necunoscute, adică. r (A) \u003d r (A1) Exemplu. Explorați un sistem de ecuații liniare: Definim rândurile matricei sistemului A și matricea extinsă A1. Pentru a face acest lucru, compunem o matrice extinsă A1 și o aducem la o formă în trepte. La turnarea matricei, efectuăm următorii pași: Ca urmare a acțiunilor efectuate, am obținut o matrice în trepte cu trei rânduri diferite, atât în \u200b\u200bmatricea sistemului (spre iad), cât și în matricea extinsă. Se poate vedea că rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse și este 3, dar mai mic decât numărul de necunoscute (n \u003d 4). Răspuns: de când r (A) \u003d r (A1) \u003d 3 Datorită faptului că este convenabil să se determine rangul matricelor prin reducerea lor la o formă în trepte, considerăm metoda de rezolvare a sistemului de ecuații liniare prin metoda Gauss. metoda gauss Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvențială a necunoscutului
ele pot fi obținute intensificând matricea extinsă A1, care include matricea sistemului A către iad. În același timp, se determină rândurile matricilor A și A1 și sistemul este investigat folosind teorema Kronecker-Kapeli. În ultima etapă, un sistem de ecuații a formei de pas este rezolvat prin înlocuirea de jos în sus a valorilor necunoscute găsite. Luați în considerare aplicarea metodei Gauss și a teoremei Kronecker-Capeli de exemplu. Exemplu. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss: Definim rândurile matricei sistemului A și matricea extinsă A1. Pentru a face acest lucru, compunem o matrice extinsă A1 și o aducem la o formă în trepte. La turnare, efectuăm următoarele acțiuni: Am obținut o matrice în trepte, în care numărul de rânduri este 3, iar matricea sistemului (spre iad) nu are, de asemenea, zero chiuvete. Prin urmare, rândurile matricei sistemului și a matricei extinse sunt 3 și egale cu numărul de necunoscute, adică. r (A) \u003d r (A1) \u003d n \u003d 3 .. Conform teoremei Kronecker-Kapeli, sistemul este compatibil și definit, are o soluție unică. Ca urmare a transformării matricei A1, la zero cu coeficienții pentru necunoscute, aceștia au fost excluși secvențial din ecuații și s-a obținut un sistem de ecuații în trepte (triunghiular): Trecând succesiv de jos în sus, înlocuind soluția (x3 \u003d 1) de la a treia ecuație în a doua, iar soluțiile (x2 \u003d 1, x3 \u003d 1) din a doua și a treia ecuație în prima, obținem soluția sistemului de ecuații: x1 \u003d 1, x2 \u003d 1, x3 \u003d 1. Verificați: - (!) Răspuns: (x1 \u003d 1, x2 \u003d 1, x3 \u003d 1). metoda giordano-gauss Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda îmbunătățită Jordan-Gauss, care constă în faptul că matricea sistemului A din matricea extinsă (la iad) este redusă la matricea de identitate: E \u003d cu elemente diagonale unitare și elemente diagonale zero, acestea obțin imediat o soluție la sistem fără înlocuiri suplimentare. Rezolvăm sistemul considerat mai sus prin metoda Jordan-Gauss. Pentru a face acest lucru, transformăm matricea de pas rezultantă într-o matrice unitară executând următorii pași: Sistemul inițial de ecuații a fost redus la sistem:, care determină soluția. acțiuni de bază cu matrice Fie două matrici să fie date: A \u003d
B \u003d. La însumarea (scăderea) matricelor, se adaugă (scade) elementele lor cu același nume. 3. Produsul numărului k de către matricea A este matricea definită de egalitate: Când matricea este înmulțită cu un număr, toate elementele matricei sunt înmulțite cu acest număr. 4. Produsul matricilor AB este matricea definită de egalitate: Când matricile sunt înmulțite, elementele rândurilor primei matrice sunt înmulțite cu elementele coloanelor celei de-a doua matrice și însumate, iar elementul matricei de produs din rândul I și coloana a j-a este egal cu suma produselor produselor elementelor corespunzătoare din rândul I al primei matrice și a celei de-a doua a doua matrice. Atunci când matricile sunt înmulțite, în general, legea translațională nu funcționează, adică. AB? VA. 5. Transpunerea matricei A este acțiunea care duce la înlocuirea rândurilor cu coloane, iar coloanele cu rândurile corespunzătoare. Matricea AT \u003d se numește matrică transpusă pentru matricea A \u003d. Dacă determinantul matricei A nu este egal cu zero (D? 0), o astfel de matrice se numește nedegenerată. Pentru orice matrice nedegenerată A există o matrice inversă A-1 pentru care egalitatea deține: A-1 A \u003d A A-1 \u003d E, unde E \u003d este matricea de identitate. 6. Inversul matricei A sunt astfel de acțiuni în care obținem matricea inversă A-1 Când matricea A este inversată, se efectuează următoarele acțiuni. În prima parte, am examinat un pic de material teoretic, metoda de substituție și, de asemenea, metoda adăugării în termeni în termeni ecuații a sistemului. Recomand tuturor celor care vizitează site-ul prin această pagină să se familiarizeze cu prima parte. Poate că unii vizitatori ar putea găsi materialul prea simplu, dar în procesul de soluționare a sistemelor de ecuații liniare am făcut o serie de observații și concluzii foarte importante cu privire la soluția problemelor matematice în general. Și acum vom analiza regula Cramer, precum și soluția unui sistem de ecuații liniare folosind matricea inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate într-un mod simplu, detaliat și inteligibil, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sistemele în modurile de mai sus. În primul rând, avem în vedere în detaliu regula Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. Pentru ce? - La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat prin metoda școlii, metoda de adăugare a termenului! Cert este că uneori, dar există o astfel de sarcină - rezolvarea unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute conform formulelor lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, pe care este indicat să le rezolvăm exact în conformitate cu regula Cramer! Luați în considerare sistemul de ecuații În prima etapă, calculăm determinantul, se numește principalul determinant al sistemului. Metoda Gauss. Dacă, atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă doi factori determinanți: În practică, identificatorii de mai sus pot fi notați și printr-o literă latină. Rădăcinile ecuației se găsesc prin formulele: Exemplul 7 Rezolvați un sistem de ecuații liniare Decizie: Vedem că coeficienții ecuației sunt suficient de mari, fracțiile zecimale cu virgulă sunt prezente pe partea dreaptă. Virgula este un oaspete destul de rar în sarcini practice în matematică, am preluat acest sistem dintr-o problemă econometrică. Cum să rezolvi un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă printr-o altă, dar, în acest caz, veți obține probabil fracții înfricoșătoare, care sunt extrem de incomode de a lucra, iar designul soluției va arăta doar groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și puteți efectua termenul scăzut, dar aici vor apărea aceleași fracții. Ce sa fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer ajung la salvare. ; ; Răspuns: , Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar obișnuit) pentru problemele econometrice. Nu sunt necesare comentarii aici, deoarece sarcina este rezolvată în conformitate cu formulele gata, cu toate acestea, există o singură atenție. Când utilizați această metodă, obligatoriuun fragment din proiectarea sarcinii este următorul fragment: „Asta înseamnă că sistemul are o singură soluție”. În caz contrar, recenzorul te poate pedepsi pentru lipsa de respect pentru teorema lui Cramer. Nu va fi de prisos să verificăm care este convenabil să se efectueze pe un calculator: înlocuim valori aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Drept urmare, cu o mică eroare, trebuie obținute numerele care se află în părțile corecte. Exemplul 8 Răspunsul este reprezentat în fracțiuni neregulate obișnuite. Faceți un control. Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (un exemplu de finalizare a lucrării și răspunsul la sfârșitul lecției). Continuăm să luăm în considerare regula Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: Găsim principalul determinant al sistemului: Dacă, atunci sistemul are infinit de multe soluții sau este incompatibil (nu are soluții). În acest caz, regula Cramer nu ajută, trebuie să utilizați metoda Gauss. Dacă, atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei factori determinanți: Și în final, răspunsul este calculat după formulele: După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este fundamental diferit de cazul „doi câte doi”, coloana membrilor liberi este „mers” secvențial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal. Exemplul 9 Rezolvați sistemul folosind formulele Cramer. Decizie: Rezolvați sistemul folosind formulele Cramer. Răspuns: De fapt, aici nu este nimic special de comentat, deoarece decizia este luată folosind formule gata făcute. Există însă câteva puncte. Se întâmplă ca, în urma calculelor, să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu:. 1) Este posibil să existe o greșeală în calcule. După ce vă confruntați cu o fracțiune „proastă”, trebuie să verificați imediat este condiția rescrisă corect. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculezi factorii determinanți folosind expansiunea pe un alt rând (coloană). 2) Dacă în urma verificării erorilor nu au fost detectate, atunci cel mai probabil s-a făcut o dactilografie în termenii misiunii. În acest caz, rezolvați calm și cu atenție sarcina până la sfârșit, și apoi asigurați-vă că verificați și aranjați-l la curățare după decizie. Desigur, verificarea răspunsului fracționat este o sarcină neplăcută, dar va exista un argument dezarmant pentru profesor, care, foarte bine, iubește să pună un minus pentru orice fel de probleme. Modul de gestionare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul pentru exemplul 8. Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați programul automat pentru verificare, care poate fi descărcat gratuit chiar de la începutul lecției. Apropo, este cel mai avantajos să utilizați imediat programul (chiar înainte de începerea soluției), veți vedea imediat pasul intermediar, la care ați făcut o greșeală! Același calculator calculează automat soluția sistemului prin metoda matricei. A doua remarcă. Din când în când există sisteme în ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu: Exemplul 10 Rezolvați sistemul folosind formulele Cramer. Acesta este un exemplu pentru o decizie independentă (un exemplu de proiectare finală și răspunsul la sfârșitul lecției). În cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Un exemplu live poate fi găsit în lecția Proprietăți de calificare. Scăderea în ordinea determinantului - cei cinci determinanți ai ordinului 4 sunt destul de decisivi. Deși sarcina este deja o reminiscență a pantofului profesorului de pe pieptul unui student norocos. Metoda matricei inversă este în esență un caz special ecuația matricială (vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate). Pentru a studia această secțiune, este necesar să se poată extinde determinanții, să găsească matricea inversă și să efectuezi înmulțirea matricei. Legături relevante vor fi date pe parcurs. Exemplul 11 Rezolvați un sistem cu o metodă matricială Decizie: Scriem sistemul sub formă de matrice: Vă rugăm să consultați sistemul ecuațiilor și matricile. După ce principiu scriem elemente în matrice, cred că toată lumea înțelege. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar fi absente în ecuații, atunci ar fi necesar să punem zerouri la locurile corespunzătoare din matrice. Găsim matricea inversă după formula: În primul rând, avem de-a face cu factorul determinant: Aici determinantul este dezvăluit pe prima linie. Atenţie! Dacă, atunci matricea inversă nu există și este imposibil de rezolvat sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul este rezolvat prin metoda de a elimina necunoscutele (metoda Gauss). Acum trebuie să calculați 9 minori și să le scrieți în matricea minorilor Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația abonamentelor duble în algebră liniară. Prima cifră este numărul de linie în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află acest element: (uneori această metodă se mai numește metoda matrice sau metoda matricei inversă) necesită o familiarizare preliminară cu un astfel de concept precum forma matricială de înregistrare SLAE. Metoda matricei inversă este proiectată să rezolve acele sisteme de ecuații algebrice liniare pentru care determinantul matricei sistemului este zero. În mod natural, acest lucru implică faptul că matricea sistemului este pătrată (noțiunea de determinant există doar pentru matrici pătrate). Esența metodei matricei inversă poate fi exprimată în trei puncte: Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $ A \\ cdot X \u003d B $, unde $ A $ este matricea sistemului, $ B $ este matricea termenilor liberi, $ X $ este matricea de necunoscute. Fie matricea $ A ^ (- 1) $ să existe. Înmulțiți ambele părți ale egalității $ A \\ cdot X \u003d B $ cu matricea $ A ^ (- 1) $ din stânga: $$ A ^ (- 1) \\ cdot A \\ cdot X \u003d A ^ (- 1) \\ cdot B .. $$ Deoarece $ A ^ (- 1) \\ cdot A \u003d E $ ($ E $ este matricea de identitate), egalitatea scrisă mai sus devine astfel: $$ E \\ cdot X \u003d A ^ (- 1) \\ cdot B .. $$ De când $ E \\ cdot X \u003d X $, atunci: $$ X \u003d A ^ (- 1) \\ cdot B .. $$ Exemplul nr. 1 Rezolvați SLAE $ \\ left \\ (\\ begin (aliniat) & -5x_1 + 7x_2 \u003d 29; \\\\ & 9x_1 + 8x_2 \u003d -11. \\ End (aliniat) \\ right. $ Utilizând matricea inversă. $$ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\\\ 9 & 8 \\ end (array) \\ right); \\; B \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) 29 \\\\ -11 \\ end (array) \\ right); \\; X \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\ end (array) \\ right). $$ Găsiți matricea inversă la matricea sistemului, adică calculăm $ A ^ (- 1) $. În exemplul nr. 2 $$ A ^ (- 1) \u003d - \\ frac (1) (103) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\\\ -9 & -5 \\ end (array) \\ right) . $$ Acum înlocuim toate cele trei matrici ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) în egalitate $ X \u003d A ^ (- 1) \\ cdot B $. Apoi efectuăm înmulțirea matricei $$ \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\ end (array) \\ right) \u003d - \\ frac (1) (103) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\\\ -9 & -5 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (c) 29 \\\\ -11 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (1) (103) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (c) 8 \\ cdot 29 + (- 7) \\ cdot (-11) \\\\ -9 \\ cdot 29 + (- 5) \\ cdot (- 11) \\ end (array) \\ right) \u003d - \\ frac (1) (103) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (c) 309 \\\\ -206 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left ( \\ begin (array) (c) -3 \\\\ 2 \\ end (array) \\ right). $$ Deci, obținem egalitatea $ \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) -3 \\\\ 2 \\ end (array) ) \\ dreapta) $. Din această egalitate avem: $ x_1 \u003d -3 $, $ x_2 \u003d 2 $. Răspuns: $ x_1 \u003d -3 $, $ x_2 \u003d 2 $. Exemplul nr. 2 Rezolvați SLAUG $ \\ left \\ (\\ begin (aliniat) & x_1 + 7x_2 + 3x_3 \u003d -1; \\\\ & -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 \u003d 0; \\\\ & 3x_2 + 2x_3 \u003d 6. \\ End (aliniat) \\ right . $ prin metoda matricei inversă. Scriem matricea sistemului $ A $, matricea termenilor liberi $ B $ și matricea de necunoscute $ X $. $$ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\\\ -4 & 9 & 4 \\\\ 0 & 3 & 2 \\ end (array) \\ right); \\; B \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) -1 \\\\ 0 \\\\ 6 \\ end (array) \\ right); \\; X \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\ end (array) \\ right). $$ Acum a venit rândul să găsim matricea inversă la matricea sistemului, adică. găsi $ A ^ (- 1) $. În Exemplul 3 din pagina dedicată găsirii matricelor inversă, matricea inversă a fost deja găsită. Folosim rezultatul final și scriem $ A ^ (- 1) $: $$ A ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (26) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\\\ 8 & 2 & -16 \\\\ -12 & - 3 & 37 \\ end (array) \\ right). $$ Acum înlocuim toate cele trei matrici ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) în egalitate $ X \u003d A ^ (- 1) \\ cdot B $, după care multiplicăm matricile din partea dreaptă a acestei egalități. $$ \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ frac (1) (26) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\\\ 8 & 2 & -16 \\\\ -12 & -3 & 37 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (c) -1 \\\\ 0 \\ +1 \\ cdot 6 \\\\ 8 \\ cdot (-1) +2 \\ cdot 0 + (- 16) \\ cdot 6 \\\\ -12 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot 0 + 37 \\ cdot 6 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ frac (1) (26) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (c) 0 \\\\ - 104 \\\\ 234 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left ( \\ begin (array) (c) 0 \\\\ - 4 \\\\ 9 \\ end (array) \\ right) $$ Deci, obținem egalitatea $ \\ left (\\ begin (array) (c) x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (c) 0 \\\\ - 4 \\ Din această egalitate avem: $ x_1 \u003d 0 $, $ x_2 \u003d -4 $, $ x_3 \u003d 9 $. Acest calculator online rezolvă sistemul ecuațiilor liniare prin metoda matricei. O soluție foarte detaliată este dată. Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare, selectați numărul de variabile. Alegeți o metodă pentru calcularea matricei inversă. Apoi introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”. ×
Ștergeți toate celulele? Închide Șterge Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), numere zecimale (de exemplu, 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie să fie tastată sub forma a / b, unde a și b sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7 etc. Luați în considerare următorul sistem de ecuații liniare: Având în vedere definiția matricei inversă, avem A −1 A=EUnde Eeste matricea identității. Prin urmare (4) poate fi scris după cum urmează: Astfel, pentru a rezolva sistemul ecuațiilor liniare (1) (sau (2)), este suficient să înmulțiți inversul A matricea vectorului de constrângere b. Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare prin metoda matricei: Găsiți inversul matricei A prin metoda Jordan-Gauss. În partea dreaptă a matricei A scriem matricea de identitate: Excludem elementele primei coloane a matricei sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 la linia 1 ori -1 / 3, -1 / 3, respectiv: Excludem elementele celei de-a doua coloane a matricei de sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 3 la linia de 2 ori -24/51: Excludem elementele celei de-a doua coloane a matricei deasupra diagonalei principale. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 1 la linia de 2 ori -3/17: Separați partea dreaptă a matricei. Matricea rezultată este matricea inversă la A : Forma matricială a scrierii unui sistem de ecuații liniare: Ax \u003d bUnde Calculăm toate complementele algebrice ale matricei A: Matricea inversă este calculată din următoarea expresie.
și
, 
, 
, 
, deci sistemul are o soluție unică.
.
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu există un computer la îndemână, procedăm astfel:
Aici în prima ecuație nu există nicio variabilă, în a doua - o variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să se scrie corect și cu atenție principalul determinant: 
- zerourile sunt puse în locul variabilelor care lipsesc.
Apropo, este rațional să se dezvăluie determinanții cu zerouri de rândul (coloana) în care este situat zero, deoarece calculele sunt mult mai mici.
Soluție de sistem cu matrice inversă
Unde 
unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
Adică, un dublu abonament indică faptul că elementul se află în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul se află în 3 rânduri, 2 coloaneAvertizare
Metoda matricei pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare prin metoda matricei
,
,
,
,
,
,
,
,
.