Cum să elimini o rădăcină dintr-un număr. Care este rădăcina pătrată

Există mai multe metode de calculare a rădăcinii pătrate fără un calculator.

Cum se găsește rădăcina numărului - 1

• Una dintre metode este factorizarea numărului care se află sub rădăcină. Aceste componente ca urmare a înmulțirii formează o valoare radicală. Precizia rezultatului depinde de numărul de sub rădăcină.
• De exemplu, dacă luați numărul 1 600 și începeți să îl factorizați, argumentul va fi structurat după cum urmează: acest număr este un multiplu de 100, ceea ce înseamnă că poate fi împărțit la 25; deoarece rădăcina numărului 25 este extrasă, numărul este pătrat și potrivit pentru calcule suplimentare; la împărțire, obținem un alt număr - 64. Acest număr este de asemenea pătrat, deci rădăcina este extrasă bine; după aceste calcule, sub rădăcină, puteți scrie numărul 1600 sub forma unui produs de 25 și 64.

• Una dintre regulile pentru extragerea rădăcinii este aceea că rădăcina produsului factorilor este egală cu numărul care se obține prin înmulțirea rădăcinilor fiecărui factor. Aceasta înseamnă că: √ (25 * 64) \u003d √25 * √64. Dacă extragem rădăcini din 25 și 64, obținem expresia: 5 * 8 \u003d 40. Adică rădăcina pătrată din 1600 este 40.
• Dar se întâmplă ca numărul de sub rădăcină să nu se descompună în doi factori, din care se extrage întreaga rădăcină. De obicei, acest lucru se poate face doar pentru unul dintre factori. Prin urmare, este adesea imposibil să găsiți un răspuns absolut exact într-o astfel de ecuație.
• În acest caz, se poate calcula doar o valoare aproximativă. Prin urmare, trebuie să extrageți rădăcina din factor, care este un număr pătrat. Această valoare este apoi înmulțită cu rădăcina celui de-al doilea număr, care nu este un termen patrat al ecuației.
• Se pare că, de exemplu, luați numărul 320. Poate fi descompus în 64 și 5. Puteți extrage o rădăcină întreagă din 64, dar nu din 5. Prin urmare, expresia va arăta astfel: √320 \u003d √ (64 * 5) \u003d √64 * √5 \u003d 8√5.
• Dacă este necesar, puteți găsi valoarea aproximativă a acestui rezultat calculând
  √5 ≈ 2.236, prin urmare, √320 \u003d 8 * 2.236 \u003d 17.88 ≈ 18.
• De asemenea, numărul de sub rădăcină poate fi descompus în mai mulți factori simpli, și aceiași pot fi scoși de sub el. Exemplu: √75 \u003d √ (5 * 5 * 3) \u003d 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Cum să găsești rădăcina numărului - 2

• Un alt mod este de a împărți pe coloană. Diviziunea este similară, dar trebuie doar să căutăm numere pătrate, din care apoi să extragem rădăcina.
• În acest caz, scrie numărul pătrat de deasupra și scade-l în partea stângă, iar rădăcina extrasă mai jos.
• Acum, a doua valoare trebuie dublată și notată din dreapta jos în formularul: number_x_ \u003d. Golurile trebuie să fie completate cu un număr care va fi mai mic sau egal cu valoarea necesară din stânga - totul este ca în diviziune normală.
• Dacă este necesar, acest rezultat este scăzut din nou la stânga. Astfel de calcule continuă până la obținerea rezultatului. De asemenea, se pot adăuga zerouri până când veți obține numărul dorit de zecimale.

Studenții întreabă întotdeauna: „De ce nu folosiți un calculator la un examen de matematică? Cum să extrageți o rădăcină pătrată dintr-un număr fără un calculator? " Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se poate extrage rădăcina pătrată dintr-un număr fără ajutorul unui calculator?

act extracția rădăcinilor pătrate înapoi la acțiunea de pătrat.

√81= 9 9 2 =81

Dacă extragem rădăcina pătrată dintr-un număr pozitiv și pătrat rezultatul, obținem același număr.

Din numere mici care sunt pătrate exacte ale numerelor naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rădăcinile pătrate pot fi extrase oral. De obicei, la școală, ei învață un tabel cu pătrate cu numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extrageți rădăcini pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numere de 400 mari puteți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm să considerăm această metodă ca un exemplu.

Exemplu: Extrageți radacina 676.

Observăm că 20 2 \u003d 400 și 30 2 \u003d 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu numerele 0; 1; 4; cinci; 6; nouă.
Numărul 6 dă 4 2 și 6 2.
Deci, dacă o rădăcină este extrasă din 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 \u003d 576, 26 2 \u003d 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Inca exemplu: √6889 .

De la 80 2 \u003d 6400, iar 90 2 \u003d 8100, apoi 80< √6889 < 90.
Numerele 9 dau 3 2 și 7 2, apoi √6889 este fie 83, fie 87.

Verificare: 83 2 \u003d 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vi se pare greu de rezolvat prin metoda de selecție, atunci puteți factoriza expresia radicală în factori.

De exemplu, găsi √893025.

Factorul numărul 893025, amintiți-vă, ați făcut-o în clasa a șasea.

Obținem: √893025 \u003d √3 6 ∙ 5 2 ∙ 7 2 \u003d 3 3 ∙ 5 ∙ 7 \u003d 945.

Inca exemplu: √20736. Factor 20736:

Obținem √20736 \u003d √2 8 ∙ 3 4 \u003d 2 4 ∙ 3 2 \u003d 144.

Desigur, factoringul necesită cunoașterea atributelor divizibilității și abilităților de factoring.

Și în sfârșit, există regula extragerii rădăcinii pătrate. Să facem cunoștință cu această regulă prin exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina dintr-un număr întreg format din mai multe cifre, o împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin 2 cifre (o cifră poate apărea în fața extremă stângă). O scriem astfel 27´98´41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), extragem rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat exact conținut în prima parte stângă a feței (27).
Apoi, pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut de la prima față și următoarea față (98) este atribuită (luată în jos) la diferență.
În stânga numărului obținut 298, scrieți cifra dublă a rădăcinii (10), împărțiți prin ea numărul tuturor zecilor din numărul primit mai devreme (29/2 ≈ 2), testați coeficientul (102 ∙ 2 \u003d 204 nu trebuie să fie mai mult de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, cotul obținut 204 este scăzut din 298 și următoarea față (41) este atribuită (în jos) diferenței (94).
În stânga numărului obținut 9441 scriu produsul dublu al numerelor rădăcină (52 ∙ 2 \u003d 104), împărțesc prin acest produs numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9), experimentați coeficientul (1049 ∙ 9 \u003d 9441) și trebuie să-l scrieți (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 \u003d 529.

În mod similar recuperat rădăcini zecimale. Numai numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0.00956484.

Amintiți-vă doar că dacă fracția zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu este extrasă exact din ea.

Deci, acum vi se prezintă trei moduri de extragere a rădăcinii. Alegeți-l pe cel care vi se potrivește cel mai bine și practicați. Pentru a învăța cum să rezolve problemele, acestea trebuie rezolvate. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesară o legătură către sursă.

În prefața primei sale ediții, „În tărâmul minunatului” (1908), E. I. Ignatiev scrie: „... inițiativa mentală, spiritul rapid și„ priceputul ”nu pot fi„ ciocanite ”sau„ puse ”în capul nimănui. Rezultatele sunt fiabile numai atunci când introducerea în câmpul cunoștințelor matematice se face într-un mod ușor și plăcut, pe obiecte și exemple de situații cotidiene și cotidiene, selectate cu înțelepciunea și amuzamentul adecvat. "

În prefața ediției din 1911, „Rolul memoriei în matematică”, E.I. Ignatiev scrie "... în matematică, ar trebui să ne amintim nu de formule, ci de procesul de gândire."

Pentru a extrage rădăcina pătrată, există tabele de pătrate pentru numere de două cifre, puteți descompune numărul în factori primi și extrage rădăcina pătrată din produs. Tabelul pătratelor nu este suficient, extragerea rădăcinii prin factorizare este o sarcină consumatoare de timp, care nu duce întotdeauna la rezultatul dorit. Încercați să extrageți rădăcina pătrată a numărului 209764? Factorizarea simplă oferă produsului 2 * 2 * 52441. Prin încercare și eroare, selecția - aceasta, desigur, se poate face dacă sunteți sigur că este un număr întreg. Metoda pe care vreau să o sugerez vă permite să extrageți rădăcina pătrată oricum.

Odată la institut (Institutul Pedagogic de Stat Perm) am fost introduși în această metodă, despre care vreau să vorbesc acum. Nu m-am întrebat niciodată dacă această metodă are dovezi, așa că acum a trebuit să obțin eu anumite dovezi.

Baza acestei metode este compoziția numărului \u003d.

\u003d &, adică & 2 \u003d 596334.

1. Împărțim numărul (5963364) în perechi de la dreapta la stânga (5`96`33`64)

2. Extragem rădăcina pătrată din primul grup din stânga (- numărul 2). Deci primim prima cifră de &.

3. Găsiți pătratul primei cifre (2 2 \u003d 4).

4. Găsiți diferența dintre primul grup și pătratul primei cifre (5-4 \u003d 1).

5. Demolăm următoarele două cifre (a primit numărul 196).

6. Dublăm prima figură pe care am găsit-o, scriem-o pe linia din stânga (2 * 2 \u003d 4).

7.Acum trebuie să găsiți a doua cifră a numărului și: prima cifră dublată găsită de noi devine cifra a zeci de numere, atunci când este înmulțită cu numărul de unități, trebuie să obțineți un număr mai mic de 196 (acesta este numărul 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 este a doua cifră a lui &.

8. Găsiți diferența (196-176 \u003d 20).

9. Demolăm următorul grup (obținem numărul 2033).

10. Dublăm numărul 24, obținem 48.

11,48 zeci la număr, atunci când este înmulțit cu numărul de unități, ar trebui să obținem un număr mai mic decât 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Numărul de unități pe care le-am găsit (4) este a treia cifră a numărului &.

Dovada o dau eu pentru cazuri:

1. Extrage rădăcina pătrată a unui număr format din trei cifre;

2. Extrageți rădăcina pătrată a unui număr format din patru cifre.

Metode aproximative de extracție rădăcină pătrată (fără a folosi un calculator).

1. Babilonienii antici au folosit următoarea metodă pentru a găsi valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a numărului lor x. Ei au reprezentat numărul x sub forma sumei a 2 + b, unde a 2 este pătratul exact al numărului natural a (a 2? X) cel mai apropiat de numărul x, și a folosit formula . (1)

Folosind formula (1), extragem rădăcina pătrată, de exemplu, de la numărul 28:

Rezultatul extragerii rădăcinii de 28 utilizând MK 5.2915026.

După cum vedem, metoda babilonienilor oferă o bună aproximare la valoarea exactă a rădăcinii.

2. Isaac Newton a dezvoltat o metodă de extragere a rădăcinii pătrate, care datează din Heron of Alexandria (aproximativ 100 d.Hr.). Această metodă (cunoscută sub numele de metoda lui Newton) este următoarea.

Lasa a 1- prima aproximare a numărului (ca 1, puteți lua rădăcina pătrată a unui număr natural - un pătrat exact care nu depășește x).

Următoarea, mai exactă aproximare a 2numerele găsit după formulă .

Cum se extrage rădăcina de la număr. În acest articol, vom învăța cum să extragem rădăcina pătrată a numerelor de patru cifre și cinci cifre.

Să luăm, de exemplu, rădăcina pătrată din 1936.

Prin urmare, .

Ultima cifră din numărul 1936 este numărul 6. Pătratul numărului 4 și al numărului 6 se încheie la 6. Prin urmare, 1936 poate fi pătratul numărului 44 sau al numărului 46. Rămâne de verificat folosind înmulțirea.

Mijloace

Extrage rădăcina pătrată din 15129.

Prin urmare, .

Ultima cifră din numărul 15129 este numărul 9. Pătratul numărului 3 și al numărului 7 se încheie la 9. Prin urmare, 15129 poate fi pătratul numărului 123 sau numărul 127. Vom verifica folosind înmulțirea.

Mijloace

Cum se extrage rădăcina - video

Și acum vă sugerez să urmăriți videoclipul Anna Denisova - „Cum se extrage rădăcina ", autorul site-ului" Fizică simplă "în care vorbește despre cum să extragă rădăcinile pătrate și cubice fără un calculator.

Videoclipul discută mai multe metode pentru extragerea rădăcinilor:

1. Cel mai simplu mod de a extrage rădăcina pătrată.

2. Selectarea cu ajutorul pătratului sumei.

3. Metoda babiloniană.

4. Metoda de extragere a rădăcinii pătrate într-o coloană.

5. O modalitate rapidă de a extrage rădăcina cubică.

6. O metodă de extragere a unei rădăcini cubice într-o coloană.

În matematică, problema extragerii rădăcinii este considerată relativ simplă. Dacă pătrați numerele din seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, atunci obținem următoarea serie de pătrate: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Seria pătratelor este infinită și, dacă te uiți atent la ea, vei vedea că nu are foarte multe numere întregi. De ce este așa, vă explicăm puțin mai târziu.

Rădăcina numărului: reguli și exemple de calcul

Deci, am pătrat numărul 2 într-un pătrat, adică l-am înmulțit singur și am obținut 4. Și cum să extragem rădăcina din numărul 4? Trebuie să spunem imediat că rădăcinile pot fi pătrate, cubice și orice grad până la infinit.

Gradul rădăcinii este întotdeauna un număr natural, adică este imposibil de rezolvat următoarea ecuație: rădăcina este la gradul 3.6 din n.

Rădăcină pătrată

Să revenim la întrebarea modului de extragere a rădăcinii pătrate din 4. Deoarece am construit numărul 2 exact în pătrat, vom extrage și rădăcina pătrată. Pentru a extrage corect rădăcina de 4, trebuie doar să alegeți numărul potrivit, care dacă pătrat ar da numărul 4. Și, desigur, 2. Uitați un exemplu:

• 2 2 =4
• Rădăcina de 4 \u003d 2

Acest exemplu este destul de simplu. Să încercăm să extragem rădăcina pătrată a 64. Care este numărul când înmulțit de la sine dă 64? Evident, acesta este 8.

• 8 2 =64
• Rădăcina de 64 \u003d 8

Rădăcină cubică

După cum am menționat mai sus, rădăcinile nu sunt doar pătrate, vom încerca să explicăm mai clar cum se extrage o rădăcină cubică sau o rădăcină de gradul al treilea. Principiul extragerii rădăcinii cubice este același cu rădăcina pătrată, singura diferență este că numărul dorit a fost inițial multiplicat de la sine nu o dată, ci de două ori. Adică să zicem că am luat următorul exemplu:

• 3x3x3 \u003d 27
• Desigur, tripla este rădăcina cubului a numărului 27:
• Rădăcina 3 din 27 \u003d 3

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina cubică a 64. Pentru a rezolva această ecuație, este suficient să găsiți un număr care, dacă este ridicat la a treia putere, ar da 64.

• 4 3 =64
• Rădăcina 3 din 64 \u003d 4

Extrageți rădăcina din numărul de pe calculator

Desigur, cel mai bine este să învățați cum să extrageți pătratele, cubulele și rădăcinile cu un grad diferit în practică, rezolvând multe exemple și amintindu-vă de un tabel de pătrate și cuburi de număr mic. În viitor, acest lucru va facilita și reduce mult timpul necesar pentru rezolvarea ecuațiilor. Deși, trebuie menționat că uneori este necesar să extragem rădăcina dintr-un număr atât de mare încât alegerea numărului corect pătrat va costa multă muncă, dacă este posibil. Un calculator obișnuit vă va ajuta în extragerea rădăcinii pătrate. Cum se extrage rădăcina din calculator? Pur și simplu introduceți numărul de la care doriți să găsiți rezultatul. Acum priviți cu atenție butoanele de pe calculator. Chiar și pe cea mai simplă dintre ele există o cheie cu o pictogramă rădăcină. Făcând clic pe acesta, veți obține imediat rezultatul final.

Nu orice rădăcină poate fi extrasă dintr-o rădăcină întreagă, ia în considerare următorul exemplu:

Rădăcina din 1859 \u003d 43.116122 ...

Puteți încerca să rezolvați acest exemplu pe un calculator în paralel. După cum puteți vedea, numărul rezultat nu este un număr întreg, în plus, setul de cifre după punctul zecimal nu este finit. Calculatoarele speciale de inginerie pot da un rezultat mai precis, dar pe afișarea celor obișnuite rezultatul complet pur și simplu nu se potrivește. Și dacă continuați seria pătratelor începute mai devreme, nu veți găsi numărul 1859 în el tocmai pentru că numărul care a fost pătrat pentru a-l primi nu este un număr întreg.

Dacă trebuie să extrageți rădăcina de gradul al treilea dintr-un calculator simplu, atunci trebuie să faceți dublu clic pe butonul cu semnul rădăcină. De exemplu, luați numărul 1859 utilizat mai sus și extrageți din el rădăcina cubică:

Rădăcina 3 din 1859 \u003d 6.5662867 ...

Adică, dacă numărul 6.5662867 ... este ridicat la a treia putere, atunci obținem aproximativ 1859. Astfel, nu este dificil să extragem rădăcinile din numere, este suficient să ne amintim algoritmii de mai sus.