Poliedre și tipurile lor. Conceptul de corp geometric și suprafața acestuia

Introducere

O suprafață compusă din poligoane și care mărginește un corp geometric se numește suprafață poliedrică sau poliedru.

Un poliedru este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane. Poligoanele care delimitează un poliedru se numesc fețe, iar liniile de intersecție ale fețelor se numesc muchii.

Poliedrele pot avea o structură variată și foarte complexă. Diverse structuri, cum ar fi casele construite folosind cărămizi și blocuri de beton, sunt exemple de poliedre. Alte exemple pot fi găsite printre mobilier, precum o masă. În chimie, forma moleculelor de hidrocarburi este un tetraedru, un cub obișnuit de douăzeci de edri. În fizică, cristalele servesc ca exemple de poliedre.

Din cele mai vechi timpuri, ideile despre frumusețe au fost asociate cu simetria. Acest lucru explică probabil interesul oamenilor pentru poliedre - simboluri uimitoare de simetrie care au atras atenția unor gânditori remarcabili, care au fost uimiți de frumusețea, perfecțiunea și armonia acestor figuri.

Primele mențiuni despre poliedre sunt cunoscute la trei mii de ani î.Hr. în Egipt și Babilon. Este suficient să ne amintim celebrele piramide egiptene și pe cea mai faimoasă dintre ele, Piramida lui Keops. Aceasta este o piramidă obișnuită, la baza căreia se află un pătrat cu o latură de 233 m și a cărui înălțime ajunge la 146,5 m. Nu întâmplător se spune că Piramida lui Keops este un tratat tăcut de geometrie.

Istoria poliedrelor obișnuite datează din cele mai vechi timpuri. Începând din secolul al VII-lea î.Hr., în Grecia Antică au fost create școli filozofice, în care a avut loc o trecere treptată de la geometria practică la cea filozofică. Raționamentul cu ajutorul căruia s-a putut obține noi proprietăți geometrice a căpătat o mare importanță în aceste școli.

Una dintre primele și cele mai faimoase școli a fost școala pitagoreică, numită după fondatorul său, Pitagora. Semnul distinctiv al pitagoreenilor a fost pentagrama, în limbajul matematicii este un pentagon regulat neconvex sau în formă de stea. Pentagramei i s-a atribuit capacitatea de a proteja o persoană de spiritele rele.

Pitagoreii credeau că materia constă din patru elemente de bază: foc, pământ, aer și apă. Ei au atribuit existența a cinci poliedre regulate structurii materiei și a Universului. Conform acestei opinii, atomii elementelor principale trebuie să aibă forma unor corpuri diferite:

§ Universul este un dodecaedru

§ Pământ – cub

§ Focul - tetraedru

§ Apa - icosaedru

§ Aer - octaedru

Mai târziu, învățătura pitagoreenilor despre poliedre regulate a fost conturată în lucrările sale de un alt om de știință grec antic, filosoful idealist Platon. De atunci, poliedrele regulate au devenit cunoscute sub numele de solide platonice.

Solidele platonice sunt poliedre convexe omogene regulate, adică poliedre convexe, toate fețele și unghiurile fiind egale, iar fețele sunt poligoane regulate. Același număr de muchii converg către fiecare vârf al unui poliedru regulat. Toate unghiurile diedrice de la margini și toate unghiurile poliedrice de la vârfurile unui poligon regulat sunt egale. Solidele platonice sunt un analog tridimensional al poligoanelor regulate plate.

Teoria poliedrelor este o ramură modernă a matematicii. Este strâns legată de topologie, teoria grafurilor și are o importanță deosebită atât pentru cercetările teoretice în geometrie, cât și pentru aplicații practice în alte ramuri ale matematicii, de exemplu, algebra, teoria numerelor, matematica aplicată - programare liniară, teoria controlului optim. Astfel, acest subiect este relevant, iar cunoștințele despre această problemă sunt importante pentru societatea modernă.

Parte principală

Un poliedru este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane.

Să dăm o definiție a unui poliedru care este echivalentă cu prima definiție a unui poliedru.

Poliedru – Aceasta este o figură care este uniunea unui număr finit de tetraedre pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) fiecare două tetraedre nu au puncte comune, sau au un vârf comun, sau doar o margine comună, sau o întreagă față comună;

2) de la fiecare tetraedru la altul se poate merge de-a lungul unui lanț de tetraedri, în care fiecare următor este adiacent celui precedent de-a lungul unei întregi fețe.

Elemente poliedrice

Fața unui poliedru este un anumit poligon (un poligon este o zonă închisă limitată a cărei limită constă dintr-un număr finit de segmente).

Laturile fețelor se numesc muchiile poliedrului, iar vârfurile fețelor se numesc vârfuri ale poliedrului. Elementele unui poliedru, pe lângă vârfurile, muchiile și fețele sale, includ și unghiurile plate ale fețelor sale și unghiurile diedrice de la marginile sale. Unghiul diedric la o muchie a unui poliedru este determinat de fețele sale care se apropie de această muchie.

Clasificarea poliedrelor

poliedru convex - este un poliedru, dintre care două puncte pot fi conectate printr-un segment. Poliedrele convexe au multe proprietăți remarcabile.

teorema lui Euler. Pentru orice poliedru convex V-R+G=2,

Unde ÎN – numărul vârfurilor sale, R - numărul coastelor sale, G - numărul fețelor sale.

teorema lui Cauchy. Două poliedre convexe închise, compuse identic din fețe, respectiv egale, sunt egale.

Un poliedru convex este considerat regulat dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate egale și același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale.

Poliedru regulat

Un poliedru se numește regulat dacă, în primul rând, este convex, în al doilea rând, toate fețele sale sunt poligoane regulate egale, în al treilea rând, același număr de fețe se întâlnesc la fiecare dintre vârfurile sale și, în al patrulea rând, toate unghiurile sale diedrice sunt egale.

Există cinci poliedre regulate convexe - tetraedrul, octaedrul și icosaedrul cu fețe triunghiulare, cubul (hexaedrul) cu fețe pătrate și dodecaedrul cu fețe pentagonale. Dovada acestui fapt este cunoscută de mai bine de două mii de ani; Această dovadă și studiul celor cinci corpuri regulate încheie Elementele lui Euclid (matematician grec antic, autor al primelor tratate teoretice de matematică care au ajuns până la noi). De ce poliedrele obișnuite au primit astfel de nume? Acest lucru se datorează numărului fețelor lor. Un tetraedru are 4 fețe, tradus din greacă „tetra” înseamnă patru, „hedron” înseamnă față. Un hexaedru (cub) are 6 fețe, un „hexaedru” are șase; octaedru - octaedru, "octo" - opt; dodecaedru - dodecaedru, "dodeca" - doisprezece; Icosaedrul are 20 de fețe, iar icosul are douăzeci.

2.3. Tipuri de poliedre regulate:

1) Tetraedru regulat(compus din patru triunghiuri echilaterale. Fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 180 0);

2)cub- un paralelipiped, ale cărui fețe sunt pătrate. Cubul este format din șase pătrate. Fiecare vârf al cubului este vârful a trei pătrate. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 270 0.

3) Octaedru regulat sau pur și simplu octaedru– un poliedru cu opt fețe triunghiulare regulate și patru fețe care se întâlnesc la fiecare vârf. Octaedrul este format din opt triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al octaedrului este vârful a patru triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 240 0. Poate fi construit prin plierea bazelor a două piramide, ale căror baze sunt pătrate, iar fețele laterale sunt triunghiuri regulate. Muchiile unui octaedru pot fi obținute prin conectarea centrelor fețelor adiacente ale unui cub, dar dacă conectăm centrele fețelor adiacente ale unui octaedru obișnuit, obținem muchiile unui cub. Se spune că cubul și octaedrul sunt duali unul față de celălalt.

4)Icosaedru- compus din douăzeci de triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al icosaedrului este vârful a cinci triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este egală cu 300 0.

5) Dodecaedru- un poliedru format din douăsprezece pentagoane regulate. Fiecare vârf al dodecaedrului este vârful a trei pentagoane regulate. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 324 0.

Dodecaedrul și icosaedrul sunt, de asemenea, duali unul față de celălalt, în sensul că prin conectarea centrelor fețelor adiacente ale icosaedrului cu segmente, obținem un dodecaedru și invers.

Un tetraedru obișnuit este dual cu el însuși.

Mai mult, nu există poliedru regulat ale cărui fețe sunt hexagoane, heptagoane și n-goni în general pentru n ≥ 6.

Un poliedru regulat este un poliedru în care toate fețele sunt poligoane regulate egale și toate unghiurile diedrice sunt egale. Dar există și poliedre în care toate unghiurile poliedrice sunt egale, iar fețele sunt regulate, dar poligoane regulate opuse. Poliedre de acest tip sunt numite poliedre semiregulate echiunghiulare. Arhimede a fost primul care a descoperit poliedre de acest tip. El a descris în detaliu 13 poliedre, care mai târziu au fost numite corpurile lui Arhimede în onoarea marelui om de știință. Acestea sunt tetraedrul trunchiat, oxaedrul trunchiat, icosaedrul trunchiat, cubul trunchiat, dodecaedrul trunchiat, cuboctaedrul, icosidodecaedrul, cuboctaedrul trunchiat, icosidodecaedrul trunchiat, rombocuboctaedrul, rombicosidodecaedrul ", "nub" dodecaedru.

2.4. Poliedrele semiregulare sau solidele arhimediene sunt poliedre convexe cu două proprietăți:

1. Toate fețele sunt poligoane regulate de două sau mai multe tipuri (dacă toate fețele sunt poligoane regulate de același tip, este un poliedru regulat).

2. Pentru orice pereche de vârfuri, există o simetrie a poliedrului (adică o mișcare care transformă poliedrul în sine) transferând un vârf în celălalt. În special, toate unghiurile de vârf poliedrice sunt congruente.

Pe lângă poliedrele semiregulate, din poliedre regulate - solide platonice - se pot obține așa-numitele poliedre stelate regulate. Sunt doar patru, mai sunt numite și corpuri Kepler-Poinsot. Kepler a descoperit un dodecaedru mic, pe care l-a numit înțepător sau arici, și un dodecaedru mare. Poinsot a descoperit alte două poliedre stelate regulate, respectiv duale cu prima doi: marele dodecaedru stelat și marele icosaedru.

Două tetraedre care trec unul prin altul formează un octaedru. Johannes Kepler a dat acestei figuri numele „stella octangula” - „stea octogonală”. Se găsește și în natură: acesta este așa-numitul cristal dublu.

În definiția poliedrului obișnuit, cuvântul „convex” nu a fost subliniat în mod deliberat - bazându-se pe o evidentă aparentă. Și înseamnă o cerință suplimentară: „și toate fețele care se află pe o parte a avionului trecând prin oricare dintre ele”. Dacă abandonăm o astfel de restricție, atunci solidelor platonice, pe lângă „octaedrul extins”, va trebui să adăugăm încă patru poliedre (se numesc solide Kepler-Poinsot), fiecare dintre acestea fiind „aproape regulată”. Toate sunt obținute prin „protagonistul” lui Platonov corp, adică prin extinderea marginilor până când se intersectează între ele și de aceea se numesc stelate. Cubul și tetraedrul nu generează figuri noi - fețele lor, oricât ai continua, nu se intersectează.

Dacă extindeți toate fețele octaedrului până când se intersectează una cu alta, veți obține o figură care apare atunci când două tetraedre se întrepătrund - „stella octangula”, care se numește „extinsă”. octaedru."

Icosaedrul și dodecaedrul dau lumii patru „poliedre aproape regulate” simultan. Unul dintre ele este micul dodecaedru stelat, obținut pentru prima dată de Johannes Kepler.

Timp de secole, matematicienii nu au recunoscut dreptul tuturor tipurilor de stele de a fi numite poligoane din cauza faptului că laturile lor se intersectează. Ludwig Schläfli nu a expulzat un corp geometric din familia poliedre pur și simplu pentru că fețele lui s-au intersectat, totuși, el a rămas neclintit de îndată ce conversația s-a îndreptat către micul dodecaedru stelat. Argumentul lui a fost simplu și greu: acest animal keplerian nu se supune formulei lui Euler! Se formează țepii lui douăsprezece fețe, treizeci de muchii și douăsprezece vârfuri și, prin urmare, B+G-R nu este egal cu două.

Schläfli a avut dreptate și greșit. Desigur, ariciul geometric nu este atât de înțepător încât să se răzvrătească împotriva formulei infailibile. Trebuie doar să nu considerați că este format din douăsprezece fețe în formă de stea care se intersectează, ci priviți-l ca pe un corp geometric simplu, onest, format din 60 de triunghiuri, având 90 de muchii și 32 de vârfuri.

Atunci B+G-R=32+60-90 este egal, așa cum era de așteptat, cu 2. Dar atunci cuvântul „corect” nu se aplică acestui poliedru - la urma urmei, fețele sale nu sunt acum echilaterale, ci doar triunghiuri isoscele. Kepler nu a făcut-o și-a dat seama că cifra pe care a primit-o avea un dublu.

Poliedrul, care este numit „marele dodecaedru”, a fost construit de geometrul francez Louis Poinsot la două sute de ani după figurile stelare ale lui Kepler.

Marele icosaedru a fost descris pentru prima dată de Louis Poinsot în 1809. Și din nou Kepler, după ce a văzut un dodecaedru stelat mare, i-a lăsat onoarea de a descoperi a doua figură lui Louis Poinsot. Aceste cifre se supun, de asemenea, pe jumătate formulei lui Euler.

Uz practic

Poliedre în natură

Poliedrele regulate sunt cele mai avantajoase forme, motiv pentru care sunt răspândite în natură. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. De exemplu, cristalele de sare de masă sunt în formă de cub. În producția de aluminiu se folosește cuarțul aluminiu-potasiu, al cărui singur cristal are forma unui octaedru obișnuit. Producția de acid sulfuric, fier și tipuri speciale de ciment nu se poate face fără pirite sulfuroase. Cristalele acestei substanțe chimice au formă de dodecaedru. Sulfatul de sodiu de antimoniu, o substanță sintetizată de oamenii de știință, este utilizat în diferite reacții chimice. Cristalul de sulfat de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru. Ultimul poliedru regulat, icosaedrul, transmite forma cristalelor de bor.

Poliedrele în formă de stea sunt foarte decorative, ceea ce le permite să fie utilizate pe scară largă în industria de bijuterii la fabricarea tuturor tipurilor de bijuterii. Sunt folosite și în arhitectură. Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. Fulgii de zăpadă sunt poliedre în formă de stea. Din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să descrie toate tipurile posibile de fulgi de zăpadă și au compilat atlasuri speciale. Acum sunt cunoscute câteva mii de tipuri diferite de fulgi de zăpadă.

Poliedre regulate se găsesc și în natura vie. De exemplu, scheletul organismului unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) are forma unui icosaedru. Cele mai multe feodaria trăiesc în adâncurile mării și servesc drept pradă pentru peștii de corali. Dar cel mai simplu animal se protejează cu douăsprezece spini care ies din cele 12 vârfuri ale scheletului. Seamănă mai mult cu un poliedru stelar.

Putem observa și poliedre sub formă de flori. Un exemplu izbitor sunt cactusii.

Informații conexe.

1 opțiune

1. Un corp a cărui suprafață constă dintr-un număr finit de poligoane plate se numește:

1. Cadrilater 2. Poligon 3. Poliedru 4. Hexagon

2. Poliedrele includ:

1. Paralelepiped 2. Prismă 3. Piramidă 4. Toate răspunsurile sunt corecte

3. Un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe se numește:

1. Diagonala 2. Muchia 3. Fata 4. Axa

4. Prisma are nervuri laterale:

1. Egal 2. Simetric 3. Paralel și egal 4. Paralel

5. Fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune se numesc:

1. Opus 2. Opus 3. Simetric 4. Egal

6. O perpendiculară căzută din vârful piramidei spre planul bazei se numește:

1. Mediană 2. Axă 3. Diagonală 4. Înălțime

7. Punctele care nu se află în planul bazei piramidei se numesc:

1. Vârfurile piramidei 2. Nervurile laterale 3. Mărimea liniară

4. Vârfurile feței

8. Înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia se numește:

1. Mediană 2. Apotema 3. Perpendiculară 4. Bisectoare

9. Cubul are toate fețele:

1. Dreptunghiuri 2. Pătrate 3. Trapeze 4. Romburi

10. Un corp format din două cercuri și toate segmentele care leagă punctele cercurilor se numește:

1. Con 2. Minge 3. Cilindru 4. Sferă

11. Cilindrul are generatoare:

1. Egal 2. Paralel 3. Simetric 4. Paralel și egal

12. Bazele cilindrului se află în:

1. Același plan 2. Planuri egale 3. Plane paralele 4. Planuri diferite

13. Suprafața conului este formată din:

1. Generatoare 2. Fețe și margini 3. Baze și margini 4. Baze și suprafețe laterale

14. Un segment care leagă două puncte ale unei suprafețe sferice și care trece prin centrul mingii se numește:

1. Raza 2. Centru 3. Axa 4. Diametru

15. Fiecare secțiune a unei mingi de către un plan este:

1. Cerc 2. Cerc 3. Sfera 4. Semicerc

16. Secțiunea unei bile după planul diametral se numește:

1. Cerc mare 2. Cerc mare 3. Cerc mic 4. Cerc

17. Cercul unui con se numește:

1. Sus 2. Plan 3. Fata 4. Baza

18. Baze de prisme:

1. Paralel 2. Egal 3. Perpendicular 4. Nu este egal

19. Aria suprafeței laterale a prismei se numește:

1. Suma ariilor poligoanelor laterale

2. Suma ariilor coastelor laterale

3. Suma suprafețelor fețelor laterale

4. Suma suprafețelor de bază

20. Intersecția diagonalelor unui paralelipiped este:

1. Centru 2. Centru de simetrie 3. Dimensiune liniară 4. Punct de secțiune

21. Raza bazei cilindrului este de 1,5 cm, înălțimea este de 4 cm. Aflați diagonala secțiunii axiale.

1. 4,2 cm 2. 10 cm.

0 . Care este diametrul bazei dacă generatoarea este de 7 cm?

1. 7 cm 2. 14 cm 3. 3.5 cm.

23. Înălțimea cilindrului este de 8 cm, raza este de 1 cm Găsiți aria secțiunii axiale.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3. 16 cm 2 .

24. Razele bazelor unui trunchi de con sunt de 15 cm și 12 cm, înălțimea de 4 cm Care este generatoarea conului?

1. 5 cm 2. 4 cm 3. 10 cm

POLIEDRI ŞI CORPURI DE ROTARE

Opțiunea 2

1. Vârfurile poliedrului sunt desemnate:

1. a, b, c, d... 2. A, B, C, D ... 3. ab, CD, ac, anunț... 4. AB, SV, A D, CD...

2. Un poliedru format din două poligoane plate combinate prin translație paralelă se numește:

1. Piramida 2. Prisma 3. Cilindru 4. Paralelepiped

3. Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe bază, atunci prisma este:

1. Oblic 2. Regular 3. Drept 4. Convex

4. Dacă un paralelogram se află la baza unei prisme, atunci acesta este:

1. Prismă regulată 2. Paralelepiped 3. Poligon regulat

4. Piramida

5. Un poliedru, care constă dintr-un poligon plat, un punct și segmente care le unesc, se numește:

1. Con 2. Piramidă 3. Prismă 4. Minge

6. Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei se numesc:

1. Margini 2. Laturi 3. Margini laterale 4. Diagonale

7. O piramidă triunghiulară se numește:

1. Piramida regulata 2. Tetraedrul 3. Piramida triunghiulara 4. Piramida inclinata

8. Următoarele nu se aplică poliedrelor obișnuite:

1. Cub 2. Tetraedru 3. Icosaedru 4. Piramidă

9. Înălțimea piramidei este:

1. Axa 2. Mediană 3. Perpendiculară 4. Apotema

10. Segmentele care leagă punctele circumferințelor cercurilor se numesc:

1. Fețele cilindrului 2. Aspectele generice ale cilindrului 3. Înălțimile cilindrului

4. Perpendicularele cilindrului

1. Axa cilindrului 2. Înălțimea cilindrului 3. Raza cilindrului

4. nervură cilindrică

12. Un corp care este format dintr-un punct, un cerc și segmente care le unesc se numește:

1. Piramida 2. Con 3. Sfera 4. Cilindru

13. Un corp care este format din toate punctele din spațiu se numește:

1. Sferă 2. Minge 3. Cilindru 4. Emisferă

14. Limita mingii se numește:

1. Sferă 2. Minge 3. Secțiune 4. Cerc

15. Linia de intersecție a două sfere este:

1. Cercul 2. Semicercul 3. Cercul 4. Secțiunea

16. Secțiunea unei sfere se numește:

1. Cerc 2. Cerc mare 3. Cerc mic 4. Cerc mic

17. Fețele unui poliedru convex sunt convexe:

1. Triunghiuri 2. Unghiuri 3. Poligoane 4. Hexagoane

18. Suprafața laterală a prismei este formată din...

1. Paralelograme 2. Pătrate 3. Diamante 4. Triunghiuri

19. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu:

1. Produsul perimetrului și lungimea feței prismei

2. Produsul lungimii feței prismei și bazei

3. Produsul lungimii feței prismei și înălțimii

4. Produsul perimetrului bazei și al înălțimii prismei

20. Poliedrele obișnuite includ:

21. Raza bazei cilindrului este de 2,5 cm, înălțimea este de 12 cm. Aflați diagonala secțiunii axiale.

1. 15 cm; 2. 14 cm; 3. 13 cm.

22. Cel mai mare unghi dintre generatoarele conului este 60 0 . Care este diametrul bazei dacă generatoarea este de 5 cm?

1,5 cm; 2. 10 cm; 3. 2,5 cm.

23. Înălțimea cilindrului este de 4 cm, raza este de 1 cm Găsiți aria secțiunii axiale.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3. 16 cm 2 .

24. Razele bazelor unui trunchi de con sunt de 6 cm și 12 cm, înălțimea de 8 cm Care este generatoarea conului?

1. 10 cm; 2,4 cm; 3,6 cm.

Când studiem poligoane, vorbim despre un poligon plat, adică poligonul însuși și regiunea sa internă.

Același lucru se întâmplă și în stereometrie. Prin analogie cu conceptul de poligon plat, se introduce conceptul de corp și suprafața acestuia.

Un punct al unei figuri geometrice se numește intern dacă există o bilă cu un centru în acest punct care aparține în întregime acestei figuri. O figură se numește regiune dacă tot

punctele sale sunt interne și dacă oricare două dintre punctele sale pot fi conectate printr-o linie întreruptă care aparține în întregime figurii.

Un punct din spațiu se numește punct de limită al unei figuri date dacă orice bilă cu un centru în acest punct conține atât puncte aparținând figurii, cât și puncte care nu îi aparțin. Punctele de limită ale unei zone formează limita zonei.

Un corp este o regiune finită împreună cu granița sa. Limita unui corp se numește suprafața corpului. Un corp se numește simplu dacă poate fi împărțit într-un număr finit de piramide triunghiulare.

În cel mai simplu caz, un corp de revoluție este un corp ale cărui plane perpendiculare pe o anumită dreaptă (axa de rotație) se intersectează în cercuri cu centre pe această dreaptă. Un cilindru, un con și o bilă sunt exemple de corpuri de rotație.

48. Unghiuri poliedrice. Poliedre.

Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane cu o linie de delimitare comună. Semiplanele se numesc fețe, iar linia dreaptă care le limitează se numește muchia unui unghi diedru.

Figura 142 prezintă un unghi diedru cu muchia a și fețele

Un plan perpendicular pe marginea unui unghi diedru își intersectează fețele de-a lungul a două semi-linii. Unghiul format de aceste semi-linii se numește unghiul liniar al unghiului diedric. Măsura unui unghi diedru este considerată măsura unghiului liniar corespunzător. Dacă un plan y este trasat prin punctul A al muchiei a unui unghi diedru, perpendicular pe această muchie, atunci el va intersecta planele a și 0 de-a lungul semi-unghiului liniar al unghiului diedric dat. Gradul de măsurare a acestui unghi liniar este gradul de măsurare a unghiului diedric. Măsura unghiului diedric nu depinde de alegerea unghiului liniar.

Un unghi triedric este o figură alcătuită din trei unghiuri plate. Aceste unghiuri se numesc fețele unui unghi triedric, iar laturile lor se numesc muchii. Vârful comun al unghiurilor plane se numește vârful unui unghi triedric. Unghiurile diedrice formate de fețe și prelungirile acestora se numesc unghiuri diedrice ale unui unghi triedric.

Conceptul de unghi poliedric este definit în mod similar ca o figură compusă din unghiuri plane Pentru un unghi poliedric, conceptele de fețe, muchii și unghiuri diedrice sunt definite în același mod ca și pentru un unghi triedric.

Un poliedru este un corp a cărui suprafață constă dintr-un număr finit de poligoane plate (Fig. 145).

Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecărui poligon de pe suprafața sa (Fig. 145, a, b). Partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poliedru convex se numește față. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe. Laturile fețelor se numesc muchiile poliedrului, iar vârfurile se numesc vârfuri ale poliedrului.

49. Prismă. Paralelipiped. cub

O prismă este un poliedru care constă din două poligoane plate, combinate prin translație paralelă, și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane. Poligoanele se numesc bazele prismei, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare se numesc marginile laterale ale prismei (Fig. 146).

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele prismei sunt egale. Deoarece în timpul translației paralele planul merge într-un plan paralel (sau în sine), atunci

Bazele prismei se află în planuri paralele. Deoarece în timpul translației paralele punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) la aceeași distanță, atunci marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.

Figura 147, a prezintă o prismă quadrangulară Poligoane plane ABCD și sunt combinate prin translația paralelă corespunzătoare și sunt bazele prismei, iar segmentele AA sunt marginile laterale ale prismei. Bazele prismei sunt egale (translația paralelă este o mișcare și transformă o figură într-o figură egală, paragraful 79). Nervele laterale sunt paralele și egale.

Suprafața prismei este formată din bază și suprafața laterală. Suprafața laterală este formată din paralelograme. În fiecare dintre aceste paralelograme, două laturi sunt laturile corespunzătoare ale bazelor, iar celelalte două sunt margini laterale adiacente ale prismei.

În figura 147, suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme. Suprafața completă este formată din baze și paralelograme de mai sus.

Înălțimea unei prisme este distanța dintre planurile bazelor sale. Un segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe se numește diagonală prismă. Secțiunea diagonală a unei prisme este secțiunea planului ei care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Figura 147a prezintă o prismă cu înălțimea sa și una dintre diagonalele sale. Secțiunea este una dintre secțiunile diagonale ale acestei prisme.

O prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. Altfel se numește prisma

înclinat O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Figura 147, a prezintă o prismă înclinată, iar Figura 147, b - una dreaptă, aici marginea este perpendiculară pe bazele prismei. Figura 148 prezintă prisme regulate bazele lor sunt, respectiv, un triunghi regulat, un pătrat și un hexagon regulat.

Dacă bazele unei prisme sunt paralelograme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. Figura 147, a prezintă un paralelipiped înclinat, iar Figura 147, b - un paralelipiped drept.

Fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune se numesc opuse. În Figura 147, iar fețele sunt opuse.

Este posibil să se demonstreze unele proprietăți ale unui paralelipiped.

Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelipiped este centrul său de simetrie.

Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește cuboid. Toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

Un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale se numește cub.

Lungimile marginilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiuni sau dimensiuni liniare ale acestuia. Un paralelipiped dreptunghiular are trei dimensiuni liniare.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular este adevărată următoarea teoremă:

Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni liniare ale sale.

De exemplu, într-un cub cu muchia a diagonalele sunt egale:

50. Piramida.

O piramidă este un poliedru care constă dintr-un poligon plat - baza piramidei, un punct care nu se află în planul bazei - vârful piramidei și toate segmentele care leagă vârful cu punctele bazei (Fig. 150). Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei se numesc margini laterale. Figura 150a prezintă piramida SABCD. Patrulaterul ABCD este baza piramidei, punctul S este vârful piramidei, segmentele SA, SB, SC și SD sunt marginile piramidei.

Înălțimea unei piramide este perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei. În figura 150, un SO este înălțimea piramidei.

O piramidă se numește -unghiulară dacă baza ei este

Pătrat. O piramidă triunghiulară se mai numește și tetraedru.

Figura 151, a prezintă o piramidă triunghiulară, sau tetraedru, Figura 151, b - patruunghiulară, Figura 151, c - hexagonal.

Un plan paralel cu baza piramidei și care o intersectează decupează o piramidă similară.

O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat și baza înălțimii sale coincide cu centrul acestui poligon. Figura 151 prezintă piramide regulate. O piramidă obișnuită are nervuri laterale egale; prin urmare, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, trasă din vârful acesteia, se numește apotema.

Conform T.3.4, planul a, paralel cu planul 0 al bazei piramidei și care intersectează piramida, decupează o piramidă similară din aceasta. Cealaltă parte a piramidei este un poliedru numit piramidă trunchiată. Fețele unei trunchi de piramidă situate în planuri paralele se numesc bazele unei trunchi de piramidă, fețele rămase sunt numite fețe laterale. Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare (mai mult, omotetice), fețele laterale sunt trapeze. Figura 152 prezintă o piramidă trunchiată

51. Poliedre regulate.

Un poliedru convex se numește regulat dacă fețele sale sunt poligoane regulate cu același număr de laturi și același număr de muchii converg la fiecare vârf al poliedrului.

Există cinci tipuri de poliedre convexe regulate (Fig. 154): tetraedru regulat, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru. Tetraedrul obișnuit și cubul au fost discutate mai devreme (paragrafele 49, 50). Trei muchii se întâlnesc la fiecare vârf al unui tetraedru obișnuit și al unui cub.

Fețele octaedrului sunt triunghiuri regulate. Patru muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale.

Fețele dodecaedrului sunt pentagoane regulate. Trei muchii converg la fiecare vârf.

Fețele icosaedrului sunt triunghiuri regulate, dar spre deosebire de tetraedru și octaedru, cinci muchii converg la fiecare vârf.

„Tipuri de poliedre” - Poliedre stelate regulate. Dodecaedru. Dodecaedru mic stelat. Poliedre. Hexaedru. solidele lui Platon. Prismatoid. Piramidă. Icosaedru. Octaedru. Un corp limitat de un număr finit de planuri. octaedrul stelar. Doua fete. Legea reciprocității. Matematician. Tetraedru.

„Poliedrul corpului geometric” - Poliedre. Prisme. Existența unor cantități incomensurabile. Poincare. Margine. Măsurarea volumului. Fețele unui paralelipiped. Paralepiped dreptunghiular. Vedem adesea o piramidă pe stradă. Poliedru. Fapte interesante. farul alexandrin. Forme geometrice. Distanța dintre avioane. Memphis.

„Cascade de poliedre” - Muchia unui cub. Marginea octaedrului. Cub și dodecaedru. tetraedru unitar. Dodecaedru și icosaedru. Dodecaedru și tetraedru. Octaedru și icosaedru. Poliedru. Poliedru regulat. Octaedru și dodecaedru. Icosaedru și octaedru. Icosaedrul unitar. Tetraedru și icosaedru. Dodecaedrul unitar. Octaedru și tetraedru. Cub și tetraedru.

„Stereometria „Polyedre”” - Poliedre în arhitectură. Secțiune de poliedre. Dați un nume poliedrului. Marea Piramidă din Giza. Solidele platonice. Corectați lanțul logic. Poliedru. Referință istorică. Cea mai frumoasă oră de poliedre. Rezolvarea problemelor. Obiectivele lecției. „Joacă-te cu spectatorii” Formele geometrice și numele lor corespund?

„Forme stelare ale poliedrelor” - Marele dodecaedru stelat. Poliedrul prezentat în figură. Poliedre stelare. Coaste laterale. Cuboctaedre stelare. Icosaedru trunchiat stelat. Un poliedru obținut prin trunchierea unui icosaedru trunchiat stelat. Vârfurile marelui dodecaedru stelat. Icosaedre stelate. Dodecaedru mare.

„Secțiunea unui poliedru după un plan” - Secțiunea poliedrelor. Poligoane. Tăieturile formau un pentagon. Urma planului de tăiere. Secțiune. Să găsim punctul de intersecție al liniilor. Avion. Construiți o secțiune transversală a unui cub. Construiți o secțiune transversală a prismei. Găsim rostul. Prismă. Metode de realizare a secțiunilor. Hexagonul rezultat. Secțiunea unui cub. Metoda axiomatică.

Sunt 29 de prezentări în total

Corpuri geometrice

Introducere

În stereometrie, sunt studiate figurile din spațiu, care sunt numite corpuri geometrice.

Obiectele din jurul nostru ne dau o idee despre corpurile geometrice. Spre deosebire de obiectele reale, corpurile geometrice sunt obiecte imaginare. Clar corp geometric trebuie imaginat-o ca pe o parte a spațiului ocupată de materie (argilă, lemn, metal, ...) și limitată de o suprafață.

Toate corpurile geometrice sunt împărțite în poliedreȘi corpuri rotunde.

Poliedre

Poliedru este un corp geometric a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plate.

Margini poliedru, se numesc poligoanele care alcătuiesc suprafața sa.

Coaste ale unui poliedru se numesc laturile fețelor poliedrului.

Vârfurile ale unui poliedr se numesc vârfurile fețelor poliedrului.

Poliedrele sunt împărțite în convexȘi neconvex.

Poliedrul se numește convex, dacă se află în întregime pe o parte a oricăreia dintre fețele sale.

Exercițiu. Specifica margini, coasteȘi culmi cubul prezentat în figură.

Poliedrele convexe sunt împărțite în prismeȘi piramide.

Prismă

Prismă este un poliedru în care două fețe sunt egale și paralele
n-goni, și restul n fețele sunt paralelograme.

Două n- se numesc gonurile baze de prisme, paralelograme - fetele laterale. Laturile fețelor laterale și ale bazelor se numesc nervuri prisme, se numesc capetele marginilor vârfurile prismei. Marginile laterale sunt margini care nu aparțin bazelor.

Poligoanele A 1 A 2 ...A n și B 1 B 2 ...B n sunt bazele prismei.

Paralelograme A 1 A 2 B 2 B 1, ... - fețe laterale.

Proprietățile prismei:

· Bazele prismei sunt egale și paralele.

· Marginile laterale ale prismei sunt egale și paralele.

Diagonala prismei numit segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Înălțimea prismei se numește perpendiculară căzută dintr-un punct al bazei superioare către planul bazei inferioare.

O prismă se numește 3-gonal, 4-gonal, ..., n-cărbune, dacă este baza
3-goane, 4-goane, ..., n-goni.

Prismă dreaptă numită prismă ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe baze. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri.

Prismă înclinată se numește prismă care nu este dreaptă. Fețele laterale ale unei prisme înclinate sunt paralelograme.

Cu prisma dreapta numit Drept o prismă cu poligoane regulate la bază.

Zonă suprafata intreaga prisme se numește suma ariilor tuturor fețelor sale.

Zonă suprafata laterala prisme se numește suma ariilor fețelor sale laterale.

S plin = S lateral + 2 S de bază