derivate complexe. derivată logaritmică

Funcțiile complexe nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y \u003d sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduc semnificativ timpul de găsire a derivatei.

Definiții de bază

Definiția 1

O funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)) . Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)) .

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmului natural. Obținem că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg (lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la a 4-a putere, unde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complicat. Din exemplul y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, se poate observa că valoarea lui g are o rădăcină cubă cu o fracție. Această expresie poate fi notată ca y = f (f 1 (f 2 (x))) . De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcina pătrată, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este definit de orice număr natural și se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate conform enunțului problemei. Pentru soluție, formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe a formei

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Exemple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2 .

Soluţie

Prin convenție, f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Aplicam formula derivata pentru o functie complexa si scriem:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Este necesar să găsiți o derivată cu o formă inițială simplificată a funcției. Primim:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Prin urmare, avem asta

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele s-au potrivit.

Când rezolvați probleme de acest fel, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y \u003d sin 2 x și y \u003d sin x 2.

Soluţie

Prima intrare a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g (x) = x 2 denotă funcția de putere. Rezultă că produsul unei funcții complexe poate fi scris ca

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) va fi scrisă ca y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) . . . f n "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Soluţie

Acest exemplu arată complexitatea scrierii și determinării locației funcțiilor. Atunci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică, unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, o funcție cu un logaritm și baza e, o funcție de arc tangente și una liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe, avem că

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Obține ce să găsești

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului în tabelul derivatelor, apoi f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, apoi f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ca derivată a arc-tangentei, apoi f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Când găsiți derivata f 4 (x) \u003d 2 x, scoateți 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata funcției de putere cu un exponent care este egal cu 1, apoi f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții seamănă cu păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să aplicați formula pentru găsirea derivatelor funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între o vedere complexă și o funcție complexă. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luăm în considerare aducerea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , atunci poate fi considerată o funcție complexă de forma g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Evident, este necesar să se aplice formula pentru derivatul complex:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2 , 3 t g x și 1 . Cu toate acestea, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) \u003d x 2 și f, care este o funcție a tangentei. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți diferența în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f „(g (x)) = (t g (g (x)))” = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g „(x) = (x 2)” = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile complexe pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi funcții compuse ale formei complexe.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)) , unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)) .

Se consideră funcția h(x) . Acesta este raportul dintre l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3, iar p 1 este o funcție cub, p 2 funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - funcție liniară.

Am constatat că m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = e x 2 și r (x) = 3 3 , unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) este o funcție complexă, q 1 este o funcție cu exponent, q 2 (x) = x 2 este o funcție de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când treceți la o expresie de forma k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), este clar că funcția este reprezentată ca un complex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) cu întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este funcția de pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu baza e .

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Conform structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie aplicate pentru a simplifica expresia atunci când este diferențiată. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru a înțelege soluția lor, este necesar să ne referim la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că pentru unii li se vor părea complicate următoarele două exemple, dar dacă sunt înțelese (cineva suferă), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc un truc util: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare să nu aibă erori:

1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.

2) Luăm derivata diferenței folosind regula

3) Derivata triplei este egala cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

4) Luăm derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit pentru o situație în care produsul nu a două, ci a trei funcții este dat într-un exemplu. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar rand pe rand aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți încă perverti și scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Luați în considerare exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul?

Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unei derivate, ci la transformări școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „îngrozitor” pentru diferențiere

Funcțiile unei forme complexe nu sunt în întregime corecte pentru a numi termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.

În acest articol, ne vom ocupa de conceptul de funcție complexă, vom învăța cum să o identificăm ca parte a funcțiilor elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice.

Când rezolvăm exemple, vom folosi constant tabelul de derivate și regulile de diferențiere, așa că păstrați-le în fața ochilor.

Funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. În mod convențional, poate fi notat ca f(g(x)). Adică, g(x) este, așa cum ar fi, un argument al funcției f(g(x)) .

De exemplu, dacă f este funcția arctangentă și g(x) = lnx este funcția logaritm natural, atunci funcția complexă f(g(x)) este arctg(lnx) . Un alt exemplu: f este o funcție de ridicare la puterea a patra și este o întreagă funcție rațională (vezi ), atunci .

La rândul său, g(x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, . În mod convențional, o astfel de expresie poate fi notată ca . Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, este o funcție rațională fracțională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice număr natural finit.

Puteți auzi adesea că este numită o funcție complexă compoziția funcției.

Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții complexe.

Soluţie.

În acest exemplu, f este o funcție de pătrat și g(x) = 2x+1 este o funcție liniară.

Iată o soluție detaliată folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:

Să găsim această derivată, după simplificarea formei funcției inițiale.

Prin urmare,

După cum puteți vedea, rezultatele se potrivesc.

Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g(x) .

Să explicăm acest lucru cu un exemplu pentru atenție.

Exemplu.

Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și .

Soluţie.

În primul caz, f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus, deci
.

În al doilea caz, f este o funcție sinus și este o funcție de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe, avem

Formula derivată pentru o funcție are forma

Exemplu.

Funcția de diferențiere .

Soluţie.

În acest exemplu, funcția complexă poate fi scrisă condiționat ca , unde este funcția sinus, funcția de ridicare la a treia putere, funcția de logaritm la baza e, funcția de luare a arc-tangentei și respectiv funcția liniară.

Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe

Acum găsim

Adunând rezultatele intermediare obținute:

Nu este nimic groaznic, dezasamblați funcții complexe precum păpușile de cuib.

Acest lucru ar fi putut încheia articolul, dacă nu unul, dar...

Este de dorit să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când formula pentru derivata unei funcții complexe.

FI FOARTE ATENȚIE ACUM. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. De cât de mult vezi această diferență, succesul în găsirea derivatelor va depinde.

Să începem cu exemple simple. Funcţie poate fi considerat complex: g(x) = tgx , . Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe

Și aici este funcția nu mai poate fi numit dificil.

Această funcție este suma a trei funcții , 3tgx și 1 . Deși - este o funcție complexă: - este o funcție de putere (o parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, aplicăm mai întâi formula de diferențiere a sumei:

Rămâne de găsit derivata unei funcții complexe:

De aceea .

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Dacă priviți mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

De exemplu, să analizăm părțile componente ale funcției .

in primul rand, este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca , unde f este funcția logaritmică de bază 3 și g(x) este suma celor două funcții Și . Acesta este, .

În al doilea rând, să ne ocupăm de funcția h(x) . Este legat de .

Aceasta este suma a două funcții și , Unde - o funcţie complexă cu un coeficient numeric de 3 . - funcţie cub, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.

Aceasta este suma a două funcții și , unde - funcţie complexă, - funcţie exponenţială, - funcţie exponenţială.

Prin urmare, .

Al treilea, mergeți la , care este produsul unei funcții complexe și o întreagă funcție rațională

Funcția de pătrat este funcția de logaritm la baza e.

Prin urmare, .

A rezuma:

Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.

În secțiunea diferențierea unei funcții (găsirea unei derivate) puteți găsi soluția unor astfel de probleme.

Dacă g(X) Și f(u) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte XȘi u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula

O greșeală tipică în rezolvarea problemelor pe derivate este transferul automat al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple de funcții complexe. Vom învăța să evităm această greșeală.

Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita: calculați logaritmul natural al fiecărui termen dintre paranteze și găsiți suma derivatelor:

Solutia corecta: iarăși stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, logaritmul natural al expresiei dintre paranteze este „mărul”, adică funcția de pe argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme reale, expresia cu logaritmul este ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție

Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita:

Soluție corectă.Încă o dată, stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este „măr”, este pregătit în modul 1, care îl afectează numai pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului - numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se gătește în modul 2, afectându-l doar pe acesta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu un semn de produs. Rezultat:

Derivata unei funcții logaritmice complexe este o sarcină frecventă în teste, așa că vă recomandăm insistent să vizitați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pentru funcții complexe, în care argumentul intermediar asupra variabilei independente era o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivata argumentului intermediar, aceasta este pur și simplu substituită în locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.

În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii

atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. ar putea necesita să deschideți tutoriale în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Acțiuni cu fracții .

Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul rezultat al derivatelor, argumentul intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:

Al doilea termen este rădăcina, deci

Astfel, s-a obținut că argumentul intermediar, care este suma, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: exponențiația este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar printr-o variabilă independentă. X.

Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină și diferențiind al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesară pentru a calcula derivata funcției complexe cerute în starea problemei y:

Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții

În primul rând, folosim regula diferențierii sumei:

Obțineți suma derivatelor a două funcții complexe. Găsiți primul:

Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Prin urmare, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând multiplicatorul din paranteze :

Acum găsim al doilea termen dintre cei care formează derivata funcției y:

Aici, ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar față de variabila independentă X. Din nou, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Rezultatul este derivata necesară:

Tabel de derivate ale unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivată a unei funcții de putere complexe, unde u X
2. Derivat al rădăcinii expresiei
3. Derivata functiei exponentiale
4. Caz special al funcției exponențiale
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A
6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u este o funcție diferențiabilă a argumentului X
7. Derivat sinus
8. Derivat de cosinus
9. Derivată tangentă
10. Derivat de cotangente
11. Derivată a arcsinusului
12. Derivată a arccosinusului
13. Derivată de arc tangente
14. Derivată a tangentei inverse

În această lecție, vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, pe care am analizat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele metode tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu sunteți foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt în totalitate clare, atunci citiți mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să acordați o dispoziție serioasă - materialul nu este ușor, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi de derivata unei funcții complexe foarte des, chiar aș spune aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm în tabel la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Noi înțelegem. În primul rând, să aruncăm o privire asupra notației. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest fel (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție interioară (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresiile informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus, nu avem doar litera „x”, ci întreaga expresie, deci găsirea imediată a derivatei din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să aplicați primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că este imposibil să „sfiți” sinusul:

În acest exemplu, deja din explicațiile mele, este intuitiv clar că funcția este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas, care trebuie efectuată atunci când găsirea derivatei unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este imbricat sub sinus. Dar dacă nu este evident? Cum să determinați exact ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă propun să folosiți următoarea tehnică, care poate fi efectuată mental sau pe ciornă.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei cu un calculator (în loc de unul, poate exista orice număr).

Ce calculăm mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , deci polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui să găsiți, deci sinusul - va fi o funcție externă:

După ce noi A INTELEGE Cu funcțiile interioare și exterioare, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcției compuse.

Începem să decidem. De la lecție Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea soluției oricărei derivate începe întotdeauna astfel - includem expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele tabelare sunt aplicabile chiar dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notați decizia pe hârtie și citiți din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, scriem:

Ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde este una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau pe o schiță) să calculăm valoarea expresiei pentru . Ce trebuie făcut mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce baza este egală:, ceea ce înseamnă că polinomul este funcția internă:

Și, numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula dorită în tabel:. Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „x”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția interioară nu se modifică:

Acum rămâne să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interioare și să „pieptănați” puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Pentru a consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, raționați, unde este externul și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata unei funcții

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca un grad. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma potrivită pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma a trei termeni este o funcție internă, iar exponențiația este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe:

Gradul este din nou reprezentat ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne, aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți aduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când se obțin derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faci acest lucru (este ușor să te confuzi, să faci o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, se poate folosi regula de diferențiere a unui coeficient. , dar o astfel de soluție ar arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - scoatem semnul minus al derivatei și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:

Găsim derivata funcției interioare, resetăm cosinusul înapoi în jos:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați cu regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Până acum, am luat în considerare cazurile în care am avut doar un cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Înțelegem atașamentele acestei funcții. Încercăm să evaluăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți, ceea ce înseamnă că arcsinusul este cel mai adânc cuib:

Acest arcsinus al unității ar trebui apoi să fie la pătrat:

Și, în sfârșit, îi ridicăm pe cei șapte la putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două imbricare, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Începem să decidem

Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Sub liniuță, avem din nou o funcție dificilă! Dar deja este mai ușor. Este ușor de observat că funcția interioară este arcsinus și funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata gradului.