Valorile medii, esența lor și tipurile lor.

Conceptul de serie variațională. Primul pas în sistematizarea materialelor de observare statistică este numărarea numărului de unități cu una sau altă caracteristică. Prin plasarea unităților în ordinea ascendentă sau descendentă a caracteristicilor lor cantitative și calcularea numărului de unități cu o valoare specifică specifică, obținem o gamă de variații. Seria de variație caracterizează distribuția unităților de un anumit agregat statistic în funcție de orice bază cantitativă.

Intervalul de variație este două coloane, în coloana din stânga, valorile caracteristicilor variabile menționate ca opțiuni și numerele dentare (x) și în partea dreaptă - numerele absolute care arată de câte ori se găsește fiecare opțiune. Indicatorii acestei coloane sunt numiți frecvențe și desemnați (f).

Schematic, intervalul de variație poate fi reprezentat ca Tabelul.5.1:

Tabelul 5.1.

Tipul de variație rând

Opțiuni (x)	Frecvență (f)

Coloana din dreapta poate utiliza, de asemenea, indicatori relativi care caracterizează fracțiunea de frecvență a opțiunilor individuale în suma de frecvență totală. Acești indicatori relativi sunt numiți în general și convențional denotați de, adică. . Suma tuturor frecvențelor este egală cu una. Frecvența poate fi exprimată în procente, iar apoi suma lor va fi de 100%.

Diferitele semne pot fi diferite. Opțiunile pentru unele semne sunt exprimate în numere întregi, cum ar fi numărul de camere din apartament, numărul de cărți publicate etc. Aceste semne sunt numite întrerupte sau discrete. Alte caracteristici pot lua orice valori în anumite limite, cum ar fi, de exemplu, executarea sarcinilor planificate, salariu Și alții. Aceste semne sunt numite continuu.

Variariile discrete. Dacă variantele domeniului de variație sunt exprimate sub formă de valori discrete, atunci o astfel de interval de variație se numește discretă, este aspect Prezentat în tabel. 5.2:

Tabelul 5.2.

Distribuția studenților la estimată la examen

Estimări (x)	Numărul de studenți (F)	În% la rezultat ()

Natura distribuției în rânduri discrete este descrisă grafic sub forma unui poligon de distribuție, Fig.5.1.

Smochin. 5.1. Distribuția studenților conform estimărilor primite la examen.

Variariarii intervalului. Pentru semne continue, variațiile sunt construite interval, adică Valorile atributului în ele sunt exprimate sub formă de intervale "de la și". În același timp, valoarea minimă a caracteristicilor din acest interval se numește limita inferioară a intervalului și maximul - limita superioară a intervalului.

Variațiile intervalului sunt construite atât pentru semne întrerupte (discrete) cât și pentru variind într-un interval mare. Rândurile intervalelor pot fi intervale egale și inegale. În practica economică, aplicate în cea mai mare parte intervale inegale, în creștere progresivă sau în scădere. O astfel de nevoie apare în special în cazurile în care secțiunile din trasat se desfășoară inegal și în limite mari.

Luați în considerare forma unui rând interval cu intervale egale, tabelul. 5.3:

Tabelul 5.3.

Distribuirea lucrătorilor pentru a lucra

Dezvoltare, TR. (X)	Numărul de lucrători (f)	Frecvența cumulativă (F ')

Intervalul de distribuție a intervalului este portretizat grafic sub forma unei histograme, Fig.5.2.

Fig.5.2. Distribuirea lucrătorilor pentru a lucra

Frecvența acumulată (cumulativă). În practică, este necesar să se transforme rândul de distribuție în rânduri cumulativefrecvențe acumulate în construcție. Cu ajutorul lor, puteți defini media structurală, care facilitează analiza acestor rânduri de distribuție.

Frecvențele acumulate sunt determinate de adăugarea secvențială a frecvențelor (sau frecvențelor interne) ale primului grup din acești indicatori ai grupurilor ulterioare de o serie de distribuție. Pentru a ilustra rândurile de distribuție, cumulate și rânduri sunt utilizate. Pentru a le construi pe axa Abscisa, sunt notate valorile caracteristicilor discrete (sau sfârșitul intervalelor) și pe axa ordonată - rezultatele crescânde ale frecvențelor (cumulate), fig.5.3.

Smochin. 5.3. Cumulând distribuția antrenamentului

Dacă scalele frecvențelor și opțiunilor schimbă locurile, adică. Pe axa Abscisa, reflectă frecvențele acumulate și pe axa ordonată - valorile opțiunilor, curba care caracterizează schimbarea frecvențelor din grupul la grup va fi numită rândul distribuției, FIG. 5.4.

Smochin. 5.4. Ohiva distribuția lucrătorilor pentru a lucra

Seria variațională cu intervale egale oferă una dintre cele mai importante cerințe pentru rânduri statistice Distribuția, asigurarea comparabilității acestora în timp și spațiu.

Densitatea distribuției. Cu toate acestea, frecvențele intervalelor individuale inegale în aceste rânduri nu sunt direct comparabile. În astfel de cazuri, densitatea de distribuție este calculată pentru a asigura comparabilitatea necesară, adică Determinați câte unități din fiecare grup reprezintă o unitate de dimensiune a intervalului.

La construirea unui grafic al distribuției unei serii variaționale cu intervale inegale, înălțimea dreptunghiurilor este determinată proporțional cu cele care nu sunt frecvențele, dar indicatorii de densitate ai distribuției valorilor atributului atribuit în intervalele corespunzătoare.

Compilarea seriei de variație și imaginea sa grafică este primul pas în procesarea datelor sursă și a primei etape a analiza agregatului studiat. Următorul pas în analiza seriei variaționale este definirea indicatorilor de bază de generalizare numiți caracteristicile seriei. Aceste caracteristici trebuie să ofere o idee despre semnul mediu al semnului în unități de agregate.

valoarea medie. Valoarea medie este o caracteristică generalizată a atributului studiat în studiu, reflectând nivelul său tipic pe unitate de combustie în anumite condiții de loc și timp.

Valoarea medie este întotdeauna numită, are aceeași dimensiune ca un semn în unități individuale de agregate.

Înainte de a calcula valorile medii, este necesar să se grupeze unitățile de agregare totală, alocarea grupurilor omogene de înaltă calitate.

Media, calculată pe totalitatea ca întreg este numită o medie comună și pentru fiecare grup de grupuri de grup.

Există două soiuri de valori medii: putere (aritmetică medie, armonică medie, geometrică medie, pavială medie); Structurale (modă, mediană, quartile, declin).

Alegerea mediului de calculat depinde de țintă.

Tipuri de medii de putere și metode pentru calculul lor.În practica procesării statistice a materialului asamblat, apar diferite sarcini, pentru rezolvarea diferitelor medii.

Statisticile matematice afișează diferite medii din formulele mediului de alimentare:

unde valoarea medie; x - opțiuni separate (semne de semne); Z este un indicator al gradului (la Z \u003d 1 - aritmetica medie, Z \u003d 0 Geometric mediu, Z \u003d - 1 este armonica medie, Z \u003d 2 este patratul mediu).

Cu toate acestea, problema tipului de mediu trebuie aplicată în fiecare caz individual este permisă de o analiză specifică a agregatului studiat.

Cele mai frecvente în statistici, tipul valorilor medii este aritmeticul de mijloc. Se calculează în cazurile în care volumul caracteristicilor medii este format ca sumă a valorilor sale în unitățile individuale ale agregatului statistic studiat.

În funcție de natura datelor sursă, aritmetica medie este determinată în diferite moduri:

Dacă datele sunt non-majore, atunci calculul se efectuează prin formula unei dimensiuni simple medii

Calculul aritmeticii medii în rândul discretvine cu Formula 3.4.

Calculul aritmeticii medii într-un rând interval. În seria de variație interval, unde mijlocul intervalului este acceptat în mod condiționat în fiecare grup, aritmetica medie poate diferi de media calculată pe datele non-majore. În plus, cu atât mai mare este amploarea intervalului în grupuri, cu atât mai mari posibilele deviații ale mediului calculate de datele grupate, de la media calculată pe datele non-majore.

Când se calculează media în seria de variație interval, pentru a efectua calculele necesare de la intervalele la mijlocul lor. Și apoi calculați valoarea medie în funcție de formula aritmetică medie ponderată.

Proprietățile aritmetice medii.Aritmetica medie are unele proprietăți care vă permit să simplificați calculele, să le considerați.

1. Aritmetica medie a numerelor constante este egală cu acest număr constant.

Dacă x \u003d a. Atunci .

2. Dacă greutățile tuturor variantelor sunt proporționale cu schimbarea, adică Creșterea sau scăderea în același număr de ori, atunci rândul mediu aritmetic nou din acest lucru nu se va schimba.

Dacă toate cântărește f reduc în k ori, atunci .

3. Suma abaterilor pozitive și negative ale variantelor individuale din media multiplicată este zero, adică

Daca atunci. De aici.

Dacă toate opțiunile de reducere sau de creștere a oricărui număr, atunci rândul nou aritmetic aritmetic va reduce sau crește același lucru.

Reduceți toate opțiunile x. pe a.. x.´ = x.– a.

Atunci

Seria medie aritmetică aritmetică poate fi obținută prin adăugarea la un mediu redus dedus anterior din opțiunile de număr. a.. .

5. Dacă toate opțiunile reduc sau cresc k. Odată, rândul mediu aritmetic nou va reduce sau crește aceeași sumă, adică. în k. timp.

Apoi .

De aici, adică Pentru a obține o gamă medie inițială, un nou nivel nou aritmetic (cu opțiuni reduse) trebuie să fie crescut în k.timp.

Armonică mijlocie.Armonica medie este valoarea aritmeticii de mijloc. Se folosește când informații statistice Nu conține frecvențe în anumite variante ale totalității și este reprezentată ca produs (M \u003d XF). Armonica medie va fi calculată cu Formula 3.5

Aplicarea practică a armonicii medii - pentru a calcula anumiți indici, în special indicele prețurilor.

Mediu geometric.Când se aplică medii geometrice, valorile caracteristice individuale sunt, de regulă, valori relative Vorbitorii construiți sub formă de valori ale lanțului ca relație cu nivelul anterior al fiecărui nivel într-un număr de difuzoare. Media caracterizează, astfel, coeficientul mediu de creștere.

Valoarea geometrică medie este de asemenea utilizată pentru a determina valoarea echidistant de la valorile semnelor maxime și minime. De exemplu, o societate de asigurări concluzionează contracte pentru furnizarea de servicii de asigurare auto. În funcție de evenimentul asigurat specific, plata de asigurare poate varia de la 10.000 $ la 100.000 $ pe an. Valoarea medie a plăților de asigurare va fi de dolari.

Geometricul mediu este valoarea utilizată ca medie a relațiilor sau în rândurile de distribuție prezentate sub formă de progresie geometrică, când Z \u003d 0. Această medie este convenabilă de utilizat atunci când atenția este plătită nu la diferențe absolute, dar două relații de numere .

Formule pentru calcularea următoarelor

unde - opțiunile semnului mediu; - opțiuni de lucru; f.- Opțiuni de frecvență.

Geometricul mediu este utilizat în calculele ratelor medii anuale de creștere.

Pavaratic mijlociu.Formula patratului mediu este utilizată pentru a măsura gradul de cantitate a valorilor individuale ale atributului în jurul aritmeticii medii în rândurile distribuției. Astfel, la calcularea indicatorilor de variații, media se calculează din pătratele abaterilor de valori individuale ale caracteristica de la valoarea aritmetică medii.

Valoarea medie patrată este calculată prin formula

În studiile economice, pavilionul mediu în forma modificată este utilizat pe scară largă la calcularea indicatorilor de caracterizare a caracteristica, cum ar fi dispersia, deviația medie patrată.

Regulă majoreuită. Între mediile puternice există următoarea dependență - cu cât este mai mare indicatorul, cu atât este mai mare valoarea medie, Tabelul.5.4:

Tabelul 5.4.

Raportul dintre valorile medii

Z valoarea
Raportul dintre mediu

Acest raport este numit regula majorității.

Valori medii structurale.Indicatorii speciali sunt utilizați pentru a caracteriza structura setului, care se poate numi medii structurale. Astfel de indicatori includ moda, mediană, quartile și desiliere.

Modă. Moda (Mo) se numește cea mai frecventă semnificație a semnului în unități de agregate. Moda se numește valoarea caracteristicilor care corespunde punctului maxim al curbei de distribuție teoretică.

Moda este folosită pe scară largă în practica comercială atunci când studiază cererea clienților (atunci când se determină dimensiunea îmbrăcămintei și a pantofilor care sunt în general în cerere), înregistrarea prețurilor. Modul în agregat poate fi mai multe.

Calculul modei într-un rând discret. În rândul discret al modei este opțiunea cu cea mai mare frecvență. Luați în considerare găsirea modă într-un rând discret.

Calculul modei în rândul intervalului. În rândul variației intervalului, intervalul modal este aproximativ considerat aproximativ, adică. a acestui interval care are cea mai mare frecvență (frecvență). În interval, este necesar să găsiți valoarea unui semn care este modă. Pentru intervalul serii de modă va fi determinată prin formula

unde - linia de jos. interval modal; - amploarea intervalului modal; - frecvența corespunzătoare intervalului modal; - frecvența care precedă intervalul modal; - frecvența intervalului următor modal.

Median.Median () se numește semnificația unității de mijloc a seriei de rang. Rândul clasat este o serie de semne sunt înregistrate în ordine ascendentă sau în ordine descrescătoare. Sau mediana este valoarea care împarte numărul unei serii variaționale ordonate în două părți egale: o parte are valoarea caracteristicilor variabile mai mici decât opțiunea medie, iar cealaltă este mare.

Pentru a găsi o mediană, numărul de ordine este determinat mai întâi. Pentru aceasta, cu un număr impar de unități la suma tuturor frecvențelor, se adaugă o unitate și totul este împărțit în două. La un număr par, unitățile medianei se găsesc ca valoare a semnului într-unul, numărul de secvență determinat de cantitatea totală de frecvențe împărțite la două. Cunoașterea numărului de secvență al medianului, cu ușurință la frecvențele acumulate pentru a-și găsi semnificația.

Calcularea mediilor într-un rând discret.Conform examinării selective, datele privind distribuția familiilor în numărul de copii, tabelul. 5.5. Pentru a determina mediana, definește mai întâi numărul de secvență

În aceste familii, numărul copiilor este de 2, prin urmare, \u003d 2. Astfel, în 50% din familii, numărul de copii nu depășește 2.

- consumatorul acumulat precedent intervalul median;

Pe de o parte, aceasta este o proprietate foarte pozitivă. În acest caz, se ia în considerare acțiunea tuturor motivelor pentru afectarea tuturor unităților agregate comune. Pe de altă parte, chiar și o observație care a căzut în datele inițiale este aleator, poate denatura semnificativ ideea nivelului de dezvoltare a atributului studiat în combinația în cauză (în special în rândurile scurte).

Sferturi și decil.Prin analogie cu găsirea medianului în seria Variacesal, puteți găsi valoarea caracteristica oricărui în ordine a unității seriei de rang. Deci, în special, puteți găsi valoarea caracterizării în unități care împărtășesc rândul în 4 părți egale, cu 10 etc.

Sferturi. Opțiunile care împărtășesc rândul clasat în patru părți egale sunt numite sferturi.

În același timp, distinge: Cvartetul inferior (sau primul) (Q1) este valoarea semnului într-o unitate a unei serii clasate, împărțind o combinație în raportul de ¼ la ¾ și quartile superioare (sau al treilea) (Q3 ) - valoarea semnului unității unei serii clasate, împărțind totalitatea raportului ¾ la ¼.

- Frecvențele intervalelor cu quartile (inferioare și superioare)

Intervalele care conțin Q1 și Q3 sunt determinate de frecvențele acumulate (sau în general).

Decil. În plus față de sferturile, se calculează decili - opțiuni împărțind un rând clasat pe 10 părți egale.

Acestea sunt notate de D, primul decil D1 împarte numărul în raportul dintre 1/10 și 9/10, al doilea D2 - 2/10 și 8/10, etc. Acestea sunt calculate de aceeași schemă ca media și quartilei.

Atât MEDIANA, cât și deciliul și decizi aparțin așa-numitei statistici ordonate, sub care înțeleg opțiunea care ocupă o anumită secvență în rândul clasat.

1. Valori medii: esența, valoarea, tipurile

O contribuție importantă la raționamentul și dezvoltarea teoriei cantităților medii a făcut un om de știință major al secolului al XIX-lea Trusa de adolf (1796-1874), membru al Academiei Belgiei de Științe, membru corespondent al Academiei de Științe a Sankt-Petersburgului.

valoarea medie - Generalizarea caracteristicilor caracteristicilor studiate în combinația totală. Acesta definește nivelul său tipic pe unitate de agregat în condiții specifice de loc și timp.

valoarea medie Numit întotdeauna, are aceeași dimensiune (unitate de măsură), care este un semn în unități individuale de agregate.

De bază condiția pentru utilizarea științifică a dimensiunii medii Este o omogenitate de înaltă calitate a agregatului, pe care se calculează media.

putere (aritmetică medie, armonică medie, geometrică medie, mediu pavatic, mediu cubic);

structurală (modă, mediană).

Media de putere - Root de grad k. de la mijlocul tuturor opțiunilor luate în k.- măsura este următoarea formă:

unde - un semn care este mediu în care se numește semn mediu,

h. i. sau ( h. 1 , h. 2 ... H. n.) - valoarea caracteristicilor medii pentru fiecare unitate de agregat,

f. i. - Repetabilitatea valorii individuale a caracteristicilor.

În funcție de gradul k. Sunt obținute diferite tipuri de mediu de alimentare, formulele de calcul sunt prezentate mai jos în tabelul 1.

Tabelul 1 - Tipuri de mediu de putere

Valoare k.	Al doilea prenume	Formule de mijloc
			pâsâială
	Armonică medie		, w. i. \u003d X. i. · F. i.
	Medium Geometric.
	Aritmeticul de mijloc	=	=
	Mediu pavatic	=	=

f. i. – frecvența repetării valorii individuale a semnului (greutatea sa)

Greutatea poate fi frecvență, adică Raportul dintre frecvența valorii individuale a semnului la suma de frecvență:

Selectarea tipului de dimensiune medie:

Media aritmetică simplă Se aplică dacă valoarea individuală a semnului în unitățile agregatului este repetată sau același timp sau același număr de ori, adică. Când media este calculată prin date neaplicate.

Atunci când valoarea individuală a semnului studiat are loc de mai multe ori în unitățile setului total, atunci frecvența repetării semnelor individuale (greutate) este prezentă în formulele calculate ale mediului de alimentare. În acest caz, ele sunt numite formule ponderea medie a mijlocului.

Dacă, prin starea problemei, este necesar ca acestea să rămână neschimbate la medierea valorilor, valorile inverse, individuale ale caracteristica, valoarea medie este armonie mijloc de mijloc.

Dacă, atunci când înlocuiți valorile individuale ale unui semn pe o valoare medie, este necesar să se mențină posibil produsul posibil al valorilor individuale, apoi să se aplice geometria medie. Geometricul mediu este utilizat pentru a calcula ratele medii de creștere în analiza difuzoarelor.

Dacă, atunci când înlocuiți valorile individuale ale unui semn pe o valoare medie, este necesar să se păstreze suma neschimbată a pătratelor valorilor inițiale, atunci media va fi dimensiune medie patradă. Padratricul mediu este utilizat pentru a calcula deviația medie patrată atunci când este analizată variația caracteristicilor în rândurile distribuției.

Media de putere specii diferitecalculată pe același agregat, au diferite cantitative și cu atât este mai mare indicatorul gradului k., cu cât este mai mare valoarea medie a mediului corespunzător, dacă toate valorile inițiale ale atributului sunt egale, atunci toată media sunt egale cu această constantă:

Garm. ≤ geom. ≤ Arif. ≤ sq. ≤ cube.

aceasta proprietatea medie a mediului crește cu creșterea gradului de definire a funcției numite mazerania Mediu.

Mediile structurale sunt utilizate în cazul în care calcularea mediului de putere este imposibilă sau instantă.

Media structurală include: modă și median.

Modă - Aceasta este cea mai frecventă semnificație a semnului în unitățile acestei totalități. În prezența opțiunilor și a frecvențelor într-un rând de distribuție, magnitudinea modului corespunde valorii caracteristica celui mai mare număr de unități (cea mai mare frecvență), adică. Pentru o serie de variații discrete, un mod este prin definiție.

Median - valoarea unui semn într-o unitate a unui set în mijlocul unui rând clasat de distribuție, atunci când toate valorile individuale ale caracteristica unităților studiate sunt aranjate în ordinea creșterii sau scăderii acestora.

În cazul unui număr impar de observații, mediana este prin definiție, adică. Opțiune (Unde n. - numărul de observații). Cu un număr parțial de observații, mediana este determinată de formula:

Pentru intervalul de distribuție, magnitudinea modului și a mediilor sunt calculate în conformitate cu următoarele formule:
;
,

unde: - limita inferioară a intervalului modal sau mediu;

Magnitudinea intervalului;

și
- frecvențele care precedă și urmând intervalul modal;

- frecvența intervalului modal sau mediu;

- Suma frecvențelor acumulate în intervalele care preced medianul.

Calculul mediilor prin date neaplicate se face după cum urmează:

1. Valorile caracteristicilor individuale sunt aranjate într-o ordine crescătoare. 2. Numărul de ordine median este determinat. № Me \u003d (n.+1) / 2

Indicatori de variație, entitate, valoare, tipuri. Variații de legi

Pentru a măsura variația caracteristicilor, se aplică diverși indicatori absoluți și relativi.

Variațiile includ indicatori absoluți ai (măsura): leagăn de oscilații, deviația medie absolută, dispersia, deviația medie patrată.

Variația variației - Aceasta este diferența dintre valorile maxime și minime ale caracteristica:
.

Variația variației arată, în ce limitează dimensiunea caracteristica care formează o serie de intervale de distribuție

Deviația absolută medie (CAO) - media valorilor absolute ale abaterilor de opțiune individuală din media.

(simplu),
(Ponderat)

Dispersie- Media pătratelor de deviere a valorilor caracteristicilor dimensiunii medii:

(simplu),
(Ponderat)

Dispersia poate fi descompusă pe elementele componente pentru a estima efectul diferiților factori care determină o caracterizare

acestea. Dispersia este egală cu diferența dintre pătratul mijlociu al valorilor caracteristice și pătratul pătrat.

Proprietăți de dispersie Permiteți simplificarea modului în care se calculează:

Dispersia unei valori constante este 0.

Dacă toate opțiunile pentru semne de semn sunt reduse la același număr de ori, dispersia nu va scădea.

Dacă toate opțiunile pentru semne sunt reduse la același număr de ori ( k. ori), atunci dispersia va scădea k. 2 timp.

Deviația mediedratica medie (Aproximativ) este o rădăcină pătrată de dispersie, arată cât de mult valoarea semnului în unitățile totalului agregatelor fluctuează:  =

KOF este o măsură a fiabilității. Cu cât este mai mică cca, cu atât mai bine aritmetica medie reflectă întregul agregat prezentat.

Variația variației, Cao, aproximări sunt valorile numite, adică Acestea au aceleași unități de măsură ca valori individuale ale caracteristica.

Există 4 tipuri de dispersie: grup, intergrup, intragroup, grup.

Dispersia calculată pentru întreaga totalitate ca întreg numită dispersie comună. Măsoară oscilarea semnului dependent (rezultat) cauzat de acțiunea pe toate, fără excepție.

Dispersia totală este egală cu suma mijlocului dispersiei intragroup și intergrupului:

Dacă setul este rupt în grupuri, atunci pentru fiecare grup, dispersia sa poate fi determinată, caracterizând variația în interiorul grupului. Dispersie de grup - abateri medii pavate de la media grupului, adică De la dimensiunea medie a caracteristicilor din acest grup.

undej. - număr de serie x. și f. în cadrul grupului.

Dispersia de grup caracterizează variația caracteristicilor din cadrul grupului datorită tuturor celorlalți factori, cu excepția grupului.

Măsurarea variațiilor într-o totalitate în ansamblu, calculăm cum mijlocul dispersiei intragrup:

În cazul în care - dispersiile de grup,

n. j. - numărul de unități din grupuri.

Mediile de grup sunt diferite una de cealaltă și de la media totală, adică. varia. Variația lor se numește variație intergrup. Pentru caracterizarea sa, piața medie a abaterilor de medii de grup din media totală se calculează:

unde j. – grupul mediu - media generală n. j. - numărul de unități din grup.

Dispersia intergrupului (Dispersia medie de grup) Măsoară variația caracteristicilor rezultate datorate factorului semnului, care se bazează pe grupare.

Atunci când se compară cantitățile de caracteristici diferite în aceeași combinație sau, în comparație cu cantitățile de același caracter, în mai multe agregate cu o magnitudine diferită a indicatorilor relativi de utilizare a vitezei medii diferite ale variației.

Acești indicatori sunt calculați ca raport al parametrilor absoluți ai variației la aritmetica mijlocie (sau mediană)

Coeficientul de variație

Deviația relativă liniară

Coeficientul Oscill.

Cel mai frecvent utilizat indicator al sumelor relative - coeficientul de variațiecare arată abaterea medie de la semnul mediu în procente.

Se utilizează pentru: estimarea comparativă a variației; Caracteristicile uniformității agregatelor. O combinație este considerată omogenă dacă coeficientul de variație nu depășește 33%, adică. mai puțin de 33%.

Z. variația Akona..

Legea variației valorilor individuale ale caracteristicilor sau "regula a trei semne". Statisticile statistice belgiene A.Kel a constatat că variațiile unor fenomene de masă sunt supuse legii distribuției erorilor, deschise de K. Gauss și P. Laplas aproape simultan. Curba care reflectă această distribuție are apariția clopotului (figura 2).

De legea normală (Termenul este propus de statistica engleză K. Pirson) distribuții Varianța semnelor individuale este în interior
(regulă de trei sigme).

Legea normală de distribuție este supusă proprietăților naturale ale unei persoane (creștere, greutate, rezistență fizică), caracteristici ale produselor industriale (dimensiune, greutate, rezistență electrică, elasticitate etc.). În domeniul schimbării rapide a fenomenelor sociale, acțiunea acestei legi se manifestă relativ rar. Cu toate acestea, în unele cazuri, utilizați reguli de trei sigmpractic posibil.

Legea variațiilor medii. Variația valorilor medii este mai mică decât variația semnelor individuale ale caracteristicilor. Valorile medii ale modificării caracteristicilor în cadrul:
Unde n. - Numărul de unități.

Metoda de grupare permite studierea statului și a relațiilor fenomenelor economice în cazul în care grupurile sunt caracterizate de indicatorii care dezvăluie cele mai esențiale părți ale fenomenului studiat.

La analizarea și planificarea, este necesar să se bazeze pe fapte aleatorii, dar pe indicatorii care exprimă principalul, tipic, indigen. O astfel de caracteristică oferă diferite tipuri de valori medii, precum și modă și mediană.

Întrebarea de omogenitate a agregatului nu ar trebui rezolvată oficial sub forma distribuției sale. Aceasta, precum și problema unei medii tipice, trebuie abordate, pe baza cauzelor și condițiilor care formează o totalitate. Uniforma este o astfel de totalitate, dintre care unitățile sunt formate sub influența cauzelor principale generale și a condițiilor care determină nivelul general al acestei caracteristici caracteristice întregii totalități.

Conform teoriei grupurilor tipologice, valoarea stabilită în evaluarea uniformității totalității aparține nu la forma de distribuție, ci dimensiunea variației și condițiile formării sale. Pentru un agregat calitativ omogen, o variație se caracterizează în anumite limite, după care începe noua calitate. Cu toate acestea, la aceste frontiere pentru a evalua omogenitatea de înaltă calitate a agregatului, este necesar să se abordeze din punct de vedere al creaturii cauzei și nu în mod oficial, deoarece aceeași sumă din condiții diferite exprimă o nouă calitate. De exemplu, cu același număr de întreprinderi de lucru în unele industrii sunt mari, iar altele sunt mici.

Pentru un studiu cuprinzător și aprofundat al fenomenelor, pentru caracteristicile obiective ale tipurilor de fenomene, relațiile și procesele cauzate de dezvoltarea sistemului în ansamblu, este necesar să se combine mediul de grup cu medii comune. Combinația dintre acest mediu și este unul dintre elementele principale pentru analiza sistemelor complexe. Această combinație se leagă într-un întreg două care se completează organic reciproc cu metodele statistice: metoda valorilor medii și metoda de grupare. La calcularea medie, valorile individuale care variază pentru un grup sunt înlocuite cu o valoare medie. În același timp, deviațiile aleatorii ale valorii de caractere pentru unitățile individuale în direcția creșterii sau scăderii se îmbină reciproc și se rambursează reciproc, iar în valoarea mijlocului dimensiunea caracteristică tipică este tipică a acestui grup. Valoarea medie servește ca o caracteristică a agregatului și, în același timp, se referă la un element separat - purtătorul trăsăturilor de înaltă calitate ale fenomenului. Valoarea medie este destul de specific, dar simultan și abstractă; Se obține prin abstractizare de la persoana aleatorie pentru fiecare unitate pentru a identifica acea comună, tipică, care este tipică pentru toate unitățile și care formează acest set. La calcularea dimensiunii medii, numărul unităților de agregare ar trebui să fie destul de mare. Valoarea medie este definită ca raportul dintre fenomenele totale cu numărul de unități ale agregatului din grup. Pentru datele non-marcate, acesta va fi aritmetica medie simplă:

Și pentru datele grupate, în care fiecare valoare de caractere are frecvența sa - aritmetica medie ponderată:

unde X I. - valoarea caracteristicilor; f. i. - frecvența acestor semne.

Deoarece aritmeticul mediu este calculat ca raport al sumei valorilor atribuției la numărul total, acesta nu depășește niciodată aceste valori. Aritmetica medie are o serie de proprietăți care sunt utilizate pe scară largă pentru a eficientiza calculele.

1. Suma de deviere a valorilor individuale ale caracteristicilor din valoarea medie este întotdeauna egală cu zero:

Dovezi. N.

Împărțiți mâna stângă și dreaptă

2. Dacă se schimbă valorile caracteristicilor (x i) k.ori, atunci aritmetica medie se va schimba și în x.timp.

Dovezi.

Aritmeticul mediu al noilor semne al semnului va indica x, apoi:

Permanent 1 / k.puteți scoate cantitatea de sumă și apoi obținem:

3. Dacă din toate semnele semnului X. i. Scăderea sau adăugați același număr constant, atunci aritmetica medie va reduce sau crește această sumă.

Dovezi.

Media abaterilor valorilor caracteristice de la un număr constant va fi egală cu:

În același mod, se dovedește în cazul adăugării unui număr constant.

4. Dacă frecvențele tuturor semnelor semnului reduc sau cresc în n.odată, media nu se va schimba:

În prezența datelor privind volumul total și valorile cunoscute ale caracteristica, dar frecvențele necunoscute, pentru a determina media, utilizați formula de ponderat mediu.

De exemplu, există date privind prețurile vânzărilor de varză și venituri totale pentru diverse termene (tabelul 1).

Tabelul 1.

Varza de varza de vanzare si venituri globale pentru diverse termene de implementare

La fel de prețul mediu Reprezintă relația veniturilor totale la volumul total al varzului realizat, numărul de varză vândută trebuie determinat mai întâi. diferite calendare Implementarea ca raport de venit la preț și apoi definiți prețul mediu al varză realizată.

În exemplul nostru, prețul mediu va fi:

Dacă calculați în acest caz, prețul mediu al implementării aritmeticii medii este simplu, vom obține un alt rezultat care va distorsiona poziția adevărată și va supraestima prețul mediu de vânzare, deoarece faptul că o mare parte în implementare cade pe varza tarziu Cu un preț mai mic.

Uneori este necesar să se determine valoarea medie atunci când valorile de caractere sunt date sub formă de numere fracționate, adică numere întregi (de exemplu, atunci când studiază productivitatea prin indicatorul de returnare, intensitatea forței de muncă). În astfel de cazuri, este recomandabil să se utilizeze formula armonică mijlocie:

Deci, timpul mediu necesar pentru fabricarea unei unități de produse este armonica medie. Dacă x 1 \u003d 1/4 ore, x 2 \u003d 1/2 ore, x 3 \u003d 1/3 ore, atunci armonicul mediu al acestor numere este:

Pentru a calcula valoarea medie din relațiile a doi indicatori identici, cum ar fi ratele de creștere, se aplică o geometrie medie, calculată cu formula:

unde x 1 x 2 ... X ... X 4 este raportul dintre două dintre aceleași nume, cum ar fi ratele de creștere a lanțului; n.- Populația relației de rate de creștere.

Valorile medii considerate au proprietatea carranției:

Lăsați, de exemplu, următoarele valori H.(20; 40), apoi considerați opinii anterior ale valorilor medii vor fi egale:

Atunci când studiază compoziția agregatului cu privire la baza tipică, acesta poate fi judecat de așa-numita medie structurală - modă și mediană.

MODOY.se numește cea mai frecventă semnificație a semnului agregat.În rândurile de variație interval, intervalul modal este prima descoperire. În intervalul modal găsit, moda este calculată prin formula:

unde x 0 este limita inferioară a intervalului modal; d -magnitudinea intervalului; F 1, F 2, f. 3 - Frecvențele intervalelor pre-modale, modale și poștale.

Modul de modă în rândul intervalului este destul de simplu poate fi găsit pe baza graficului. Pentru a face acest lucru, în cea mai înaltă coloană a histogramei din limitele a două coloane adiacente petrec două linii. Din punctul de intersecție al acestor linii, perpendicular pe axa Abscisa este redus. Valoarea atributului pe axa Abscisa și va fi MOD (figura 2).

Smochin. 2.

Pentru a rezolva problemele practice, cel mai mare interes este de obicei o modă, exprimată sub formă de interval și nu un număr discret. Acest lucru se explică prin proiectarea modă, care ar trebui să identifice cele mai frecvente dimensiuni ale fenomenului.

Media este valoarea tipică a tuturor unităților de agregare omogenă. Moda este, de asemenea, o valoare tipică, dar determină dimensiunea caracterului caracteristic al unei părți semnificative, dar totuși nu toată totalitatea. Este de mare importanță pentru rezolvarea unor sarcini, de exemplu, pentru a prezice ce dimensiuni de pantofi, îmbrăcămintea trebuie proiectată pentru producția de masă etc.

Median- Valoarea semnului situat în mijlocul rândului clasat. Indică distribuția centrală a unităților agregate și o împarte în două părți egale.

MEDIANA este cea mai bună caracteristică Tendința centrală atunci când limitele intervalelor extreme sunt deschise. Mediană este o caracteristică mai acceptabilă a nivelului de distribuție și dacă există valori excesiv de mari sau prea mici într-o serie de distribuție, care au un efect puternic asupra valorii medii și nu există suporturi media. Mediană, în plus, are o proprietate a unui minim liniar: suma valorilor absolute ale abaterilor caracteristice semnului în toate unitățile agregatelor din minimul mediu, adică.

Această proprietate are o importanță deosebită pentru rezolvarea unor sarcini practice - de exemplu, pentru a calcula cele mai scurte dintre toate distanțele posibile pentru diferite tipuri de transport, pentru a găzdui stațiile de întreținere, astfel încât distanța față de toate mașinile servite de această stație a fost minimă, etc.

Când găsiți medii, se determină numărul său de secvență într-un număr de distribuție:

În plus, respectiv numărul de secvență, mediana în sine se găsește la frecvențele acumulate. Într-un rând discret - fără nici un calcul și în seria de interval, numărul de secvență al medianului, intervalul median se găsește la frecvențele acumulate, în care valoarea mediană este deja determinată de aportul cel mai simplu de interpolare. Calculul medianului este realizat prin formula:

unde H. 0 - limita inferioară a intervalului median; d.- amploarea intervalului; f._ 1 - Frecvența acumulată în intervalul median; f.- Frecvența intervalului median.

Calculați magnitudinea medie, moda și mediană pe exemplul distribuției intervalului. Datele sunt afișate în tabel. 2.

Astfel, diferiți indicatori pot fi utilizați ca un centru de distribuție: mediu, modă și mediană,

Și fiecare dintre aceste caracteristici are propriile caracteristici. Astfel, pentru valoarea medie, este caracteristică că toate abaterile de la IT a valorilor individuale ale caracteristica sunt rambursate reciproc, adică.

Mediană este caracteristică că cantitatea de deviații de semne individuale de semn de el (cu excepția semnelor) este minimă. Moda caracterizează cea mai comună valoare de recunoaștere. Prin urmare, în funcție de caracteristicile sunt interesate de cercetător și trebuie selectate una dintre caracteristicile luate în considerare. În unele cazuri, toate caracteristicile sunt calculate.

Comparația lor și identificarea relațiilor dintre ele ajută la aflarea caracteristicilor distribuției uneia sau a unei alte serii de variații. Deci, în rândurile simetrice, ca în cazul nostru, toate cele trei caracteristici (mediu, modă și mediană) coincid. Cu atât mai mult discrepanța dintre modă și valoarea medie, cu atât un număr mai asimetric. Sa stabilit că, pentru seria moderat asimetrică, diferența dintre modă și aritmetica medie este de aproximativ trei ori mai mare decât diferența dintre aritmetica mediană și medie:

Acest raport poate fi utilizat pentru a determina un indicator prin două cunoscute. Din aceasta rezultă că combinația de modă, mediană și media este importantă pentru caracteristicile tipului de distribuție.

În procesul de prelucrare și generalizare a datelor statistice, este necesar să se determine cantitățile medii. Fiecare agregat statistic omogen constă dintr-un număr suficient de mare de unități care diferă în semnele cantitative. În același timp, fiecare unitate de agregare este prin definiție urșilor caracteristici caracteristice întregii totalități. Calculul valorilor medii vă permite să dezvăluiți un nivel tipic de caracteristici și caracteristicile totalității studiate.

Valorile mediisunt numite indicatori modificați, caracterizând nivelul tipic al variației în calculul unității totalității în anumite condiții de loc și timp.

Înțelegerea corectă a esenței valorii medii determină-o specialsemnificația în condițiile unei economii de piață, când media printr-o singură și aleatorie vă permite să identificați generalul și necesar, să identificați tendința modelelor de dezvoltare economică. În condițiile realei economice, inclusiv a unor cauze constante (factori) acționează aceleași pe fiecare fenomen studiat și acestea fac aceste fenomene similare unul cu celălalt și creează comune pentru toate modelele. Rezultatul învățăturilor din motive generale și individuale ale fenomenelor a fost alocarea valorilor medii ca tehnica principală a analizei statistice pe baza aprobării, care valorile medii statistice nu sunt doar o măsură a măsurătorilor matematice, ci Categoria realității obiective. Într-o teorie statistică, o valoare medie tipică realistă este parfumată cu un adevărat set de mărime, abaterea de la care poate fi doar aleatoriu.

De exemplu, producția vânzătorului depinde de multe motive: calificări, experiență, vârstă, forme de serviciu, educație, sănătate etc. Iar producția medie (vânzare) pe vânzător reflectă proprietatea tipică generală a întregului set de vânzători. Capacitatea valorilor medii de menținere a proprietăților agregate statistice Apel determinarea proprietății.

Astfel, valorile medii generalizează indicatorii în care expresia conditii generale, modelul fenomenului studiat.

În practica procesării datelor statistice, apar diferite sarcini, există caracteristici ale fenomenelor studiate și, prin urmare, sunt necesare diverse medii pentru a le rezolva.

În ceea ce privește socializarea datelor studiate, mediul poate fi comun și grup. Media calculată de agregatul în ansamblu este numită media comunăși media calculată pentru fiecare grup - medii de grup.

Distinge putere și structuralămijloc.

Puteremedia este derivată din formula generală a formularului:

Cu o schimbare a indicatorului, ajungem la un anumit tip de mediu:

cand - armonică medie;

cand - medium Geometric.;

cand - aritmeticul de mijloc;

cand - mediu pavatic.

Întrebarea care tip de mediu trebuie aplicată într-un caz separat este rezolvată printr-o analiză specifică a totalității totale, a conținutului material al fenomenului studiat, semnificația rezultatelor medii. Numai atunci valoarea medie este aplicată corect când, ca rezultat al mediei, valorile sunt obținute cu adevărat.

Următoarea notație este introdusă:

- semn cantitativ care este mediu, numit semn mediu;

– răuun semn (cu o caracteristică de sus), reprezentând rezultatul mediei;

Valorile individuale ale semnului în unități de agregate numite opțiuni;

- numărul total de unități de agregate;

- frecvență sau repetabilitatea valorii individuale a atributului (greutatea sa);

Caracteristică medie (index).

În funcție de prezența datelor sursă, media poate fi calculată în moduri diferite. În cazul în care valorile individuale ale caracteristicilor (opțiuni) medii nu se repetă în valori specifice ale caracteristicilor de mediegare aplicate formule de medii simple de putere.Cu toate acestea, atunci când în studii practice, valorile individuale ale semnului studiat apar de mai multe ori în unitățile setului total, atunci frecvența repetării semnelor individuale a caracteristica (- greutatea semnului) este prezentă în Formule ale mediului de alimentare. În acest caz, ele sunt numite formule de mediu de alimentare suspendată. În formulele de medii ponderate în loc de frecvențe pot fi frecvență

definită ca raportul dintre frecvența semnului la suma frecvenței.

Tabelul 9 prezintă formulele de calcul specii diferite Medii puternice simple și suspendate.

Tabelul 9. Formule pentru calcularea valorilor medii de alimentare

Valoare	Al doilea prenume	Formula medie
Simplu	Pâsâială
- 1	Armonică medie
	Medium Geometric.
	Aritmeticul de mijloc
	Mediu pavatic

Aritmetica de mijloc -cel mai frecvent tip de mediu. Se calculează în cazurile în care volumul caracteristicilor medii este format ca sumă a valorilor sale în unitățile individuale ale agregatului. De exemplu, este necesar să se calculeze experiența medie a zece angajați ai întreprinderii și o serie de valori unice ale caracteristicilor 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 3 , 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4. Apoi volumul caracteristicilor medii.

iar valoarea medie este calculată prin formula medie simplă

Dacă aceleași date sunt grupate cu dimensiunea funcției, atunci valoarea medie este calculată prin formula media suspendată

Armonică medievaloarea este calculată cel mai adesea atunci când informațiile statistice nu conțin frecvențe în funcție de anumite opțiuni de combinare și există date privind volumul atributului mediu referitor la anumite opțiuni de combinare. De exemplu, este necesar să se calculeze prețul mediu al unei unități de bunuri și volumul implementării pentru fiecare tip de mărfuri sub forma unei serii de 600, 1000, 850 (mii de ruble) și prețurile corespunzătoare pentru fiecare tip de bunuri sub forma unei serii de 20, 40, 50 (mii de ruble ./pc.). Apoi, prețul mediu este calculat prin formula armonică medie suspendată

Se poate observa că armonicul mediu este forma transformată (inversă) a aritmeticii de mijloc. În loc de armonicul mediu, puteți calcula întotdeauna aritmetica medie, dar pentru aceasta trebuie să determinați mai întâi greutățile semnelor individuale ale caracteristica.

Când utilizați formula medium Geometric.valorile individuale ale caracteristica, de regulă, sunt valorile relative ale dinamicii construite sub formă de valori ale lanțului (ca relația dintre nivelurile ulterioare ale indicatorului la nivelurile anterioare într-un număr de difuzoare ), iar segmentele temporare ale unui număr de dinamică sunt aceleași (zi, lună, an). Valoarea geometrică medie este astfel caracterizată de coeficientul mediu de creștere. De exemplu, pentru un număr de difuzoare prezentate în tabelul 10,

Tab 10. O serie de difuzoare de creștere a veniturilor

rata medie de creștere a populației de venit este calculată prin formula geometrică medie simplă

Formulă pavajul de mijlocvalorile sunt utilizate pentru a măsura gradul mediu de secțiuni ale valorilor semnale în apropierea valorii aritmetice medii în rândul distribuției. De exemplu, la calcularea unui astfel de indicator de variație, ca dispersie, media se calculează din pătratele de deviații ale valorilor individuale ale atributului de la valoarea aritmetică mijlocie (vezi capitolul 6).

Valorile puternice ale diferitelor specii, calculate pe aceeași totalitate au valori cantitative diferite, cu atât mai mare cu atât mai mare este mai mare cu cât este mai mare media corespunzătoare

Această proprietate a mediului energetic este numită media Mazeraniei.

Pentru caracteristicile structurii setate, se aplică indicatori speciali, numiți structuralmijloc. Astfel de indicatori includ moda și mediană.

MODOY.se numește cea mai frecventă semnificație a caracteristica unităților unei anumite populații. Aceasta corespunde unui anumit semn al semnului.

De exemplu, o examinare selectivă a 8 puncte de schimb valutar a făcut posibilă remedierea diferitelor prețuri pentru dolar (Tabelul 11). În acest caz, prețul modal al dolarului este amploarea deoarece în setul de puncte de schimb valutar, se întâlnește cel mai des (de 3 ori).

Numărul paragrafului
Preț pentru $ 1

Median- Acesta este un semn al unui semn care împarte numărul unei serii variaționale ordonate în două părți egale.

De exemplu, luăm tabelul 10 și plasează valorile individuale ale atributului în ordinea în creștere.

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

Numărul de ordine median este determinat de formula

a) În cazul unui cititor, numărul median nu are nici un sens (în cazul nostru 4.5). Mediana va fi egală cu aritmetica de mijloc a semnificației adiacente și

b) în cazul unui număr impar de semne individuale (să spunem)

Prin urmare, în acest caz

În exemplul considerat, găsirea unui astfel de mediu și a fost recomandabil, deoarece cercetătorul nu a avut un volum de vânzări pentru fiecare element și, prin urmare, cu o bună precizie pentru a efectua calculul prețului aritmetic mediu pe dolar. De asemenea, exemplul considerat ilustrează prevederea că alegerea speciei media corespunzătoare depinde întotdeauna de datele disponibile.

4.3. Proprietăți și metode de calculare a valorilor medii

Cel mai frecvent utilizat în practica economică și statistică Valoarea aritmetică are o serie de proprietăți matematice care uneori simplifică calculul acestuia. Aceste proprietăți sunt după cum urmează:

1. Dacă opțiunile de reducere sau creștere cu un număr constant, atunci

valoarea medie aritmetică va scădea în mod corespunzător sau va crește

2. Dacă opțiunile de modificare a numărului constant de ori, media se va schimba și

de câte ori

3. Dacă frecvențele sunt împărțite sau multiplicate cu un număr constant, atunci media nu se va schimba

4. Produsul aritmeticii medii în cantitatea de frecvențe este egal cu cantitatea de produse pentru opțiunile de frecvență

5. Cantitatea algebrică a abaterii opțiunilor de la valoarea medie este zero

Toate proprietățile enumerate urmează din definiția ponderii medii aritmetice (vezi pct. 4.2).

Uneori, calculul valorii aritmetice medii este convenabil pentru a simplifica utilizând proprietățile sale matematice. Pentru a face acest lucru, este necesar din toată opțiunea de a deduce o valoare constantă arbitrară, diferența rezultată este împărțită într-un factor comun și apoi valoarea medie calculată pentru multiplicarea într-un multiplicator comun și adăugați o constantă arbitrară. Ca rezultat, formula aritmetică mijlocie va fi după cum urmează.