Jak udělat matici z rovnice. Řešení systému lineárních rovnic pomocí matrice

Zvážit systém lineární rovnice S mnoha proměnnými:

kde AIJ- koeficienty v neznámém XI; Bi-Free členové;

indexy: I \u003d 1,2,3 ... m- počet rovnic a J \u003d 1,2,3 ... n-číslo neznámého.

Definice: Řešení systému rovnic (5) je kombinací n čísel (X10, X20, .... хN0), když nahrazuje, která v systému jsou všechny rovnice označeny věrným numerickým identitám.

Definice: Systém rovnic se nazývá kolaborice, pokud má alespoň jedno řešení. Společný systém se nazývá jisté, pokud má jediné řešení (X10, X20, ... .xn0) a nejistý, pokud existuje několik takových řešení.

Definice: Systém se nazývá neúplné, pokud nemá řešení.

Definice: Tabulky složené z numerických koeficientů (AIJ) a volných členů (BI) systému rovnic (5) se nazývají matrici systému (A) a rozšířenou matrici (A1), která jsou označena jako:

Definice: Matice systému A Mající nerovnoměrný počet řádků a sloupců (n? M) se nazývá obdélníková. Pokud se počet řádků a sloupců shoduje (n \u003d m), matrice se nazývá čtverec.

Pokud je v systému počet neznámých rovných počtu rovnic (n \u003d m), pak systém má čtvercovou matici N-Order.

Zvýrazňujeme v matrixových a K-libovolných řadách a k-libovolných sloupcích (km, kN).

Definice: determinant k-pořadí, složený z prvků matice A, umístěné na křižovatce vybraných řad a sloupců se nazývá drobná matice K-Order A.

Zvažte všechny druhy nezletilých matric A. Pokud jsou všichni nezletilí (K + 1) nulové, a alespoň jeden z minorů K-pořadí není nula, říkají, že matrice má hodnost rovnou k.

Definice: Hodnocení matice A se nazývá největší řád menší z této matrice, liší od nuly. Stupeň matice je označena R (A).

Definice: Všechno se liší od nulové drobné matrice, jehož pořadí se rovná okraji matice, se nazývá Basic.

Definice: Pokud pro dva matice A a ve svých řadách, R (A) \u003d R (b) se shoduje, pak se tyto matice nazývají ekvivalentní a označené V.

Hodnost matice se nezmění z elementárních, ekvivalentních transformací, které zahrnují:

• 1. Vyměňte řetězce sloupy a sloupce - vhodné linie;
• 2. Uspořádejte řádky nebo sloupce podle míst;
• 3. Každé řádky nebo sloupce, jejichž prvky jsou nulové;
• 4. násobení nebo rozdělení řetězce nebo sloupce o jiném čísle než nuly;
• 5. Uvolněte nebo odečtávejte prvky jednoho řádku nebo sloupce z jiného násobeného libovolným číslem.

Při určování stupně matice se používají ekvivalentní transformace, se kterým počáteční matrice vede k kroku (trojúhelníkové) matrici.

V stupňovité matrici jsou nulové prvky umístěny pod hlavním diagonálem, a prvním nenulovým prvkem každého ze svých linek, počínaje druhým, je to vpravo od první jednom nerovnoměrné nuly prvku předchozího řádku.

Všimněte si, že kruh matice se rovná počtu nenulových strunů stupňovité matrice.

Například matrice A \u003d - stupňovité druhy a jeho hodnost se rovná počtu nenulových linií matrice R (A) \u003d 3. Ve skutečnosti, všechny nezletilé na 4 řádově s nulovými prvky 4. řádků jsou nulové, a nezletilí ze třetího řádu se liší od nuly. Pro ověření vypočítáme determinant horního prvního 3 řádků sloupců And3:

Každá matrice může být vyústila v kroku nulováním prvků matrice pod hlavním diagonálně za použití elementárních akcí.

Vraťme se ke studiu a řešení systému lineárních rovnic (5).

Důležitou úlohou ve studiu systémů lineárních rovnic se hraje větu Kepeker-Drop. Formulujeme tuto teorém.

Většina jádra: Systém lineárních rovnic je koordinován, pokud a pouze pokud je hodnost systému systému A roven hodnosti rozšířené matrice A1, tj. R (a) \u003d r (A1). V případě kompatibility je systém definován, pokud je hodnost systémové matice rovna počtu neznámých, tj. R (a) \u003d r (A1) \u003d n a neurčitý, pokud je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. R (a) \u003d r (A1)

Příklad. Prozkoumejte systém lineárních rovnic:

Určete řady matice systému A a rozšířenou matrici A1. Chcete-li to provést, uděláme prodlouženou matici A1 a dejte jí stupňovité podobě.

Při výrobě matice proveďte následující:

• 2) Odečtěte ze 3 a 4 řetězce 1. řádek násobený 4;
• 3) Vynásobím 4. řádek na (-1) a změňte místa s 2. řetězcem;
• 4) Fold 3 a 4 řádky s druhou linkou vynásobenou 5 a 4;
• 5) Odečteme od 4. řádky 3. a udeřili 4. řádek s nulovými prvky.

V důsledku provedené akce byla získána stupňovitá matrice se třemi nenulovými řetězci jak v systémové matrici (do linie) a v rozšířené matrici. Kde je vidět, že hodnost matice systému se rovná hodnosti rozšířené matrice a je rovna 3, ale menší než počet neznámých (n \u003d 4).

Odpověď: Protože R (a) \u003d r (A1) \u003d 3

Vzhledem k tomu, že hodnost matic je vhodně určeno tím, že je přivede do stupňovité formy, zvažte způsob řešení systému lineárních rovnic Gaussovy metody.

gauss metoda

Podstata metody GAUSS je důsledně vyloučit neočekávané posunutím do postupného typu rozšířené matrice A1, který zahrnuje linii systému systému A. Současně jsou stanoveny řady matic A, A1 a systém systému na Krakeker- Většina kapka se provádí. V poslední fázi, systém rovnic ustálených druhů řeší, dělat substituce zdola nahoru nalezených hodnot neznámého.

Zvažte použití metody Gauss a věta Krakeker-kapek na příkladu.

Příklad. Vyřešit systém Gaussem:

Určete řady matice systému A a rozšířenou matrici A1. Chcete-li to provést, uděláme prodlouženou matici A1 a dejte jí stupňovité podobě. Po povolení následujících akcí:

• 1) bude odečtena od 2. řádky 1. řádku;
• 2) odečítá první řádek od třetího řetězce vynásobeného 2;
• 3) Děláme 2. linku na (-2) a třetí linie se násobit (-1) a změnit je na místech.

Přijal stupňovité matrici, ve které je počet řetězců 3, a systémová matice (až do linky) nemá také nulovou zásobu. V důsledku toho jsou řady matice systému a rozšířená matrice 3 a jsou rovna počtu neznámých, tj. R (A) \u003d R (A1) \u003d n \u003d 3 .. Podle věty Krakeker-pokles je systém ko-a definován, má jediné řešení.

V důsledku konverze matrice A1, resetování koeficientů v neznámém, konzistentně vyloučeno z rovnic a získal krok (trojúhelníkový) systém rovnic:

Pohybující se postupně vzhůru nahoru, nahrazuje roztok (x3 \u003d 1) od třetí rovnice do druhé a roztoky (x2 \u003d 1, x3 \u003d 1) od druhé a třetích rovnic v první, získáme řešení systému Rovnice: X1 \u003d 1, X2 \u003d 1, X3 \u003d 1.

Zkontrolujte: - (!) Odpověď: (x1 \u003d 1, x2 \u003d 1, x3 \u003d 1).

jordan-Gauss

Tento systém může být vyřešen zlepšeným způsobem Jordan-Gauss, který spočívá v tom, že matrice systému A v rozšířené matrici (až do linie) vede k jedné matrici: E \u003d S jedinými diagonálními a nulovými ne-diagonálními prvky a systémový roztok bez dalších substitucí.

Vyřešil výše uvedený systém Jordan-Gauss. Chcete-li to provést, transformujeme výslednou stupňovou matici do jednoho, podle následujících kroků:

• 1) bude odečtena od 1. řádku 2 řádky;
• 2) pohybující se s 1. řádkem třetí čáru vynásobená 3;
• 3) Přihlásit se od 2. řádku 3. řetězec násobený 4.

Počáteční systém rovnic byl snížen na systém:, který určuje roztok.

hlavní akce s maticemi

Nechte dvě matrice: A \u003d B \u003d.

• 1. Matice jsou rovna A \u003d B Pokud jsou jejich prvky stejné: AIJ \u003d Bij
• 2. Množství (rozdíl) matric (A ± b) se nazývá matice, která určená podle rovnosti:

Při sčítání (odečtení) jsou matice složené (odečteny) je stejných prvků.

3. Produkt čísla K na matrici A se nazývá matrice, stanovená podle rovnosti:

Při vynásobení matrice se počet násobí všemi prvky matice.

4. Práce matric av se nazývá matice, která určená podle rovnosti:

Při násobení matric, prvky prvních matricových řetězců se násobí prvky sloupů druhé matrice a jsou shrnuty a prvek matrice-produktu, stojícího v čáry I-Th a sloupec JM, je stejný do množství děl odpovídajících prvků první matrice a sloupec JM druhé matice.

Při vynásobení matric v obecném případě, pohybový zákon nefunguje, tj. AV? VA.

5. Provedení matice A se nazývá akce, což vede k nahrazení řádků sloupců a sloupců - odpovídající řádky.

At \u003d matrice se nazývá transponovaná matrice pro matrici A \u003d.

Pokud není determinant matice nulová (d? 0), pak se taková matice nazývá nedegenerující. Pro jakýkoliv druh negenerované matrice, a tam je reverzní matrice A-1, pro kterou se provádí rovnost: A-1 A \u003d A A-1 \u003d E, kde E \u003d je jediná matrice.

6. Reverzní matrice A se nazývá taková akce, pod kterým reverzní matrice A-1

Při manipulaci s matricí A se provádějí následující akce.

V první části jsme považovali trochu teoretického materiálu, substituční metoda, stejně jako způsob přidávání půdních rovnic. Každý, kdo šel na stránku přes tuto stránku doporučil se seznámit se s první částí. Snad někteří návštěvníci budou vidět materiál příliš jednoduchý, ale v průběhu řešení systémů lineárních rovnic jsem udělal řadu velmi důležitých komentářů a závěrů týkajících se řešení matematických problémů obecně.

A teď budeme analyzovat pravidlo prolézacího prvku, stejně jako řešení systému lineárních rovnic pomocí reverzní matrice (MATTERIX METODY). Všechny materiály jsou předloženy jednoduše a jasně, téměř všichni čtenáři se budou moci naučit, jak vyřešit systémy ve výše uvedených metodách.

Za prvé, budeme podrobně zvážit pravidlo Cramer pro systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Co? - Konec konců, nejjednodušší systém může být vyřešen metodou školy, metodou zabíjení doplnění!

Skutečnost je, že i když je někdy, tento úkol je nalezen - vyřešit systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými vzorem prolézacího panelu. Zadruhé, jednodušší příklad pomůže pochopit, jak používat prolézací pravidlo pro složitější případ - systémy tří rovnic se třemi neznámými.

Kromě toho existují systémy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné přesně vyřešit podle pravidla Cramer!

Zvažte systém rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinantu, nazývá se hlavní determinant systému.

Metoda Gauss.

Pokud má systém jediné rozhodnutí a pro nalezení kořenů musíme vypočítat další dvě determinant:
a

V praxi mohou být výše uvedené determinanty označeny také latinským dopisem.

Kořeny rovnic naleznete podle vzorců:
,

Příklad 7.

Řešit systém lineárních rovnic

Rozhodnutí: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou dostatečně velké, existují desetinné frakce se čárkou v pravé části. Čárka je spíše vzácným hostem v praktických úkolech v matematice, vzal jsem tento systém z ekonometrického problému.

Jak řešit takový systém? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou napříč druhým, ale v tomto případě to jistě dostane hrozné kalhoty, s nimiž je velmi nepohodlná práce, a výzdoba řešení bude vypadat jen hrozně. Druhá rovnice můžete vynásobit 6 a provést odčítání půdy, ale také stejné frakce budou vzniknout.

Co dělat? V takových případech přicházejí na pomoc vzorce kráteru.

;

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a jsou nalezeny přibližně, což je poměrně přijatelné (a dokonce obyčejné) pro problémy ekonometrie.

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úkol je vyřešen na hotových vzorcích, je však jeden nuance. Při použití této metody, povinnýfragment Design úkolu je následující fragment: "Takže systém má jediné rozhodnutí". V opačném případě vás recenzent může potrestat za neúcty v teorému Cramer.

Nebude vůbec nadbytečný, což je vhodné provést na kalkulačce: nahrazujeme přibližné hodnoty do levé části každé rovnice systému. V důsledku toho, s malou chybou, čísla, která jsou v pravých částech, by se měly ukázat.

Příklad 8.

Odpověď k předložení běžným nepravidelným frakcím. Zkontrolovat.

To je příklad nezávislého řešení (příklad čistého návrhu a odezvy na konci lekce).

Otočíme se s ohledem na pravidlo Crameru pro systém tří rovnic se třemi neznámými:

Hlavním determinantem systému najdeme:

Pokud systém má nekonečně mnoho řešení nebo nenápadných (ne řešení). V tomto případě nebude pravidlo Crameru pomoci, musíte použít metodu Gauss.

Pokud má systém jediné řešení a pro nalezení kořenů musíme vypočítat tři více determinantů:
, ,

A konečně odpověď se vypočítá vzorce:

Jak vidíte, případ "tří až tří" se v zásadě neliší z případu "dva dva", sloupec volných členů důsledně "procházka" zleva doprava přes sloupce hlavního determinanta.

Příklad 9.

Vyřešte systém podle vzorců prolézacího modulu.

Rozhodnutí: Řešení systému podle prolézacích vzorců.

Systém má tak jediné řešení.

Odpovědět: .

Ve skutečnosti není zde nic víc komentovat, s ohledem na skutečnost, že rozhodnutí prochází hotovými vzorci. Ale je tu pár komentářů.

Stává se, že v důsledku výpočtů se získají "špatné" ne-interpretovatelné frakce, například :. \\ t
Doporučuji další léčebný algoritmus. Pokud není v ruce žádný počítač, proveďte to:

1) Chyba při výpočtech je povolena. Jakmile se setkáte s "špatnou" frakcí, okamžitě je třeba zkontrolovat, kondicionér správně. Pokud je stav přepsán bez chyb, musíte přepočítat determinanty pomocí rozkladu na jiném řádku (sloupec).

2) Pokud kontrola chyby není zjištěna, bude pravděpodobně překlepem stavu přiřazení. V tomto případě, klidně a pečlivě otočte úkol až do konce a poté ujistěte se, že chcete zkontrolovat A děláme to na dokončení po rozhodnutí. Samozřejmě, že ověření zlomkové reakce je nepříjemné, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který opravdu miluje dát mínus za jakoukoli bjaka. Jak spravovat frakce, podrobně popsáno v reakci na příklad 8.

Pokud je po ruce počítač, pak použijte automatizovaný program, který má být stažen zdarma na samém počátku lekce. Mimochodem, to je nejvýhodnější pro okamžité použití programu (ještě před rozhodnutím), budete okamžitě zobrazit mezilehlý krok, na kterém byla chyba povolena! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení řešení matice metodou.

Poznámka Second. Čas od času existují systémy v rovnicích, které nejsou žádné proměnné, například:

V první rovnici není v druhé proměnné žádné proměnné. V takových případech je velmi důležité správně a pečlivě zaznamenávat hlavní identifikátor:
- Na místě chybějících proměnných jsou nuly.
Mimochodem, determinanty s nulami jsou racionálně popsány podél linie (sloupec), což je nulová, protože výpočty jsou znatelně méně.

Příklad 10.

Vyřešte systém podle vzorců prolézacího modulu.

Jedná se o příklad nezávislého řešení (vzorek čistého designu a reakce na konci lekce).

U případu systému 4 rovnic se 4 neznámým je vzorec Cramer zaznamenán podobnými principy. Živý příklad lze zobrazit na lekčních vlastnostech determinantu. Snížení pořadí determinant - pět determinant 4. řádu je zcela pevné. Ačkoli úkol je již docela připomínán profesorem botou na hrudi na šťastném studentovi.

Řešení systému s vrácenou matricí

Způsob inverzní matrice je v podstatě zvláštním pouzdrem matrixová rovnice (Viz příklad číslo 3 zadané lekce).

Chcete-li tuto sekci prozkoumat, musíte být schopni zveřejnit determinanty, najít reverzní matrici a provádět multiplikace matice. Příslušné odkazy budou uvedeny v průběhu vysvětlení.

Příklad 11.

Řešit systém metodou MATRIX

Rozhodnutí: Napište systém v matici formuláře:
kde

Podívejte se prosím na systém rovnic a matice. Podle kterého principu psát prvky v matrici, myslím, že každý je pochopitelný. Jediný komentář: Pokud v rovnicích nebyly žádné proměnné, pak na vhodných místech v matrici by bylo nutné dát nuly.

Reverzní matice najdeme podle vzorce:
kde - transponovaná matrice algebraických doplňků na odpovídající prvky matrice.

Nejprve se zabýváme determantem:

Zde je determinant popsán na prvním řádku.

Pozornost! Pokud se vrátí matice neexistuje, a není možné systém vyřešit metodou MATRIX. V tomto případě je systém vyřešen vyloučením neznámého (Gaussova metoda).

Nyní musíte vypočítat 9 nezletilých a nahrávat je v mysli matice

Odkaz: Je užitečné znát význam dvou substitučních indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, ve kterém je tato položka umístěna. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém je tato položka:

To znamená, že index dvojitého substituce označuje, že prvek je v prvním řádku, třetí sloupec, a například prvek je ve 3 řetězci, 2 sloupce

(Někdy je tato metoda označována jako metoda matrice nebo metoda návratové matrice) vyžaduje předběžnou seznámení s takovým pojmem jako matricí forma slotu. Způsob inverzní matrice je navržena tak, aby vyřešila tyto systémy lineárních algebraických rovnic, ve kterých je determinant systémové matrice odlišný od nuly. Samozřejmostí je samozřejmě, že matrice čtvercového systému (koncept determinanta existuje pouze pro čtvercové matrice). Podstata metody reverzní matrice lze vyjádřit ve třech bodech:

1. Napište tři matice: Matice systému $ A $, neznámá matice $ x $, matice volných členů $ B $.
2. Najděte reverzní matice $ a ^ (- 1) $.
3. Použití rovnosti $ X \u003d A ^ (- 1) CDOT B $ získat řešení specifikovaného svahu.

Jakýkoliv svah může být zaznamenán v matrici jako $ A CDOT X \u003d B $, kde $ A $ je systémová matice, $ B $ - Matrix volných členů, $ X $ - neznámá matice. Nechte matice $ a ^ (- 1) $ existuje. Vynásobte obě části rovnosti $ A CDOT X \u003d B $ na matice $ a ^ (- 1) vlevo:

$$ a ^ (- 1) cdot a cdot x \u003d a ^ (- 1) cdot b. $$

Vzhledem k tomu, $ a ^ (- 1) cdot a \u003d e $ ($ e $ je jediná matrice), výše uvedená rovnost se stane takovými:

$$ e cdot x \u003d a ^ (- 1) cdot b. $$

Od $ e cdot x \u003d x $, pak:

$$ X \u003d a ^ (- 1) cdot b. $$

Příklad №1

Řešení $ Left (Začínáme (zarovnané) & -5x_1 + 7x_2 \u003d 29; & 9x_1 + 8x_2 \u003d -11. \\ TS konec (zarovnané).

$$ a \u003d vlevo (začít (pole) (cc) -5 & 7 9 & 8 ukončení (pole); B \u003d vlevo (začátek (pole) (c) 29 \\ t -11 ukončení (array); X \u003d vlevo (začít (pole) (c) x_1 x_2 end (pole) vpravo). $$.

Najít reverzní matrici do systémové matice, tj. Vypočítat $ a ^ (- 1) $. V příkladu č. 2.

$$ a ^ (- 1) \u003d - frac (1) (103) cdot vlevo (začít (pole) (cc) 8 & -7 -9 & -5 end (array) vpravo) . $$.

Nyní nahrazujeme všechny tři matice ($ x $, $ a ^ (- 1) $, $ b $) do rovnosti $ x \u003d a ^ (- 1) cdot b $. Pak provádět násobení matice

$$ vlevo (začít (pole) (c) x_1 \\\\ x_2 end (array) vpravo) \u003d - frac (1) (103) \\ cdot levý (začátek (pole) (cc) 8 -7 -7 -9 & -5 End (Array) vpravo) CDOT vlevo (Začátek (pole) (C) 29 \\ t -11 \\ 11 end (pole) vpravo) \u003d \\\\ \u003d - (1) (103) \\ CDOT vlevo (začít (pole) (C) 8 CDOT 29 + (- 7) \\ CDOT (-11) -9 CDOT 29 + (- 5) \\ CDOT (- 11) Konec (Array) vpravo) \u003d - Frac (1) (103) \\ CDOT vlevo (začít (pole) (c) 309 -206 \\ 206 \\ end end (pole) \\ t Začněte (Array) (c) -3 \\ t $$.

Takže jsme dostali rovnost $ Left (začátek (pole) (c) x_1 \\\\ x_2 end (array) vpravo) \u003d vlevo (začít (pole) (c) -3 \\ t Array) vpravo) $. Z této rovnosti máme: $ X_1 \u003d -3 $, $ X_2 \u003d $ 2.

Odpovědět: $ x_1 \u003d -3 $, $ x_2 \u003d $ 2.

Příklad číslo 2.

Řešení $ Left (Začínáme (zarovnané) & X_1 + 7x_2 + 3x_3 \u003d -1; & -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 \u003d 0; & 3x_2 + 2x_3 \u003d 6. ukončení (zarovnání). $ od reverzní matice.

Píšeme matrici systému $ A $, matice volných členů $ B $ a matice neznámého $ X $.

$$ a \u003d vlevo (začátek (pole) (ccc) 1 & 7 & 7 -4 & 9 & 4 \\ t 0 & 3 & 2 konec (array) vpravo); B \u003d vlevo (začátek (pole) (c) -1 0 \\ t konec (array) vpravo); \\ t X \u003d vlevo (začít (pole) (c) x_1 x_2 \\\\ x_3 end (array) vpravo). $$.

Nyní přišla k obřadu, aby našel reverzní matrici pro matici systému, tj. Vyhledejte $ a ^ (- 1) $. V příkladu č. 3 na stránce při hledání inverzních matric byl již nalezen reverzní matrice. Používáme hotový výsledek a psát $ a ^ (- 1) $:

$$ a ^ (- 1) \u003d frac (1) (26) \\ cdOt levý (začátek (pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ t & 2 & -16 -12 & - 3 & 37 konec (array) vpravo). $$.

Nyní nahrazujeme všechny tři matice ($ x $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) do rovnosti $ X \u003d A ^ (- 1) CDOT B $, po kterém budeme provádět násobení matric na pravé straně této rovnosti.

$$ vlevo (začít (pole) (c) x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 end (pole) vpravo) \u003d frac (1) (26) \\ t 6 & -5 & 1 \\\\ 8 & -3 & 37 end (pole) vpravo) \\ cdOt levý (začátek (pole) (c) -1 0 \\ 6 \\ t \\ t Vpravo) \u003d \u003d frac (1) (26) cdot vlevo (začít (pole) (c) 6 cdot (-1) + (- 5) cdot 0 +1 cdot 6 \\ t 8 \\ CDOT (-1) +2 CDOT 0 + (- 16) \\ CDOT 6 \\\\ -12 CDOT (-1) + (- 3) + CDOT 0 + 37 CDOT 6 \\ t ) \u003d Frac (1) (26) CDOT vlevo (Začátek (pole) (C) 0 \\\\ - 104 \\\\ 234 \\ _34 \\ t end (pole) \\ t ) 0 - 4 \\ t 9 \\ t

Takže jsme dostali rovnost $ Left (začátek (pole) (C) x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 end (pole) vpravo) \u003d vlevo (začít (pole) (c) 0 \\ t 9. \\ t Z této rovnosti máme: $ x_1 \u003d 0 $, $ x_2 \u003d -4 $, $ x_3 \u003d 9 $.

Tato online kalkulačka řeší systém lineárních rovnic matice metodou. Velmi podrobné rozhodnutí je uvedeno. Pro vyřešení lineárního rovničního systému vyberte počet proměnných. Vyberte způsob výpočtu matice návratu. Poté zadejte data do buněk a klikněte na tlačítko "Vypočítat".

×

Varování

Vymažte všechny buňky?

Zavřít Clear.

Pokyny pro zadávání dat. Čísla jsou zavedena jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), Desetinná čísla (např. 67., 102,54 atd.) Nebo zlomky. Frakce musí být hodnocena ve formě A / B, kde A a B jsou celé nebo desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6 / 76,4, -7 / 6,7 atd.

Metoda matrice pro řešení systémů lineárních rovnic

Zvažte následující systém lineárních rovnic:

Vzhledem k definici matice návratu máme A. −1 A.=E.kde E.- Jediná matrice. V důsledku toho (4) můžete zaznamenat takto:

Pro vyřešení systému lineárních rovnic (1) (nebo (2)) je dostatečná pro násobí inverzní A. Matice na vektoru omezení b..

Příklady řešení systému lineárních rovnic podle metody MATRIX

Příklad 1. Vyřešte následující systém lineárních rovnic podle metody MATRIX:

Najdeme reverzní matice A metodou Jordan-Gauss. Na pravé straně matice A. Píšeme jednu matici:

Vyloučte prvky 1. sloupce matice pod hlavní úhlopříčkou. Chcete-li to provést, položte řádek 2.3 s řetězcem 1 vynásobený -1 / 3, -1 / 3, resp.

Eliminujte prvky 2. sloupce matice pod hlavní úhlopříčkou. Chcete-li to provést, položte řetězec 3 s řetězcem 2 vynásobený -24/51:

Uveďte prvky 2. kolony matice nad hlavní úhlopříčkou. Chcete-li to provést, položte řetězec 1 s řetězcem 2 násobený -3/17:

Oddělte pravou stranu matrice. Výsledná matrice je reverzní matrice A. :

Matice typ záznamu systému lineárních rovnic: Axe \u003d B.kde

Vypočítáme všechny algebraické doplňky matrice A.:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Reverzní matrice se vypočítá z následujícího výrazu.