Zona trapezilor prin înălțime. Toate opțiunile pentru găsirea zonei trapezului

Zona trapezului. Salutari! În această publicație vom lua în considerare formula specificată. De ce este ea și cum să o înțeleg. Dacă există înțelegere, atunci nu trebuie să o înveți. Dacă doriți doar să vedeți această formulă și ce este urgent, puteți derula imediat pagina în jos))

Acum în detaliu și în ordine.

Un trapez este un patrulater, cele două laturi ale acestui patrulater sunt paralele, celelalte două nu. Cele care nu sunt paralele sunt fundamentele trapezului. Celelalte două sunt numite părți.

Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul se numește izoscel. Dacă una dintre laturi este perpendiculară pe baze, atunci un astfel de trapez este numit dreptunghiular.

Într-o formă clasică, trapezoidul este reprezentat după cum urmează - baza mai mare este în partea de jos, respectiv, mai mică în partea de sus. Dar nimeni nu interzice portretizarea ei și invers. Iată miniaturile:

Următorul concept important.
Linia mijlocie a trapezului este un segment care leagă punctele medii ale laturilor. Linia de mijloc este paralelă cu bazele trapezului și egală cu jumătatea lor.

Acum să mergem mai adânc. De ce da?

Luați în considerare un trapez cu baze a și b iar cu linia de mijloc l și efectuați câteva construcții suplimentare: trageți linii drepte prin baze și perpendiculare prin capetele liniei medii până la intersecția cu bazele:

* Desemnările alfabetice ale vârfurilor și ale altor puncte nu sunt introduse în mod intenționat pentru a evita desemnările inutile.

Uită-te, triunghiurile 1 și 2 sunt egale în al doilea semn al triunghiurilor egale, triunghiurile 3 și 4 sunt aceleași. Egalitatea triunghiurilor implică egalitatea elementelor, respectiv a picioarelor (sunt indicate cu albastru și, respectiv, cu roșu).

Acum atenție! Dacă „tăiem” mental linia albastră și roșie de la baza inferioară, atunci vom avea o linie (aceasta este partea dreptunghiului) egală cu linia mediană. Mai mult, dacă „lipim” linia albastră și roșie tăiată la baza superioară a trapezului, atunci obținem și o linie (aceasta este și partea dreptunghiului) egală cu linia mediană a trapezului.

L-ai prins? Se dovedește că suma bazelor va fi egală cu cele două linii de mijloc ale trapezului:

Vezi o altă explicație

Să facem următoarele: vom construi o linie dreaptă care trece prin baza inferioară a trapezului și o linie dreaptă care trece prin punctele A și B:

Obținem triunghiurile 1 și 2, ele sunt egale de-a lungul laturii și colțurilor adiacente acestuia (al doilea semn al egalității triunghiurilor). Aceasta înseamnă că segmentul rezultat (indicat în albastru pe schiță) este egal cu baza superioară a trapezului.

Acum ia în considerare triunghiul:

* Coordonează linia de mijloc a acestui trapez și linia mijlocie a triunghiului.

Se știe că un triunghi este egal cu jumătate din baza paralelă cu acesta, adică:

Bine, rezolvat-o. Acum despre zona trapezului.

Formula zonei trapezilor:

Ei spun: suprafața trapezului este egală cu produsul a jumătate din suma bazelor și înălțimii sale.

Adică se dovedește că este egal cu produsul liniei medii și al înălțimii:

Probabil ați observat deja că acest lucru este evident. Geometric, aceasta se poate exprima astfel: dacă tăiem mental triunghiurile 2 și 4 din trapez și le așezăm pe triunghiurile 1 și 3, respectiv:

Apoi obținem un dreptunghi în suprafață egal cu aria trapezului nostru. Zona acestui dreptunghi va fi egală cu produsul liniei medii și al înălțimii, adică putem scrie:

Dar ideea de aici nu este în evidență, desigur, ci în înțelegere.

Descărcați (vizualizați) materialul articolului în format * pdf

Asta e tot. Succes pentru tine!

Cu stima, Alexander.

Pentru a simți cu încredere și a rezolva cu succes problemele din orele de geometrie, nu este suficient să înveți formule. Mai întâi trebuie înțelese. Să-ți fie frică, cu atât mai puțin să urască formulele, este improductiv. În acest articol, vor fi analizate diferite metode pentru găsirea zonei unui trapez în limbaj accesibil. Pentru o mai bună asimilare a regulilor și teoremelor corespunzătoare, vom acorda o oarecare atenție proprietăților sale. Acest lucru va ajuta să înțelegeți cum funcționează regulile și în care cazuri ar trebui aplicate anumite formule.

Determinăm trapezul

Care este această cifră în general? Un trapez este un poligon cu patru unghiuri cu două laturi paralele. Celelalte două fețe ale trapezului pot fi înclinate în unghiuri diferite. Lățile sale paralele se numesc baze, iar pentru laturile non-paralele se folosește denumirea „laturi” sau „șolduri”. Astfel de cifre sunt destul de frecvente în viața de zi cu zi. Contururile trapezului pot fi văzute în siluetele hainelor, obiectelor interioare, mobilierului, veselelor și multe altele. Trapezul este de diferite tipuri: versatil, izoscel și dreptunghiular. Vom analiza mai detaliat tipurile și proprietățile acestora în articol.

Proprietăți trapezoidale

Să ne bazăm pe proprietățile acestei cifre. Suma unghiurilor adiacente ambelor părți este întotdeauna de 180 °. Trebuie remarcat faptul că, în total, unghiurile trapezoidale sunt de 360 \u200b\u200b°. Un trapezoid are conceptul de linie mijlocie. Dacă conectați punctele medii ale laturilor cu un segment - aceasta va fi linia de mijloc. Este notat de m. Linia de mijloc are proprietăți importante: este întotdeauna paralelă cu bazele (amintim că bazele sunt, de asemenea, paralele între ele) și este egală cu jumătatea lor:

Această definiție trebuie învățată și înțeleasă, deoarece aceasta este cheia rezolvării multor probleme!

La trapez, puteți oricând să coborâți înălțimea până la bază. Înălțimea este o perpendiculară, adesea notată de simbolul h, care este desenat din orice punct al unei baze la o altă bază sau continuarea acesteia. Linia mijlocie și înălțimea vor ajuta la găsirea zonei trapezului. Sarcini similare sunt cele mai frecvente în cursul școlar de geometrie și apar în mod regulat printre lucrările de control și examinare.

Cele mai simple formule de zonă trapezoidală

Vom analiza cele mai populare și simple formule cu care găsesc zona trapezului. Este suficient să înmulțiți înălțimea cu jumătate din suma bazelor pentru a găsi cu ușurință dorința:

S \u003d h * (a + b) / 2.

În această formulă, a, b indică baza trapezului, h - înălțimea. Pentru o ușurință de referință, în acest articol semnele înmulțirii sunt marcate cu simbolul (*) din formule, deși în cărțile oficiale de referință, de obicei, omisiunea înmulțirii este omisă.

Luați în considerare un exemplu.

Având în vedere: un trapez cu două baze egale cu 10 și 14 cm, înălțimea este de 7 cm. Care este zona trapezului?

Să analizăm soluția la această problemă. Conform acestei formule, mai întâi trebuie să găsiți jumătatea sumei bazelor: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Deci, jumătatea sumei este de 12 cm. Acum înmulțim jumătatea sumei cu înălțimea: 12 * 7 \u003d 84. Căutarea a fost găsită. Răspuns: suprafața trapezului este de 84 de metri pătrați. cm.

A doua formulă cunoscută spune: aria trapezului este egală cu produsul liniei medii prin înălțimea trapezului. Adică rezultă de la conceptul anterior al liniei medii: S \u003d m * h.

Utilizarea diagonalelor pentru calcule

Un alt mod de a găsi zona trapezului nu este de fapt atât de complicat. Este conectat cu diagonalele sale. Conform acestei formule, pentru a găsi zona, este necesară înmulțirea semifabricatului diagonalelor sale (d 1 d 2) cu sinusul unghiului dintre ele:

S \u003d ½ d 1 d 2 sin a.

Luați în considerare o sarcină care arată aplicarea acestei metode. Date: un trapez cu lungimea diagonala de 8, respectiv 13 cm, unghiul dintre diagonalele este de 30 °. Găsiți zona trapezului.

Decizie. Folosind formula de mai sus, este ușor să calculați necesarul. După cum știți, păcatul 30 ° este 0,5. Prin urmare, S \u003d 8 * 13 * 0,5 \u003d 52. Răspuns: suprafața este de 52 de metri pătrați. cm.

Căutăm zona unui trapez isoscel

Trapezul poate fi izoscel (izoscel). Lățile sale sunt la fel Și unghiurile de la baze sunt egale, ceea ce este bine ilustrat de figură. Un trapez isoscel are aceleași proprietăți ca unul obișnuit, la care se adaugă o serie de altele speciale. Un cerc poate fi descris în jurul unui trapez isoscel și un cerc poate fi înscris în el.

Care sunt metodele de calcul al ariei unei astfel de cifre? Metoda de mai jos va necesita calcule mari. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți valorile sinusului (păcatului) și cosinusului (cos) al unghiului de la baza trapezului. Pentru a le calcula, sunt necesare fie tabele Bradis, fie un calculator de inginerie. Iată formula:

S \u003d c* păcat a*(a - c* cos a),

unde din - coapsa laterală, a - unghiul la baza inferioară.

Un trapezoid cu fețe egale are diagonale de aceeași lungime. De asemenea, conversația este adevărată: dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci este izoscel. Prin urmare, următoarea formulă care ajută la găsirea zonei trapezului este semiprodusul pătratului diagonalelor pe sinusul unghiului dintre ele: S \u003d ½ d 2 sin a.

Găsiți zona unui trapez dreptunghiular

Este cunoscut un caz special al unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez în care o parte (coapsa sa) este adiacentă bazelor într-un unghi drept. Are proprietățile unui trapez obișnuit. În plus, are o caracteristică foarte interesantă. Diferența pătratelor diagonalelor unui astfel de trapez este egală cu diferența pătratelor bazelor sale. Pentru aceasta, sunt utilizate toate metodele menționate anterior pentru calcularea zonei.

Folosim ingeniozitatea

Există un singur truc care poate ajuta în cazul uitării formulelor specifice. Să aruncăm o privire mai atentă la ce este un trapez. Dacă îl împărțim mental în părți, vom obține forme geometrice familiare și de înțeles: un pătrat sau un dreptunghi și un triunghi (unul sau două). Dacă sunt cunoscute înălțimea și laturile trapezului, puteți utiliza formele de zonă ale triunghiului și dreptunghiului, apoi adăugați toate valorile obținute.

Vă ilustrăm acest lucru cu următorul exemplu. Se administrează un trapez dreptunghiular. Unghiul C \u003d 45 °, unghiurile A, D sunt 90 °. Baza superioară a trapezului este de 20 cm, înălțimea de 16 cm. Este necesar să se calculeze aria figurii.

Această figură constă, evident, dintr-un dreptunghi (dacă două unghiuri sunt 90 °) și un triunghi. Deoarece trapezul este dreptunghiular, prin urmare, înălțimea sa este egală cu latura laterală, adică 16 cm. Avem un dreptunghi cu laturile 20 și respectiv 16 cm. Considerăm acum un triunghi al cărui unghi este de 45 °. Știm că o parte a acesteia este de 16 cm. Deoarece această latură este atât înălțimea trapezului (și știm că înălțimea scade spre bază într-un unghi drept), prin urmare, al doilea unghi al triunghiului este de 90 °. De aici unghiul rămas al triunghiului este de 45 °. Drept urmare, obținem un triunghi izoscel în unghi drept în care cele două părți sunt identice. Deci, cealaltă parte a triunghiului este egală cu înălțimea, adică 16 cm. Rămâne să calculăm aria triunghiului și a dreptunghiului și să adăugăm valorile obținute.

Aria unui triunghi cu unghi drept este egală cu jumătate din produsul picioarelor sale: S \u003d (16 * 16) / 2 \u003d 128. Zona dreptunghiului este egală cu produsul lățimii și lungimii sale: S \u003d 20 * 16 \u003d 320. Am găsit aria necesară a trapezului S \u003d 128 + 320 \u003d 448 mp. vezi. Puteți verifica cu ușurință singuri folosind formulele de mai sus, răspunsul va fi identic.

Folosim formula Peak

În cele din urmă, oferim o altă formulă originală care ajută la găsirea zonei trapezului. Se numește formula Vârful. Este convenabil să se folosească atunci când trapezul este desenat pe hârtie cu carouri. Sarcini similare se găsesc adesea în materialele GIA. Arată astfel:

S \u003d M / 2 + N - 1,

în această formulă, M este numărul de noduri, adică. intersecția liniilor figurii cu liniile celulei de la marginile trapezului (puncte portocalii din figură), N este numărul de noduri din interiorul figurii (puncte albastre). Cel mai convenabil este să îl utilizați atunci când găsiți zona unui poligon neregulat. Cu toate acestea, cu cât arsenalul tehnicilor este mai mare, cu atât mai puține erori și rezultate mai bune.

Desigur, informațiile date sunt departe de a epuiza tipurile și proprietățile trapezului, precum și modalitățile de căutare a zonei sale. Acest articol oferă o imagine de ansamblu asupra caracteristicilor sale cele mai importante. În rezolvarea problemelor geometrice, este important să acționați treptat, să începeți cu formule și sarcini ușoare, să consolidați în mod constant înțelegerea, să treceți la un alt nivel de complexitate.

Adunate împreună cele mai frecvente formule îi vor ajuta pe elevi să navigheze pe diferitele moduri de calculare a zonei trapezului și să se pregătească mai bine pentru teste și teste pe acest subiect.

În matematică, sunt cunoscute mai multe tipuri de patrulatere: pătrat, dreptunghi, rombo, paralelogram. Printre ele, un trapez este un tip de patrulater convex în care două laturi sunt paralele și celelalte două nu. Lateralele paralele opuse se numesc bazele, iar celelalte două se numesc laturi trapezoidale. Linia care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mijlocie. Există mai multe tipuri de trapez: izoscel, dreptunghiular, curbat. Pentru fiecare tip de trapez, există formule pentru găsirea zonei.

Zona trapezilor

Pentru a găsi zona trapezului, trebuie să știți lungimea bazelor sale și înălțimea. Înălțimea trapezului este un segment perpendicular pe baze. Fie ca baza superioară să fie a, baza inferioară b și înălțimea h. Apoi puteți calcula zona S după formula:

S \u003d ½ * (a + b) * h

acestea. ia jumătate din suma bazelor, înmulțită cu înălțimea.

De asemenea, va fi posibil să calculați zona trapezului, dacă cunoașteți valoarea înălțimii și a liniei de mijloc. Denumiți linia de mijloc - m. Apoi

Să rezolvăm problema mai complicat: lungimile celor patru laturi ale trapezului sunt cunoscute - a, b, c, d. Apoi zona va fi găsită după formula:

Dacă lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele sunt cunoscute, atunci zona este căutată astfel:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

unde d cu indicii 1 și 2 sunt diagonale. În această formulă, se calculează sinusul unghiului.

Având în vedere lungimile de bază cunoscute a și b și două unghiuri la baza inferioară, aria este calculată astfel:

S \u003d ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Zona trapezului izoscel

Trapezul izoscel este un caz special al unui trapez. Diferența sa este că un astfel de trapez este un patrulat convex, cu o axă de simetrie care trece prin punctele medii ale două laturi opuse. Laturile sale sunt egale.

Există mai multe modalități de a găsi zona unui trapez isoscel.

De-a lungul a trei laturi. În acest caz, lungimile laturilor vor coincide, prin urmare, sunt notate cu aceeași valoare - c, iar a și b sunt lungimile bazelor:

Dacă lungimea bazei superioare, latura și unghiul de la baza inferioară sunt cunoscute, atunci suprafața se calculează astfel:

S \u003d c * sin α * (a + c * cos α)

unde a este baza superioară, c este partea.

Dacă în locul bazei superioare se cunoaște lungimea inferioară - b, suprafața se calculează după formula:

S \u003d c * sin α * (b - c * cos α)

Dacă sunt cunoscute două baze și unghiul la baza inferioară, zona este calculată prin tangența unghiului:

S \u003d ½ * (b2 - a2) * bronzat α

De asemenea, suprafața este calculată prin diagonale și unghiul dintre ele. În acest caz, diagonalele au lungimea egală, prin urmare, fiecare este notată cu litera d fără indici:

S \u003d ½ * d2 * sin α

Calculăm aria trapezului, cunoscând lungimea laturii, linia mediană și unghiul de la baza inferioară.

Fie latura să fie c, linia de mijloc m, unghiul a, apoi:

S \u003d m * c * sin α

Uneori într-un trapez echilateral poți intra într-un cerc a cărui rază este - r.

Se știe că un cerc poate fi înscris în orice trapez, dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor sale laterale. Apoi zona se găsește prin raza cercului înscris și unghiul de la baza inferioară:

S \u003d 4r2 / sin α

Același calcul se face și prin diametrul D al cercului înscris (apropo, coincide cu înălțimea trapezului):

Cunoscând baza și unghiul, aria trapezului isoscel este calculată după cum urmează:

S \u003d a * b / sin α

(aceasta si urmatoarele formule sunt valabile numai pentru trapezii cu un cerc inscris).

Prin baza și raza cercului, zona este căutată astfel:

Dacă sunt cunoscute doar bazele, atunci zona este calculată după formula:

Prin baza și linia laterală, zona trapezului cu un cerc înscris și prin baza și linia de mijloc - m se calculează astfel:

Zona unui trapez dreptunghiular

Dreptunghiular se numește trapezoid, în care una dintre părți este perpendiculară pe baze. În acest caz, partea laterală coincide în lungime cu înălțimea trapezului.

Un trapez dreptunghiular este un pătrat și un triunghi. După ce ați găsit zona fiecăreia dintre figuri, adăugați rezultatele și obțineți suprafața totală a figurii.

De asemenea, pentru a calcula aria unui trapez dreptunghiular, sunt adecvate formulele generale pentru calcularea ariei unui trapez.

Dacă sunt cunoscute lungimile bazelor și înălțimea (sau partea perpendiculară), atunci suprafața se calculează după formula:

S \u003d (a + b) * h / 2

Deoarece h (înălțimea) poate fi partea c. Apoi, formula arată așa:

S \u003d (a + b) * c / 2

Un alt mod de a calcula zona este de a înmulți lungimea liniei medii cu înălțimea:

sau lungimea laturii perpendiculare:

Următoarea metodă de calcul este prin jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci formula se simplifică pentru:

S \u003d ½ * d1 * d2

Un alt mod de calcul este printr-o jumătate de perimetru (suma lungimilor a două laturi opuse) și raza cercului înscris.

Această formulă este valabilă din motive. Dacă luăm lungimile laturilor, atunci una dintre ele va fi egală cu dublul razei. Formula va arăta astfel:

S \u003d (2r + c) * r

Dacă un cerc este înscris în trapez, atunci zona este calculată în același mod:

unde m este lungimea liniei medii.

Zona unui trapez curbat

Un trapez curvilin este o figură plană delimitată de un grafic al unei funcții continue ne-negative y \u003d f (x) definită pe un segment, axa abscisei și liniile drepte x \u003d a, x \u003d b. De fapt, cele două laturi ale acesteia sunt paralele între ele (baze), a treia latură este perpendiculară pe baze, iar a patra este o curbă corespunzătoare graficului funcției.

Zona unui trapez curbat este căutată prin integrală conform formulei Newton-Leibniz:

Aceasta calculează aria diferitelor tipuri de trapez. Dar, pe lângă proprietățile laturilor, trapezele au aceleași proprietăți ale unghiurilor. La fel ca în toate patrulatele existente, suma unghiurilor interne ale trapezului este de 360 \u200b\u200bde grade. Și suma unghiurilor adiacente laturii este de 180 de grade.

Există multe modalități de a găsi zona unui trapez. De obicei, un îndrumător în matematică are mai multe tehnici pentru calcularea acesteia, le vom baza mai detaliat:
1) unde AD și BC sunt bazele, iar BH este înălțimea trapezului. Dovadă: trageți diagonala BD și exprima zonele triunghiurilor ABD și CDB prin semifabricatul bazelor lor la o înălțime:

unde DP este înălțimea exterioară în

Să rezumăm aceste egalități și ținând cont că înălțimile BH și DP sunt egale, obținem:

Din paranteze

Quod erat demonstrandum

Consecința formulei de zonă trapezoidală:
Deoarece jumătatea sumei bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului

2) Aplicarea formulei generale a zonei patrulaterale.
Aria patrulaterului este egală cu jumătate din produsul diagonalelor, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru a demonstra, este suficient să împărțiți trapezoidul în 4 triunghiuri, să exprimați zona fiecăruia prin „jumătate din produsul diagonalelor prin sinusul unghiului dintre ele” (luați unghiul ca unghiul, adăugați expresiile rezultate, paranteza și factorizați această paranteză în grupuri pentru a obține egalitatea cu expresia.

3) Metoda schimbării diagonale
Acesta este numele meu. În manualele școlare, profesorul de matematică nu va îndeplini o astfel de rubrică. O descriere a tehnicii poate fi găsită doar în manualele suplimentare ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Rețin că profesorii în matematică deschid studenților cele mai interesante și utile date ale planimetriei în procesul de a efectua lucrări practice. Acest lucru este extrem de non-optim, deoarece studentul trebuie să le separe în teoreme separate și să le numească „nume mari”. Una dintre ele este „deplasarea în diagonală”. Despre ce e vorba? Desenăm o linie dreaptă prin vertexul B paralel cu AC până la intersecția cu baza inferioară în punctul E. În acest caz, EBCA-ul cvadrat va fi un paralelogram (prin definiție) și, prin urmare, BC \u003d EA și EB \u003d AC. Prima egalitate este importantă pentru noi acum. Noi avem:

Rețineți că triunghiul BED, a cărui suprafață este egală cu aria trapezului, are mai multe proprietăți mai remarcabile:
1) Suprafața sa este egală cu suprafața trapezului
2) Isoscelele sale apar simultan cu izoscelele trapezului în sine
3) Unghiul său superior la vertexul B este egal cu unghiul dintre diagonalele trapezului (care este foarte des utilizat în probleme)
4) BK mediana sa este egală cu distanța QS între punctele medii ale bazelor trapezului. Am întâlnit recent această proprietate când pregăteam un student pentru departamentul de mecanică al Universității de Stat din Moscova, conform manualului Tkachuk, versiunea 1973 (sarcina este dată în partea de jos a paginii).

Tutorat special în matematică.

Uneori propun sarcini pe un mod foarte complicat de a găsi zona unui trapez. Îl atribuie unor tehnici speciale, deoarece în practică tutorul le folosește extrem de rar. Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examen la matematică doar în partea B, nu puteți citi despre ele. Pentru restul spun mai departe. Se pare că aria trapezului este de două ori mai mare decât aria triunghiului cu vârfurile la capetele unei părți și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură:
Dovadă: trasați înălțimile SM și SN în triunghiurile BCS și ADS și exprimați suma zonelor acestor triunghiuri:

Întrucât punctul S este mijlocul CD-ului, atunci (demonstrați-vă singur). Găsim suma zonelor triunghiurilor:

Deoarece această cantitate s-a dovedit a fi egală cu jumătate din suprafața trapezului, apoi a doua jumătate a acesteia. Rt

Aș lua forma de calculare a zonei unui trapez isoscel de-a lungul părților sale până la banca piggy a trucurilor speciale ale tutorelui: unde p este trapezoidul pe jumătatea perimetrului. Nu voi da dovada. În caz contrar, profesorul tău de matematică va rămâne fără muncă :). Vino la ore!

Sarcini pe zona trapezului:

Nota tutorelui de matematica: Lista de mai jos nu este un acompaniament metodologic la subiect, este doar o mică selecție de sarcini interesante pentru tehnicile de mai sus.

1) Baza inferioară a trapezului isoscel este 13, iar cea superioară 5. Găsiți zona trapezului dacă diagonalul său este perpendicular pe lateral.
2) Găsiți zona trapezului dacă bazele sale sunt de 2cm și 5cm, iar laturile de 2cm și 3cm.
3) Într-un trapez echilateral, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Găsiți zona trapezului.
4) Diagonala unui trapez echilateral este 5, iar linia mijlocie este 4. Găsiți zona.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria trapezului
6) Diagonala unui trapez isoscel face un unghi cu baza sa inferioară. Găsiți zona trapezului dacă înălțimea sa este de 6cm.
7) Zona trapezului este de 20, iar una dintre laturile sale este de 4 cm. Găsiți distanța față de acesta de la mijlocul laturii opuse.
8) Diagonala unui trapez echilateral o împarte în triunghiuri cu zonele 6 și 14. Găsiți înălțimea dacă latura este 4.
9) În trapez, diagonalele sunt 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele mijlocii ale bazelor este 2. Găsiți zona trapezului (Universitatea de Stat din Moscova din Mehmat, 1970).

Nu am ales cele mai dificile sarcini (nu vă temeți de mehmat!), Cu așteptarea posibilității soluției lor independente. Decideți-vă sănătatea! Dacă aveți nevoie de pregătire pentru USE în matematică, atunci fără participarea la acest proces, formula zonei de trapez poate provoca probleme grave chiar și cu sarcina B6 și mai ales cu C4. Nu începeți subiectul și, în caz de dificultăți, solicitați ajutor. Profesorul de matematică este întotdeauna fericit să vă ajute.

Kolpakov A.N.
Tutor de matematică la Moscova, pregătire pentru examenul din Strogino.

Ce este un trapez isoscel? Aceasta este o figură geometrică ale cărei laturi opuse non-paralele sunt egale. Există mai multe formule diferite pentru găsirea zonei unui trapez cu diferite condiții care sunt date în probleme. Adică zona poate fi găsită dacă se dau înălțimea, laturile, unghiurile, diagonalele etc. De asemenea, este imposibil să nu menționăm că pentru trapezii isosceli există câteva „excepții”, datorită cărora căutarea zonei și a formulei în sine este mult simplificată. Soluții detaliate pentru fiecare caz sunt descrise mai jos cu exemple.

Proprietăți necesare pentru găsirea zonei unui trapez isoscel

Am aflat deja că o figură geometrică care are laturi opuse nu paralele, dar egale este un trapez, în plus, una izoscelă. Există cazuri speciale când trapezoidul este considerat izoscel.

Acestea sunt condiții pentru unghiuri egale. Deci, un punct obligatoriu: colțurile de la bază (luați figura de mai jos) ar trebui să fie egale. În cazul nostru, unghiul BAD \u003d unghiul CDA și unghiul ABC \u003d unghiul BCD
A doua regulă importantă este aceea că, într-un astfel de trapez, diagonalele trebuie să fie egale. Prin urmare, AC \u003d BD.
Al treilea aspect: unghiurile opuse ale trapezului în total trebuie să dea 180 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul ABC + unghiul CDA \u003d 180 grade. Cu unghiuri BCD și BAD în mod similar.
În al patrulea rând, dacă trapezul permite un cerc să fie descris în jurul lui, atunci acesta este izoscel.

Cum se găsește zona unui trapez isoscel - formule și descrierea acestora

S \u003d (a + b) h / 2 este cea mai comună formulă pentru găsirea zonei în care și - baza inferioară b Este baza superioară, iar h este înălțimea.

Dacă nu se cunoaște înălțimea, atunci o puteți căuta după o formulă similară: h \u003d c * sin (x), unde c este fie AB, fie CD. sin (x) este sinusul unghiului pentru orice bază, adică unghiul DAB \u003d unghiul CDA \u003d x. În cele din urmă, formula ia această formă: S \u003d (a + b) * c * sin (x) / 2.
Înălțimea poate fi, de asemenea, în conformitate cu această formulă:

Formula finală este următoarea:

Zona trapezului isoscel poate fi găsită prin linia medie și înălțime. Formula este următoarea: S \u003d mh.

Luați în considerare condiția când un cerc este înscris în trapez.

În cazul prezentat în imagine,

QN \u003d D \u003d H este diametrul cercului și, în același timp, înălțimea trapezului;

LO, ON, OQ \u003d R - razele unui cerc;

DC \u003d a - baza superioară;

AB \u003d b - baza inferioară;

DAB, ABC, BCD, CDA-alfa, beta-colțurile bazelor trapezului.

Un caz similar permite găsirea zonei conform următoarelor formule:

Acum să încercăm să găsim zona prin diagonale și unghiurile dintre ele.

În figură, notăm AC, DB - diagonale - d. Unghiuri COB, DOB - alfa; DOC, AOB - beta. Formula pentru zona unui trapez isoscel de-a lungul diagonalelor și unghiul dintre ele, ( S ) este după cum urmează: