S-a rezolvat problema placării neperiodice a unui plan cu figuri de aceeași formă. A fost descoperit un nou tip de pentagoane care acoperă un avion. Un număr mare de compoziții artistice ale artistului sunt dedicate quasicristalelor Shechtman și rețelelor Penrose.

un loc sau un spațiu dincolo de un pod.

Pentru studenții mei, le-am propus o modalitate de a rezolva problemele legate de placarea neperiodică a unui plan cu figuri de aceeași formă. Am realizat un studiu realizat de doi oameni de știință de la Universitatea Duke (SUA) și mi-a plăcut versiunea unui mozaic neperiodic care acoperă complet un avion, folosind plăci de aceeași formă.

Primul set de plăci a fost format din 20.426 de piese, care au fost introduse de Robert Berger în 1966. După ceva timp, le-a redus numărul la 104. În anii 70 ai secolului XX, Penrose a prezentat soluția cu mozaicul său și a folosit 2 figuri diferite. Am găsit o soluție interesantă de la Dmitry Safin, care a folosit o singură figură pentru mozaicul său - un hexagon obișnuit. La așezarea unor astfel de plăci, liniile negre nu trebuie întrerupte, iar steagurile de la vârfurile hexagoanelor, care sunt situate la o distanță egală cu lungimea unei laturi a plăcii (marcate cu săgeți în figură), ar trebui să arate în aceeași direcție. Aici au fost folosite două colorări diferite: a doua este obținută prin reflectarea primei în raport cu o linie verticală. Cu toate acestea, puteți face fără a doua opțiune de colorare dacă faceți țigla tridimensională. Plasarea planului cu astfel de plăci (prezentate într-una dintre figurile de mai jos) pentru ușurință de prezentare, acele steaguri de pe hexagoanele care arată în stânga sunt înlocuite aici cu linii violet, iar steagurile de alte tipuri sunt înlocuite cu roșu.

De asemenea, sunt date exemple de plăci care produc plăci neperiodice atunci când se ține cont doar de forma lor: în acest caz, nu este nevoie să se stabilească reguli de legătură asociate cu colorarea. În versiunea 2D, aceste plăci constau din mai multe zone izolate, dar în versiunea 3D, toate părțile lor sunt conectate între ele.

Apoi, m-am uitat la o altă metodă interesantă de tiling de la matematicieni din Australia John Taylor și Joshua Socolar. Au fost capabili să rezolve așa-numita problemă a unei plăci. Unul dintre cele mai simple exemple este placarea hexagonală, când un plan, ca un fagure, este format din hexagoane care se leagă pe laturi. În cazul hexagonal, acesta este, de exemplu, un vector care conectează centrele celulelor învecinate care au șase colțuri. În procesul de noi lucrări, matematicienii au rezolvat problema structurii unei plăci neperiodice folosind doar o singură plăci. Modelul celulei rezultate este hexagonal, dar datorită colorării speciale, placarea se dovedește a fi neperiodică. Pe lângă problema bidimensională, matematicienii oferă un analog tridimensional al propriului rezultat.

Pe lângă aplicațiile sale practice, teoria teselării este o sursă de inspirație pentru artiști. De exemplu, Maurits Escher (un artist din Țările de Jos) a creat picturi întregi folosind teselații neobișnuite. Pictura sa „Opt capete” se bazează pe o teselație dreptunghiulară. Acest artist a realizat desene bazate pe figuri geometrice, unde puteți urmări utilizarea plăcirii figurilor și nu numai cu o singură figură, ci cu multe altele. Elevii au apreciat frumusețea pavajului cu diferite figuri, au adus o selecție uriașă de desene ale artistului și au încercat să finalizeze sarcinile sub formă de desene.

Mai jos sunt diferite desene pe o anumită temă.




Din istorie

Quasicristal - un corp solid caracterizat prin simetrie, în clasic , și prezența lui . Posedă împreună cu o imagine discretă.

Quasicristale au fost observate pentru prima dată în experimente pe Al 6 Mn răcit rapid, efectuate, pentru care a fost premiat. Primul aliaj cvasicristalin pe care l-a descoperit a fost numit „shekhtmanit” ( Shechtmanit). Articolul lui Shekhtman nu a fost acceptat pentru publicare de două ori și a fost în cele din urmă publicat într-o formă prescurtată în colaborare cu celebrii specialiști I. Blech, D. Gratias și J. Kahn, pe care i-a atras. Modelul de difracție rezultat conținea vârfuri () ascuțite tipice, dar în general avea un icosaedru punctual, adică, în special, avea o axă de simetrie de ordinul cinci, ceea ce este imposibil într-o rețea periodică tridimensională. Experimentul de difracție a permis inițial explicarea fenomenului neobișnuit prin difracție pe gemeni cristalini multiple topiți în granule cu simetrie icosaedrică. Cu toate acestea, în curând experimente mai subtile au demonstrat că simetria cvasicristalelor este prezentă la toate scările, până la , iar substanțele neobișnuite sunt într-adevăr o nouă structură a organizării materiei.

Mai târziu s-a dovedit că fizicienii au întâlnit cvasicristale cu mult înainte de descoperirea lor oficială, în special, atunci când au studiat cvasicristale obținute din boabe din aliaje de-a lungul anilor. Cu toate acestea, la acel moment, cvasicristalele icosaedrice au fost identificate în mod eronat ca cristale cubice mari. Predicțiile despre existența structurii în cvasicristale au fost făcute de Maki.

În prezent, sunt cunoscute sute de tipuri de cvasicristale care au simetria punctuală a icosaedrului, precum și zece, opt și dodecagonul.

Modelul atomic al unui cvasicristal Al-Pd-Mn

STRUCTURA

Quasicristale deterministe și stabilizate cu entropie

Există două ipoteze despre de ce cvasicristalele sunt faze (meta-)stabile. Conform unei ipoteze, stabilitatea este cauzată de faptul că energia internă a cvasicristalelor este minimă în comparație cu alte faze; ca urmare, cvasicristalele ar trebui să fie stabile chiar și la temperatura zero absolut. Cu această abordare, are sens să vorbim despre anumite poziții ale atomilor într-o structură cvasicristalină ideală, adică avem de-a face cu un cvasicristal determinist. O altă ipoteză sugerează contribuția determinantă în stabilitate. Cvasicristalele stabilizate prin entropie sunt fundamental instabile la temperaturi scăzute. În prezent, nu există niciun motiv să credem că cvasicristalele reale sunt stabilizate numai datorită entropiei.

Descriere multidimensională

O descriere deterministă a structurii cvasicristalelor necesită specificarea poziției fiecărui atom, iar modelul de structură corespunzător trebuie să reproducă modelul de difracție observat experimental. Modul general acceptat de descriere a unor astfel de structuri folosește faptul că simetria punctuală, interzisă pentru o rețea cristalină în spațiul tridimensional, poate fi permisă într-un spațiu de dimensiune mai mare D. Conform unor astfel de modele de structură, atomii dintr-un cvasicristal sunt situate la intersecția unui subspațiu tridimensional (simetric) R D (numit subspațiu fizic) cu varietăți localizate periodic cu graniță de dimensiunea D-3, transversală subspațiului fizic.

„Construiți reguli”

Descrierea multidimensională nu răspunde la întrebarea cât de local poate stabiliza un cvasicristal. Quasicristalele au o structură paradoxală din punctul de vedere al cristalografiei clasice, prezisă din considerente teoretice (). Teoria mozaicurilor Penrose a făcut posibilă îndepărtarea de ideile obișnuite despre grupurile cristalografice Fedorov (bazate pe umplerile periodice ale spațiului).

METALURGIE

Producția de cvasicristale este complicată de faptul că toate sunt fie metastabile, fie formate dintr-o topitură a cărei compoziție diferă de compoziția fazei solide.().

NATURAL

S-au găsit roci cu cvasicristale naturale Fe-Cu-Alîn 1979. Cu toate acestea, abia în 2009 oamenii de știință au stabilit acest fapt. În 2011, au publicat un articol în care spuneau că acest cvasicristal este de origine extraterestră. În vara lui 2011, în timpul unei expediții în Rusia, mineralogii au găsit noi mostre de cvasicristale naturale.

PROPRIETĂȚI

Inițial, experimentatorii au reușit să intre într-un „decalaj de temperatură” foarte îngust și să obțină materiale cvasicristaline cu proprietăți noi neobișnuite. Cu toate acestea, mai târziu, cvasicristale au fost descoperite în Al-Cu-Li și în alte sisteme, care pot fi stabile până la și pot crește la aproape , ca cristalele obișnuite.

În cvasicristale, în schimb, este anormal de ridicat la temperaturi scăzute și scade odată cu creșterea temperaturii. În cvasicristale stratificate, de-a lungul axei rezistența electrică se comportă ca într-un metal normal, iar în straturi cvasicristaline în modul descris mai sus.

    Proprietăți magnetice. Majoritatea sunt cvasicristaline -, dar aliaje cu -.

    Cvasicristalele sunt mai aproape de proprietățile elastice ale substanțelor amorfe decât cele cristaline. Ele se caracterizează prin valori mai mici în comparație cu cristalele. Cu toate acestea, cvasicristalele sunt mai mici decât cristalele similare din punct de vedere al compoziției și este probabil să joace un rol în aliajele metalice.

CRISTAL Cvasi

un tip special de împachetare a atomilor într-o substanță solidă, caracterizat prin simetrie icosaedrică (adică cu axe de ordinul al 5-lea), ordine de orientare pe distanță lungă și absența simetriei translaționale inerente în obișnuit.stare cristalină. Quasicristal numit după un pachet de atomi a fost deschis într-un aliaj metalic Al răcit rapid 6 Mn (1984) și apoi descoperit în sisteme Al-Fe, Ni-Ti etc. Regulat au periodicitate tridimensională în aranjarea atomilor, excluzând posibilitatea existenței unor axe de simetrie de ordinul 5. Într-o stare amorfă (sticlă), sunt posibile grupuri locale de atomi cu simetrie icosaedrică, dar pe întregul volum al corpului amorf nu există o ordine pe distanță lungă în aranjarea atomilor, nici translațională, nici orientativă. K. poate fi considerat ca intermediar. tip de ordonare atomică între cu adevărat cristalin și sticlos. Un model bidimensional de K. sunt împachetari (“parchete”) de romburi cu un unghi de vârf de 360°/5 = 72° cu axe de simetrie de ordinul al 5-lea: în acest caz, golurile sunt umplute cu alte romburi cu un unghi de vârf de 360°/10 = 36° (modelul Penrose, Fig. 1); combinatiile acestor romburi dau decagoane egale. Orientarea unghiulară a tuturor elementelor parchetului se repetă pe tot planul; aceasta este ordinea de orientare pe rază lungă, dar nu există o ordine reală de translație pe rază lungă (deși există o periodicitate aproximativă pe anumite direcții).

Orez. 1 . Bidimensional model cvasicristal ( evidențiat decagoane).

Orez . 2. Elemente ale structurii unui cvasicristal de cinci tetraedre: fragment de icosaedru (a), 32 - triacontaedrul de vârf(6 ).

Ambalarea atomilor în spațiul tridimensional K. pot fi descrise pe baza poliedrelor care conțin axe de ordinul 5 sau fragmente ale unor astfel de poliedre. În fig. 2, a este prezentată caracteristica lui K. fragmenticosaedru

(12 - vârf - douăzeci de laturi cu simetria punctului 53m), format din 5 tetraedre. Pentru ca cei 6 atomi de vârf și cel central să formeze un pachet strâns, raza atomului central trebuie să fie puțin mai mică decât cea a atomului secundar; de exemplu, în Al 6 Mn raza atomică a lui Mn este 0,130 nm, Al - 0,143 nm. Fragmente din structura atomică a lui K. Pot exista, de asemenea, analogi tridimensionali ai modelelor Penrose - romboedre acute și obtuze cu unghiuri de vârf de 63, 43 ° și 116, 57 °, din care poate fi compus un poliedru - un triacontaedru cu simetria 53m, având 32 de vârfuri (Fig. 2 , 6 ). Ambalarea atomilor în K. poate fi observat tulburări similare cu luxațiile (vezi Defecte ). LA . tipul Al 6 Mn poate fi considerat ca faze metastabile. Cu toate acestea, există o structură K. tipul de aliaj Al-Li-Cu-Mn, obținut prin răcirea lentă a topiturii, este aparent echilibrat. În prezent timpul dezvolta fizic teorii cvasicristalină. state .

Este ușor să pavați avionul cu parchet din triunghiuri, pătrate sau hexagoane obișnuite (sub placareÎnțelegem acest aranjament în care vârfurile fiecărei figuri sunt aplicate numai vârfurilor figurilor învecinate și nu există nicio situație când un vârf este aplicat laturii). Exemple de astfel de plăci sunt prezentate în Fig. 1.

Orez. 1. Placare plană: i - triunghiuri echilaterale, ii - pătrate, iii - hexagoane regulate

Nici un alt corect n-nu se va putea acoperi un plan cu unghiuri fara goluri si suprapuneri. Iată cum se explică. După cum se știe, suma unghiurilor interioare ale oricăror n-gon este egal cu ( n– 2) 180°. Pentru că toate unghiurile sunt corecte n-gonurile sunt identice, atunci măsura gradului fiecărui unghi este . Dacă planul poate fi placat cu astfel de figuri, atunci la fiecare vârf converge k poligoane (pentru unii k). Suma unghiurilor la acest vârf trebuie să fie de 360°, deci . După câteva transformări simple, această egalitate se transformă în aceasta: . Dar, așa cum este ușor de verificat, ultima ecuație are doar trei perechi de soluții, dacă presupunem că nȘi k numere întregi: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 sau k = 6, n= 3. Aceste perechi de numere corespund exact celor prezentate în Fig. 1 placare.

Ce alte poligoane pot fi folosite pentru a placa un plan fără goluri sau suprapuneri?

Sarcină

a) Demonstrați că orice triunghi poate fi folosit pentru a placa un plan.

b) Demonstrați că orice patrulater (atât convex, cât și neconvex) poate fi folosit pentru a placa un plan.

c) Dați un exemplu de pentagon care poate fi folosit pentru a placa un avion.

d) Dați un exemplu de hexagon care nu poate fi folosit pentru a placa un avion.

e) Dați un exemplu n-pătrat pentru orice n> 6, care poate fi folosit pentru asfaltarea avionului.

Sugestii

1) La punctele a), c), e) puteți încerca să faceți „fâșii” din figuri identice, care apoi pot fi folosite cu ușurință pentru asfaltarea întregului avion.

Pasul b): Îndoiți două patrulatere identice într-un hexagon ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. Este destul de ușor să placați un avion cu aceste hexagoane.

Punctul d): folosiți faptul că suma unghiurilor de la fiecare vârf trebuie să fie egală cu 360°.

2) La punctul e) puteți încerca să acționați diferit: modificați ușor figurile existente astfel încât să se obțină noi teselații.

Soluţie

Exemple de răspunsuri sunt prezentate în imagini.

A):

Orez. 2

b):

Orez. 3

c) Un pentagon în formă de casă va face:

Orez. 4

d) Nu va fi posibilă pavarea unui avion cu astfel de hexagoane: pur și simplu nicio parte a unui astfel de hexagon nu se va potrivi complet în colțul „decupat”. Acest lucru este clar vizibil în celule:

Orez. 5

Puteți veni cu multe alte hexagoane care nu pot fi folosite pentru a placa un avion.

e) Iată un exemplu de dodecagon care poate fi folosit pentru a plăci un avion. Această metodă de placare a fost obținută ca o modificare a rețelei pătrate obișnuite (vezi Fig. 1, ii din condiție):

Orez. 6

Problema plăcuirii unui avion cu figuri identice fără goluri sau suprapuneri este cunoscută încă din cele mai vechi timpuri. Unul dintre cazurile sale speciale este întrebarea ce pot fi parchetele (adică placarea unui avion poligoane regulate, și nu neapărat la fel) și, în special, parchet corect. Parchetul corect are următoarea proprietate: cu ajutorul transferurilor paralele (schimbări fără rotații), care transferă parchetul în sine, puteți combina un nod preselectat cu orice alt nod de parchet. În fig. 1 dintre condiții arată doar parchetul potrivit.

Orez. 9.„Giant’s Causeway” (Irlanda de Nord). Fotografie de pe ru.wikipedia.org

O generalizare a problemei noastre - tiling spațial - o ramură modernă importantă a cristalografiei, jucând un rol important în optica integrată și fizica laserului.

Destul de ciudat, până în vremuri relativ recente, se cunoșteau doar teselații periodice (care sunt complet compatibile cu ele însele după o anumită schimbare și repetările acesteia). Cu toate acestea, în 1974, savantul englez Roger Penrose

Orez. unsprezece. M. C. Escher, „Reptile”, 1946 ( stânga) și „Fluturi”, 1950

Parchetele și mozaicurile se găsesc și în artele plastice. Poate că cele mai cunoscute sunt lucrările olandezului M.K. Escher (M. C. Escher).

Instituție de învățământ municipală

„Școala medie nr. 28”.

Placarea unui avion în spațiu.

Rezumat de cercetare

Matematică

elevi de clasa a X-a

Komarcheva Anna

supraveghetor:

profesor de matematică Ovsyankina O.A.

Mytishchi

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

Definiția plăcirii plane………………………………………………………..4

Istoricul apariției plăcilor …………………………………………………………………………..5

Parchete………………………………………………………………………………………..7

Placarea neperiodică de H. Foderberg………………………………………...10

Cea mai simplă placare……………………………………………………….11

Mozaic de Roger Penrose………………………………………………………………………..12

Proprietățile mozaicului Penrose………………………………………………………………………..13

Descoperire senzațională……………………………………………………….14

Cvasicristale……………………………………………………………………….17

Structura cvasicristalelor………………………………………………………………….19

Proprietățile cvasicristalelor…………………………………………………….21

Fulerene și cvasicristale………………………………………………………………………...24

Maurice Escher…………………………………………………………………….26

Ornamente medievale……………………………………………………28

Structura girikh-urilor………………………………………………………………………..31

Concluzie……………………………………………………………………………………………..34

Introducere

Relevanța abstractului constă în faptul că placarea plană este studiată activ în fizica cristalelor, geometrie și se găsește și în viața de zi cu zi.

Chiar și artiștii antici au creat modele geometrice uimitoare. Pentru a-și crea modelele, ei nu au folosit contururi simple, inventate aleatoriu, ci figuri care erau aranjate într-o anumită ordine. Și cel mai uimitor lucru este că oamenii i-au întâlnit din nou mai târziu. Modelele antice nu sunt altceva decât ceea ce secole mai târziu vor fi numite rețele Penrose și găsite în structura cvasicristalelor!

Iar celebrul artist olandez Maurice Escher (1898-1972), care a creat gravuri și mozaicuri celebre și nu a înțeles niciodată matematica, a declarat: „Toate lucrările mele sunt jocuri. Jocuri serioase.” Cu toate acestea, în aceste jocuri, matematicienii din întreaga lume s-au uitat la dovezi materiale absolut serioase ale ideilor create folosind exclusiv aparate matematice de câteva decenii.

Cea mai serioasă atenție problemei plăcirii unui avion în spațiu a început să fie acordată în ultimii cincizeci de ani, după descoperiri în fizica cristalelor - aliaje de metale dure. În cristalografie, simetria rotațională de ordinul 5 este cel mai eficient reprezentată în lumea plantelor și în cele mai simple organisme vii, în special în unele tipuri de viruși și la unii locuitori ai mării.

Definirea unei teselații plane

Teselația este acoperirea unui întreg plan cu forme care nu se suprapun.

Tiglare - compartimentare avion sau spațiu pe cifre fără puncte interioare comune sau acoperind întregul plan cu forme care nu se suprapun.

Plasarea unui avion poate fi reprezentată ca un set de figuri lipite împreună de-a lungul limitelor. Unul dintre cele mai simple exemple este așa-numita placare hexagonală, când un plan, ca un fagure, este format din hexagoane conectate pe laturi. O placă se numește periodică dacă, atunci când este deplasată de un anumit vector, se transformă în sine. În cazul hexagonal, acesta este, de exemplu, un vector care conectează centrele celulelor hexagonale adiacente.

Istoria gresierii

Probabil, interesul pentru pavaj a apărut mai întâi în legătură cu construcția de mozaicuri, ornamente și alte modele. Există multe ornamente cunoscute compuse din motive care se repetă.

Pitagorei știau deja că există doar trei tipuri de poligoane regulate cu care un plan poate fi complet placat fără goluri sau suprapuneri - triunghi, pătrat și hexagon.

Problema matematică a plăcirii neperiodice a unui plan există de aproximativ o jumătate de secol. Cea mai cunoscută soluție la această problemă este mozaic Penrose, care a apărut în anii șaptezeci ai secolului trecut și care folosește doar două figuri diferite.

Iar primul set de plăci, format din 20.426 de figuri, a fost introdus în 1966 de către matematicianul Robert Berger. După ceva timp, însă, a reușit să reducă numărul de plăci necesare la 104.

Pentru autorul lucrării în cauză, o cifră a fost suficientă pentru a rezolva problema - un hexagon obișnuit. La așezarea unor astfel de plăci, liniile negre nu trebuie întrerupte, iar steagurile de la vârfurile hexagoanelor, care sunt situate la o distanță egală cu lungimea unei laturi a plăcii (marcate cu săgeți în figură), ar trebui să arate în aceeași direcție.

Parchete

În fiecare dintre teselațiile care folosesc un pătrat, un triunghi regulat și un hexagon regulat, oricare două poligoane fie au o latură comună, doar un vârf comun, fie nu au puncte comune. Se numesc teselări ale planului cu poligoane care îndeplinesc această cerință parchete.

Este destul de simplu să te asiguri că niciun alt poligon obișnuit nu formează parchetul. Și aici avem nevoie de formula pentru suma unghiurilor unui poligon.

Daca parchetul este din n-goni, apoi la fiecare vârf al parchetului va fi convergenţă k= 360°/ A n poligoane, unde n- unghiul corect n-gon. Este ușor să găsești asta A 3 = 60°, A 4 = 90°, A 5 = 108°, A 6 = 120° și 120° a n P > 7. Prin urmare, 360° este divizibil cu A n Doar cand P = 3; 4; 6.

Parchetele realizate din poligoane regulate sunt ele însele regulate în sensul că sunt „la fel de structurate” în raport cu toate vârfurile lor și toate piesele poligonului care alcătuiesc parchetul. (Aceste piese se numesc fețe de placare sau pur și simplu plăci.) Cu alte cuvinte, pentru oricare două vârfuri ale unui parchet obișnuit, se poate specifica auto-alinierea acestuia astfel încât unul dintre vârfuri să cadă pe celălalt. Același lucru este valabil și pentru oricare două plăci de parchet.

Puteți cere ca parchetul să fie regulat doar la vârfuri, dar să permiteți utilizarea diferitelor tipuri de poligoane regulate. Apoi, la cele trei originale vor fi adăugate încă opt parchet.

Se ia în considerare și o altă generalizare - parchete realizate din copii ale unui poligon arbitrar, corecte „de-a lungul marginilor” (adică, permițând auto-alinierea care transformă orice țiglă dată în oricare alta). Numărul de astfel de parchete este de 46, inclusiv primele trei.

Poligoanele care pot fi gresie în aceste parchete se numesc planigonuri. Este clar că un plan poate fi așezat cu copii ale unui triunghi arbitrar, dar este mai puțin evident că un patrulater arbitrar este un planigon. Același lucru este valabil și pentru orice hexagon ale cărui laturi opuse sunt egale și paralele.

Toate parchetele discutate mai sus sunt periodice, adică în fiecare dintre ele se poate selecta (și chiar în multe feluri) o zonă compusă din mai multe plăci, din care se obține întregul parchet prin deplasări paralele. Interesul oamenilor de știință pentru astfel de structuri se explică prin faptul că plăcile periodice, în special plăcile spațiale, modelează structuri cristaline.

Placarea neperiodică de H. Foderberg

Există și teselații neperiodice, de exemplu, o teselație spirală foarte frumoasă a planului cu hentagoane, inventată în 1936 de matematicianul german H. Foderberg. Cu toate acestea, combinând aceste plăci în perechi în octogoane simetrice central, puteți plăti planul cu ele periodic.

Multă vreme s-a presupus că nu există plăci, sau chiar seturi de mai multe plăci diferite, copii ale cărora ar putea acoperi un avion doar neperiodic. Cu toate acestea, la mijlocul anilor 60. secolul XX această ipoteză a fost infirmată, ceea ce a necesitat un set de peste 20.000 de tipuri diferite de plăci. Pas cu pas, numărul de plăci a fost redus, iar în cele din urmă, zece ani mai târziu, matematicianul englez Roger Penrose a reușit să se descurce cu doar două cifre foarte simple.

Cea mai simplă placare

Una dintre cele mai simple plăci de gresie poate fi descrisă după cum urmează. Planul este acoperit cu paralelograme, iar toate paralelogramele sunt identice. Orice paralelogram al acestei plăci poate fi obținut din paralelogramul original prin deplasarea acestuia cu vectorul nU ± mV (vectorii U și V sunt determinați de marginile paralelogramului selectat, n și m sunt numere întregi). Trebuie remarcat faptul că întreaga placă ca un întreg este transformată în sine atunci când este deplasată de vectorul U (sau V). Această proprietate poate fi luată ca o definiție: și anume, o placare periodică cu perioadele U și V este o placare care se transformă în sine atunci când este deplasată de un vector U și de un vector V.


Mozaic de Roger Penrose

Multă vreme s-a presupus că nu există plăci, sau chiar seturi de mai multe plăci diferite, copii ale cărora ar putea acoperi un avion doar neperiodic. Cu toate acestea, la mijlocul anilor 60. În secolul al XX-lea, această ipoteză a fost respinsă, ceea ce a necesitat un set de peste 20.000 de tipuri diferite de plăci. Pas cu pas, numărul de plăci a fost redus, iar în cele din urmă, zece ani mai târziu, matematicianul englez Roger Penrose a reușit să se descurce cu doar două cifre foarte simple.

Matematicianul englez Roger Penrose a venit cu așa ceva în 1973 - un mozaic special de forme geometrice. În consecință, a devenit cunoscut sub numele de mozaic Penrose. Ce este atât de specific la el? Mozaicul Penrose este un model asamblat din plăci poligonale de două forme specifice (rombi ușor diferite). Ele pot pava un avion nesfârșit fără goluri.

Imaginea rezultată pare a fi un fel de ornament „ritmic” - o imagine cu simetrie translațională. Acest tip de simetrie înseamnă că puteți selecta o anumită piesă într-un model care poate fi „copiat” pe un plan și apoi să combinați aceste „duplicate” între ele prin transfer paralel (cu alte cuvinte, fără rotație și fără mărire).

Cu toate acestea, dacă te uiți cu atenție, poți vedea că modelul Penrose nu are astfel de structuri repetate - este aperiodic. Dar ideea nu este o iluzie optică, ci faptul că mozaicul nu este haotic: are simetrie de rotație de ordinul cinci. Aceasta înseamnă că imaginea poate fi rotită la un unghi minim de 360/ n grade, unde n– ordinea de simetrie, în acest caz n= 5. Prin urmare, unghiul de rotație, care nu schimbă nimic, trebuie să fie un multiplu de 360 ​​/ 5 = 72 de grade.

Mozaicul Penrose are următoarele proprietăți:

1. Raportul dintre numărul de romburi subțiri și numărul celor groase este întotdeauna egal cu așa-numitul număr „de aur” 1.618...

2. Nu se transformă în sine în timpul vreunei ture, adică. nu periodice

3. Are simetrie de rotație de ordinul al cincilea. Unghiul de rotație este un multiplu de 360° / 5 = 72. Modelele rezultate au cvasicristalină o formă care are simetrie axială Ordinul 5. Structura mozaicului este legată de Secvența Fibonacci.

Descoperire senzațională

Timp de aproximativ un deceniu, ficțiunea lui Roger Penrose a fost considerată nimic mai mult decât o abstractizare matematică drăguță.

Mai târziu, oameni de știință din SUA și Israel - D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias și J. Kahn - au făcut o descoperire senzațională prin descoperirea structurii neperiodice a unui aliaj de mangan și aluminiu răcit rapid. Anterior, se credea că cristalele au simetrie axială doar de ordinul 1, 2, 3, 4 și 6. Cu alte cuvinte, cristalele cu simetrie axială de ordinul 5 sunt într-o stare de tranziție lină între corpurile amorfe și cristalele periodice.

Ideile anterioare care existau în fizica stării solide au exclus această posibilitate: structura modelului de difracție are simetrie de ordinul cinci.

Părțile sale nu pot fi combinate prin transfer paralel, ceea ce înseamnă că nu este deloc un cristal. Dar difracția este caracteristică rețelei cristaline!

Cum putem fi aici? Întrebarea nu este ușoară, așa că oamenii de știință au fost de acord că această opțiune va fi numită cvasicristale - ceva ca o stare specială a materiei. Astfel, curiozitatea matematică a devenit un model care descrie structura internă a cvasicristalelor.

Ei bine, frumusețea descoperirii este că un model matematic pentru ea a fost de mult gata. Mozaicul Penrose este un exemplu excelent al modului în care o construcție frumoasă, situată la intersecția diferitelor discipline, își găsește în mod necesar aplicația. Dacă punctele nodale sunt înlocuite cu atomi, mozaicul Penrose va deveni un bun analog al unui cvasicristal bidimensional, deoarece are multe proprietăți caracteristice unui astfel de cristal.
stare a materiei. Si de aceea:

În primul rând, construcția mozaicului este implementată conform unui anumit algoritm, în urma căruia se dovedește a fi nu o structură aleatorie, ci ordonată. Orice parte finită a acesteia apare de nenumărate ori pe tot parcursul mozaicului.

În al doilea rând, în mozaic se pot distinge multe decagoane regulate care au exact aceleași orientări. Ele creează o ordine de orientare pe rază lungă, numită cvasiperiodică. Aceasta înseamnă că există o interacțiune între structurile de mozaic îndepărtate care coordonează locația și orientarea relativă a diamantelor într-un mod foarte specific, deși ambiguu.
În al treilea rând, dacă pictați succesiv peste toate romburile cu laturile paralele cu orice direcție selectată, acestea vor forma o serie de linii întrerupte.

De-a lungul acestor linii întrerupte, puteți desena linii paralele drepte distanțate unele de altele la aproximativ aceeași distanță. Datorită acestei proprietăți, putem vorbi despre o anumită simetrie translațională în mozaicul Penrose.

În al patrulea rând, diamantele umbrite secvenţial formează cinci familii de linii paralele similare care se intersectează la unghiuri care sunt multipli de 72°. Direcțiile acestor linii întrerupte corespund direcțiilor laturilor unui pentagon obișnuit. Prin urmare, mozaicul Penrose are, într-o oarecare măsură, simetrie rotațională de ordinul al 5-lea și în acest sens este similar cu un cvasicristal.

Quasicristale

Încă din cele mai vechi timpuri, când știința solidelor tocmai a apărut, s-a observat că toate corpurile din natură pot fi împărțite în două clase diametral opuse: corpuri amorfe dezordonate, în care nu există o regularitate în aranjarea reciprocă a atomilor și corpurile cristaline. , caracterizate prin dispunerea lor ordonată . Această diviziune a structurii solidelor a durat aproape până la sfârșitul secolului XX, când au fost descoperite corpuri cristaline nu tocmai „corecte” - cvasicristale. Au început să fie considerate forme intermediare între corpurile amorfe și cele cristaline.

Quasi (lat. cvasi - ca și cum, ca și cum) este un prefix pentru diverse cuvinte, corespunzând în sensul cuvintelor „imaginar”, „fals”, „pretins”.

În 1984, a fost descoperit un aliaj de aluminiu cu mangan Al0,86Mn0,14, a cărui probă, supusă unei metode speciale de răcire rapidă, a împrăștiat un fascicul de electroni astfel încât un model de difracție pronunțat cu simetrie de ordinul cinci în locul difracției maxima (simetria icosaedrului) s-a format pe placa fotografică. Prezența maximelor de difracție ascuțită a indicat prezența în structura ordinului pe distanță lungă în aranjarea atomilor, caracteristică cristalelor, deoarece aceasta înseamnă că atomii din diferite părți ale probei reflectă în mod egal fasciculul de electroni. Cu toate acestea, simetria modelului de difracție observat a contrazis conceptele fundamentale ale cristalografiei clasice: o astfel de simetrie este imposibilă fizic pentru orice substanță cristalină.

Cercetările ulterioare au arătat că noul material prezintă un nou tip de ordine, necristalină și neamorfă (o substanță amorfă se caracterizează prin prezența ordinului atomic cu rază scurtă - ordin cristalin doar la câteva distanțe interatomice). Prin urmare, această substanță a fost numită un cvasicristal.

Un timp mai târziu, s-au găsit și alte aliaje metalice cu ordine de rază lungă, dar având axe de simetrie ale a șaptea, a opta, a zecea, a douăsprezecea etc. comenzi interzise pentru cristale. În legătură cu aceasta, s-a extins și conceptul de cvasicristale: în prezent, cvasicristalele sunt în general înțelese ca aliaje metalice solide cu ordin lung, ale căror vârfuri de difracție sunt situate cu simetrie necristalografică.

Structura cvasicristalelor

O problemă importantă în fizica cvasicristalelor este structura lor atomică. Structura lor poate fi înțeleasă folosind teoria matematică a plăcirii. Un cristal obișnuit este o structură periodică de atomi sau molecule. Orice structură cristalină are o anumită simetrie. Cristalele au două tipuri de ordine pe rază lungă, orientativă și translațională. Ordinea translațională înseamnă capacitatea de a construi o structură cristalină prin translatarea blocului de construcție elementar al structurii cu un anumit aranjament de atomi pe un anumit vector al celulei elementare a cristalului. În acest caz, ei vorbesc despre existența ordinii pe distanță lungă în cristal. Ordinea de orientare înseamnă că rotația cristalului în jurul unei anumite axe aliniază pozițiile atomice cu ele însele. Cristalele pot avea simetrie de rotație de ordinul trei, al patrulea sau al șaselea.

De exemplu, dacă un cristal are o axă de simetrie de ordinul trei, atunci rețeaua sa cristalină nu se va schimba după rotirea cu o treime de cerc. Structura celulei unitare a majorității cristalelor se bazează pe solide geometrice simple, cum ar fi cubul, tetraedrul și octaedrul. Structura cvasicristalelor, cum ar fi un aliaj de aluminiu și mangan, se bazează pe un alt corp geometric - icosaedrul. Un icosaedru este un poliedru cu 20 de fețe, fiecare dintre acestea fiind un triunghi echilateral, 12 vârfuri și 30 de muchii. Icosaedrul are simetrie de ordinul al cincilea: cinci fețe sunt conectate la fiecare vârf. Icosaedrele nu pot fi împachetate astfel încât să umple întreg spațiul etanș, fără goluri, deci nu pot servi ca celule elementare de cristale.

Elemente ale structurii unui cvasicristal de cinci tetraedre: fragment de icosaedru (a), 32 - vârful unui triacontaedru (6)

Icosaedru(din greacăεικοσάς - douăzeci; -εδρον - față, față, bază) - poliedru convex regulat, poliedru cu douăzeci de laturi, unul dintre Solidele platonice. Fiecare dintre cele 20 de fețe este echilaterală triunghi. Numărul de muchii este 30, numărul de vârfuri este 12.

Tetraedru(greacă τετραεδρον - tetraedru) - un poliedru cu patru fețe triunghiulare, la fiecare dintre vârfurile cărora converg 3 fețe.

Triacontaedrul- (greacă, de la triaconta treizeci și baza de hedra). Treizeci de edri, adică un corp delimitat de 30 de planuri rombice egale.

Proprietățile cvasicristalelor

Quasicristalele sunt de obicei aliaje de elemente metalice. Dar proprietățile fizice ale cvasicristalelor diferă de proprietățile altor sisteme metalice. Rezistența electrică a metalelor crește odată cu creșterea temperaturii, a concentrației de impurități și a defectelor structurale. Cvasicristalele nu sunt izolatori sau semiconductori, dar spre deosebire de metale, rezistența lor electrică la temperaturi scăzute este anormal de mare, scade odată cu creșterea temperaturii și crește odată cu creșterea ordinii structurale și recoacerea defectelor (încălzire pe termen lung care elimină defectele). Un model interesant este observat în cvasicristale decagonale. Acestea sunt obiecte stratificate: planurile cvasicristaline sunt împachetate de-a lungul unei axe de ordinul al zecelea cu o perioadă finită. De-a lungul axei de împachetare, conductivitatea se comportă ca într-un metal normal, dar în planurile cvasicristaline se comportă diferit.

Aproape toate aliajele cvasicristaline sunt diamagnetice. Excepție fac aliajele cu mangan, care sunt paramagnetice.

Teoria stării solide explică perfect proprietățile electronice ale metalelor normale și ale aliajelor lor. Punctul de plecare este periodicitatea structurii cristaline. Cu toate acestea, teoria nu este încă în măsură să explice de ce cvasi-periodicitatea este sursa comportamentului specific al proprietăților. Pentru a răspunde la această întrebare, sunt necesare mai multe informații experimentale și teoretice despre structura electronică (spectrul electronic) a cvasicristalelor.

În prezent, au fost descoperite peste 200 de aliaje cvasicristaline, ale căror proprietăți sunt studiate activ. În fiecare an apar rapoarte de cvasicristale cu noi compoziții și noi variante de structuri, a căror existență nici nu putea fi presupusă înainte.

În prezent, în majoritatea cvasicristalelor sintetizate au fost descoperite axe de simetrie de ordinul 5, 7, 8, 10, 12 și chiar superior, care sunt interzise pentru cristalele ideale. Aceste obiecte nu și-au găsit încă aplicație practică, dar studiul lor extinde înțelegerea noastră asupra structurii materiei. Problema stării cvasicristaline nu se limitează la fizica stării solide. Proprietățile de simetrie ale cvasicristalelor sunt universale. Aceasta înseamnă că, dacă într-un solid se găsește orice metodă de împachetare a celulelor de o anumită formă, atunci aceeași metodă de împachetare a „celule lichide” poate fi găsită în fluxurile hidrodinamice, problema haosului (în structura planului de fază al unui sistem dinamic), etc. Prin urmare, în Studiul cvasicristalelor implică fizicieni, matematicieni, cristalografi și oameni de știință a materialelor. Cu toate acestea, întrebarea privind natura stării cvasicristaline a materiei și explicația proprietăților cvasicristalelor rămâne încă un mister că Natura ne-a prezentat.

Iată un fapt interesant observat de cercetători. Simetria rotațională de ordinul 5, strict interzisă în cristalografie, este cel mai eficient reprezentată în lumea plantelor și în cele mai simple organisme vii, în special în unele soiuri de viruși, la unii locuitori ai mării (stea de mare, arici de mare, colonii de alge verzi, etc.) și în altele obiecte care „construiesc viața”. Simetria rotațională de ordinul al 5-lea este caracteristică multor flori sălbatice (sânătoarea, nu-mă-uita, clopoțelul etc.), pentru florile de fructe și fructe de pădure (zmeură, viburnum, rowan, măceș etc.), pentru florile pomilor fructiferi (cireș, par, măr, mandarină etc.). Solzii unui con de brad, boabele de floarea soarelui sau celulele unui ananas formează, de asemenea, un fel de acoperire de suprafață cvasi-regulată, în care celulele învecinate sunt organizate în spirale clar vizibile și formează o structură apropiată de cvasicristale.

După cum vedem, simetria rotațională de ordinul 5, care joacă un rol important în cvasicristale, se manifestă cel mai clar ca în regiunea de tranziție dintre lumea vie static neînsuflețită și flexibilă flexibilă a naturii. Studiul obiectelor cvasicristaline a condus la o serie de descoperiri și dezvoltări aplicate. Perfecțiunea structurală a cvasicristalelor stabile termodinamic le pune la egalitate cu cele mai bune exemple de cristale obișnuite. Pe baza acestora se obtin ochelari usori si foarte rezistenti. Filmele subțiri și acoperirile de cvasicristale au un coeficient de frecare foarte scăzut. Folosind cvasicristale, sunt create materiale compozite, de exemplu, cauciuc rezistent la frecare. Conductivitatea lor electrică și termică scăzută, duritatea ridicată, rezistența la coroziune și oxidare, inerția chimică și netoxicitatea sunt deosebit de atractive. Astăzi s-au obținut deja multe cvasicristale promițătoare, la care nici măcar nu s-au visat cu câteva decenii în urmă. Una dintre sarcinile prioritare este dezvoltarea unor metode de sinteză în funcție de parametrii dați, care să permită „programarea” în avans a proprietăților fizice ale materialelor create.

Apariția neașteptată a proporției de aur în structura cvasicristalelor indică prezența unui „motiv” viu în simetria lor, deoarece, spre deosebire de cristalele neînsuflețite, doar lumea vie permite relații remarcabile ale proporției de aur. Multe lucruri despre natura cvasicristalelor sunt încă neclare. În plus, nu există idei fizice în cele din urmă formate despre caracteristicile structurii lor și nu a fost obținută nicio justificare fizică pentru rezistența lor, proprietăți plastice, elastice, electrice, magnetice și alte proprietăți. În ciuda acestor dificultăți, interesul crescut al oamenilor de știință față de misterul pe care natura le-a prezentat sub formă de cvasicristale nu slăbește, iar în viitor, fără îndoială, vor fi obținute de mai multe ori rezultate neașteptate.

Fulerene și cvasicristale

Direct legate de structura cvasicristalelor sunt așa-numitele fulerene, descoperite la mijlocul anilor 1980 - o formă necunoscută anterior de combinare a atomilor de carbon în molecule aproape sferice C n ( n = 28, 54, 60, 70, 84, 120...).Fulerenele sunt o clasă de molecule de carbon care conțin mai mult de 20 de atomi. Descoperirea lor a agravat „catastrofa cristalografică” cauzată de descoperirea cvasicristalelor. Cel mai studiat nanoobiect de carbon este fullerena C 60. Anterior, se credea că carbonul în stare liberă poate fi găsit sub formă de două modificări - diamant și grafit. . Structura moleculei C 60 este altceva. Acesta este un icosaedru trunchiat de vârfuri, adică unul dintre cele 14 poliedre neregulate (sau semiregulate) ale lui Arhimede, în care hexagoanele sunt interconectate prin pentagoane. Fără a intra în la o examinare detaliată a acestei figuri, observăm că o astfel de structură seamănă cu o minge de fotbal, cusută în mod tradițional din pentagoane negre și hexagoane albe.Nu este de mirare că o astfel de moleculă are simetrie icosaedrică.Cunoașterea fullerenelor este imediat captivantă;unul este lovit. prin frumusețea și proporționalitatea lor.Fulerenele, asemenea cvasicristalelor, vorbesc despre uimitoarea armonie a lumii, despre unitatea continuă în toate manifestările ei.Interesul pentru fullerene a apărut, în primul rând, datorită structurii și simetriei lor unice, precum și datorită capacitatea de a crea materiale pe baza acestora care sunt utilizate într-o varietate de tehnologii înalte. În primul rând, ele sunt considerate materiale promițătoare pentru echipamentele electronice. În plus, pe bază de fulerene au fost creați lubrifianți și compuși cu supraconductivitate la temperaturi ultra-jos și ultra-înalte și s-au obținut substanțe care sunt mai dure decât diamantul (vezi Science and Life, No. 10, 1995).

Numele de „fulerene” este dat unei noi clase de modificări ale carbonului în onoarea arhitectului american Buckminster Fuller, care a dezvoltat designul cupolelor sferice. Una dintre aceste clădiri a fost construită la expoziția internațională EXPO-67 din Montreal. Motivul principal al construcției este repetarea fragmentelor hexagonale, între care se introduc în anumite locuri pentagonale, dând necesarul.
curbura unei structuri volumetrice.

Primele fulerene au fost izolate din vaporii condensați grafit obţinut prin iradierea cu laser a probelor de grafit solid. De fapt, acestea erau urme ale substanței. Următorul pas important a fost făcut 1990 V. Kretschmer, Lamb, D. Huffman și alții, care au dezvoltat o metodă de producere a cantităților de grame de fulerene prin arderea electrozilor de grafit într-un arc electric în atmosferă heliu la presiuni joase. În procesul de eroziune anod Funingine care conține o anumită cantitate de fulerene s-a depus pe pereții camerei. Ulterior, s-au putut selecta parametrii optimi pentru evaporarea electrozilor (presiune, compoziție atmosferică, curent, diametrul electrozilor), la care se obține cel mai mare randament de fulerene, în medie 3-12% din materialul anodului, care determină în cele din urmă costul ridicat al fulerenelor.

Maurice Escher

Să examinăm mai detaliat lucrările lui Maurice Escher pentru modelele matematice descrise mai sus. Escher a fost interesat de toate tipurile de mozaicuri - regulate și neregulate (periodice și cvasiperiodice) - și și-a introdus, de asemenea, propriul tip, pe care l-a numit „metamorfoze”, în care figurile se schimbă și interacționează între ele și, uneori, schimbă planul în sine. Acest tip de mozaic a fost descris în capitolul anterior. Escher a început să devină interesat de mozaicuri în 1936, în timp ce călătorea în Spania. A petrecut mult timp în Alhambra schițând mozaicuri arabe, iar mai târziu a spus că aceasta a fost pentru el „o sursă bogată de inspirație”. Escher a scris mai târziu în eseul său despre mozaicuri:

„În lucrările de matematică, împărțirea regulată a planului este considerată teoretic... Înseamnă asta că această întrebare este pur matematică? Matematicienii au deschis ușa care ducea către o altă lume, dar ei înșiși nu au îndrăznit să intre în această lume. Sunt mai interesați de poteca pe care stă ușa decât de grădina care se află în spatele ei.”

După ce am înțeles cum să creăm plăci periodice și cvasiperiodice, putem presupune cum Maurice Escherși-a creat propriile mozaicuri. După examinarea și studiul detaliat al mozaicurilor lui Escher, se poate presupune că artistul a folosit următoarea metodă foarte interesantă, dar în același timp simplă. Am schițat un hexagon obișnuit (se știe că această cifră poate fi folosită pentru a crea mozaicuri periodice). După aceea, a curbat cele trei laturi adiacente ale hexagonului, dându-le conturul necesar și, folosind translația paralelă, a mapat aceste laturi pe cele opuse.

Astfel, maestrul s-a asigurat că mozaicul poate fi încă realizat din figura rezultată. După aceea, a schimbat silueta din interior. Artistul a împărțit-o în șase triunghiuri egale. În fiecare triunghi, nervurile laterale au fost modificate în așa fel încât, în combinație cu latura modificată a hexagonului (baza triunghiului), au format conturul animalului necesar. În cazul nostru, avem „pește”. Folosind metoda descrisă mai sus, a primit o imagine pregătită pentru imprimare. Ca dovadă a validității metodei de mai sus, se pot cita liniile neclare ale marcajelor preliminare păstrate pe unele tipărituri ale gravurilor maestrului. Aceste linii repetă exact modelul care ar trebui să fie obținut la efectuarea primelor etape ale metodei pe care o propunem.

Ghidați de considerentele de mai sus, putem împărți întreaga gamă de lucrări „mozaice” în două clase fundamentale. Primul este munca periodică, iar al doilea este cvasiperiodic.

Eu insumi Maurice Escher, la fel ca multe genii înainte și după el, a declarat: „Toate lucrările mele sunt jocuri. Jocuri serioase.” Cu toate acestea, în aceste jocuri, matematicienii din întreaga lume s-au uitat la dovezi materiale absolut serioase ale ideilor create folosind exclusiv aparate matematice de câteva decenii. Placile periodice pot fi destul de complicate, unele dintre ele sunt foarte frumoase. Un exemplu este placarea periodică inventată de Maurice Escher (Călăreții).

Ornamente medievale

În 2007, Peter Lu, un fizician de la Harvard, împreună cu un alt fizician - Paul Steinhardt, dar din Princeton - publicatîn Science un articol despre mozaicurile Penrose. S-ar părea că aici nu există puține neașteptate: descoperirea cvasicristalelor a atras un mare interes pentru această temă, ceea ce a dus la apariția a o grămadă de publicații în presa științifică. Cu toate acestea, punctul culminant al lucrării este că nu este dedicat științei moderne. Și în general - nu știință. Lu a atras atenția asupra modelelor care acoperă moscheile din Asia, construite în Evul Mediu. Aceste modele ușor de recunoscut sunt realizate din plăci de mozaic. Se numesc girihi. Girikh este un model geometric sub forma unei combinații de figuri poligonale și în formă de stea, caracteristică artei medievale din Asia Centrală și Centrală. Girikh - tradus din persană ca un nod, un model geometric complex construit cu linii în diverse forme geometrice (stele, dreptunghiuri, romburi etc.).

Multă vreme s-a crezut că aceste modele au fost create folosind o riglă și o busolă. Cu toate acestea, cu câțiva ani în urmă, în timp ce călătorea în Uzbekistan, Lou a devenit interesat de modelele de mozaic care împodobeau arhitectura medievală locală și a observat ceva familiar despre ele. Revenind la Harvard, omul de știință a început să examineze motive similare în mozaicuri de pe pereții clădirilor medievale din Afganistan, Iran, Irak și Turcia.

Acest exemplu este datat într-o perioadă ulterioară - 1622 (moscheea indiană). Privind la el și la desenul structurii sale, nu se poate să nu admiri munca asiduă a cercetătorilor. Și, desigur, maeștrii înșiși.

Peter Lu a descoperit că aceste modele erau aproape identice și a reușit să identifice elementele de bază ale girikh-urilor utilizate în toate modelele geometrice. În plus, a găsit desene ale acestor imagini în manuscrise antice, pe care artiștii antici le foloseau ca un fel de foaie de înșelăciune pentru decorarea pereților.

Dar toate acestea, se pare, nu sunt atât de importante. Pentru a crea aceste modele, au folosit nu contururi simple, inventate aleatoriu, ci figuri care au fost aranjate într-o anumită ordine. Și acest lucru nu este deosebit de surprinzător. Ceea ce este cu adevărat interesant este că, după ce au uitat de astfel de scheme, oamenii le-au întâlnit din nou mai târziu.

Da, da, modelele antice nu sunt nimic mai mult decât ceea ce secole mai târziu se vor numi rețele Penrose și se vor găsi în structura cvasicristalelor!

    În tradiția islamică, a existat o interdicție strictă a descrierii oamenilor și animalelor, astfel încât modelele geometrice au devenit foarte populare în proiectarea clădirilor. Maeștrii medievali au reușit cumva să-l diversifice. Dar nimeni nu știa care este secretul „strategiei” lor. Așadar, secretul se dovedește a fi în utilizarea mozaicurilor speciale care, rămânând simetrice, pot umple planul fără a se repeta.

    Un alt „truc” al acestor imagini este că, „copiind” astfel de scheme în diferite temple în funcție de desene, artiștii ar trebui inevitabil să permită distorsiuni. Dar încălcările de această natură sunt minime. Acest lucru poate fi explicat doar prin faptul că desenele la scară mare nu aveau rost: principalul lucru era principiul după care să construim imaginea.

    Structura Girikh

    Pentru a asambla girikh-urile, au fost folosite cinci tipuri de plăci (rombi cu zece și pentagonale și „fluturi”), care au fost asamblate într-un mozaic adiacent între ele, fără spațiu liber între ele. Mozaicurile create din ele puteau avea fie simetrie rotațională și translațională simultan, fie doar simetrie rotațională de ordinul cinci (adică erau mozaicuri Penrose).

    Aceleași zone sunt evidențiate în aceste fotografii, deși acestea sunt fotografii de la moschei foarte diferite.

    Fragment din ornamentul mausoleului iranian din 1304. În dreapta este o reconstrucție a girikh-urilor.

    După ce au examinat sute de fotografii ale site-urilor musulmane medievale, Lu și Steinhardt au putut data tendința în secolul al XIII-lea.

    Portalul Altarului Imam Darbi din Isfahan Iran). Aici două sisteme de girikh-uri sunt suprapuse unul peste altul.

Treptat, această metodă a câștigat o popularitate tot mai mare și, în secolul al XV-lea, a devenit larg răspândită.

Cercetătorii au considerat că sanctuarul imamului Darbi din orașul iranian Isfahan, datând din 1453, este un exemplu de structură quasi-cristalină aproape ideală.

Această descoperire a impresionat multă lume. Asociația Americană pentru Avansarea Științei a fost bucuroasă să pregătească comunicate de presă pentru această ocazie dedicate cercetării, chiar șipepersană , arabic Șiturc limbi (aparent ca un „tribut” pentru inspirație).

Adevărat, doctorul Emil Makovitsky de la Universitatea din Copenhaga a considerat că este de datoria lui să-i mustre pe cercetători pentru că nu acordă suficientă atenție articolului său din 1991, în care examina modelul unui mormânt iranian din secolul al XII-lea. Curând, încă câțiva oameni de știință - de la Technion și de la Universitatea Duke - s-au alăturat acestei critici, spunând, totuși, că munca lui Steinhardt și Lu reprezintă o „ipoteză interesantă”.

Paul Steinhardt a contracarat sincer remarcă, spunând că el și colegul său nu au lucrat la o singură mostră, ci la o mare varietate de materiale. Din fericire, nu a dus la o ceartă academică, iar cercetarea a primit cel puțin o oarecare recunoaștere în lumea științifică.

Și totuși, cea mai misterioasă întrebare - cum ar putea arabii medievali să vină cu structuri cvasicristaline care ne sunt cunoscute de mai puțin de trei decenii - rămâne fără răspuns.

Dacă aceasta ar putea fi o dovadă a rolului enorm al matematicii în arta islamică medievală, sau dacă aceasta a fost pur și simplu cea mai simplă modalitate pentru autori de a-și „asambla” lucrările, este acum imposibil de știut.

„Nu putem spune cu certitudine ce înseamnă toată această artă”, a recunoscut Peter Lu. „Cu toate acestea, pare incredibil că alegerea unor astfel de tactici a fost o simplă chestiune de întâmplare.” În orice caz, această descoperire poate fi o dovadă că artei, căreia nu i se acordă prea multă importanță, s-a dovedit a fi mult mai „avansată” decât ne-am fi putut imagina.

Concluzie

Teselarea este zona cea mai studiată în fizica cvasicristalelor. Aproape toate cvasicristalele cunoscute în prezent sunt aliaje metalice, dar proprietățile lor sunt foarte diferite de proprietățile metalelor de bază. Să remarcăm, de exemplu, rezistența electrică neobișnuit de mare la temperaturi scăzute și scăderea acesteia pe măsură ce temperatura crește. Metalele „tradiționale” se comportă exact în sens invers. Era de utilizare în masă a cvasicristalelor este în mod evident înainte; unele contururi pot fi deja conturate. Utilizarea lor în rulmenți de alunecare este posibilă - cu un coeficient de frecare scăzut, aliajele cvasicristaline au o marjă mare de siguranță. Acoperirile antiaderente de înaltă rezistență, supraconductorii la temperatură înaltă, materialele de înaltă rezistență, acoperirile ultra-subțiri, pulberile ultrafine și abrazivii cvasicristalini arată tentant. Multe proprietăți ale acestei clase de substanțe rămân de studiat. Una dintre sarcinile prioritare este dezvoltarea unor metode de sinteză în funcție de parametrii dați, care să permită „programarea” în avans a proprietăților fizice ale materialelor create. Descoperirea cvasicristalelor a zdruncinat bazele cristalografiei, multe dintre ale cărei prevederi au trebuit revizuite în ultimul sfert de secol. În conceptul generalizat al unui cristal, conceptul de „ordine pe distanță lungă” a înlocuit conceptul de „celulă unitară” - cea mai mică unitate structurală convențională a unui cristal. Fizicienii compară semnificația descoperirii cvasicristalelor pentru cristalografie cu descoperirea numerelor iraționale în matematică. În prezent, cu ajutorul plăcilor, au fost descoperite peste 200 de aliaje cvasicristaline ale căror proprietăți sunt studiate activ.

Aceste obiecte nu și-au găsit încă aplicație practică, dar studiul lor extinde înțelegerea noastră asupra structurii materiei.

Problema stării cvasicristaline nu se limitează la fizica stării solide. Proprietățile de simetrie ale cvasicristalelor sunt universale. Aceasta înseamnă că, dacă într-un solid se găsește orice metodă de împachetare a celulelor de o anumită formă, atunci aceeași metodă de împachetare a „celule lichide” poate fi găsită în fluxurile hidrodinamice, problema haosului (în structura planului de fază al unui sistem dinamic), etc.De aceea, în Studiul cvasicristalelor implică fizicieni, matematicieni, cristalografi și oameni de știință a materialelor.Cu toate acestea, întrebarea naturii stării cvasicristaline a materiei și explicația proprietăților cvasicristalelor rămâne încă un mister.Cvasicristale. au distrus ideea tradițională a unei diviziuni de netrecut între lumea minerală, în care era interzisă simetria „pentagonală”, și natura lumii vii, unde simetria „pentagonală” este una dintre cele mai comune. Și nu trebuie să uităm că proporția principală a icosaedrului este „proporția de aur”. Și descoperirea cvasicristalelor este o altă confirmare științifică că, poate, este „proporția de aur” care se manifestă ca în lumea naturii vii și în lumea mineralelor. , este proporția principală.

M =\langle \Sigma, Q, \Pi, B \in \Pi, s,\delta: Q \times \Pi \rightarrow Q \times \Pi \times \( \leftarrow, \downarrow, \rightarrow \) \ rangul iar cuvântul w \in \Sigma^* . Este necesar să se determine dacă un anumit MT se va opri la intrarea w.

Pentru a demonstra imposibilitatea de rezolvare a problemei de placare, pentru o mașină Turing dată M și un cuvânt w, construim un set de poliominoe care poate fi folosit pentru a placa un sfert din plan dacă MT nu se oprește la un cuvânt dat. Dacă MT se oprește, atunci este imposibil să placați un sfert din plan cu setul rezultat.

Vom emula procesul de execuție MT la intrarea w \in \Sigma^* prin construirea de rânduri verticale, fiecare dintre ele echivalente cu configurația MT la o anumită etapă de execuție. Primul rând este echivalent cu configurația inițială MT și fiecare rând ulterior corespunde configurației următoare. În termeni simpli, fiecare rând este un „instantaneu” al stării mașinii în etapa corespunzătoare de execuție.

Imaginea de mai sus prezintă două rânduri verticale de poliominoe. Primul rând corespunde MT și cuvântului w. Primul poliomino corespunde perechii de la primul simbol și starea inițială, toate celelalte corespund simbolurilor din w . În al doilea rând, al doilea poliomino corespunde perechii de simbol w și stare q. Adică MT a făcut tranziția \delta (s, w) = \langle q, w, \rightarrow \rangle.

Acum, pe baza MT dat, vom construi un set de poliomino, care va avea următoarea formă:

Pe fiecare parte a unui astfel de poliomino există un anumit număr de proeminențe/văi. Fiecare simbol din alfabet, stare și pereche de stat și simbol este asociat cu un număr unic (puteți limita k \leqslant |\Pi| + |Q| + |\Pi \times Q| + 1) – acesta va fi numărul de proeminențe/văi situate pe o parte a poliominoului.

Mai întâi, să construim un set de poliomino care definește configurația inițială:

unde *i este un număr unic pentru fiecare pereche adiacentă de poliomino din configurația inițială. Primul poliomino caracterizează starea inițială, cei care o urmează codifică cuvântul de intrare, iar poliomino final este necesar pentru a plasa corect restul seriei.

În ea, numărul de depresiuni din stânga este egal cu numărul de proeminențe din dreapta. Acest tip de poliomino trece conținutul benzii MT în rândul următor.

Acum să construim un poliomino pentru funcția de tranziție \delta (q, c) = \langle p, d, D \rangle, Unde q \in Q, p \in Q, c \in \Pi, d \in \Pi, D\in \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow \):

Figura prezintă (de jos în sus) poliominouri corespunzătoare valorilor D = \(\leftarrow, \downarrow, \rightarrow\). Împreună cu următorul tip, emulează mișcarea capului MT.

Aceste poliominouri primesc ca intrare simbolul alfabetic c din rândul anterior și starea p de la poliominoul vecin, apoi trec o pereche de stare și simbol la rândul următor.

Să construim ultimul tip de poliomino care caracterizează stările \#_Y și \#_N :

Un astfel de poliomino are un număr unic de proeminențe în dreapta. Niciun alt poliomino din setul rezultat nu va putea să se alăture acestuia și nu va fi posibilă o nouă tiglare.

Algoritmul de reducere rezultat primește un MT și un cuvânt ca intrare și emite un set de poliominoe corespunzătoare acestora.

Astfel, un sfert de plan poate fi placat dacă și numai dacă MT codificat nu se oprește la o intrare dată. Cu alte cuvinte, există un număr infinit de configurații care nu se transformă într-o stare finală. Acest lucru înseamnă că putem placa planul rând cu rând de un număr infinit de ori, ceea ce în cele din urmă va placa planul.

Dacă MT se oprește, atunci nu vom putea plăci un sfert din plan din cauza faptului că poliominoul finit nu are continuare. Aceasta înseamnă că problema plăcii poliomino nu este rezolvabilă.

Pentru a explora și a descrie volumul, oamenii folosesc metoda de proiectare a unui corp volumetric pe un plan. Arata cam asa:

Știind cum arată proiecțiile, puteți recunoaște, explora și construi un adevărat obiect tridimensional.

Aceasta este o metodă de cercetare comună în cristalografia clasică. Cercetătorii studiază mai întâi o proiecție sau un plan, „pavându-l” cu elemente calculate la fel de strâns ca parchetul și, în același timp, studiind simetria și alte caracteristici în planul pavat.

Apoi întregul volum tridimensional este umplut cu aceste avioane, la fel cum cărțile umplu o cutie de ambalare cubică. Această metodă se numește metoda de tiling.

Interesul pentru faianță a apărut în legătură cu construcția de mozaicuri, ornamente și alte modele bazate pe poliedre regulate: triunghiuri, pătrate și hexaedre.

Nu a fost niciodată posibil să placați un avion dintr-un pentagon obișnuit sau pentagon. Lasa goluri - fisuri neumplute. Și, prin urmare, în cristalografia clasică, simetria pentagonală este considerată interzisă până în prezent.

Și, în cele din urmă, a fost găsită o astfel de metodă.

În 1976, matematicianul englez Roger Penrose, care lucrează activ în diferite domenii ale matematicii, relativității generale și teoriei cuantice, a oferit o descriere matematică a „mozaicului Penrose” numit după el.

Ea a făcut posibilă, cu ajutorul a doar două plăci de o formă foarte simplă, pavarea unui plan nesfârșit cu un model care nu se repetă niciodată.


Pentru a înțelege esența matematică a „diamantelor Penrose”, să ne întoarcem la pentagramă.

În forma lor cea mai simplă, „plăcile Penrose” sunt un set de două tipuri de forme de diamant, unele cu un unghi intern de 36°, altele cu un unghi intern de 72°. Fiecare constă din două triunghiuri care umplu modelul de pentagramă corespunzător.

Rapoartele elementelor pentagramei reflectă pe deplin proporția de aur Fibonacci. Baza sa este numărul irațional = 1,6180339...

Ideea lui Penrose de a umple dens un avion cu ajutorul romburilor „de aur” a fost transformată în spațiu tridimensional.

În acest caz, rolul „rombilor Penrose” în noile structuri spațiale poate fi jucat de icosaedre și dodecaedre.

A fost o descoperire frumoasă, doar una dintre numeroasele invenții ale minții strălucitoare și tenace a lui Roger Penrose, care este fascinat de paradoxurile spațiale. Înțelegerea sa impecabilă a raportului de aur Fibonacci este prezentă aici, ceea ce a adus cercetările sale mai aproape de artă.

Și aceasta a fost cea care a servit drept bază pentru cercetări ulterioare și pentru descoperirea cvasicristalelor în laboratoarele chimice și pentru o înțelegere nouă, mai creativă a spațiului tridimensional, atât pentru știință, cât și pentru artă.

Unul dintre exemplele izbitoare de explorare creativă care mi-a atras atenția a fost tânăra artistă slovenă Matyushka Teija Krašek.

Ea și-a luat licența în pictură la Colegiul de Arte Vizuale (Ljubljana, Slovenia). Lucrările ei teoretice și practice se concentrează pe simetrie ca un concept de legătură între artă și știință.

Opera ei de artă a fost prezentată la multe expoziții internaționale și publicată în reviste internaționale .

M.T. Krašek la expoziția sa „Parfumuri caleidoscopice”, Ljubljana, 2005

Creativitatea artistică a Mamei Teia Krashek este asociată cu diferite tipuri de simetrie, plăci și romburi Penrose, cvasicristale, raportul de aur ca element principal de simetrie, numerele Fibonacci etc.

Cu ajutorul reflecției, imaginației și intuiției, încearcă să găsească noi relații, noi niveluri de structură, noi și diferite tipuri de ordine în aceste elemente și structuri.

În munca sa, ea folosește pe scară largă grafica pe computer ca un instrument foarte util pentru crearea operelor de artă, care este o legătură între știință, matematică și artă.

Dacă alegem unul dintre numerele Fibonacci (de exemplu, 21 cm) pentru lungimea laterală a diamantului Penrose în această compoziție palpabil instabilă, putem observa cum lungimile unora dintre segmentele din compoziție formează o secvență Fibonacci.

Un număr mare de compoziții artistice ale artistului sunt dedicate cvasicristalelor Shekhtman și rețelelor Penrose.

În aceste compoziții uimitoare, manifestări de simetrie circulară pot fi observate în relațiile dintre romburi Penrose:

Fiecare două diamante Penrose adiacente formează o stea pentagonală. Puteți vedea Decagonul format din marginile a 10 romburi Penrose adiacente, creând un nou poliedru regulat.

Iar în ultima poză există o interacțiune nesfârșită a romburilor Penrose - pentagrame, pentagoane, în scădere spre punctul central al compoziției. Rapoartele de aur sunt reprezentate în multe moduri diferite pe scări diferite.

Compozițiile artistice ale Maicii Teia Krashek au atras o mare atenție din partea reprezentanților științei și artei.

Mozaicul Penrose este un exemplu excelent al modului în care o construcție frumoasă, situată la intersecția diferitelor discipline, își găsește în mod necesar aplicația.

Un exemplu de placare pe un plan hiperbolic

Matematicianul francez Michael Rao de la Universitatea din Lyon a finalizat soluția problemei plăcuirii unui plan cu poligoane convexe. O preprint a lucrării poate fi găsită pe pagina omului de știință.

Un poligon se numește convex dacă toate unghiurile sale sunt mai mici de 180 de grade sau, ceea ce este același, împreună cu orice pereche de puncte, un astfel de poligon conține și un segment care le conectează. Problema placajului (numită și problema parchetului) se formulează astfel: să se împartă planul în poligoane astfel încât oricare două poligoane fie să nu aibă puncte comune, fie să aibă doar puncte de limită comune. Dacă toate poligoanele unei astfel de partiții sunt aceleași (adică unul poate fi transpus într-un altul printr-o compoziție de translație, rotație sau simetrie axială), atunci se spune că poligonul țiglă planul. Problema este așa: descrieți toate poligoanele convexe care țig planul.

Folosind unele raționamente combinatorii, se poate demonstra că un astfel de poligon poate avea doar 3, 4, 5 sau 6 laturi. Este ușor de verificat dacă avionul poate fi placat cu orice tri- sau patrulater. Puteți citi mai multe despre acest lucru în materialul nostru.

Pentru a descrie toate hexagoane, să notăm unghiurile lor ca A, B, C, D, E, F și laturile lor ca a, b, c, d, e, f. În acest caz, presupunem că latura a este adiacentă unghiului A din dreapta și toate laturile și unghiurile sunt numite în sensul acelor de ceasornic. În anii 60, s-a dovedit că toate hexagoanele care pot fi folosite pentru a plăci un avion aparțin cel puțin uneia dintre cele trei clase (clasele se intersectează aici; să zicem, un hexagon obișnuit aparține tuturor celor trei):

  1. A + B + C = 360
  2. A + B + D = 360, a = d, c = e
  3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.


Toate cele 15 teselații pentagonale cunoscute

Cel mai dificil caz este cel al parchetului pentagonal. În 1918, matematicianul Karl Reinhardt a descris cinci clase de astfel de parchete, dintre care cea mai simplă a fost clasa pentagoanelor cu condiția ca să existe o latură a cărei sumă a unghiurilor adiacente este egală cu 180 de grade. În 1968, Robert Kershner a găsit încă trei astfel de clase, iar în 1975, Richard James a găsit o alta. O revistă a scris despre descoperirea lui James științific american, Articolul a fost văzut de gospodina și matematicianul amator american Marge Rice, care a găsit manual încă 5 familii pe parcursul a 10 ani.

Cel mai recent progres în problema placajului a avut loc în august 2015. Apoi, matematicienii de la Universitatea din Washington din Bothell au folosit un program de calculator pentru a nota 15 parchete pentagonale. În noua sa lucrare, Michael Rao a redus problema clasificării parchetului pentagonal la o căutare de 371 de opțiuni. A trecut prin opțiunile de pe computer și a arătat că nu există decât 15 clase de tiling deja cunoscute. Astfel, a închis în sfârșit problema plăcilor.

Andrei Konyaev