Rezolvarea ecuațiilor în Excel folosind metoda de iterație Cramer și Gauss. Soluție slough prin metoda jacobi (metodă simplă de iterație) folosind aplicația Microsoft Excel

Exemplul 3.1 . Găsiți o soluție la sistemul liniar ecuații algebrice (3.1) prin metoda Jacobi.

Metodele iterative pot fi utilizate pentru un sistem dat deoarece condiția este îndeplinită "Predominanța coeficienților diagonali", care asigură convergența acestor metode.

Schema de calcul a metodei Jacobi este prezentată în Fig (3.1).

Aduceți sistemul (3.1). la vizualizare normală:

, (3.2)

sau sub formă de matrice

, (3.3)

Figura 3.1.

Pentru a determina numărul de iterații necesare pentru a obține o precizie dată e,și o soluție aproximativă la sistem este utilă în coloană Hinstalare Format condiționat... Rezultatul acestei formatări poate fi văzut în Figura 3.1. Celulele coloanei H, ale căror valori satisfac condiția (3.4) sunt umbrite.

(3.4)

Analizând rezultatele, luăm a patra iterație ca o soluție aproximativă a sistemului original cu o precizie dată e \u003d 0,1,

acestea. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Prin schimbarea valorii eîn celulă H5 este posibil să se obțină o nouă soluție aproximativă a sistemului original cu o nouă precizie.

Analizați convergența procesului iterativ prin reprezentarea graficelor modificărilor în fiecare componentă a soluției SLAE în funcție de numărul de iterație.

Pentru a face acest lucru, selectați un bloc de celule A10: D20 și folosind Expertul de diagrame, construiți grafice care să reflecte convergența procesului iterativ, Figura 3.2.

Sistemul de ecuații algebrice liniare este rezolvat în mod similar prin metoda Seidel.

Munca de laborator nr. 4

Subiect. Metode numerice de rezolvare liniară obișnuită ecuatii diferentiale cu condiții de graniță. Metoda Diferenței Finite

Sarcina.Rezolvați problema valorii la graniță prin metoda diferenței finite construind două aproximări (două iterații) cu pasul h și cu pasul h / 2.

Analizați rezultatele obținute. Opțiunile pentru sarcini sunt date în Anexa 4.

Comandă de lucru

1. Construiește manual aproximarea diferenței finite a problemei valorii la limită (diferență finită SLAE) cu un pas h opțiune dată.

2. Folosind metoda diferenței finite, formați în excelaun sistem de ecuații liniare algebrice de diferență finită pentru pas h segmentarea mizei ... Scrieți acest SLAE pe foaia de lucru. excela... Schema de proiectare este prezentată în Figura 4.1.

3. Rezolvați SLAE obținut prin metoda de maturare.

4. Verificați corectitudinea soluției la SLAE utilizând suplimentul Excel Găsiți o soluție.

5. Reduceți pasul grilei de 2 ori și rezolvați din nou problema. Prezentați grafic rezultatele.

6. Comparați rezultatele. Faceți o concluzie cu privire la necesitatea de a continua sau a anula contul.

Rezolvarea unei probleme cu valoarea limită utilizând foi de calcul Microsoft Excel.

Exemplul 4.1.Folosind metoda diferenței finite, găsiți o soluție la problema valorii limită , y (1) \u003d 1, y ’(2) \u003d 0,5pe segment xÎ cu un pas h \u003d 0,2 și cu un pas h \u003d 0,1. Comparați rezultatele obținute și faceți o concluzie cu privire la necesitatea de a continua sau a termina numărul.

Schema de proiectare pentru pasul h \u003d 0,2 este prezentată în Figura 4.1.

Soluția rezultată (funcția grilă) Da {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2) din coloana L și B pot fi luate ca prima iterație (prima aproximare) a problemei inițiale.

A găsi a doua iterație faceți ochiurile de două ori mai groase (n \u003d 10, pasul h \u003d 0,1) și repetați algoritmul de mai sus.

Acest lucru se poate face pe aceeași sau pe o altă foaie a cărții. excela... Soluția (a doua aproximare) este prezentată în Figura 4.2.

Comparați soluțiile aproximative obținute. Pentru claritate, puteți construi grafice ale acestor două aproximări (două funcții ale grilei), Figura 4.3.

Procedura de reprezentare a graficelor soluțiilor aproximative la o problemă de valoare la graniță

1. Trasați un grafic al soluției problemei pentru grila diferențială cu un pas h \u003d 0,2 (n \u003d 5).

2. Activați graficul deja desenat și selectați comanda meniu Grafic \\ Adăugare date

3. În fereastră Date noi specificați datele x i, y i pentru o grilă de diferență cu un pas h / 2 (n \u003d 10).

4. În fereastră Lipiți special bifați casetele:

Ø rânduri noi,

După cum se poate observa din datele prezentate, două soluții aproximative ale problemei valorii la graniță (două funcții ale grilei) diferă una de alta cu cel mult 5%. Prin urmare, luăm a doua iterație ca o soluție aproximativă la problema originală, adică

Da{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Munca de laborator nr. 5

Găsirea rădăcinilor ecuațiilor

Modul grafic de a găsi rădăcinile este reprezentarea grafică a funcției f (x) pe un segment. Punctul de intersecție al graficului funcțional cu axa abscisei dă valoarea aproximativă a rădăcinii ecuației.

Valorile aproximative ale rădăcinilor găsite în acest mod permit selectarea segmentelor pe care, dacă este necesar, puteți rafina rădăcinile.

Când găsiți rădăcinile prin calcul pentru funcțiile continue f (x), unul este ghidat de următoarele considerații:

- dacă la capetele segmentului funcția are semne diferite, apoi între punctele a și b de pe abscisă există un număr impar de rădăcini;

- dacă funcția are aceleași semne la capetele intervalului, atunci există un număr par de rădăcini între a și b, sau nu există deloc;

- dacă la capetele segmentului funcția are semne diferite și fie prima derivată, fie a doua derivată nu schimbă semnele pe acest segment, atunci ecuația are o singură rădăcină pe segment.

Găsiți toate rădăcinile reale ale ecuației x 5 –4x - 2 \u003d 0 pe segmentul [–2,2]. Să creăm o foaie de calcul.

tabelul 1

Tabelul 2 prezintă rezultatele calculului.

masa 2

În mod similar, soluția se găsește la intervalele [-2, -1], [-1,0].

Rafinarea rădăcinilor unei ecuații

Folosind modul „Căutare soluții”

Pentru ecuația de mai sus, toate rădăcinile ecuației x 5 –4x - 2 \u003d 0 ar trebui specificate cu o eroare de E \u003d 0,001.

Pentru a rafina rădăcinile pe intervalul [-2, -1], să creăm o foaie de calcul.

Tabelul 3

Începem modul „Căutare soluție” din meniul „Serviciu”. Executăm comenzile modului. Modul de afișare va afișa rădăcinile găsite. În mod similar, rafinăm rădăcinile la alte intervale.

Rafinarea rădăcinilor ecuațiilor

Folosind modul „Iterare”

Metoda simplă de iterație are două moduri „Manual” și „Automat”. Pentru a porni modul „Iterare” în meniul „Serviciu”, deschideți fila „Parametri”. Apoi urmați comenzile modului. În fila Calcule, puteți selecta automat sau manual.

Rezolvarea sistemelor de ecuații

Soluția sistemelor de ecuații în Excel se realizează prin metoda matricelor inverse. Rezolvați sistemul de ecuații:

Să creăm o foaie de calcul.

Tabelul 4

	A	B	C	D	E
	Rezolvarea sistemului de ecuații.
		Ax \u003d b
	Matricea inițială A		Partea dreaptă b
	-8
			-3
			-2		-2
	matrice inversă (1 / A)		Vector soluție x \u003d (1 / A) / b
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d MULTIPL (A11: C13; E6: E8)
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d MULTIPL (A11: C13; E6: E8)
	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)	\u003d MOBR (A6: C8)		\u003d MULTIPL (A11: C13; E6: E8)

Funcția MINVERS returnează o serie de valori, care este inserată simultan într-o coloană întreagă de celule.

Tabelul 5 prezintă rezultatele calculului.

Tabelul 5

	A	B	C	D	E
	Rezolvarea sistemului de ecuații.
		Ax \u003d b
	Matricea inițială A		Partea dreaptă b
	-8
			-3
			-2		-2
	Matrice inversă (1 / A)		Vector soluție x \u003d (1 / A) / b
	-0,149	0,054	-0,230
	0,054	0,162	-0,189
	-0,122	0,135	-0,824

Lista surselor literare folosite

1. Turchak L.I. Bazele metodelor numerice: manual. manual pentru universități / ed. V.V. Shchennikov.-M.: Nauka, 1987.-320s.

2. Bundy B. Metode de optimizare. Curs introductiv - M.: Radio și comunicare, 1988. - 128 p.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Modelarea matematică a echilibrelor chimice. –M.: Izd-vo Mosk. un-that, 1988.-192s.

4. Bezdezhnykh A.A. Metode de inginerie pentru compilarea ecuațiilor vitezei de reacție și calcularea constantelor cinetice.-Leningrad: Chimie, 1973.-256s.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Metode de algebră liniară în chimia fizică –M.: Izd-vo Mosk. Universitate, 1976. - 359s.

6. Bakhvalov NS și alte metode numerice în probleme și exerciții: Manual. manual pentru universități / N.S. Bakhvalov, A.V. Lapin, E.V. Chizhonkov. - M.: Mai mare. shk., 2000.-190s. - (Matematică superioară / Sadovnichy V.A.)

7. Aplicarea matematicii computaționale în cinetica chimică și fizică, ed. L.S. Polak, Moscova: Nauka, 1969, 279 pp.

8. Algoritmarea calculelor în tehnologia chimică B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Metode de calcul pentru ingineri chimici. H. Rosenbrock, S. Storey

10. Orvis V.D. Excel pentru oameni de știință, ingineri și studenți. - Kiev: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Methods Numerical on Mathcade - Astrakhan State Pedagogical University: Astrakhan, 2000.

Ministerul Educației Generale

Federația Rusă

Universitatea Tehnică de Stat Ural-UPI

sucursală în Krasnoturyinsk

Departamentul de Informatică

Munca cursului

Prin metode numerice

Rezolvarea ecuațiilor liniare prin iterație simplă

folosind Microsoft Excel

Cap Kuzmina N.V.

Studentul Nigmatzyanov T.R.

Grupa M-177T

Subiect: „Găsirea rădăcinii ecuației F (x) \u003d 0 pe interval cu o precizie dată prin metoda iterației simple.”

Caz de testare: 0,25-x + sinx \u003d 0

Condiții de problemă: pentru o funcție dată F (x) pe interval, găsiți rădăcina ecuației F (x) \u003d 0 printr-o metodă simplă de iterație.

Calculați rădăcina de două ori (folosind calculul automat și manual).

Furnizați construcția unui grafic al funcției la un anumit interval.

Introducere 4

1. Partea teoretică 5

2. Descrierea progresului lucrărilor

3. Intrări și ieșiri 8

Concluzie 9

Anexa 10

Bibliografie 12

Introducere.

În cursul acestei lucrări, trebuie să mă familiarizez cu diverse metode de rezolvare a ecuației și să găsesc rădăcina ecuației neliniare 0,25-x + sin (x) \u003d 0 numeric - metoda iterației simple. Pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinii, este necesar să rezolvați ecuația grafic, să găsiți o valoare aproximativă și să o comparați cu rezultatul obținut.

1. Partea teoretică.

Metoda simplă de iterație.

Procesul iterativ constă în rafinarea secvențială a aproximării inițiale x0 (rădăcina ecuației). Fiecare astfel de pas se numește iterație.

Pentru a utiliza această metodă, ecuația neliniară originală este scrisă ca: x \u003d j (x), adică x iese în evidență; j (x) - continuu și diferențiat pe interval (a; c). Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri:

De exemplu:

arcsin (2x + 1) -x 2 \u003d 0 (f (x) \u003d 0)

Metoda 1.

arcsin (2x + 1) \u003d x 2

sin (arcsin (2x + 1)) \u003d sin (x 2)

x \u003d 0,5 (sinx 2 -1) (x \u003d j (x))

Metoda 2.

x \u003d x + arcsin (2x + 1) -x 2 (x \u003d j (x))

Metoda 3.

x 2 \u003d arcsin (2x + 1)

x \u003d (x \u003d j (x)), semnul este luat în funcție de intervalul [a; b].

Transformarea trebuie să fie astfel încât ½j (x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Să se cunoască aproximarea inițială a rădăcinii x \u003d c 0. Înlocuind această valoare în partea dreaptă a ecuației x \u003d j (x), obținem o nouă aproximare a rădăcinii: c \u003d j (c 0). Mai mult, substituind de fiecare dată o nouă valoare a rădăcinii în x \u003d j (x), obținem o succesiune de valori

c n \u003d j (c n-1) n \u003d 1,2,3, ...

Procesul de iterație trebuie continuat până când pentru două aproximări succesive se îndeplinește următoarea condiție: ½c n -c n -1 ½

Este posibil să se rezolve ecuații prin metode numerice folosind limbaje de programare, dar Excel face posibilă rezolvarea sarcinii într-un mod mai ușor.

Excel implementează metoda simplă de iterație în două moduri, utilizând calculul manual și controlul automat al acurateței.

y y \u003d x

j (de la 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 rădăcină s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

	Figura: Grafic proces iterativ

2. Descrierea cursului muncii.

1. M-am lansat.

2. A construit un grafic al funcției y \u003d x și y \u003d 0,25 + sin (x) pe un segment cu un pas de 0,1 numit foaia „Grafic”.

3. A selectat o echipă Serviciu ® Parametrii.
A deschis o filă Calcule .
Activat modul Manual .
Caseta de selectare Dezactivată Recalculați înainte de a salva ... A făcut valoarea câmpului Limitați numărul de iterații egal cu 1, eroare relativă 0,001.

4. A introdus în celula A1 linia „Soluția ecuației x \u003d 0,25 + sin (x) prin metoda simplă de iterație”.

5. Am introdus textul „Valoare inițială” în celula A3, textul „Flag inițial” în celula A4, valoarea 0,5 în celula B3 și cuvântul TRUE în celula B4.

6. Atribuiți numele „start_zn” și „start” la celulele B3 și B4.
Celula B6 va verifica dacă este adevărată egală cu valoarea celulei "start". Dacă da, x va fi setat la valoarea inițială, altfel egală cu celula B7, adică. 0,25 + sinus x În celula B7, 0,25-sinusul celulei B6 este scăzut și astfel se organizează o referință ciclică.

7. În celula A6 am introdus y \u003d x și în celula A7 y \u003d 0,25 + sin (x). În celula B6 formula:
\u003d IF (start; start_zn; B7).
În celula B7 formula: y \u003d 0,25 + sin (B6).

8. În celula A9 a fost introdus cuvântul Eroare.

9. În celula B9 a fost introdusă formula: \u003d B7-B6.

10. Folosind comanda Celule de format (tab Număr ) a transformat celula B9 în format exponențial cu două zecimale.

11. Apoi am organizat o a doua referință circulară pentru a număra numărul de iterații. În celula A11 am introdus textul „Numărul de iterații”.

12. În celula B11 am introdus formula: \u003d IF (start; 0; B12 + 1).

13. În celula B12 a intrat \u003d B11.

14. Pentru a efectua calculul, am plasat cursorul tabelului în celula B4 și am apăsat tasta F9 (Calcul) pentru a începe rezolvarea problemei.

15. Am schimbat valoarea semnalizatorului de start la FALS și am apăsat din nou pe F9. De fiecare dată când apăsați F9, se efectuează o iterație și se calculează următoarea valoare aproximativă a lui x.

16. Am apăsat tasta F9 până când valoarea lui x a atins precizia necesară.
Cu calcul automat:

17. Mutat pe o altă foaie.

18. Am repetat pașii de la 4 la 7, doar că în celula B4 am introdus valoarea FALS.

19. Echipa selectată Serviciu ® Parametrii (tab Calcule ) .Setați valoarea câmpului Limitați numărul de iterații egal cu 100, eroare relativă egală cu 0,0000001. Automat .

3. Date de intrare și ieșire.

Steagul inițial este FALS.
Valoarea inițială 0,5

Funcția y \u003d 0,25-x + sin (x)

Limite de intervale

Precizie de calcul cu calcul manual 0.001

cu automat

Weekend:

1. Calcul manual:
numărul de iterații 37
rădăcina ecuației 1.17123

2. Calcul automat:
numărul de iterații 100
rădăcina ecuației 1.17123

3. Rezolvarea grafică a ecuației:
rădăcina ecuației este 1.17

Concluzie.

Pe parcursul acestui curs, am făcut cunoștință cu diferite metode de rezolvare a ecuațiilor:

Metoda analitică

Metoda grafică

Metoda numerică

Dar, deoarece majoritatea metodelor numerice pentru rezolvarea ecuațiilor sunt iterative, am folosit această metodă în practică.

S-a găsit cu o precizie dată rădăcina ecuației 0,25-x + sin (x) \u003d 0 pe interval folosind metoda de iterație simplă.

Cerere.

1. Calcul manual.

2. Calcul automat.

3. Rezolvarea ecuației 0.25-x-sin (x) \u003d 0 grafic.

Lista bibliografică.

1. Volkov E.A. „Metode numerice”.

2. Samarskiy A.A. „Introducere în metodele numerice”.

3. Igaletkin I.I. „Metode numerice”.

Permiteți-mi să vă reamintesc că apare o legătură circulară dacă o formulă este introdusă într-o celulă Excel care conține o legătură către această celulă în sine (direct sau printr-un lanț de alte legături). De exemplu (Figura 1), celula C2 conține o formulă care se referă la celula C2 în sine.

Dar! .. Legăturile ciclice nu sunt întotdeauna un dezastru. Un loopback poate fi folosit pentru a rezolva ecuațiile într-un mod iterativ. Mai întâi, trebuie să lăsați Excel să facă calculele, chiar dacă aveți o referință circulară. În modul normal, Excel, la detectarea unei referințe circulare, va afișa un mesaj de eroare și va necesita eliminarea acestuia. În modul normal, Excel nu poate efectua calcule, deoarece referința circulară generează o buclă de calcul interminabilă. Puteți fie să eliminați referința circulară, fie să permiteți calcularea formulei cu referința circulară, dar limitând numărul de repetări ale ciclului. Pentru a implementa a doua opțiune, faceți clic pe butonul „Office” (în colțul din stânga sus), apoi pe „Opțiuni Excel” (Fig. 2).

Descărcați nota în format, exemple în format

Figura: 2. Opțiuni Excel

În fereastra „Opțiuni Excel” care se deschide, accesați fila Formule și bifați „Activați calculele iterative” (Fig. 3). Amintiți-vă că această opțiune este activată pentru Excel în ansamblu (și nu pentru un singur fișier) și va rămâne în vigoare până când o dezactivați.

Figura: 3. Activați calculele iterative

Pe aceeași contribuție, puteți alege modul în care vor fi efectuate calculele: automat sau manual. Cu calculul automat, Excel va calcula imediat rezultatul final, când calculați manual, puteți observa rezultatul fiecărei iterații (prin simpla apăsare a F9, începând fiecare nou ciclu de calcul).

Să rezolvăm ecuația gradului al treilea: x 3 - 4x 2 - 4x + 5 \u003d 0 (Fig. 4). Aveți nevoie doar de o celulă Excel pentru a rezolva această ecuație (și orice altă ecuație complet arbitrară).

Figura: 4. Graficul funcției f (x)

Pentru a rezolva ecuația, avem nevoie de o formulă recurentă (adică o formulă care exprimă fiecare termen din secvență în termenii unuia sau mai multor termeni anteriori):

(1) x \u003d x - f (x) / f ’(x), unde

x este o variabilă;

f (x) este o funcție care stabilește ecuația ale cărei rădăcini le căutăm; f (x) \u003d x 3 - 4x 2 - 4x + 5

f '(x) este derivatul funcției noastre f (x); f '(x) \u003d 3x 2-8x-4; pot fi vizualizate derivatele funcțiilor elementare de bază.

Dacă sunteți interesat de unde a venit formula (1), puteți citi, de exemplu ,.

Formula recursivă finală este:

(2) x \u003d x - (x 3 - 4x 2 - 4x + 5) / (3x 2 - 8x - 4)

Selectați orice celulă din foaia Excel (Fig. 5; în exemplul nostru, aceasta este celula G19), dați-i un nume xși introduceți formula în ea:

(3) \u003d x- (x ^ 3-4 * x ^ 2-4x + 5) / (3 * x ^ 2-8 * x-4)

În loc de x folosiți o adresă de celulă ... dar sunteți de acord ca numele x, arată mai atractiv; Am introdus următoarea formulă în celula G20:

(4) \u003d G20- (G20 ^ 3-4 * G20 ^ 2-4 * G20 + 5) / (3 * G20 ^ 2-8 * G20-4)

Figura: 5. Formula recurentă: (a) pentru o celulă numită; (b) pentru o adresă obișnuită a celulei

De îndată ce introducem formula și apăsăm Enter, răspunsul va apărea imediat în celulă - valoarea 0,77. Această valoare corespunde uneia dintre rădăcinile ecuației, și anume a doua (vezi graficul funcției f (x) din Fig. 4). Deoarece aproximarea inițială nu a fost specificată, procesul de calcul iterativ a început cu valoarea implicită stocată în celulă x și egal cu zero. Cum obțineți restul rădăcinilor ecuației?

Pentru a schimba valoarea de pornire de la care formula recurentă își începe iterațiile, se propune utilizarea funcției IF:

(5) \u003d IF (x \u003d 0; -5; x- (x ^ 3-4 * x ^ 2-4 * x + 5) / (3 * x ^ 2-8 * x-4))

Aici valoarea „-5” este valoarea inițială pentru formula de recurență. Schimbându-l, puteți merge la toate rădăcinile ecuației.