Exemple de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene. Ecuații diferențiale uniforme

De exemplu, o funcție
- Funcția omogenă a primei măsurare, deoarece

- Funcția omogenă a celei de-a treia dimensiuni, deoarece

- Funcția uniformă a măsurătorilor zero, deoarece

.
.

Definiția 2. Ecuația diferențială de ordinul întâi y." = f.(x., y.) se numește omogenă dacă funcția f.(x., y.) Există o funcție omogenă de măsurare zero față de x. și y., sau, așa cum spun ei f.(x., y.) - o funcție omogenă a gradului de zero.

Acesta poate fi reprezentat ca

care vă permite să determinați o ecuație omogenă ca fiind un astfel de diferențial, care poate fi convertită în minte (3.3).

Înlocuire
oferă o ecuație omogenă cu ecuația cu variabilele de separare. Într-adevăr după înlocuire y \u003d.xz.a primi
,
Partajarea variabilelor și integrarea, găsim:

,

Exemplul 1. Țineți ecuația.

Δ ia în considerare y \u003d.zx.,
Înlocuim aceste expresii y. și dY.În această ecuație:
sau
Noi împărtășim variabile:
Și integrați:
,

Înlocuind. z.pe , obține
.

Exemplul 2. Găsiți o soluție generală a ecuației.

Δ în această ecuație P. (x.,y.) =x. 2 -2y. 2 ,Q.(x.,y.) =2x Y.- Funcțiile omogene ale celei de-a doua măsuri, prin urmare, această ecuație este omogenă. Acesta poate fi reprezentat ca
Și să rezolve același mod ca cel prezentat mai sus. Dar folosim o altă formă de înregistrare. A pune y. = zx.Din! dY. = zDX. + xdz.. Înlocuind aceste expresii în ecuația inițială, vom avea

dx.+2 zxdz. = 0 .

Variabile separate, numărare

.

Integram solul această ecuație

Din!

adică
. Revenirea la funcția anterioară
găsim o soluție generală


Exemplul 3. . Găsiți o ecuație generală de soluții
.

Δ lanț de transformare: ,y. = zx.,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Curs 8.

4. Ecuații diferențiale liniare ale primului ordin, ecuația diferențială liniară de prim ordin

Iată un membru gratuit, numit și partea dreaptă a ecuației. În acest formular vom lua în considerare ecuație liniară mai departe.

În cazul în care un
0, apoi ecuația (4.1a) se numește liniară neomogenă. Dacă
0, ecuația ia forma

Și numită omogenă liniară.

Numele ecuației (4.1a) este explicat prin faptul că o funcție necunoscută y. și derivatul său intră liniar, adică în primul grad.

Într-o ecuație liniară omogenă, variabilele sunt separate. Rescriind-o în formă
din
Și integrarea, obținem:
,acestea.

Când se împarte la domiciliu pierdem o decizie
. Cu toate acestea, acesta poate fi inclus în Fundația Familie găsită (4.3), dacă presupunem că DINpot primi și valoarea 0.

Există mai multe metode de rezolvare a ecuației (4.1a). Conform metoda Bernoulli.Soluția este căutată ca produs de două funcții de la h.:

Una dintre aceste funcții poate fi selectată arbitrar, ca doar o bucată uV. trebuie să îndeplinească ecuația inițială, cealaltă este determinată pe baza ecuației (4.1a).

Diferențierea ambelor părți ale egalității (4.4), găsim
.

Substituirea derivatului de expresie rezultat precum și valoarea w. În ecuația (4.1a), ajungem
, sau

acestea. Ca o funcție v.luați soluția unei ecuații liniare omogene (4.6):

(Aici C.este necesar să scrieți, altfel nu va fi comună, ci o soluție privată).

Astfel, vedem că, ca rezultat al substituției utilizate (4.4), ecuația (4.1a) este redusă la două ecuații cu variabilele de separare (4.6) și (4.7).

Substituirea
și v.(x) în formula (4.4), în cele din urmă am ajuns

,

.

Exemplul 1. Găsiți o ecuație generală de soluții

 Putați
, atunci
. Înlocuirea expresiilor și În ecuația inițială, ajungem
sau
(*)

Echivalează zero coeficientul când :

Separarea variabilelor în ecuația rezultată, avem


(Constanță arbitrară C. nu scriem), prin urmare v.= x.. A găsit valoare v.Înlocuim ecuația (*):

,
,
.

Prin urmare,
soluția generală a ecuației inițiale.

Rețineți că ecuația (*) ar putea fi înregistrată într-o formă echivalentă:

.

Alegerea arbitrar a unei funcții u., dar nu v.Am putea crede
. Această cale de soluții diferă de înlocuitor numai luată în considerare v.pe u.(prin urmare, u.pe v.) astfel încât valoarea finală w.se pare că același lucru.

Pe baza celor de mai sus, obținem algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare a primei ordini.

Notă În plus, uneori, ecuația de ordin de primă comandă devine liniară dacă w.ia în considerare o variabilă independentă și x.- Dependent, adică schimba rolul. x. și y.. Acest lucru se poate face cu condiția ca x.și dx.parțial este inclusă în ecuație.

Exemplul 2. . Rezolvați ecuația
.

După tip, această ecuație nu este liniară în raport cu funcția w..

Cu toate acestea, dacă luăm în considerare x.ca o funcție. w., apoi luând în considerare acest lucru
Se poate da minții

(4.1 b.)

A inlocui pe , obține
sau
. Împărtășind ambele părți ale ultimei ecuații pentru lucrare ydy., dă-i minții

, sau
. (**)

Aici p (y) \u003d,
. Această ecuație liniară este relativă x.. Cred
,
. Înlocuind aceste expresii în (**), ajungem

sau
.

Alegeți Vatus la
,
Din!
;
. Apoi, au
,
,
.

pentru că
, ajungem la o soluție generală a acestei ecuații în formular

.

Rețineți că ecuația (4.1a) P.(x.) I. Q. (x.) poate include nu numai sub formă de funcții de la x., dar și o constantă: P.= a.,Q.= b.. Ecuație liniară

pot fi rezolvate folosind substituția y \u003d uV. și separarea variabilelor:

;
.

De aici
;
;
; Unde
. Gratuit de logaritm, primim o soluție generală a ecuației

(Aici
).

Pentru b.= 0 ajungem în rezolvarea ecuației

(a se vedea ecuația creșterii orientative (2.4) când
).

În primul rând, integrăm ecuația omogenă corespunzătoare (4.2). După cum sa arătat mai sus, soluția sa are forma (4.3). Vom lua în considerare o fabrică DINîn (4.3) funcția de la h.. În esență, înlocuim variabila

unde, integrarea, găsirea

Rețineți că, conform (4.14) (a se vedea și (4.9)), soluția generală a ecuației liniare neomogene este egală cu suma soluției globale a ecuației omogene corespunzătoare (4.3), iar soluția privată nu este ecuația uniformădeterminată de al doilea termen aparținând (4.14) (și (4.9)).

La rezolvarea ecuațiilor specifice, calculele de mai sus trebuie repetate și să nu utilizeze o formulă voluminoasă (4.14).

Aplicați metoda Lagrange la ecuația discutată în exemplul 1. :

.

Integram ecuația omogenă corespunzătoare
.

Separarea variabilelor, obțineți
Și mai departe
. Rezolvarea expresiei formulei y. = Cx.. Soluția ecuației inițiale caută sub formă de y. = C.(x.)x.. Înlocuind această expresie în ecuația specificată, ajungem
;
;
,
. Soluția generală a ecuației sursei are forma

.

În concluzie, observăm că ecuația Bernoulli este dată ecuației liniare

, ( )

care pot fi scrise ca

.

Înlocuire
este asigurată unei ecuații liniare:

,
,
.

Ecuațiile Bernoulli sunt, de asemenea, rezolvate de mai sus metode.

Exemplul 3. . Găsiți ecuația soluțiilor generale
.

 lanțul de transformare:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Stop! Haide, să încercăm să găsim această formulă greoaie.

În primul rând ar trebui să mergeți la prima variabilă la gradul cu un coeficient. În cazul nostru,

În cazul nostru, este. După cum am aflat, înseamnă aici gradul la prima variabilă - converge. Și cea de-a doua variabilă în primul grad - la fața locului. Coeficient.

Il avem.

Prima variabilă la gradul și cea de-a doua variabilă din piață, cu coeficientul. Acesta este ultimul membru al ecuației.

După cum puteți vedea, ecuația noastră este potrivită pentru determinarea în formula.

Să ne uităm la cea de-a doua parte (verbală) a definiției.

Avem două necunoscute și. Converge aici.

Luați în considerare toți termenii. În ele, suma gradelor necunoscute ar trebui să fie aceeași.

Cantitatea de grade este egală.

Cantitatea de grade este egală cu (când și când).

Cantitatea de grade este egală.

După cum puteți vedea, totul converge !!!

Acum, să practicăm în definirea ecuațiilor omogene.

Determinați ce ecuații sunt omogene:

Ecuații uniforme - Ecuații sub numere:

Luați în considerare ecuația separat.

Dacă împărțim fiecare alcalin pe descompunere fiecare termen, ajungem

Și această ecuație se încadrează complet sub definirea ecuațiilor omogene.

Cum de a rezolva ecuațiile omogene?

Exemplul 2.

Am împărțit ecuația.

În starea noastră, Y nu poate fi egală. Astfel încât să putem împărți în siguranță

Prin înlocuirea, obținem o ecuație simplă pătrată:

Deoarece aceasta este o ecuație pătrată dat, folosim teorema Vieta:

Prin returnarea înlocuirii, obțineți răspunsul

Răspuns:

Exemplul 3.

Împărțim ecuația (după condiție).

Răspuns:

Exemplul 4.

Găsiți dacă.

Aici nu trebuie să vă împărțiți, ci să multiplicați. Înmulțiți toată ecuația pe:

Vom înlocui și vom rezolva o ecuație pătrată:

Prin ridicarea înlocuirii, primim răspunsul:

Răspuns:

Soluție de ecuații trigonometrice omogene.

Soluția de ecuații trigonometrice omogene nu este diferită de metodele de soluție descrisă mai sus. Doar aici, printre altele, trebuie să cunoașteți o mică trigonometrie. Și să puteți rezolva ecuațiile trigonometrice (pentru aceasta puteți citi secțiunea).

Luați în considerare astfel de ecuații pe exemple.

Exemplul 5.

Decideți ecuația.

Vedem o ecuație omogenă tipică: și suntem necunoscuți, iar suma gradelor lor în fiecare seamă este egală.

Astfel de ecuații omogene nu sunt rezolvate, dar înainte de împărțirea ecuațiilor, luați în considerare cazul când

În acest caz, ecuația va lua forma: înseamnă. Dar sinusul și cosinul nu pot fi simultan egale, pentru că prin principala identitate trigonometrică. Prin urmare, puteți împărți în siguranță:

Deoarece ecuația este dată, atunci pe teorema Vieta:

Răspuns:

Exemplul 6.

Decideți ecuația.

Ca și în exemplul, trebuie să împărțiți ecuația. Luați în considerare cazul când:

Dar sinusul și cosinul nu pot fi simultan egale, pentru că prin principala identitate trigonometrică. Prin urmare.

Vom înlocui și vom rezolva o ecuație pătrată:

Vom face o înlocuire și găsim și găsim:

Răspuns:

Soluție de ecuații orientative omogene.

Ecuațiile uniforme sunt rezolvate în același mod ca cele discutate mai sus. Dacă ați uitat cum să rezolvați ecuațiile indicative - consultați secțiunea corespunzătoare ()!

Luați în considerare mai multe exemple.

Exemplul 7.

Decideți ecuația

Imaginați-vă ca:

Vedem o ecuație omogenă tipică, cu două variabile și cantitatea de grade. Împărțim ecuația cu:

După cum puteți vedea, făcând un înlocuitor, obținem o ecuație pătrată (aceasta nu trebuie să fie teama de fisiune pe zero - întotdeauna strict mai zero):

Pe teorema Vieta:

Răspuns: .

Exemplul 8.

Decideți ecuația

Imaginați-vă ca:

Împărțim ecuația cu:

Vom înlocui și vom rezolva o ecuație pătrată:

Rădăcina nu satisface starea. Producând înlocuirea inversă și găsirea:

Răspuns:

Ecuații uniforme. NIVEL MEDIU

În primul rând, pe exemplul unei sarcini pe care le amintesc ce este ecuațiile omogene și că este soluția de ecuații omogene.

Rezolvați sarcina:

Găsiți dacă.

Aici puteți vedea un lucru curios: dacă împărțiți fiecare persoană, obținem:

Adică, acum nu există individ și, acum variabila în ecuație este valoarea dorită. Și aceasta este o ecuație convențională pătrată, care este ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta: produsul rădăcinilor este egal, iar cantitatea este numere și.

Răspuns:

Vizualizați ecuațiile

numit omogen. Adică, aceasta este o ecuație cu două necunoscute, în fiecare considerație a căreia aceeași cantitate de grade ale acestor necunoscute. De exemplu, în exemplul de mai sus, această sumă este egală. Soluția de ecuații omogene se realizează prin împărțirea pe unul dintre necunoscuți în această măsură:

Și înlocuirea ulterioară a variabilelor :. Astfel, obținem ecuația de diplomă cu un necunoscut:

Cel mai adesea, vom satisface ecuațiile de gradul al doilea (adică pătrat) și putem decide:

Rețineți că este posibil să se împartă (și să se înmulțească) toată ecuația cu variabila numai dacă suntem convinși că această variabilă nu poate fi zero! De exemplu, dacă ni se cere să găsim, înțelegem imediat că, deoarece este imposibil să se împartă. În cazurile în care acest lucru nu este atât de evident, este necesar să verificați separat cazul când această variabilă este zero. De exemplu:

Decideți ecuația.

Decizie:

Vedem aici o ecuație omogenă tipică: și sunt necunoscute, iar suma gradelor lor în fiecare alcalină este egală.

Dar, înainte de a împărți și a obține o ecuație pătrată, trebuie să luăm în considerare cazul când. În acest caz, ecuația va lua forma: înseamnă că. Dar sinusul și cosinul nu pot fi simultan egale cu zero, deoarece prin principala identitate trigonometrică :. Prin urmare, puteți împărți în siguranță:

Sper că această soluție este complet clară? Dacă nu, citiți secțiunea. Dacă nu este clar de unde a venit, trebuie să vă întoarceți chiar mai devreme - la secțiune.

Distribuiți-mă:

1. Găsiți dacă.
2. Găsiți dacă.
3. Decideți ecuația.

Aici voi scrie pe scurt direct soluția de ecuații omogene:

Soluții:

Răspuns:.

Și aici trebuie să nu împărțiți, ci să multiplicați:

Răspuns:

Dacă ecuațiile trigonometrice nu ați trecut încă, acest exemplu poate fi omis.

Deoarece aici trebuie să împărtășim, asigurați-vă că mai întâi nu este egal cu zero:

Și este imposibil.

Răspuns:.

Ecuații uniforme. Pe scurt despre principalul lucru

Soluția tuturor ecuațiilor omogene este redusă la unul dintre cei necunoscuți la gradul și înlocuiește în continuare variabilele.

Algoritmul:

Ei bine, subiectul este terminat. Dacă citiți aceste linii, atunci sunteți foarte cool.

Deoarece doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citiți până la sfârșit, atunci ați intrat în aceste 5%!

Acum cel mai important lucru.

V-ați gândit la teoria pe acest subiect. Și, repet, asta ... este doar super! Ești mai bine decât majoritatea absolută a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru nu poate fi suficient ...

Pentru ce?

Pentru trecerea cu succes a utilizării, pentru admiterea la Institutul de la buget și, cel mai important, pentru viață.

Nu te voi convinge nimic, o să spun doar un lucru ...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Acestea sunt statistici.

Dar nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt mai fericiți (există o astfel de cercetare). Poate pentru că există mult mai multe oportunități în favoarea lor și viața devine mai strălucitoare? Nu știu...

Dar, gândiți-mă ...

Ce trebuie să fii sigur că ești mai bun decât alții la examen și să fii în cele din urmă ... mai fericit?

Umpleți o mână prin rezolvarea sarcinilor pe acest subiect.

Nu veți cere teoria examenului.

Vei avea nevoie rezolva sarcini pentru o vreme.

Și dacă nu le-ați rezolvat (foarte mult!), Sunteți cu siguranță o greșeală greșită sau pur și simplu nu aveți timp.

Este ca și în sport - trebuie să repetați de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți unde doriți o colecție, obligatoriu cu soluții, analize detaliate Și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu neapărat) și noi, desigur, le recomandăm.

Pentru a umple mâna cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să vă ajutați la prelungirea vieții la manualul tău, pe care le citești acum.

Cum? Există două opțiuni:

1. Accesul deschis la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 RUB.
2. Accesul deschis la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 articole din manual - 499 RUB.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul pentru toate sarcinile și toate textele ascunse pot fi deschise imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este prevăzut pentru întreaga existență a site-ului.

În concluzie...

Dacă sarcinile noastre nu le place, găsiți alții. Doar nu te opri pe teorie.

"Înțeleg" și "pot decide" este abilități complet diferite. Aveți nevoie de ambele.

Găsiți sarcina și decideți!

Omogen

În această lecție, ne vom uita la așa-numitul ecuații diferențiale uniforme de prim ordin. Precum și ecuații cu variabile de separare și ecuații inhomogene liniare. Acest tip de du se găsește în aproape orice controlul muncii pe tema difuze. Dacă v-ați dus la o pagină de la motorul de căutare sau nu sunteți foarte orientați în ecuații diferențiale, vă recomandăm cu fermitate să stabilesc lecția introductivă pe tema - Ecuații diferențiale ale primului ordin. Faptul este că multe principii pentru rezolvarea ecuațiilor omogene și folosite tehnică Va fi exact la fel ca și pentru cele mai simple ecuații cu variabilele de separare.

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale omogene de la alte tipuri de du? Acesta este cel mai simplu mod de a explica imediat un exemplu specific.

Exemplul 1.

Decizie:
ce în primul rând ar trebui analizate la rezolvare oricine Ecuație diferențială prima comanda? În primul rând, este necesar să verificați dacă este imposibil să împărțiți imediat variabilele utilizând acțiunile "școlare"? De obicei, o astfel de analiză este făcută mental sau încercând să împartă variabilele pe schiță.

În acest exemplu variabilele nu pot fi împărțite (Puteți încerca peste componente din partea din față, pentru a crește multiplicatorii pentru paranteze etc.). Apropo, în acest exemplu, faptul că variabilele nu pot fi împărțite este destul de evidentă datorită prezenței unui multiplicator.

Întrebarea apare - cum să rezolvați acest difur?

Trebuie să verifice și este această ecuație uniformă? Verificarea este simplă, iar algoritmul de verificare poate fi formulat după cum urmează:

În ecuația inițială:

in schimb Înlocuim in schimb Înlocuim derivat nu atingeți:

Scrisoarea Lambda este parametrul condițional, iar aici joacă următorul rol: dacă transformarea va fi capabilă să "distrugă" toate miezurile și să obțină ecuația inițială, atunci această ecuație diferențială este omogen.

Evident, Lambda este imediat redus într-un indicator:

Acum, în partea dreaptă, ajungem la Lambda pentru paranteze:

Și ambele părți se împart pe acest lambda:

Ca urmare tot Lambda a dispărut ca un vis ca ceață de dimineață și am obținut ecuația inițială.

Ieșire: Această ecuație este omogenă

Cum de a rezolva o ecuație diferențială omogenă?

Am o veste foarte bună. Absolut toate ecuațiile omogene pot fi rezolvate cu același înlocuitor standard (!).

Funcția "Igarek" urmează a inlocui muncă O anumită funcție (De asemenea, în funcție de "x") și "Iksa":

Aproape întotdeauna scris pe scurt:

Aflăm ce se transformă derivatorul într-un astfel de înlocuitor, folosim derivarea produsului. Daca atunci:

Înlocuim în ecuația inițială:

Ce va da acest înlocuitor? După această înlocuire și simplificare, noi garantat Obținem o ecuație cu variabilele de separare. Tine minte Ca prima dragoste :) și, în consecință,.

După înlocuire, efectuăm simplificări maxime:

Deoarece aceasta este o funcție în funcție de "x", derivatul său poate fi înregistrat printr-o fracțiune standard :.
În acest fel:

Noi împărtășim variabile, în timp ce în partea stângă trebuie să colectați numai "Te", iar în partea dreaptă - numai "Xers":

Variabilele sunt separate, integrate:


Conform primului meu sfat tehnic din articol Ecuații diferențiale ale primului ordin Constant în multe cazuri, este recomandabil să "aranjați" sub formă de logaritm.

După ce ecuația este integrată, trebuie să cheltuiți înlocuire, este, de asemenea, standard și singurul:
Daca atunci
În acest caz:

În 18-19 cazuri de 20, soluția unei ecuații omogene este înregistrată ca un integral comun.

Răspuns: Integral general:

De ce este aproape întotdeauna răspunsul unei ecuații omogene, dată sub forma unui integral comun?
În majoritatea cazurilor, este imposibil să se exprime în mod explicit "Igrek" (obține o soluție generală) și, dacă este posibil, soluția generală este cel mai adesea obținută de voluminoasă și înlicită.

De exemplu, în exemplul considerat, poate fi obținută decizia generală, logaritms inspirat în ambele părți ale integralului total:

- Ei bine, oriunde nu a mers nimic. Deși sunteți de acord, este încă curbată.

Apropo, în acest exemplu nu am înregistrat destul de "decent" un integral general. Nu este o greșealăDar în stilul "bun", îți amintesc, integralul comun este acceptat în formă. Pentru a face acest lucru, imediat după integrarea ecuației, constanta trebuie înregistrată fără logaritm (Iată excepția de la regulă!):

Și după înlocuirea inversă, obțineți un integral comun în formularul "clasic":

Răspunsul primit poate fi verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să instruiți un integral comun, adică să găsiți derivate din funcția specificată implicit:

Scapă de fracțiuni, multiplicând fiecare parte a ecuației pentru:

A fost obținută ecuația diferențială inițială, înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Este recomandabil să verificați întotdeauna. Dar ecuațiile omogene sunt neplăcute pentru faptul că este de obicei dificil să se verifice integralele lor comune - aceasta necesită o tehnică de diferențiere foarte decentă. În examinarea examinată, în timpul inspecției, nu era necesar să nu se găsească cele mai simple instrumente derivate (deși exemplul în sine este destul de simplu). Dacă puteți verifica - verificați!

Exemplul 2.

Verificați ecuația pentru omogenitate și găsiți integralul său comun.

Răspundeți în formular

Acesta este un exemplu pentru auto-hotărâtă - astfel încât să vă stăpâniți în algoritmul de acțiuni în sine. Verificați timpul liber, deoarece Aici este destul de complex, și nici măcar nu l-am adus, altfel nu vei mai veni la un astfel de maniac :)

Și acum punctul important promis menționat la începutul subiectului,
Selectați litere negre grase:

Dacă în timpul transformărilor "resetează" multiplicatorul (nu este constantă) În numitor, atunci riscați să pierdeți soluții!

Și de fapt, am întâlnit acest lucru în primul exemplu. lecția introductivă privind ecuațiile diferențiale. În procesul de rezolvare a ecuației Igrek, sa dovedit a fi în numitor: dar, evident, decizia Du și ca urmare a unei transformări neuniforme (diviziune) este toate șansele de ao pierde! Un alt lucru este că a intrat în soluția globală la o valoare zero a constantei. Resetați "Iksa" în numitor, poate fi, de asemenea, luată în considerare, deoarece Nu satisface difuzul sursei.

O poveste similară cu cea de-a treia ecuație a aceleiași lecție, în timpul deciziei pe care am "scăzut" la numitor. Strict vorbind, aici ar trebui să fie verificate și nu este soluția la acest difur? Este! Dar aici "totul costă", deoarece această funcție a intrat în integrarea generală la.

Și dacă este adesea așa de des cu "separarea" ecuațiilor;) "Rolls", apoi cu omogenă și alte difuzoare pot "nu călătoresc". Cu o probabilitate mare.

Analizăm problemele care au fost contemporate: în Exemplul 1. A existat o "resetare" a ICA, dar nu poate fi o soluție la ecuație. Dar B. Exemplul 2. Am împărțit la Dar acest lucru "mâinile stângi": pentru că, ei nu puteau pierde decizii, pur și simplu nu le au aici. Dar " cazuri fericite"Eu, desigur, aranjate special, și nu faptul că în practică vor ieși:

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația diferențială

Este într-adevăr un exemplu simplu? ;-)

Decizie: Omogenitatea acestei ecuații este evidentă, dar încă - În primul pas Asigurați-vă că verificați dacă variabilele nu pot fi împărțite. Pentru ecuația este, de asemenea, omogen, dar variabilele din acesta sunt împărțite în liniște. Da, există astfel de!

După verificarea "separare", înlocuim și simplificăm ecuația cât mai mult posibil:

Noi împărtășim variabile, colectăm "Te" în partea stângă, dreapta - "Xers":

Și aici este oprirea. Când vă împărțiți pe noi riscând să pierdem două funcții simultan. Deoarece acestea sunt funcții:

Prima funcție este, în mod evident, soluția ecuației . Verificăm al doilea - înlocuim și derivatul în difuzul nostru:

- Se obține egalitatea corectă, înseamnă că funcția este o soluție.

ȘI aceste soluții pe care le pierdem.

În plus, "x" găsită în numitor, cu toate acestea, înlocuirea implică faptul că nu este egală cu zero. Amintiți-vă acest fapt. Dar! Asigurați-vă că ați verificatEste soluția ecuației inițiale diferențiale. Nu, nu este.

Luați toate notă și continuați:

Trebuie să spun, cu integralul norocului din stânga, se întâmplă mult mai rău.

Noi colectăm pe partea dreaptă un singur logaritm și aruncați cătușele:

Și numai acum înlocuirea inversă:

Înmulțiți toate componentele pe:

Acum ar trebui verificat - soluțiile periculoase au intrat în integrale comune . Da, ambele soluții au introdus integrale generale la o valoare zero a constantei: prin urmare, acestea nu trebuie să indice suplimentar în răspuns:

integral general:

Verifica. Nici măcar verificați, dar plăcerea solidă :)

A fost obținută ecuația diferențială inițială, înseamnă că soluția este adevărată.

Pentru soluții de sine:

Exemplul 4.

Efectuați o inspecție pentru omogenitate și rezolvați ecuația diferențială

Diferențierea generală de verificare integrală.

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Luați în considerare o pereche de exemple atunci când o ecuație omogenă este specificată cu diferențe gata făcute.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația diferențială

Acesta este un exemplu foarte interesant, doar un thriller întreg!

Decizievom fi obișnuiți să executăm compact. În primul rând, fie mental fie pe schiță asigurați-vă că variabilele nu pot fi împărțite aici, după care efectuăm o inspecție pentru omogenitate - de obicei nu este efectuată la finisare (dacă nu este necesar). Astfel, aproape întotdeauna soluția începe cu înregistrarea: " Această ecuație este omogenă, vom înlocui: ...».

Dacă o ecuație omogenă conține diferențe finalizate, poate fi rezolvată printr-o substituție modificată:

Dar nu vă sfătuiesc să utilizați o astfel de substituție deoarece se dovedește cel Mare zidul chinezesc Diferențele, unde aveți nevoie de ochi și ochi. Din punct de vedere tehnic, este mai avantajos să trecem la denumirea "Baroului" derivatului, pentru că împărțim toți membrii ecuației:

Și aici am făcut o transformare "periculoasă"! Diferențial zero corespunde - familiei directe axa paralelă . Sunt înrădăcinate de noi? Înlocuitor și în ecuația inițială:

Această egalitate este valabilă dacă, adică atunci când împărțiți pe noi am riscat să pierdem decizia, Și am pierdut-o - De cand nu mai satisface Ecuația rezultată .

Trebuie remarcat faptul că dacă noi inițial A fost dată o ecuație Rădăcina discursului nu ar merge. Dar o avem și suntem în timp "prinși".

Continuăm să rezolvăm înlocuirea standard:
:

După înlocuire, ecuația este ușor simplificată:

Noi împărtășim variabile:

Și aici, din nou, opriți: Când împărțiți pe noi riscuri, pierdem două funcții. Deoarece acestea sunt funcții:

Evident, prima funcție este o soluție la ecuație . Verificăm al doilea - înlocuim și derivatul său:

- Primit egalitatea credincioasăAceasta înseamnă că funcția rezolvă și ecuația diferențială.

Și când se împarte pe noi, aceste soluții riscă să piardă. Cu toate acestea, aceștia pot introduce integralul general. Dar nu se poate potrivi

Luați această notă și integrați ambele părți:

Integralul din partea stângă este soluționat în mod standard folosind alocarea pătratului completDar în difuzoare este mult mai convenabil de utilizat metoda de coeficienți incerți:

Folosind metoda de coeficienți nedeterminați, descompune funcția integrată în cantitatea de fracțiuni elementare:


În acest fel:

Găsim integral:

"De când am pictat niște logaritmi, atunci constanta a împins și sub logaritm".

Înainte de înlocuire din nou, simplificăm tot ce puteți simplifica:

Resetați lanțurile:

Și înlocuirea inversă:

Acum îmi amintesc "pierderile": soluția a intrat într-un integral comun când, dar "a zburat de către registrul de numerar", pentru că Sa dovedit în numitor. Prin urmare, ca răspuns, este onorat cu o frază separată și da - nu uitați de soluția pierdută, care, apropo, a fost de asemenea mai mică.

Răspuns: Integral general: . Mai multe soluții:

Nu este atât de dificil să exprimați o soluție generală:
Dar acest lucru este deja ponte.

Confortabil, totuși, pentru verificare. Găsiți un derivat:

și înlocuitor În partea stângă a ecuației:

- Ca rezultat, a fost obținută partea dreaptă a ecuației, care trebuia să verifice.

Următoarele difuze este independent:

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația diferențială

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției. Încercați în același timp pentru antrenament și aici pentru a exprima o soluție generală.

În partea finală a lecției, ia în considerare un cuplu mai mult de sarcini caracteristice pe această temă:

Exemplul 7.

Rezolvați ecuația diferențială

Decizie: Mergem ca un fel drag. Această ecuație este omogenă, vom înlocui:

Cu "xom" totul este bine aici, dar ce despre triple patrati? Deoarece el este indeposabil pentru multiplicatori:, cu siguranta nu pierdem deciziile. Întotdeauna ar fi așa! Noi alocăm pătratul complet pe partea stângă și integrați:

Simplificați nimic de făcut aici și, prin urmare, înlocuirea inversă:

Răspuns: Integral general:

Exemplul 8.

Rezolvați ecuația diferențială

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.

asa de:

Pentru transformări neuniforme, verificați întotdeauna (cel puțin oral), pierdeți câteva decizii! Care sunt aceste transformări? De regulă, reducerea unui lucru sau diviziune în ceva. Deci, de exemplu, atunci când se împarte, este necesar să se verifice dacă sunt funcțiile soluțiilor ecuației diferențiale. În același timp, atunci când se împarte asupra necesității unei astfel de inspecție dispare deja - datorită faptului că acest separator nu se întoarce la zero.

Iată o altă situație periculoasă:

Aici, a scăpa de, trebuie verificată dacă soluția nu este o soluție. Adesea ca un astfel de multiplicator întâlnește "X", "Igrek", și le tăiem, pierdem funcțiile care pot fi soluții.

Pe de altă parte, dacă ceva este inițial în numitor, nu există niciun motiv pentru o astfel de anxietate. Deci, într-o ecuație omogenă, nu vă puteți îngrijora de funcția, așa cum este "declarată" în numitor.

Subtilitățile enumerate nu pierd relevanța, chiar dacă sarcina necesită doar o soluție particulară. Există o mică, dar șansa că vom pierde exact soluția privată necesară. adevăr cauchy Sarcy. În sarcini practice cu ecuații omogene, este rar solicitată. Cu toate acestea, astfel de exemple sunt în articol Ecuațiile reduse la omogeneCeea ce vă recomand să studiați "pixeli fierbinți" pentru a vă consolida abilitățile de soluție.

Există ecuații mai complexe omogene. Complexitatea nu constă în înlocuirea variabilelor sau simplificării, ci într-o integrare suficient de dificilă sau rară care apar ca urmare a separării variabilelor. Am exemple de soluții de ecuații atât de omogene - integrele teribile și răspunsuri teribile. Dar nu vom fi despre ei, pentru că la cele mai apropiate lecții (Vezi mai jos) Încă mai am timp să te torturez, vreau să te văd proaspăt și optimist!

Promovare reușită!

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2: Decizie: Verificați ecuația pentru omogenitate, pentru aceasta în ecuația inițială in schimb Înlocuitor, in schimb Substitui:

Ca rezultat, a fost obținută ecuația inițială, ceea ce înseamnă că aceasta este omogenă.

Ecuația diferențială uniformă a primului ordin - Aceasta este ecuația tipului
unde f este o funcție.

Cum se determină o ecuație diferențială omogenă

Pentru a determina dacă ecuația diferențială a primei ordini este uniformă, este necesar să se introducă o constantă t și să înlocuiască Y pe Ty și X pe TX: Y → TY, X → TX. Dacă nu scade, atunci ecuație diferențială uniformă. Derul y "nu se schimbă cu o astfel de transformare.
.

Exemplu

Determinați dacă această ecuație este omogenă

Decizie

Facem înlocuirea y → ty, x → tx.


Ne împărțim pe T. 2 .

.
Ecuația nu conține t. În consecință, aceasta este o ecuație omogenă.

Metoda de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene

Ecuația diferențială omogenă a primei ordini este asigurată ecuației cu variabilele de separare prin înlocuirea Y \u003d UX. Arat-o. Luați în considerare ecuația:
(I)
Efectuarea unei substituție:
y \u003d ux,
unde u este o funcție de la x. Diferențiază prin x:
y '\u003d.
Înlocuiți ecuația inițială (I).
,
,
(ii) .
Noi împărtășim variabile. Multiplicați pe DX și împărțiți-l pe x (F (U) - U).

Cu F. (U) - U ≠ 0 și x ≠. 0 Primim:

Integram:

Așa că avem o ecuație integrală comună (I) În Quadrture:

Înlocuiți integrarea permanentă C pe lN C., atunci

Reducem semnul modulului, deoarece semnul dorit este determinat de selectarea unui semn constant. Apoi, integralul comun va lua forma:

Următorul ar trebui să ia în considerare cazul F (U) - U \u003d 0.
Dacă această ecuație are o rădăcină, atunci ele sunt o soluție la ecuație (ii). De la ecuația. (ii) nu coincide cu ecuația inițială, atunci ar trebui să vă asigurați că soluțiile suplimentare satisfac ecuația sursă (I).

Ori de câte ori, în procesul de transformări, împărți orice ecuație cu o anumită funcție pe care o denunțăm ca g (X y), atunci transformările ulterioare sunt valabile pentru g (x, y) ≠ 0. Prin urmare, ar trebui să luați în considerare cazul G (x, y) \u003d 0.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene a primului ordin

Rezolvați ecuația

Decizie

Verificați dacă această ecuație este omogenă. Facem înlocuirea y → ty, x → tx. În acest caz, y '→ y'.
,
,
.
Reducerea pe t.

Permanent t a scăzut. Prin urmare, ecuația este omogenă.

Facem substituția y \u003d ux, unde u este o funcție de la x.
y '\u003d. (Ux) '\u003d u' x + u (x) '\u003d u' x + u
Înlocuiți ecuația inițială.
,
,
,
.
La x ≥ 0 , | x | \u003d x. La x ≤ 0 , | x | \u003d - x. Noi scriem | x | \u003d x care implică faptul că semnul superior se referă la valorile x ≥ 0 , iar partea de jos - la valorile x ≤ 0 .
,
Nemulim pe DX și împărțiți pe.

Sub U. 2 - 1 ≠ 0 Avem:

Integram:

Masa integrală,
.

Aplicați formula:
(A + B) (A - B) \u003d A 2 - B 2.
Puneți a \u003d u ,.
.
Luați ambele părți în funcție de modul și logaritm
.
De aici
.

Astfel, avem:
,
.
Coborâți semnul modulului, deoarece semnul dorit este furnizat de selectarea unui semn constant.

Înmulțim x și înlocuim UX \u003d y.
,
.
Suntem ridicați într-un pătrat.
,
,
.

Acum luați în considerare cazul, u 2 - 1 = 0 .
Rădăcini ale acestei ecuații
.
Este ușor să vă asigurați că funcțiile y \u003d x satisfac ecuația sursă.

Răspuns

,
,
.

Referințe:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, colecție de sarcini pe matematică mai mare, "LAN", 2003.

Răspunsuri gata la exemple de ecuații diferențiale omogene Primul ordin caută mulți studenți (faceți o comandă a celor mai frecvente în formare), atunci veți fi capabili să le dezasamblați în detaliu. Dar, înainte de a încheia luarea în considerare a exemplelor, vă recomandăm să citiți cu atenție un material teoretic scurt.
Ecuații ale formei P (x, y) dx + q (x, y) dyn \u003d 0, în cazul în care funcțiile P (x, y) q (x, y) sunt funcții omogene ale unei ordini numite ecuație diferențială uniformă (Ord).

Diagrama de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene

1. În primul rând, trebuie să aplicați substituția y \u003d z * x, unde z \u003d z (x) este o nouă funcție necunoscută (astfel încât ecuația inițială este redusă la ecuația diferențială cu variabilele de separare.
2. Derivatul lucrării este egal cu y "\u003d (z * x)" \u003d z "* x + z * x" \u003d z "* x + z sau în diferențials dy \u003d d (zx) \u003d z * dx + x * dz.
3. În continuare, înlocuim o nouă funcție a Y și a derivatului său Y "(sau DY) în Du cu variabile de separare În ceea ce privește x Ta Z.
4. Prin decizia ecuației diferențiale cu variabilele de separare, vom face înlocuirea inversă a y \u003d z * x, deci z \u003d y / x și vom obține soluție generală (integrală generală) Ecuație diferențială.
5. Dacă este specificată starea inițială Y (x 0) \u003d Y 0, atunci găsim o soluție privată a problemei Cauchy. În teorie, totul pare cu ușurință, dar în practică nu este atât de distractiv să rezolvați ecuațiile diferențiale. Prin urmare, pentru a aprofunda cunoștințele, luați în considerare exemplele comune. Nu există în special pentru a vă învăța pe sarcinile ușoare, așa că vom merge imediat la mai complex.

Calculări ale ecuațiilor diferențiale omogene de primă comandă

Exemplul 1.

Soluție: Împărțim partea dreaptă a ecuației pentru o variabilă care stabilește multiplicatorul în apropierea derivatului. Ca rezultat, vom veni ecuația diferențială omogenă 0 Comandă

Și aici mulți pot deveni interesanți, cum de a determina ordinea funcției unei ecuații omogene?
Întrebarea este mai potrivită, iar răspunsul este următorul:
În partea dreaptă, înlocuim funcția și valoarea argumentului t * x, t * y. Când este simplificată, parametrul "T" este obținut într-un anumit grad K și se numește ordinea ecuației. În cazul nostru, "t" va scădea, ceea ce este echivalent cu gradul 0 sau ordinea zero a unei ecuații omogene.
Mai departe în partea dreaptă ne putem muta la noua variabilă y \u003d zx; z \u003d y / x.
În același timp, nu uitați să exprimați derivatul "Y" prin derivatul noii variabile. În conformitate cu regula de parte pe care o găsim

Ecuatii diferentiale Luați vedere

Termeni comuni în partea dreaptă și partea stângă reduc și merg la ecuarea diferențială a variabilelor separate.

Integram ambele părți

Pentru comoditatea unor transformări suplimentare permanente introduceți imediat sub logaritm

Conform proprietăților logaritmilor, ecuația logaritmică rezultată este echivalentă cu următoarele

Această intrare nu este încă o soluție (răspuns), este necesară revenirea la înlocuirea variabilelor.

Astfel sunt găsite Soluție generală de ecuații diferențiale. Dacă ați citit cu atenție lecțiile anterioare, am spus că schema de calcul al ecuațiilor cu variabile separate pe care ar trebui să le puteți aplica în mod liber și acest tip de ecuație va trebui să fie calculat pentru tipuri mai complexe de du.

Exemplul 2. Găsiți integral ecuația diferențială

Soluție: Schema de calcul de omogenă și consumatoare de ele este acum familiarizată. Noi purtăm variabila în partea dreaptă a ecuației, precum și în numărător și denominator pe care îl suportăm x 2, ca factor comun

Astfel, obținem un grad omogen de ordin zero.
Următorul pas pe care îl introducem înlocuirea variabilelor z \u003d y / x, y \u003d z * x, pe care vă vom aminti în mod constant să-l memorez

După aceea, scriu în diferențe

Apoi transformăm dependența de ecuație diferențială pentru variabilele separate

Și prin integrarea îl rezolvă.

Integralurile sunt simple, conversii rămase se bazează pe proprietățile logaritmului. Ultima acțiune include expunerea la logaritm. În cele din urmă, revenim la înlocuirea inițială și scriem în formă

Constant "C" ia orice valoare. Toți cei care studiază în absență au probleme în examene cu acest tip de ecuații, deci vă rugăm să uitați cu atenție și să vă amintiți schema de calcul.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială

Soluție: După cum rezultă din metoda de mai sus, ecuațiile diferențiale de acest tip sunt rezolvate introducerea unei noi variabile. Rescrieți dependența, astfel încât derivatul să fie fără o variabilă

În plus, pe analiza părții drepte, vedem că există o frecvență peste tot - este de asemenea referit pentru un nou necunoscut
z \u003d y / x, y \u003d z * x.
Găsiți derivați de la y

Luând în considerare înlocuirea, rescrierea inițială în formă de

Aceleași componente simplificatoare și toți cei care au primit să facă cu variabile separate

Integrarea ambelor părți ale egalității

Ajungem la o soluție sub formă de logaritmi

Care prezintă dependențe soluție generală de ecuație diferențială

care după înlocuirea inițială a variabilelor va lua forma

Aici C - Constant, care se poate face din starea Cauchy. Dacă sarcina Cauchy nu este specificată, ea devine o valoare reală arbitrară.
Aceasta este toată înțelepciunea în calcularea ecuațiilor diferențiale omogene.