Metode pentru construirea unei matrice inverse. matrice inversă

Metode pentru găsirea matricei inverse. Luați în considerare o matrice pătrată

Notăm Δ \u003d det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nespecialdacă determinantul său este diferit de zero și degenerat sau special, în cazul în care unΔ = 0.

O matrice pătrată B există pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor A B \u003d B A \u003d E, unde E este matricea identitară de același ordin ca matricile A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero.

matrice inversă matricea A, notată cu A - 1, astfel încât B \u003d A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde А i j sunt complementele algebrice ale elementelor a i j ale matricei A ..

Calculul lui A -1 prin formula (1) pentru matricile de ordin înalt este foarte laborios, prin urmare, în practică, este convenabil să găsim A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin intermediul EP al doar coloanelor (sau doar rândurilor). Dacă EF-urile sunt perfecte peste matricea A se aplică în aceeași ordine matricei de identitate E, rezultatul este o matrice inversă . Este convenabil să efectuați EP peste matricile A și E în același timp, scriind ambele matrice unul lângă altul printr-o linie. Rețineți din nou că atunci când găsiți forma canonică a unei matrice în scopul găsirii, se pot utiliza transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, numai rândurile sau doar coloanele ar trebui utilizate în procesul de transformare.

Exemplul 2.10... Pentru matrice găsiți A -1.

Decizie.Mai întâi găsim determinantul matricei A
prin urmare, există matricea inversă și o putem găsi după formula: , unde A i j (i, j \u003d 1,2,3) sunt complementele algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

De unde .

Exemplul 2.11... Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matrice: A \u003d.

Decizie.Atribuim matricei originale din dreapta matricea identității de același ordin: ... Cu ajutorul transformărilor coloanei elementare, aducem „jumătatea” stângă la cea a unității, realizând simultan exact aceleași transformări peste matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, să schimbăm prima și a doua coloană: ~ ... Adăugați prima la a treia coloană și prima înmulțită cu -2 la a doua: ... Din prima coloană scădem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; ... Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: ... Să înmulțim ultima coloană cu -1: ... Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este inversa matricei date A. Deci,
.

Pentru orice matrice nedegenerată A, există și, în plus, o matrice unică A -1 astfel încât

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

unde E este matricea de identitate de aceleași ordine ca A. Matricea A -1 se numește inversă la matricea A.

În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:

Găsirea matricei inverse prin metoda matricei adjointe

Matricea inversă este definită de formula:

unde A ij sunt elemente a ij.

Acestea. pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. Apoi, trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Găsiți A -1 pentru Matrix

Soluție. Să găsim A -1 prin metoda matricei adjointe. Avem det A \u003d 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei în sine, luate cu un semn în conformitate cu formula

Avem A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Formăm matricea adiacentă

Transportăm matricea A *:

Găsim matricea inversă după formula:

Primim:

Găsiți A -1 folosind metoda matricei adiacente dacă

Soluție. În primul rând, calculăm definiția matricei date pentru a ne asigura că există matricea inversă. Avem

Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțit anterior cu (-1) și apoi am extins determinantul pe al doilea rând. Întrucât matricea dată este determinată să fie diferită de zero, există matricea inversă. Pentru a construi matricea adiacentă, găsim complementele algebrice ale elementelor matricei date. Avem

Conform formulei

transporta matricea A *:

Apoi prin formula

Găsirea matricei inverse prin metoda transformărilor elementare

În plus față de metoda de găsire a matricei inverse, care rezultă din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă pentru găsirea matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.

Transformări ale matricei elementare

Următoarele transformări se numesc transformări ale matricei elementare:

1) permutarea rândurilor (coloanelor);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero;

3) adăugând elementelor unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B \u003d (A | E) de ordine (n; 2n), atribuind matricea de identitate E matricei A din dreapta prin linia de divizare:

Să vedem un exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă

Soluție. Să formăm matricea B:

Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.

Găsirea matricei inverse - o sarcină care este adesea rezolvată prin două metode:

• metoda complementelor algebrice, în care este necesar să se găsească determinanți și să se transpună matrici;
• prin eliminare necunoscut Gauss, în care este necesar să se efectueze transformări elementare ale matricei (adăugați șiruri, înmulțiți șiruri cu același număr etc.).

Pentru cei care sunt deosebit de curioși, există alte metode, de exemplu, metoda transformărilor liniare. În această lecție, vom analiza cele trei metode și algoritmi menționați pentru a găsi matricea inversă folosind aceste metode.

Matrice inversă ȘI, o astfel de matrice se numește

ȘI
. (1)

Matrice inversă , care este necesar pentru a găsi pentru o anumită matrice pătrată ȘI, o astfel de matrice se numește

produs prin care matrici ȘI în dreapta este matricea identității, adică
. (1)

Matricea de identitate este o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul.

Teorema. Pentru fiecare matrice pătrată non-singulară (non-degenerată, non-singulară), puteți găsi matricea inversă și, în plus, doar una. Pentru o matrice pătrată specială (degenerată, singulară), inversul nu există.

Matricea pătrată se numește nespecial (sau nedegenerat, non-singular) dacă determinantul său nu este zero și special (sau degenerat, singular) dacă determinantul său este zero.

Matricea inversă poate fi găsită doar pentru o matrice pătrată. Bineînțeles, matricea inversă va fi, de asemenea, pătrată și de același ordin cu matricea dată. O matrice pentru care se poate găsi o matrice inversă se numește matrice inversabilă.

Pentru matrice inversă există o analogie potrivită cu reciprocul. Pentru fiecare număr a, nu egal cu zero, există un astfel de număr bcă munca a și b este egal cu unul: ab \u003d 1. Număr b se numește invers pentru număr b... De exemplu, pentru numărul 7, inversul este 1/7, deoarece 7 * 1/7 \u003d 1.

Găsirea matricei inverse prin metoda complementelor algebrice (matricea uniunii)

Pentru o matrice pătrată non-singulară ȘIinversul este matricea

unde este determinantul matricei ȘI, a este matricea alăturată matricei ȘI.

Unire cu matrice pătrată Aeste o matrice de același ordin, ale cărei elemente sunt complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale determinantului matricei transpuse în raport cu matricea A. Astfel, dacă

atunci

și

Algoritm pentru găsirea matricei inverse prin metoda complementelor algebrice

1. Găsiți determinantul unei matrice date A... Dacă determinantul este zero, căutarea matricei inverse se oprește, deoarece matricea este degenerată și inversul acesteia nu există.

2. Găsiți matricea transpusă în raport cu A.

3. Calculați elementele matricei adiacente ca complemente algebrice ale Maritsa găsite în pasul 2.

4. Aplicați formula (2): înmulțiți inversul determinantului matricei A, la matricea adiacentă găsită în pasul 4.

5. Verificați rezultatul obținut la pasul 4 înmulțind această matrice A la matricea inversă. Dacă produsul acestor matrici este egal cu matricea identității, atunci matricea inversă a fost găsită corect. În caz contrar, începeți din nou procesul de soluționare.

Exemplul 1. Pentru matrice

găsiți inversul matricei.

Decizie. Pentru a găsi matricea inversă, este necesar să se găsească determinantul matricei ȘI... Găsim după regula triunghiurilor:

De aici și matricea ȘI- non-singular (non-degenerat, non-singular) și pentru acesta există un invers.

Găsiți matricea alăturată matricei date ȘI.

Găsiți matricea transpusă în raport cu matricea A:

Calculați elementele matricei adiacente ca complementele algebrice ale matricei transpuse în raport cu matricea A:

Prin urmare, matricea alăturată matricei A, are forma

Cometariu. Ordinea de calcul a elementelor și transpunerea matricei pot fi diferite. Mai întâi se pot calcula complementele algebrice ale matricei Ași apoi transpune matricea complementului. Rezultatul ar trebui să fie aceleași elemente ale matricei uniunii.

Aplicând formula (2), găsim matricea inversă matricei ȘI:

Găsirea matricei inverse prin eliminare gaussiană

Primul pas pentru găsirea matricei inverse prin metoda de eliminare gaussiană este atribuirea matricei A matricea de identitate de aceeași ordine, separându-le cu o bară verticală. Obținem o matrice dublată. Înmulțim ambele părți ale acestei matrice cu, apoi obținem

,

Algoritm pentru găsirea matricei inverse prin eliminare gaussiană

1. La matrice A atribuiți matricea de identitate de același ordin.

2. Transformați matricea dublă rezultată astfel încât matricea de identitate să fie obținută pe partea stângă a acesteia, apoi matricea inversă se va transforma automat în locul matricei de identitate din partea dreaptă. Matricea A în partea stângă este transformat în matricea identității prin transformări elementare ale matricei.

2. Dacă în timpul transformării matricei A în matricea de identitate în orice rând sau în orice coloană vor exista doar zerouri, atunci determinantul matricei este egal cu zero și, prin urmare, matricea A va fi degenerat și nu are matrice inversă. În acest caz, descoperirea ulterioară a matricei inverse este terminată.

Exemplul 2. Pentru matrice

găsiți inversul matricei.

și îl vom transforma astfel încât pe partea stângă să obținem matricea identității. Începem transformări.

Înmulțiți primul rând al matricei stânga și dreapta cu (-3) și adăugați-l la al doilea rând, apoi înmulțiți primul rând cu (-4) și adăugați-l la al treilea rând, apoi obținem

.

Deci, dacă este posibil, nu au existat numere fracționate în timpul transformărilor ulterioare, creăm mai întâi o unitate în al doilea rând pe partea stângă a matricei dublate. Pentru a face acest lucru, înmulțiți al doilea rând cu 2 și scădeți al treilea rând din acesta, apoi obținem

.

Adăugați primul rând la al doilea, apoi multiplicați al doilea rând cu (-9) și adăugați-l la al treilea rând. Atunci ajungem

.

Împărțiți a treia linie la 8, apoi

.

Să înmulțim al treilea rând cu 2 și să-l adăugăm la al doilea rând. Se pare:

.

Să schimbăm a doua și a treia linie, apoi obținem în cele din urmă:

.

Vedem că matricea de identitate se obține pe partea stângă, prin urmare, matricea inversă se obține pe partea dreaptă. Prin urmare:

.

Puteți verifica corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală cu matricea inversă găsită:

Rezultatul ar trebui să fie o matrice inversă.

Exemplul 3. Pentru matrice

găsiți inversul matricei.

Decizie. Compunerea unei matrici duble

și îl vom transforma.

Înmulțim primul rând cu 3, iar al doilea cu 2 și scădem din al doilea, apoi înmulțim primul rând cu 5 și al treilea cu 2 și scădem din al treilea rând, apoi obținem

.

Înmulțim prima linie cu 2 și o adăugăm la a doua, apoi scăzem a doua din a treia linie, apoi obținem

.

Vedem că în a treia linie din stânga, toate elementele s-au dovedit a fi egale cu zero. În consecință, matricea este degenerată și nu are matrice inversă. Ne oprim să găsim în continuare maritza inversă.

De obicei, operațiile inverse sunt utilizate pentru a simplifica expresiile algebrice complexe. De exemplu, dacă problema conține operația de împărțire cu o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire prin reciproc, care este operația inversă. Mai mult, matricile nu pot fi împărțite, deci trebuie să vă înmulțiți cu inversul matricei. Calculul invers al unei matrice 3x3 este obositor, dar trebuie să îl puteți face manual. Puteți găsi, de asemenea, reciprocul cu un calculator grafic bun.

Pași

Cu o matrice adiacentă

Transpuneți matricea originală. Transpose înlocuiește rândurile cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i, j) și (j, i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începând din colțul din stânga sus și terminând în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

• Pentru a schimba rândurile cu coloane, scrieți elementele primului rând din prima coloană, elementele celui de-al doilea rând din coloana a doua și elementele celui de-al treilea rând din coloana a treia. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt înconjurate de cercuri colorate.

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv a celei transpuse, este asociat cu matricea corespunzătoare 2x2. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află acest element, adică trebuie să tăiați cinci elemente ale matricei 3x3 originale. Patru elemente rămân neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei corespunzătoare 2x2.

• De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru un element situat la intersecția celui de-al doilea rând și a primei coloane, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei corespunzătoare 2x2.
• Găsiți determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (a se vedea figura).
• Informații detaliate despre matricile 2x2 corespunzătoare elementelor specifice unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori. Înregistrați rezultatele obținute anterior sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă avem în vedere o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul său în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare în conformitate cu o anumită schemă, care este prezentată în figură.

• Schema schimbării semnelor: semnul primului element al primei linii nu se schimbă; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se modifică și așa mai departe linie cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-”, care sunt prezentate în diagramă (a se vedea figura), nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se modifică, iar semnul - indică faptul că semnul elementului s-a schimbat.
• Informații detaliate despre matricile cofactorilor pot fi găsite pe Internet.
• Aceasta va găsi matricea asociată matricei originale. Uneori se numește o matrice conjugată complexă. Această matrice este denumită adj (M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la un determinant. Determinantul matricei M a fost calculat chiar de la început pentru a verifica dacă inversul matricei există. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire unde este elementul corespunzător. Aceasta va găsi inversul matricei originale.

• Determinantul matricei, care este prezentat în figură, este 1. Astfel, aici matricea adiacentă este matricea inversă (pentru că atunci când orice număr este împărțit la 1, nu se schimbă).
• În unele surse, operația de divizare este înlocuită de operația de multiplicare cu 1 / det (M). În acest caz, rezultatul final nu se modifică.

Notați inversul matricei. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este inversul matricei.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrix, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2 și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul funcțional corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului depinde de modelul calculatorului).

Introduceți denumirea matricei. Majoritatea calculatoarelor grafice pot funcționa cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate literele A-J... De obicei, trebuie doar să selectați [A] pentru a indica matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrici 3x3. Dar calculatoarele grafice pot funcționa cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați tasta Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou tasta Enter.

Introduceți fiecare element al matricei. Calculatorul afișează o matrice. Dacă a fost deja introdusă o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va deplasa automat la următorul element al matricei.

Algebră matricială - Matrice inversă

matrice inversă

Matrice inversă se numește o matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea identității.
Să denotăm matricea inversă matricei ȘI prin, apoi, conform definiției, obținem:

unde E Este matricea identității.
Matricea pătrată numit nespecial (nedegenerat) dacă determinantul său nu este zero. În caz contrar, se numește special (degenerat) sau singular.

Următoarea teoremă este valabilă: fiecare matrice nesingulară are un invers.

Se numește operația de găsire a matricei inverse recurs matrici. Luați în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să se dea o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ \u003d det A ≠ 0.

Complement algebric al unui elementmatrici n -ordinea a ȘI determinantul matricei ( n –1) ordinea obținută prin ștergere eu-alea linie și jcoloana a matricei ȘI:

Să compunem așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei ȘI.
Rețineți că complementele algebrice ale elementelor rândurilor matricei ȘI sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ - valoarea determinantului matricei ȘI, obținem matricea inversă ca rezultat:

Observăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată ȘI matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci reversul drept și invers stânga matricile coincid cu aceasta;
3) o matrice pătrată specială (degenerată) nu are matrice inversă.

Principalele proprietăți ale matricei inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt valori reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricilor inverse ale factorilor, luate în ordine inversă:

3) inversul transpus al matricei este egal cu inversul matricei transpuse date:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.