Metoda Gaussian cu 4 necunoscute soluție detaliată. Verificarea corectitudinii soluției
Astăzi avem de-a face cu metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice... Puteți citi despre ce tip de sisteme sunt acestea în articolul anterior dedicat rezolvării acelorași SLAE prin metoda lui Cramer. Metoda lui Gauss nu necesită cunoștințe specifice, sunt necesare doar îngrijire și coerență. În ciuda faptului că din punctul de vedere al matematicii, pregătirea școlară este suficientă pentru aplicarea ei, pentru elevii care stăpânesc această metodă cauzează adesea dificultăți. În acest articol, vom încerca să le anulăm!
Metoda Gauss
M metoda Gauss - cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE-urilor (cu excepția, bine, foarte sisteme mari). Spre deosebire de cel discutat anterior, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o singură soluție, ci și pentru sistemele cu un număr infinit de soluții. Aici sunt posibile trei opțiuni.
- Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
- Sistemul are un număr infinit de soluții;
- Nu există soluții, sistemul este incompatibil.
Deci, avem un sistem (lăsați-l să aibă o singură soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gaussiană. Cum functioneaza?
Metoda lui Gauss constă din două etape - înainte și înapoi.
Trecere înainte a metodei Gaussiene
În primul rând, notăm matricea extinsă a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați o coloană de membri liberi la matricea principală.
Întreaga esență a metodei Gauss este de a aduce o matrice dată într-o formă treptată (sau, așa cum se spune, triunghiulară) prin intermediul transformărilor elementare. În această formă, trebuie să existe doar zero sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.
Ce poti sa faci:
- Puteți rearanja rândurile matricei pe alocuri;
- Dacă matricea are aceleași rânduri (sau proporționale), puteți șterge toate, cu excepția unuia;
- Puteți înmulți sau împărți un șir la orice număr (cu excepția zero);
- Liniile zero sunt eliminate;
- Puteți adăuga la un șir un șir înmulțit cu un număr diferit de zero.
Inversați metoda Gaussiană
După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut Xn devine cunoscut și puteți găsi toate necunoscutele rămase în ordine inversă, înlocuind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.
Când Internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva sistemul de ecuații folosind metoda Gaussiană pe net.Trebuie doar să introduceți cotele în calculatorul online. Dar trebuie să recunoașteți că este mult mai plăcut să realizați că exemplul nu este rezolvat program de calculator, dar propriul tău creier.
Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații prin metoda Gauss
Și acum - un exemplu pentru a face totul clar și de înțeles. Să fie dat sistemul ecuatii lineare, și trebuie să îl rezolvați folosind metoda Gauss:
În primul rând, să scriem matricea extinsă:
Acum să facem transformările. Amintiți-vă că trebuie să obținem un aspect triunghiular pentru matrice. Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al doilea rând cu (-1). Adăugați a doua linie la prima și obțineți:
Apoi înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a 3-a linie la a 2-a:
Înmulțiți primul rând cu (6). Înmulțiți al doilea rând cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:
Voila - sistemul a fost adus la forma corespunzătoare. Rămâne să găsim necunoscute:
Sistemul din acest exemplu are o singură soluție. Vom lua în considerare soluția sistemelor cu un număr infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți să transformați matricea, dar după practica adecvată, veți pune mâna pe și faceți clic pe SLAE folosind metoda Gaussian ca nucile. Și dacă întâlniți brusc un SLAE, care se dovedește a fi prea dur, vă rugăm să contactați autorii noștri! puteți lăsând o aplicație la cursul de corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!
Una dintre cele mai simple modalități de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calculul determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este deosebit de convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci un fel de parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor în cazul unui număr mare de ecuații; în plus, regula lui Cramer nu se aplică direct sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, se aplică de obicei metoda Gauss.
Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent... Evident, setul de soluții sistem liniar nu se va schimba dacă unele ecuații sunt schimbate, sau una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero sau dacă o ecuație este adăugată la alta.
Metoda Gauss (metoda eliminării succesive a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul este redus la un sistem echivalent de tip pas. În primul rând, folosind ecuația 1, x 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a doua ecuație, x 2 din a treia și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit prin metoda directă Gauss, continuă până când rămâne o singură necunoscută pe partea stângă a ultimei ecuații x n... Dupa aceea, metoda Gauss înapoi - rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n –1 etc. Pe ultimul îl găsim x 1 din prima ecuație.
Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene efectuând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matrici ale coeficienților lor. Luați în considerare matricea:
numit sistem extins cu matrice, deoarece în ea, pe lângă matricea principală a sistemului, este inclusă o coloană de termeni liberi. Metoda lui Gauss se bazează pe reducerea matricei principale a sistemului la o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor care nu sunt pătrate) folosind transformări elementare ale rândurilor (!) Ale matricei extinse a sistemului.
Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:
Decizie... Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom elimina zero elementele rămase:
obținem zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:
Acum aveți nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu –4/7 și adăuga la a treia linie. Cu toate acestea, pentru a nu face față fracțiilor, vom crea o unitate în al doilea rând al celei de-a doua coloane și numai
Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul celui de-al patrulea rând al celei de-a treia coloane, pentru aceasta puteți multiplica al treilea rând cu 8/54 și adăugați-l la al patrulea. Cu toate acestea, pentru a nu face față fracțiilor, vom schimba pozițiile rândurilor 3 și 4 și a coloanei 3 și 4 și numai după aceea vom elimina zero elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și trebuie să vă amintiți acest lucru; alte transformări elementare cu coloane (adunare și multiplicare cu un număr) nu pot fi efectuate!
Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel original:
Prin urmare, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație x 3 \u003d –1; din a treia x 4 \u003d –2, din a doua x 2 \u003d 2 și din prima ecuație x 1 \u003d 1. În formă matricială, răspunsul este scris ca
Am considerat cazul când sistemul este definit, adică când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsistent sau incert.
Exemplul 5.2. Investigați sistemul folosind metoda Gaussiană:
Decizie... Scrieți și transformați matricea extinsă a sistemului
Scriem un sistem simplificat de ecuații:
Aici, în ultima ecuație, sa dovedit că 0 \u003d 4, adică contradicţie. În consecință, sistemul nu are nicio soluție, adică ea inconsecvent. à
Exemplul 5.3. Investigați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:
Decizie... Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:
Ca urmare a transformărilor, ultima linie conține doar zerouri. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:
Astfel, după simplificări, rămân două ecuații și există patru necunoscute, adică două „extra” necunoscute. Să fie „de prisos” sau, după cum se spune, variabile libereva fi x 3 și x patru. Atunci
Presupunând x 3 = 2a și x 4 = b, primim x 2 = 1–a și x 1 = 2b–a; sau sub formă de matrice
O soluție scrisă în acest fel se numește uzual, deoarece, dând parametrii a și b diferite valori, toate soluțiile posibile ale sistemului pot fi descrise. A
Definiția și descrierea metodei Gaussiene
Metoda transformării Gaussiene (cunoscută și ca metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute dintr-o ecuație sau matrice) pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este o metodă clasică pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice (SLAE). De asemenea, această metodă clasică este utilizată pentru a rezolva probleme precum obținerea matrici inverse și determinarea rangului matricei.
Transformarea utilizând metoda Gauss constă în efectuarea unor modificări secvențiale mici (elementare) în sistemul de ecuații algebrice liniare, ducând la eliminarea variabilelor din aceasta de sus în jos cu formarea unui nou sistem triunghiular de ecuații, care este echivalent cu cel original.
Definiția 1
Această parte a soluției se numește cursul direct al soluției gaussiene, întrucât întregul proces se desfășoară de sus în jos.
După reducerea sistemului original de ecuații la unul triunghiular, toate variabilele sistemului se găsesc de jos în sus (adică primele variabile găsite ocupă exact pe ultimele linii ale sistemului sau matricei). Această parte a soluției este, de asemenea, cunoscută sub numele de inversarea Gaussiană. Algoritmul său este după cum urmează: mai întâi, se calculează variabilele care sunt cele mai apropiate de partea de jos a sistemului de ecuații sau matrice, apoi valorile obținute sunt substituite mai sus și astfel se găsește încă o variabilă și așa mai departe.
Descrierea algoritmului metodei Gauss
Secvența de acțiuni pentru soluția generală a sistemului de ecuații prin metoda Gaussiană constă în aplicarea alternativă a mișcărilor înainte și inversă matricei bazate pe SLAE. Fie ca sistemul original de ecuații să aibă următoarea formă:
$ \\ begin (cases) a_ (11) \\ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \\ cdot x_n \u003d b_1 \\\\ ... \\\\ a_ (m1) \\ cdot x_1 + a_ (mn) \\ cdot x_n \u003d b_m \\ end (cazuri) $
Pentru a rezolva SLAE prin metoda Gaussiană, este necesar să se scrie sistemul original de ecuații sub forma unei matrice:
$ A \u003d \\ begin (pmatrix) a_ (11) & ... & a_ (1n) \\\\ \\ vdots & ... & \\ vdots \\\\ a_ (m1) & ... & a_ (mn) \\ end (pmatrix) $, $ b \u003d \\ begin (pmatrix) b_1 \\\\ \\ vdots \\\\ b_m \\ end (pmatrix) $
Matricea $ A $ se numește matricea principală și reprezintă coeficienții variabilelor scrise în ordine, iar $ b $ se numește coloana termenilor săi liberi. Matricea $ A $, scrisă printr-o bară cu o coloană de termeni liberi, se numește matrice extinsă:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) & ... & a_ (1n) & b_1 \\\\ \\ vdots & ... & \\ vdots & ... \\\\ a_ (m1) & ... & a_ ( mn) & b_m \\ end (matrice) $
Acum este necesar, folosind transformări elementare peste sistemul de ecuații (sau peste matrice, deoarece este mai convenabil), să-l aducem la următoarea formă:
$ \\ begin (cases) α_ (1j_ (1)) \\ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_1 \\\\ α_ (2j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_2 \\\\ ... \\\\ α_ ( rj_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_r \\\\ 0 \u003d β_ (r + 1) \\\\ ... \\ \\ 0 \u003d β_m \\ end (cazuri) $ (1)
Matricea obținută din coeficienții sistemului de ecuație transformat (1) se numește în trepte, așa arată matricele în trepte:
$ A \u003d \\ begin (array) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\\\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\\\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \\ end (array) $
Aceste matrice sunt caracterizate de următorul set de proprietăți:
- Toate liniile sale zero sunt după zero
- Dacă un rând al matricei cu numărul $ k $ este diferit de zero, atunci rândul anterior al aceleiași matrice conține mai puține zerouri decât acest rând cu numărul $ k $.
După obținerea matricei treptate, este necesar să înlocuiți variabilele obținute în ecuațiile rămase (începând de la sfârșit) și să obțineți valorile rămase ale variabilelor.
Reguli de bază și transformări permise atunci când se utilizează metoda Gaussiană
Când simplificați o matrice sau un sistem de ecuații prin această metodă, ar trebui folosite doar transformări elementare.
Astfel de transformări sunt operații care pot fi aplicate unei matrice sau unui sistem de ecuații fără a-i schimba semnificația:
- rearanjarea mai multor linii pe alocuri,
- adăugând sau scăzând dintr-un rând al matricei un alt rând din ea,
- multiplicarea sau împărțirea unei linii cu o constantă care nu este egală cu zero,
- linia care constă doar din zerouri, obținută în procesul de calcul și simplificare a sistemului, trebuie ștearsă,
- De asemenea, trebuie să eliminați liniile proporționale inutile, alegând pentru sistem singurul cu coeficienți mai adecvați și mai convenabili pentru calcule ulterioare.
Toate transformările elementare sunt reversibile.
Analiza celor trei cazuri principale care apar atunci când se rezolvă ecuații liniare utilizând metoda transformărilor Gauss simple
Există trei cazuri care apar atunci când se utilizează metoda Gaussiană pentru rezolvarea sistemelor:
- Atunci când sistemul este inconsistent, adică nu are soluții
- Sistemul de ecuații are o soluție și singura, iar numărul de rânduri și coloane diferite de zero din matrice este egal unul cu celălalt.
- Sistemul are un anumit număr sau multe soluții posibile, iar numărul de rânduri din acesta este mai mic decât numărul de coloane.
Rezultatul unei decizii cu un sistem inconsistent
Pentru această opțiune, atunci când rezolvați ecuația matricei metoda Gauss se caracterizează prin obținerea unei anumite linii cu imposibilitatea îndeplinirii egalității. Prin urmare, dacă apare cel puțin o egalitate incorectă, sistemele rezultate și originale nu au soluții indiferent de celelalte ecuații pe care le conțin. Un exemplu de matrice inconsistentă:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) $
În ultima linie, a apărut o egalitate nesatisfăcătoare: $ 0 \\ cdot x_ (31) + 0 \\ cdot x_ (32) + 0 \\ cdot x_ (33) \u003d 1 $.
Un sistem de ecuații cu o singură soluție
Aceste sisteme, după reducerea la o matrice în trepte și eliminarea rândurilor cu zerouri, au același număr de rânduri și coloane în matricea principală. Aici cel mai simplu exemplu un astfel de sistem:
$ \\ begin (cases) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 2 \\ cdot x_1 + x_2 \u003d -7 \\ end (cases) $
Să o scriem sub forma unei matrice:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 2 & 1 & -7 \\ end (array) $
Pentru a aduce prima celulă a celui de-al doilea rând la zero, înmulțiți rândul de sus cu $ -2 $ și scădeți-l din rândul de jos al matricei și lăsați rândul de sus în forma sa originală, ca urmare avem următoarele:
$ \\ begin (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 0 & 3 & 10 \\ end (array) $
Acest exemplu poate fi scris ca sistem:
$ \\ begin (cases) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 3 \\ cdot x_2 \u003d 10 \\ end (cases) $
Următoarea valoare de $ x $ iese din ecuația inferioară: $ x_2 \u003d 3 \\ frac (1) (3) $. Înlocuind această valoare în ecuația superioară: $ x_1 - 3 \\ frac (1) (3) $, obținem $ x_1 \u003d 1 \\ frac (2) (3) $.
Un sistem cu multe soluții posibile
Acest sistem se caracterizează printr-un număr mai mic de rânduri semnificative decât numărul de coloane din acesta (se iau în considerare rândurile matricei principale).
Variabilele într-un astfel de sistem sunt împărțite în două tipuri: de bază și gratuit. La transformarea unui astfel de sistem, principalele variabile conținute în acesta trebuie lăsate în zona stângă până la semnul „\u003d”, iar variabilele rămase trebuie mutate în partea dreaptă a egalității.
Un astfel de sistem are doar o soluție generală.
Să analizăm următorul sistem de ecuații:
$ \\ begin (cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 \u003d 1 \\\\ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 \\ end (cases) $
Să o scriem sub forma unei matrice:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Sarcina noastră este să găsim o soluție generală la sistem. Pentru această matrice, variabilele de bază vor fi $ y_1 $ și $ y_3 $ (pentru $ y_1 $ - deoarece se află în primul rând, iar în cazul $ y_3 $ - se află după zerouri).
Ca variabile de bază, le selectăm exact pe cele care sunt primele din linie care nu sunt egale cu zero.
Variabilele rămase sunt numite libere, prin ele trebuie să le exprimăm pe cele de bază.
Folosind așa-numita mișcare inversă, analizăm sistemul de jos în sus, pentru aceasta, mai întâi exprimăm $ y_3 $ din linia de jos a sistemului:
$ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 $
$ 5y_3 \u003d 4y_4 + 1 $
$ y_3 \u003d \\ frac (4/5) y_4 + \\ frac (1) (5) $.
Acum, în ecuația superioară a sistemului $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 \u003d 1 $ înlocuim expresul $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5)) + y_4 \u003d 1 $
Exprimăm $ y_1 $ în termeni de variabile gratuite $ y_2 $ și $ y_4 $:
$ 2y_1 + 3y_2 - \\ frac (4) (5) y_4 - \\ frac (1) (5) + y_4 \u003d 1 $
$ 2y_1 \u003d 1 - 3y_2 + \\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5) - y_4 $
$ 2y_1 \u003d -3y_2 - \\ frac (1) (5) y_4 + \\ frac (6) (5) $
$ y_1 \u003d -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $
Soluția este gata.
Exemplul 1
Rezolvați slough prin metoda Gaussiană. Exemple. Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare dat de o matrice 3-la-3 folosind metoda Gauss
$ \\ begin (cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 \u003d 2 \\\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 \u003d 0 \\ end (cases) $
Să scriem sistemul nostru sub forma unei matrice extinse:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
Acum, pentru comoditate și practic, trebuie să transformați matricea astfel încât $ 1 $ să fie în colțul superior al coloanei extreme.
Pentru a face acest lucru, adăugați linia din mijloc, înmulțită cu $ -1 $ la prima linie și scrieți linia de mijloc așa cum este, se dovedește:
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 0 & -3 \\\\ \\ end (array) $
Să înmulțim liniile de sus și ultima cu $ -1 $ și, de asemenea, să schimbăm ultimele și liniile de mijloc:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ \\ end (array) $
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ \\ end (array) $
Și împărțiți ultima linie la 3 $:
$ \\ begin (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ \\ end (array) $
Obținem următorul sistem de ecuații, care este echivalent cu cel original:
$ \\ begin (cases) x_1 + x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ x_2 \u003d 3 \\\\ x_3 \u003d 1 \\ end (cases) $
Din ecuația superioară exprimăm $ x_1 $:
$ x1 \u003d 1 + x_3 - x_2 \u003d 1 + 1 - 3 \u003d -1 $.
Exemplul 2
Un exemplu de rezolvare a unui sistem definit folosind o matrice 4 pe 4 prin metoda Gaussiană
$ \\ begin (array) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\\\ \\ end (matrice) $.
La început, schimbăm locurile liniilor superioare de cercetare din spatele ei pentru a obține 1 $ în colțul din stânga sus:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\\\ \\ end (matrice) $.
Acum înmulțiți linia superioară cu -2 USD și adăugați la a doua și a treia. La a 4-a adăugăm prima linie înmulțită cu $ -3 $:
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\\\ \\ end (matrice) $
Acum la linia 3 adăugăm linia 2 înmulțită cu $ 4 $, iar la linia 4 adăugăm linia 2 înmulțită cu $ -1 $.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\\\ \\ end (matrice) $
Înmulțim rândul 2 cu $ -1 $ și împărțim rândul 4 cu $ 3 $ și înlocuim rândul 3.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 și 10 \\\\ \\ end (matrice) $
Acum adăugați la ultima linie penultima înmulțită cu -5 $ $.
$ \\ begin (array) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 și 0 \\\\ \\ end (matrice) $
Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:
$ \\ begin (cases) m \u003d 0 \\\\ g \u003d 2 \\\\ y + m \u003d 2 \\ \\ x + 3y + 2g + m \u003d 11 \\ end (cases) $
Să se dea un sistem, ∆ ≠ 0. (unu)Metoda Gauss Este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor.
Esența metodei Gauss constă în transformarea (1) într-un sistem cu o matrice triunghiulară, din care valorile tuturor necunoscutelor sunt apoi obținute secvențial (invers). Să luăm în considerare una dintre schemele de calcul. Această schemă se numește schemă de divizare unică. Deci, să ne uităm la acest circuit. Fie un 11 ≠ 0 (pivot) să împartă prima ecuație la un 11. Primim
(2)
Folosind ecuația (2), este ușor să excludeți necunoscutele x 1 din restul ecuațiilor sistemului (pentru aceasta, este suficient să se scadă ecuația (2) din fiecare ecuație, înmulțită anterior cu coeficientul corespunzător la x 1) , adică la primul pas, obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al rândurilor următoare, începând de la al doilea, este egal cu diferența dintre elementul original și produsul „proiecției” sale pe prima coloană și primul rând (transformat).
După aceea, lăsând singură prima ecuație, peste restul ecuațiilor sistemului obținut în primul pas, efectuăm o transformare similară: alegeți din numărul lor o ecuație cu un element pivot și excludeți-o din ecuațiile rămase x 2 ( pasul 2).
După n pași, în loc de (1), obținem un sistem echivalent 
(3)
Astfel, în prima etapă, obținem un sistem triunghiular (3). Această etapă se numește cursă înainte.
La a doua etapă (mișcare inversă) găsim succesiv din (3) valorile x n, x n -1, ..., x 1.
Soluția rezultată este denumită x 0. Atunci diferența ε \u003d b-A x 0 numit rezidual.
Dacă ε \u003d 0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.
Calculele Gauss se efectuează în două etape:
- Prima etapă se numește flux direct al metodei. În prima etapă, sistemul original este convertit într-o formă triunghiulară.
- A doua etapă se numește invers. În a doua etapă, se rezolvă un sistem triunghiular care este echivalent cu cel original.
La fiecare pas, s-a presupus că pivotul este diferit de zero. Dacă acest lucru nu este cazul, atunci orice alt element poate fi folosit ca element de conducere, ca și cum ar fi rearanjat ecuațiile sistemului.
Scopul metodei Gaussiene
Metoda lui Gauss este concepută pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Se referă la metode directe de rezolvare.Tipuri ale metodei Gauss
- Metoda clasică Gauss;
- Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei Gauss este circuitul cu alegerea elementului principal. O caracteristică specifică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de permutare a ecuațiilor, astfel încât la pasul k elementul principal este cel mai mare element din coloana k în modul.
- Metoda Jordano-Gauss;
Să ilustrăm diferența metoda Jordano-Gauss din metoda Gauss prin exemple.
Un exemplu de soluție gaussiană
Să rezolvăm sistemul: 
Pentru comoditatea calculelor, să schimbăm liniile: 
Înmulțiți al doilea rând cu (2). Adăugați a 3-a linie la a 2-a 
Înmulțiți al doilea rând cu (-1). Adăugați a doua linie la prima 
Din prima linie, exprimăm x 3:
Din a doua linie, exprimăm x 2:
Din a treia linie, exprimăm x 1: 
Un exemplu de soluție prin metoda Jordano-Gauss
Vom rezolva același SLAE prin metoda Jordano-Gauss. 
Vom alege secvențial elementul de rezolvare al RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de rezolvare este (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - element de rezolvare (1), A și B - elemente matrice formând un dreptunghi cu elemente STE și RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elementul permisiv este (3).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1 și scriem zerouri în coloana însăși.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele din coloana B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de rezolvare al RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elementul de rezolvare este (-4).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1 și scriem zerouri în coloana însăși.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele din coloana B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de rezolvare al RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Răspuns: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1
Implementarea metodei Gaussiene
Metoda Gauss este implementată în multe limbaje de programare, în special: Pascal, C ++, php, Delphi și există, de asemenea, o implementare online a metodei Gauss.Folosind metoda Gaussiană
Aplicarea metodei Gauss în teoria jocurilor
În teoria jocurilor, la găsirea strategiei maxime optime a unui jucător, se întocmește un sistem de ecuații, care este rezolvat prin metoda Gauss.Aplicarea metodei Gauss la rezolvarea ecuațiilor diferențiale
Pentru a căuta o soluție specială la o ecuație diferențială, găsiți mai întâi derivatele gradului corespunzător pentru soluția specială scrisă (y \u003d f (A, B, C, D)), care sunt substituite în ecuația originală. Alături de găsit variabilele A, B, C, D se întocmește un sistem de ecuații, care este rezolvat prin metoda Gauss.Aplicarea metodei Jordan-Gauss în programarea liniară
ÎN programare liniară, în special, în metoda simplex, pentru a transforma tabelul simplex la fiecare iterație, se utilizează regula dreptunghiului, care utilizează metoda Jordan-Gauss.1. Sistem de ecuații algebrice liniare
1.1 Conceptul unui sistem de ecuații algebrice liniare
Un sistem de ecuații este o condiție care constă în executarea simultană a mai multor ecuații în mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (în continuare - SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute este un sistem de forma:
unde numerele a ij se numesc coeficienții sistemului, numerele b i sunt termeni liberi, a ij și b i (i \u003d 1, ..., m; b \u003d 1, ..., n) sunt câteva numere cunoscute și x 1, ..., x n - necunoscut. În desemnarea coeficienților a ij primul indiciu i denotă numărul ecuației, iar al doilea j - numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Pentru a găsi numărul x n. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă matricială compactă: AX \u003d B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matricea principală;
Este un vector coloană de necunoscute xj. Este un vector coloană de termeni liberi bi.
Produsul matricelor A * X este definit, deoarece există atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).
Matricea extinsă a sistemului este matricea A a sistemului, completată de coloana de termeni liberi
1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare
O soluție la un sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), atunci când este substituit în locul variabilelor, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o adevărată egalitate.
Soluția sistemului se numește n valori ale necunoscutelor х1 \u003d c1, x2 \u003d c2, ..., xn \u003d cn, la înlocuirea căreia toate ecuațiile sistemului se transformă în adevărate egalități. Orice soluție la sistem poate fi scrisă sub forma unei matrice de coloane
Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și incompatibil dacă nu are nicio soluție.
Se spune că un sistem comun este clar dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale este numită o soluție specială a sistemului. Colecția tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.
A rezolva un sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau nu. Dacă sistemul este compatibil, găsiți soluția sa generală.
Două sisteme se numesc echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție pentru una dintre ele este o soluție pentru cealaltă și invers.
O transformare, a cărei aplicare transformă un sistem într-un nou sistem echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente sunt următoarele transformări: permutarea a două ecuații ale sistemului, permutarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, multiplicarea ambelor părți ale oricărei ecuații a sistemului cu un număr diferit de zero.
Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:
Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, deoarece x1 \u003d x2 \u003d x3 \u003d ... \u003d xn \u003d 0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește nulă sau banală.
2. Metoda de eliminare gaussiană
2.1 Esența metodei de eliminare gaussiană
Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării succesive a necunoscutelor - metoda Gauss (numită și metoda de eliminare gaussiană). Aceasta este o metodă de eliminare succesivă a variabilelor, atunci când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuații este redus la un sistem echivalent de formă treptată (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile sunt găsite secvențial, începând cu ultima (de număr) variabile.
Procesul soluției Gaussian constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.
1. Curs direct.
În prima etapă, așa-numita mișcare directă se realizează, când, prin intermediul transformărilor elementare peste linii, sistemul este adus la o formă treptată sau triunghiulară sau se stabilește că sistemul este incompatibil. Și anume, printre elementele primei coloane a matricei, selectați una diferită de zero, mutați-o în poziția cea mai înaltă permutând rândurile și scădeți primul rând obținut după permutare din rândurile rămase, înmulțindu-l cu o valoare egală cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.
După efectuarea transformărilor indicate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când există o matrice de dimensiuni zero. Dacă la unele dintre iterațiile dintre elementele primei coloane nu se găsește un zero, atunci mergeți la coloana următoare și efectuați o operație similară.
În prima etapă (deplasare directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special triunghiulară).
Sistemul de mai jos este pas cu pas:
,
Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (conducătoare) ale sistemului.
(dacă a11 \u003d 0, rearanjăm rândurile matricei astfel încât a 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul său este zero, iar sistemul este inconsistent).Transformăm sistemul eliminând necunoscutul x1 în toate ecuațiile, cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu
și adăugați-l termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau vom scădea prima ecuație din a doua ecuație, înmulțită cu). Apoi, înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adăugăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia scădem prima înmulțită cu). Astfel, înmulțim secvențial primul rând cu un număr și adăugăm la eu a treia linie, pt i \u003d 2, 3, …, n.Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:
- noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele ecuații m-1 ale sistemului, care sunt determinate de formule: Astfel, la primul pas, toți coeficienții sub primul element pivot a 11
0, la al doilea pas, elementele care se află sub al doilea element pivot a 22 (1) (dacă un 22 (1) 0) sunt distruse etc. Continuând acest proces în continuare, în cele din urmă, la etapa (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică egalități de formă 0 \u003d 0, sunt eliminate. Dacă apare o ecuație a formei
atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului. Aici se termină cursul direct al metodei Gauss.
2. Reverse.
În cea de-a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de cele non-bazice și de a construi un sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază, apoi exprimă în formă numerică singura soluție a sistemului de ecuații liniare.
Această procedură începe cu ultima ecuație, din care este exprimată variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și înlocuită în ecuațiile anterioare, și așa mai departe, urcând „treptele”.
Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, prin urmare, la fiecare pas, cu excepția ultimei (de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.
Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației cu a11).
2.2 Exemple de rezolvare a SLAE prin metoda Gauss
În această secțiune, folosind trei exemple diferite, vom arăta cum SLAE poate fi rezolvat folosind metoda Gaussiană.
Exemplul 1. Rezolvați SLAE de ordinul 3.
Să zero zero coeficienții la
în a doua și a treia linie. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și respectiv 1 și adăugați-le la prima linie: