Jak funguje Gaussova metoda. Příklad nedefinovaného systému

Nadále zvažujeme systémy lineární rovnice... Tato lekce je třetí na toto téma. Pokud máte nejasnou představu o tom, co je systém lineárních rovnic obecně, cítíte se jako čajová konvice, pak doporučuji začít od základů na stránce Dále je užitečné studovat lekci.

Gaussova metoda je snadná! Proč? Slavný německý matematik Johann Karl Friedrich Gauss byl za svého života uznáván jako největší matematik všech dob, geniální a dokonce přezdívka „král matematiky“. A všechno důmyslné, jak víte, je jednoduché!Mimochodem, za peníze dostávají nejen přísavky, ale i géniové - Gaussův portrét byl na bankovce 10 německých marek (před zavedením eura) a Gauss se stále záhadně usmívá na Němce z běžných poštovních známek.

Gaussova metoda je jednoduchá v tom, že znalosti pětiletého studenta JE DOSTATEČNÉ, aby je zvládl. Musíte být schopni přidat a množit!Není náhodou, že učitelé často uvažují o metodě postupné eliminace neznámých ve volbách matematiky školy. Paradoxně je Gaussova metoda pro studenty nejobtížnější. Není divu - celý bod je v metodologii a pokusím se vám v přístupné formě povědět o algoritmu metody.

Nejprve si trochu systematizujeme znalosti o soustavách lineárních rovnic. Systém lineárních rovnic může:

1) Mějte jedinečné řešení. 2) Máte nekonečně mnoho řešení. 3) Nemáte žádná řešení (buďte nekonzistentní).

Gaussova metoda je nejmocnějším a nejvšestrannějším nástrojem pro hledání řešení žádný soustavy lineárních rovnic. Jak si pamatujeme cramerovo pravidlo a maticová metoda nevhodné v případech, kdy má systém nekonečně mnoho řešení nebo je nekompatibilní. A metoda postupné eliminace neznámých tak jako taknás dovede k odpovědi! V této lekci se budeme znovu zabývat Gaussovou metodou pro případ č. 1 (jediné řešení systému), článek je vyhrazen pro situaci bodů č. 2-3. Všimněte si, že samotný algoritmus metody funguje ve všech třech případech stejně.

Zpět k nejjednodušší systém z lekce Jak řešit soustavu lineárních rovnic? a vyřešit to Gaussovou metodou.

V první fázi musíte psát rozšířená systémová matice:. Na jakém principu jsou koeficienty napsány, myslím, že každý vidí. Svislá čára uvnitř matice nenese žádný matematický význam - je to jen podtržení pro snadný design.

odkaz : doporučuji pamatovat podmínky lineární algebra. Systémová matice Je matice složená pouze z koeficientů s neznámými, v tomto příkladu je matice systému: . Rozšířená systémová matice - toto je stejná matice systému plus sloupec volných členů, v tomto případě: ... Libovolnou z matic lze z důvodu stručnosti nazvat jednoduše maticí.

Po zapsání rozšířené matice systému je nutné s ní provést některé akce, které se také nazývají elementární transformace.

Existují následující základní transformace:

1) Struny matice umět přeskupit místa. Například v uvažované matici můžete bezbolestně přeskupit první a druhý řádek:

2) Pokud matice obsahuje (nebo se objeví) proporcionální (jako speciální případ - stejné) řádky, pak to následuje vymazat z matice všechny tyto řádky kromě jednoho. Zvažte například matici ... V této matici jsou poslední tři řádky proporcionální, takže stačí ponechat pouze jeden z nich: .

3) Pokud se v matici během transformací objevil nulový řádek, pak to také následuje vymazat... Nebudu samozřejmě kreslit, nulová čára je čára, ve které jedna nula.

4) Řádek matice může být znásobit (rozdělit) libovolným číslem, nenulové... Zvažte například matici. Zde je vhodné vydělit první řádek –3 a druhý řádek vynásobit 2: ... Tato akce je velmi užitečná, protože zjednodušuje další maticové transformace.

5) Tato transformace je nejtěžší, ale ve skutečnosti také není nic komplikovaného. Na řádek matice můžete přidat další řetězec vynásobený číslemnenulové. Zvažte naši matici z praktického příkladu: Nejprve podrobně popíšu převod. Vynásobte první řádek číslem –2: , a do druhého řádku přidejte první řádek vynásobený –2: ... Nyní lze první řádek rozdělit „zpět“ o –2 :. Jak vidíte, řádek, který PŘIDÁ ZÁVĚTŘÍ – nezměnilo se. Je vždy změní řádek, NA KTERÝ PŘÍDAVEK UT.

V praxi samozřejmě nepopisují tak podrobně, ale píší kratší: Ještě jednou: do druhého řádku přidán první řádek vynásobený –2... Řetězec je obvykle vynásoben orálně nebo na konceptu, zatímco mentální průběh výpočtů je asi takový:

"Přepíšu matici a přepíšu první řádek:" »

"První sloupec jako první." Ve spodní části musím dostat nulu. Proto vynásobím jednotku nahoře –2: a přidám první do druhého řádku: 2 + (–2) \u003d 0. Výsledek zapíšu do druhého řádku: »

"Nyní k druhému sloupci." Nahoře –1 vynásobeno –2 :. První přidám do druhého řádku: 1 + 2 \u003d 3. Výsledek zapíšu do druhého řádku: »

"A třetí sloupec." Výše –5 vynásobeno –2 :. První přidám do druhého řádku: –7 + 10 \u003d 3. Výsledek zapíšu do druhého řádku: »

Pečlivě prosím pochopte tento příklad a pochopte sekvenční algoritmus výpočtů, pokud tomu rozumíte, pak je Gaussova metoda prakticky ve vaší kapse. Ale samozřejmě budeme na této transformaci pracovat.

Elementární transformace nemění řešení soustavy rovnic

! POZORNOST: uvažované manipulace nelze použít, pokud vám bude nabídnut úkol, kde jsou matice zadávány „samy od sebe“. Například s „klasickým“ akce s maticemi V žádném případě byste neměli něco uspořádat uvnitř matic! Vraťme se k našemu systému. Je prakticky rozebrána na kousky.

Zapíšeme rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji zmenšíme na stupňovitý pohled:

(1) První řádek vynásobený –2 byl přidán do druhého řádku. A znovu: proč je první řádek vynásoben přesně –2? Abychom dostali nulu dole, což znamená zbavit se jedné proměnné ve druhém řádku.

(2) Vydělte druhou řadu o 3.

Cíl elementárních transformací – přenést matici do stupňovitého tvaru: ... Při navrhování úkolu je „žebřík“ označen jednoduchou tužkou a čísla, která jsou umístěna na „schodech“, jsou zakroužkována. Samotný termín „krokový typ“ není zcela teoretický, ve vědecké a vzdělávací literatuře se často nazývá lichoběžníkový pohled nebo trojúhelníkový pohled.

V důsledku elementárních transformací jsme získali ekvivalent původní soustava rovnic:

Nyní je třeba systém „odkrutit“ opačným směrem - tento proces se nazývá zdola nahoru zpětně Gaussova metoda.

Ve spodní rovnici již máme hotový výsledek :.

Zvažte první rovnici systému a dosaďte v ní již známou hodnotu „hry“:

Uvažujme o nejběžnější situaci, kdy Gaussova metoda vyžaduje řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými.

Příklad 1

Vyřešte soustavu rovnic Gaussovou metodou:

Zapíšeme si rozšířenou matici systému:

Nyní okamžitě nakreslím výsledek, ke kterému dospějeme v průběhu řešení: Naším cílem je opět přivést matici do stupňovité formy pomocí elementárních transformací. Kde začít akci?

Nejprve se podíváme na levé horní číslo: Mělo by tu být téměř vždy jednotka... Obecně řečeno, –1 bude v pořádku (a někdy i jiná čísla), ale nějak se to stalo tak tradičně, že se tam obvykle umisťuje jednotka. Jak organizovat jednotku? Podíváme se na první sloupec - máme hotovou jednotku! První transformace: vyměňte první a třetí řádek:

Nyní první řádek zůstane nezměněn až do konce řešení.... Nyní v pořádku.

Jednotka vlevo nahoře je uspořádána. Nyní musíte získat nuly na těchto místech:

Nuly dostaneme jen pomocí „obtížné“ transformace. Nejprve se budeme zabývat druhým řádkem (2, –1, 3, 13). Co je třeba udělat, abyste na první pozici dostali nulu? Potřebovat do druhého řádku přidejte první řádek vynásobený –2... Psychicky nebo na konceptu vynásobte první řádek číslem –2: (–2, –4, 2, –18). A důsledně provádíme (opět mentálně nebo na konceptu) doplnění, do druhého řádku přidejte první řádek, již vynásobený –2:

Výsledek zapíšeme do druhého řádku:

Třetí řádek řešíme stejným způsobem (3, 2, –5, –1). Abyste dostali nulu na první pozici, potřebujete do třetího řádku přidejte první řádek vynásobený –3... Psychicky nebo jako koncept vynásobte první řádek číslem –3: (–3, –6, 3, –27). A do třetího řádku přidejte první řádek vynásobený –3:

Výsledek zapíšeme do třetího řádku:

V praxi se tyto akce obvykle provádějí orálně a zaznamenávají se v jednom kroku:

Nemusíte počítat vše najednou a současně... Pořadí výpočtů a „psaní“ výsledků konzistentní a obvykle takto: nejprve přepíšeme první řádek a nafoukneme se na lstivý - SEKVENČNÍ a POZORNĚ:
A mentální průběh samotných výpočtů jsem již probral výše.

V tomto příkladu je to snadné, druhý řádek je vydělen –5 (protože všechna čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku). Současně rozdělíme třetí řádek na –2, protože čím menší čísla, tím jednodušší řešení:

V závěrečné fázi elementárních transformací zde musíte získat další nulu:

Pro tohle do třetího řádku přidejte druhý řádek vynásobený –2:
Zkuste tuto akci analyzovat sami - mentálně vynásobte druhý řádek číslem –2 a přidejte.

Poslední provedenou akcí je účes výsledku, vydělte třetí řádek o 3.

V důsledku elementárních transformací byl získán ekvivalentní počáteční systém lineárních rovnic: Chladný.

Nyní přichází do hry rub Gaussovské metody. Rovnice se „odvíjejí“ zdola nahoru.

Ve třetí rovnici již máme hotový výsledek:

Podíváme se na druhou rovnici :. Význam "z" je již znám, tedy:

A konečně první rovnice :. „Ygrek“ a „z“ jsou známa, záležitost je malá:

Odpovědět:

Jak již bylo mnohokrát uvedeno, pro každý systém rovnic je možné a nutné zkontrolovat nalezené řešení, naštěstí je to snadné a rychlé.

Příklad 2

Toto je ukázka pro kutily, dokončovací ukázka a odpověď na konci tutoriálu.

Je třeba poznamenat, že vaše rozhodovací kurz se nemusí shodovat s mým postupem rozhodování, a to je vlastnost Gaussovy metody... Odpovědi však musí být stejné!

Příklad 3

Řešte soustavu lineárních rovnic Gaussovou metodou

Podíváme se na levý horní „krok“. Měli bychom tam mít jednotku. Problém je v tom, že v prvním sloupci nejsou vůbec žádné, takže přeskupením řádků se nic nevyřeší. V takových případech musí být jednotka organizována pomocí elementární transformace. To lze obvykle provést několika způsoby. Udělal jsem to: (1) Do prvního řádku přidejte druhý řádek vynásobený -1... To znamená, že jsme mentálně vynásobili druhý řádek o –1 a přidali první a druhý řádek, zatímco druhý řádek se nezměnil.

Nyní vlevo nahoře „mínus jedna“, což nám dokonale vyhovuje. Každý, kdo chce získat +1, může provést další pohyb těla: vynásobte první řádek číslem –1 (změňte jeho znaménko).

(2) Do druhého řádku byl přidán první řádek vynásobený 5. První řádek vynásobený 3 byl přidán do třetího řádku.

(3) První řádek byl vynásoben -1, v zásadě je to pro krásu. Také jsme změnili znaménko třetího řádku a přesunuli jej na druhé místo, takže ve druhém „kroku máme požadovanou jednotku.

(4) Druhá řada, vynásobená 2, byla přidána do třetí řady.

(5) Třetí řádek byl rozdělen 3.

Špatným znamením, které označuje chybu ve výpočtech (méně často - překlep), je spodní řádek „špatný“. To znamená, že pokud na dně máme něco jako, a podle toho , pak lze s vysokou mírou pravděpodobnosti tvrdit, že došlo k chybě v průběhu elementárních transformací.

Účtujeme zpětný zdvih, při návrhu příkladů samotný systém často není přepsán a rovnice „jsou převzaty přímo z dané matice“. Zpětný pohyb, připomínám vám, funguje zdola nahoru. Ano, tady se ukázal dar:

Odpovědět: .

Příklad 4

Řešte soustavu lineárních rovnic Gaussovou metodou

Toto je příklad nezávislého řešení, je poněkud komplikovanější. Je v pořádku, pokud někdo dostane zmatek. Kompletní řešení a návrh vzorku na konci tohoto kurzu. Vaše řešení se může lišit od mého řešení.

V poslední části se budeme zabývat některými funkcemi Gaussova algoritmu. Prvním rysem je, že někdy v rovnicích systému chybí některé proměnné, například: Jak správně napsat matici rozšířeného systému? O této chvíli jsem už mluvil v lekci. Cramerovo pravidlo. Maticová metoda... V rozšířené matici systému jsme místo chybějících proměnných umístili nuly: Mimochodem, to je hezké snadný příklad, protože první sloupec již obsahuje jednu nulu a je třeba provést méně elementárních transformací.

Druhá funkce je následující. Ve všech uvažovaných příkladech jsme na „kroky“ umístili buď –1 nebo +1. Mohla by tam být jiná čísla? V některých případech mohou. Zvažte systém: .

Tady v levém horním „kroku“ máme dvojku. Všimli jsme si však, že všechna čísla v prvním sloupci jsou dělitelná 2 beze zbytku - a další dvě a šest. A dvojka vlevo nahoře nám bude vyhovovat! V prvním kroku musíte provést následující transformace: přidat první řádek vynásobený –1 do druhého řádku; do třetího řádku přidejte první řádek vynásobený –3. To nám dá požadované nuly v prvním sloupci.

Nebo jiný podmíněný příklad: ... Tady nám také vyhovuje trojka na druhém „kroku“, protože 12 (místo, kde potřebujeme získat nulu) je dělitelné 3 beze zbytku. Je nutné provést následující transformaci: do třetí řady přidáme druhou řadu vynásobenou –4, v důsledku čehož získáme nulu, kterou potřebujeme.

Gaussova metoda je univerzální, ale má jednu zvláštnost. Můžete se s jistotou naučit řešit systémy jinými metodami (Cramerova metoda, maticová metoda) doslova poprvé - existuje velmi rigidní algoritmus. Ale abyste si byli jisti Gaussovou metodou, měli byste „naplnit ruku“ a vyřešit alespoň 5–10 deseti systémů. Proto jsou zpočátku možné nejasnosti, chyby ve výpočtech a v tom není nic neobvyklého nebo tragického.

Deštivé podzimní počasí za oknem .... Pro každého tedy komplexnější příklad nezávislého řešení:

Příklad 5

Vyřešte soustavu 4 lineárních rovnic se čtyřmi neznámými Gaussovou metodou.

Takový úkol v praxi není tak vzácný. Myslím, že i čajník, který si tuto stránku důkladně prostudoval, je algoritmus řešení takového systému intuitivně jasný. V zásadě je všechno stejné - akcí je jen více.

V lekci se uvažuje o případech, kdy systém nemá žádná řešení (nekonzistentní) nebo má nekonečně mnoho řešení Nekompatibilní systémy a systémy se společným řešením... Zde lze také zafixovat uvažovaný algoritmus Gaussovy metody.

Přeji vám štěstí!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Rozhodnutí : Zapište si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji přiveďte do postupné formy.
Provedené základní transformace: (1) První řádek vynásobený –2 byl přidán do druhého řádku. První řádek vynásobený -1 byl přidán do třetího řádku. Pozornost! Může být lákavé odečíst první od třetího řádku, velmi doporučuji neodčítat - riziko chyby se značně zvyšuje. Stačí přidat! (2) Znaménko druhého řádku bylo změněno (vynásobeno –1). Druhý a třetí řádek byly zaměněny. Poznámka že na „schodech“ jsme spokojeni nejen s jedním, ale také s –1, což je ještě pohodlnější. (3) Druhá řada byla přidána do třetí řady, vynásobená 5. (4) Znaménko druhého řádku bylo změněno (vynásobeno –1). Třetí řádek byl rozdělen o 14.

Zvrátit:

Odpovědět : .

Příklad 4: Rozhodnutí : Zapište si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji přiveďte do postupné formy:

Provedené konverze: (1) Druhý byl přidán do prvního řádku. Požadovaná jednotka je tedy uspořádána v levém horním „kroku“. (2) Do druhého řádku byl přidán první řádek vynásobený 7. První řádek vynásobený 6 byl přidán do třetího řádku.

Druhý krok se zhoršuje „Kandidáti“ jsou čísla 17 a 23 a potřebujeme buď jednu, nebo -1. Transformace (3) a (4) budou zaměřeny na získání požadované jednotky (3) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku vynásobený –1. (4) Třetí řádek byl přidán do druhého řádku vynásobený –3. Potřebná věc ve druhém kroku je přijata . (5) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku vynásobený 6. (6) Druhý řádek byl vynásoben -1, třetí řádek byl rozdělen -83.

Zvrátit:

Odpovědět :

Příklad 5: Rozhodnutí : Zapište si matici systému a pomocí elementárních transformací ji přiveďte do postupné formy:

Provedené konverze: (1) První a druhý řádek jsou obráceny. (2) První řádek vynásobený –2 byl přidán do druhého řádku. První řádek vynásobený –2 byl přidán do třetího řádku. První řádek vynásobený –3 byl přidán do čtvrtého řádku. (3) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku vynásobenému 4. Druhý řádek byl přidán ke čtvrtému řádku vynásobenému –1. (4) Znamení druhého řádku bylo změněno. Čtvrtý řádek byl rozdělen o 3 a umístěn na místo třetího řádku. (5) Třetí řádek vynásobený –5 byl přidán do čtvrtého řádku.

Zvrátit:

Odpovědět :

Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou.Musíme najít řešení systému od n lineární rovnice s n neznámé proměnné
determinant hlavní matice, která je nenulová.

Podstata Gaussovy metody spočívá v postupné eliminaci neznámých proměnných: zaprvé, x 1 ze všech rovnic systému, počínaje druhou, dále vylučujeme x 2všech rovnic, počínaje třetí a tak dále, dokud v poslední rovnici nezůstane jen neznámá proměnná x n... Takový proces transformace rovnic systému pro postupnou eliminaci neznámých proměnných se nazývá přímým průběhem Gaussovy metody... Po dokončení dopředného běhu Gaussovy metody z poslední rovnice zjistíme x n, pomocí této hodnoty z předposlední rovnice se počítá x n-1, a tak dále, z první rovnice, kterou najdeme x 1... Proces výpočtu neznámých proměnných při přechodu z poslední rovnice systému na první se nazývá zpětně Gaussova metoda.

Stručně popíšeme algoritmus pro eliminaci neznámých proměnných.

Budeme to předpokládat, protože toho můžeme vždy dosáhnout přeskupením rovnic systému. Odstraňte neznámou proměnnou x 1 ze všech rovnic systému, počínaje druhou. Abychom to udělali, do druhé rovnice systému přidáme první, vynásobeno, do třetí rovnice přidáme první, vynásobeno, atd. nk rovnici přidáme první, vynásobeno. Systém rovnic po takových transformacích má podobu

kde a .

K vyjádření bychom dospěli ke stejnému výsledku x 1 prostřednictvím dalších neznámých proměnných v první rovnici systému a výsledný výraz byl nahrazen do všech ostatních rovnic. Takže proměnná x 1 vyloučeny ze všech rovnic počínaje druhou.

Dále postupujeme podobným způsobem, ale pouze s částí výsledného systému, která je vyznačena na obrázku

Abychom to udělali, ke třetí rovnici systému přidáme druhou vynásobenou, ke čtvrté rovnici přidáme druhou vynásobenou atd., nk rovnici přidáme druhou, vynásobenou. Systém rovnic po takových transformacích má podobu

kde a ... Takže proměnná x 2 vyloučeny ze všech rovnic počínaje třetí.

Dále pokračujeme v eliminaci neznámého x 3, v tomto případě postupujeme stejným způsobem jako část systému vyznačená na obrázku

Takže pokračujeme v přímém průběhu Gaussovy metody, dokud systém nezíská formu

Od tohoto okamžiku začínáme obrácený průběh Gaussovy metody: vypočítat x n z poslední rovnice pomocí získané hodnoty x n nalézt x n-1 z předposlední rovnice atd. zjistíme x 1 z první rovnice.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních rovnic Gaussovou metodou.

Nechť systém lineární algebraické rovnice, které je třeba vyřešit (najděte takové hodnoty neznámých xi, které každou rovnici systému změní na rovnost).

Víme, že systém lineárních algebraických rovnic může:

1) Nemáte žádná řešení (buďte nekonzistentní).
2) Máte nekonečně mnoho řešení.
3) Mají jedinečné řešení.

Jak si pamatujeme, Cramerovo pravidlo a metoda matice jsou nepoužitelné v případech, kdy má systém nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní. Gaussova metoda – nejvýkonnější a nejuniverzálnější nástroj pro hledání řešení libovolného systému lineárních rovnic, který v každém případěnás dovede k odpovědi! Algoritmus samotné metody funguje ve všech třech případech stejně. Pokud je v metodách Cramer a matrix požadována znalost determinantů, pak je pro aplikaci Gaussovy metody nutná znalost pouze aritmetických operací, která ji zpřístupní i žákům základních škol.

Rozšířené maticové transformace ( toto je matice systému - matice složená pouze z koeficientů neznámých plus sloupec volných výrazů)systémy lineárních algebraických rovnic v Gaussově metodě:

1) z struny matice umět přeskupitmísta.

2) pokud se v matici objevily (nebo jsou) proporcionální (jako zvláštní případ - identické) řádky, pak to následuje vymazat z matice všechny tyto řádky kromě jednoho.

3) pokud se v matici během transformací objevila nulová řada, pak to také následuje vymazat.

4) řádek matice může být znásobit (rozdělit)na jakékoli jiné číslo než nulu.

5) řádek matice může být přidat další řetězec vynásobený číslemnenulové.

V Gaussově metodě elementární transformace nemění řešení soustavy rovnic.

Gaussova metoda se skládá ze dvou fází:

1. „Přímý pohyb“ - pomocí elementárních transformací redukujte rozšířenou matici systému lineárních algebraických rovnic na „trojúhelníkovou“ stupňovitou formu: prvky rozšířené matice umístěné pod hlavní úhlopříčkou se rovnají nule („top- pohyb dolů). Například do tohoto formuláře:

K tomu provedeme následující akce:

1) Předpokládejme, že vezmeme v úvahu první rovnici soustavy lineárních algebraických rovnic a koeficient na x 1 je K. Druhá, třetí atd. rovnice se transformují následovně: každá rovnice (koeficienty pro neznámé, včetně volných výrazů) se vydělí koeficientem pro neznámou x 1, který stojí v každé rovnici, a vynásobí K. Poté odečteme první od druhé rovnice (koeficienty pro neznámé a volné termíny). Ve druhé rovnici dostaneme koeficient 0 pro x 1. Odečtěte první rovnici od třetí transformované rovnice, dokud všechny rovnice, s výjimkou první, pro neznámé x 1 nemají koeficient 0.

2) Přejít na další rovnici. Nechť je to druhá rovnice a koeficient na x 2 se rovná M. U všech „nižších“ rovnic postupujeme výše popsaným způsobem. Tedy „pod“ neznámou x 2 ve všech rovnicích budou nuly.

3) Přejděte na další rovnici a tak dále, dokud nebude poslední neznámý a transformovaný volný člen.

1. „Zpět“ Gaussovy metody - získání řešení systému lineárních algebraických rovnic (pohyb „zdola nahoru“). Z poslední „nižší“ rovnice dostaneme jedno první řešení - neznámé x n. K tomu vyřešíme elementární rovnici A * x n \u003d B. Ve výše uvedeném příkladu x 3 \u003d 4. Nahraďte nalezenou hodnotu do „horní“ následující rovnice a vyřešte ji s ohledem na další neznámou. Například x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. A tak dále, dokud nenajdeme všechny neznámé.

Příklad.

Vyřešme soustavu lineárních rovnic Gaussovou metodou, jak doporučují někteří autoři:

Zapište si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji přiveďte do postupné formy:

Podíváme se na levý horní „krok“. Měli bychom tam mít jednotku. Problém je v tom, že v prvním sloupci nejsou vůbec žádné, takže přeskupením řádků se nic nevyřeší. V takových případech musí být jednotka organizována pomocí elementární transformace. To lze obvykle provést několika způsoby. Pojďme to udělat:
Krok 1 ... Do prvního řádku přidejte druhý řádek vynásobený –1. To znamená, že jsme mentálně vynásobili druhý řádek o –1 a přidali první a druhý řádek, zatímco druhý řádek se nezměnil.

Nyní vlevo nahoře „mínus jedna“, což nám dokonale vyhovuje. Každý, kdo chce získat +1, může provést další akci: vynásobte první řádek číslem –1 (změňte jeho znaménko).

Krok 2 ... Do druhého řádku byl přidán první řádek vynásobený 5. První řádek vynásobený 3 byl přidán do třetího řádku.

Krok 3 ... První řádek byl vynásoben -1, v zásadě je to pro krásu. Také jsme změnili znaménko třetího řádku a přesunuli jej na druhé místo, takže ve druhém „kroku máme požadovanou jednotku.

Krok 4 ... Druhý řádek byl přidán do třetího řádku, vynásobený 2.

Krok 5 ... Třetí řádek byl rozdělen o 3.

Znaménko, které označuje chybu ve výpočtech (méně často - překlep), je „špatný“ spodní řádek. To znamená, že pokud ve spodní části máme něco jako (0 0 11 | 23), a tedy 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, pak s vysokou mírou pravděpodobnosti lze tvrdit, že chyba byla provedené během elementárních transformací.

Provádíme reverzní pohyb, při konstrukci příkladů samotný systém často není přepsán a rovnice „jsou převzaty přímo z dané matice“. Zpětný pohyb, připomínám vám, funguje „zdola nahoru“. V tomto příkladu jsme dostali dárek:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, tedy x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Odpovědět: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vyřešme stejný systém podle navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydělte druhou rovnici 5 a třetí 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhé a třetí rovnice o 4 získáme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Po odečtení první rovnice od druhé a třetí rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydělte třetí rovnici 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte třetí rovnici o 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Po odečtení druhého od třetí rovnice získáme „postupnou“ rozšířenou matici:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Vzhledem k tomu, že chyba nahromaděná během výpočtů, dostaneme x 3 \u003d 0,96 nebo přibližně 1.

x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d –1.

Při tomto řešení nikdy nebudete ve výpočtech zmatení a navzdory chybám ve výpočtu získáte výsledek.

Tato metoda řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je snadno programovatelná a nebere v úvahu specifické rysy koeficientů pro neznámé, protože v praxi (v ekonomických a technických výpočtech) je třeba vypořádat se s nečíselnými koeficienty.

Přeji vám štěstí! Uvidíme se ve třídě! Tutor Dmitrij Aistrakhanov.

s úplným nebo částečným kopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.

V tomto článku je metoda považována za způsob řešení systémů lineárních rovnic (SLAE). Metoda je analytická, to znamená, že umožňuje zapsat algoritmus řešení obecný pohled, a poté tam nahraďte hodnoty z konkrétních příkladů. Na rozdíl od maticové metody nebo Cramerových vzorců můžete při řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou pracovat s těmi, kteří mají nekonečně mnoho řešení. Nebo ho vůbec nemáte.

Co to znamená řešit Gaussovou metodou?

Nejprve musíte napsat náš systém rovnic do Vypadá to takto. Systém je převzat:

Koeficienty jsou psány ve formě tabulky a vpravo v samostatném sloupci volné termíny. Sloupec s volnými členy je pro větší pohodlí oddělen. Matice, která obsahuje tento sloupec, se nazývá rozšířená.

Dále musí být hlavní matice s koeficienty redukována do horního trojúhelníkového tvaru. Toto je hlavní bod řešení systému pomocí Gaussovy metody. Jednoduše řečeno, po určitých manipulacích by měla matice vypadat tak, aby v její levé dolní části byly pouze nuly:

Pak, pokud znovu zapíšete novou matici jako systém rovnic, můžete si všimnout, že poslední řádek již obsahuje hodnotu jednoho z kořenů, který je poté nahrazen do výše uvedené rovnice, je nalezen další kořen atd. .

Toto je nejvíce popis řešení Gaussovou metodou obecný obrys... Co se stane, když systém najednou nemá řešení? Nebo je jich nekonečně mnoho? K zodpovězení těchto a mnoha dalších otázek je nutné zvážit samostatně všechny prvky použité při řešení Gaussovy metody.

Matice, jejich vlastnosti

V matici není žádný skrytý význam. Je to jednoduché pohodlný způsob záznam dat pro následné operace s nimi. Ani školáci se jich nemusí bát.

Matice je vždy obdélníková, protože je to tak pohodlnější. Dokonce i v Gaussově metodě, kde vše sestává z konstrukce trojúhelníkové matice, se v záznamu objeví obdélník, pouze s nulami v místě, kde nejsou žádná čísla. Nuly není třeba psát, ale jsou implicitní.

Matice má velikost. Jeho „šířka“ je počet řádků (m), jeho „délka“ je počet sloupců (n). Pak bude velikost matice A (pro jejich označení se obvykle používají velká latinská písmena) označena jako A m × n. Pokud m \u003d n, pak je tato matice čtvercová a m \u003d n je její řád. Podle toho může být jakýkoli prvek matice A označen číslem jejího řádku a sloupce: a xy; x - číslo řádku, změna, y - číslo sloupce, změna.

B není hlavním bodem rozhodnutí. V zásadě lze všechny operace provádět přímo pomocí rovnic samotných, ale záznam se ukáže jako mnohem těžkopádnější a bude mnohem snazší se v něm zmást.

Rozhodující

Matice má také determinant. To je velmi důležitá vlastnost. Nyní nestojí za to zjistit jeho význam, stačí ukázat, jak se počítá, a poté zjistit, jaké vlastnosti matice definuje. Nejjednodušší způsob, jak najít determinant, jsou úhlopříčky. Imaginární úhlopříčky jsou nakresleny v matici; prvky na každém z nich se znásobí a poté se přidají výsledné produkty: úhlopříčky se sklonem vpravo - se znaménkem plus, se sklonem vlevo - se znaménkem mínus.

Je nesmírně důležité si uvědomit, že determinant lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici. U obdélníkové matice můžete provést následující: zvolit nejmenší počet řádků a počet sloupců (ať je to k), a pak libovolně označit k sloupce k řádky k řádky v matici. Prvky v průsečíku vybraných sloupců a řádků vytvoří novou čtvercovou matici. Pokud je determinant takové matice nenulové číslo, bude se nazývat základní moll původní obdélníkové matice.

Než přistoupíme k řešení soustavy rovnic Gaussovou metodou, nezasahuje to do výpočtu determinantu. Pokud se ukáže, že je nula, pak můžeme okamžitě říci, že matice má buď nekonečný počet řešení, nebo vůbec žádná. V tak smutném případě musíte jít dále a zjistit hodnost matice.

Klasifikace systému

Existuje něco jako hodnost matice. Toto je maximální řád jeho nenulového determinantu (pokud si vzpomeneme na základní moll, můžeme říci, že hodnost matice je řádem základního mollu).

Mimochodem, SLAE lze rozdělit na:

• Kloub. Mít u kompatibilních systémů se hodnost hlavní matice (skládající se pouze z koeficientů) shoduje s hodností rozšířené (se sloupcem volných členů). Takové systémy mají řešení, ale ne nutně jedno, proto se společné systémy dále dělí na:
• - určitý - mít jediné řešení. V určitých systémech jsou hodnost matice a počet neznámých (nebo počet sloupců, které jsou stejné) stejné;
• - nedefinováno - s nekonečným množstvím řešení. Pořadí matic v takových systémech je menší než počet neznámých.
• Nekompatibilní Mít u takových systémů se řady hlavních a rozšířených matic neshodují. Nekompatibilní systémy nemají řešení.

Gaussova metoda je dobrá, protože umožňuje získat buď jednoznačný důkaz nekompatibility systému (bez výpočtu determinantů velkých matic), nebo obecné řešení pro systém s nekonečným počtem řešení.

Elementární transformace

Než přistoupíte přímo k řešení systému, můžete ho učinit méně těžkopádným a pohodlnějším pro výpočty. Toho je dosaženo elementárními transformacemi - tak, že jejich implementace nijak nezmění konečnou odpověď. Je třeba poznamenat, že některé z výše uvedených elementárních transformací jsou platné pouze pro matice, jejichž zdrojem byl právě SLAE. Zde je seznam těchto transformací:

1. Permutace linií. Je zřejmé, že pokud se změní pořadí rovnic v zápisu systému, pak to nijak neovlivní řešení. V důsledku toho můžete v matici tohoto systému také vyměnit řádky, samozřejmě nezapomenout na sloupec volných členů.
2. Násobení všech prvků linky nějakým faktorem. Velmi užitečné! Lze jej použít ke snížení velkého počtu v matici nebo k odstranění nul. Mnoho řešení se jako obvykle nezmění a další operace se stanou pohodlnějšími. Hlavní věc je, že koeficient se nerovná nule.
3. Odstraňte řádky s proporcionálními koeficienty. To částečně vyplývá z předchozího bodu. Pokud dva nebo více řádků v matici mají proporcionální koeficienty, pak se při vynásobení / dělení jednoho z řádků koeficientem proporcionality získají dva (nebo opět více) absolutně identické řádky a ty další můžete odstranit, přičemž ponecháte pouze jeden.
4. Odstranění nulové čáry. Pokud se během transformací řetězec ukázal někde, ve kterém jsou všechny prvky, včetně volného výrazu, nula, pak lze takový řetězec nazvat nula a vyhodit z matice.
5. Přidání k prvkům jedné řady prvků jiného (podle příslušných sloupců), vynásobené určitým koeficientem. Nejjemnější a nejdůležitější transformace ze všech. Stojí za to se jím zabývat podrobněji.

Přidání řádku vynásobeného faktorem

Pro snazší pochopení stojí za to tento proces krok za krokem. Z matice jsou převzaty dva řádky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Předpokládejme, že musíte přidat první k druhé, vynásobené koeficientem "-2".

a "21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a "22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a „2n \u003d a 2n + -2x a 1n

Poté je v matici druhý řádek nahrazen novým a první zůstane nezměněn.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Je třeba poznamenat, že multiplikační faktor lze zvolit takovým způsobem, že v důsledku přidání dvou řádků je jeden z prvků nového řádku roven nule. Proto můžete získat rovnici v systému, kde bude jedna méně neznámá. A pokud získáte dvě takové rovnice, pak lze operaci provést znovu a získat rovnici, která již bude obsahovat o dvě neznámé méně. A pokud pokaždé, když změníte na nulu jeden koeficient pro všechny řádky, které jsou nižší než originál, pak můžete, stejně jako kroky, přejít dolů až na samé dno matice a získat rovnici s jednou neznámou. Tomu se říká řešení systému pomocí Gaussovské metody.

Obecně

Nechť systém existuje. Má m rovnice a n neznámé kořeny. Může být napsán následovně:

Hlavní matice se skládá ze systémových koeficientů. Do rozšířené matice se přidá sloupec volných členů, který je pro větší pohodlí oddělen sloupcem.

• první řádek matice se vynásobí koeficientem k \u003d (-a 21 / a 11);
• první upravený řádek a druhý řádek matice jsou přidány;
• místo druhého řádku se do matice vloží výsledek přidání z předchozího odstavce;
• nyní je první koeficient v nové druhé řadě 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 \u003d -a 21 + a 21 \u003d 0.

Nyní se provádí stejná řada transformací, jedná se pouze o první a třetí řádek. V souladu s tím je v každém kroku algoritmu prvek a 21 nahrazen 31. Pak se vše opakuje pro 41, ... a m1. Výsledkem je matice, kde se první prvek v řádcích rovná nule. Nyní musíme zapomenout na řádek číslo jedna a provést stejný algoritmus, počínaje druhým řádkem:

• koeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• druhý upravený řádek je přidán do řádku „aktuální“;
• výsledek sčítání je nahrazen do třetího, čtvrtého atd. řádků, zatímco první a druhý zůstávají nezměněny;
• v řádcích matice jsou první dva prvky již rovny nule.

Algoritmus se musí opakovat, dokud se neobjeví koeficient k \u003d (-a m, m-1 / a mm). To znamená, že naposledy byl algoritmus proveden pouze pro nižší rovnici. Matice nyní vypadá jako trojúhelník nebo má stupňovitý tvar. Dolní řádek obsahuje rovnost a mn × x n \u003d b m. Koeficient a průsečík jsou známy a kořen je vyjádřen prostřednictvím nich: x n \u003d b m / a mn. Výsledný kořen je dosazen do horního řádku a nalezen x n-1 \u003d (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. A podobně: analogicky: v každém dalším řádku je nový kořen, a když se dostanete na „vrchol“ systému, najdete mnoho řešení. Bude to jediný.

Když neexistují žádná řešení

Pokud se v jednom z řádků matice všechny prvky kromě volného členu rovnají nule, pak rovnice odpovídající tomuto řádku vypadá jako 0 \u003d b. Nemá žádné řešení. A protože taková rovnice je uzavřena v systému, je sada řešení celého systému prázdná, to znamená, že je zdegenerovaná.

Když jsou řešení nekonečná

Může se ukázat, že v redukované trojúhelníkové matici nejsou řádky s jedním koeficientem prvku rovnice a jedním volným členem. Existují pouze takové řádky, které by po přepsání měly podobu rovnice se dvěma nebo více proměnnými. To znamená, že systém má nekonečné množství řešení. V takovém případě lze odpovědět ve formě obecného řešení. Jak to udělat?

Všechny proměnné v matici jsou rozděleny na základní a volné. Základní jsou ty, které jsou „na okraji“ řádků v stupňovité matici. Zbytek je zdarma. V obecném řešení se základní proměnné zapisují prostřednictvím bezplatných.

Pro usnadnění je matice nejprve přepsána zpět do systému rovnic. Pak v poslední z nich, kde zůstane přesně jen jedna základní proměnná, zůstane na jedné straně a vše ostatní se přenese na druhou. To se provádí pro každou rovnici s jednou základní proměnnou. Poté, kde je to možné, je výraz získaný pro něj dosazen do zbytku rovnic, pokud je to možné, namísto základní proměnné. Pokud se výsledek znovu objeví výraz obsahující pouze jednu základní proměnnou, je znovu vyjádřen odtamtud atd., Dokud nebude každá základní proměnná zapsána jako výraz s volnými proměnnými. Toto je obecné řešení SLAE.

Můžete také najít základní řešení systému - dát libovolným hodnotám libovolným proměnným a poté v tomto konkrétním případě vypočítat hodnoty základních proměnných. Soukromých řešení je nekonečně mnoho.

Řešení založené na konkrétních příkladech

Zde je systém rovnic.

Pro pohodlí je lepší okamžitě sestavit jeho matici

Je známo, že při řešení Gaussovou metodou zůstane rovnice odpovídající prvnímu řádku na konci transformací beze změny. Proto bude ziskovější, pokud je levý horní prvek matice nejmenší - pak první prvky zbývajících řádků po operacích zmizí. To znamená, že v kompilované matici bude výhodné nahradit první řádek druhým.

druhý řádek: k \u003d (-a 21 / a 11) \u003d (-3/1) \u003d -3

a "21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a "22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a "23 \u003d a 23 + k × a 13 \u003d 1 + (-3) × 4 \u003d -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

třetí řádek: k \u003d (-a 3 1 / a 11) \u003d (-5/1) \u003d -5

a "3 1 \u003d a 3 1 + k × a 11 \u003d 5 + (-5) × 1 \u003d 0

a "3 2 \u003d a 3 2 + k × a 12 \u003d 1 + (-5) × 2 \u003d -9

a "3 3 \u003d a 33 + k × a 13 \u003d 2 + (-5) × 4 \u003d -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Nyní, aby nedošlo k záměně, je nutné napsat matici s průběžnými výsledky transformací.

Je zřejmé, že taková matice může být díky některým operacím čitelnější. Můžete například odstranit všechny „minusy“ z druhého řádku vynásobením každého prvku číslem „-1“.

Je také třeba poznamenat, že ve třetím řádku jsou všechny prvky násobky tří. Poté můžete řetězec zkrátit o toto číslo, vynásobením každého prvku číslem „-1/3“ (minus - současně k odstranění záporných hodnot).

Vypadá to mnohem hezčí. Nyní musíme první řádek nechat na pokoji a pracovat s druhým a třetím. Úkolem je přidat do třetí řady druhý, vynásobený takovým koeficientem, aby se prvek a 32 stal roven nule.

k \u003d (-a 32 / a 22) \u003d (-3/7) \u003d -3/7 zlomků a až poté, když obdržíte odpovědi, rozhodněte, zda stojí za zaokrouhlování a překlad do jiné formy zápisu)

a "32 \u003d a 32 + k × a 22 \u003d 3 + (-3/7) × 7 \u003d 3 + (-3) \u003d 0

a "33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matice se zapíše znovu s novými hodnotami.

Jak vidíte, výsledná matice již má stupňovitý tvar. Proto nejsou nutné další transformace systému Gaussovou metodou. Zde můžete odstranit celkový koeficient „-1/7“ ze třetí řady.

Nyní je všechno krásné. Záležitost je malá - znovu napsat matici ve formě systému rovnic a vypočítat kořeny

x + 2y + 4z \u003d 12 (1)

7y + 11z \u003d 24 (2)

Algoritmus, podle kterého budou nyní nalezeny kořeny, se v Gaussově metodě nazývá zpětný pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:

y \u003d (24 - 11 × (61/9)) / 7 \u003d -65/9

A první rovnice vám umožní najít x:

x \u003d (12 - 4z - 2r) / 1 \u003d 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) \u003d -6/9 \u003d -2/3

Máme právo nazvat takový systém společným, a dokonce definitivním, tedy s jedinečným řešením. Odpověď je napsána v následující podobě:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Příklad nedefinovaného systému

Byla analyzována varianta řešení určitého systému Gaussovou metodou, nyní je nutné zvážit případ, kdy je systém nejistý, to znamená, že pro něj lze najít nekonečně mnoho řešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 \u003d 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 \u003d -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 \u003d 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 \u003d 12 (4)

Samotná forma systému je již alarmující, protože počet neznámých n \u003d 5 a pořadí matice systému je již přesně menší než toto číslo, protože počet řádků je m \u003d 4, tj. největší řád determinant-square je 4. Proto existuje nekonečně mnoho řešení a je třeba hledat jeho obecný vzhled. To vám umožňuje Gaussova metoda pro lineární rovnice.

Nejprve se jako obvykle sestaví rozšířená matice.

Druhý řádek: koeficient k \u003d (-a 21 / a 11) \u003d -3. Ve třetím řádku je první prvek ještě před transformacemi, takže se nemusíte ničeho dotýkat, musíte to nechat tak, jak to je. Čtvrtý řádek: k \u003d (-a 4 1 / a 11) \u003d -5

Vynásobením prvků prvního řádku každým z jejich koeficientů a jejich přidáním s požadovanými řádky získáme matici v následujícím tvaru:

Jak vidíte, druhý, třetí a čtvrtý řádek se skládají z prvků navzájem úměrných. Druhý a čtvrtý jsou obecně stejné, takže jeden z nich může být okamžitě odstraněn a zbývající může být vynásoben koeficientem "-1" a získat řádek číslo 3. A znovu nechte jeden ze dvou stejných řádků.

Výsledkem je taková matice. Systém ještě nebyl napsán, je třeba zde určit základní proměnné - stojící s koeficienty a 11 \u003d 1 a 22 \u003d 1, a zdarma - vše ostatní.

Ve druhé rovnici existuje pouze jedna základní proměnná - x 2. Odtud jej tedy lze vyjádřit zápisem pomocí proměnných x 3, x 4, x 5, které jsou volné.

Nahraďte výsledný výraz do první rovnice.

Výsledkem je rovnice, ve které je jedinou bazickou proměnnou x 1. Udělejme to stejné jako u x 2.

Všechny základní proměnné, z nichž jsou dvě, jsou vyjádřeny jako tři volné, nyní můžete napsat odpověď v obecné podobě.

Můžete také určit jedno z konkrétních řešení systému. V takových případech se zpravidla jako hodnoty volných proměnných volí nuly. Pak by odpověď byla:

16, 23, 0, 0, 0.

Příklad nekonzistentního systému

Řešení nekonzistentních soustav rovnic Gaussovou metodou je nejrychlejší. Končí, jakmile v jedné z fází získáme rovnici, která nemá řešení. To znamená, že fáze s výpočtem kořenů, která je poměrně dlouhá a ponurá, zmizí. Uvažuje se o následujícím systému:

x + y - z \u003d 0 (1)

2x - y - z \u003d -2 (2)

4x + y - 3z \u003d 5 (3)

Jako obvykle je sestavena matice:

A redukuje se na stupňovitý pohled:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

Po první transformaci obsahuje třetí řádek rovnici formuláře

nemá řešení. Proto je systém nekonzistentní a odpovědí je prázdná množina.

Výhody a nevýhody metody

Pokud se rozhodnete, který způsob řešení SLAE na papíře pomocí pera, pak způsob popsaný v tomto článku vypadá nejatraktivněji. Zmatit elementární transformace je mnohem obtížnější, než když musíte ručně hledat determinant nebo nějakou chytrou inverzní matici. Pokud však pro práci s daty tohoto typu používáte programy, například tabulky, ukazuje se, že takové programy již mají algoritmy pro výpočet hlavních parametrů matic - determinant, nezletilé, inverzní atd. A pokud jste si jisti, že stroj tyto hodnoty vypočítá sám a nebude se mýlit, je účelnější použít metodu matice nebo Cramerovy vzorce, protože jejich aplikace začíná a končí výpočtem determinantů a inverzní matice.

aplikace

Vzhledem k tomu, že Gaussovo řešení je algoritmus a matice je ve skutečnosti dvourozměrné pole, lze jej použít při programování. Ale protože se článek umisťuje jako vodítko „pro figuríny“, je třeba říci, že nejjednodušším místem, kde lze metodu přesunout, jsou tabulky, například Excel. Jakákoli SLAE zadaná do tabulky ve formě matice bude Excel považována za dvourozměrné pole. A pro operace s nimi existuje mnoho pěkných příkazů: přidání (lze přidat pouze matice stejné velikosti!), Násobení číslem, násobení matic (také s určitými omezeními), hledání inverzních a transponovaných matic a většina Důležité je, výpočet determinantu. Pokud je tento pracný úkol nahrazen jedním příkazem, je možné mnohem rychleji určit hodnost matice, a proto zjistit její kompatibilitu nebo nekonzistenci.

Zde můžete zdarma vyřešit soustavu lineárních rovnic gaussova metoda online velké velikosti ve složitém počtu s velmi podrobným řešením. Naše kalkulačka je schopna online řešit obvyklý určitý i neurčitý systém lineárních rovnic Gaussovou metodou, která má nekonečné množství řešení. V takovém případě dostanete v odpovědi závislost některých proměnných zdarma, zdarma. Konzistenci systému rovnic můžete také zkontrolovat online pomocí Gaussova řešení.

O metodě

Při řešení systému lineárních rovnic online pomocí Gaussovy metody se provádějí následující kroky.

1. Zapíšeme si rozšířenou matici.
2. Ve skutečnosti je řešení rozděleno na přední a zadní krok Gaussovy metody. Přímý průběh Gaussovy metody se nazývá redukce matice na stupňovitou formu. Zadní strana Gaussovy metody se nazývá redukce matice do speciální stupňovité formy. V praxi je ale pohodlnější okamžitě vynulovat to, co je nad a pod dotyčným prvkem. Naše kalkulačka používá přesně tento přístup.
3. Je důležité si uvědomit, že při řešení Gaussovou metodou indikuje přítomnost alespoň jedné nulové řady s nenulovou pravou stranou (sloupec volných výrazů) v matici nekompatibilitu systému. V tomto případě neexistuje žádné řešení pro lineární systém.

Abyste nejlépe pochopili, jak Gaussův algoritmus funguje online, zadejte libovolný příklad a vyberte „velmi podrobné řešení„a podívejte se na jeho řešení online.