Smo model m 1 omezený požadavek. Jednokanálový CMO s neomezenou frontou

V praxi lidské činnosti zaujímají velké místo frontové procesy, které vznikají v systémech určených pro opakované použití při řešení problémů stejného typu. Takové systémy se nazývají queuing systems (QS). Příklady takových systémů jsou telefonní systémy, počítačové systémy, systémy pro automobilovou dopravu, letectví, opravárenské služby, obchody, pokladny a podobně.

Každý systém se skládá z určitého počtu obslužných jednotek (zařízení, přístroje, zařízení "body, stanice), kterým se říká servisní kanály. Podle počtu kanálů se CMO dělí na jednokanálové a vícekanálové. Schéma jednoho -kanálový systém řazení je znázorněn na obr. 6.2.

Aplikace do systému obvykle nepřicházejí pravidelně, ale náhodně a tvoří náhodný proud aplikací (požadavky). Vlastní vyřízení každého požadavku může trvat buď určitou dobu, nebo častěji dobu neurčitou. Náhodný charakter vede k tomu, že QS je zatěžován nerovnoměrně: v některých časových obdobích se hromadí velmi velké množství aplikací (buď se dostanou do fronty, nebo nechají QS neobslouženy), v jiných obdobích QS pracuje s nedostatečným zatížením resp. je nečinný.

Rýže. 6.2.

Účelem studia systémů hromadné obsluhy je analyzovat kvalitu jejich fungování a identifikovat příležitosti pro její zlepšení. V tomto případě bude mít pojem „kvalita fungování“ v každém jednotlivém případě svůj specifický význam a bude vyjádřen různými kvantitativními ukazateli. Například takové kvantitativní ukazatele, jako je velikost fronty na obsluhu, průměrná doba obsluhy, čekání na obsluhu nebo nalezení požadavku v obslužném systému, doba nečinnosti obslužných zařízení; jistotu, že všechny požadavky přijaté systémem budou vyřízeny.

Kvalitou fungování systému hromadné obsluhy se tedy rozumí nikoli kvalita provedení konkrétní zakázky, na kterou byl přijat požadavek, ale míra uspokojení potřeby služby.

Předmětem teorie hromadné obsluhy je konstrukce matematických modelů propojujících dané provozní podmínky systému hromadné obsluhy (počet kanálů, jejich výkon, charakter toku aplikací atd.) s ukazateli výkonu systému hromadné obsluhy, které popisují jeho schopnost vyrovnat se s tokem aplikací.

Klasifikace systému hromadné obsluhy

První funkcí, která umožňuje klasifikovat problémy s frontami, je chování požadavků přijatých obslužným systémem v okamžiku, kdy jsou všechny stroje zaneprázdněny.

V některých případech požadavek, který vstoupil do systému v době, kdy jsou všechna zařízení obsazena, nemůže čekat na jejich uvolnění a ponechá systém nevyužitý, tzn. požadavek se pro daný obslužný systém ztratí. Takové servisní systémy se nazývají ztrátové systémy a úkoly podle nich formulované se nazývají servisní problémy pro ztrátové systémy.

Pokud poptávka po vstupu do systému vstoupí do fronty a čeká na uvolnění stroje, pak se takové systémy nazývají čekající systémy a odpovídající úlohy se v čekajících systémech nazývají servisní úlohy. CMO s čekáním se dělí na odlišné typy podle toho, jak je fronta organizována: s omezenou nebo neomezenou délkou fronty, s omezenou dobou čekání atd.

QS se také liší v počtu požadavků, které mohou být současně v obslužném systému. Přidělit:

  • 1) systémy s omezeným tokem požadavků;
  • 2) systémy s neomezeným tokem požadavků.

V závislosti na formách vnitřní organizace služeb v systému existují:

  • 1) systémy s řádnou údržbou;
  • 2) systémy s neuspořádanou službou.

Důležitou fází studia QS je výběr kritérií, která charakterizují zkoumaný proces. Výběr závisí na typu studovaných problémů, na cíli, který řešení sleduje.

Nejčastěji v praxi existují systémy, ve kterých se tok požadavků blíží nejjednodušším a doba obsluhy se řídí exponenciálním distribučním zákonem. Tyto systémy jsou nejvíce rozvinuté v teorii front.

V podnikovém prostředí jsou typické úkoly s čekáním, s konečným počtem obslužných strojů, s omezeným tokem požadavků a s mimořádnou obsluhou.

Předpoklady o Poissonově povaze toku reklamací ao exponenciálním rozložení doby obsluhy nám umožňují aplikovat Markovův aparát v teorii front. Proces probíhající ve fyzickém systému se nazývá Markovův proces (nebo proces bez následných efektů), pokud pro každý okamžik závisí pravděpodobnost jakéhokoli stavu systému v budoucnosti pouze na stavu systému v daném okamžiku. a nezávisí na tom, jak se systém do tohoto stavu dostal.

Uvažujme QS s konečnou diskrétní množinou stavů (obr. 2.). Stav definujeme jako stav QS odpovídající přítomnosti v tento moment obsazené kanály. V tomto případě může systém měnit svůj stav diskrétně v odpovídajících diskrétních časech. Když na vstup QS dorazí jeden požadavek, systém změní stav spánku,

a když jeden požadavek opustí systém a odpovídající uvolnění jednoho kanálu - od do.

Rýže. 2. Diagram stavů a ​​přechodů QS

Typickým příkladem CMO je telekomunikační systém s několika obslužnými servery. Aplikace přicházející ke vstupu takového QS může být buď obsloužena, nebo zařazena do fronty, nebo může obdržet odmítnutí služby. V tomto ohledu se QS dělí na dva hlavní typy: a) QS s poruchami; b) CMO s očekáváním.

V systémech s poruchami reklamace přicházející v okamžiku, kdy jsou všechny servisní kanály obsazeny, okamžitě obdrží poruchu, opustí systém a neúčastní se dalšího servisního procesu.

V systémech s čekáním požadavek, který zjistil, že všechny kanály jsou obsazené, neopustí systém, ale vstoupí do fronty a čeká, dokud se kanál neuvolní.

Klasifikační znaky systémů hromadné obsluhy.

V systémech řazení do front existují tři hlavní fáze, kterými prochází každý požadavek:

1) vzhled aplikace u vstupu do systému;

2) průchod frontou;

3) servisní proces, po kterém požadavek opustí systém.

V každé fázi se používají určité charakteristiky, které by měly být prodiskutovány před vytvořením matematických modelů.

Vstupní vlastnosti:

1) počet přihlášek na vstupu (velikost populace);

2) způsob příjmu žádostí v systému služeb;

3) chování zákazníků.

Počet přihlášek u vchodu. Počet potenciálních nároků (velikost populace) lze považovat buď za nekonečný (neomezený počet) nebo konečný (omezený počet). Pokud je počet žádostí přijatých na vstupu systému od začátku procesu služby do určitého okamžiku v čase pouze malou částí potenciálního počtu klientů, je populace na vstupu považována za neomezenou. Příklady neomezených populací: auta projíždějící kontrolními stanovišti na dálnicích, nakupující v supermarketu atd. Neomezené populace jsou uvažovány ve většině modelů vstupní fronty.

Pokud je počet nároků, které mohou vstoupit do systému, srovnatelný s počtem nároků, které jsou již ve frontě, je populace považována za omezenou. Příklad omezené populace: počítače vlastněné konkrétní organizací, které jsou servisovány opravnou.

Režim příjmu žádostí v systému služeb. Požadavky mohou do servisního systému chodit podle konkrétního harmonogramu (např. jeden pacient k zubnímu lékaři každých 15 minut, jedno auto na běžícím pásu každých 20 minut) nebo náhodně. Vzhledy zákazníků jsou považovány za náhodné, pokud jsou na sobě nezávislé a rozhodně nepředvídatelné. U problémů s řazením do fronty lze často počet výskytů za jednotku času odhadnout pomocí Poissonova rozdělení pravděpodobnosti. Při dané rychlosti příjmu (například dva zákazníci za hodinu nebo čtyři kamiony za minutu)

Diskrétní Poissonovo rozdělení je popsáno následujícím vzorcem:

Kde P (x) - pravděpodobnost přijetí X požadavky za jednotku času;

X - počet požadavků za jednotku času;

L je průměrný počet žádostí za jednotku času (míra přijetí žádostí);

E = 2,7182 je základ přirozeného logaritmu.

Odpovídající hodnoty pravděpodobností P (x) snadno určit pomocí Poissonovy distribuční tabulky. Pokud je například průměrná rychlost příjmu objednávek dva klienti za hodinu, pak pravděpodobnost, že do hodiny systém neobdrží ani jednu objednávku je 0,135, pravděpodobnost, že se objeví jedna objednávka je asi 0,27, dvě jsou také asi 0,27 , tři objednávky se mohou objevit s pravděpodobností 0,18, čtyři - s pravděpodobností asi 0,09 atd. Pravděpodobnost, že do systému dorazí 9 a více objednávek za hodinu, se blíží nule.

V praxi se samozřejmě pravděpodobnosti výskytu nároků ne vždy řídí Poissonovým rozdělením (mohou mít jiné rozdělení). Proto je nutný předběžný výzkum, aby se ověřilo, že Poissonovo rozdělení může sloužit jako dobrá aproximace.

Chování zákazníků . Většina modelů řazení do fronty je založena na předpokladu, že chování klientů je standardní, to znamená, že každý zákazník vstupující do systému vstoupí do fronty, čeká na obsluhu a neopustí systém, dokud není obsluhován. Jinými slovy, klient (osoba nebo stroj) vstupující do fronty čeká, dokud není obsloužen, opouští frontu a přechází z jedné fronty do druhé.

Život je mnohem těžší. V praxi mohou zákazníci opustit frontu

protože to bylo příliš dlouhé. Může nastat jiná situace: klienti čekají, až na ně přijde řada, ale z nějakého důvodu odcházejí neobslouženi. Tyto případy jsou také předmětem teorie front.

Vlastnosti fronty:

2) servisní pravidlo.

Délka fronty . Délka může být omezena nebo neomezena. Délka fronty (fronty) je omezena, pokud se z nějakého důvodu (například z důvodu fyzických omezení) nemůže zvětšovat donekonečna. Pokud fronta dosáhne své maximální velikosti, další požadavek není povolen do systému a dojde k odmítnutí. Délka fronty není omezena, Pokud může být ve frontě libovolný počet aplikací. Například kolona aut u čerpací stanice.

Servisní pravidlo . Většina skutečných systémů používá pravidlo „první dovnitř, první ven“. (FIFO - první dovnitř, první ven). V některých případech, například na pohotovosti v nemocnici, mohou být kromě tohoto pravidla nastaveny různé priority. . Vážně nemocný pacient s infarktem bude mít pravděpodobně přednost v péči před pacientem se zlomeným prstem. Spouštěcí příkaz počítačové programy je dalším příkladem priority služeb.

Velká třída systémů, které je obtížné analyticky studovat, ale které jsou dobře studovány metodami statistického modelování, se redukuje na systémy řazení do front (QS).

V CMO se předpokládá, že existuje typické cesty(servisní kanály), kterými během zpracování procházejí aplikací... Je zvykem říkat, že aplikace sloužil kanály. Kanály se mohou lišit v účelu, vlastnostech, lze je kombinovat v různých kombinacích; vstupenky mohou stát ve frontách a čekat na obsluhu. Část požadavků může být obsloužena kanály a část to může odmítnout. Je důležité, aby požadavky byly z pohledu systému abstraktní: to je to, co chce obsloužit, tedy projít určitou cestou v systému. Kanály jsou také abstrakcí: jsou tím, co slouží nárokům.

Objednávky mohou přicházet nerovnoměrně, kanály mohou obsluhovat různé objednávky jiný čas a tak dále, počet aplikací je vždy velmi vysoký. To vše ztěžuje studium a správu takových systémů a není možné v nich vysledovat všechny vztahy příčiny a následku. Proto se obecně uznává, že služba ve složitých systémech je náhodná.

Příklady SMO (viz tabulka 30.1) jsou: autobusové linky a osobní doprava; výrobní dopravník pro zpracování dílů; letka letadel létajících na cizí území, které „obsluhují“ děla protiletadlové PVO; hlaveň a roh stroje, které "obsluhují" náboje; elektrické náboje pohybující se v zařízení atd.

Tabulka 30.1.
Příklady systémů hromadné obsluhy
CMO Aplikace Kanály
Autobusová doprava a osobní doprava Cestující Autobusy
Výrobní dopravník pro zpracování dílů Detaily, uzly Obráběcí stroje, sklady
Letka letadel letících na cizí území,
které „obsluhuje“ protiletadlová PVO		 Letadlo protiletadlová děla, radary,
šípy, mušle
Hlaveň a roh stroje, které "obsluhují" náboje Kazety Kufr, klakson
Elektrické náboje pohybující se v zařízení Poplatky Kaskády technických
zařízení

Ale všechny tyto systémy jsou spojeny do jedné třídy QS, protože přístup k jejich studiu je stejný. Spočívá v tom, že se za prvé pomocí generátoru náhodných čísel přehrávají náhodná čísla, která simulují NÁHODNÉ okamžiky výskytu požadavků a doby jejich obsluhy v kanálech. Ale dohromady tato náhodná čísla samozřejmě podléhají statistický vzory.

Řekněme například: „objednávky přicházejí průměrně v množství 5 kusů za hodinu“. To znamená, že časy mezi příchodem dvou sousedních příkazů jsou náhodné, například: 0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,2, jak je znázorněno na Obr. 30,1, ale v součtu dávají průměr 1 (všimněte si, že v příkladu to není přesně 1, ale 1,1 - ale v jinou hodinu se tento součet může například rovnat 0,9); pouze na dostatečně dlouhou dobu průměr těchto čísel se přiblíží jedné hodině.

Výsledkem (například propustnost systému) bude samozřejmě také náhodná veličina v oddělených intervalech. Ale měřeno po dlouhou dobu, tato hodnota již bude v průměru odpovídat přesnému řešení. To znamená, že pro charakterizaci QS se zajímají o odpovědi ve statistickém smyslu.

Systém je tedy testován náhodnými vstupními signály, podléhající danému statistickému zákonu, a jako výsledek jsou brány statistické ukazatele, zprůměrované za dobu uvažování nebo počet experimentů. Již dříve, v přednášce 21 (viz obrázek 21.1), jsme již vytvořili schéma pro takový statistický experiment (viz obrázek 30.2).

Rýže. 30.2. Schéma statistického experimentu pro studium systémů hromadné obsluhy

Za druhé, všechny modely QS jsou sestaveny typickým způsobem z malé sady prvků (kanál, zdroj požadavků, fronta, požadavek, servisní disciplína, zásobník, prsten atd.), což vám umožňuje simulovat tyto úkoly. typický cesta. Za tímto účelem je model systému sestaven z konstruktoru takových prvků. Nezáleží na tom, který konkrétní systém je studován, je důležité, aby systémový diagram byl sestaven ze stejných prvků. Struktura obvodu bude samozřejmě vždy jiná.

Uveďme některé ze základních pojmů QS.

Kanály jsou tím, co slouží; jsou horké (začnou obsluhovat požadavek v okamžiku, kdy vstoupí do kanálu) a studené (kanál potřebuje čas na přípravu, aby mohl začít servis). Zdroje aplikací- generovat objednávky v náhodných časech podle uživatelem zadaného statistického zákona. Požadavky, to jsou také klienti, vstupují do systému (generovaného zdroji požadavků), procházejí jeho prvky (jsou obsluhovány), opouštějí obsloužený nebo neuspokojený. Existují netrpělivé aplikace- ti, kteří jsou unaveni čekáním nebo být v systému a kteří opouštějí CMO z vlastní vůle. Toky formulářů objednávek - tok aplikací u vstupu do systému, tok obsluhovaných aplikací, tok zamítnutých žádostí. Tok je charakterizován počtem aplikací určitého typu pozorovaných v určitém místě QS za jednotku času (hodina, den, měsíc), to znamená, že tok je statistická hodnota.

Fronty jsou charakterizovány pravidly stání ve frontě (obslužná disciplína), počtem míst ve frontě (maximálně kolik klientů může být ve frontě), strukturou fronty (spojení mezi místy ve frontě) . Existují omezené a neomezené fronty. Uveďme si nejdůležitější servisní disciplíny. FIFO (First In, First Out - first in, first out): pokud je aplikace první, která dorazí do fronty, pak bude první, která půjde do služby. LIFO (Last In, First Out - last coming, first left): pokud aplikace dorazila jako poslední ve frontě, pak půjde jako první do servisu (například náboje do houkačky kulometu). SF (Short Forward - short forward): nejprve jsou obslouženy ty požadavky z fronty, které mají kratší dobu obsluhy.

Uveďme názorný příklad, jak na to správná volba konkrétní servisní disciplína vám umožňuje dosáhnout hmatatelných úspor času.

Předpokládejme, že existují dva obchody. V prodejně č. 1 probíhá obsluha střídavě, tedy je zde implementována servisní disciplína FIFO (viz obr. 30.3).

Rýže. 30.3. FIFO ve frontě

Servisní doba t servis na Obr. 30.3 ukazuje, kolik času stráví prodejce obsluhou jednoho zákazníka. Je jasné, že při nákupu kusového produktu stráví prodejce obsluhou méně času než při nákupu řekněme hromadných produktů, které vyžadují další manipulace (typ, vážení, výpočet ceny atd.). Čekací doba t očekávat. ukazuje, jak dlouho bude prodejce obsluhován dalším kupujícím.

V prodejně č. 2 je implementována disciplína SF (viz obr. 30.4), což znamená, že kusové zboží lze od doby obsluhy nakoupit i mimo pořadí. t servis takový nákup je malý.

Rýže. 30.4. Organizace fronty na disciplínu SF

Jak je patrné z obou obrázků, poslední (pátý) kupující se chystá koupit kus zboží, takže doba obsluhy je krátká - 0,5 minuty. Pokud tento zákazník přijde do prodejny číslo 1, bude nucen vystát frontu 8 minut, přičemž v prodejně číslo 2 bude obsluhován okamžitě, mimo řadu. Průměrná doba obsluhy každého zákazníka tak bude v prodejně s kázní FIFO 4 minuty a v prodejně s kázní KV pouze 2,8 minuty. A veřejným přínosem, úspora času bude: (1 - 2,8 / 4) 100 % = 30 procent! Tedy 30 % ušetřeného času pro společnost – a to jen díky správné volbě služební disciplíny.

Systémový inženýr musí dobře rozumět zdrojům výkonu a účinnosti systémů, které navrhují, skrytých v optimalizaci parametrů, struktur a servisních disciplín. Modelování pomáhá odhalit tyto skryté rezervy.

Při analýze výsledků modelování je také důležité uvést zájmy a míru jejich naplnění. Rozlišujte mezi zájmy klienta a zájmy vlastníka systému. Všimněte si, že tyto zájmy se ne vždy shodují.

Výsledky práce CMO můžete posuzovat podle ukazatelů. Nejoblíbenější jsou:

  • pravděpodobnost zákaznického servisu systémem;
  • šířka pásma systému;
  • pravděpodobnost odmítnutí služby klientovi;
  • pravděpodobnost, že je každý kanál obsazený a všechny dohromady;
  • průměrná doba obsazenosti každého kanálu;
  • pravděpodobnost obsazenosti všech kanálů;
  • průměrný počet obsazených kanálů;
  • pravděpodobnost prostojů pro každý kanál;
  • pravděpodobnost výpadku celého systému;
  • průměrný počet aplikací ve frontě;
  • průměrná doba čekání na žádost ve frontě;
  • průměrná doba doručení žádosti;
  • průměrný čas strávený objednávkou v systému.

Kvalitu výsledného systému je nutné posuzovat souhrnem hodnot ukazatelů. Při analýze výsledků modelování (ukazatelů) je také důležité věnovat pozornost na zájmy klienta a zájmy vlastníka systému, to znamená, že je nutné minimalizovat nebo maximalizovat jeden nebo druhý ukazatel a také stupeň jejich implementace. Všimněte si, že nejčastěji se zájmy klienta a majitele neshodují nebo se ne vždy shodují. Indikátory budou označeny níže H = {h 1 , h 2, ...).

Parametry QS mohou být: rychlost toku požadavků, intenzita toku služeb, průměrná doba, po kterou je požadavek připraven čekat na službu ve frontě, počet servisních kanálů, disciplína služeb atd. . Parametry jsou to, co ovlivňuje výkon systému. Parametry budou níže označeny jako R = {r 1 , r 2, ...).

Příklad. Čerpací stanice (benzín).

1. Vyjádření problému... Na Obr. 30.5 znázorňuje plán čerpací stanice. Podívejme se na způsob modelování QS na jeho příkladu a plán jeho studia. Řidiči projíždějící kolem čerpací stanice na silnici mohou chtít natankovat palivo. Ne všichni motoristé v řadě chtějí být servisováni (tankovat auto benzínem); Předpokládejme, že z celkového toku aut přijede v průměru 5 aut na čerpací stanici za hodinu.

Rýže. 30.5. Plán simulované čerpací stanice

Na čerpací stanici jsou dva identické výdejní stojany, u každého je známa statistická výkonnost. První kolona obsluhuje v průměru 1 auto za hodinu, druhá v průměru - 3 auta za hodinu. Majitel čerpací stanice vydláždil pro auta místo, kde mohou očekávat obsluhu. Pokud jsou výdejní stojany obsazené, pak na tomto místě mohou čekat na obsluhu další automaty, maximálně však dva současně. Fronta bude považována za běžnou. Jakmile je jedna z kolon volná, může na koloně zaujmout místo první vůz z fronty (zatímco druhý vůz se posune na první místo ve frontě). Pokud se objeví třetí auto a všechna sedadla (jsou dvě) ve frontě jsou obsazena, je služba odepřena, protože je zakázáno stát na silnici (viz dopravní značky u čerpací stanice). Takové auto navždy opustí systém a jako potenciální zákazník je pro majitele čerpací stanice ztraceno. Úkol můžete zkomplikovat tím, že vezmete v úvahu pokladnu (další servisní kanál, kam se musíte dostat po obsluze v jednom ze sloupců) a frontu k ní atd. Ale v nejjednodušší verzi je zřejmé, že průtokové cesty aplikací přes QS mohou být reprezentovány ve formě ekvivalentního obvodu a přidáním hodnot a označení charakteristik každého prvku QS nakonec dostaneme schéma znázorněné na Obr. 30.6.

Rýže. 30.6. Ekvivalentní schéma modelovacího objektu

2. Metoda studia QS... Aplikujme princip v našem příkladu sekvenční zaúčtování objednávek(Podrobnosti o principech modelování viz přednáška 32). Jeho představa je taková, že aplikaci provedou celým systémem od vstupu až po výstup a teprve poté začnou modelovat další aplikaci.

Pro názornost sestavíme časový diagram fungování QS, odrážející se na každém pravítku (časová osa t) stav jednotlivého prvku systému. Existuje tolik časových linií, kolik je různých míst v CMO, toků. V našem příkladu je jich 7 (tok požadavků, tok čekání na prvním místě ve frontě, tok čekání na druhém místě ve frontě, tok služeb v kanálu 1, tok služeb v kanálu 2 , tok žádostí obsluhovaných systémem, tok zamítnutých žádostí).

Pro generování času příchodu požadavků použijeme vzorec pro výpočet intervalu mezi časy příchodu dvou náhodných událostí (viz přednáška 28):

V tomto vzorci, průtok λ musí být specifikováno (předtím musí být stanoveno experimentálně na zařízení jako statistický průměr), r- náhodné rovnoměrně rozložené číslo od 0 do 1 z RNG nebo tabulky, ve které je třeba vzít náhodná čísla za sebou (bez zvláštního výběru).

Úkol . Vygenerujte proud 10 náhodných událostí s četností událostí 5 událostí za hodinu.

Řešení problému. Vezměte náhodná čísla rovnoměrně rozložená v rozsahu od 0 do 1 (viz tabulka) a vypočítejte jejich přirozené logaritmy (viz tabulka 30.2).

Poissonův průtokový vzorec definuje vzdálenost mezi dvěma náhodnými událostmi následujícím způsobem: t= –Ln (r pp) / λ ... Pak, vzhledem k tomu λ = 5, máme vzdálenosti mezi dvěma náhodnými sousedními událostmi: 0,68, 0,21, 0,31, 0,12 hodin. To znamená, že se dějí události: první - v určitém okamžiku t= 0, druhý - v okamžiku času t= 0,68, třetí - v okamžiku času t= 0,89, čtvrtý - v okamžiku času t= 1,20, pátá - v okamžiku času t= 1,32 a tak dále. Události - příchod objednávek se projeví na prvním řádku (viz obr. 30.7).
Rýže. 30.7. Časový diagram provozu CMO

První požadavek je přijat, a protože v tomto okamžiku jsou kanály volné, je nastaven na obsluhu na prvním kanálu. Aplikace 1 se přenese do pravítka "Kanál 1".

Doba služby v kanálu je také náhodná a počítá se pomocí podobného vzorce:

kde roli intenzity hraje hodnota toku služeb μ 1 nebo μ 2, v závislosti na tom, který kanál obsluhuje požadavek. Najdeme na diagramu okamžik ukončení služby, odložíme vygenerovaný čas služby od okamžiku zahájení služby a požadavek pustíme do řádku "Obsluhováno".

Žádost se dostala až k CMO. Nyní můžete podle principu sekvenčního zaúčtování zakázek simulovat i cestu druhé zakázky.

Pokud se v určitém okamžiku ukáže, že oba kanály jsou obsazené, měli byste požadavek zařadit do fronty. Na Obr. 30.7 toto je požadavek s číslem 3. Všimněte si, že podle podmínek problému ve frontě, na rozdíl od kanálů, požadavky nejsou v náhodném čase, ale čekají na uvolnění některých kanálů. Po uvolnění kanálu požadavek vystoupí pravidlu odpovídajícího kanálu a tam je organizována jeho služba.

Pokud jsou všechna místa ve frontě v okamžiku příchodu další přihlášky obsazena, pak by měla být přihláška odeslána na řádek „Zamítnuto“. Na Obr. 30.7 je přihláška číslo 6.

Postup pro simulaci vyřizování reklamací pokračuje po určitou dobu sledování T n. Čím delší je tato doba, tím přesnější budou v budoucnu výsledky simulace. Opravdu pro jednoduché systémy Vybrat T n, rovná se 50-100 nebo více hodinám, i když někdy je lepší měřit tuto hodnotu počtem uvažovaných aplikací.

Analýza časového diagramu

Analýza bude provedena na již zvažovaném příkladu.

Nejprve musíte počkat na ustálený stav. První čtyři aplikace vyřazujeme jako necharakteristické, ke kterým došlo během procesu nastavování provozu systému. Měříme dobu pozorování, řekněme, že v našem příkladu to bude T n = 5 hodin. Počet obsluhovaných požadavků vypočítáme z diagramu N obs. , prostoje a další veličiny. Díky tomu můžeme vypočítat ukazatele charakterizující kvalitu práce QS.

  1. Pravděpodobnost servisu: P obs. = N obs. / N = 5/7 = 0.714 ... Pro výpočet pravděpodobnosti obsloužení požadavku v systému stačí vydělit počet požadavků, které se podařilo obsloužit během T n (viz řádek "Servisováno") N obs. , pro počet aplikací N kteří chtěli být obslouženi ve stejnou dobu. Stejně jako dříve je pravděpodobnost experimentálně určena poměrem událostí, které se staly, k celkovému počtu událostí, které se mohly stát!
  2. Šířka pásma systému: A = N obs. / T n = 7/5 = 1,4 [ks/hod]... Pro výpočet propustnosti systému stačí vydělit počet obsluhovaných požadavků N obs. na chvíli T n, pro které tato služba nastala (viz řádek "Obsluhováno").
  3. Pravděpodobnost selhání: P otevřeno = N otevřeno / N = 3/7 = 0.43 ... Pro výpočet pravděpodobnosti odmítnutí služby pro požadavek stačí vydělit počet požadavků N otevřeno kteří byli na tu dobu odmítnuti T n (viz řádek "Zamítnuto"), počet aplikací N kdo chtěl být obsluhován ve stejnou dobu, tedy vstoupil do systému. Poznámka. P otevřeno + P obs. teoreticky by se mělo rovnat 1. Ve skutečnosti se experimentálně ukázalo, že P otevřeno + P obs. = 0,714 + 0,43 = 1,144... Tato nepřesnost se vysvětluje tím, že doba pozorování T n je malé a shromážděné statistiky jsou nedostatečné k získání přesné odpovědi. Chyba tohoto ukazatele je nyní 14 %!
  4. Pravděpodobnost, že je jeden kanál obsazen: P 1 = T zaneprázdněný / T n = 0,05 / 5 = 0,01, kde T zaneprázdněný - doba obsazenosti pouze jednoho kanálu (prvního nebo druhého). Měření podléhají časovým intervalům, ve kterých dochází k určitým událostem. Diagram například hledá takové segmenty, během kterých je buď první nebo druhý kanál obsazený. V tomto příkladu je jeden takový segment na konci 0,05hodinového grafu. Podíl tohoto intervalu na celkové době zvažování ( T n = 5 hodin) je určeno dělením a představuje požadovanou pravděpodobnost zaměstnání.
  5. Pravděpodobnost obsazení dvou kanálů: P 2 = T zaneprázdněný / T n = 4,95 / 5 = 0,99... Diagram hledá takové segmenty, během kterých jsou současně obsazeny první i druhý kanál. V tomto příkladu jsou takové segmenty čtyři, jejich součet je 4,95 hodiny. Podíl doby trvání těchto událostí na celkové době zvažování ( T n = 5 hodin) je určeno dělením a představuje požadovanou pravděpodobnost zaměstnání.
  6. Průměrný počet obsazených kanálů: N ck = 0 P 0 + 1 P 1 + 2 P 2 = 0,01 + 2 0,99 = 1,99... Pro výpočet, kolik kanálů je v průměru obsazeno v systému, stačí znát podíl (pravděpodobnost obsazenosti jednoho kanálu) a vynásobit váhou tohoto podílu (jeden kanál), znát podíl (pravděpodobnost dvou kanály jsou obsazené) a vynásobte váhou tohoto podílu (dva kanály) atd. Výsledné číslo 1,99 ukazuje, že z možných dvou kanálů je v průměru načteno 1,99 kanálů. To je vysoká míra využití, 99,5 %, a systém dobře využívá zdroj.
  7. Pravděpodobnost výpadku alespoň jednoho kanálu: P * 1 = T prostoj1 / T n = 0,05 / 5 = 0,01.
  8. Pravděpodobnost výpadku dvou kanálů současně: P * 2 = T prostoje2 / T n = 0.
  9. Pravděpodobnost výpadku celého systému: P* c = T nečinný systém / T n = 0.
  10. Průměrný počet aplikací ve frontě: N ss = 0 P 0c + 1 P 1c + 2 P 2s = 0,34 + 2 · 0,64 = 1,62 [ks]... Pro určení průměrného počtu aplikací ve frontě je nutné samostatně určit pravděpodobnost, že ve frontě bude jedna aplikace P 1h, pravděpodobnost, že ve frontě budou dvě aplikace P 2h atd. a znovu je přidejte s příslušnými závažími.
  11. Pravděpodobnost, že ve frontě bude jeden požadavek: P 1s = T 1h / T n = 1,7/5 = 0,34(na diagramu jsou celkem čtyři takové segmenty, což dává celkem 1,7 hodiny).
  12. Pravděpodobnost, že ve frontě budou dvě aplikace současně: P 2s = T 2 s / T n = 3,2/5 = 0,64(na diagramu jsou celkem tři takové segmenty, což dává dohromady 3,25 hodiny).
  13. Průměrná doba čekání na aplikaci ve frontě:

    (Sečtěte všechny časové intervaly, během kterých byla nějaká aplikace ve frontě, a vydělte počtem aplikací). Na časové ose jsou 4 takové aplikace.

  14. Průměrná doba zpracování objednávky:

    (Sečtěte všechny časové intervaly, během kterých byl požadavek obsluhován v libovolném kanálu, a vydělte počtem požadavků).

  15. Průměrný čas strávený objednávkou v systému: T St sedět. = T St pohotovostní + T St servis.
  16. Průměrný počet aplikací v systému:

    Interval pozorování rozdělme například na deset minut. V pět hodin to dopadne K subintervaly (v našem případě K= 30). V každém dílčím intervalu z časového diagramu určíme, kolik požadavků je v daný okamžik v systému. Je třeba se podívat na 2., 3., 4. a 5. linku - která z nich je právě vytížená. Poté částka K průměrování podmínek.

Dále byste měli vyhodnotit přesnost každého ze získaných výsledků. Tedy odpovědět na otázku: jak moc můžeme těmto hodnotám věřit? Posouzení přesnosti se provádí podle metody popsané v přednášce 34.

Pokud přesnost není uspokojivá, měl by se prodloužit čas experimentu a tím by se měly zlepšit statistiky. Můžete to udělat jinak. Spusťte experiment na chvíli znovu T n. A pak zprůměrujte hodnoty těchto experimentů. A znovu zkontrolujte výsledky pro kritérium přesnosti. Tento postup by se měl opakovat, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Dále byste měli sestavit tabulku výsledků a vyhodnotit hodnoty každého z nich z pohledu klienta a vlastníka CMO (viz tabulka. 30.3) .. Nakonec s přihlédnutím k tomu, co bylo řečeno v každém odstavci, je třeba vyvodit obecný závěr. Tabulka by měla vypadat podobně jako v tabulce. 30.3.

Tabulka 30.3.
Ukazatele CMO
Indikátor Vzorec Význam Zájmy vlastníka SOT Zájmy klienta CMO
Pravděpodobnost služby P obs. = N obs. / N 0.714 Pravděpodobnost služby je nízká, mnoho zákazníků odchází ze systému nespokojených, jejich peníze jsou pro majitele ztraceny. To je mínus. Pravděpodobnost služby je malá, každý třetí klient chce, ale nemůže být obsloužen. To je mínus.
… … … … …
Průměrný počet aplikací ve frontě N ss = 0 P 0c + 1 P 1c + 2 P 2h 1.62 Fronta je neustále téměř plná. Všechna místa ve frontě jsou dostatečně efektivně využita. Investice do fronty se vyplácí náklady na frontu. To je plus.
Zákazníci, kteří čekají ve frontě dlouhou dobu, mohou odejít bez čekání na obsluhu. Nečinní zákazníci mohou poškodit systém a rozbít zařízení. Spousta odmítnutí, ztracení klienti. To jsou „proti“.		 Fronta je neustále téměř plná. Zákazník musí čekat ve frontě, než se dostane k obsluze. Klient se možná ani nedostane do fronty. To je mínus.
Celkový součet: Je v zájmu vlastníka: a) zvýšit šířku pásma kanálů, aby nedošlo ke ztrátě zákazníků (aktualizace kanálů však stojí peníze); b) zvýšit počet míst ve frontě (to také stojí peníze), abyste si udrželi potenciální zákazníky. Zákazníci mají zájem o dramatické zvýšení propustnosti, aby se snížila latence a omezily odrazy.

Syntéza QS

Provedli jsme analýzu stávajícího systému. To umožnilo vidět jeho nedostatky a určit směry pro zlepšení jeho kvality. Odpovědi na konkrétní otázky však zůstávají nejasné, co přesně je třeba udělat - zvýšit počet kanálů nebo zvýšit jejich šířku pásma nebo zvýšit počet míst ve frontě, a pokud zvýšit, o kolik? Existují i ​​takové otázky, co je lepší - vytvořit 3 kanály s kapacitou 5 kusů / hodinu nebo jeden s kapacitou 15 kusů / hodinu?

Pro posouzení citlivosti každého ukazatele na změnu hodnoty určitého parametru postupujte následovně. Opraví všechny parametry kromě jednoho vybraného. Poté odeberte hodnotu všech indikátorů na několika hodnotách tohoto vybraného parametru. Samozřejmě musíte opakovat postup simulace znovu a znovu a průměrovat ukazatele pro každou hodnotu parametru a vyhodnocovat přesnost. Ale ve výsledku jsou získány spolehlivé statistické závislosti charakteristik (ukazatelů) na parametru.

Například pro 12 indikátorů našeho příkladu můžete získat 12 závislostí na jednom parametru: závislost pravděpodobnosti odmítnutí P otevřeno na počtu míst ve frontě (KMO), závislost propustnosti A na počtu míst ve frontě atd. (viz obr. 30.8).

Rýže. 30.8. Přibližný pohled na závislosti indikátorů na parametrech SOT

Pak můžete také odstranit dalších 12 závislostí indikátorů P z jiného parametru R opravou zbývajících parametrů. Atd. Vzniká jakási matice závislostí ukazatelů P z parametrů R, podle kterého můžete provést dodatečnou analýzu vyhlídek na pohyb (zlepšení ukazatelů) jedním nebo druhým směrem. Sklon křivek dobře ukazuje citlivost, účinek pohybu podle určitého ukazatele. V matematice se tato matice nazývá jakobiánská J, ve které roli sklonu křivek hrají hodnoty derivací Δ P i /Δ R j , viz obr. 30.9. (Připomeňme, že derivace geometricky souvisí s úhlem sklonu tečny k závislosti.)

Rýže. 30.9. Jacobian - matice citlivosti indikátorů
v závislosti na změně parametrů systému

Pokud jsou indikátory 12 a parametry například 5, pak má matice rozměr 12 x 5. Každý prvek matice je křivka, závislost i-tý ukazatel od j-tý parametr. Každý bod křivky je průměrnou hodnotou ukazatele na poměrně reprezentativním segmentu T n nebo průměr z několika experimentů.

Mělo by být zřejmé, že křivky byly pořízeny za předpokladu, že všechny parametry kromě jednoho byly během procesu jejich pořizování nezměněny. (Pokud by všechny parametry změnily hodnoty, křivky by byly jiné. Ale nedělají to, protože je to úplný nepořádek a závislosti nebudou viditelné.)

Pokud se tedy na základě zvážení zachycených křivek rozhodne, že určitý parametr bude v QS změněn, pak všechny křivky pro nový bod, ve kterém je otázka, který parametr by se měl změnit, aby se zlepšil výkon bude znovu vyšetřováno, by měl být znovu odstraněn.

Krok za krokem se tedy můžete pokusit zlepšit kvalitu systému. Ale zatím tato technika nemůže odpovědět na řadu otázek. Faktem je, že za prvé, pokud křivky rostou monotónně, pak vyvstává otázka, kde se má člověk přeci jen zastavit. Za druhé mohou vznikat rozpory, jeden ukazatel se může zlepšit změnou zvoleného parametru, zatímco druhý se současně zhorší. Za třetí, řadu parametrů je obtížné číselně vyjádřit, například změnu disciplíny služby, změnu směrů toku, změnu topologie QS. Hledání řešení v posledních dvou případech probíhá pomocí metod zkoumání (viz přednáška 36. Odbornost) a metod umělé inteligence (viz.

Proto nyní probereme pouze první otázku. Jak se rozhodnout, jaká by měla být hodnota parametru, pokud se svým růstem ukazatel neustále monotónně zlepšuje? Je nepravděpodobné, že hodnota nekonečna bude vyhovovat inženýrovi.

Parametr R- správa je to, co má vlastník HIO k dispozici (například možnost asfaltovat web a tím zvýšit počet míst ve frontě, umístit další kanály, zvýšit tok aplikací zvýšením nákladů na reklamu a již brzy). Změnou ovládání můžete ovlivnit hodnotu ukazatele P, cíl, kritérium (pravděpodobnost poruch, propustnost, průměrná doba provozu atd.). Z Obr. 30.10 je vidět, že pokud zvýšíme kontrolu R, pak můžete vždy dosáhnout zlepšení indikátoru P... Je ale zřejmé, že každé řízení je spojeno s náklady. Z... A čím více úsilí je věnováno kontrole, tím větší je hodnota parametru kontroly, tím vyšší jsou náklady. Náklady na správu obvykle rostou lineárně: Z = C jeden · R ... Ačkoli existují případy, kdy například v hierarchických systémech rostou exponenciálně, někdy - exponenciálně zpět (slevy pro velkoobchod) a tak dále.

Rýže. 30.10. Závislost P indexu
z řízeného parametru R (příklad)

V každém případě je jasné, že jednoho dne se investice všech nových nákladů prostě přestane vyplácet. Například efekt vyasfaltovaného místa o ploše 1 km 2 pravděpodobně nezmění náklady majitele čerpací stanice v Urjupinsku, prostě nebude tolik lidí ochotných tankovat. Jinými slovy, indikátor P ve složitých systémech nemůže růst donekonečna. Dříve nebo později se její růst zpomalí. A náklady Z růst (viz obr. 30.11).

Rýže. 30.11. Závislost vlivu na použití P indikátoru

Z Obr. 30.11 je vidět, že při stanovení ceny C 1 za jednotkovou cenu R a ceny C 2 na jednotku ukazatele P, tyto křivky lze skládat. Křivky se přidávají, pokud je třeba je současně minimalizovat nebo maximalizovat. Pokud má být jedna křivka maximalizována a druhá minimalizována, pak by měl být jejich rozdíl nalezen např. po bodech. Pak bude mít výsledná křivka (viz obr. 30.12), která zohledňuje jak efekt hospodaření, tak náklady na něj, extrém. Hodnota parametru R, poskytující extrém funkce, je řešení problému syntézy.

Rýže. 30.12. Celková závislost efektu na použití P indikátoru
a náklady Z na jeho získání jako funkce řízeného parametru R

Kromě managementu R a indikátor P v systémech je porucha. Poruchy jsou označeny jako D = {d 1 , d 2, ...), viz obr. 30.13. Perturbace je vstupní akce, která na rozdíl od řídicího parametru nezávisí na vůli vlastníka systému. Například nízké teploty venku, konkurence bohužel snižují tok zákazníků, poruchy zařízení nepříjemně snižují výkon systému. A vlastník systému nemůže tyto hodnoty přímo spravovat. Obvykle zášť působí „navzdory“ majiteli a snižuje účinek P z manažerského úsilí R... Je to proto, že obecně systém je vytvořen k dosažení cílů, které jsou samy o sobě v přírodě nedosažitelné. Osoba organizující systém vždy doufá, že prostřednictvím něj dosáhne nějakého cíle. P... Vynakládá na to své úsilí. R jít proti přírodě. Systém - organizace přírodních složek, které má člověk k dispozici, které studuje za účelem dosažení nějakého nového cíle, dříve nedosažitelného jinými způsoby.

Rýže. 30.13. Symbolické označení studovaného systému,
který je ovlivněn regulačními akcemi R a poruchami D

Pokud tedy odstraníme závislost ukazatele P od vedení R znovu (jak je znázorněno na obr. 30.10), ale v podmínkách objevené poruchy D, pak se možná změní charakter křivky. S největší pravděpodobností bude indikátor nižší při stejných hodnotách ovládacích prvků, protože rozhořčení má "ošklivý" charakter a snižuje indikátory systému (viz obr. 30.14). Systém, ponechaný sám sobě, bez úsilí vládnoucího charakteru, přestává poskytovat cíl, pro který byl vytvořen... Pokud jako dříve zkonstruujeme závislost nákladů, korelujeme ji se závislostí ukazatele na kontrolním parametru, pak se nalezený krajní bod posune (viz obr. 30.15) ve srovnání s případem „narušení = 0“ (viz. obr. 30.12).

Rýže. 30.14. Závislost indikátoru P na regulačním parametru R
pro různé hodnoty poruch D

Pokud poruchu opět zvýšíte, křivky se změní (viz obr. 30.14) a v důsledku toho se opět změní poloha extrémního bodu (viz obr. 30.15).

Rýže. 30.15. Nalezení extrémního bodu na celkové závislosti
při různých hodnotách působícího rušivého faktoru D

Nakonec jsou všechny nalezené pozice extrémních bodů přeneseny do nového grafu, kde tvoří závislost Indikátor P z Kontrolní parametr R když se to změní Poruchy D(viz obr. 30.16).

Rýže. 30.16. Závislost P exponentu na manažerovi
parametr R při hodnotách poruch D
(křivka se skládá pouze z extrémních bodů)

Všimněte si, že ve skutečnosti může mít tento graf jiné provozní body (graf je jakoby prostoupen rodinami křivek), ale body, které jsme vykreslili, nastavují souřadnice řídicího parametru, při kterém pro dané poruchy (!) , Je dosaženo největší možné hodnoty ukazatele P .

Tento graf (viz obr. 30.16) spojuje indikátor P, Management (zdroj) R a Pobouření D ve složitých systémech, naznačující, jak co nejlépe jednat s rozhodovatelem (rozhodovatelem) v podmínkách vzniklých poruch. Nyní může uživatel, zná skutečnou situaci na objektu (hodnotu narušení), rychle podle harmonogramu určit, jaká kontrolní akce na objektu je nezbytná pro zajištění nejlepší hodnoty zájmového ukazatele.

Všimněte si, že pokud je kontrolní akce menší než optimální, pak se celkový efekt sníží a nastane situace ušlého zisku. Pokud je kontrolní akce více než optimální, pak efekt taky se sníží, protože za další zvýšení manažerského úsilí bude nutné zaplatit vyšší hodnotou, než jakou získáte jeho použitím (úpadek).

Poznámka... V textu přednášky jsme použili slova „management“ a „resource“, tedy tomu jsme věřili R = U... Mělo by být vyjasněno, že správa hraje pro vlastníka systému určitou omezenou hodnotu. To znamená, že je to pro něj vždy cenný zdroj, za který musí vždy platit a kterého je vždy nedostatek. Pokud by tato hodnota nebyla omezena, mohli bychom díky nekonečné hodnotě kontrol dosáhnout nekonečně velkých hodnot cílů, ale nekonečně velké výsledky v přírodě zjevně nejsou pozorovány.

Někdy se rozlišuje samotné ovládání U a zdroj R, nazývající zdroj nějakou zásobou, tedy hranicí možné hodnoty kontrolní akce. V tomto případě se pojmy zdroje a řízení neshodují: U < R... Někdy se rozlišuje mezní hodnota kontroly U ≤ R a integrální zdroj ∫Udt ≤ R .

V posledních desetiletích vyvstala v nejrozmanitějších oblastech národního hospodářství potřeba řešit pravděpodobnostní problémy spojené s provozem systémů hromadné obsluhy. Příkladem takových systémů jsou telefonní ústředny, opravny, obchodní provozovny, pokladny atd. práce jakéhokoli systému front spočívá v obsluze toku požadavků, které do něj vstupují (hovory předplatitelům, když zákazníci jdou do obchodu, požadavky na provádění práce v dílně atd.).
Matematická disciplína, která studuje modely skutečných systémů hromadné obsluhy, se nazývá teorie front. Úkolem teorie hromadné obsluhy je stanovit závislost výsledných ukazatelů výkonu systému zařazování do front (pravděpodobnost, že bude požadavek obsloužen; matematické očekávání počtu obsluhovaných požadavků atd.) na vstupních ukazatelích (počet zařízení v systému, parametry příchozího toku požadavků atd.) .) je možné tyto závislosti ve vzorové podobě stanovit pouze pro jednoduché systémy hromadné obsluhy. Studium reálných systémů se provádí imitací, případně modelováním jejich práce na počítači metodou statistických testů.
Systém řazení do fronty je považován za specifikovaný, pokud jsou stanoveny následující:
1) příchozí tok požadavků, nebo jinak řečeno distribuční zákon, který charakterizuje okamžiky příchodu požadavků do systému. Základní příčina tvrzení se nazývá zdroj. V následujícím se shodneme na předpokladu, že zdroj má neomezený počet požadavků a že požadavky jsou homogenní, to znamená, že se liší pouze v okamžicích svého výskytu v systému;
2) servisní systém sestávající z úložného zařízení a servisní jednotky. To druhé je jedno nebo několik servisních zařízení, která budou dále nazývána zařízeními. Každý požadavek musí být odeslán na jedno ze zařízení, aby mohl být obsluhován. Požadavky možná budou muset počkat, až budou přípravky k dispozici. V tomto případě jsou požadavky v akumulátoru a tvoří jednu nebo více front. Předpokládejme, že k přenosu požadavku z úložného zařízení do servisního uzlu dojde okamžitě;
3) doba obsluhy zákazníka každým zařízením, která je náhodnou veličinou a vyznačuje se určitým distribučním zákonem;
4) disciplína čekání, tedy soubor pravidel upravujících počet požadavků, které jsou současně v systému. Systém, ve kterém je příchozí požadavek odmítnut, když jsou všechna zařízení zaneprázdněna, se nazývá systém bez čekání. Pokud se požadavek, kvůli kterému byla všechna zařízení zaneprázdněna, dostane do fronty a počká do té doby,
dokud není jedno ze zařízení volné, pak se takový systém nazývá čistý systém s očekáváním. Systém, ve kterém se požadavek, který zaplnil všechna zařízení, zařadí do fronty pouze v případě, že počet požadavků v systému nepřekročí určitou úroveň (jinak dojde ke ztrátě požadavku), se nazývá systém smíšených služeb;
5) kázeň služby, tj. soubor pravidel, podle kterých se žádost vybírá z fronty na doručení. V praxi se nejčastěji používají následující pravidla:
- žádosti jsou přijímány k doručení podle zásady „kdo dřív přijde, je dřív na řadě“;
- žádosti jsou přijímány k doručení podle minimální doby pro přijetí odmítnutí;
- žádosti jsou přijímány do služby v náhodném pořadí podle daných pravděpodobností;
6) kázeň fronty, tzn. sada pravidel, podle kterých požadavek upřednostňuje jednu nebo druhou frontu (pokud jich je několik) a nachází se ve vybrané frontě. Příchozí požadavek může být například umístěn do nejkratší fronty; v této frontě může být umístěn jako poslední (taková fronta se nazývá objednaná), nebo může přejít do služby mimo pořadí. Jiné možnosti jsou také možné.

Simulační modelování systémů hromadné obsluhy

Modelka - je to jakýkoli obraz, analog, mentální nebo ustálený, obraz, popis, schéma, kresba atd. jakéhokoli předmětu, procesu nebo jevu, který v procesu poznávání (studia) nahrazuje originál, zachovává si některé typické vlastnosti důležité pro toto studium .
Modelování je studium objektu nebo systému objektů budováním a studiem jejich modelů. A také – jde o použití modelů k určení nebo zpřesnění charakteristik a racionalizaci metod konstrukce nově konstruovaných objektů.
Model je nástrojem pro studium složitých systémů.
Obecně komplexní systém je prezentován jako víceúrovňová struktura vzájemně se ovlivňujících prvků spojených do subsystémů různých úrovní. Mezi komplexní systémy patří informační systémy. Návrh takových složitých systémů se provádí ve dvou fázích.

1 Vnější provedení

V této fázi se vybírá struktura systému, jeho hlavní prvky, organizuje se interakce mezi prvky, zohledňuje se vliv vnějšího prostředí a hodnotí se výkonnostní ukazatele systému.

2 Vnitřní provedení - provedení jednotlivých prvků
systémy

Typickou metodou pro studium složitých systémů v první fázi je jejich modelování na počítači.
V důsledku modelování jsou získány závislosti, které charakterizují vliv struktury a parametrů systému na jeho účinnost, spolehlivost a další vlastnosti. Tyto závislosti slouží k získání optimální struktury a parametrů systému.
Model formulovaný v jazyce použití matematiky matematické metody volala matematický model.
Simulace je charakteristická reprodukcí jevů popsaných matematickým modelem při zachování jejich logické struktury, posloupnosti střídání v čase. K odhadu požadovaných hodnot lze využít jakékoli vhodné informace obíhající v modelu, pokud jsou pouze dostupné pro registraci a následné zpracování.
Hledané hodnoty při studiu procesů metodou simulačního modelování jsou obvykle stanoveny jako průměrné hodnoty podle dat velkého počtu implementací procesů. Pokud je počet realizací N použitých k odhadu požadovaných veličin dostatečně velký, pak na základě zákona velkých čísel získají výsledné odhady statistickou stabilitu a s přesností dostatečnou pro praxi je lze brát jako přibližné hodnoty. z hledaných množství.
Podstata simulační metody aplikované na problémy s řazením do front je následující. Algoritmy se budují
s jehož pomocí je možné generovat náhodné realizace daných toků homogenních událostí a také modelovat procesy fungování obslužných systémů. Tyto algoritmy se používají k mnohonásobné reprodukci implementace. náhodný proces službu za pevně stanovených podmínek problému. Výsledné informace o stavu procesu jsou podrobeny statistickému zpracování pro posouzení hodnot, které jsou ukazateli kvality služby.

3 Tvorba implementací náhodného proudu aplikací

Při studiu složitých systémů metodou simulace je značná pozornost věnována zohlednění náhodných faktorů.
Jako matematická schémata používaná k formalizaci působení těchto faktorů se používají náhodné události, náhodné proměnné a náhodné procesy (funkce). Tvorba realizací náhodných objektů jakékoli povahy na počítači je redukována na generování a transformaci náhodných čísel. Zvažte metodu pro získání možných hodnot náhodných veličin s daným distribučním zákonem. Pro tvorbu možných hodnot náhodných veličin s daným distribučním zákonem jsou výchozím materiálem náhodné veličiny, které mají rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1). Jinými slovy, možné hodnoty xi náhodné veličiny £, které mají rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1), lze převést na možné hodnoty yi náhodné veličiny z, jejíž distribuční zákon je dáno. Transformační metoda spočívá v tom, že náhodná čísla jsou vybrána z rovnoměrně rozdělené populace, která splňují určitou podmínku tak, že vybraná čísla splňují daný zákon rozdělení.
Předpokládejme, že je nutné získat posloupnost náhodných čísel yi s funkcí hustoty 1 ^ (y). Není-li definiční obor funkce f ^ y) omezen jednostranně nebo oboustranně, je nutné přejít na odpovídající zkrácené rozdělení. Nechť rozsah možných hodnot pro zkrácené rozdělení je (a, b).
Od náhodné veličiny d) odpovídající funkci hustoty f ^ y) přejdeme k f.
Náhodná hodnota B, bude mít rozsah možných hodnot (0, 1) a funkci hustoty f ^ (z) dané výrazem.
Nechť je maximální hodnota f ^ (z) rovna f m. Definujme rovnoměrná rozdělení v intervalech (0, 1) náhodných čísel x 2 i-1 a x 2 i. Postup pro získání posloupnosti yi náhodných čísel s funkcí hustoty ^ (y) je redukován na následující:
1) dvojice náhodných čísel x2i-1 jsou vybrány z počáteční populace,
2) u těchto čísel se ověřuje platnost nerovnosti
x 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) pokud je splněna nerovnost (3), pak se ze vztahu určí další číslo yi
yi = a + (b-a) x 21 (4)
Při modelování servisních procesů je nutné tvořit realizace náhodného proudu homogenních událostí (nároků). Každá toková událost je charakterizována časem tj, ve kterém nastane. K popisu náhodného toku homogenních událostí jako náhodného procesu stačí specifikovat distribuční zákon charakterizující posloupnost náhodných veličin, tj. Abychom získali realizaci proudu homogenních událostí t1, t2 ..., tk, je nutné vytvořit realizaci zbz 2, ..., zk k-rozměrného náhodného vektoru £ 2, ..., Sk a vypočítejte hodnoty ti v souladu s následujícími poměry:
t2 =
Nechť stacionární obyčejné proudění s omezeným následným účinkem je dáno funkcí hustoty f (z). V souladu s Palmovým vzorcem (6) najdeme funkci hustoty f1 (z1) pro první interval z1.
1- Jf (u) du
Nyní můžeme vygenerovat náhodné číslo z b, jak je ukázáno výše, odpovídající funkci hustoty f1 (z1), a získat okamžik, kdy se objeví první řád t1 = z1... Dále vytvoříme řadu náhodných čísel odpovídajících funkci hustoty f (z) a pomocí vztahu (4) vypočítáme hodnoty veličin t2, t3, .., tk.
4 Zpracování výsledků simulace
Při implementaci modelovacích algoritmů na počítači jsou generovány informace o stavech studovaného systému. Tyto informace jsou výchozím materiálem pro stanovení přibližných hodnot požadovaných veličin, nebo, jak se říká, odhadů pro požadovaná množství.
Odhad pravděpodobnosti události A se vypočítá podle vzorce
p(A) = mN. (7)
Odhad střední hodnoty x náhodné veličiny B, počítáno podle
vzorec
_ 1 n
k = 1
Odhad S 2 pro rozptyl náhodné veličiny ^ se vypočítá podle vzorce
1 N 1 ( N L 2
S2 = 1 Ano xk 2-5> J (9)
Odhad korelačního momentu K ^ pro náhodné veličiny B, a C s možnými hodnotami x k a y k se vypočítá podle vzorce
1 N 1 NN
Y> [ Uh

5 Příklad modelování QS
Zvažte následující systém:
1 Požadavky přicházejí v náhodných okamžicích, zatímco
časový interval Q mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími požadavky má exponenciální zákon s parametrem já, tj. distribuční funkce má tvar
>0. (11) Servisní systém se skládá ze zařízení s identickými čísly.
3 Čas T o bsl - náhodná veličina se zákonem o rovnoměrném rozdělení na segmentu.
4 Systém bez čekání, tzn. požadavek, kvůli kterému byla všechna zařízení zaneprázdněna, opouští systém.
5 Disciplína obsluhy je následující: pokud je v okamžiku příchodu k-tého požadavku první server volný, začne požadavek obsluhovat; pokud je tento server zaneprázdněn a druhý je volný, pak požadavek obslouží druhý server atd.
Je požadováno odhadnout matematická očekávání počtu požadavků obsluhovaných systémem v čase T a zamítnutých.
Pro počáteční okamžik výpočtu zvolíme okamžik příchodu prvního požadavku T1 = 0. Uveďme následující označení: Тk je okamžik příchodu k-tého zákazníka; ti - okamžik ukončení obsluhy požadavku i-té zařízení, i = 1, 2, 3, ..., s.
Předpokládejme, že v čase T 1 jsou všechny servery volné.
První požadavek dorazí na server 1. Doba služby tímto serverem je rovnoměrně rozložena po segmentu. Konkrétní hodnotu tosl tohoto času tedy najdeme podle vzorce
(12)
kde r je hodnota náhodné proměnné R rovnoměrně rozložené v segmentu. Zařízení 1 bude po dobu t o wsl zaneprázdněno. Okamžik času t 1 konce obsluhy požadavku serverem 1 by proto měl být považován za rovný: t 1 = T1 + t o bsl.
Poté přidáte 1 na počítadlo vyřízených nároků a přejdete k dalšímu požadavku.
Předpokládejme, že k požadavkům již bylo zváženo. Stanovme okamžik T k + 1 příchodu (k + 1) -tého zákazníka. K tomu zjistíme hodnotu t časového intervalu mezi po sobě jdoucími požadavky. Protože tento interval má indikativní zákon, pak
12
х = - V r (13)
| Ll
kde r je sekvenční hodnota náhodné veličiny R. Potom okamžik příchodu (k + 1) požadavku: T k +1 = Tk + T.
Je v tuto chvíli první zařízení zdarma? Pro zodpovězení této otázky je nutné zkontrolovat stav ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>Tk +1, pak je první server v okamžiku Tk +1 zaneprázdněn. V tomto případě zkontrolujeme, zda je druhé zařízení volné. Pokud je podmínka i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, pak zkontrolujeme podmínku 1s<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >Tk +1, pak jsou v tuto chvíli Tk +1 všechny servery zaneprázdněné. V tomto případě přidejte jedničku do počítadla poruch a přejděte k dalšímu požadavku. Pokaždé, po výpočtu Т k +1, je nutné zkontrolovat stav dokončení realizace: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Opakováním tohoto testu nkrát (s použitím různých r) a zprůměrováním výsledků experimentů určíme odhady matematických očekávání počtu obsluhovaných požadavků a počtu požadavků, které byly zamítnuty:
(14)
(Ji
nj = 1
kde (n obsl) j a (n obs) j jsou hodnoty n obs a n obs v j-tém experimentu.
13

Seznam použitých zdrojů
1 Emeljanov A.A. Simulace ekonomických procesů [Text]: Učebnice. manuál pro univerzity / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasová, R.V. Myslel. - M.: Finance a statistika, 2002. - 368s.
2 Buslenko, N.P. Modelování komplexních systémů [Text] / N.P. Buslenko. - M.: Nauka, 1978. - 399. léta.
3 rady B.Ya. Modelovací systémy [Text]: Učebnice. pro univerzity / B.Ya. Sovetov, S.A. Jakovlev. -M. : Vyšší. škola, 1985 .-- 271 s.
4 Rady B.Ya. Modelovací systémy [Text]: Laboratorní cvičení: Učebnice. manuál pro vysoké školy v oboru: "Automat. systém. zpracování informací a řízení." / B.Ya. Sověti, S.A. Jakovlev. -M. : Vyšší. shk., 1989. - 80 s.
5 Maksimi I.V. Počítačová simulace [Text] / Maxim, I.V. -M: ROZHLAS A KOMUNIKACE, 1988 .-- 231s.
6 Wentzel E.S. Teorie pravděpodobnosti [Text]: učebnice. pro univerzity / E.S. Účel větrání.- M.: Vyssh. shk., 2001 .-- 575 s.
7 Gmurman, V.E. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika [Text]: učebnice. příspěvek / V.E. Gmurman - M.: Vyšší. shk., 2001 .-- 479 s.
Příloha A
(Požadované)
Přibližná témata výpočetních a grafických prací
1 V traumacentru je jeden lékař. Délka léčby pacienta
a časové intervaly mezi přijetím pacientů jsou náhodné proměnné rozdělené podle Poissonova zákona. Podle závažnosti poranění jsou pacienti rozděleni do tří kategorií, přijetí pacienta libovolné kategorie je náhodná událost s ekvipravděpodobným rozdělením. Lékař se nejprve zabývá pacienty s nejtěžšími zraněními (v pořadí jejich příchodu), pak, pokud nejsou žádné, s pacienty střední závažnosti a teprve poté - s pacienty s lehkými zraněními. Simulujte proces a odhadněte průměrné čekací doby ve frontě pacientů v každé kategorii.
2 V městském autoservisu jsou dvě opravárenské zóny. První slouží krátkodobě a střednědobě na opravy, druhý střední a dlouhý. Při výskytu poruch je doprava dodávána do vozového parku; časový interval mezi dodávkami je náhodná Poissonova proměnná. Doba trvání opravy je náhodná veličina se zákonem normálního rozdělení. Simulujte popsaný systém. Odhadněte průměrné čekací doby ve frontě přepravy vyžadující krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé opravy.
3 Minimarket s jedním kontrolorem - pokladní obsluhuje zákazníky, jejichž příchozí tok se řídí Poissonovým zákonem s parametrem 20 zákazníků/hod. Proveďte simulaci popsaného procesu a určete pravděpodobnost prostoje pro kontrolor - pokladní, průměrnou délku fronty, průměrný počet zákazníků v obchodě, průměrnou dobu čekání na obsluhu, průměrnou dobu strávenou zákazníky v pohodlí ukládat a hodnotit jeho práci.
4 Pobočková ústředna přijímá žádosti o meziměstské hovory. Tok hovorů je Poisson. Průměrně je za 1 hodinu přijato 13 žádostí. Zjistěte průměrný počet žádostí přijatých za den, průměrnou dobu mezi zobrazením žádostí. Na telefonní ústředně se poruchy objevují, pokud na ni během půl hodiny dorazí více než 50 aplikací. Najděte pravděpodobnost selhání stanice.
5 Na stanici Údržba přijde to nejjednodušší
proud aplikací s intenzitou 1 auto za 2 hod. Ve frontě na nádvoří nesmí být více než 3 auta. Průměrná doba opravy je 2 hodiny. Vyhodnoťte práci QMS a vypracujte doporučení pro zlepšení služby.
6 Jeden tkadlec obsluhuje skupinu tkalcovských stavů, provádí podle potřeby krátkodobé zásahy, jejichž trvání je náhodná veličina. Simulujte popsanou situaci. Jaká je pravděpodobnost odstávky u dvou strojů najednou? Jak dlouhá je průměrná doba odstávky jednoho stroje.
7 Na meziměstské telefonní ústředně obsluhují dva telefonisté společnou frontu objednávek. Další objednávku obslouží operátor, který jako první uvolnil. Pokud jsou oba v době přijetí objednávky zaneprázdněni, hovor se zruší. Simulujte proces za předpokladu, že vstupní proudy jsou Poissonovy.
8 V traumacentru pracují dva lékaři. Délka léčby bolí
a časové intervaly mezi přijetím pacientů jsou náhodné hodnoty distribuované podle Poissonova zákona. Podle závažnosti poranění jsou pacienti rozděleni do tří kategorií, přijetí pacienta libovolné kategorie je náhodná událost s ekvipravděpodobným rozdělením. Lékař se nejprve zabývá pacienty s nejtěžšími zraněními (v pořadí jejich příchodu), pak, pokud nejsou žádné, s pacienty střední závažnosti a teprve poté - s pacienty s lehkými zraněními. Simulujte proces a odhadněte průměrné čekací doby ve frontě pacientů v každé kategorii.
9 Na meziměstské telefonní ústředně obsluhují dva telefonisté
všeobecná fronta objednávek. Další objednávku vyřídí tento telefonní operátor,
která se jako první osvobodila. Pokud jsou oba v době přijetí objednávky zaneprázdněni, vytvoří se fronta. Simulujte proces za předpokladu, že vstupní proudy jsou Poosen.
10 V systému přenosu dat se datové pakety vyměňují mezi uzly A a B přes duplexní komunikační kanál. Pakety přicházejí do bodů systému od účastníků s časovými intervaly mezi nimi 10 ± 3 ms. Přenos paketu trvá 10 ms. Odstavce mají registry vyrovnávacích pamětí, které mohou ukládat dva pakety, včetně jednoho přenášeného. V případě, že paket dorazí v době obsazenosti registrů, je systémovým bodům poskytnut výstup na satelitní poloduplexní komunikační linku, která přenáší datové pakety za 10 ± 5 ms. Když je satelitní linka obsazená, paket je odmítnut. Simulujte výměnu informací v systému přenosu dat po dobu 1 min. Určete frekvenci volání na satelitní linku a její zatížení. V případě možnosti poruch určete objem vyrovnávacích registrů potřebných pro bezporuchový provoz systému.
11 Předpokládejme, že standardní systém je použit na telefonní ústředně s jedním vchodem: pokud je účastník obsazený, fronta se netvoří a je nutné volat znovu. Simulujte situaci: tři účastníci se pokusí zavolat stejnému majiteli čísla a v případě úspěchu s ním nějakou dobu (náhodně trvající) mluvit. Jaká je pravděpodobnost, že se to někomu, kdo se snaží projít, nepodaří za určitou dobu T.
12 Obchodní společnost plánuje vyřizovat objednávky na nákup zboží telefonicky, k čemuž je nutné nainstalovat příslušnou miniautomatickou telefonní ústřednu s více telefony. Pokud objednávka přijde, když jsou všechny linky obsazené, je zákazník odmítnut. Pokud je v okamžiku přijetí žádosti alespoň jeden řádek volný, provede se přechod na tento řádek a objednávka je zadána. Intenzita příchozího toku aplikací je 30 objednávek za hodinu. Doba zpracování žádosti je v průměru 5 minut. Definovat optimální počet servisních kanálů pro zajištění stavu stacionárního provozu QS.
13 V samoobsluze je 6 pokladních. Příchozí proud kupujících se řídí Poissonovým zákonem s intenzitou 120 osob/hod. Jedna pokladní může obsloužit 40 osob za hodinu. Určete pravděpodobnost výpadku pokladny, průměrný počet zákazníků ve frontě, průměrnou dobu čekání a průměrný počet zaneprázdněných pokladních. Uveďte hodnocení práce SOT.
14 Samoobslužný obchod přijímá Poissonův proud rychlostí 200 nakupujících za hodinu. Během dne je obsluhují 3 pokladní s intenzitou 90 zákazníků za hodinu. Intenzita vstupní proud ve špičce stoupá na 400 zákazníků za hodinu a v době recese dosahuje 100 zákazníků za hodinu. Určete pravděpodobnost fronty v obchodě a průměrnou délku fronty během dne, stejně jako počet pokladních-pokladníků potřebných během špičky a poklesu, aby byla zajištěna stejná délka fronty a pravděpodobnost fronty jako v nominálním režimu.
15 Průměrný počet zákazníků přicházejících do vypořádacího centra v samoobsluze je 100 osob/hod. Pokladní může obsloužit 60 osob za hodinu. Simulujte proces a určete, kolik pokladníků je potřeba, aby pravděpodobnost fronty nepřesáhla 0,6.
16 Proveďte simulaci fronty v obchodě s jedním prodejcem za stejně pravděpodobných distribučních zákonů náhodných veličin: příchod zákazníků a trvání obsluhy (pro určitou pevnou sadu parametrů). Získejte stabilní charakteristiky: průměrné hodnoty zákazníka čekajícího ve frontě a doba nečinnosti prodejce čekající na příchod kupujících. Posuďte jejich spolehlivost.
17 Simulujte frontu v obchodě s jedním prodejcem podle Poissonových zákonů distribuce náhodných proměnných: příchod zákazníků a doba trvání služby (pro určitou fixní na spoustu parametrů). Získejte stabilní charakteristiky: průměrné hodnoty zákazníka čekajícího ve frontě a doba nečinnosti prodejce čekající na příchod kupujících. Posuďte jejich spolehlivost.
18 Vytvořte model čerpací stanice. Najděte metriky kvality služeb. Určete počet stojanů tak, aby se fronta nezvyšovala.
19 Průměrný počet nakupujících vstupujících do samoobsluhy je 60 za hodinu. Pokladní může obsloužit 35 osob za hodinu. Simulujte proces a určete, kolik pokladníků je potřeba, aby pravděpodobnost fronty nepřesáhla 0,6.
20 Navrhněte model autobusové trasy s n zastávkami. Stanovte ukazatele účinnosti používání SOT.

Markovův náhodný proces s diskrétními stavy a spojitým časem uvažovaný v předchozí přednášce probíhá v systémech hromadné obsluhy (QS).

Systémy řazení - jedná se o systémy, do kterých servisní požadavky přicházejí v náhodných časech, přičemž přijaté požadavky jsou obsluhovány pomocí servisních kanálů dostupných systému.

Příklady systémů řazení do fronty jsou:

  • zúčtovací a hotovostní centra v bankách, v podnicích;
  • osobní počítače obsluhující příchozí aplikace nebo požadavky na řešení určitých problémů;
  • autoservisy; Čerpací stanice;
  • auditorské firmy;
  • oddělení daňové inspektoráty zabývající se akceptací a ověřováním aktuálního výkaznictví podniků;
  • telefonní ústředny atd.

Uzly

Požadavky

Nemocnice

Objednavatelé

Pacienti

Výroba

Letiště

Výjezdy z dráhy

Registrační body

Cestující

Uvažujme schéma práce QS (obr. 1). Systém se skládá z generátoru požadavků, dispečerského a servisního uzlu, jednotky pro měření odmítnutí (terminátor, ničitel objednávek). Servisní uzel může mít obecně několik servisních kanálů.

Rýže. jeden
  1. Generátor požadavků - objekt generující aplikace: ulice, dílna s instalovanými jednotkami. Vstup přijímá tok aplikací(tok zákazníků do prodejny, tok rozbitých jednotek (strojů, obráběcích strojů) k opravám, tok návštěvníků šatní skříně, tok aut k čerpací stanici atd.).
  2. Odesílatel - osoba nebo zařízení, které ví, co dělat s aplikací. Uzel, který reguluje a směruje požadavky na servisní kanály. Odesílatel:
  • přijímá přihlášky;
  • vytvoří frontu, pokud jsou všechny kanály obsazené;
  • nasměruje je na servisní kanály, jsou-li k dispozici;
  • odmítá žádosti (z různých důvodů);
  • přijímá informace od servisního uzlu o volných kanálech;
  • sleduje dobu provozuschopnosti systému.
  1. Fronta - akumulátor aplikací. Nemusí tam být žádná fronta.
  2. Servisní uzel sestává z konečného počtu servisních kanálů. Každý kanál má 3 stavy: volný, obsazený, nefunkční. Pokud jsou všechny kanály obsazené, můžete přijít se strategií, komu poslat požadavek.
  3. Zamítnutí ze služby dojde, pokud jsou všechny kanály obsazené (některé z nich nemusí fungovat).

Kromě těchto základních prvků v CMO některé zdroje rozlišují také tyto složky:

terminátor - ničitel transakcí;

sklad - akumulátor zdrojů a hotových výrobků;

účetní účet - pro provádění transakcí typu "účtování";

manažer - správce zdrojů;

Klasifikace SOT

První divize (podle přítomnosti front):

  • CMO s poruchami;
  • CMO s frontou.

PROTI CMO s odmítnutím požadavek, který dorazí v době, kdy jsou všechny kanály obsazené, obdrží odmítnutí, opustí QS a nebude v budoucnu obsluhován.

PROTI CMO s frontou požadavek, který dorazí v době, kdy jsou všechny kanály obsazené, neodejde, ale zařadí se do fronty a čeká na příležitost k obsloužení.

Fronty jsou rozděleny do různých typů v závislosti na tom, jak je fronta organizována, - omezené nebo neomezené... Omezení se může týkat jak délky fronty, tak čekací doby, „obslužné kázně“.

Zvažují se tedy například následující QS:

  • QS s netrpělivými požadavky (délka fronty a doba obsluhy jsou omezené);
  • QS s prioritní službou, tj. některé požadavky jsou obsluhovány mimo pořadí atd.

Typy omezení fronty lze kombinovat.

Další klasifikace rozděluje SOT podle zdroje žádostí. Požadavky (požadavky) může generovat systém sám nebo nějaké externí prostředí, které existuje nezávisle na systému.

Tok aplikací generovaných samotným systémem bude přirozeně záviset na systému a jeho stavu.

Kromě toho se CMO dělí na otevřeno CMO a Zavřeno CMO.

V otevřeném QS nezávisí charakteristiky toku aplikací na stavu samotného QS (kolik kanálů je obsazeno). V uzavřeném QS jsou závislé. Pokud například jeden pracovník obsluhuje skupinu strojů, které čas od času vyžadují seřízení, pak intenzita toku „požadavků“ na straně strojů závisí na tom, kolik z nich již správně pracuje a čeká na seřízení.

Příklad uzavřeného systému: výplata mzdy pokladní v podniku.

Podle počtu kanálů se CMO dělí na:

  • jednokanálový;
  • vícekanálový.

Charakteristika systému hromadné obsluhy

Hlavní charakteristiky systému řazení jakéhokoli druhu jsou:

  • vstupní tok příchozích požadavků nebo požadavků na služby;
  • kázeň ve frontě;
  • servisní mechanismus.

Vstupní proud požadavků

Chcete-li popsat vstupní proud, musíte nastavit pravděpodobnostní zákon, který určuje pořadí časů, kdy přijdou požadavky na službu, a uveďte počet takových nároků v každém pravidelném příjmu. V tomto případě se zpravidla pracuje s pojmem „pravděpodobnostní rozložení okamžiků přijetí reklamací“. Zde mohou dělat jako individuální a skupinové požadavky (počet takových nároků v každém následném přijetí). V druhém případě obvykle mluvíme o servisním systému se službou paralelních skupin.

A i- čas příchodu mezi požadavky - nezávislé identicky rozdělené náhodné veličiny;

E (A)- průměrná (MO) doba přijetí;

λ = 1 / E (A)- intenzita přijímání žádostí;

Vlastnosti vstupního proudu:

  1. Pravděpodobnostní zákon, který určuje posloupnost časů přijetí servisních požadavků.
  2. Počet požadavků v každém následném příchodu pro skupinové toky.

Disciplína ve frontě

Fronta - soubor požadavků čekajících na službu.

Fronta má jméno.

Disciplína ve frontě definuje princip, podle kterého jsou požadavky přicházející na vstup obslužného systému zařazovány z fronty do obslužné procedury. Nejčastěji používané frontové disciplíny jsou definovány následujícími pravidly:

  • kdo dřív přijde, ten dřív mele;

první dovnitř, první ven (FIFO)

nejběžnější typ fronty.

Jaká datová struktura by byla vhodná pro popis takové fronty? Pole je špatné (omezené). Můžete použít strukturu typu SEZNAM.

Seznam má začátek a konec. Seznam se skládá ze záznamů. Záznam je buňka v seznamu. Požadavek dorazí na konec seznamu a je vybrán pro službu od začátku seznamu. Záznam se skládá z charakteristik aplikace a odkazu (indikátor toho, kdo je pozadu). Kromě toho, pokud má fronta časový limit, musí být také specifikován časový limit.

Jako programátoři byste měli být schopni vytvářet oboustranné, jednostranné seznamy.

Seznam akcí:

  • vložit do ocasu;
  • brát od začátku;
  • odstranit ze seznamu po vypršení časového limitu.
  • přišel poslední - sloužil jako první LIFO (svorka na náboje, slepá ulička na nádraží, šla do nacpaného vagónu).

Struktura známá jako STACK. Může být popsán polem nebo strukturou seznamu;

  • náhodný výběr aplikací;
  • výběr aplikací podle prioritního kritéria.

Každá aplikace se mimo jiné vyznačuje úrovní priority a po příchodu se nezařadí na konec fronty, ale na konec své prioritní skupiny. Dispečer řadí podle priority.

Charakteristika fronty

  • omezeníčekací doba okamžik nástupu služby (existuje fronta s omezenou dobou čekání na obsluhu, která je spojena s pojmem „přípustná délka fronty“);
  • délka fronty.

Servisní mechanismus

Servisní mechanismus je určena charakteristikou samotného servisního postupu a strukturou obslužného systému. Mezi vlastnosti postupu údržby patří:

  • počet servisních kanálů ( N);
  • dobu trvání servisního řízení (pravděpodobnostní rozložení doby obsluhy pohledávek);
  • počet nároků uspokojených v důsledku každého takového řízení (u skupinových žádostí);
  • pravděpodobnost selhání obslužného kanálu;
  • strukturu systému služeb.

Pro analytický popis charakteristik servisního postupu se pracuje s pojmem „pravděpodobnostní rozložení času obsluhy zákazníka“.

S i- servisní doba i požadavky;

E (S)- průměrná doba provozu;

μ = 1 / E (S)- rychlost obsluhy požadavků.

Je třeba poznamenat, že doba obsluhy požadavku závisí na charakteru samotného požadavku nebo požadavků klienta a na stavu a možnostech obslužného systému. V některých případech je také nutné počítat pravděpodobnost selhání servisního kanálu po určitém omezeném časovém intervalu. Tuto charakteristiku lze modelovat jako tok poruch vstupujících do QS a majících prioritu před všemi ostatními aplikacemi.

Míra využití CMO

N· Μ je servisní rychlost v systému, když jsou všechna servisní zařízení zaneprázdněna.

ρ=λ/( Nμ) se nazývá koeficient využití systému , ukazuje, jak moc jsou zapojeny systémové prostředky.

Struktura servisního systému

Struktura obslužného systému je dána počtem a vzájemným uspořádáním obslužných kanálů (mechanismy, zařízení atd.). Nejprve je třeba zdůraznit, že servisní systém může mít ne jeden servisní kanál, ale několik; systém tohoto druhu je schopen obsloužit několik požadavků současně. V tomto případě všechny servisní kanály nabízejí stejné služby, a proto lze tvrdit, že existují paralelní služba .

Příklad. Pokladní přepážky v obchodě.

Servisní systém se může skládat z několika různých typů servisních kanálů, kterými musí projít každý požadavek na službu, tj. postupy zákaznického servisu jsou implementovány postupně ... Mechanismus služby definuje charakteristiky odchozího (obsluhovaného) proudu požadavků.

Příklad. Lékařská komise.

Kombinovaná služba - obsluha vkladů ve spořitelně: nejprve kontrolor, poté pokladník. Na jednu pokladní jsou zpravidla 2 kontroloři.

Tak, funkčnost jakéhokoli systému řazení do front je určena následujícími hlavními faktory :

  • pravděpodobnostní rozložení časů přijetí servisních požadavků (jednotlivých nebo skupinových);
  • síla zdroje požadavků;
  • pravděpodobnostní rozložení doby trvání služby;
  • konfigurace servisního systému (paralelní, sériová nebo paralelně sériová služba);
  • počet a výkon obslužných kanálů;
  • disciplína fronty.

Hlavní kritéria pro efektivitu fungování QS

Tak jako hlavní kritéria pro účinnost fungování systémů hromadné obsluhy v závislosti na povaze řešeného problému mohou existovat:

  • pravděpodobnost okamžitého doručení přijatého požadavku (P obsl = K obs / K post);
  • pravděpodobnost odmítnutí obsloužit přijatý požadavek (P open = K open / K post);

Je zřejmé, že P obsl + P obt = 1.

Toky, zpoždění, údržba. Pollachek-Khinchinův vzorec

Zpoždění - jedním z kritérií pro servis QS je doba, kterou aplikace stráví čekáním na servis.

D i- zpoždění ve frontě žádostí i;

W i = D i + S i- čas strávený v systému požadavku i.

(s pravděpodobností 1) je ustálené průměrné zpoždění požadavku ve frontě;

(s pravděpodobností 1) - průměrná doba ustáleného stavu strávená požadavkem v CMO (čekání).

Q (t) - počet požadavků ve frontě najednou t;

L (t)– počet požadavků v systému najednou t(Q (t) plus počet požadavků, které jsou v daném čase v provozu t.

Poté indikátory (pokud existují)

(s pravděpodobností 1) - ustálený čas-průměrný počet požadavků ve frontě;

(s pravděpodobností 1) - ustálený čas-průměrný počet požadavků v systému.

Všimněte si, že ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q a L v systému řazení.

Připomínáme, že ρ = λ / ( Nμ), pak je vidět, že pokud je intenzita příchodu požadavků větší než Nμ, pak ρ> 1 a je přirozené, že systém takový tok požadavků nezvládne, a proto nelze hovořit o hodnotách d, w, Q a L.

Mezi nejobecnější a nejnutnější výsledky pro systémy řazení patří rovnice zachování

Je třeba poznamenat, že výše uvedená kritéria pro hodnocení výkonu systému lze analyticky vypočítat pro systémy řazení M/M/N(N> 1), tj. systémy s Markovovými toky pohledávek a služeb. Pro M / G / l pro jakoukoli distribuci G a pro některé další systémy. Obecně platí, že rozdělení času mezi příchody, rozdělení času služby nebo obě tyto veličiny musí být exponenciální (nebo druh exponenciálního rozdělení Erlang k-tého řádu), aby bylo možné analytické řešení.

Kromě toho můžete také mluvit o takových vlastnostech, jako jsou:

  • absolutní propustnost systému - A = P obsl * λ;
  • relativní propustnost systému -

Další zajímavý (a názorný) příklad analytického řešení – výpočet průměrného zpoždění fronty v ustáleném stavu pro systém řazení M / G / 1 podle vzorce:

.

V Rusku je tento vzorec známý jako Pollachekův vzorec – Khinchin, v zahraničí je tento vzorec spojován se jménem Ross (Ross).

Takže když E (S) je důležitější, než přetížení (v tomto případě měřeno jako d) bude větší; což se dá očekávat. Vzorec také odhaluje méně zřejmou skutečnost: přetížení se také zvyšuje, když se zvyšuje variabilita rozložení doby služby, i když průměrná doba služby zůstává stejná. Intuitivně to lze vysvětlit následovně: rozptyl náhodné veličiny servisního času může nabývat velké hodnoty (protože musí být kladný), to znamená, že jediné servisní zařízení bude obsazeno. dlouho, což povede ke zvýšení fronty.

Předmět teorie front je stanovení vztahu mezi faktory, které určují funkčnost systému hromadné obsluhy, a účinností jeho fungování. Ve většině případů jsou všechny parametry popisující systémy řazení do front náhodné proměnné nebo funkce, proto se tyto systémy označují jako stochastické systémy.

Náhodná povaha toku reklamací (reklamací), jakož i v obecném případě trvání služby vedou k tomu, že v systému řazení dochází k náhodnému procesu. Podle povahy náhodného procesu vyskytující se v systému hromadné obsluhy (QS), rozliš Markovské a nemarkovské systémy ... V systémech Markov jsou příchozí toky požadavků a odchozí toky obsluhovaných požadavků (reklamace) Poisson. Poissonovy toky usnadňují popis a konstrukci matematický modelřadicí systémy. Tyto modely mají dost jednoduchá řešení, proto většina známých aplikací teorie front používá Markovovo schéma. V případě nemarkovských procesů se problémy studia systémů hromadné obsluhy stávají mnohem komplikovanějšími a vyžadují použití statistického modelování, numerických metod pomocí počítačů.