O ecuație în diferențiale totale este o ecuație. Ecuație în diferențiale totale

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În cazul general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), se poate lua în considerare ecuația

,

a cărui soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta, ca funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde este o funcție arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Integrarea ecuației

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
vom cauta in formular

.

Pe de alta parte,

.

În unele cazuri, starea
nu poate fi efectuată.

Apoi astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este o funcție doar de sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este raportul ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, un factor integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este raportul
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în rapoartele de mai sus, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - o variabilă , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Aduceți această ecuație la o ecuație în diferențe totale.

.

Luați în considerare relația:

.

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiția 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) este integrabilă în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr,

;

/

Ultima relație determină soluția generală a ecuației liniare omogene.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, totuși, o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
a fi determinat. Deci avem:

(8.9)

Substituind în relația (8.8) expresiile corespunzătoare
și
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), se obține integrala generală a unei ecuații liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Integrarea ecuației

Astfel, ecuația originală aparține tipului de ecuații diferențiale liniare neomogene.

În prima etapă, găsim soluția generală a ecuației liniare omogene.

;

În a doua etapă, determinăm soluția generală a ecuației liniare neomogene, care se caută sub forma

,

Unde
este funcția care trebuie definită.

Deci avem:

Înlocuirea rapoartelor pentru și în ecuația liniară neomogenă inițială obținem:

;

;

.

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene va arăta astfel:

.

Având forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, în care partea stângă este diferența totală a unei funcții $F \left(x,y\right)$ se numește ecuație în diferențiale totale.

Ecuația diferențială totală poate fi întotdeauna rescrisă ca $dF\left(x,y\right)=0$, unde $F\left(x,y\right)$ este o funcție astfel încât $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integram ambele laturi ale ecuatiei $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrala laturii din dreapta zero este egală cu o constantă arbitrară $C$. Astfel, soluția generală a acestei ecuații în formă implicită are forma $F\left(x,y\right)=C$.

Pentru ca o ecuație diferențială dată să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ să fie îndeplinită . Dacă această condiție este îndeplinită, atunci există o funcție $F\left(x,y\right)$ pentru care putem scrie: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de unde obținem două relații: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ și $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Integram prima relatie $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ peste $x$ si obtinem $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, unde $U\left(y\right)$ este o funcție arbitrară a lui $y$.

Să o alegem astfel încât a doua relație $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ să fie satisfăcută. Pentru a face acest lucru, diferențiam relația rezultată pentru $F\left(x,y\right)$ față de $y$ și echivalăm rezultatul cu $Q\left(x,y\right)$. Se obține: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\dreapta)$.

Următoarea soluție este:

• din ultima egalitate găsim $U"\left(y\right)$;
• integrați $U"\left(y\right)$ și găsiți $U\left(y\right)$;
• înlocuiți $U\left(y\right)$ în $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ și în cele din urmă obținem funcția $F\left(x,y\right)$.

\

Găsim diferența:

Integram $U"\left(y\right)$ peste $y$ si gasim $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Găsiți rezultatul: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Scriem soluția generală ca $F\left(x,y\right)=C$, și anume:

Găsiți o anumită soluție $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, unde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

O anumită soluție are forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Recuperarea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile integralei curbilinii de al doilea fel.

O expresie pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:

Funcția de căutare.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială totală a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunţului problemei, adică să se verifice condiţia necesară şi suficientă pentru diferenţialul total, care pentru o funcţie de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(X,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție după diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. optsprezece):

Astfel, se obţine că integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total dU(X,y) este egală cu diferența dintre valorile funcției U(X,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.

Cunoscând acum acest rezultat, trebuie să înlocuim în loc de dUîntr-o expresie integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul unei linii întrerupte ( ACB), ținând cont de independența acesteia față de forma liniei de integrare:

pe ( AC): pe ( SW) :

(1)

S-a obţinut astfel o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie de 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcţie din diferenţialul ei total doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (restaurarea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(X,y), dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm starea diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Condiţia diferenţialului total este satisfăcută, deci, funcţia U(X,y) poate fi restaurat.

Verificare: corecta.

Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm condițiile necesare și suficiente pentru diferența totală a unei funcții de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile diferenţialului total sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este setată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca și în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total nu depinde de forma liniei de integrare, deci este mai uşor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente paralele cu axele de coordonate. În acest caz, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar ca în acest punct și pe întreaga linie de integrare să fie îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică ca funcții și să fie continuu). Având în vedere această remarcă, în această problemă putem lua un punct fix, de exemplu, punctul M 0 . Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Se poate întâmpla ca partea stângă a ecuației diferențiale

este diferența totală a unei funcții:

și deci ecuația (7) ia forma .

Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci , și, prin urmare,

unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finală (8) într-o identitate, atunci, diferențiind identitatea rezultată, obținem , și deci, , unde este o constantă arbitrară, este o integrală generală a originalului ecuaţie.

Dacă sunt date valorile inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și

este integrala parțială dorită. Dacă în punctul , atunci ecuația (9) definește ca o funcție implicită a lui .

Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie diferența totală a unei funcții, este necesar și suficient ca

Dacă această condiție, indicată de Euler, este îndeplinită, atunci ecuația (7) este ușor de integrat. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,

Când se calculează integrala, valoarea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a . Pentru a determina funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce , obținem

Din această ecuație, determinăm și, integrând, găsim .

După cum se știe din cursul analizei matematice, este chiar mai ușor să definiți o funcție prin diferența sa totală, luând integrala curbilinie dintre un punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:

Cel mai adesea, ca cale de integrare, este convenabil să se ia o linie întreruptă compusă din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz

Exemplu. .

Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece

Prin urmare, integrala generală are forma

Puteți utiliza o altă metodă pentru definirea unei funcții:

Pentru punctul de plecare, alegem, de exemplu, originea coordonatelor, ca cale de integrare - o linie întreruptă. Atunci

iar integrala generală are forma

Ceea ce coincide cu rezultatul anterior, conducând la un numitor comun.

În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferență totală, este ușor să găsiți o funcție , după înmulțirea prin care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență totală . O astfel de funcție este numită factor integrator. Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții suplimentare speciale care transformă acest factor la zero.

Exemplu. .

Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă se transformă într-un diferențial total. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem

sau, prin integrare, . Înmulțind cu 2 și potențand, vom avea .

Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna ales atât de ușor. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să alegeți cel puțin o soluție particulară a ecuației în derivate parțiale care nu este identic zero, sau în formă extinsă

care, după împărțirea și transferul unor termeni în cealaltă parte a egalității, se reduce la formă

În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o sarcină mai simplă decât integrarea ecuației inițiale, dar în unele cazuri selectarea unei anumite soluții pentru ecuația (11) nu este dificilă.

În plus, presupunând că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este o funcție a numai sau numai , sau o funcție a numai , sau numai etc.), putem integra cu ușurință ecuația (11) și indicaţi condiţiile în care există un factor integrator al formei luate în considerare. Astfel, sunt evidențiate clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.

De exemplu, să găsim condițiile în care ecuația are un factor de integrare care depinde doar de , i.e. . În acest caz, ecuația (11) este simplificată și ia forma , de unde, presupunând că este o funcție continuă a lui , obținem

Dacă este o funcție numai a lui , atunci factorul integrator care depinde numai de , există și este egal cu (12), în caz contrar factorul integrator al formei nu există.

Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pentru o ecuație liniară sau . Într-adevăr, și, prin urmare, . În mod asemănător, pot fi găsite condiții pentru existența factorilor integratori ai formei etc.

Exemplu. Are ecuația un factor integrator de formă?

Să notăm. Ecuația (11) la ia forma , de unde sau

Pentru existența unui factor integrator de o formă dată este necesar și, în ipoteza continuității, este suficient ca numai . În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când primim. Înmulțind ecuația inițială cu , o aducem la forma

Integrând, obținem , iar după potențare vom avea , sau în coordonate polare - o familie de spirale logaritmice.

Exemplu. Găsiți forma unei oglinzi care reflectă paralel cu o direcție dată toate razele care ies dintr-un punct dat.

Plasăm originea coordonatelor într-un punct dat și direcționăm axa absciselor paralel cu direcția specificată în condițiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă în punctul . Considerăm o secțiune a oglinzii printr-un plan care trece prin axa absciselor și punctul . Să desenăm o tangentă la secțiunea considerată a suprafeței oglinzii în punctul . Deoarece unghiul de incidență al fasciculului este egal cu unghiul de reflexie, triunghiul este isoscel. Prin urmare,

Ecuația omogenă rezultată se integrează cu ușurință printr-o schimbare de variabile , dar este și mai ușor, eliberat de iraționalitatea la numitor, să o rescrieți sub forma . Această ecuație are un factor de integrare evident , , , (o familie de parabole).

Această problemă este și mai ușor de rezolvat în coordonate și, unde , în timp ce ecuația pentru secțiunea suprafețelor dorite ia forma .

Este posibil să se demonstreze existența unui factor integrator sau, ceea ce este același lucru, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu, dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispare. Prin urmare, metoda factorului de integrare poate fi considerată ca o metodă generală de integrare a ecuațiilor de forma , totuși, din cauza dificultății de a găsi factorul de integrare, această metodă este cel mai des folosită în cazurile în care factorul de integrare este evident.

Arată cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt prezentate metode de soluționare a acestuia. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențiale totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (X y) pe variabilele x, y:
.
în care .

Dacă o astfel de funcție U (X y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă ecuația diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei:
,
atunci este ușor să-l aduci la formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx. Atunci . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:
(1) .

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale

Pentru ca ecuația (1) este o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca următoarea relație să fie satisfăcută:
(2) .

Dovada

În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de x și y. punctul x 0, y0 aparține și acestei zone.

Să demonstrăm necesitatea condiției (2).
Lasă partea stângă a ecuației (1) este diferența unei funcții U (X y):
.
Atunci
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci
;
.
De aici rezultă că. Condiție de necesitate (2) dovedit.

Să demonstrăm suficiența condiției (2).
Lasă starea (2) :
(2) .
Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U (X y) că diferența sa este:
.
Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U (X y), care satisface ecuațiile:
(3) ;
(4) .
Să găsim o astfel de funcție. Integram ecuatia (3) prin x din x 0 la x, presupunând că y este o constantă:
;
;
(5) .
Diferențiați față de y, presupunând că x este o constantă și aplicați (2) :

.
Ecuația (4) va fi executat dacă
.
Integrarea peste y din y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci am găsit o funcție a cărei diferenţială este
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x0, y0) este o constantă - valoarea funcției U (X y)în punctul x 0, y0. I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe complete, trebuie să verificați condiția (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci aceasta este o ecuație în diferențiale totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație în diferențiale totale.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențiale totale:
.

Aici
, .
Diferențierea față de y, presupunând că x este constant:


.
Diferențierea


.
În măsura în care:
,
atunci ecuația dată este în diferențe totale.

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Metoda de extracție diferențială secvenţială

Cea mai simplă metodă de rezolvare a unei ecuații în diferențiale totale este metoda extragerii succesive a diferențialei. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise sub formă diferențială:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația evidențiind succesiv diferența.
;
;
;
;

.
Înlocuiește în (P1):
;
.

Metoda de integrare secvențială

În această metodă, căutăm funcția U (X y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
.
Aici φ (y) este o funcție arbitrară a lui y care trebuie definită. Este o constantă a integrării. Inlocuim in ecuatie (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y) si astfel U (X y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențe totale:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem notația:
, .
Se caută funcția U (X y), a cărui diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
.
Atunci:
(3) ;
(4) .
Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Înlocuiește în (4) :
;
.
Integram:
.
Înlocuiește în (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U definită de relația:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x0, y0)și (X y):
(7) .
În măsura în care
(8) ,
atunci integrala depinde numai de coordonatele initialei (x0, y0) si finala (X y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) și (8) găsim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U (x0, y0) este de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici, integrarea este efectuată mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) până la punctul (x0, y). Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x0, y) până la punctul (X y) .

Într-un caz mai general, trebuie să reprezentați ecuația curbei care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y) sub forma parametrica:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
și integrează peste t 1 de la T 0 la t.

Cea mai simplă integrare este peste segmentul care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y). În acest caz:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
După înlocuire, obținem integrala peste t din 0 inainte de 1 .
Această metodă, însă, duce la calcule destul de greoaie.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, LKI, 2015.