Cum să găsiți aria unui triunghi pe baza unei laturi. Cum se calculează aria unui triunghi

Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este să înmulțiți înălțimea cu lungimea bazei și apoi să împărțiți rezultatul la două. Cu toate acestea, această metodă este departe de a fi singura. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom analiza modalități de a calcula aria unor tipuri specifice de triunghiuri - dreptunghiulare, isoscel și echilaterale. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Metode universale pentru găsirea ariei unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notații speciale. Vom descifra fiecare dintre ele:

• a, b, c – lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
• r este raza cercului care poate fi înscris în triunghiul nostru;
• R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
• α este mărimea unghiului format de laturile b și c;
• β este mărimea unghiului dintre a și c;
• γ este mărimea unghiului format de laturile a și b;
• h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
• p – jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul poate fi completat cu ușurință într-un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trase de el. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original trebuie să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului format de acestea. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, atunci când înmulțim lungimea laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h .

Aria figurii în cauză se găsește înmulțind jumătate din raza cercului care poate fi înscris în el cu perimetrul său. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului descris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghiular). Acest lucru se poate face folosind calcule mai complexe, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? Particularitatea acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci găsim aria astfel:

Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. În consecință, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este egală cu a, iar mărimea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii a și rădăcinii pătrate a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit, trebuie să înmulțiți pătratul laturii a cu rădăcina pătrată a lui 3 și să împărțiți cu 4.

Un triunghi este una dintre cele mai comune forme geometrice, cu care ne familiarizăm în școala elementară. Fiecare student se confruntă cu întrebarea cum să găsească aria unui triunghi în lecțiile de geometrie. Deci, ce caracteristici ale găsirii zonei unei figuri date pot fi identificate? În acest articol vom analiza formulele de bază necesare pentru a finaliza o astfel de sarcină și, de asemenea, vom analiza tipurile de triunghiuri.

Tipuri de triunghiuri

Puteți găsi aria unui triunghi în moduri complet diferite, deoarece în geometrie există mai mult de un tip de figură care conține trei unghiuri. Aceste tipuri includ:

• Obtuz.
• Echilateral (corect).
• Triunghi dreptunghic.
• Isoscel.

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre tipurile existente de triunghiuri.

Această figură geometrică este considerată cea mai comună atunci când se rezolvă probleme geometrice. Când apare necesitatea de a desena un triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.

Într-un triunghi ascuțit, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se adună până la 180°.

Acest tip de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este oarecum mai puțin comun decât un triunghi acut. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică mai multe dintre laturile și unghiurile sale sunt cunoscute și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul este un număr negativ.

B, valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90°, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15° sau chiar 3°).

Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți câteva nuanțe, despre care vom vorbi mai târziu.

Triunghiuri regulate și isoscele

Un poligon regulat este o figură care include n unghiuri și ale cărei laturi și unghiuri sunt toate egale. Acesta este un triunghi obișnuit. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°, atunci fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60°.

Un triunghi regulat, datorită proprietății sale, este numit și figură echilaterală.

De asemenea, este de remarcat faptul că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi obișnuit și un singur cerc poate fi descris în jurul lui, iar centrele lor sunt situate în același punct.

Pe lângă tipul echilateral, se poate distinge și un triunghi isoscel, care este ușor diferit de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia latură (căreia îi sunt adiacente unghiuri egale) este baza.

Figura prezintă un triunghi isoscel DEF ale cărui unghiuri D și F sunt egale și DF este baza.

Triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este numit astfel deoarece unul dintre unghiurile sale este drept, adică egal cu 90°. Celelalte două unghiuri se adună până la 90°.

Cea mai mare latură a unui astfel de triunghi, situată opus unghiului de 90°, este ipotenuza, în timp ce celelalte două laturi sunt catetele. Pentru acest tip de triunghi se aplică teorema lui Pitagora:

Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

Figura prezintă un triunghi dreptunghic BAC cu ipotenuza AC și catetele AB și BC.

Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.

Să trecem la formulele pentru găsirea ariei unei figuri date.

Formule de bază pentru găsirea zonei

În geometrie, există două formule care sunt potrivite pentru a găsi aria celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru triunghiuri acute, obtuze, regulate și isoscele. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

După lateral și înălțime

Această formulă este universală pentru găsirea zonei figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trasate pe ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și înălțimea) este următoarea:

unde A este latura unui triunghi dat, iar H este înălțimea triunghiului.

De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi ascuțit ACB, trebuie să înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și să împărțiți valoarea rezultată la două.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi obtuz, trebuie să extindeți una dintre laturile sale și abia apoi să trasați o altitudine la el.

În practică, această formulă este folosită mai des decât altele.

Pe ambele părți și pe colț

Această formulă, ca și cea anterioară, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul ei, este o consecință a formulei de găsire a ariei lângă laturi și a înălțimii unui triunghi. Adică formula în cauză poate fi derivată cu ușurință din cea anterioară. Formularea sa arată astfel:

S = ½*sinO*A*B,

unde A și B sunt laturile triunghiului, iar O este unghiul dintre laturile A și B.

Să ne amintim că sinusul unui unghi poate fi văzut într-un tabel special numit după matematicianul sovietic remarcabil V. M. Bradis.

Acum să trecem la alte formule care sunt potrivite doar pentru tipuri excepționale de triunghiuri.

Aria unui triunghi dreptunghic

Pe lângă formula universală, care include necesitatea de a găsi altitudinea într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită din picioarele sale.

Astfel, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul catetelor sale sau:

unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

Triunghi regulat

Acest tip de figură geometrică este diferit prin faptul că aria sa poate fi găsită cu valoarea indicată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale). Deci, când vă confruntați cu sarcina de a „găsi aria unui triunghi când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:

S = A 2 *√3 / 4,

unde A este latura triunghiului echilateral.

Formula lui Heron

Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula lui Heron arată astfel:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

unde a, b și c sunt laturile unui triunghi dat.

Uneori se pune problema: „aria unui triunghi obișnuit este de a găsi lungimea laturii sale”. În acest caz, trebuie să folosim formula pe care o cunoaștem deja pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit și să obținem din aceasta valoarea laturii (sau pătratului său):

A 2 = 4S / √3.

Sarcini de examinare

Există multe formule în problemele GIA la matematică. În plus, destul de des este necesar să găsiți aria unui triunghi pe hârtie în carouri.

În acest caz, cel mai convenabil este să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia din celule și să utilizați formula universală pentru găsirea zonei:

Deci, după ce ați studiat formulele prezentate în articol, nu veți avea probleme în a găsi aria unui triunghi de orice fel.

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, cu explicații pentru aplicarea lor sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența dintre simbolurile literelor din formule și simbolurile grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale (izoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți folosi formulele de mai jos, precum și formule speciale suplimentare care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

• „Formula pentru aria unui triunghi echilateral”

Formulele ariei triunghiulare

Explicații pentru formule:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului a cărui arie dorim să aflăm
r- raza cercului înscris în triunghi
R- raza cercului circumscris triunghiului
h- inaltimea triunghiului coborat lateral
p- semiperimetrul unui triunghi, 1/2 din suma laturilor acestuia (perimetrul)
α - unghi opus laturii a a triunghiului
β - unghi opus laturii b a triunghiului
γ - unghi opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului coborât la laturile a, b, c

Vă rugăm să rețineți că notațiile date corespund figurii de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă de geometrie reală, vă va fi mai ușor din punct de vedere vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite din formulă.

• Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului și lungimea laturii cu care se coboară această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă construiți fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din aria dreptunghiului (Spr = bh)
• Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă mai jos). Chiar dacă pare diferit de precedentul, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, rezultă că produsul laturii a și sinusul unghiului γ, conform proprietăților sinusului într-un triunghi dreptunghic, este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat. , care ne oferă formula anterioară
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin muncă jumătate din raza cercului înscris în el prin suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), pur și simplu, trebuie să înmulțiți semiperimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul lui (Formula 4)
• Formula 5 este găsirea aria unui triunghi prin lungimile laturilor și semiperimetrului său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a folosi conceptul de semiperimetru, doar prin lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre pătratul laturii triunghiului și sinusurile unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale cercului circumscris în jurul lui de sinusurile fiecăruia dintre unghiurile sale. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi și valorile a două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei laturi împărțit la suma dublă a cotangentelor acestor unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște numai lungimea fiecărei înălțimi ale triunghiului (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum se arată în formula lui Heron.
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi bazată pe coordonatele vârfurilor sale, care sunt specificate ca valori (x;y) pentru fiecare dintre vârfuri. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în regiunea valorilor negative.

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este similară aici, scrieți despre ea pe forum. În soluții, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se poate folosi funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată în paranteze.Uneori, pentru expresii radicale simple, simbolul poate fi folosit √

Sarcină. Aflați aria dată celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 si 6 cm.Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria triunghiului.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S=1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru rezolvare (conform formulei), putem înlocui doar valorile din condițiile problemei în formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, vom găsi și înlocui valoarea sinusului 60 de grade în expresie. Va fi egal cu rădăcina de trei ori doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că puteți lăsa 15 √3/2)

Sarcină. Aflați aria unui triunghi echilateral

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Deoarece a = b = c, formula pentru aria unui triunghi echilateral ia forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea suprafeței la modificarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria triunghiului dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria triunghiului dat, iar apoi vom găsi aria triunghiului ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre ariile acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

Mai jos oferim o explicație textuală a soluției problemei pas cu pas. Cu toate acestea, la final, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai convenabilă. Cei interesați pot coborî imediat soluțiile.

Pentru a rezolva, folosim formula lui Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arata cam asa:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi prima linie a imaginii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt specificate de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 pătrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform regulilor generale ale matematicii.
Apoi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pe a treia linie a imaginii
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată a numărului 256 este extrasă perfect, așa că hai să o scoatem de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi al cincilea rând al imaginii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat cu aria celui original.
Să determinăm rapoartele ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.

Instrucțiuni

1. Pentru două catete S = a * b/2, a, b – picioare,

A doua opțiune pentru calcularea ariei folosește sinusuri ale unghiurilor cunoscute în loc de cotangente. În această versiune pătrat este egal cu pătratul lungimii laturii cunoscute, înmulțit cu sinusurile fiecărui unghi și împărțit la sinusul dublu al acestor unghiuri: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2) *sin(α + β)). De exemplu, pentru același triunghi cu o latură cunoscută de 15 cm și adiacent acestuia colțuri la 40° și 60°, calculul ariei va arăta astfel: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centimetri pătrați.

Versiunea calculării ariei unui triunghi implică unghiuri. Aria va fi egală cu pătratul lungimii laturii cunoscute, înmulțit cu tangentele fiecăruia dintre unghiuri și împărțit la dublul sumei tangentelor acestor unghiuri: S = A*A*tg(α)*tg (p)/2(tg(a)+tg(p)). De exemplu, pentru triunghiul folosit în pașii anteriori cu latura de 15 cm și adiacent colțuri la 40° și 60°, calculul ariei va arăta astfel: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centimetri pătrați.

Un triunghi este cel mai simplu poligon având trei vârfuri și trei laturi. Un triunghi, al cărui unghi este drept, se numește triunghi dreptunghic. Pentru triunghiuri dreptunghiulare sunt aplicabile toate formulele pentru triunghiuri generale. Totuși, ele pot fi modificate, ținând cont de proprietățile unui unghi drept.

Instrucțiuni

De bază pentru găsirea zonei triunghi prin bază, după cum urmează: S = 1/2 * b * h, unde b este latura triunghi, si H - triunghi. Înălţime triunghi este o perpendiculară trasată de la vârf triunghi la linia care conține opusul. Pentru dreptunghiular triunghiînălțimea k b coincide cu piciorul a. În acest fel, veți obține formula pentru a calcula suprafața triunghi cu unghi: S = 1/2 * a * b.

Considera. Să fie dreptunghiular a = 3, b = 4. Atunci S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Calculați pătrat aceeași triunghi, dar acum să fie cunoscută o singură latură, b = 4. Și se cunoaște și unghiul α, tan α = 3/4. Apoi, din expresia pentru funcția trigonometrică tangentă α, exprimă cateta a: tg α = a/b => a = b * tan α. Înlocuiți această valoare în formula pentru a calcula aria unui dreptunghi triunghiși obținem: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​​​= 6.

Luați în considerare ca un caz special calculul ariei unui dreptunghiular isoscel triunghi. Un triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi sunt egale între ele. În cazul unui dreptunghiular triunghi rezultă a = b. Scrieți teorema lui Pitagora pentru acest caz: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Apoi, înlocuiți această valoare în formula pentru calcularea ariei după cum urmează: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Dacă razele cercului înscris r și ale cercului circumferitor R sunt cunoscute, atunci pătrat dreptunghiular triunghi se calculează prin formula S = r^2 + 2 * r * R. Fie raza cercului înscris în triunghi r = 1, raza cercului circumscris triunghi cercul R = 5/2. Atunci S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.

Video pe tema

Sfaturi utile

Raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză: R = c / 2. Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic se află prin formula r = (a + b – c) / 2.

Aceasta este una dintre cele mai simple figuri geometrice, în care trei segmente care leagă trei puncte în perechi limitează o parte a planului. Cunoașterea unora dintre parametrii unui triunghi (lungimile laturilor, unghiurile, razele unui cerc înscris sau circumscris, înălțimea etc.) în diferite combinații permite să se calculeze aria acestei secțiuni limitate a planului.

Instrucțiuni

Dacă se cunosc lungimile a două laturi ale unui triunghi (A și B) și mărimea unghiului lor (γ), atunci aria (S) a triunghiului va fi egală cu jumătate din produsul lungimilor laturilor și sinusul unghiului cunoscut: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Dacă sunt cunoscute lungimile tuturor celor trei laturi (A, B și C) dintr-un triunghi arbitrar, atunci pentru a calcula aria lui (S) este mai convenabil să introduceți o variabilă suplimentară - semiperimetrul (p). Această variabilă se calculează în jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: p=(A+B+C)/2. Folosind această variabilă poate fi definită ca rădăcina pătrată a produsului semiperimetrului pe această variabilă și lungimea laturilor: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Dacă, pe lângă lungimile tuturor laturilor (A, B și C), este cunoscută și lungimea razei (R) a unui cerc circumscris în apropierea unui triunghi arbitrar, atunci puteți face fără un semiperimetru - aria (S) va fi egal cu raportul dintre produsul lungimilor tuturor laturilor la raza cvadrupla a cercului: S=A ∗B∗C/(4∗R).

Dacă sunt cunoscute valorile tuturor unghiurilor unui triunghi (α, β și γ) și lungimea uneia dintre laturile sale (A), atunci aria (S) va fi egală cu raportul produsului pătratului a lungimii laturii cunoscute de sinusurile a două unghiuri adiacente acesteia cu sinusul dublu al unghiului opus: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Dacă sunt cunoscute valorile tuturor unghiurilor unui triunghi arbitrar (α, β și γ) și raza (R) cercului circumscris, atunci aria (S) va fi egală cu de două ori pătratul razei și sinusurile tuturor unghiurilor: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Video pe tema

Găsirea volumului unui triunghi este cu adevărat o sarcină non-trivială. Faptul este că un triunghi este o figură bidimensională, adică. se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu poți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Putem accepta următoarea presupunere: volumul unei figuri bidimensionale este aria sa. Vom căuta aria triunghiului.

Vei avea nevoie

• coală de hârtie, creion, riglă, calculator

Instrucțiuni

Desenați pe o bucată de hârtie folosind o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, vă puteți asigura că într-adevăr nu are triunghi, deoarece este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: o latură să fie latura „a”, cealaltă parte „b”, iar a treia latură „c”. Etichetați vârfurile triunghiului cu literele „A”, „B” și „C”.

Măsurați orice latură a triunghiului cu o riglă și notați rezultatul. După aceasta, restabiliți o perpendiculară pe latura măsurată de la vârful opus acesteia, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, perpendiculara „h” este restabilită pe latura „c” de la vârful „A”. Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și notați rezultatul măsurării.

Este posibil să vă fie dificil să restabiliți perpendiculara exactă. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. După aceasta, calculați semiperimetrul triunghiului „p” adunând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor la jumătate. Avand la dispozitie valoarea semiperimetrului, puteti folosi formula lui Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați rădăcina pătrată a următoarelor: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ați obținut aria necesară a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar așa cum am menționat mai sus, volumul nu este. Puteți găsi un volum care este în esență un triunghi în lumea tridimensională. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru original a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale cu aria triunghiului pe care l-am obținut.

Notă

Cu cât măsurați mai atent, cu atât calculele dvs. vor fi mai precise.

Surse:

• Calculator „Totul la orice” - un portal pentru valori de referință
• volumul triunghiului