Metoda de aproximare a celor mai mici pătrate drepte. Cursuri: Apropierea funcției prin metoda celor mai mici pătrate
Care este aplicația mai largă în diferite domenii ale științei și activității practice. Poate fi fizică, chimie, biologie, economie, sociologie, psihologie și așa mai departe, așa mai departe. Voința de soarta trebuie adesea să se ocupe de economie și, prin urmare, vă voi executa un junior într-o țară uimitoare numită Econometric. \u003d) ... Cum nu vrei?! Există foarte bine - trebuie doar să decideți! ... dar aici este faptul că probabil că doriți cu siguranță - este de a învăța să rezolvăm sarcinile metodă cele mai mici pătrate . Și în special cititorii diligenți vor învăța să le rezolve nu numai în mod inconfundabil, dar și foarte repede ;-) dar mai întâi stabilirea generală a sarcinii + Exemplu similar:
Să presupunem că în unele domenii, sunt investigați indicatorii care au o expresie cantitativă. În acest caz, există toate motivele să credem că indicatorul depinde de indicator. Această asistență poate fi atât o ipoteză științifică, cât și pe baza unui bun simț comun. Lăsați, totuși, știința deoparte și explorați mai multe zone de aperitive - și anume, magazinele alimentare. Denotă de:
- zona comercială a magazinului de produse alimentare, mp.,
- cifra de afaceri anuală a magazinului de produse alimentare, milioane de ruble.
Este clar că ceea ce mai mult Square. Magazinul, în majoritatea cazurilor, va exista mai mult cifra de afaceri.
Să presupunem că, după efectuarea observațiilor / experimentelor / numărătorului / dansurilor cu o tamburină la dispoziția noastră se numără datele numerice: 
Cu oaspeți, cred că totul este clar: - aceasta este zona din primul magazin, - cifra de afaceri anuală, - zona celui de-al doilea magazin, - cifra de afaceri anuală etc. Apropo, nu este necesar să avem acces la materiale secrete - o estimare destul de precisă a cifrei de afaceri poate fi obținută prin mijloace statistici matematice. Cu toate acestea, nu suntem distrași, cursul spionajului comercial este deja plătit \u003d)
Datele despre tabar pot fi, de asemenea, scrise sub formă de puncte și descriu în obișnuința pentru noi. sistemul cartesian .
Răspundeți la o întrebare importantă: câte puncte sunt necesare pentru cercetarea de înaltă calitate?
Cu cât mai mare cu atât mai bine. Setul minim admisibil este compus din 5-6 puncte. În plus, cu o cantitate mică de date, rezultatele "anormale" nu pot fi incluse în eșantion. Deci, de exemplu, un mic magazin de elită poate ajuta mai mult "colegii lor", distorsionând astfel modelul general, care este obligat să găsească!
Dacă trebuie doar să alegeți o funcție, programa care trece cât mai aproape de puncte 
. Această caracteristică este numită aproximând
(armonizare - aproximare) sau funcția teoretică
. În general, acesta pare imediat un "solicitant" evident - polinomial gradul înalt.al cărui grafic trece prin toate punctele. Dar această opțiune este complicată și adesea doar incorectă (pentru că programul va fi "buclă" tot timpul și va reflecta prost tendința principală).
Astfel, funcția dorită ar trebui să fie destul de simplă și, în același timp, reflectă dependența în mod adecvat. Cum ghiciți, una dintre metodele de găsire a acestor funcții și este numită metodă de cele mai mici pătrate. Mai întâi voi privi prin ea esență general. Lăsați o anumită funcție să aducă datele experimentale: 
Cum să estimați acuratețea acestei aproximări? Calculați și diferențe (abateri) între valorile experimentale și funcționale (Învățarea desenului). Primul gând care vine în minte este de a evalua cât de mare este suma, dar problema este că diferențele pot fi negative (de exemplu, 
)
Și abaterile ca urmare a acestei rezumate vor fi separate reciproc. Prin urmare, ca o estimare a acurateței aproximării, este potrivit să acceptați suma module. Abateri:
sau în forma răsucite: (Brusc cineva nu știe: - Aceasta este pictograma sumară și variabila auxiliară "Counter", care ia valori de la 1 la).
Abordarea punctelor experimentale cu diferite funcții, vom primi valori diferite și, evident, în cazul în care această cantitate este mai mică decât funcția și mai precis.
Această metodă există și se numește metoda de cel mai mic module. Cu toate acestea, în practică, a primit mult mai mult distribuție metoda cea mai mică pătratăîn care posibilele valori negative nu sunt eliminate de modul, ci construirea abaterilor în piață:
, după care eforturile sunt îndreptate spre selecția unei astfel de funcții, astfel încât suma pătratelor de deviații 
Era cât mai puțin posibil. De fapt, deci numele metodei.
Și acum ne întoarcem la un alt punct important: După cum sa menționat mai sus, funcția selectată ar trebui să fie destul de simplă - dar există și o mulțime de astfel de funcții: liniar , hiperbolic, exponențială, logaritm, patratic etc. Și, desigur, i-ar dori imediat să "reducă domeniul de activitate". Ce clasă de funcții de a alege pentru cercetare? Recepție primitivă, dar eficientă:
- Cel mai ușor de portret 
În desen și analizați locația lor. Dacă acestea tind să fie plasate într-o linie dreaptă, atunci ar trebui să căutați ecuația Direct. 
cu valori optime și. Cu alte cuvinte, provocarea este de a găsi astfel de coeficienți - astfel încât suma pătratelor deviațiilor a fost cea mai mică.
Dacă punctele sunt situate, de exemplu, de către hyperball., nu este clar că funcția liniară va da o armonizare proastă. În acest caz, căutăm cele mai "profitabile" coeficienți pentru ecuația hiperbolului 
- cei care dau suma minimă de pătrate 
.
Acum, rețineți că în ambele cazuri vorbim funcțiile a două variabileale căror argumente sunt parametrii dependențelor dorite:
Și, în esență, trebuie să rezolvăm sarcina standard - să găsim funcția minimă a două variabile.
Amintiți-vă exemplul nostru: să presupunem că punctele "magazin" tind să fie amplasate într-o linie dreaptă și există toate motivele să presupunem că dependența liniară
Cifra de afaceri a mărfurilor din zona comercială. Vom găsi astfel de coeficienți "A" și vom "fi" la suma pătratelor de deviații 
A fost cel mai mic. Totul este ca de obicei - mai întâi derivații privați ai ordinului 1. Conform regulă de liniaritate Puteți să vă diferențieți direct sub pictograma sumei: 
Dacă doriți să utilizați aceste informații pentru un eseu sau cursuri - voi fi foarte recunoscător pentru link-ul din lista de surse, astfel de calcule detaliate vor găsi puțin unde: 
Să facem un sistem standard: 
Reducem fiecare ecuație pe "Deuce" și, în plus, "colaps" sumele: 
Notă
: Analiza independent de ce "a" și "be" poate fi scoasă din pictograma sumelor. Apropo, se poate face oficial cu suma
Rescrieți sistemul în formularul "aplicat": 
După aceea, algoritmul de rezolvare a sarcinii noastre este început:
Coordonatele punctelor Știm? Noi stim. Cantitate 
Putem găsi? Uşor. Face mai simplu sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute("A" și "fi"). Sistemul rezolvă, de exemplu, metoda Cramer.Ca rezultat, primim un punct staționare. Control o condiție suficientă a extremumului, vă puteți asigura că în acest moment funcția 
Ajunge exact minim. Verificarea este asociată cu calcule suplimentare și, prin urmare, lăsați-o pentru scene (Dacă este necesar, cadru lipsă poate fi vizualizat). Facem concluzia finală:
Funcţie 
cel mai bun mod (cel puțin în comparație cu orice altă funcție liniară) Se leagă punctele experimentale 
. Aproximativ vorbind, programul ei trece cât mai aproape de aceste puncte. În tradiție econometries. Funcția de aproximare rezultată este, de asemenea, numită ecuarea regresiei liniare asociate
.
Sarcina luată în considerare are un mare valoare practică. Într-o situație cu exemplul nostru, ecuația 
vă permite să preziceți ce cifră de afaceri comercială ("IGarek") va fi la magazin, cu o valoare diferită a zonei de tranzacționare (Tom sau altul înseamnă "x"). Da, prognoza rezultată va fi doar o prognoză, dar în multe cazuri va fi destul de precisă.
Voi da doar o singură sarcină cu numere "reale", deoarece nu există dificultăți în ea - toate calculele la nivelul programului școlar 7-8 clasa. În 95% din cazuri, veți fi invitați să găsiți o funcție liniară, dar la sfârșitul articolului voi arăta că nu este mai dificil să găsiți ecuațiile hiperblelor optime, expozanților și alte funcții.
De fapt, rămâne să distribuiți chifle promise - astfel încât ați învățat să rezolvați astfel de exemple nu numai cu exactitate, ci și rapid. Aflați cu atenție standardul:
O sarcină
Ca urmare a studiului relației dintre doi indicatori, au fost obținute următoarele perechi de numere: 
Metoda de pătrate mai mici găsește o funcție liniară care aduce cel mai bine empiric (cu experienta) date. Faceți un desen pe care în sistemul de coordonare dreptunghiulară cartesian pentru a construi puncte experimentale și grafic al funcției apropiate 
. Găsiți suma pătratelor de deviere între valorile empirice și teoretice. Aflați dacă funcția va fi mai bună (din punctul de vedere al metodei cele mai mici pătrate) Aplicați punctele experimentale.
Rețineți că valorile "ICS" sunt naturale și are o semnificație semnificativă caracteristică, pe care o voi spune puțin mai târziu; Dar ei, desigur, pot fi fracționate. În plus, în funcție de conținutul unei sarcini ca "ICX", iar valorile "ignorabile" pot fi complet sau parțial negative. Ei bine, avem o sarcină "fără față și o începem decizie:
Coeficienții optimi funcții vor găsi ca o soluție a sistemului: 
Pentru a înregistra o înregistrare mai compactă, variabila "contra" poate fi omisă, deoarece este clar că sumarea este efectuată de la 1 la.
Calculul cantităților necesare este mai convenabil pentru a se asigura într-o formă tabelară: 
Calculele pot fi efectuate pe microcalculator, dar este mult mai bine să utilizați Excel - și mai rapid și fără erori; Urmărim un scurt videoclip:
Astfel, primim următoarele sistem:
Aici puteți multiplica a doua ecuație pentru 3 și de la prima ecuație pentru a scădea a doua. Dar acest noroc - în practică, sistemul este mai des înzestrat, iar în astfel de cazuri economisește metoda Cramer.:
Astfel încât sistemul are o singură soluție.
Efectuați un cec. Înțeleg că nu vreau, dar de ce să pierd greșelile unde nu pot fi absolut ratate? Înlocuiți soluția găsită în partea stângă a fiecărei ecuații de sistem:
Părțile drepte ale ecuațiilor respective sunt obținute, înseamnă că sistemul este rezolvat corect.
Astfel, funcția de aproximare dorită: - de la toate funcțiile liniare Datele experimentale se apropie cel mai bine.
Spre deosebire de drept
Dependența magazinului de afaceri din piața sa, dependența găsită este invers
(principiul "mai mult - cel mai puțin"), iar acest fapt este imediat detectat de negativ coeficientul unghiular. Funcţie 
ne spune că, cu o creștere a unui anumit indicator pe o unitate, valoarea indicatorului dependent scade in medie0,65 unități. După cum se spune, cu atât este mai mare prețul de hrișcă, cu atât mai puțin este vândut.
Pentru a construi un grafic al unei funcții de aproximare, vom găsi două dintre valorile sale:
Și faceți un desen: 
Linia construită numită trend Linie.
(și anume - linia de tendință liniară, adică în cazul general, tendința nu este neapărat o linie dreaptă). Toate expresia familiară "Fii în tendință", și, cred că acest termen nu are nevoie de comentarii suplimentare.
Calculați suma pătratelor de abateri 
între valorile empirice și teoretice. Geometric - aceasta este suma pătratelor de lungimea segmentelor "zmeură" (două dintre ele sunt atât de mici încât nu sunt chiar vizibile).
Calculele ne permiteți-ne în tabel: 
Ele pot fi făcute din nou manual, doar în cazul în care voi aduce un exemplu pentru primul punct: 
Dar mult mai eficient pentru a face o manieră cunoscută:
Încă o dată, repetați: care este sensul rezultatului? De toate funcțiile liniare funcţie 
Indicatorul este cel mai mic, adică în familia sa, aceasta este cea mai bună aproximare. Și aici, apropo, întrebarea finală a problemei nu este accidentală: ce se întâmplă dacă funcția exponențială propusă 
Va fi mai bine să aduceți punctele experimentale?
Noi găsim suma corespunzătoare a pătratelor de deviații - de a distinge, voi indica scrisoarea lor "Epsilon". Tehnica este exact aceeași: 
Și din nou la fiecare calcul al incendiului pentru primul punct: 
În Excel, folosim caracteristica standard Exp. (Sintaxa poate fi vizualizată în EXE HELP).
Ieșire: Prin urmare, funcția exponențială aduce punctele experimentale mai rău decât direct 
.
Dar trebuie remarcat faptul că "mai rău" este nu înseamnă, Ce s-a întâmplat. Acum a construit un grafic al acestei funcții exponențiale - și el trece, de asemenea, aproape de puncte 
- Da, astfel încât fără un studiu analitic și este dificil de spus, ce funcție este mai precisă.
Pe această decizie este finalizată și mă întorc la întrebarea valorilor naturale ale argumentului. În diverse studii, ca regulă, economică sau sociologică, naturală "ICES" luni numerice, ani sau alte intervale egale de timp. Luați în considerare, de exemplu, o astfel de sarcină.
Apropierea datelor experimentale este o metodă bazată pe înlocuirea datelor obținute experimental prin funcția analitică a celei mai apropiate sau coincide în punctele nodale cu valorile inițiale (datele obținute în timpul experienței sau experimentului). În prezent, există două modalități de determinare a funcției analitice:
Cu construirea unui polinomial de interpolare n-grad, care trece direct prin toate punctele Array de date specificate. În acest caz, funcția de aproximare este reprezentată ca polinomială de interpolare sub forma unui lagrange sau a unui polinom de interpolare sub formă de Newton.
Cu construirea unui polinom de gradul N aproximat, care trece În imediata apropiere a punctelor Din matricea de date specificată. Astfel, funcția de aproximare netezește toate interferențele aleatorii (sau erorile), care pot apărea atunci când efectuează un experiment: valorile măsurate în timpul experienței depind de factori aleatorie care fluctuează în propriile legi aleatorii (erori sau instrumente de măsurare, inexactitate sau experiență eroare). În acest caz, funcția de aproximare este determinată de metoda celor mai mici pătrate.
Metoda cea mai mică pătrată (În literatura de literatură anglo-limbă, cele mai mici pătrate, OLS) - o metodă matematică bazată pe definiția unei funcții de aproximare, care este construită în cea mai apropiată proximitate față de punctele de la masivul specificat de date experimentale. Proximitatea funcției inițiale și apropiate F (x) este determinată de măsura numerică, și anume: suma pătratelor deviațiilor datelor experimentale din curba apropiată F (x) ar trebui să fie cea mai mică.
Curba apropiată, construită în conformitate cu metoda celor mai mici pătrate
Se utilizează metoda celor mai mici pătrate:
Pentru a rezolva sistemele suprascrise de ecuații, atunci când numărul de ecuații depășește numărul de necunoscuți;
Să caute soluții în cazul sistemelor neliniare convenționale (ne-redefinite) de ecuații;
Pentru aproximarea valorilor punctului, unele funcții de aproximare.
Funcția de aproximare conform metodei cele mai mici pătrate este determinată din starea minimă a sumei pătratelor de abateri ale funcției de aproximare estimare de la o gamă dată de date experimentale. Acest criteriu al metodei cele mai mici pătrate este înregistrat sub forma următoarei expresii:
Valorile funcției de aproximare estimare la punctele nodale,
O gamă specificată de date experimentale la punctele nodale.
Criteriul patratic are o serie de proprietăți "bune", cum ar fi diferențiate, asigurând singura soluție la problema de aproximare cu funcții de aproximare polinomială.
În funcție de condițiile problemei, funcția de aproximare este un grad polinom
Gradul de aproximare a funcției nu depinde de numărul de puncte nodale, dar dimensiunea sa ar trebui să fie întotdeauna mai mică decât dimensiunea (numărul de puncte) dintr-o gamă dată de date experimentale.
Dacă gradul de funcționare aproximatoare m \u003d 1, atunci aproximăm funcția de masă a liniei drepte (regresia liniară).
Dacă gradul de aproximare a funcției m \u003d 2, atunci vom aproxima funcția de masă cu o parabolă patratic (aproximare patratic).
Dacă gradul de aproximare a funcției m \u003d 3, atunci aproximăm funcția de masă a parabolei cubice (aproximarea cubică).
În general, atunci când este necesar să se construiască un grad polinomic aproximat m pentru valorile tabelului specificat, starea minimului sumei pătratelor de abateri pe toate punctele nodale este rescrisă în următoarea formă:
- coeficienți necunoscuți ai gradului polinomic apropiat M;
Numărul valorilor de tabele specificate.
O condiție necesară pentru existența unei funcții minime este egalitatea zero a derivatelor sale private conform unei variabile necunoscute . Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații:
Transformăm sistemul liniar rezultat al ecuațiilor: vom deschide parantezele și vom transfera termenii liberi în partea dreaptă a expresiei. Ca rezultat, sistemul rezultat de expresii algebrice liniare va fi înregistrat după cum urmează:
Acest sistem de expresii liniare algebrice poate fi rescris în forma matricei:
Ca rezultat, a fost obținut un sistem ecuatii lineare Dimensiunea M + 1, care constă din M + 1 necunoscut. Acest sistem poate fi rezolvat utilizând orice metodă de rezolvare liniară ecuații algebrice (de exemplu, metoda Gauss). Ca urmare a soluției, vor fi găsite parametrii necunoscuți ai funcției apropiate, asigurând suma minimă a pătratelor abaterilor funcției de aproximare din datele sursă, adică. Cel mai bun posibil apropierea patrată. Trebuie amintit că atunci când se schimbă o singură valoare a datelor sursă, toți coeficienții își vor schimba valorile, deoarece acestea sunt pe deplin determinate de datele sursă.
Aprobarea dependenței liniare a datelor sursă
(regresie liniara)
De exemplu, luați în considerare metodologia de determinare a funcției apropiate, care este specificată ca o dependență liniară. În conformitate cu metoda celor mai mici pătrate, starea sumei minime a pătratelor de abateri este scrisă în forma următoare:
Coordonatele punctelor nodale ale tabelului;
Coeficienți necunoscuți ai funcției apropiate, care sunt specificate sub forma unei dependențe liniare.
O condiție prealabilă pentru existența unei funcții minime este egală cu zero a derivaților săi privați, conform unei variabile necunoscute. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații:
Transformăm sistemul liniar rezultat al ecuațiilor.
Rezolvăm sistemul rezultat al ecuațiilor liniare. Coeficienții funcției apropiate în formă analitică sunt determinate după cum urmează (metoda Cramer):
Acești coeficienți asigură construirea unei funcții liniare de aproximare în conformitate cu criteriul de minimizare a sumei pătratelor funcției de aproximare din valorile tabelului specificate (date experimentale).
Algoritm pentru implementarea metodei de cel puțin pătrate
1. Date inițiale:
Setați o serie de date experimentale cu numărul de măsurători n
Gradul de polinom apropiat este dat (m)
2. Algoritmul de calcul:
2.1. Coeficienții pentru construirea unui sistem de dimensiune a ecuațiilor
Coeficienții sistemului de ecuații (partea stângă a ecuației)
- numerele index ale coloanei matricei pătrate a sistemului de ecuații
Membrii liberi ai sistemului ecuațiilor liniare (partea dreaptă a ecuației)
- numere de numere ale indexului matricei pătrate a sistemului de ecuații
2.2. Formarea unui sistem de dimensiune a ecuațiilor liniare.
2.3. Soluția unui sistem de ecuații liniare pentru a determina coeficienții necunoscuți ai gradului polinomic apropiat m.
2.4. Determinarea sumei pătratelor abaterilor polinomului apropiat de valorile sursei pentru toate punctele nodale
Valoarea găsită a smbarelor de abateri este minimă posibilă.
Aproximarea cu alte funcții
Trebuie remarcat faptul că, la aproximarea inițială a datelor, în conformitate cu metoda celor mai mici pătrate, o funcție logaritmică, o funcție exponențială și o funcție de putere utilizează uneori ca o funcție de aproximare.
Aproximarea logaritmică
Luați în considerare cazul în care funcția de aproximare este setată de funcția logaritmică a formularului:
Apropierea funcției de către cea mai mică metodă
Pătrate
1. Scopul lucrării
2. Instrucțiuni metodice
2.2 Setarea sarcinii
2.3 Funcția de aproximare
2.4 Tehnica deciziei generale
2.5 Metode de rezolvare a ecuațiilor normale
2.7 Metode de calcul matrice inversă
3. Contul manual
3.1 Datele inițiale
3.2 Sistem normal al ecuațiilor
3.3 Soluția sistemelor prin metoda matricei inverse
4. Schema algoritmului
5. Textul programului
6. Rezultatele mașinilor
1. Scopul lucrării
Acest termen de muncă este ultima secțiune a disciplinei "computing matematică și programare" și cere unui student în procesul de punere în aplicare a următoarelor sarcini:
a) dezvoltarea practică a metodelor tipice de calcul a informaticii aplicate; b) Îmbunătățirea abilităților de dezvoltare a algoritmilor și a programelor de construcție în limba la nivel înalt.
Implementarea practică termen de hârtie Aceasta presupune soluția de sarcini tipice de procesare a datelor care utilizează metodele algebrei matricei, rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de integrare numerică. Abilitățile achiziționate în curs de desfășurare a cursului sunt baza pentru utilizarea metodelor computaționale pentru matematica aplicată și tehnicile de programare în procesul de studiere a tuturor disciplinelor ulterioare în implementarea proiectelor de curs și de diplomă.
2. Instrucțiuni metodice
2.2 Setarea sarcinii
Atunci când studiază dependența dintre valorile unei sarcini importante este o reprezentare aproximativă (armonizare) a acestor dependențe cu ajutorul funcțiilor cunoscute sau a combinațiilor acestora, selectate corespunzător. Abordarea la o astfel de sarcină și metoda specifică a soluției sale sunt determinate prin alegerea criteriilor de calitate a apropierii și a formei de reprezentare a datelor sursă.
2.3 Funcția de aproximare
Funcția de aproximare este selectată dintr-o anumită familie de funcții pentru care este specificat tipul de funcție, dar rămâne incert (și este supus definitivului) parametrii săi adică.
Definiția funcției apropiate φ este împărțită în două etape principale:
Selecţie vizualizare adecvată funcții;
Găsirea parametrilor săi în conformitate cu criteriul MNA.
Selectarea formei funcției este o sarcină complexă rezolvată prin metoda probelor și aproximărilor consecutive. Datele sursă prezentate în formă grafică (punctele de puncte sau curbe) sunt comparate cu familia de grafice ale unui număr de funcții tipice utilizate, de obicei, în scopul apropierii. Unele tipuri de funcții utilizate în cadrul cursului sunt prezentate în tabelul 1.
Informații mai detaliate privind comportamentul funcțiilor care pot fi utilizate în sarcinile de aproximare pot fi găsite în cartea de referință. În majoritatea sarcinilor de lucru, este specificată funcția de apel.
2.4 Tehnica deciziei generale
După selectarea apariției funcției de aproximare (sau este specificată această funcție) și, prin urmare, este definită o dependență funcțională (1), este necesar să se găsească în conformitate cu cerințele valorilor MNA ale parametrilor C 1, C 2, ..., cu m. După cum sa menționat deja, parametrii trebuie să fie determinați astfel încât valoarea criteriului fiecărei sarcini având în vedere cea mai mică comparativ cu valoarea sa cu alte valori posibile de parametri.
Pentru a rezolva problema, vom înlocui expresia (1) la cele corespunzătoare expresiilor și vom efectua cantitățile necesare de sumare sau integrare (în funcție de tipul I). Ca urmare, valoarea I, menționată în criteriul de aproximare suplimentar, pare a fi funcția parametrilor doritori.
Următoarea se reduce la găsirea unui minim de această funcție a variabilelor cu K; Determinarea valorilor cu K \u003d C K *, K \u003d 1, M corespunzător acestui element I și este scopul soluționării problemei.
Tipuri de funcții Tabelul 1
| Vizualizarea funcției | Numele funcției. |
| Liniar | |
| Y \u003d C 1 + C2, x + C 3 · x 2 | Patratic (parabolic) |
| Rational (Gradul Polinomial N-Grad) |
|
| Invers proporțională | |
| Power Fractional-Rational | |
| Fracția rațională (gradul întâi) | |
| Y \u003d C 1 + C2, x C3 | Putere |
| Y \u003d C 1 + C 2 · A C3 · x | Indicativ |
| Y \u003d C 1 + C 2 · log a x | Logaritm |
| Y \u003d C 1 + C 2 · x N (0 | Irațional, algebric |
| Y \u003d C 1 · Sinx + C 2 Cosx | Funcțiile trigonometrice (și înapoi la ele) |
Următoarele două abordări pentru rezolvarea acestei probleme sunt posibile: utilizarea condițiilor cunoscute ale funcției minime a mai multor variabile sau găsirea directă a unui punct minim al funcției la oricare dintre metodele numerice.
Pentru a implementa prima dintre aceste abordări, folosim condiția necesară pentru minimul funcției (1) a mai multor variabile, în conformitate cu care, la punctul minim, trebuie să fie egal cu zero de derivați privați ai acestei funcții în toate acestea argumente
M a egalității obținute ar trebui considerate ca un sistem de ecuații referitoare la C1, C2 dorit ..., cu m. Cu o formă arbitrară a dependenței funcționale (1) a ecuației (3), se dovedește a fi neliniară față de valorile C K și soluția lor necesită utilizarea unor metode numerice aproximative.
Utilizarea egalității (3) oferă numai condiții minime necesare, dar insuficiente (2). Prin urmare, este necesar să se clarifice dacă valorile constatate ale C K ar trebui să fie prevăzute cu un minim de funcție 
. În general, o astfel de clarificare depășește cursul acestei lucrări de curs, iar sarcinile oferite pentru munca cursului sunt selectate astfel încât soluția găsită (3) să corespundă exact minimului I. Cu toate acestea, deoarece valoarea I nu este negativă (ca suma pătratelor) și la marginea inferioară este 0 (i \u003d 0), dacă există o soluție de sistem (3) singura, aceasta corespunde cel puțin I.
Atunci când funcția de aproximare este prezentă expresiei generale (1), ecuațiile normale corespunzătoare (3) sunt neliniare față de C. Decizia lor poate fi asociată cu dificultăți semnificative. În astfel de cazuri, este preferată în mod direct o funcție minimă. În domeniul posibilelor valori ale argumentelor sale cu K, care nu sunt legate de utilizarea relațiilor (3). Ideea generală a acestei căutări este redusă la schimbarea valorilor argumentelor cu și calcularea fiecărei etape a funcției corespunzătoare I la minim sau aproape de acesta.
2.5 Metode de rezolvare a ecuațiilor normale
Una dintre posibilele metode de minimizare a criteriului de armonizare (2) implică soluția sistemului de ecuații normale (3). Când alegeți ca o funcție de aproximare a funcției liniare a parametrilor doritori, ecuațiile normale sunt un sistem de ecuații algebrice liniare.
Sistemul N din ecuațiile liniare ale formei generale:
(4) poate fi scrisă prin intermediul denumirilor de matrice în următoarea formă: a · x \u003d b,
; ; (5)
matrice pătrat a solicitat matrice de sistem, și vectorul x și, respectiv o coloană vectorială a sistemelor necunoscute și coloana vectorială a membrilor ei liberi.
În forma matricei, sistemul inițial n ecuații liniare poate fi înregistrat și astfel:
Soluția sistemului de ecuații liniare este redusă la găsirea valorilor elementelor coloanei vectoriale (x i), numite rădăcinile sistemului. Pentru ca acest sistem să aibă o singură soluție pe care ecuația trebuie să fie independentă liniară. Condiția necesară și suficientă a acestora este determinanța sistemului de inegalitate zero, adică Δ \u003d Deta ≠ 0.
Algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare este împărțit în direct și iterativ. În practică, nicio metodă nu poate fi infinită. Pentru a obține soluții exacte, metodele iterative necesită un număr infinit de operații aritmetice. Aproape acest număr trebuie să ia ultimul și, prin urmare, decizia are în principiu o eroare, chiar dacă neglijează erorile de rotunjire, însoțind cele mai multe computere. În ceea ce privește metodele directe, chiar și la sfârșitul operațiunilor pot da, în principiu, o soluție exactă dacă există.
Metodele drepte și finale vă permit să găsiți soluția sistemului de ecuații pentru numărul final de pași. Această soluție va fi corectă dacă toate lacunele de calcul sunt efectuate cu o precizie limitată.
2.7 Metodologie pentru calcularea matricei de retur
Una dintre metodele de rezolvare a sistemului de ecuații liniare (4), scrisă în matricea A · x \u003d b, este asociată cu utilizarea matricei de retur A -1. În acest caz, se obține soluția sistemului de ecuații ca
în cazul în care A -1 canalizare este definită după cum urmează.
Lăsați o matrice de quistiune de n x n cu un defilator nonzero ≠ 0. Apoi, există o matrice inversă R \u003d A -1, o condiție determinată de condiția A · R \u003d E,
În cazul în care e-apentic matrice, toate elementele diagonalei principale sunt egale cu I și elementele din afara acestei diagonale este -0, E \u003d, în cazul în care e i-coloana-coloană. Matricea la matricea pătrată Măsurarea n x n.
unde coloana RJ -tector.
Luați în considerare prima sa coloană R \u003d (R11, R 21, ..., R N 1) T, unde t denomi transpunerea. Este ușor să se verifice dacă produsul A · R este egal cu prima coloană E 1 \u003d (1, 0, ..., 0) matricea unității t, adică Vectorul R1 poate fi considerat ca soluția sistemului de ecuații liniare a · R 1 \u003d E 1. În mod similar, coloana M a matricei R, RM, 1≤ m ≤ N este soluția ecuației A \\ RM \u003d Em, unde em \u003d (0, ..., 1, 0) t m-and coloană a unei singure matrice E.
Astfel, matricea inversă R este un set de soluții de sisteme N de ecuații liniare
· RM \u003d em, 1≤ m ≤ n.
Pentru a rezolva aceste sisteme, pot fi aplicate orice metode menite să rezolve ecuațiile algebrice. Cu toate acestea, metoda Gauss face posibilă rezolvarea tuturor acestor sisteme N în același timp și independent unul de celălalt. Într-adevăr, toate aceste sisteme de ecuații diferă numai cu partea dreaptă și toate transformările care sunt efectuate în timpul mișcării directe a metodei Gauss sunt determinate complet de elementele matricei coeficienților (matrice A). Prin urmare, numai blocuri asociate transformării vectorului V. În cazul nostru, vectorii N, 1≤ m ≤ n pot fi modificate modificările algoritmilor. Rezultatul soluției nu va fi, de asemenea, un vector, dar n vectori RM, 1≤ m ≤ n.
3. Contul manual
3.1 Datele inițiale
| Xi. | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 1,1 |
| Yi. | 1,2 | 0,7 | 0,3 | -0,3 | -1,4 |
3.2 Sistem de ecuații normale
3.3 Soluția sistemelor prin metoda matricei inverse
ecuația liniară a aproximației
5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5
3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24
2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116
0 0,4 0,61 -1,24
0 0 0,136 -0,138
Rezultatele calculului:
C 1 \u003d 1,71; C 2 \u003d -1,552; C3 \u003d -1,015;
Funcția de aproximare:
4 . Textul programului
mass \u003d Arrayof Real;
mass1 \u003d Array de Real;
mass2 \u003d Array de Real;
X, Y, E, Y1, Delta: Mass;
big, R, Sum, Temp, Maxd, Q: Real;
i, J, K, L, NUM: BYTE;
Procedură vvod (var E: masa);
Pentru i: \u003d 1 până la 5 fac
Funcție Fi (I, K: Integer): Real;
dacă i \u003d 1 apoi fi: \u003d 1;
dacă i \u003d 2 apoi fi: \u003d păcat (x [k]);
dacă i \u003d 3 apoi fi: \u003d cos (x [k]);
Procedură perest (I: Integer; Var A: Mass1; Var B: Mass2);
pentru l: \u003d I la 3 fac
dacă ABS (A)\u003e mare atunci
mare: \u003d a; WRITELN (BIG: 6: 4);
scrie (rearanjarea ecuațiilor ");
dacă num.<>atunci eu.
pentru J: \u003d I la 3 fac
a: \u003d a;
scrie ("Introduceți valorile x");
writeln ("__________________");
scrie (", introduceți valorile y");
writeln ("___________________");
Pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
Pentru J: \u003d 1 până la 3
Pentru k: \u003d 1 până la 5 face
Începeți A: \u003d A + Fi (I, K) * FI (J, K); Scrieți (A: 7: 5); Sfârșit;
writeln ("________________________");
writeln ("Coeficienții Matrix AI, J");
Pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
Pentru J: \u003d 1 până la 3
scrieți (A: 5: 2, "");
Pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
Pentru J: \u003d 1 până la 5 face
B [i]: \u003d b [i] + y [j] * fi (i, j);
writeln ("________________________");
writeln ("Matrix Bi Coeficienți");
Pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
scrie (b [i]: 5: 2, "");
pentru i: \u003d 1 până la 2 fac
pentru k: \u003d i + 1 la 3 fac
Î: \u003d A / A; Writeln ("G \u003d", Q);
pentru j: \u003d i + 1 la 3 doo
a: \u003d A-Q * A; scrie ("a \u003d", a);
b [k]: \u003d b [k] -q * b [i]; Writeln ("B \u003d", B [K]);
x1 [N]: \u003d B [N] / a;
pentru i: \u003d 2 downto 1 do
pentru j: \u003d i + 1 la 3 doo
sumă: \u003d Sum-A * X1 [J];
x1 [i]: \u003d suma / a;
writeln ("________________________");
scrie ("valoarea coeficienților");
writeln ("_________________________");
pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
writeln ("C", I, "\u003d", X1 [I]);
pentru i: \u003d 1 până la 5 fac
y1 [I]: \u003d X1 [K] * FI (K, I) + X1 * FI (K + 1, I) + X1 * FI (K + 2, I);
delta [I]: \u003d ABS (Y [i] -Y1 [i]);
writeln (Y1 [I]);
pentru i: \u003d 1 până la 3 fac
scrie (x1 [i]: 7: 3);
pentru i: \u003d 1 până la 5 fac
dacă Delta [I]\u003e Maxd, apoi Maxd: \u003d Delta;
writeln ("Max Delta \u003d", Maxd: 5: 3);
5 . Rezultatele mașinii
C 1 \u003d 1.511; C 2 \u003d -1,237; C 3 \u003d -1.11;
Stabilind sarcina de aproximare pe MNA. Condițiile celei mai bune aproximări.
Dacă setul de date experimentale este obținut cu o eroare semnificativă, atunci interpolarea nu este necesară numai, dar, de asemenea, nedorită! Aici este necesar să se construiască o curbă care să reproducă graficul modelului experimental original, adică. Ar fi cât mai aproape posibil de punctele experimentale, dar, în același timp, ar fi insensibil la deviațiile aleatorii ale valorii măsurate.
Introducem o funcție continuă φ (x) Pentru aproximarea dependenței discrete f (x. I. ) , i \u003d 0 ... n.. Presupunem că φ (x) Construit în condiții cea mai bună armonizare patrată, în cazul în care un
. (1)
Greutate ρ pentru i.Punctele dau sensul acurateței măsurii acestei valori: cu atât mai mult ρ Cu cât este mai apropiată curba apropiată "atrage" la acest punct. În viitor, vom implicit ρ \u003d 1 pentru toate punctele.
Luați în considerare cazul armonizare liniară:
φ (x) = c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + … + c m φ m (x), (2)
unde φ 0 ... φ M - Arbitrar funcții de bază, c 0 ... C M - factori necunoscuți, m. < n.. Dacă numărul coeficienților de aproximare pentru a lua egal cu numărul de noduri, atunci aproximarea medie medie de calitate coincide cu interpolarea Lagrange, în timp ce nu trebuie să ia în considerare eroarea computațională, Q. = 0.
Dacă este cunoscută eroarea de date experimentală (sursă) ξ , atunci alegerea numărului de coeficienți, adică valorile m.determinată de condiție:
Cu alte cuvinte, dacă numărul coeficienților de aproximare nu este suficient pentru a reproduce corect programul dependenței experimentale. Dacă mulți coeficienți din (2) nu vor avea un sens fizic.
Pentru a rezolva problema aproximării liniare, în cazul general, ar trebui găsite condițiile minime de sumare a abaterilor pentru (2). Sarcina pentru căutarea minimă poate fi redusă la sarcina de a căuta sistemul rădăcină de ecuații, k. = 0…m.. (4) .
Substituirea (2) în (1) și apoi calculul (4) va duce la următorul sistem liniar algebric Ecuații:
Apoi, este necesar să se rezolve panta rezultată în raport cu coeficienții c 0 ... C M. Pentru a rezolva Slava, este întocmită o matrice extinsă de coeficienți, numită matrice gram., ale căror elemente sunt produse scalare de funcții de bază și coloană de coeficienți liberi:
,
unde 
, 
, J \u003d 0 ... m, K. = 0…m..
După ce se găsește metoda Gauss, de exemplu, coeficienții sunt găsiți c 0 ... C M, Puteți construi o curbă aproximatoare sau puteți calcula coordonatele punctului specificat. Astfel, sarcina de aproximare este rezolvată.
Aproximarea prin polinomul canonic.
Selectați funcțiile de bază sub forma unei secvențe de grade de argument x:
φ 0 (x) = x 0. = 1; φ 1 (x) = x 1. = x.; φ m (x) = x M., m. < n..
Matricea gram extinsă pentru o bază de putere va arăta astfel:
Caracteristica calculelor unei astfel de matrice (pentru a reduce numărul de acțiuni efectuate) este că este necesar să se numără doar elementele primei linii și ultimele două coloane: elementele rămase sunt umplute cu o schimbare de șir (cu excepția ultimelor două coloane) la o poziție spre stânga. În unele limbi de programare, în cazul în care nu există o procedură de exercitare rapidă, algoritmul pentru calcularea matricei gram prezentate mai jos este util.
Selectarea funcțiilor de bază sub formă de grade x nu este optimă Din punctul de vedere al realizării celei mai mici erori. Aceasta este o consecință neortoolism funcții de bază selectate. Proprietate ortogonalitate Este că pentru fiecare tip de polinom există un segment [ x 0, x n], pe care se aplică lucrările scalare ale polinomilor de ordine diferită:
, j. ≠ k, ρ - o anumită funcție de greutate.
Dacă funcțiile de bază au fost ortogonale, atunci toate elementele non-diagonale ale matricei gram ar fi aproape de zero, ceea ce ar crește acuratețea calculelor, altfel, cu determinantul, matricea gramului foarte repede tinde la zero, adică Sistemul devine prost determinat.
Apropierea de polinoame clasice ortogonale.
Prezentate sub polinoame legate de polinomii din Jacobi., au proprietatea ortogonalității în sensul de mai sus. Aceasta este, pentru a obține o precizie ridicată a calculelor, se recomandă alegerea funcțiilor de bază pentru aproximare sub forma acestor polinomii.