Rădăcina înseamnă aproximarea pătrată a funcțiilor. Aproximare quadratică

Adesea valorile funcției interpolate y, y2 , ..., у „sunt determinate din experiment cu unele erori, de aceea nu este rezonabil să se utilizeze o aproximare exactă la nodurile de interpolare. În acest caz, este mai natural să aproximăm funcția nu prin puncte, ci în in medie, adică într-una din norme L p.

Spațiu 1 p - set de funcții d (x), definit pe segment [a, b] și modul integrabil cu gradul pdacă norma este definită

Convergența într-o astfel de normă se numește convergență în in medie. Spațiul 1,2 se numește spațiu Hilbert, iar convergența în el se numește rădăcină medie pătrată.

Funcția ∆x) și setul de funcții ψ (x) sunt date dintr-un spațiu liniar normat. În contextul problemei interpolării, aproximării și aproximării, pot fi formulate următoarele două probleme.

Prima sarcinăeste o aproximare cu o precizie dată, adică pentru o dată e găsiți un φ (x) astfel încât inegalitatea | [Δx) - φ (x) || g.

A doua sarcinăeste o căutare cea mai bună aproximare, adică, căutarea unei astfel de funcții φ * (x), care satisface relația:

Să definim fără dovadă o condiție suficientă pentru existența celei mai bune aproximări. Pentru aceasta, în spațiul liniar al funcțiilor, alegem un set parametrizat de expresie

unde colecția de funcții φ [(x), ..., φn (x) va fi asumată liniar independentă.

Se poate arăta că în orice spațiu normalizat pentru aproximare liniară (2.16) Cea mai bună aproximare există, deși este unică în orice spațiu liniar.

Luați în considerare spațiul Hilbert b (cp) al funcțiilor reale pătrate integrabile cu greutatea p (x)\u003e 0 pe [, unde produsul scalar ( g, h) este determinată de

formulă:

Înlocuind combinația liniară (2.16) în cea mai bună condiție de aproximare, găsim

Echivalând la zero derivatele în raport cu coeficienții (D, k \u003d 1, ..., П, obținem sistemul ecuatii lineare

Determinantul sistemului de ecuații (2.17) se numește determinant Gram. Determinantul Gram este diferit de zero, deoarece sistemul funcțiilor φ [(x), ..., φn (x) este considerat a fi liniar independent.

Astfel, cea mai bună aproximare există și este unică. Pentru a-l obține, este necesar să se rezolve sistemul de ecuații (2.17). Dacă sistemul funcțiilor φ1 (x), ..., φn (x) este ortogonalizat, adică (φ /, φ,) \u003d 5y, unde 5 \u003d 1, 8y \u003d 0, Щ,ij = 1, ..., p, atunci sistemul de ecuații poate fi rezolvat sub forma:

Coeficienții găsiți conform (2.18) Î, ..., dn sunt numiți coeficienții seriei Fourier generalizată.

Dacă colecția de funcții φt (X), ..., φn (x), ... formează un sistem complet, atunci prin egalitatea lui Parseval când P - »oo, rata de eroare scade la infinit. Aceasta înseamnă că cea mai bună aproximare a pătratului mediu converge la Dx) cu orice precizie dată.

Rețineți că căutarea coeficienților celei mai bune aproximări prin rezolvarea sistemului de ecuații (2.17) este practic imposibil de implementat, deoarece cu o creștere a ordinii matricei Gram, determinantul său tinde rapid la zero, iar matricea devine prost condiționată. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu o astfel de matrice va duce la o pierdere semnificativă de precizie. Hai să verificăm.

Să se aleagă gradele ca sistem de funcții φ „i \u003d 1, ... ,, adică φ * \u003d X 1", 1 \u003d 1, ..., p, apoi, luând un segment ca segment de aproximare, găsim matricea Gram

Matricea Gram a formei (2.19) se mai numește și matricea Hilbert. Acesta este un exemplu clasic al așa-numitei matrice prost condiționate.

Folosind MATLAB, calculăm determinantul matricei Hilbert în forma (2.19) pentru unele dintre primele valori p. Listarea 2.5 arată codul pentru programul corespunzător.

Listarea 23

% Calculul determinantului matricelor Hilbert% curățarea zonei de lucrucurata tot;

% alegem valoarea maximă a ordinii% a matricei Hilbertptah \u003d 6;

% construiește un ciclu pentru formarea% matricelor Hilbert și calcularea determinanților acestora

pentru n \u003d 1: nmax d (n) \u003d det (hi I b (n)); Sfârșit

% afișăm valorile determinanților matricilor% Hilbert

f o g ta t capăt scurt

După ce treceți prin codul din Listarea 2.5, determinanții matricei Hilbert pentru primele șase matrice ar trebui să apară în fereastra de comandă MATLAB. Tabelul de mai jos prezintă valorile numerice corespunzătoare ale ordinelor matricilor (n) și determinanții acestora (d). Tabelul arată clar cât de repede determinantul matricei Hilbert tinde la zero odată cu creșterea ordinii și, începând deja de la ordinele 5 și 6, devine inacceptabil de mic.

Tabelul valorilor determinantului matricilor Hilbert

Ortogonalizarea numerică a sistemului de funcții φ, i \u003d 1, ..., conduce, de asemenea, la o pierdere notabilă de precizie, prin urmare, pentru a lua în considerare un număr mare de termeni în expansiune (2.16), este necesar fie să se efectueze ortogonalizarea analitic, adică exact, fie să se utilizeze elementele gata făcute sistem de funcții ortogonale.

Dacă în interpolare gradul este de obicei utilizat ca sistem de funcții de bază, atunci în aproximare, în medie, sunt alese ca funcții de bază polinoame ortogonale cu o greutate dată. Cele mai frecvent utilizate dintre acestea sunt polinoamele Jacobi, dintre care un caz special sunt polinoamele Legendre și Chebyshev. Se folosesc și polinoame Lagsrr și Hermite. Mai multe detalii despre aceste polinoame găsiți, de exemplu, în anexă Polinoame ortogonale cărți.

Zilele trecute a fost necesar să scriem un program care să calculeze aproximarea rădăcină-medie-pătrat a unei funcții date într-un tabel, în funcție de baza puterii - prin metodă cele mai mici pătrate... Voi face imediat o rezervare că nu am luat în considerare baza trigonometrică și nu o voi lua în acest articol. La sfârșitul articolului, puteți găsi codul sursă pentru programul C #.

Teorie

Să se aproximeze valorile funcției f (x) s-a instalat N + 1 noduri f (x 0), ..., f (x N)... Vom alege o funcție aproximativă dintr-o familie parametrică F (x, c)Unde c \u003d (c 0, ..., c n) T - vectorul parametrilor, N\u003e n.

Diferența fundamentală între sarcină aprox. rms din problema de interpolare este că numărul de noduri depășește numărul de parametri. În acest caz, aproape întotdeauna nu există un astfel de vector de parametri pentru care valorile funcției aproximative să coincidă cu valorile funcției aproximate la toate nodurile.

În acest caz, problema de aproximare este pusă ca problema găsirii unui astfel de vector de parametri c \u003d (c 0, ..., c n) T, la care valorile funcției aproximative s-ar abate cât mai puțin posibil de la valorile funcției aproximative F (x, c) în agregatul tuturor nodurilor.

Sarcina poate fi reprezentată grafic după cum urmează

Să notăm criteriul aproximării rădăcină-medie-pătrat pentru metoda celor mai mici pătrate:
J (c) \u003d √ (Σ i \u003d 0 N 2) → min

Expresia radicală este o funcție pătratică în raport cu coeficienții polinomului aproximativ. Este continuu și diferențiat în ceea ce privește c 0, ..., c n... Evident, minimul său este în punctul în care toate derivatele parțiale sunt zero. Echivalând derivatele parțiale la zero, obținem un sistem liniar ecuații algebrice în ceea ce privește coeficienții necunoscuți (doriți) ai polinomului de cea mai bună aproximare.

Metoda celor mai mici pătrate poate fi utilizată pentru diverse funcții parametrice, dar adesea în practica inginerească, polinoamele sunt utilizate ca funcție de aproximare într-o bază independentă liniar φ k(x), k \u003d 0, ..., n}:
F (x, c) \u003d Σ k \u003d 0 n [ c k φ k(X)] .

În acest caz, sistemul de ecuații algebrice liniare pentru determinarea coeficienților va avea o formă bine definită:

…

Pentru ca acest sistem să aibă o soluție unică, este necesar și suficient ca determinantul matricei A (determinantul Gram) să fie diferit de zero. Pentru ca sistemul să aibă o soluție unică, este necesar și suficient ca sistemul de bază să funcționeze φ k(x), k \u003d 0, ..., n a fost liniar independent de setul de noduri de aproximare.

În acest articol, considerăm aproximarea rădăcină-medie-pătrat de către polinoame în baza puterii ( φ k(x) \u003d x k, k \u003d 0, ..., n}.

Exemplu

Acum să trecem la un exemplu. Este necesar să se obțină o formulă empirică pentru dependența tabulară dată f (x), folosind metoda celor mai mici pătrate.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Luăm ca funcție aproximativă
y \u003d F (x) \u003d c 0 + c 1 x + c 2 x 2, adică n \u003d 2, N \u003d 4

Sistemul de ecuații pentru determinarea coeficienților:
a 00 c 0 + a 01 c 1 + ... + a 0n c n \u003d b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 + ... + a 1n c n \u003d b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 + ... + a nn c n \u003d b n

a kj \u003d Σ i \u003d 0 N [φ k (x i) φ j (x i)], b j \u003d Σ i \u003d 0 N

Coeficienții sunt calculați după formulele:
a 00 \u003d N + 1 \u003d 5, a 01 \u003d Σ i \u003d 0 N x i \u003d 11.25, a 02 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 2 \u003d 30.94
a 10 \u003d Σ i \u003d 0 N x i \u003d 11.25, a 11 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 2 \u003d 30.94, a 12 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 3 \u003d 94.92
a 20 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 2 \u003d 30,94, a 21 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 3 \u003d 94,92, a 22 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 4 \u003d 303,76
b 0 \u003d Σ i \u003d 0 N y i \u003d 11.25, b 1 \u003d Σ i \u003d 0 N x i y i \u003d 29, b 2 \u003d Σ i \u003d 0 N x i 2 y i \u003d 90.21

Rezolvăm sistemul de ecuații și obținem următoarele valori ale coeficienților:
c 0 \u003d 4,822, c 1 \u003d -3,882, c 2 \u003d 0,999

În acest fel
y \u003d 4,8 - 3,9x + x 2

Graficul funcțional rezultat

Lansarea C #

Acum să trecem la modul de scriere a codului care ar construi o astfel de matrice. Și aici, se pare, totul este destul de simplu:
private double [,] MakeSystem (double [,] xyTable, int base) (double [,] matrix \u003d new double; for (int i \u003d 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
La intrare, funcția primește un tabel de valori ale funcției - o matrice, a cărei primă coloană conține valorile lui x, a doua, respectiv, y, precum și valoarea bazei de putere.

În primul rând, memoria este alocată pentru matrice, în care se vor scrie coeficienții pentru rezolvarea sistemului de ecuații liniare. Apoi, de fapt, alcătuim matricea - valorile coeficienților aij sunt scrise în sumA, în sumB - bi, toate conform formulei indicate mai sus în partea teoretică.

Pentru a rezolva sistemul construit de ecuații algebrice liniare, programul meu folosește metoda Gauss. Arhiva cu proiectul poate fi descărcată

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă de aceste rezumate bune, control, cursuri, teză, articole și alte documente care nu sunt revendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, trebuie să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, în câmpul de mai jos, introduceți un număr din cinci cifre și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

### ##### ## #### ####
## ## ### ## ## ## ##
## ##### #### ## ## ## ##
##### ## ## ## ## ## #####
## ## ## ####### ## ## ##
## ## ## ## ## ## ## ##
#### #### #### #### ###

Introduceți numărul de mai sus:

Documente similare

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda simplă de iterație. Interpolarea funcției polinomiale prin metoda lui Newton cu diferențe separate. Rădăcină înseamnă aproximarea pătrată a funcției. Integrarea numerică a funcțiilor prin metoda Gauss.

termen de hârtie, adăugat 14.04.2009


Metodele numerice sunt un set de algoritmi care permit obținerea unei soluții aproximative (numerice) a problemelor matematice. Două tipuri de erori care apar la rezolvarea problemelor. Găsirea zerourilor unei funcții. Metoda jumătății de diviziune. Metoda acordului.

curs prelegere, adăugat 03/06/2009


Conceptul unei integrale definite, semnificația sa geometrică. Metode numerice pentru calcularea integralelor definite. Formule pentru dreptunghiuri și trapezoide. Folosind pachetul Mathcad pentru calcularea integralelor, verificarea rezultatelor calculelor folosind Mathcad.

termen de hârtie adăugat 03/11/2013


Metode numerice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: Gauss, iterație simplă, Seidel. Metode de aproximare și interpolare a funcțiilor: coeficienți nedefiniți, pătrate minime. Rezolvarea ecuațiilor neliniare și calcularea integralelor definite.

termen de hârtie adăugat 27.04.2011


Metode de estimare a erorii de interpolare. Interpolare prin polinoame algebrice. Construirea de polinoame algebrice cu cea mai bună aproximare medie pătrată. Metode numerice de rezolvare a problemei Cauchy în mod obișnuit ecuatii diferentiale.

lucrări de laborator, adăugat 14.08.2010


Rezolvarea ecuațiilor neliniare prin metoda tangenței (Newton), caracteristicile și etapele acestui proces. Mecanism de interpolare a funcțiilor și integrare numerică. Soluție aproximativă a ecuațiilor diferențiale obișnuite de ordinul întâi prin metoda lui Euler.

hârtie de termen, adăugată 16.12.2015


Metode numerice pentru găsirea unui extrem necondiționat. Probleme de minimizare fără restricții. Calculul minimului funcției prin metoda de coborâre a coordonatelor. Rezolvarea problemelor programare liniară metoda grafică și simplex. Lucrul cu programul MathCAD.

hârtie la termen, adăugată 30.04.2011

Pentru a netezi funcțiile Altman discrete și, astfel, a introduce ideea de continuitate în teorie, a fost utilizată aproximarea integrală rădăcină-medie-pătrat printr-un polinom de grade diferite.

Se știe că o secvență de polinoame de interpolare la noduri la distanțe egale nu converge neapărat la o funcție, chiar dacă funcția este infinit diferențiată. Pentru funcțiile aproximate, gradul polinomului poate fi redus prin utilizarea unui aranjament adecvat de noduri. ... Structura funcțiilor Altman este astfel încât este mai convenabil să se utilizeze aproximarea unei funcții nu prin interpolare, ci cu construcția celei mai bune aproximări pătrate medii într-un spațiu liniar normalizat. Să luăm în considerare conceptele și informațiile de bază atunci când construim cea mai bună aproximare. Problemele de aproximare și optimizare sunt puse în spații liniare normate.

Spații normate metrice și liniare

Cele mai largi concepte de matematică sunt „set” și „cartografiere”. Conceptul de „set”, „set”, „colecție”, „familie”, „sistem”, „clasă” în teoria mulțimilor libere sunt considerate sinonime.

Termenul „operator” este identic cu termenul „mapare”. Termenii „operație”, „funcție”, „funcțional”, „măsură” sunt cazuri speciale ale conceptului „mapare”.

Termenii „structură”, „spațiu” din construcția axiomatică a teoriilor matematice au căpătat, de asemenea, o semnificație fundamentală în prezent. Structurile matematice includ structuri teoretice de mulțimi (mulțimi ordonate și parțial ordonate); structuri abstract-algebrice (semigrupuri, grupuri, inele, corpuri, câmpuri, algebre, zăbrele); structuri diferențiale (forme diferențiale externe, spații de fibre) ,,,,,,.

O structură este înțeleasă ca un set finit format din seturi de purtător (set principal), un câmp numeric (set auxiliar) și o mapare dată pe elementele purtătorului și numerele câmpului. Dacă mulțimea numerelor complexe este luată ca purtător, atunci joacă rolul atât al seturilor principale, cât și al celor auxiliare. Termenul „structură” este identic cu conceptul de „spațiu”.

Pentru a defini un spațiu, trebuie mai întâi să definiți un set-carrier cu elementele (punctele) acestuia, notate cu litere latine și grecești

Setul de elemente reale (sau complexe) poate acționa ca purtător: numere; vectori; Matrici; Secvențe; Funcții;

Seturile pot acționa și ca elemente ale purtătorului: axă reală, plan, spațiu tridimensional (și multidimensional), permutare, mișcare; seturi abstracte.

Definiție. Spațiul metric este o structură care formează un triplu, unde cartografierea este o funcție reală negativă a două argumente pentru orice x și y din M și care îndeplinește trei axiome.

• 1 - non-negativitate; , la.
• 2- - simetrie;
• 3- - axioma reflexivității.

unde sunt distanțele dintre elemente.

În spațiul metric, se setează o metrică și se formează conceptul de proximitate a două elemente din setul purtătorului.

Definiție. Un spațiu liniar real (vectorial) este o structură, unde cartografierea este operația aditivă de adăugare a elementelor aparținând, iar cartografierea este operația de înmulțire a unui număr cu un element din.

Operația înseamnă că pentru oricare două elemente al treilea element este definit în mod unic, numit suma lor și notat cu, și următoarele axiome sunt îndeplinite.

Comutativitate.

Proprietate asociativă.

Există un element special, notat astfel încât pentru oricare este satisfăcut.

pentru oricine există astfel încât.

Elementul este numit opus și este notat cu.

Operațiunea înseamnă că pentru orice element și orice număr este definit un element, notat cu și axiomele sunt îndeplinite:

Elementul (punctele) spațiului liniar se mai numește vectori. Axiomele 1 - 4 definesc un grup (aditiv), numit modul și reprezentând o structură.

Dacă o operație într-o structură nu respectă nicio axiomă, atunci o astfel de structură se numește grupoid. Această structură este extrem de slabă; nu are o singură axiomă de asociativitate, atunci structura se numește monoid (semigrup).

Proprietatea de liniaritate este specificată în structură utilizând maparea și axiomele 1-8.

Deci, spațiul liniar este un modul de grup, în structura căruia s-a adăugat încă o operație - multiplicarea elementelor purtătorului cu un număr cu 4 axiome. Dacă în loc de o operație, împreună cu încă o operație de grup de multiplicare a elementelor cu 4 axiome și postulează axioma distributivității, atunci apare o structură numită câmp.

Definiție. Un spațiu liniar normat este o structură în care cartografierea satisface următoarele axiome:

• 1. și dacă și numai dacă.
• 2. , .
• 3. , .

Și așa în doar 11 axiome.

De exemplu, dacă adăugăm un modul care posedă toate cele trei proprietăți ale normei la structura câmpului numerelor reale, unde sunt numerele reale, atunci câmpul numerelor reale devine un spațiu normalizat

Există două metode răspândite pentru introducerea unei norme: fie prin specificarea explicită a formei de intervale a unei funcții convexe omogene, fie prin specificarea produsului scalar.

Să presupunem că atunci tipul funcțional poate fi setat în nenumărate moduri, schimbând valoarea:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

A doua metodă comună a sarcinii este introducerea unei alte mapări în structura spațiului (o funcție a două argumente, de obicei notate cu și numite produsul punct).

Definiție. Spațiul euclidian este o structură în care produsul scalar conține o normă și satisface axiomele:

• 4., și dacă și numai dacă

În spațiul euclidian, norma este generată de formulă

Din proprietățile 1 - 4 ale produsului scalar rezultă că toate axiomele normei sunt valabile. Dacă produsul punct este în formă, atunci norma va fi calculată prin formulă

Norma spațială nu poate fi specificată folosind produsul punct ,.

În spațiile cu produs scalar apar astfel de calități care sunt absente în spațiile liniare normate (ortogonalitatea elementelor, egalitatea paralelogramului, teorema pitagorică, identitatea lui Apollonius, inegalitatea lui Ptolemeu. Introducerea unui produs scalar oferă modalități mai multe soluție eficientă probleme de aproximare.

Definiție. O secvență infinită de elemente într-un spațiu liniar normat este numită convergentă în normă (pur și simplu convergentă sau având o limită în) dacă există un element astfel încât pentru oricare există un număr în funcție de astfel încât pentru

Definiție. O secvență de elemente din se numește fundamentală dacă pentru oricare există un număr în funcție de oricare și sunt satisfăcuți (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, p. 48)

Definiție. Un spațiu Banach este o structură în care orice secvență fundamentală converge în normă.

Definiție. Un spațiu Hilbert este o structură în care orice secvență fundamentală converge în norma generată de produsul scalar.

LUCRU DE LABORATOR

APROXIMAREA RMS A FUNCȚIILOR SPECIFICATE PE MASĂ PRIN METODA CELOR MICI PĂTRATE

poartă: Familiarizarea elevilor cu metodele de bază de interpolare și aproximare a funcțiilor de tabel. Consolidarea în practică a cunoștințelor dobândite în domeniul aproximării unor astfel de funcții.

O sarcină: Să învețe studenții aplicația practică a cunoștințelor teoretice obținute în rezolvarea problemelor de netezire a rezultatelor unui experiment cu polinoame, atât în \u200b\u200balgoritmarea acestor probleme, cât și în programarea lor.

DISPOZIȚII TEORETICE

Interpolare și aproximare

În practică, o situație apare adesea când unele funcții f(x) este dat de un tabel al valorilor sale în puncte individuale x = x 0 , x 1 , … , x n [a, b], de exemplu, citiri discrete ale dispozitivului în timp, dar funcția ar trebui calculată f(x) în unele puncte intermediare. Această problemă poate fi rezolvată aproximativ prin înlocuirea funcției f(x) o funcție continuă mai simplă F(x). Există două modalități principale de a face acest lucru: interpolare și apropiere.

Esenta interpolare - în construcția unei astfel de funcții ușor de calculat F(x), care este la fel ca funcția f(x) în puncte x = x 0 , x 1 , … , x n... Cu alte cuvinte, graficul funcției F(x) in avion Ooh trebuie să treacă prin puncte x = x 0 , x 1 , … , x nîn care funcția f(x). Mai mult, punctele x = x 0 , x 1 , … , x n sunt numite noduri de interpolare și funcția F(x) - interpolare. În majoritatea cazurilor, polinoamele sunt alese ca funcție de interpolare. Deci, interpolare liniară constă într-o conexiune simplă secvențială de puncte ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … ,

(x n, f(x n)) după segmente de linie, adică in cladire npolinoame de gradul I. Valoarea funcției f(x) la punct x* Unde x* (x i,x i +1), eu = 0, 1, … , n - 1 este calculat în acest caz destul de simplu:

f(x*) = f(x i) + · ( x*–x i).

Interpolarea quadratică constă în conectarea tripletelor succesive de noduri de interpolare cu parabole. Interpolare cubică - cvadrupluri - parabole cubice etc. Polinoame de interpolare de grad ( n - 1) există funcții netede care trec prin toate nodurile de interpolare. Când sunt impuse condiții suplimentare conexiunii funcționale F(x) în puncte ( x 1 , f(x 1)), (x 2 , f(x 2)), … , (x n -1 , f(x n -1)) obținem așa-numitul. interpolare spline. Pentru construirea polinoamelor de interpolare, au fost dezvoltate multe metode: Newton, Stirling, Lagrange etc.

În multe cazuri, având valorile funcției în n+ 1 noduri, în loc de polinomul de interpolare este convenabil să se găsească un polinom de grad m<n, care ar aproxima (aproxima) bine funcția luată în considerare. În acest caz, cerința pentru coincidența funcțiilor f(x) și F(x) în puncte ( x 0 , f(x 0)), (x 1 , f(x 1)), … , (x n, f(x n)) se înlocuiește cu cerința de a minimiza abaterea totală între valorile funcțiilor f(x) și F(x) în puncte x = x 0 , x 1 , … , x n.

Una dintre principalele metode de construcție apropiere polinomul este metoda celor mai mici pătrate, care necesită ca suma abaterilor pătrate dintre valorile funcției și valorile funcției aproximative la noduri să fie minimă. De ce pătrate? Deoarece abaterile în sine între valorile funcțiilor pot fi atât pozitive, cât și negative, iar suma lor nu oferă o idee reală a diferenței dintre funcții prin compensarea valorilor pozitive și negative. Puteți lua modulele abaterilor, dar pătratele pozitive ale acestor abateri sunt mai convenabile de utilizat.

Rădăcina înseamnă aproximarea pătrată a funcțiilor definite în tabel

(metoda cel mai mic pătrat)

Lăsați nodurile x 0 , x 1 , … , x n avem valorile la 0 , la 1 , … , la n funcții f(x). Printre polinoame m-grada ( m<n)

P m(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m x m(1)

găsiți unul care să minimizeze expresia

S= .(2)

Necunoscutele sunt coeficienții polinomului (1). Suma (2) este o formă pătratică a acestor coeficienți. În plus, formula (2) arată că funcția S = S(a 0 , a 1 , … , un m) nu poate lua valori negative. Prin urmare, minimul funcției S exista.

Aplicarea condițiilor necesare pentru extremitatea funcției S = S(a 0 , a 1 , … , un m), obținem un sistem de ecuații algebrice liniare pentru determinarea coeficienților a 0 , a 1 , … , un m:

, (k = 0, 1, 2, … , m)(3)

Presupunând cu p = , d p = , scriem sistemul (3) sub formă de matrice

DINa = d , (4)

DIN = - matrice de sistem, și = {a 0 , a 1 , … , un m} T - vector de necunoscute, d = {d 0 , d 1 , … , d m} T Este vectorul părților corecte ale sistemului.

Dacă printre noduri x 0 , x 1 , … , x n fara meciuri si m ≤ n, atunci sistemul (4) are o soluție unică a 0 = ,a 1 = , … , un m\u003d. Apoi polinomul

= + x + x 2 + … + x m

este singurul polinom de grad mcu abaterea standard minimă S* = Smin.

Eroarea aproximării rădăcină-medie-pătrat a funcției se caracterizează prin valoare δ = .

Cel mai simplu și cel mai frecvent utilizat tip de aproximare (aproximare rădăcină-medie-pătrat) a unei funcții este liniar. Aproximarea datelor ( x i, y i) este realizată de funcția liniară y(x)= topor + b... Pe planul de coordonate ( x, y) se știe că o funcție liniară este reprezentată printr-o linie dreaptă.

Exemplu. Sistem de punct linie neted y= topor + b.

x	–1	0	1	2	3	4
la	0	2	3	3,5	3	4,5

Construirea unei foi de lucru.